Departamento de Engenharia Geográfica Geofísica e Energia
Sinal e Ruído Climáticos em Modelos de
Circulação Atmosférica
Joana Cristina Gouveia Figueiredo Freire
Doutoramento em Física
(Meteorologia)
Departamento de Engenharia Geográfica Geofísica e Energia
Sinal e Ruído Climáticos em Modelos de
Circulação Atmosférica
Joana Cristina Gouveia Figueiredo Freire
Doutoramento em Física
(Meteorologia)
2008
Tese orientada pelos Professores Doutores
Carlos da Camara e Jason Gallas
Agradeço de um modo especial ao Prof. Carlos da Camara toda a ajuda, tempo dispendido, e paciência ilimitada sempre demonstrada perante as minhas intermináveis dúvidas, bem como todas as facilidades, quer em meios de cálculo, quer em instalações, sem as quais não seria possível a concretização deste trabalho.
Agradeço de um modo muito especial ao Prof. Jason Gallas que sempre me deu o seu apoio incondicional e desmonstrou uma permanente disponibilidade. Agradeço também toda a sua ajuda a nível de trabalho e pessoal nas minhas deslocações à Alemanha e ao Brasil, essenciais para a concretização deste trabalho.
Ao Prof. Carlos Pires agradeço o interesse demonstrado neste trabalho, todos os seus conselhos e a sua preciosa colaboração.
Aos meus amigos Alberto Azevedo, Ana Jesus, Ana Russo, Fiona, Margarida Coelho, Patrícia Marques, Pedro Campos, Pedro Silva, Rita Durão e Sónia Lopes agradeço a sua amizade e a alguns deles (os ditos sabem a quem me refiro) a paciência e especial apoio dados ao longo destes longos quatro anos.
Agradeço a todos aqueles que se interessaram pelo desenvolvimento desta saga, especi-almente aos que conviveram comigo na Faculdade de Ciências, refiro-me à Célia Gouveia, ao Miguel Teixeira, ao Ricardo Trigo e à Teresa Calado.
Agradeço à Márcia e ao Jason a sua amizade e apoio em terras distantes, e ao Jason agradeço ainda o facto de me ter apresentado “a minha vida futura”.
Finalmente, mas não por último, agradeço aos meus Pais e ao Frank a possibilidade de completar este trabalho pois sem eles tal não teria sido possível.
A study is performed on the dynamical behavior of 1D totalistic cellular automata of class 4 and of Lorenz-84 model, both known for their complexity.
Systematic computer simulations involving 230 initial configurations reveal that all
complexity exhibited by rule 52 automaton originates from juxtaposition of a very small number of interfaces delimiting active/inactive patches. Such interfaces are studied with a sidewise spatial updating algorithm that allows proving that empirically found interfaces are the only possible ones for these periods, independently of the size of the automaton. Complexity originates from two sources: initial conditions and bifurcations inherent in the growth process. For initial conditions we derive an exact formula depending on the Möbius function, and provide examples illustrating that initial conditions are important to obtain structures that cannot be reached with standard timewise updating in lattices with periodic boundary conditions.
We study the dynamics of the Lorenz-84 model and report phase diagrams detailing the intransitivity observed in the climate scenarios supported by the model. Bifurcation analysis allows the identification of a wide parameter region where up to four climates co-exist and where the dynamical behavior depends crucially on subtle and minute tuning of the model parameters. Since the climate system is subject to seasonal forcing, we subject the Lorenz-84 model to periodic forcing injected via a one-way coupling with a harmonic oscillator. The obtained cyclodynamical system (CDS) is autonomous and the PDF of each attractor may be projected onto any fixed phase of the period (cycloclimate). When the CDS is transitive and chaotic, there is ergodicity of cycloclimates, i.e. cycloergodicity. The developed approach may be applied to others dynamical systems and allows assessing the capabilities a single long-run might have in adequately characterising the climate of a given model.
Keywords:
climate ensemble, Lorenz-84 model, complexity, intransitivity, cellular automaton.
Procede-se a um estudo do comportamento dinâmico de um autómato celular unidi-mensional totalístico de classe 4 e do modelo de Lorenz-84.
O estudo empírico da regra 52 mostra que o comportamento assimptótico observado pode ser obtido pela justaposição de um pequeno número de interfaces. O estudo destas interfaces, a partir de um algoritmo de evolução espacial, prova tratarem-se das únicas possíveis para aqueles períodos temporais, independentemente do tamanho do autómato. A complexidade do algoritmo é originada por duas fontes: condições iniciais e bifurcações derivadas do crescimento espacial. Para as condições iniciais deriva-se uma fórmula exacta baseada na função de Möbius e fornecem-se exemplos ilustratívos do facto das condições iniciais serem importantes para a identificação de padrões que não podem ser identifica-dos pelo procedimento usual da evolução temporal do autómato com condições fronteira periódicas.
Procede-se seguidamente a um estudo do comportamento dinâmico do modelo de Lorenz-84 e ao cálculo de diagramas de alta resolução da intransitividade do modelo. Uma análise de bifurcações no modelo permite identificar a existência de amplas regiões onde coexistem até 4 climas distintos, nas quais variações mínimas dos parâmetros força-dores podem provocar grandes alterações nos atractores (ou climas). Dado que o clima está sujeito a um forçamento sazonal, é injectado no modelo um forçamento periódico através do acoplamento com um oscilador harmónico. O sistema ciclo-dinâmico (CDS) obtido é autónomo e as PDF de cada atractor podem ser projectadas em qualquer fase do período (ciclo-clima). Quado o CDS é transitivo e caótico, ter-se-á ergodicidade dos ciclo-climas, isto é, ciclo-ergodicidade. Esta análise pode ser aplicada a outros sistemas dinâmicos e permite justificar a utilização da série temporal que caracteriza o clima de um dado modelo.
