CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO Z A Q U E U V I E I R A O L I V E I R A

Z A Q U E U V I E I R A O L I V E I R A

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E

IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO

LONGO DA HISTÓRIA

• Ciência das quantidades

• Platão: diferencia as grandezas percebidas pelos sentidos das ideais

• Aristóteles: mundo sensível e mundo inteligível

• Kant: na matemática, a construção de conceitos só é

possível por meio da intuição a priori do espaço, ou seja, o conhecimento das quantidades

“... o matemático estuda noções obtidas por abstração (de fato, estuda suprimindo todos os aspectos sensíveis, como o peso e a leveza, a dureza e seu contrário, o calor

e o frio, e as demais contrariedades sensíveis. Enquanto que deixa somente o quantitativo e o contínuo, seja em uma ou em duas ou em três dimensões, assim como as propriedades que possuem enquanto são quantidades e magnitudes continuas, e não as estuda segundo nenhum

outro aspecto. Em alguns casos estuda as posições recíprocas e as propriedades que lhes correspondem, e

em outros casos estuda as comensurabilidades e as incomensurabilidades, e em outros as proporções...)”

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO

LONGO DA HISTÓRIA

• Ciência das relações

• Matemática ligada à lógica

• Raízes dessa concepção em Renè Descartes

• Essa concepção se propaga quando a lógica utiliza-se do cálculo numérico

• Henri Poincarè afirma que a ciência é um sistema de relações e que seria vão buscar a objetividade nas ciências isoladas

• Logicismo: Deve-se construir uma lógica exata, para em seguida extrair a matemática. Primeiro, defini-se todos os conceitos da matemática (aritmética, álgebra e da

análise) em termos de conceitos de lógica e, em seguida, deduz-se todos os teoremas da matemática a partir dessas definições e por meio dos princípios da própria lógica

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO

LONGO DA HISTÓRIA

“Todas essas ciências particulares chamadas comumente matemáticas; ... embora seus objetos

sejam diferentes todas coincidem em só

considerarem as diversas relações e proporções que neles se encontram”.

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO

LONGO DA HISTÓRIA

“A matemática é um método lógico....A proposição matemática não exprime pensamento algum. De fato, nunca precisamos de proposições matemáticas

na vida, mas as empregamos apenas com o fim de, a partir de proposições que não pertencem á

matemática tirar conclusões que se expressam em proposições que tampouco lhe pertencem”.

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO

LONGO DA HISTÓRIA

• Ciência do possível

• Possível: buscar aquilo que não é contraditório

• Essa concepção não relaciona a matemática à lógica • David Hilbert e a axiomatização da matemática

• Kurt Gödel pôs em dúvida a não-contradição da

matemática, afirmando que só conseguimos fazer isso em partes

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO

LONGO DA HISTÓRIA

“A matemática pode ser construída como simples cálculo, sem exigir interpretação alguma. Torna-se,

então, um sistema axiomático no qual: 1º todos os

conceitos básicos e todas as relações básicas devem ser completamente enumerados, integrando-se neles, por meio de definição, quaisquer conceitos ulteriores; 2º os axiomas devem ser completamente enumerados e destes

deduzidos todos os outros enunciados em conformidade com as relações básicas... A matemática constitui, então,

um sistema perfeitamente autônomo... e desenvolve-se em todas as direções possíveis... e que não levem a

contradições”.

A matemática é somente uma linguagem para

descrever a realidade ou a ela está associado a algum

conteúdo intrínseco?

Toda a realidade é “matematizável” ou

haverá partes da realidade que a

matemática não atinge? A matemática

“supera” o real?

As abstrações

matemáticas são “mais ricas” que a realidade?

O que uma distinção entre matemática pura e

matemática aplicada implica?

Seria possível à atividade teórica desvincular-se intencionalmente da atividade prática na matemática? O que é o concreto na matemática?

