Página 1 de 12 1. (Ufu 2015) O gráfico da função de variável real yf(x)ax2bxc, em que a, b e c são constantes reais, é uma parábola. Sabe-se que a função yg(x) 2 f(x 1) apresenta o gráfico que segue:
Nessas condições, o produto entre os valores da abscissa e da ordenada do vértice da parábola representando f(x) é igual a
a) 18. b) 6,5. c) 9. d) 4,5.
Resposta:
[D]Gráfico de 2f(x) obtido de translação horizontal do gráfico de g(x) para a direita.
Do gráfico acima, podemos escrever: 2f(x) a (x 4) (x 2) ( 5) a(1 4) (1 2) a 1
Daí, podemos escrever que: 2 2 x 2x 8 2f(x) x 2x 8 f(x) 2 Portanto, V V 1 x 1 1 1 2 8 9 y f( 1) 2 2
Página 2 de 12 O produto pedido será dado por ( 1) 9 4,5.
2
2. (Ufu 2015) Em função dos recentes problemas de escassez de água, uma prefeitura resolveu taxar o consumo de água nas residências segundo o que segue: para um consumo mensal de até 10m ,3 é cobrado um valor fixo de R$32,00; para um consumo mensal superior a esse valor, é cobrado R$32,00, mais um acréscimo linear, proporcional a R$5,00 por m3
consumido acima dos 10m .3
Os moradores de uma residência consumiram 8m3 de água em abril e, devido a um vazamento não percebido, houve uma elevação do consumo em maio. Esse consumo foi superior a 10m3 e elevou em 0,025% o valor efetivamente pago pelo m3 de água em relação ao que foi pago em abril.
Elabore e execute uma resolução de maneira a determinar: a) Qual foi o valor efetivamente pago por m3 de água em abril. b) Quantos m3 de água foram consumidos em maio.
Resposta:
a) O valor efetivamente pago por m3 de água em abril foi de 32 R$ 4,00. 8
b) Seja f : a função dada por
32, se 0 x 10 f(x) 32 (x 10) 5, se x 10 32, se 0 x 10 , 5x 18, se x 10
em que f(x) é o valor a pagar por um consumo de x m3 de água.
Sabendo que o valor efetivo pago por m3 de água em maio foi 0,025% superior ao de abril, segue que tal valor é igual a 1,00025 4 R$ 4,001. Em consequência, temos
3
4,001 5x 18 0,999x 18 x 18 m .
3. (Ufu 2015) Assuma que a função exponencial de variável real Tf(t) r e ,k t em que r e
k são constantes reais não nulas, representa a variação da temperatura T ao longo do tempo
Página 3 de 12 Sabendo que os valores f(1), f(2), f(3) e f(4) formam, nessa ordem, uma progressão
geométrica de razão 1
4 e soma igual a 255
,
128 então o valor de r é um número múltiplo de a) 9. b) 5. c) 3. d) 7.
Resposta:
[C] k 2k 3k 4k f(1) r e f(2) r e f(3) r e f(4) r e Como a sequência é uma P.G., podemos escrever que: k f(1) 1 1 r e f(1) f(2)4 4 4 Portanto, 255 1 1 1 1 255 85 255 f(1) f(2) f(3) f(4) r r r 6 128 4 16 64 256 128 256 128
Então, r é um número múltiplo de 3.
4. (Ufu 2015) Existe um grupo de n pessoas trabalhando em um escritório. Sabe-se que existem 780 maneiras de selecionar duas dessas pessoas para compor uma comissão representativa do grupo e a probabilidade de ser selecionado um homem desse grupo é 0,2
maior do que a probabilidade de escolha de uma mulher.
Elabore e execute um plano de resolução de maneira a determinar: a) Qual é o valor de n.
Página 4 de 12
Resposta:
a) Tem-se que n n! 780 780 2 2! (n 2)! n (n 1) 40 39 n 40. b) Seja h o número de homens no grupo. Logo, vem h 40 h 0,2 2h 40 8 40 40 h 24.
5. (Ufu 2015) Um modelo de piscina é formado por três partes, determinando três níveis d’água, conforme mostra o esquema a seguir.
A primeira tem a forma da metade de um cilindro circular de raio 1m e altura 0,3m; a segunda tem a forma de um paralelepípedo de 0,3m de comprimento, 2m de largura e 0,8m de altura, e a terceira também tem a forma de um paralelepípedo, com 3m de comprimento, 4m de largura e 2m de altura.