Palavras chave:
ensemble de clima, modelo Lorenz-84, complexidade, intransitividade, autómato celular.
1 Introdução 1
2 Conceitos gerais 5
2.1 O Sistema Climático . . . 5
2.2 Simulação do clima . . . 9
2.3 Modelos de baixa ordem com tempo contínuo . . . 11
2.3.1 Sistemas dinâmicos . . . 11
3 Complexidade com espaço-tempo discreto 17 3.1 Espaço-tempo discreto versus contínuo . . . 17
3.2 Autómatos celulares . . . 18
3.3 Estudo empírico da regra 52 . . . 21
3.4 Algoritmo de evolução espacial . . . 25
4 O modelo Lorenz-84 35 4.1 Descrição do modelo . . . 35
4.2 Enquadramento . . . 38
4.3 Diagramas de intransitividade . . . 42
5 Efeito de forçamento sazonal no modelo de Lorenz-84 51 5.1 Modelo forçado e sistemas ciclo-dinâmicos . . . 51
5.2 Características gerais das simulações . . . 54
5.3 Dependência com o ciclo anual . . . 55
5.4 Dependência com o forçamento térmico assimétrico . . . 63
5.5 Teste à ciclo-ergodicidade . . . 66
6 Conclusões 71 A Dedução do modelo de Lorenz de 1984 77 A.1 Modelo quase-geostrófico de duas camadas . . . 77
A.2 Redução a um sistema tridimensional . . . 90
Referências Bibliográficas 95
3.1 Padrões típicos gerados pela regra 20. Após um transiente, a actividade na rede resume-se a algumas estruturas complexas e localizadas gliders: três gliders estacionários e periódicos no tempo no centro da figura e um glider viajante à direita. . . 21 3.2 Padrões típicos gerados pela regra 52. Em cima: Assimptoticamente, o sistema tende
para extensas regiões de actividade sincronizada, 0 (branco) ou 1 (violeta), interconec-tadas por interfaces de transição onde ocorre actividade cíclica. Em baixo: As interfaces podem ser estáticas ou viajantes. As condições de fronteira periódicas podem levar a colisõesentre as interfaces e dar origem ao aumento de regiões de actividade sincronizada. 23
3.3 As sete interfaces elementares necessárias para produzir a complexidade assimptótica gerada pela regra 52. As interfaces de A a E fazem a transição entre fundos de cores distintas, enquanto que F e G fazem a transição entre fundos da mesma cor. Em ambos os casos, temos interfaces estáticas ou viajantes. O glider viajante T1 não é elementar,
mas sim a justaposição de B e B, o conjugado de B; viaja à “velocidade da luz” no sistema, ou seja, uma célula por passo de tempo. O glider G viaja a 1/9 célula por passo de tempo. Aqui e em todas as figuras, o tempo evolui no sentido descendente. . . 24
3.4 Gliders obtidos por combinações entre as interfaces elementares. Em cima: Os motivos mais simples que sobrevivem num fundo branco (sítios de valor 0). Ao centro: Conju-gados dos gliders do painel superior, dados por estruturas brancas que sobrevivem num fundo violeta (sítios de valor 1). Em baixo: Gliders observados no painel superior, mas com um aumento do núcleo interno de 1’s. . . 24 3.5 Em cima: Gliders estáticos híbridos, formados pela justaposição entre interfaces
distin-tas. Os quatro sítios pretos que separam as interfaces podem ser aumentados indefini-damente, tal como se mostra na Fig. 3.4. Ao centro: Gliders estáticos formados pelos três possíveis desfazamentos temporais entre interfaces iguais de período 3. De notar que S3apresenta uma simetria relativamente ao seu eixo central, enquanto que S3′ e S3′′
apresentam uma simetria que envolve uma reflexão adicionada a um deslocamento de um passo de tempo (indicada pela coloração adicional). Em baixo: Gliders híbridos for-mados pelos três possíveis desfazamentos temporais entre interfaces distintas de período 3. . . 25
1). O sítio σi+2(t) = a é ambíguo, ou seja, a = 0 ou a = 1, uma vez que ambos os valores
satisfazem a regra 52 (ver Eq. (3.1)). Qualquer que seja o valor escolhido, este tem de ser copiado para baixo, como indicado pela seta, a fim de garantir período 1. A evolução para a escolha não trivial a = 1 é mostrada na Fig. 3.7. . . 26
3.7 Demonstração que a regra 52 suporta apenas uma única interface elementar de período 1. (a) O sítio mais à direita é determinado com base nos valores dos sítios a azul (cinza). Amarelo (cinza claro) indica que a construção pode continuar uma vez que não foi encontrada nenhuma das configurações críticas discutidas na Fig. 3.9. (b)-(e) O sítio determinado no passo anterior á copiado e um novo bit é determinado. (f) A letra a é utilizada para indicar que foi encontrada uma situação ambígua. Escolhas repetidas de a = 1 aumentam o tamanho da região síncrona de valor 1, produzindo a interface A, o conjugado de A na Fig. 3.3, preservando indefinidamente a possibilidade de uma escolha ambígua (ver texto). . . 26
3.8 Desenvolvimento inicial para provar a existência de interfaces de período 3, quando dois sítios são avaliados simultaneamente. (a) É necessário um par de 1s à direita. (b) A escolha ab = 11 viola a regra 52. (c) A escolha ab = 00 também viola a regra 52. Conclusão: ab tem de ser igual a 10 ou a 01. Estas duas escolhas são analisadas na Fig. 3.11. . . 27 3.9 Propriedades da regra 52. Topo: Configurações ambíguas. O valor binário do sítio i
no instante t + 1 é válido independentemente do valor de a no instante t. Em baixo: Configurações impossíveis. O valor no instante t + 1 viola a regra 52 independentemente do valor de X. . . 28
3.10 Demonstração de que existe apenas uma interface de período 2, que corresponde à inter-face elementar F representada na Fig. 3.3. Para iniciar a evolução espacial é necessário um par de 1’s tal como na Fig. 3.8a. A ambiguidade a é preservada aquando da evolução espacial desde que se escolha o valor a = 0. A escolha a = 1 irá gerar outra estrutura F . São possíveis alternâncias arbitrárias de estruturas F intercalando as escolhas a = 0 and a = 1. . . 28 3.11 Demonstração da existência de apenas duas interfaces/gliders elementares de período 3.
Desenvolvimento dos casos ab = 10 e ab = 01 discutidos na Fig. 3.8b, bem como das restantes condições iniciais possíveis, ambas dando origem a bloqueios. . . 29 3.12 Desenvolvimento espacial para período temporal 7. Este padrão pode ser estendido
indefinidamente para a direita. Após um transiente espacial de 32 sítios, tem-se um período espacial de 49 sítios. De referir a impossibilidade de se encontrar este padrão assimétrico através da usual evolução temporal com condições de fronteira periódicas. Este padrão só pode ser encontrado através da evolução espacial. . . 30
Configuração impossível. O valor no instante t + 1 viola a regra 20 independentemente do valor de X. De notar que na regra 20 não são válidas todas as propriedades da regra 52 descritas na Fig. 3.9. . . 33
3.14 Glider estático de período temporal 6 encontrado para a regra 20. A sua dimensão espacial mínima corresponde a 72 sítios. Tal como indicado pelas duas cores, apresenta uma simetria “helicoidal” que se repete a cada três passos de tempo. Esta estrutura está em falta na tabela da página 285 do livro recentemente editado por Wolfram (2002), cujo intuito era reportar todos gliders possíveis. . . 34
3.15 Padrões de período temporal 8 que podem ser estendidos indefinidamente para a direita. Ambos os padrões possuem um período espacial de 48 sítios após transientes espaciais distintos, e só podem ser encontrados mediante a aplicação do algoritmo espacial. . . . 34
4.1 Parâmetro G: transitividade e intransitividade. (a) Para G = 0.2 existe uma única solução periódica, aqui ilustrada quando se utiliza a condição inicial (x, y, z) = (0.5, −1.1, 1.0). Para G = 0.8 existem duas soluções: (b) solução periódica quando se utiliza a mesma condição inicial denominada solução de período um; (c) Outra solu-ção periódica obtida quando se utiliza a condisolu-ção inicial (0.7, −0.4, 0.6) e denominada solução de período dois. Em todos os painéis: F = 8, a = 0.25, e b = 4. . . 43
4.2 Sensibilidade às condições iniciais ilustrada pela intersecção com o plano z = 0 das bacias dos dois atractores coexistentes para G = 0.8. A preto está representada a bacia de período um e a branco a bacia de período dois. Resolução: 600 × 600 condições iniciais. Aqui: a = 0.25, b = 4.0 e F = 8. . . 43
4.3 Os três climas que coexistem com o ponto fixo Ω no ponto P dado pela Eq. (4.8). As condições iniciais para os atractores A, B, C, são, respectivamente, (x, y, z) = (−0.6, −0.58, 0), (0.87, −1.4, 0), e (0.71, −0.96, 0). . . 44
4.4 Predominância das bacias de atracção dos quatro atractores que coexistem no ponto P , determinadas com base no segundo expoente de Lyapunov para duas regiões e re-soluções distintas do espaço de fases. (a) Histograma para 600 × 600 condições iniciais correspondentes à bacia da Fig. 3.5a. (a) Histograma para 750 × 750 condições iniciais correspondentes à bacia da Fig. 3.5b. . . 44 4.5 Grande sensibilidade às condições iniciais ilustrada pela intersecção das bacias de
atrac-ção dos atractores coexistentes no ponto P com o plano z = 0. As quatro cores represen-tam os quatro atractores coexistentes no ponto P , Eq. (4.8), de acordo com os quatro picos observados nos histogramas da Fig. 4.4. (a) janela ampla de condições iniciais no espaço de fases; (b) magnificação da janela marcada em (a). As letras A, B, C, D marcam as bacias correspondentes aos atractores representados na Fig. 3.2 e ao ponto fixo Ω. As cruzes indicam condições iniciais (x, y, z) que conduzem aos atractores A, B, C, D, respectivamente: (−0.6, −0.58, 0), (0.87, −1.4, 0), (0.71, −0.96, 0) e (0.65, −0.67, 0). 45
na Fig. 4.8. O ponto branco marca o ponto P do espaço de parâmetros dado pela Eq. (4.8). Aqui: a = 0.25 e b = 4. . . 46 4.7 Os quatro planos A-D no espaço de parâmetros F × G, cuja sobreposição produz o
diagrama da densidade de atractores mostrado na Fig. 4.6. A cruz marca o ponto P dado pela Eq. (4.8). Aqui e nas figuras que se seguem: pontos fixos e soluções periódicas (expoentes negativos) estão representados a preto e cinza; soluções caóticas (expoentes positivos) estão representados a amarelo e vermelho. . . 47
4.8 Vista global do espaço de parâmetros F × G. As tonalidades escuras de preto e cinza representam pontos fixos e atractores periódicos, a amarelo e vermelho representam-se os atractores caóticos. O quadrado a branco representa a região escolhida para elaborar as Figs. 4.6 e 4.7. Aqui a = 0.25 e b = 4.. . . 48 4.9 Diagrama do espaço de parâmetros a×b para F = 8 e G = 1. A cruz indica os parâmetros
a = 0.25, b = 4 estudados por Lorenz (1984, 1990) e outros autores. (a) Vista global que mostra a predominância de soluções periódicas representadas pelas tonalidades escuras de preto e cinza proporcionais à magnitude dos expoentes. (b) Magnificação da região assinalada em (a) onde se encontram a maioria das soluções caóticas representadas em tonalidades de amarelo e vermelho. . . 49
5.1 Soluções (a) fraca e (b) forte que coexistem no modelo S-L84 para G = 1, F0= 6 e α = 0. 55 5.2 Soluções periódicas fraca (ou do tipo anel) e forte (ou do tipo caracol) que coexistem
no modelo S-L84 para G = 1, F0 = 6 e α = 0. Painel à esquerda: Solução fraca ou do
tipo anel (linha grossa) e solução forte ou do tipo caracol (linha fina). Painel à direita: Sensibilidade às condições iniciais ilustrada pela intersecção das bacias fraca (a preto) e forte (a branco) com o plano z = 0, para uma malha x × y = 600 × 600 condições iniciais. O quadrado a cinza delimita a região apresentada na Fig. 5.8. . . 56
5.3 Intransitividade no modelo S-L84 para G = 1 e F0 = 6. Os círculos correspondem ao
terno de expoentes de atractores do tipo anel (R), e os quadrados ao de atractores do tipo caracol (S). Os expoentes de Lyapunov (λ1, λ2, λ3) foram determinados em função
da amplitude do ciclo anual α variando em passos de 0.005 no intervalo ]0, 0.8]. . . 57 5.4 Variação dos ciclo-climas do atractor quasi-periódico Rq ao longo do ano: τ = 0
(In-verno), τ = 18 (Primavera), τ = 36 (Verão) e τ = 54 (Outono), para α = 0.4, F0 = 6 e
G = 1. Tons mais claros representam valores mais elevados da FDP estimada, enquanto tons mais escuros representam valores mais baixos. . . 58
5.5 Tal como na Fig. 5.4 mas ilustrando a variação ao longo do ano dos ciclo-climas do atractor quasi-periódico Sq.. . . 59
os casos α = 0.4 (à esquerda) e α = 0.8 (à direita). Em ambos os painéis considerou-se G = 1, F0= 6 e foi utilizada uma malha de 600 × 600 condições iniciais. Os quadrados
a cinza delimitam a região apresentada na Fig. 5.8. . . 60 5.7 Variação de λ1 em função da amplitude do ciclo anual com indicação do número de
atractores. Os círculos vermelhos correspondem a 1 atractor, os quadrados pretos a 2, os triângulos verdes a 3, e os triângulos azuis invertidos a 4. . . 61 5.8 Grande sensibilidade às condições iniciais ilustrada pela intersecção das bacias de
atrac-ção dos três atractores coexistentes para α = 0.92 (à esquerda), e dos quatro atractores coexistentes para α = 0.93 (à direita). No painel à esquerda: vermelho representa Sp1,
preto Sp2 e amarelo Rc. No painel à direita: vermelho representa Sp2a, preto Sp2b,
verde Sq e amarelo Rc. Em ambos os painéis considerou-se G = 1, F0= 6 e foi utilizada
uma malha de 600 × 600 condições iniciais. . . 62
5.9 Comparação entre os atractores periódicos Sp1(à esquerda) e Sp2(à direita) coexistentes
para α = 0.93, G = 1 e F0= 6. Ambos os atractores têm um período de dois anos. As
curvas a cinza representam as projecções em (x, y, z) das trajectórias durante o primeiro ano de cada um dos atractores, enquanto as curvas a preto representam a diferença das projecções das trajectórias entre o primeiro e o segundo anos.. . . 62 5.10 Expoentes de Lyapunov em função da amplitude do ciclo anual α para G = 1 e F0= 6.
O sistema é transitivo: a cada valor de α corresponde apenas um ponto. A cor vermelha representa λ1, verde λ2 e azul λ3. . . 63 5.11 Variação dos ciclo-climas do atractor caótico ao longo do ano: τ = 0 (Inverno), τ = 18
(Primavera), τ = 36 (Verão) e τ = 54 (Outono), para α = 1.5, F0 = 6 e G = 1.
O código de cores representa os valores da FDP estimada, sendo que valores menores correspondem aos tons azuis escuros e maiores aos tons amarelo e vermelho. . . 64 5.12 Transitividade no modelo S-L84 para F0= 7 e α = 2. Os expoentes de Lyapunov obtidos
indicam a existência de um único atractor e a sua natureza em função do parâmetro G. 65 5.13 Variação de x para G = 1.4 (linha fina tracejada), G = 2 (linha grossa sólida), G = 2.4
(linha fina sólida), e parte sinusoidal f do forçamento (linha grossa tracejada). Aqui: F0= 7 e α = 2. . . 65 5.14 Variabilidade interanual para F0 = 7, α = 2 e G = 1. Evolução da variável x por seis
anos consecutivos mostrando a existência de Verões activos e inactivos. . . 66 5.15 Equivalente à Fig. 5.11 mas ilustrando a variação ao longo do ano dos ciclo-climas do
atractor caótico obtido para α = 2, F0= 7 e G = 1. . . 67 xiii
inicial (à esquerda). Utilizam-se o mesmo número (8000) de condições iniciais no caso do método das múltiplas condições iniciais e de anos de integração no caso do método da integração longa. A escala de cores, para cada instante (saltos de 1.2h), indica a frequência relativa (%) em cada um dos 12 intervalos de igual comprimento utilizados na discretização das variáveis. . . 69
A.1 Diagrama esquemático: Modelo quase-geostrófico de duas camadas. . . 79
2.1 . . . 14 3.1 . . . 32
Introdução
A atmosfera pode ser encarada como um sistema caótico, na medida em que se trata de um sistema dinâmico não-linear, forçado e dissipativo, e que apresenta grande sensi-bilidade às condições iniciais, isto é, em que, dois estados iniciais infinitamente próximos evoluem de tal forma que as suas diferenças crescem exponencialmente com o tempo. Este comportamento da atmosfera impõe um limite de predictabilidade determinista que, devido aos erros de observação, à incompleta amostragem das condições iniciais e às limi-tações dos próprios modelos, se situa, em geral, em torno de duas semanas. No entanto, em contraste com este limite reduzido da predictabilidade da atmosfera, a caracterização estatística do clima já é possível para períodos de tempo muito mais longos.
A definição tradicional de clima como sendo dada pelo conjunto das propriedades es-tatísticas (tais como médias, momentos de ordem superior e probabilidades de eventos extremos) das variáveis que caracterizam o estado da atmosfera e dos outros subsistemas do sistema climático, nomeadamente a hidrosfera, a criosfera, a litosfera e a biosfera (Pei-xoto e Oort 1992), apresenta algumas desvantagens, em particular quando se pretende estudar a evolução do clima com vista à detecção de possíveis alterações climáticas. Em primeiro lugar, torna-se necessário definir a priori um intervalo de tempo finito para que, por um lado, seja possível efectuar o cálculo operacional do conjunto mencionado de esta-tísticas e, por outro, se possa dispor de uma definição de um clima variável no tempo. Em segundo lugar, põe-se o problema da resposta do sistema climático a alterações no força-mento externo, sejam de origem antropogénica ou natural, problema esse que requer uma definição de clima em que este possa ser tomado como uma entidade em permanente evo-lução. Neste contexto revela-se de particular interesse - pelos resultados já demonstrados - a definição que assenta numa aplicação prática da ideia de ensemble (Leith 1978), defini-ção essa inspirada no conceito introduzido por Gibbs na mecânica estatística, tendo-se que os movimentos microscópicos das moléculas do gás correspondem aqui às flutuações do estado do tempo, enquanto as variações lentas das propriedades macroscópicas (tais como a pressão e a temperatura) se podem tomar como caracterizando a evolução do clima. Nesta acepção, ao invés de se ter apenas em conta o “clima observado”, considera-se um
grande número de réplicas conceptuais da Terra, todas sujeitas aos mesmos forçamentos externos (distribuição idêntica de continentes e oceanos, idêntica orografia, etc.) e com o estado do tempo evoluindo em cada uma independentemente das restantes, sendo o clima então definido com base em estatísticas efectuadas sobre o ensemble.
Do ponto de vista dos sistemas dinâmicos, a definição do clima com base em estatísti-cas efectuadas sobre um ensemble de simulações corresponde a substituir as trajectórias individuais no espaço de fases por um conjunto de estatísticas relativas a um grande nú-mero de trajectórias, cada uma consistente com o “clima observado” (Smith 2002). Uma vez que dispomos apenas de uma única Terra, e por conseguinte, de apenas um único “clima observado”, o conceito de ensemble não é acessível por observação directa, podendo apenas ser implementado, de forma aproximada, através da sua simulação por meio de modelos numéricos, os quais permitem a construção de um grande número de trajectórias, cuja distribuição estatística permite caracterizar, em cada instante, o respectivo clima.
Existe no entanto, um caso particular em que são equivalentes a definição clássica de clima e a definição baseada em estatísticas tomadas sobre o ensemble; trata-se do caso em que é válida a denominada hipótese ergódica (Peixoto e Oort 1992), isto é, em que são equivalentes as médias temporais e as médias tomadas sobre o ensemble. A hipótese ergódica é válida caso não exista uma origem preferencial para a descrição estatística das variáveis (estacionariedade) e se, além disso, em cada trajectória do ensemble as variáveis passam por todos os estados acessíveis (ergodicidade). Nestas condições, as médias to-madas sobre o ensemble de trajectórias, num dado instante, podem ser substituídas pelas médias temporais de uma dada trajectória, e o clima será dado por qualquer uma destas médias, podendo assim justificar-se a utilização da série temporal de que se dispõe para se obterem as estatísticas que constituem o clima.
No caso em que o forçamento externo varia no tempo, a definição de clima baseada em estatísticas sobre o ensemble é extremamente útil, uma vez que deixa de ser necessário o cálculo de médias temporais, na medida em que o clima é definido, em cada instante, pela distribuição de probabilidade das variáveis sobre todos os membros do ensemble podendo, assim, estudar-se a evolução do clima a partir de uma análise temporal dos parâmetros estatísticos das distribuições. No entanto, convém sublinhar que esta definição não pode ser implementada com base em séries temporais do clima observado, já que apenas se dispõe de uma única série temporal de observações. Neste contexto, surge a questão da possibilidade de se estender o conceito de ergodicidade a forçamentos externos variáveis no tempo, nomeadamente a forçamentos periódicos, uma vez que um dos mais importantes forçamentos externos a que está sujeito o sistema climático consiste no forçamento imposto pelo ciclo anual da radiação solar.
Acresce que a simulação numérica do clima, através de modelos físico-matemáticos, tem vindo a revelar-se um instrumento decisivo, quer para uma melhor compreensão da dinâmica do clima e dos problemas envolvidos, quer para a construção e avaliação de cenários futuros do clima quando o sistema climático se supõe sujeito a diversos tipos de
forçamento, tais como o forçamento radiativo pelos gases com efeito de estufa, pelos aeros-sóis e pelas nuvens. Acontece, porém, que a confiança que se deposita num determinado modelo provém da qualidade dos resultados obtidos da simulação, sendo a precisão dos seus parâmetros forçadores um dos factores essenciais que controlam essa qualidade. Com efeito, a dependência dos parâmetros é tão importante para a qualidade das simulações do clima que o Painel Intergovernamental de Alterações Climáticas (IPCC, na sigla em in-glês) subscreve uma avaliação sistemática do efeito produzido na simulação do clima pelas incertezas na especificação dos parâmetros (Houghton et al. 2001). No entanto, o elevado custo computacional dos modelos realísticos do clima ainda constitui uma limitação severa para se proceder a estudos exaustivos. Uma alternativa consiste em recorrer a modelos de baixa ordem que, utilizando um número reduzido de variáveis, permitam efectuar estudos detalhados, baseados num número elevado de simulações, sendo de sublinhar, no entanto, que a interpretação dos resultados e a sua atribuição a determinados mecanismos deve sempre ser feita com as devidas precauções. Pode, ainda, recorrer-se a outro tipo de mo-delos, denominados autómatos celulares, os quais embora conceptualmente distintos, uma vez que envolvem coordenadas variáveis e tempo discretos, têm igualmente vindo a provar a sua utilidade na modelação do clima, em particular, na redução dos erros sistemáticos associados a uma distribuição irrealista dos diversos regimes de circulação, isto é, em que determinados regimes são privilegiados em detrimento de outros (Jung et al. 2005; Shutts 2005). Tal como os modelos de baixa ordem, os modelos de espaço-tempo discretos têm a vantagem de serem computacionalmente rápidos e de permitirem análises detalhadas baseadas num número elevado de simulações.
Nesta conformidade, pretende-se neste trabalho contribuir para o estudo, por um lado, da complexidade numa classe de autómatos celulares para a qual, é conjecturada a maior complexidade possível (Wolfram 1983, 2002) e, por outro, das soluções produzidas por um modelo de baixa ordem do escoamento atmosférico (Lorenz 1984), dando-se particular atenção à forma como o(s) clima(s) do modelo dependem do tipo de forçamento.
O trabalho está organizado em seis capítulos, consistindo o primeiro na presente intro-dução. No segundo capítulo apresentam-se alguns conceitos de base que se consideraram úteis do ponto de vista da dinâmica do clima e dos sistemas dinâmicos. O terceiro capí-tulo trata do problema da complexidade com espaço-tempo discretos, analisando-se, em particular, a complexidade gerada num autómato celular unidimensional modelado por regras de classe 4. No quarto capítulo descreve-se o modelo de Lorenz (1984) da circulação atmosférica e estuda-se a sensibilidade do modelo quando sujeito a pequenas variações nos seus parâmetros forçadores (mantidos constantes para cada integração), dando-se particu-lar atenção à forma como variam com o forçamento quer o número (transitividade versus intransitividade), quer a natureza (periódica, quasi-periódica ou caótica) dos atractores (ou climas) suportados pelo modelo. No quinto capítulo introduz-se um forçamento perió-dico no modelo de Lorenz (1984) por forma a simular o ciclo anual do aquecimento solar, avaliando-se o número e a natureza dos atractores (ou climas) em função da amplitude do
ciclo anual e do forçamento das perturbações atmosféricas, bem como a existência de er-godicidade quando o sistema é transitivo e caótico. Finalmente, o sexto e último capítulo contém as conclusões finais, seguindo-se-lhe um apêndice com a dedução das equações do modelo de Lorenz (1984).
Conceitos gerais
Neste capítulo apresentam-se muito sucintamente alguns conceitos de base da dinâ-mica do clima e dos sistemas dinâmicos que se consideraram úteis para o trabalho desenvolvido. Do ponto de vista da dinâmica do clima, uma descrição detalhada pode ser encontrada, por exemplo, em Peixoto e Oort (1992) e Trenberth (1992). Do ponto de vista dos sistemas dinâmicos mais detalhes e exemplos podem ser encontrados, por exemplo, em Sprott (2003), Strogatz (2001) e Tél e Gruiz (2006).
2.1
O Sistema Climático
Um sistema é definido como uma região do espaço limitada por uma parede conceptual ou real, contendo massa e energia. Um sistema é rodeado pelo seu universo complementar, ou ambiente, do qual se encontra separado pela denominada fronteira. Se a fronteira é impermeável e adiabática, isto é, restritiva a trocas de massa e energia entre o sistema e o seu universo complementar, o sistema diz-se isolado; se a fronteira é impermeável e diabática, isto é, restritiva a trocas de massa mas permitindo trocas de energia, o sistema diz-se fechado; se a fronteira é permeável e diabática permitindo trocas de massa e energia, o sistema diz-se aberto. Os sistemas podem ainda classificar-se de acordo com a sua composição, sendo um sistema denominado composto quando é constituído pela união de várias partes disjuntas, denominadas subsistemas.
O sistema climático é um sistema composto, constituído pelos subsistemas atmosfera, hidrosfera, criosfera, litosfera e biosfera. O sistema climático pode considerar-se como fechado uma vez que são desprezáveis as trocas de massa com o espaço exterior. A atmosfera e os outros subsistemas do sistema climático constituem, por sua vez, sistemas abertos, uma vez que interactuam entre si, dando-se trocas de massa, energia e momento (Peixoto e Oort 1992).
O sistema climático é influenciado por factores externos e internos. Os factores exter-nos são aqueles que forçam a evolução do sistema, sem serem influenciados por quaisquer das variáveis que caracterizam os estados de cada subsistema climático. Os factores ex-ternos podem agrupar-se em factores gerais e em factores regionais ou locais: os factores
gerais incluem a radiação solar, a esfericidade da Terra, os movimentos de rotação e de translacção e a distribuição dos continentes e oceanos; os factores regionais ou locais in-cluem a topografia, a natureza dos solos e o coberto vegetal. Os factores internos são aqueles relacionados com as propriedades da própria atmosfera, como a sua composição e a concentração dos seus componentes, e traduzem mecanismos de retroacção internos entre a atmosfera e os restantes subsistemas do sistema climático. A classificação em factores externos ou internos depende da escala temporal considerada, na medida em que um determinado factor pode ser interno para escalas temporais longas, mas poderá ser considerado externo para escalas muito curtas.
O estado climático, para diferentes classes de forçamentos externos assumidos fixos, é definido com base na descrição estatística das variáveis (incluindo médias, variâncias, correlações entre variáveis, probabilidades de eventos extremos, etc.) que caracterizam cada um dos subsistemas que compõem o sistema climático (Leith 1978). A definição de estado climático de apenas um dado subsistema, por exemplo da atmosfera, envolve a descrição estatística das suas variáveis, a descrição das condições médias dos outros subsistemas do sistema climático e de outros forçamentos externos que condicionam o conjunto ou conjuntos de estatísticas possíveis dependendo do sistema ser transitivo ou intransitivo.
O sistema é transitivo se após um período transiente, em que perde a memória das condições iniciais, a sua dinâmica conduz a um único conjunto estável de estatísticas compatíveis com um conjunto fixo de condições fronteira. Num sistema transitivo, as estatísticas calculadas num intervalo de tempo suficientemente longo são únicas e o con-junto de estatísticas obtido constitui o clima. Um sistema é intransitivo se a sua dinâmica conduzir a dois ou mais conjuntos de estatísticas estáveis, dependentes das condições ini-ciais, e compatíveis com um mesmo conjunto fixo de condições fronteira. Num sistema intransitivo os vários conjuntos de estatísticas obtidos constituem os diversos climas pos-síveis. Um sistema diz-se quase-intransitivo se o sistema climático for caracterizado por um dado conjunto de estatísticas durante um intervalo de tempo finito e suficientemente longo, ao qual se segue uma transição para outro conjunto de estatísticas durante um intervalo de tempo da mesma ordem, sem que ocorram variações no forçamento externo (Lorenz 1968).
Na prática, assume-se a transitividade da atmosfera quando se analisam os resultados de simulações de longo termo, com vista, por exemplo, à elaboração de cenários futuros. Neste caso considera-se que a atmosfera, após um período transiente em que perde a memória das condições iniciais, tende para um único estado de equilíbrio respondendo deterministicamente ao forçamento externo.
Os procedimentos matemáticos para determinar o estado ou estados climáticos, a partir das equações que governam o sistema, têm necessariamente de incluir a derivação e resolução de um novo conjunto de equações cujas variáveis dependentes são estatísticas, assim como o cálculo de estatísticas a partir de soluções analíticas das equações originais.
No entanto, a não linearidade das equações da atmosfera torna um tal procedimento impossível de implementar analiticamente, sendo necessário recorrer a métodos numéricos (Lorenz 1970).
A consideração de pequenos intervalos de tempo impede a distinção entre clima do estado do tempo; já para intervalos de tempo muito longos, o clima torna-se cada vez mais independente do intervalo de tempo escolhido, comportamento que sugere definir clima de forma assimptotica, isto é, através do limite quando o intervalo de tempo considerado tende para infinito (Leith 1978). No entanto, um tal procedimento não só impede o cálculo operacional do clima, como não permite uma definição de clima variável no tempo, adequada ao estudo das variações climáticas. Torna-se, assim, necessária a introdução de um intervalo de tempo finito na definição do conjunto de estatísticas, o qual deverá ser escolhido assumindo uma solução de compromisso, de tal modo que seja suficientemente longo para se obterem estatísticas independentes do estado inicial, mas suficientemente curto para que se possam estudar variações climáticas ao longo do tempo. Neste contexto, o tradicional período de 30 anos, determinado pela Organização Meteorológica Mundial, constitui ainda uma referência muito útil.
A variabilidade climática encontra-se associada a flutuações no comportamento do sistema climático, as quais se podem decompor no denominado sinal climático, associado à resposta do sistema climático às variações no forçamento externo, e ao denominado ruído climático, associado a mecanismos de retroacção internos e traduzido por interacções não lineares entre a atmosfera e os restantes componentes do sistema climático, variações livres essas que ocorreriam mesmo na ausência de variações forçadas. De acordo com a definição de estado climático, pode dizer-se que o sinal climático está associado às diferenças existentes entre os parâmetros das distribuições estatísticas que caracterizam dois estados climáticos, enquanto que o ruído climático está associado às diferenças entre duas realizações distintas do mesmo estado climático (Castanheira 2000).
Por outro lado, define-se variação climática através da diferença entre estados climáti-cos referentes a intervalos de tempo iguais, a qual deve ser superior ao ruído climático. O problema das variações climáticas engloba, fundamentalmente, três pontos (Lorenz 1970): verificação da ocorrência de uma variação climática e caracterização da sua natureza e extensão; identificação das principais causas das variações climáticas; determinação das variações climáticas resultantes de hipotéticas causas específicas. O primeiro ponto é de natureza observacional; o segundo ponto está associado à identificação do sinal climático; o terceiro e último ponto está relacionado com a elaboração de cenários futuros do clima. Tal como já referido, a atmosfera é um sistema caótico, característica que, em conjunto com as incertezas na determinação do estado inicial, impossibilita a previsão do estado do tempo para um período superior a uma ou duas semanas. No entanto, e em contraste com este limite reduzido da predictabilidade da atmosfera, já se torna possível proceder a uma caracterização estatística do clima para períodos de tempo suficientemente longos (Schneider 1992). Este constraste apresenta uma certa analogia com a teoria cinética dos
gases, caso se identifiquem os movimentos das moléculas individuais com os sucessivos es-tados do tempo e as propriedades estatísticas do gás, tais como a pressão e a temperatura, com o clima.
Ora, em mecânica estatística, a dificuldade mencionada em relacionar a dinâmica mi-croscópica de moléculas e as propriedades estatísticas ou mami-croscópicas foi ultrapassada pela introdução do conceito de ensemble de Gibbs, definido como um conjunto infinito de réplicas conceptuais (membros) idênticas ao sistema dinâmico em estudo, onde cada membro evolui independentemente dos restantes (Calado 1995). Em cada instante, o es-tado dinâmico de cada membro é dado pelos valores de um grande número de variáveis, sendo portanto representado por um ponto no espaço de fases. Deste modo, o conjunto dos membros do ensemble, nesse instante, será representado por um conjunto de pontos distribuídos de acordo com uma certa distribuição de probabilidade. O problema da me-cânica estatística consiste em determinar uma distribuição de probabilidade de equilíbrio que não varie com o movimento do conjunto de pontos no espaço de fases, de modo a defi-nir propriedades estatísticas a partir de médias sobre os membros do ensemble, tornando, assim, possível relacionar a média temporal de uma dada variável com a sua média sobre os membros do ensemble (Leith 1978).
Na aplicação deste conceito em dinâmica do clima, o ensemble será constituído por um conjunto infinito de réplicas conceptuais da Terra, todas sujeitas às mesmas condições fronteira, e com o estado do tempo evoluindo em cada uma, independentemente das restantes. A distribuição dos estados do tempo no ensemble deve ser tal que a distribuição de probabilidade não seja afectada pelas flutuações rápidas de cada membro, mas podendo sofrer variações lentas devido às variações no forçamento externo. Nesta conformidade, o clima poderá ser definido através de médias sobre o ensemble.
Considere-se um ensemble constituído por M membros (M → ∞) onde, em cada membro m do ensemble, a variável y evolui no tempo passando por um conjunto numerável de instantes independentes entre si. Num dado instante, define-se a média da variável y sobre todos os membros do ensemble, como sendo:
hy(t)i = M1
M
X
m=1
ym(t) (t fixo),
onde ym(t) é o valor da variável y(t) no membro m. Para um dado membro m do ensemble,
define-se clima observado como sendo a média temporal da variável y tomada sobre um intervalo de tempo muito longo 2n (n → ∞) (Peixoto e Oort 1992), isto é:
ym(t) = 1 n Z n −n ym(t + t′)dt′ (m fixo).
Uma vez que cada membro do ensemble evolui no tempo independentemente dos restantes, então os operadores da média temporal e da média sobre o ensemble comutam: hyi ≡ hyi.
Se a descrição estatística de y for estacionária, isto é, se não existir uma origem preferencial para a descrição estatística de y e se, além disso, assumirmos que, em cada membro do ensemble, a variável ym(t) passa por todos os estados acessíveis, então são
equivalentes as médias temporais e as médias sobre o ensemble (hipótese ergódica). Nestes ensembles estacionários a média temporal de y tomada sobre um tempo muito longo é independente do tempo t. