Aplicação do modelo de Markowitz em fundos de previdência com diferentes otimizadores e a importância da diversificação com um ETF externo

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2 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – UFF

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

NITERÓI Julho / 2020

Aplicação do Modelo de Markowitz em Fundos de Previdência com diferentes otimizadores e a importância da diversificação com um ETF Externo AUTOR: BERNARDO DE CARVALHO GALVÃO

ORIENTADOR: PROF. ANTÔNIO CARLOS

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BERNARDO DE CARVALHO GALVÃO

Aplicação do Modelo de Markowitz em Fundos de Previdência com diferentes otimizadores e a importância da diversificação com um ETF Externo

Projeto final apresentado à Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para obtenção do título de Engenheiro de Produção.

ORIENTADOR: ANTÔNIO CARLOS MAGALHÃES DA SILVA, D.SC.

Niterói, RJ 2020

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BERNARDO DE CARVALHO GALVÃO

Aplicação do Modelo de Markowitz em Fundos de Previdência com diferentes otimizadores e a importância da diversificação com um ETF Externo

Projeto final apresentado à Universidade Federal Fluminense como requisito parcial à obtenção do título de Engenheiro de Produção.

Aprovado em 07 de julho de 2020

BANCA EXAMINADORA

_______________________________________________________ Prof. Antônio Carlos Magalhães da Silva, D.Sc. – Orientador

Universidade Federal Fluminense

_______________________________________________________ Prof. Ricardo Bordeaux Rego, D.Sc.

Universidade Federal Fluminense

_______________________________________________________ Prof. Marcos Costa Roboredo, D.Sc

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Resumo

A aprovação da Reforma da Previdência pelo Senado Federal em outubro de 2019, aliado à Resolução 4.444 de 13 de novembro de 2015 aprovada pelo Conselho Monetário Nacional em 2015, está trazendo mudanças para a indústria de Fundos de Previdência. Com a maior exigência para aposentadoria, tanto em tempo de contribuição como idade, a tendência é que maior número de pessoas recorra à previdência privada, fato este verificado com o aumento do número de Fundos de Previdência e o volume de reservas destes investimentos. Vale destacar o aumento da concorrência, principalmente com a chegada de gestoras independentes neste segmento. Devido a esse cenário de aumento da busca por fundos de previdência e aumento dessa oferta, faz-se necessário mostrar aos investidores uma importante metodologia de alocação de portfólio, a qual ajuda a escolher em qual fundo investir da melhor forma. Portanto, seguindo a clássica Teoria Moderna de Portfólio, desenvolvida por Markowitz em 1952, que, com base na relação risco-retorno de uma carteira, busca a alocação de ativos que otimize determinado parâmetro, foi desenvolvido uma ferramenta de programação matemática que retorna a carteira otimizada, conforme parâmetro definido pelo usuário. Trabalhando com fundos de previdência com exposição a ações, com uma janela móvel de dados de 5 anos e com dados de 2010 até 2018, foi gerada 4 carteiras para cada um dos 5 anos entre 2015 e 2019. Os portfólios gerados para cada ano foram o de menor variância global, de maior retorno, o de maior índice de Sharpe e o de maior índice de Sortino. A performance acumulada de cada carteira foi comparada com a performance acumulada dos fundos de previdência existente e foi comparado a performance dessas carteiras sem o Exchange-traded fund IVVB11. Os resultados obtidos mostram que as carteiras otimizadas para obter o maior retorno e para obter o maior índice de Sortino superaram a imensa maioria dos fundos de previdência do mercado. Além disso, por meio do uso do IVVB11 foi demonstrado a importância da diversificação para uma carteira previdenciária, pois além de estar presente em todas as carteiras, quando esse ativo é retirado da base de investimento, as carteiras otimizadas têm rendimento consideravelmente pior dos que os portfólios com o ETF.

Palavras-chave: Teoria Moderna de Portfólio, Markowitz, Fundos de Investimento Previdenciário, Diversificação

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Abstract

The approval of the Pension Reform by the Federal Senate in October 2019, together with Resolution 4,444 of November 13, 2015 approved by the National Monetary Council in 2015, is bringing changes to the Pension Fund industry. With the greater requirement for retirement, both in terms of contribution and age, the tendency is for a greater number of people to resort to private pension, a fact verified with the increase in the number of Pension Funds and the volume of reserves for these investments. It is worth noting the increased competition, mainly with the arrival of independent managers in this segment. Due to this scenario of increased demand for pension funds and an increase in the offer, it is necessary to show investors an important portfolio allocation methodology, which helps to choose which fund to invest in the best way. Therefore, following the classic Modern Portfolio Theory, developed by Markowitz in 1952, which, based on the risk-return ratio of a portfolio, seeks to allocate assets that optimize a certain parameter, a mathematical programming tool that returns the optimized portfolio was developed, according to the user-defined parameter. Working with pension funds with exposure to shares, with a mobile data window of 5 years and with datas from 2010 to 2018, 4 portfolios were generated for each of the 5 years between 2015 and 2019. The portfolios generated for each year were the lowest global variance, the one with highest return, highest Sharpe index and the one with highest Sortino index. The accumulated performance of each portfolio was compared with the accumulated performance of existing pension funds and with the performance of these portfolios without the Exchange-traded fund IVVB11. The results obtained show that the portfolios optimized to obtain the highest return and to obtain the highest Sortino index exceeded the vast majority of the pension funds in the market. In addition, the use of IVVB11 demonstrated the importance of diversification for a pension portfolio, since in addition to being present in all portfolios, when this asset is removed from the investment base, the optimized portfolios have considerably worse yields than portfolios with the ETF.

Keywords: Modern Portfolio Theory, Markowitz, Private Pension Funds, Diversification

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SUMÁRIO 1 Introdução ... 12 1.1 Contextualização ... 12 1.2 Formulação da Situação-Problema ... 14 1.3 Objetivo ... 15 1.4 Importância do Estudo ... 15 1.5 Limitação do Estudo ... 15 2 Revisão Bibliográfica ... 16

2.1 O Sistema Previdenciário Brasileiro ... 16

2.2 S&P500 e Exchange Traded Funds (ETF) ... 24

2.3 Teoria Moderna De Portfolios ... 26

2.2.1 Retorno esperado de uma carteira ... 26

2.2.2. Risco de um ativo ... 27

2.2.3. Ativo livre de risco ... 27

2.2.4. Rentabilidade de um ativo ... 27

2.2.5. Coeficiente de correlação e covariância ... 28

2.2.6. Variância da carteira ... 28

2.2.7. Premissas e conceitos da teoria de markowitz ... 29

2.2.8. Diversificação ... 30

2.2.9. Capital asset pricing model - CAPM ... 31

2.2.10. Índice de Sharpe ... 32

2.2.12 Índice de Treynor ... 33

2.2.13. Índice de Sortino ... 34

2.2.11. Fronteira Eficiente ... 34

2.2.14. Teoria dos Mercados Eficientes ... 36

3 Metodologia ... 37

3.1 Etapas ... 38

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3.3 Coleta de Dados ... 38

3.4 Desenvolvimento do modelo matemático ... 39

3.5 Simulação do modelo matemático ... 39

3.6 Análise e conclusão dos resultados obtidos ... 39

4 Análise e discussão de resultados ... 39

4.1 Perfil dos ativos analisados ... 39

4.2 Descrição da Ferramenta ... 41

4.3 Saídas (Outputs) do Modelo ... 43

4.4 Portfólios Otimizados ... 45 4.4.1 2015 ... 45 4.4.2 2016 ... 47 4.4.3 2017 ... 50 4.4.4 2018 ... 52 4.4.5 2019 ... 54

4.5 Análise das Carteiras ... 57

4.5.1 2015 ... 58 4.5.2 2016 ... 59 4.5.3 2017 ... 60 4.5.4 2018 ... 61 4.5.5 2019 ... 62 4.5.6 Acumulado ... 63 5 CONCLUSÃO ... 68 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 71 7 ANEXOS ... 74

7.1 Anexo A – Ativos analisados por carteira ... 74

7.2 Anexo B – Código Fronteira Eficiente ... 76

7.3 Anexo C – Código Carteira Sortino ... 78

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7.5 Anexo E – Carteira e Fronteira Eficiente -2016 – Sem IVVB11 ... 81