Suponha que a água dessa piscina esteja no nível da base do primeiro paralelepípedo (aquele de 0,8m de altura). Quantos metros cúbicos de água são necessários para encher de água essa piscina? a) 0,15π14,88 b) 0,15π10,08 c) 0,30π10,08 d) 0,30π14,88
Resposta:
[A]Página 5 de 12 Sejam V , V1 2 e V3 os volumes de cada uma das partes da piscina e V4 o volume de água inicialmente na piscina. 2 3 1 3 2 3 3 3 4 1 0,3 V 0,15 m 2 V 0,3 2 0,8 0,48 m V 3 4 2 24m V 3 4 0,8 9,6m π π Fazendo V1V2V3V4 0,15π14,88.
6. (Ufu 2015) O rendimento teórico de uma tinta é a quantidade necessária para pintar um metro quadrado de área e serve apenas para determinar o custo por metro quadrado da tinta. O rendimento real de uma tinta é calculado no final do trabalho executado que leva em conta o número de demãos (números de camadas de tintas necessárias para obter o resultado
esperado) e as perdas decorrentes da preparação e do método de aplicação. Admita que as perdas usando os diferentes métodos de pintura são estimadas em: pincel 10%, rolo 20% e pistola pneumática 25%.
Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque de combustível na forma de um cilindro circular de 10m de altura e raio da base igual a 2m. Sabe-se que a tinta a ser usada tem rendimento teórico de 20m2 por litro e que são necessárias duas demãos.
Determine a quantidade, em litros, de tintas necessárias para pintar esse tanque utilizando a pistola pneumática.
Dado: Use π3,14.
Resposta:
Supondo que apenas a superfície externa do cilindro será pintada, e sabendo que serão aplicadas duas demãos, a área que receberá a tinta é igual a 2 2 π 2 (2 10)301,44 m .2
Desconsiderando qualquer perda, a quantidade de tinta necessária para pintar o tanque seria de 301,44 15,072
20 litros. Porém, como a pistola pneumática desperdiça 25% da tinta utilizada, segue que o resultado pedido é 15,072 20,096
Página 6 de 12 7. (Ufu 2015) Em relação a um sistema de coordenadas x0y (x e y em metros), o triângulo
PQR tem ângulo reto no vértice R(3, 5), base PQ paralela ao eixo x e está inscrito no círculo de centro C(1, 1). A área desse triângulo, em metros quadrados, é igual a
a) 40. b) 8 20. c) 4 20. d) 80.
Resposta:
[C] 2 2 PM MQ MR (3 1) (5 1) 20 (raios) PQ 2 20 Portanto, a área do triângulo PRQ será dada por: 2 20 4
A 4 20
2
8. (Ufu 2015) Uma máquina moderna usa um sistema de coordenadas cartesianas xOy para representar a forma e a dimensão (mapear) dos objetos que serão cortados, furados etc.. Uma chapa metálica delgada triangular é mapeada pelo triângulo de vértices A ( 3, 0), B(1, 4) e
C(5,4) e será feito um furo circular de raio uma unidade de comprimento, com centro no centro de massa dessa chapa (baricentro do triângulo). Para realizar esse procedimento com precisão, a máquina calcula a equação cartesiana do círculo.
Elabore e execute um plano de resolução que conduza à determinação do centro de massa e da equação desse círculo.
Resposta:
Página 7 de 12 3 1 5 0 4 ( 4) G , (1, 0). 3 3
Portanto, como o raio do círculo é igual a 1, segue-se que a equação pedida é
2 2 2 2 2
(x 1) (y 0) 1 (x 1) y 1.
9. (Ufu 2015) Um lustre no formato cônico foi fixado ao teto por duas cordas linearmente esticadas, AC, BC, conforme indica a figura a seguir.
Suponha que o triângulo ABC seja retângulo com altura h CH 3 m 13
e CB 1m
4
e que, na figura, r é o raio da região circular S, de forma que r é igual ao dobro de AB.
Nessas condições, a área de S, em m ,2 é dada pela expressão: a) 169 100π b) 25 169π c) 144 169π d) 169 400π
Resposta:
[A] No ΔBHC, temos: 2 2 2 1 3 5 BH BH 4 13 52 Página 8 de 12 No ΔABC, temos: 2 2 1 5 13 BC AB BH AB AB 4 52 20
Portanto, o raio da região circular será dado por: 13 13
r 2
20 10
E a área da região será: 2 2 13 169 A m . 10 100 π π
10. (Ufu 2015) O polinômio de variável real yp(x)x3 a x29x a r2 é representado graficamente conforme ilustra a figura a seguir, em que r, r e a são constantes reais e encontram-se, nessa ordem, em progressão aritmética (P.A.).
Nessas condições, o valor de a é um número a) primo. b) ímpar. c) múltiplo de 5. d) divisível por 7.
Resposta:
[B]Se ( r, r, a) formam uma P.A., podemos escrever que a3r.