ABSTRATO X CONCRETO

TEORIA X PRÁTICA

COMO RESPONDER A ESSAS QUESTÕES?

Respostas do tipo sim ou não podem levar a respostas triviais

Respostas “definitivas” implica num modo de pensar “que se fundamenta numa estreita lógica

formal”. Isso pode conduzir a nada ou, dependendo do modo como se argumenta,

“A MATEMÁTICA É INDEPENDENTE DO

EMPÍRICO”

• Final do século XIX – matemática vista com

independente do empírico

“Como pode a matemática, sendo acima de tudo um produto do pensamento humano, independente

da experiência, se adaptar tão admiravelmente à realidade objetiva?”

“A MATEMÁTICA É INDEPENDENTE DO

EMPÍRICO”

“Somos de raça divina e possuímos o poder de criar”

Richard Dedekind

“Deus fez os inteiros, todo o resto é trabalho do homem”

Leopold Kronecker

• O matemático é o criador do próprio universo

DEPENDÊNCIA X INDEPENDÊNCIA

DO MUNDO EMPÍRICO

• Exemplos históricos de “descobertas de teoremas”

sugeridos anteriormente pelo empírico:

• Teorema de Pitágoras

• Newton, Kepler, Tycho Brahe e Galileu

• Limite estabelecidos para as raízes empíricas e a

esforço de novidade

Física de Newton

O ESFORÇO DE NOVIDADE DE BACHELARD E

A CONCEPÇÃO IDEALISTA DE MATEMÁTICA

• O esforço de novidade surge colocando-se em

dúvida e rompendo com o significado inicial dos conceitos

• Idealismo: a razão determina o real, ou seja, o real

passa a ser um caso particular do possível

"Denomina-se idealista quem admite que os corpos têm somente existência ideal em nosso espírito, negando

assim a existência real dos próprios corpos e do mundo”

O ESFORÇO DE NOVIDADE DE BACHELARD E

A CONCEPÇÃO IDEALISTA DE MATEMÁTICA

“Aquele que admite neste mundo somente espíritos é um idealista”

Alexander Gottlieb Baumgarten

“Idealismo é a teoria que declara que os objetos existem fora do espaço ou simplesmente que sua existência é duvidosa e indemonstrável, ou falsa e

impossível” Immanuel Kant

Platão

Mundo real e

mundo ideal

Kant

Matemática como

“construção de

conceitos”

Aristóteles

Coisas sensíveis e

coisas inteligíveis

Bachelard

Matemática, história

e obstáculos

epistemológicos

“A MATEMÁTICA É OU NÃO É

INDEPENDENTE DO EMPÍRICO?”

PENSAMENTO MATEMÁTICO E

EXPERIÊNCIA

• As abstrações matemáticas possuem uma raiz

empírica , mesmo que aqueles que as manipulam não tenham total consciência

• “Vulgarização” da geometria e as “tentativas” de se

afastar do empírico

• Real como subproduto da imaginação e o

distanciamento do concreto

• A atividade do matemático é “livre e

desinteressada”

“Em toda construção abstrata há um resíduo intuitivo (da experiência concreta) que é impossível eliminar”

“A MATEMÁTICA É O ESTUDO DAS

ESTRUTURAS ABSTRATAS”

• A abstração constitui-se matéria-prima para a

matemática pura

• O maior equívoco, segundo Machado (2013), é a

desvinculação entre abstrato e concreto

Empírico Teórico

• O pensamento, através do sensório-material, busca

o racional

• O conhecimento proveniente das coisas sensíveis

gera o senso comum

• O conhecimento científico provém do sensível, mas

também da interpretação e da análise do que se observa

≠

Sensorial Racional ≠

• No empírico, o objeto é representado somente

através de suas manifestações mais significativas

• O conhecimento teórico se origina à partir de uma

elaboração racional dos dados do empírico

• Existem situações em que o teórico é que passa a

originar o empírico

≠

Sensorial Racional ≠

Empírico Teórico

Real

Sincrético

Teórico

Real

O real sincrético não pode ser confundido com o real produzido pelo teórico

• Pensar que o concreto conduz ao abstrato leva a

“um beco sem saída”: as abstrações são cada vez mais distantes do real

• Há o caminho de ida e de volta do abstrato ao

concreto, porém é preciso discernir o ponto de partida (multifacetado) do concreto-ponto de chegada (reduzido a uma

representação do real)