7.6 Anexo F – Carteira e Fronteira Eficiente -2017 – Sem IVVB11 ... 82

7.7 Anexo G – Carteira e Fronteira Eficiente -2018 – Sem IVVB11 ... 83

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LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Número de Fundos e Patrimônio Líquido ... 13

Gráfico 2 – CPFs na Bolsa de Valores Fonte: Hístorico pessoas físicas – Site B3 .... 14

Gráfico 3 - Fundos de Previdência – ativos totais (Em % PIB) Fonte: OECD Global Pension Statistics (2014) ... 18

Gráfico 4 - Fundos de Previdência – Alocação dos investimentos (Em % dos ativos totais) Fonte: OECD Global Pension Statistics (2014) ... 19

Gráfico 5 – Distribuição de investimento por Classe de ativos Fonte: Relatório Integrado de Previdência 2018 - Previc ... 19

Gráfico 6 – Prêmio e contribuição por produto ... 20

Gráfico 7 - As maiores instituições - Prêmio e contribuição por produto Fonte: Planos de Acumulação 10/2019 – Fenaprevi ... 21

Gráfico 8 - Carteiras consolidadas das EAPCs e EFPCs Fonte: Abrapp ... 22

Gráfico 9 - Benefícios da diversificação Fonte: Ross et al (2003) ... 30

Gráfico 10 - Security Market Line Fonte: IFA - Institute for Financial Analysts... 32

Gráfico 11 - Risco e retorno de uma carteira de dois ativos em função da correlação. Fonte: Junior et al (2002)... 35

Gráfico 12 - Capital Market Line – Fonte: BASHAR, Syeda M.; SHAOWN, Jubairul I ... 36

Gráfico 13 - IVVB11 x USD/BRL x IShares Core (IVV) - Fonte: Bloomberg - Elaboração Própria ... 41

Gráfico 14 - Retorno Acumulado e Taxa Selic ... 47

Gráfico 15 - Retorno acumulado das carteiras - 2015 ... 59

Gráfico 16 - Comparação entre o retorno acumulado dos ativos - CDI, IBOV e IVVB11 ... 59

Gráfico 17 - Retorno acumulado das carteiras - 2015 e 2016 ... 60

Gráfico 18 - Retorno acumulado das carteiras - até 2017 ... 61

Gráfico 19 - Retorno acumulado das carteiras - até 2018 ... 62

Gráfico 20 - Retorno acumulado das carteiras ... 65

Gráfico 21 - Comparação entre carteiras - Com e sem IVVB11 ... 68

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Distribuição EAPC - Fonte: Relatório Integrado de Previdência - Previc 17

Tabela 2 - Retornos Mensais – Meses de 2013 Fonte – Elaboração Própria ... 42

Tabela 3 – Matriz de correlação entre 8 fundos - Janela de dados: 2013 – 2017 Fonte – Elaboração Própria ... 42

Tabela 4 - Carteira de menor variância global - 2015 ... 45

Tabela 5 - Carteira de maior Sharpe – 2015 ... 46

Tabela 6 - Carteira de maior retorno – 2015 ... 46

Tabela 7 - Carteira de maior Sortino – 2015 ... 46

Tabela 8 - Carteira de menor variância - 2016 ... 48

Tabela 9 - Carteira de maior Sharpe ... 49

Tabela 10 - Carteira de maior retorno - 2016 ... 49

Tabela 11 - Carteira de maior Sortino - 2016 ... 50

Tabela 13 - Carteira de maior Sharpe - 2017 ... 51

Tabela 14 - Carteira de maior Retorno - 2017 ... 51

Tabela 16 – Carteira de menor variância - 2018 ... 53

Tabela 17 – Carteira de maior Sharpe 2018 ... 53

Tabela 18 - Carteira maior Retorno - 2018 ... 54

Tabela 21 – Carteira de maior Sharpe - 2019 ... 56

Tabela 22 – Carteira de maior Retorno - 2019 ... 56

Tabela 24 - Performance das Carteiras - 2015 ... 58

Tabela 29 - Performance das Carteiras - Acumulado... 64

Tabela 30 - Comparação de performance - Fundos x Carteiras ... 66

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Fronteira Eficiente - Carteira 2015 ... 44

Figura 2 - Portfólios possíveis - Retorno médio mensal x Sortino - 2015 ... 44

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1 Introdução

1.1 Contextualização

No dia 12 de novembro de 2019, o congresso brasileiro promulgou a reforma da Previdência (PEC 6/2019), vista por muitos analistas como extremamente necessária para o equilíbrio das contas públicas do país. A previdência Social atualmente (2020) vem trabalhando com um déficit superior a R$ 195 bilhões de reais o que já levou diversos autores questionarem sua sustentabilidade de longo prazo como Beltrão, Giambiagi, Mendonça e Ardeo (2004), Pinheiro (2008) e, Schwarzer, Pereira e Paiva (2009).

A reforma trouxe diversas mudanças na regra de aposentadoria do trabalhador brasileiro, como a idade mínima de aposentadoria de 62 anos para mulheres e 65 para os homens, aumento do tempo mínimo de contribuição para garantia do benefício no Regime Geral, 15 anos para mulheres e 20 para homens, além da reformulação no cálculo do benefício. Todas as mudanças irão impactar o mercado previdenciário e a tendência, segundo especialistas, é que a procura por previdência privada aumente, visto a maior exigência da previdência Social.

Segundo Jakita (2019), Henrique Diniz, superintendente de Previdência da Icatu Seguros, uma das maiores gestoras de fundos de previdência do Brasil, disse em entrevista ao jornal O Estado de S. Paulo, que existe uma correlação entre o avanço da reforma da Previdência, até o momento da sua entrevista na câmara dos deputados, com a busca pelas alternativas complementares no mercado financeiro. Segundo Jakita(2019), Henrique Pocai, especialista de Previdência da XP Investimentos, maior corretora de investimentos independente do país, afirmou em entrevista ao Jornal Estadão que ao passo que regras mais rígidas para a Previdência são discutidas, as pessoas começam a pensar em alternativas que garantem uma aposentadoria com qualidade.

Segundo Nascimento (2019), Jorge Nasser, presidente da Federação Nacional de Previdência Privada e Vida (FenaPrevi), em entrevista ao Estadão disse que a reforma da Previdência estimulou o brasileiro a planejar sua previdência, mas esse fato teve contribuição do aumento de produtos de previdência privada. No final de 2015, o Conselho Monetário Nacional (CMN), aprovou a Resolução 4.444 de 13 de novembro de 2015 que possibilitou que os fundos previdenciários tivessem maior possibilidade de diversificação. A principal categoria de fundo afetado foi o de ações. A exposição mínima a esse produto era de 49% da carteira, depois da resolução passou a ser de 70%, com 10% podendo ser investida no exterior.

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Segundo a FenaPrevi[a], as novas contribuições para fundos de previdência privada, até outubro de 2019, atingiram o montante de R$ 101,4 bilhões no ano, valor 17,9% maior que o do mesmo período de 2018. Já a captação líquida no período foi de R$ 28,5 bilhões em 2018 para R$ 42,2 bilhões no mesmo período de 2019.

O Gráfico 1 abaixo mostra a evolução da quantidade de fundos de Previdência e do patrimônio líquido (PL) total desses fundos para os últimos 10 anos, sempre usando o mês de janeiro como base. Os fundos utilizados para esse gráfico fazem parte de alguma das seguintes classificações da Anbima: Previdência Ações, Previdência Ações Indexados, Previdência Ações Ativo, Previdência Multimercado com RV e Previdência Multimercado Livre, mesma classificações que serão utilizadas para esse estudo.

O gráfico deixa claro, tanto o significativo aumento de oferta de fundos de previdência, como também o aumento do capital investido nesses fundos. No início de 2017, existiam 182 fundos e o patrimônio líquido total era de aproximadamente 22 bilhões de reais, 3 anos depois, o número de fundos praticamente triplicou chegando a 523 fundos e o PL total dos fundos chegou a 170 bilhões de reais. Vale citar que nesta indústria de fundos de previdência, gestoras de fundos de investimentos como a Alaska, Claritas, Constellation, JGP, entre outras, criaram seus fundos de previdência a partir de 2018, o que mostra que a competição por esse tipo de investimento irá ficar cada vez maior.

Gráfico 1 – Número de Fundos e Patrimônio Líquido Fonte: Quantum Axis

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1.2 Formulação da Situação-Problema

Conforme descrito no capítulo anterior, a popularidade dos Fundos de Investimento Previdenciário vem crescendo anualmente e, pós reforma da previdência, a tendência é que cresçam ainda mais, de acordo com especialistas do mercado, Nascimento (2019) e Jakita (2019). Os fatores macroeconômicos como baixo índice de inflação e queda na taxa básica de juros tem tornado outros ativos como ações e fundos de investimentos multimercados cada vez mais atrativos para o investidor brasileiro. Em março de 2020, o número de pessoas físicas cadastrada na B3, bolsa de valores Brasileira, bateu recorde chegando à marca de 2,24 milhões de CPF. Desde 2017, ano marcado pelo ínicio da forte redução da taxa de juros no Brasil, o número de CPFs cadastrados na Bolsa de Valores cresce consideravelmente, como mostra o gráfico abaixo.

Entretanto, o investimento do Brasileiro associada à previdência privada ainda é pequeno quando comparada a outros fundos, o que indica, junto a outros fatores, a enorme possibilidade de crescimento que esse mercado tem pela frente.

Em 1952, no periódico Portfolio Selection, Harry Markowitz propôs a teoria conhecida como Teoria Moderna de Portfólios. Respeitando restrições imposta pelo investidor, o modelo otimiza a alocação de recursos em termos de risco-retorno. Portanto, o presente estudo busca unir esta teoria ao contexto do mercado de fundos Previdenciários no Brasil e buscar a alocação ótima de recursos em determinados tipos de fundos

Gráfico 2 – CPFs na Bolsa de Valores Fonte: Hístorico pessoas físicas – Site B3

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1.3 Objetivo

O presente projeto tem por objetivo principal a aplicação da Teoria Moderna de Portfólios, proposta por Harry Markowitz, em Fundos de Previdência dado que até julho de 2020, a literatura pouco aborda essa teoria nesse contexto. Com aplicação dessa teoria, o estudo tem por objetivos específicos:

1. Desenvolver uma ferramenta que dê ao usuário o poder de gerar carteiras ótimas para Fundos de Previdência, seja qual for o intervalo de tempo. 2. Gerar carteiras ótimas para diferentes otimizadores em cada ano estudado,

além de comparar as respectivas performances entre elas e com os fundos de previdência existentes.

3. Inclusão de um ativo (Exchange Trade Fund) correlacionado com a Bolsa norte-americana de fácil acesso por investidores locais (IVBB11)

4. Analisar a importância da diversificação para a carteira de investimento previdenciário e o impacto do IVVB11 no risco-retorno dos portfolios

1.4 Importância do Estudo

Como demonstrado anteriormente, a indústria de fundos de previdência vem crescendo significativamente nos últimos anos, tanto em termo de oferta, medida pelo número de fundos, quanto pela demanda, medida pelo Patrimônio líquido dos fundos. Aliado a isso, a aprovação da Reforma da Previdência pelo poder legislativo e da Resolução 4.444/15 pelo CMN tornaram o investimento nesses fundos necessários e atrativos, segundo especialistas no mercado financeiro.

Dessa forma, o presente estudo é de relevância na área acadêmica pois irá discorrer sobre gestão de portfólio e a diversificação para uma carteira de investimento previdenciária, auxiliando o investidor a melhor gerir seu futuro pós aposentadoria.

1.5 Limitação do Estudo

Este estudo apresenta algumas limitações como o período analisado que vai de 2010 até 2018. Apesar de ser um período consideravelmente grande e suficiente para a análise, ele é marcado por crises internas que impactaram de forma significativa o rendimento dos ativos brasileiros. Em contra partida, um período de pós crise de 2008 no exterior que foi marcado pela ótima performance de vários ativos interacionais. Além disso, pelo fato da amostra ser

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composta somente por fundos com cotas em todos úteis de cada janela móvel de 2008 a 2017; há viés de sobrevivência, pois recentemente foram lançados vários fundos de previdência privada que têm taxas de administração mais baixas e maior concorrência por desempenho.

2 Revisão Bibliográfica

2.1 O Sistema Previdenciário Brasileiro

O sistema de previdência do Brasil é dividido em dois grandes segmentos: a previdência pública e a privada. O sistema público, Previdência Social (PS), é de total responsabilidade do estado, é obrigatório e tem como objetivo principal a garantia de renda ao cidadão quando este perde a capacidade de produzir ou atinge a aposentadoria. A PS é um sistema de repartição simples e seu funcionamento ocorre em regime de caixa, ou seja, os benefícios atualmente pago pelos trabalhadores em atividade, são usados para financiar os aposentados. Dessa forma, uma geração de trabalhadores é responsável por financiar a aposentadoria da geração anterior sem um regime de capitalização, segundo Amaral (2013).

De acordo com Giambiagi et al (2017), com o envelhecimento da população e consequente mudança no contexto demográfico da população, a sustentabilidade desse modelo se tornou ainda mais difícil, pois a população idosa no Brasil irá mais do que dobrar até 2050 e, atualmente, o país já tem um gasto elevadíssimo com o sistema previdenciário quando se comparado ao tamanho da sua população idosa

Já a previdência privada, que pode ser usado como um auxílio ao sistema público quando esse sozinho não for capaz de garantir a renda desejada, pode ser de dois tipos: EFPC (Entidade Fechadas de previdência complementar) e EAPC (Entidades abertas de previdência complementar). As EFPC são conhecidas como fundos de pensão. Segundo Pulino (2007), elas são entidades civis sem fins lucrativos no qual o plano previdenciário de seus membros é organizado por empresas, denominadas patrocinadoras, que têm o objetivo de garantir os benefícios aos membros dessas entidades que são os empregados dessas empresas. Embraer Prev, fundo de pensão da Embraer S/A e Petros, fundo de pensão da Petrobrás S.A, são duas das maiores Entidades Fechadas de previdência do Brasil. As EFPCs estão subordinadas a PREVIC (Superintendência Nacional de Previdência Complementar) e seguem as diretrizes da CNPC (Conselho Nacional de Previdência Complementar). geradas por esse fenômeno econômico, que por sua vez, pode prejudicar o crescimento econômico.

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Os planos de previdência privada complementar podem ser divididos em três tipos de planos de benefícios: Contribuição Definida (CD), Benefício Definido (BD) e Contribuição Variável (CV):

● Contribuição Definida: O acúmulo de sucessivos aportes do patrocinador e do beneficiário até a sua aposentadoria são os recursos a serem recebidos pelo beneficiário após a aposentadoria.

● Benefício Definido: A empresa tem responsabilidade por gerir os recursos e garantir a aposentadoria do beneficiário. Por isso, ela assume o risco da operação e os participantes têm conhecimento do valor do benefício a ser recebido após cumprir todos os pré-requisitos impostos pela empresa.

● Contribuição Variável: Une as características do CD na fase de acumulação e contribuição e do BD na aposentadoria por meio de rendas vitalícias.

A tabela abaixo ilustra a distribuição do sistema Fechado de Previdência Complementar dentre os planos e o ativo total de cada um deles.

Os fundos de previdência oferecem benefício fiscal, o que permite dedução das contribuições anuais da base do cálculo do imposto de renda, tendo limite de 12% da renda tributável. O imposto de renda só ira incidir no momento do resgate e segue a tabela progressiva ou regressiva vigente, a depender do plano escolhido, Brito (2016)

Silva (2005) afirma que tem ocorrido no mundo uma tendência de redução da participação dos planos BDs e aumento da participação dos planos CDs, tendo como motivo principal o fato de empresas não estarem mais dispostas a assumir total responsabilidade sobre a aposentadoria dos beneficiários, pois é incapaz de controlar todas as variáveis no qual sua performance está sujeita.

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Segundo Góes (2005), baseado no modelo implementado nos Estados Unidos da América (EUA), o primeiro modelo de previdência adotado Brasil foi o de Benefício definido. Entretanto, existem algumas diferenças entre as formas que as empresas patrocinadoras podem tratar esses fundos em seus balanços e demonstrativos no Brasil e nos EUA. No Brasil, as empresas não podem incorporar aos seus resultados os superávits obtidos através de seus fundos de pensão. Por esse motivo, além das variáveis que afetam a performance da empresa que ela não controla, as empresas estão migrando dos planos BD para planos CD ou misto, dessa forma, elas reduzem o risco, pois passam a dividir o risco com o beneficiário e não tem a obrigação a retornar determinado nível de benefício para os participantes no futuro.

O gráfico abaixo indica os ativos totais dos fundos de previdência em diversos países do mundo. No Brasil, o valor corresponde somente ao montante pertencente as entidades fechadas de previdência complementar. Porém, dado que essa é a entidade mais relevante em termos de ativos totais, o gráfico mostra o baixo valor se comparado a outros países da América como Chile e Estados Unidos.

A alocação dos recursos também é bem diferente quando comparado a outros países do mundo. Como mostra o gráfico abaixo, os fundos dos Estados Unidos e do Reino Unido têm uma alocação menor em títulos, porém com uma maior participação de outros investimentos e ações. Já nos países da américa latina, os títulos têm grande peso na carteira dos fundos e representam pelo menos metades dos ativos. Já a categoria de outros investimentos é bem menor, principalmente no Chile e no México.

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O gráfico abaixo mostra uma visão mais detalhada da distribuição das carteiras de investimentos dos Planos Fechados de previdência no Brasil. Elas são bem concentradas em Título Públicos. Eessa classe de ativos representa, em média, 55% dos ativos sob custódia das Entidades Fechadas, enquanto ações representam 17% e título privados 11%.

As EAPC são abertas a todos sem qualquer restrição de investimento. Elas são entidades que operam como sociedade anônimas, podem ou não ter fins lucrativos, e tem como objetivo garantir os benefícios previdenciários na forma de renda continuada ou pagamento único dos seus participantes. Elas são fiscalizadas por instituições diferentes das EFPCs, o Ministério da Fazenda em conjunto com o CNSP (Conselho Nacional de Seguros Privados) e da SUSEP (Superintendência de Seguros Privados).

Gráfico 5 – Distribuição de investimento por Classe de ativos Fonte: Relatório Integrado de Previdência 2018 - Previc

Gráfico 4 - Fundos de Previdência – Alocação dos investimentos (Em % dos ativos totais) Fonte: OECD Global Pension Statistics (2014)

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Como pode ser utilizado por toda a população, as Entidades Abertas de previdência complementar serão utilizadas como foco deste trabalho. Plano Gerador de Benefício Livre (PGBL) e Vida Gerador de Benefício Livre (VGBL) são os dois principais planos das EAPCs, ambos modelos apresentam a mesma regra de funcionamento. A remuneração dos benefícios previdenciários é baseada na rentabilidade obtida pela carteira de investimento do fundo durante o período de acumulação no qual o participante teve dinheiro aportado no fundo de previdência.

O PGBL tem as características de um plano de previdência e possuí benefício fiscal, pois permite a dedução das contribuições quando for realizado o cálculo do Imposto de Renda em um limite de até 12%, desde que a declaração da pessoa física seja realizada na forma “completa”. Além disso, o imposto de renda só será incidido sobre a renda no momento de resgate do fundo, diferentemente de outros fundos de investimentos como multimercado e de ações que apresentam o imposto conhecido como “come-cotas”. No momento de contratação dos serviços, o beneficiário deve escolher a tabela regressiva do imposto de renda que começa com alíquotas de 35% quando a retirada se dá em até dois anos do investimento, mas pode chegar até 10% caso o aporte seja mantido no fundo por mais de 10 anos.

Já o modelo VGBL funciona como uma espécie de seguro de vida com cobertura no caso de sobrevivência, por isso ele não é caracterizado como plano previdenciário e sim como seguro de vida. Porém, a Susep em seu relatório de acompanhamento de mercado trata o VGBL como um produto de acumulação semelhante ao PGBL. Assim como no caso do PGBL, o imposto só incide no momento de resgate ou recebimento de valores.

Segundo a Federação Nacional de Previdência Privada e Vida (FENAPREVI), até outubro de 2019, as entidades abertas captaram R$ 42,2 bilhões líquidos no ano. Além disso, como comprovado pelo gráfico abaixo, há predominância do modelo VGBL no mercado das Entidades Abertas.

Gráfico 6 – Prêmio e contribuição por produto Fonte: Planos de Acumulação 10/2019 – Fenaprevi

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O gráfico abaixo ilustra as principais entidades responsáveis por gerenciar os fundos de previdências privadas e ainda qual é a relação entre os planos previdenciário dentro de cada instituição.

De acordo com dados da Associação Brasileira das Entidades dos Mercados Financeiro e de Capitais (ANBIMA), os fundos de previdência já representam, aproximadamente, 17% do total de capital investido em fundos no Brasil. Essa tendência já vem sendo analisada há um tempo e análises dessa categoria de fundos também.

Vieira (2013), tendo como princípio a importância da previdência complementar para a garantia da qualidade de vida do brasileiro após o período laboral, analisou a evolução do mercado desse tipo de previdência entre o período de 1995 e 2012. Este trabalho constatou que as entidades abertas ganharam relevância expressiva, passando de uma relação entre reserva técnica sobre PIB de 0,3% em 1995 para 7,4% do PIB em 2012. Essa evolução foi baseada no aumento do valor das contribuições, impulsionado pelo aumento de novas adesões que cresceu 538% no período. Já as entidades fechadas que tinham um coeficiente reserva técnica/PIB de 10,6%, atingiu 15,2% em 2012, aumento proporcionado, principalmente, pela rentabilidade das reservas existentes.

Gráfico 7 - As maiores instituições - Prêmio e contribuição por produto Fonte: Planos de Acumulação 10/2019 – Fenaprevi

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O gráfico abaixo mostra exatamente essa evolução das EAPCs frente às EFPCs. A taxa média de crescimento anual para os fundos fechados foi de aproximadamente 4% ao ano, enquanto os fundos abertos cresceram a uma taxa de praticamente 14% ao ano. Vale ressaltar que, durante esse período, as carteiras consolidadas das EAPCs sempre cresceram, já as EFPCs sofreram com algumas reduções das carteiras ao longo dos anos. Algumas previsões já indicam que no futuro, o valor administrado por fundos abertos será maior do que administrado por fundos fechados.

Beltrão et al (2004) afirmou que a previdência privada crescia e ganhava importância no cenário econômico brasileiro junto com desenvolvimento da legislação. Com mudanças no cenário macroeconômico, ocorreu aumento da responsabilidade de auto assistência para o trabalhador, ou seja, ele garantir sua própria aposentadoria, e, nesse contexto, os fundos de previdência privada têm papel crucial, pois surge como uma das opções para garantia do benefício futuro ao participante.

Cardoso (2006), por meio de avaliadores de performance como índice de Sharpe, Treynor e o Alpha de Jensen, reuniu os fundos de previdência complementar dos tipos Balanceados, Multimercado e Renda fixa que haviam sobrevivido até então e elaborou, em duas janelas 2001/2002 e 2003/2004, uma análise de persistência de performance baseada nesses indicadores de desempenho. Através do coeficiente de correlação de Spearman, Pearson e o teste Qui-Quadrado, o autor concluiu que, de forma estatística, rentabilidade passadas não são garantias de rentabilidade futura para esses fundos. Os fundos de renda fixa foram os únicos

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que apresentaram persistência de performance, mas a hipótese não pode ser considerada com certeza, pois no Alpha de Jensen eles não apresentaram persistência na maioria dos resultados. Lima (2006), por meio do índice de Sharpe, analisou o desempenho dos fundos de previdência do tipo PGBL e, selecionando apenas os que tinham patrimônio superior a R$ 100 milhões nos anos de 2003 e 2004, concluiu que não havia excesso de retorno entre o CDI e os retornos obtidos por esses fundos no período citado.

Campani & Brito (2017), baseado em problemas recorrentes em países como Suécia, Reino Unido e Dinamarca, analisaram, entre os anos de 2005 até 2015, se as altas taxas de administração cobradas pelos fundos de PGBL e VGBL eram justificadas por uma gestão ativas dos ativos desses fundos. Por meio de uma análise dinâmica de estilos, via janela móveis, e por uma análise via filtro de Kalman, os autores encontraram indícios de passividade na gestão dos fundos das cinco maiores instituições de previdência privada no Brasil. Eles ainda concluíram que é possível criar uma carteira de investimento baseada nos fundos conservadores dessas instituições e um ETF de índice de ações que replique o Ibovespa ou IBr-X, atingindo maiores retornos com menos volatilidade do que os fundo de previdência privada dessas instituições.

Medeiros (2015) ao analisar 99% dos fundos de previdência de renda fixa, concluiu, baseado no Índice de Sharpe Histórico desses fundos, que os fundos de previdência estudados não obtiveram um retorno satisfatório dado o risco tomado na gestão dos ativos desses fundos. Mesmo o grupo de fundos estudados denominado pelo autor como Master, 38 fundos que representam cerca de 90% do volume de recurso do setor, que apresentaram um excesso de retorno frente ao benchmark (CDI), mas devido à alta taxas de administração esse excesso não chega de maneira expressiva no investidor.

Castro (2010) ao comparar fundos de previdência de renda fixa com os fundos de investimento de renda fixa tradicionais, tendo como amostra fundos geridos por cinco bancos concluiu que todos os bancos presentes no estudo apresentaram uma gestão semelhante com foco no curto prazo, considerando o período de análise os retornos dos anos de 2005 a 2010.

Yang et al. (2010) compararam o desempenho dos fundos de previdência e de investimento na categoria Renda Fixa por meio do indicador Alfa de Jensen. Os autores concluíram que na categoria “Referenciados DI” os fundos de previdência obtiveram melhor desempenho que os fundos de investimento, já na categoria Renda Fixa, o resultado foi o oposto.

Mendonça (2017) comparou através do Índice de Sharpe e do Índice de Modigliani (Índice M²), dois grupos de fundos de previdência e fundos de investimento no período entre 2002 e 2015. A primeira comparação foi entre fundos de previdência de renda fixa e fundos de

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investimento de renda fixa, a segunda foi entre fundos de previdência exceto de renda fixa e fundos de investimentos exceto renda fixa. O estudo mostrou que os fundos não Renda Fixa tiveram retornos médios maiores, porém apresentaram maior risco que foi medido pelo desvio padrão dos retornos no período. A autora também concluiu que nenhum fundo de previdência de Renda Fixa obteve resultado positivo nos índices analisados e somente um da categoria de não Renda Fixa teve o indicador M² positivo na média dos 15 anos analisados. Já para os fundos de investimento, 30% dos fundos de Renda Fixa e 57% dos não Renda Fixa apresentaram índices positivos para o período analisado.

Keiser (2007), por meio de uma pesquisa enviada à amostra do estudo, fundos de entidades fechadas de previdência, que representou 14,23% da população, analisou a correlação entre o porte do ativo administrado e a quantidade de modelos financeiros utilizados para a gestão desses ativos. A autora que concluiu 80% dos fundos de pensão da amostram utilizavam o modelo VaR (Value at Risk) e que 74% deles utilizavam o modelo ALM (Asset-Liability Management). Também foi observado uma forte correlação entre o valor dos ativos administrados pelos fundos e a quantidade de modelos financeiros utilizados por eles. O motivo pelo qual os fundos de menores portes utilizam menos modelos financeiros não pode ser atribuída à falta de crença na efetividade dos modelos. Por último, foi concluído que, à época, os fundos tinham baixa porcentagem do capital alocado em renda variável.

2.2 S&P500 e Exchange Traded Funds (ETF)

Um índice do mercado é usado para representar o desempenho de uma classe de ativos ou segmento de um mercado e, por isso, muitas vezes são utilizados como benchmarks para avaliação da performance de fundos de investimentos. Eles geralmente são criados como portfólios de ativos individuais, chamados de ativos constituintes do índice. Um índice tem um valor numérico calculado a partir dos preços de mercado (reais quando disponíveis ou estimados) de seus ativos constituintes em um determinado momento.

De acordo com o site da S&P Dow Jones Indices, o Standard & Poor's 500 (S&P 500) é um dos mais famosos índices de mercado. Ele foi criado em 1957 pela S&P Dow Jones Indices e reflete a performance das ações das 500 maiores empresas em capitalização da bolsa de valores americanas, portanto é classificado como Índice ponderado pela capitalização de mercado e cobre aproximadamente 80% da capitalização de mercado da bolsa americana. O S&P 500 possui pesos com base proporção na capitalização de mercado (preço atual das ações multiplicado pelo número de ações em circulação) de cada ação do índice sobre a capitalização

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do mercado de todas empresas do índice. Este tipo de índice pode ser comparado a um portfólio no qual o valor do ativo no portfólio tem a mesma proporção do valor total de capitalização de mercado desse ativo e a capitalização de todos os valores mobiliários incluídos no índice.

Atualmente, os ativos que compõe o índice representam aproximadamente 3,4 trilhões de dólares e mais de 9,9 trilhões de dólares estão indexados ao S&P 500 ou tem esse índice como benchmark.

Segundo a B3, o ETF de Ações é fundo negociado em Bolsa que faz sua capitalização com objetivo de aplicar o patrimônio em um portfólio de ações que busca retornos que se assemelham ao máximo, à performance, antes de taxas e despesas, de um índice de referência. Qualquer índice de ações que seja reconhecido pela Comissão de Valores Mobiliários (CVM), pode ser utilizado como índice de referência do ETF.

De acordo com Aragão (2011), o modelo de gestão do ETFs possibilita que eles tenham um menor custo tanto de gestão como de administração, pois como o objetivo é replicar o retorno de um índice, o gasto com análises e formação de tese de investimentos é muito menor quando comparada à um gestora com fundos de gestão ativa. Dessa forma, os ETFs se apresentam como uma ótima opção de investimento, pois apresentam taxas atrativas. Dado que os ETF representam uma diversidade de ativos resumidas a apenas uma cota, com negociação a qualquer momento na bolsa de valores, os ETFs representam uma simplificação da gestão de recursos, Valadares (2013).

O primeiro ETF lançado no Brasil foi o PIBB (Papéis Índice Brasil Bovespa) lançado pelo Banco Itaú e que tinha o objetivo de replicar o índice IBrX–50. Atualmente, a gestora americana BlackRock se destaca com uma das maiores gestoras de ETFs do Brasil e também do mundo. Dentre os ETFs da gestora estão: BOVA11(iShares Ibovespa Fundo de Índice) que buscar replicar o retorno, antes de taxas e custos, do índice Ibovespa, SMLL11(iShares BM&FBOVESPA Small Cap Fundo de Índice) replica o retorno de uma carteira composta por ações com menores valores de capitalização listadas na bolsa brasileira, e o IVVB11 (iShares S&P 500 Fundo de Investimento – Investimento No Exterior). Este ETF tem como objetivo replicar o índice americano S&P500 e permite que os investidores brasileiros possam ter exposição à empresa de outro país e à cotação do câmbio USD/BRL.

O IVVB1, segundo regulamento do fundo, tem como índice alvo o ativo iShares Core S&P 500 ETF, registrado sob o Código ISIN US4642872000, também gerido pela BlackRock e negociado na bolsa dos Estados Unidos. Esse ETF tem como objetivo alcançar retornos de investimentos que correspondam à performance, antes de despesas e taxas, do Índice S&P500.

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Além disso, a composição da cesta de ativos do IVVB11 terá, no mínimo, 95% do seu valor representado por Cotas do índice alvo.

Dessa forma, a performance do IVVB11 está sujeita a variação cambial USD/BRL, pois a imensa maioria do seu portfólio é investido em um ativo da bolsa americana e sua cotação é feito em Real. Portanto, com a valorização do dólar frente ao real, a cotação em real aumenta, pois uma mesma quantidade de dólar passa a representar uma maior quantidade de real. O contrário também ocorre, com uma valorização do real frente ao dólar, a cotação do IVVB11 diminui, pois, a mesma quantidade em dólar passa a valer menos reais.

2.3 Teoria Moderna De Portfolios

A teoria moderna de carteiras, proposta por Markowitz (1952) no periódico “Portfolio Selection”, foi amplamente disseminada no meio acadêmico e profissional e é muito utilizada até hoje. Ele propôs que olhar apenas o retorno dos ativos não era a melhor maneira de se avaliar um portfólio e que é possível obter uma alocação de ativos mais eficientes por meio da avaliação da relação entre risco e retorno de uma carteira. Ele ainda demonstra que a diversificação é uma das principais formas de se obter uma boa relação de risco e retorno. Para maior aprofundamento nessa discussão, alguns conceitos precisam ser definidos antes.

2.2.1 Retorno esperado de uma carteira

Segundo Markowitz, o retorno esperado de uma carteira com mais de um ativo é composto pela média ponderada dos retornos dos ativos que fazem parte da carteira, tendo como base a porcentagem de alocação de cada ativo. Portanto podemos definir como a expressão a seguir:

𝑅𝑝 = ∑𝑛_𝑥=1𝑊𝑖 ∗ 𝑅𝑖 Onde:

Rp = Retorno esperado da carteira Wi = Peso do ativo na carteira Ri = Retorno Esperado do ativo n = número de ativos na carteira

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2.2.2. Risco de um ativo

Para Markowitz, o risco de cada ativo é expresso pela volatidade dos retornos históricos, ou seja, o desvio padrão(σ) da amostra utilizada define o risco inerente àquele ativo. O desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância(σ²), baseado na fórmula abaixo:

𝜎2 _{= ∑}𝑛 _{(𝑥𝑖 − 𝜇)}2_{/(𝑛 − 1)} 𝑥=1

Onde:

x = dado da série

𝜇 = Média aritmética da série n = tamanho da amostra

2.2.3. Ativo livre de risco

Um ativo livre de risco é, na teoria, o ativo que não oferece nenhum risco ao investidor, ou seja, ele tem certeza de que irá receber o valor acordado no início da transação. Dado a definição de risco, este ativo apresenta um desvio padrão igual zero, o que exatamente o caracteriza como livre de risco. Usa-se a taxa de um título público como ativo livre de risco, de forma geral, eles não são totalmente livres de default dado o histórico de pagamento de dívidas de diversos de países como o Brasil, porém, ele é o ativo de menor risco e por isso, na realidade brasileira, será usado como ativo livre de risco.

2.2.4. Rentabilidade de um ativo

Para aplicar a Teoria Moderna de Portfolio é necessário calcular o retorno( R) dos ativos no período determinado. Para calcular esse retorno é necessário a cotação dos períodos analisados ajustada a qualquer evento, por exemplo pagamento de dividendos ou amortização, que cada ativo possa ter sofrido. A rentabilidade é calculada dado a seguinte fórmula:

𝑅𝑒𝑛𝑡𝑡(𝑥) =

(𝐶𝑜𝑡𝑎𝐴𝑑𝑗_𝑡(𝑥)−(𝐶𝑜𝑡𝑎𝐴𝑑𝑗_𝑡−1(𝑥)) (𝐶𝑜𝑡𝑎𝐴𝑑𝑗𝑡−1(x) Onde:

𝑅𝑒𝑛𝑡𝑡(𝑥) = Rentabilidade do ativo no período t

𝐶𝑜𝑡𝑎𝐴𝑑𝑗_𝑡(𝑥) = Cotação do ativo no último dia do período t 𝐶𝑜𝑡𝑎𝐴𝑑𝑗𝑡−1(𝑥)= Cotação do ativo no último dia do período t-1

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2.2.5. Coeficiente de correlação e covariância

A medida de coeficiente de correlação irá indicar o grau de dependência linear entre as variáveis observadas. No caso da Teoria Moderna de Portfólio, a correlação é utilizada para mensurar o grau de dependência das taxas de retornos dos ativos dado o período escolhido.

De acordo com Markowitz, esse coeficiente assume valores que vão de -1 até +1. Valores negativos indicam que os ativos têm correlação negativa, ou seja, a taxa de retorno desses dois ativos tende a se mover em direção opostas. Já valores positivos indicam que os retornos tendem a se mover na mesma direção e uma correlação igual zero indica que os retornos são descorrelacionados e os rendimentos são independentes entre eles.

A correlação de duas variáveis é medida pela relação entre a covariância e o produto do desvio padrão desses dois ativos. A covariância assume valores infinitos e indicam a relação linear entre duas variáveis. A covariância pode ser calculada por:

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)(𝑌𝑖 − 𝑌̅) 𝑛 − 1 𝑛 𝑥=1 Onde: Xi e Yi = dados da série

𝑋̅ 𝑒 𝑌̅ = Média aritméticas das séries n = tamanho da amostra

Portanto, o indicador de correlação pode ser definido como:

𝐶𝑜𝑟(𝑋, 𝑌) =𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) σx ∗ σ𝑦

2.2.6. Variância da carteira

Tendo calculado o retorno esperado de cada ativo, é possível calcular a covariância entre eles e, por consequência, a variância total de uma carteira de investimento. Ponderando a porcentagem de participação de cada ativo da carteira, é possível calcular o risco total da carteira. A variância (Var) pode ser calculado por:

𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑎𝑟𝑡) = ∑ ∑ 𝐶𝑂𝑉(𝑖, 𝑗)𝑋_𝑖𝑋_𝑗 𝑁

𝑗=1 𝑁

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Onde:

𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑎𝑟𝑡) = Variância da Carteira

𝐶𝑂𝑉(𝑖, 𝑗) = Covariância entre os ativos i e j

2.2.7. Premissas e conceitos da teoria de markowitz

Ao elaborar a Teoria Moderna de Portfólio, Markowtiz percebeu a existência de fronteiras eficientes entre as carteiras baseada na combinação entre os ativos da carteira. Portanto, ele busca montar um portfólio que estivesse exatamente nessa fronteira eficiente, pois são que trazem uma melhor relação entre retorno esperado dado o risco da carteira. Para essa teoria ser realidade, o autor definiu algumas premissas fundamentais que são:

a) Os investidores escolhem os portfolios baseado nas suas preferências individuais com a combinação de risco e retorno que maximiza a função utilidade esperada;

b) Os investidores são avessos ao risco, ou seja, dado um nível de retorno, os investidores irão escolher a composição de portfólio que trouxer o menor risco para aquele dado retorno;

c) Os investidores são racionais. Irão sempre escolher a carteira de maior retorno dado o mesmo nível de risco;

d) Os ativos são infinitos, permitem que os investidores comprem quaisquer frações de determinado ativo;

e) Não existe qualquer custo de transação, impostos ou qualquer outro fator de custo impeditivo a negociação de ativos

f) Os investidores possuem expectativas homogêneas, isto é, todos têm a mesma opinião sobre os retornos esperados, desvio padrão dos retornos e sobre as correlações do retorno entre os ativos.

Portanto, baseado nessas premissas, Markowitz argumenta que retorno é que o investidor deseja e risco é o que ele evita, logo, as carteiras devem apresentar o menor risco possível. Nesse cenário, a diversificação faz-se tão importante, Markowitz afirma que o retornos dos ativos apresentam, na maioria das vezes, correlação entre eles e, portanto, ela deve ser levada em consideração na hora de escolher os ativos de uma carteira, visando sempre reduzir o risco do portfólio por meios das relações entre as taxas de retorno dos ativos que a compõe.

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Gráfico 9 - Benefícios da diversificação Fonte: Ross et al (2003)

2.2.8. Diversificação

Segundo Ross et. Al (2003), os ativos individuais apresentam dois tipos de riscos, o sistemático e o não sistemático. O risco sistemático, conhecido também como não diversificável ou risco de mercado, é aquele que irá afetar praticamente todos os ativos na economia, não na mesma intensidade, mas praticamente todos serão, de alguma forma, afetados, como por exemplo variação em variáveis como PIB, taxa básica de juros, inflação. Já o risco não-sistemático irá afetar somente parte dos ativos de uma economia nos quais performances sofrem influências da mesma variável afetada, como por exemplo empresas de um mesmo setor. Já o risco total de um ativo é a soma desses dois riscos.

Portanto, a diversificação quando não realizada somente por diversificar, mas tendo como base a correlação entre os ativos de uma carteira, é extremamente benéfica para o investidor. Isso ocorre, pois ao diversificar, é possível praticamente zerar a influência do risco sistemático a carteira deixando somente o risco de mercado que, como explicado, não pode ser diversificado.

O gráfico abaixo demonstra exatamente essa relação entre os dois tipos de riscos e uma carteira diversificada:

Portanto, quando a mesma variável de risco afetas todas as empresas ou ativos de uma economia, a mais alta diversificação não impede a carteira de ser afetada por essa variável. Ou seja, podemos diminuir o desvio padrão de um portfólio alocando em ativos que tenham

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correlação negativa entre si, mas não podemos reduzir esse risco à zero, pois todos ativos estão expostos ao risco não diversificável.

2.2.9. Capital asset pricing model - CAPM

O CAPM é um dos modelos de precificação de ativos de Capital mais usados tanto no mundo acadêmico como no âmbito profissional. Ele teve como base a teoria das carteiras de Markowitz e foi desenvolvido por Sharpe (1964). O objetivo de Sharpe foi relacionar Risco e retorno de um ativo quando analisado a partir de um portfólio de ativos diversificados. Portanto, ele elabora uma fórmula que relaciona o retorno de um ativo ao seu beta, beta é o coeficiente que compara a sensibilidade de um ativo ao risco sistêmico. Ou seja, o β indica qual é o risco sistemático daquele ativo baseado em uma carteira de ativos suficientemente diversificado no qual minimiza o risco não-sistemático, tendo como o único risco o risco de mercado. O β pode ser calculado pela seguinte fórmula:

β =

𝐶𝑜𝑣(𝑖,𝑚𝑘𝑡)

σ² 𝑚𝑘𝑡 Onde:

Cov(i,mkt) = Covariância dos retornos i’s do ativo com o retorno do mercado σ² = Variância do retorno do mercado

A partir da definição do β e de como medir o risco de um ativo baseado em uma carteira diversificada, é possível calcular qual retorno exigido para um ativo baseado na sensibilidade dele ao risco sistemático. Logo, de acordo com o CAPM, o retorno esperado para um ativo pode ser definido por:

𝑅𝑒 = 𝑅𝑓 + 𝛽(𝑅𝑚 − 𝑅𝑓)

Onde:

Re= Retorno Esperado do Ativo Rf = Taxa juros livre de risco Rm = Retorno do mercado

A equação do CAPM deixa claro que, nesse modelo, o investidor só é recompensado pelo risco não diversificável, já que o risco diversificável seria eliminado por meio da diversificação. Portanto, quanto maior for a sensibilidade do ativo dado à variação do retorno

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Gráfico 10 - Security Market Line Fonte: IFA - Institute for Financial Analysts

do mercado, maior será o risco desse ativo e, consequentemente, maior será seu retorno esperado.

Quando o β de um ativo for igual a zero é possível perceber que o Retorno esperado é a taxa livre de risco, ou seja, se o β é zero, ele não tem risco sistemático. Além disso, a equação do CAPM é uma equação linear onde β é coeficiente angular e taxa livre de risco é o coeficiente linear. Portanto, a equação pode ser plotada em um gráfico que demonstre a relação entre β e o retorno esperado do ativo. A linha que evidencia a equação é conhecida como Security Market Line (SML), linha do mercado de valores mobiliários, como mostra o gráfico abaixo.

2.2.10. Índice de Sharpe

William Sharpe em 1966 desenvolveu uma das medidas de avaliação mais utilizada pelo mercado para análise de performance de uma carteira de ativos, o Índice de Sharpe (1966). Baseado na definição de risco proposta por Markowitz, o índice de Sharpe avalia quanto de rentabilidade a carteira entregou além da taxa livre de risco dado cada unidade de risco da carteira que é medido pelo desvio padrão da carteira no período estudado. O índice de Sharpe é definido pela seguinte formula:

𝐼𝑆 =

(𝑅𝑝−𝑅𝑓)

𝜎𝑝 Onde:

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RP= Retorno da Carteira Rf = Taxa juros livre de risco σp = Risco da Carteira

Quanto maior o índice de Sharpe, melhor é a performance daquela carteira de investimento, pois isso significa que, para cada, unidade de risco tomada pela carteira, ela conseguiu entregar um retorno maior, gerando uma maior compensação pelo risco tomado. De forma geral, um IS acima de 1, indica que para cada unidade de risco da carteira, ela retornou, pelo menos, mais de 1% de rentabilidade além da taxa livre de risco. Um valor entre 0 e 1, indica que para cada unidade de risco, a carteira gerou um retorno entre 0 e 1% além da taxa livre de risco. Já um Sharpe negativo, indica que a carteira teve uma rentabilidade negativa em x% para cada unidade de risco tomada.

O índice de Sharpe é um dos principais índices utilizados pela indústria de fundos de investimentos para medir a qualidade de uma gestora, exatamente pela capacidade de mostrar se o fundo entrega uma rentabilidade relevante para cada unidade de risco que ele toma.

2.2.12 Índice de Treynor

O índice de Treynor (1965) foi desenvolvido um ano antes do Índice de Sharpe e a sua fórmula apresenta semelhanças com o IS. Para Treynor, o prêmio de uma carteira poderia ser medida basicamente relacionando o excesso de retorno comparado a taxa livre de risco e a medida de risco sistemático de uma carteira(β). O IT pode ser calculado por:

𝐼𝑇 =

(𝑅𝑝−𝑅𝑓)

𝛽𝑝 Onde:

RP= Retorno da Carteira Rf = Taxa juros livre de risco 𝛽p = Beta da Carteira

A interpretação do índice de Treynor é semelhante ao índice de Sharpe. Para qualquer valor acima de 1, significa que a carteira obteve um excesso de retorno de pelo menos 1% acima da taxa livre de risco para cada unidade de risco sistemático da carteira no período analisado. Qualquer valor menor que zero, indica que para cada unidade de risco, a carteira entregou um retorno de x% a menos do que a taxa livre de risco.

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2.2.13. Índice de Sortino

Assim como Sharpe, o índice de Sortino (1994) também utiliza o risco total de uma carteira, porém, por entender que as oscilações positivas são benéficas ao investidor, o índice utiliza uma semi-variância desconsiderando todas as oscilações positivas do cálculo de risco da carteira, conceito conhecido como “downside risk”. Dessa forma, um fundo com menor retorno, mas com poucas oscilações negativas tende a apresentar um Índice de Sortino melhor que um fundo com alto retorno, mas tão volátil que apresente forte oscilações de baixa. Além disso, inicialmente Sortino adotava o retorno mínimo aceitável (MAR) ao invés da taxa livre de risco, em seus estudos mais recentes, passou a ser utilizado a taxa de retorno desejada pelo investidor. O índice de Sortino pode ser calculado por:

𝐼𝑆𝑂 =

(𝑅𝑝−𝑅𝐷𝐼)

1

𝑁√∑ 𝑀𝑖𝑛[(𝑅𝑝−𝑅𝐷𝐼),0]²𝑁1

Onde:

RP= Retorno da Carteira

RDI = Retorno Desejado Pelo investidor N = Número total de ativos

2.2.11. Fronteira Eficiente

Em 1959, Markowitz desenvolveu a teoria da Fronteira Eficiente. A fronteira eficiente é uma curva em um gráfico que representa a relação entre risco e retorno para um conjunto de carteiras. De acordo com Manganelli (2002), para um portfólio estar na fronteira eficiente, esse portfolio deve maximizar o retorno para determinado nível de risco.

Essa curva é descrita em um gráfico onde o eixo x representa o retorno esperado para o portfólio e o eixo y representa o risco da carteira, e ela representa todo os portfolios que maximizam o retorno para determinado nível de risco. Através dessa fronteira é possível determinar diversos portfolios. Os mais utilizados são: o que maximiza o retorno esperado da carteira e, por consequência, é a carteira de maior variância global na fronteira, e a carteira de menor variância global, minimizando o risco da carteira e sendo a carteira de menor retorno esperado de todos portfolios da fronteira. Junior et al (2002) baseado na fronteira eficiente para uma carteira com dois ativos, demostram casos no qual a correlação entre os dois ativos é diferente, concluindo que quanto menor a correlação, menor é o risco total da carteira.

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O investidor pode ter preferências diferentes à carteira de maior retorno esperado ou a de menor variância global e pode, por exemplo, querer uma carteira que maximiza o Sharpe da carteira. Como dito, o índice de Sharpe representa o retorno esperado por unidade de risco, portanto, o portfólio com o máximo Sharpe fornece o maior retorno esperado por unidade de risco e, portanto, pode ser considerado o mais eficiente em termos de riscos. Nesse cenário, se encaixa a Capital Allocation Line (CAL), linha que mostra combinações possíveis entre o ativo livre de risco e os outros ativos. Bodie et Al. (2004) afirma que a inclinação da linha é igual ao aumento do retorno esperado que um investidor pode obter por unidade de risco adicional, ou seja, retorno extra pôr unidade de risco.

Sharpe (1964), Lintner (1965) e Mossin (1966) complementaram o modelo média-variância ao argumentar que, dada uma taxa livre de risco, a combinação ideal de ativos de risco é dada pelo portfólio tangência, que é aquele que maximiza retornos superiores à taxa livre de risco por unidade de risco de volatilidade. De acordo com Markowitz (1991), o único “optimal portfolio” é o tangente entre a CAL e a fronteira eficiente. A Capital Allocation Line tangente a fronteira eficiente é a Capital Market Line (CML) e, baseado nas premissas da Teoria Moderna do Portfolio, a carteira formada por essa tangente é considerado o Market Portfolio, carteira que os investidores consideram como ótima. Portanto, esse é o portfólio de maior Sharpe. Como mostrado pelo gráfico abaixo, a CML é a reta de maior inclinação que forma uma combinação possível de portfólio entre o ativo livre de risco e os outros ativos.

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Para atingir um portfólio tangente à fronteira eficiente, cada ativo do portfólio deve ser ponderado de uma determinada maneira. Somente um ativo ou uma carteira de ativos igualmente distribuída provavelmente não irá atingir a fronteira eficiente. O processo de ponderação de ativos é de extrema importância para alcançar a fronteira eficiente. Portanto, a teoria de Markowitz nos mostra que o risco de um ativo se comporta de maneira diferente dentro da carteira quando comparado a ele isolado. Quando analisado dentro da carteira, a covariância do retorno esperado desse ativo com os outros que compõe a carteira pode indicar um risco de carteira completamente diferente dele sozinho.

A fronteira eficiente está associada aos dados históricos que são usados no modelo, como os retornos dos ativos não são fixos ao longo do tempo, os pesos no portfólio precisam ser realocados, pois sempre que houverem novos dados históricos, a fronteira eficiente será outra e a carteira precisa ser ajustada. Fatores macroeconômicos afetam o mercado e um setor específico da indústria flutua ao longo do tempo (De Bondt & Thaler, 1985). Além disso, uma carteira ineficiente expõe o investidor a um nível de risco sem um nível de retorno correspondente. Para Markowitz (1991), o objetivo dos investidores é, adequar as carteiras a um nível de tolerância ao risco, limitando ou evitando carteiras ineficientes.

2.2.14. Teoria dos Mercados Eficientes

Fama (1970) propôs três tipos de eficiência para os mercados: a fraca, semiforte e a forte. A fraca estabelece que os preços dos ativos refletem totalmente todos os dados disponíveis sobre o mercado de ativos, dessa forma, informação sobre preço e volumes

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passados não apresentam qualquer poder preditivos sobre o futuro desses ativos. A semiforte defende que o preço dos ativos representa totalmente todas as informações pública sobre os ativos. Já a forte defende que que o preço reflete todas as informações de fontes públicas ou privadas, ou seja, não há nenhum grupo que detenha informações privilegiadas sobre determinado ativo.

Para Fama (1995), mercados eficientes são aqueles que têm amplo número de investidores maximizadores de lucros, onde todos têm acesso às todas as informações sem qualquer empecilho ou custo e interpretam as informações de formas similares, e não há custo de transações no mercado de título. Dessa forma, vários investidores racionais competindo pela precificação de um determinado ativo, leva a uma situação que, em qualquer ponto no tempo, o preço atual daquele ativo reflete todas as informações referente àquele ativo. Isto é, em qualquer parte do tempo, o valor de mercado do ativo reflete seu valor intrínseco. Por esse motivo, Fama defende que as ações tomadas pelos investidores durante a competição para a precificação de um ativo, devem ocasionar variações randômicas nos preços dos ativos.

“Se a informação já está capitalizada no preço de uma ação, conhecê-la não fará de você um melhor investidor. Atirar dardos nas páginas financeiras do New York Times é uma estratégia de investimentos tão boa, como tentar acumular todas as informações disponíveis sobre qualquer ação, mesmo porque aquela não custa nada, enquanto a coleta de informações envolve um preço” (Thurow, 1984: 151).

Ainda segundo Fama(1970), a racionalidade do investidor torna impossível de se conseguir retorno adicional ao retorno do mercado ajustado ao risco corrido, ou seja, para Fama, é impossível ter uma carteira de ativos que corra igual ou menor risco que o mercado e tenha um retorno maior. Dessa afirmação vem a famosa frase: “You cannot beat the market”.

3 Metodologia

A técnica de pesquisa utilizada nesse trabalho é a técnica de pesquisa quantitativa. Fernandes e Gomes (2003) definem essa técnica como a que utiliza análise estatística, grandes e altamente representativas amostras e, visando estabelecer relações de causa e efeito, usa da indução, exame e análise de casos específicos.

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3.1 Etapas

Em ordem sequencial, o estudo é composto por 5 etapas principais que estão descritas abaixo:

I. Definição do objetivo do estudo II. Coleta de dados

III. Desenvolvimento do modelo matemático IV. Simulação do modelo

V. Análise e conclusão dos resultados obtidos

3.2 Objetivo do estudo

Tendo em vista a reforma da previdência e as mudanças nas legislações que regem os fundos de previdência e suas consequentes mudanças no mercado de fundos previdenciário, esse estudo tem por objetivo auxiliar investidores no processo de escolha de uma carteira de fundos de previdência. Ressaltando sempre a necessidade de se entender o perfil de cada investidor, o estudo analisa os fundos de previdência de ação, fundos de previdência multimercados com exposição a ações e o ETF IVVB11 para, aplicando o modelo de otimização de Markowitz, compor carteiras ideais para diferentes perfis. Após compor essas carteiras, o estudo visa comparar suas performances entre elas e com a performance dos fundos existentes, além de estudar a importância da diversificação possível através do ativo IVVB11.

3.3 Coleta de Dados

O presente estudo foi realizado exclusivamente com fundos que pertencem às categorias de fundos de previdência. Para a seleção dos fundos de cada janela, foram analisados todos os fundos de previdências que, além de ter cota em todos os dias da respectiva janela móvel utilizada, fazem parte de alguma das seguintes classificações da Anbima: Previdência Ações, Previdência Ações Indexados, Previdência Ações Ativo, Previdência Multimercado com RV e Previdência Multimercado Livre. Todos esses dados foram obtidos através da plataforma do Quantum Axis. Além disso, foi utilizado o ETF IVVB11 da gestora BlackRock juntamente com a variação cambial BRL/USD e a cotação do ETF iShares Core S&P 500, também da BlackRock, e esses dados foram retirados da plataforma Bloomberg. As duas plataformas utilizadas são pagas e é preciso assinatura dos serviços para ter acesso aos dados disponíveis.

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3.4 Desenvolvimento do modelo matemático

Devido à alta quantidade de ativos analisados, foi criado uma ferramenta no software R Studio com auxílio dos pacotes PortfolioAnalytics e PerformanceAnalytics. Dessa maneira, o processo de otimização matemática se torna mais rápido quando comparado a outras soluções como manual ou uso da ferramenta MS Excel.

O modelo desenvolvido calcula a carteira ideal para 5 janelas móveis diferentes, a primeira janela móvel analisa os dados de 2010 até 2014 e a última de 2014 até 2018. Dessa forma, ele gera, para cada otimizador utilizado, uma carteira ideal para cada um dos seguintes 5 anos: 2015, 2016, 2017, 2018 e 2019. Para cada ano serão geradas 4 carteiras: A de menor variância global, a de maior retorno, a de maior índice de Sharpe e a carteira de maior Sortino.

3.5 Simulação do modelo matemático

Após o desenvolvimento do modelo para resolução do problema, os resultados obtidos são analisados perante a consistência dadas todas as restrições do modelo algébrico. Além disso, outras variáveis e limitações são adicionadas ao programa para analisar a consistência dos resultados. Caso ocorra qualquer não-conformidade, o modelo se mostra incapaz de resolver o problema proposto e deve ser modificado e corrigido até que os resultados sejam compatíveis.

3.6 Análise e conclusão dos resultados obtidos

Ao final, com o fim da simulação e o programa apto a resolver o problema, os resultados obtidos são analisados. Dessa forma, a performance acumulada de cada carteira, baseada no otimizador, é analisada e os resultados obtidos são comparados, tanto para estudar a diferença entre as carteiras e suas performances, como também para avaliar o mercado brasileiro de fundos de previdência e a importância da diversificação.

Aplicação do modelo de Markowitz em fundos de previdência com diferentes otimizadores e a importância da diversificação com um ETF externo

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – UFF

Resumo

Abstract

1 Introdução

2 Revisão Bibliográfica

β =

𝐼𝑆 =

𝐼𝑇 =

𝐼𝑆𝑂 =

3 Metodologia

4 Análise e discussão de resultados