Utilizando a soma dos produtos das raízes duas a duas, temos: 2 9 r r r a ( r) a r 9 r 3 1
Como, a0 e a3r, concluímos que a9, portanto um número ímpar.
11. (Ufu 2015) Um financiamento de R$10.000 foi contratado a uma taxa de juros
Página 9 de 12 em 60 dias e a segunda em 90 dias após a efetivação do contrato. O valor de cada parcela desse financiamento é, aproximadamente, igual a
Dados: 1 (1 0,03) 1,03 (1 0,03) 21,0609 (1 0,03) 3 1,0927 1 1 0,9709 (1 0,03) 2 1 0,9426 (1 0,03) 3 1 0,9151 (1 0,03) a) R$5226,00. b) R$5383,00. c) R$5387,00. d) R$5282,00.
Resposta:
[B]Valor da dívida após 2 meses: 10.000 1,03
210.609 Valor da primeira prestação: xValor da segunda prestação(10.609 x) 1,03
Como as prestações são iguais, podemos escrever:
x(10609 x) 1,03
Resolvendo a equação acima concluímos que x é aproximadamente R$5.383,00.
12. (Ufu 2015) Um grande tanque de capacidade 500 litros contém, inicialmente, 100 litros de uma solução aquosa de cloreto de sódio, cuja concentração é de 5 gramas por litro. Esse tanque é abastecido com uma solução aquosa de cloreto de sódio, com concentração de 1
grama por litro, a uma vazão de 10 litros por minutos, e um mecanismo de agitação mantém homogênea a solução no tanque.
A concentração no tanque é a razão entre a quantidade do cloreto de sódio (em gramas g) e o volume de solução (em litros, ). Logo, a concentração no tanque, em g , no instante em que ele começa a transbordar, é:
a) 9 5
Página 10 de 12 b) 10 5 c) 54 50 d) 4 5
Resposta:
[A]Calculando, inicialmente, x a massa de sal na solução aquosa que se encontra no recipiente.
1L 5 g
100 L x
Portanto, x500 g.
Deverão ser colocados mais 400 L da segunda solução aquosa para que o recipiente fique cheio.
Consideremos y a massa de sal em gramas na segunda solução aquosa. 1L 1 g
400 L y
Portanto, y400 g.
Logo, a concentração de sal na mistura será dada por: L / g 5 9 500 900 500 500 400
13. (Ufu 2015) Os alunos do curso de Educação Física de uma instituição responderam a uma pesquisa que avaliou qual o seu esporte coletivo predileto: basquete, futebol ou vôlei. Todos responderam selecionando apenas uma opção. Os dados coletados foram parcialmente divulgados conforme indica o quadro a seguir.
Esporte Homens Mulheres Total
Futebol 130 70 200
Basquete 70 Vôlei
Total 268
Sabe-se que 194 é a média aritmética entre os totais das respostas das 3 opções, e que o número de mulheres optantes por vôlei é 20% superior ao de mulheres optantes por basquete.
Segundo essas informações, o número de maneiras de selecionar dois optantes por vôlei, sendo um homem e uma mulher, é igual a
a) 14016. b) 222. c) 12312. d) 380.
Página 11 de 12
Resposta:
[C]
Esporte Homens Mulheres Total
Futebol 130 70 200
Basquete 70 x = 90 Vôlei 114 1,2x = 108
Total 314 268 582
Se a média aritmética é 194, o total é 582, portanto o total de homens será 582 268 314.
O total de homens que preferem vôlei será dado por 314 130 70 114.
Na coluna das mulheres, temos 70 1,2x x 268 x 90 e 1,2x108.
Portanto, o número de maneiras de selecionar dois optantes por vôlei, sendo um homem e uma mulher, é igual a 114 108 12312.
14. (Ufu 2015) O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma rota retilínea AC
orientado por um farol F, localizado numa ilha. Ele pretendia determinar as distâncias do farol
F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o comandante obteve a medida FAC30 e, após percorrer 6 milhas marítimas, localizando-se em B, ele fez a medição do ângulo FBC, obtendo 60 . Observe a figura a seguir que ilustra esta situação.
De acordo com as informações, as distâncias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F, obtidas pelo comandante foram, respectivamente,
a) 2 3 e 3 3. 2 b) 2 3 e 4 3. c) 3 3 e 6 3. d) 3 3 e 3.
Resposta:
[C]Página 12 de 12 ˆ AFB30 ABBF6 milhas. No ΔFBH: sen60° FH 3 FH FH 3 3 milhas 6 2 6
No ΔFHA: sen30° 3 3 1 3 3 AF 6 3 milhas
AF 2 AF