• O pensamento se afasta do concreto para que,

em seguida, aproxime-se dele novamente

Pensamento Teórico

Experiência Sensorial

“Grande parte das dificuldades especiais que são atribuídas ao conhecimento matemático decorre justamente do fato de a matemática ser

considerada o lugar das abstrações, é

consequência disso. Entretanto, não são suas características intrínsecas que a empurram para

o terreno das abstrações, mas sim as

características, digamos, impostas, ou que nos acostumamos a associar-lhes. Quando

considerada de um ponto de vista

epistemológico mais consistente, a matemática é o lugar das abstrações tanto quanto o são a

Música, ou a Literatura, por exemplo”. (MACHADO, 2013, p. 93-94)

“A MATEMÁTICA ENSINA A PENSAR”

coisa ou alguma coisa, e de alguma forma”

Pensamento Latu

Sensu

•Processo autônomo

em relação á

linguagem

•Relações entre

conceitos decorrem

de suas identidades

Pensamento

Matemático-Formal

•Linguagem como

condição de

legitimidade

•Relações

determinam os

conceitos

"Do mesmo modo que todo mundo há de aprender a linguagem e a escrita antes de

poder servir-se livremente delas para a expressão de seus sentimentos, aqui só há urna maneira de eludir o peso das fórmulas. E

esta consiste em adquirir tal domínio do instrumento [...] que, sem trava alguma da

técnica formal, possamos encarar os verdadeiros problemas...”

PENSAMENTO E LINGUAGEM

• O pensamento se processa através de operações

que podem ser inexprimíveis

• Mas, o pensamento não pode estar desligado da

linguagem, de modo que, um pensamento mal comunicado acaba sendo perdido

• O pensamento matemático caracteriza-se pelas

relações; o todo dá significado às partes

“Concluindo, podemos dizer que a matemática ajuda a pensar assim como a física, a história, a

biologia, assim como pensar ensina a pensar” (MACHADO, 2013, p. 99).

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E

IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO

• “A matemática é independente do empírico”

• “A matemática é o estudo das estruturas abstratas” • “A matemática ensina a pensar”

• “A matemática é estática, a-histórica e

dogmática”

• “O professor de matemática é o portador do

verdadeiro matemático”

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E

IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO

Particular

Geral

Conhecido

Desconhecido

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E

IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO

A resolução de problemas enfatiza a manipulação de material concreto ou

manipulativo como precedentes às operações formais da matemática, buscando a significação

do conteúdo

A matemática sendo concebida como um sistema de conceitos/ideias inter-relacionadas

deve ser organizada de modo que os alunos sempre tenham conhecimento dos conteúdos

CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E

IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO

Há uma estreita relação entre a concepção de matemática do professor e a prática pedagógica

Contudo, não é frutífero limitar a concepção de matemática do

professor, mas deve-se permitir que ele possa atuar em práticas diferentes, de

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• ABBAGNANNO, Nicolá. Dicionário de Filosofia. São

Paulo: Martins Fontes, 2007.

• BARALDI, Ivete Maria. Refletindo sobre as

Concepções de Matemática e suas Implicações para o Ensino diante do ponto de vista dos alunos. Mimesis. v. 20, n. 1, p. 7-18, 1999.

• MACHADO, Nilson José. Alguns lugares-comuns:

crítica. In: Matemática e Realidade: das

concepções às ações docentes. 8ª ed. São Paulo: Cortez, 2013.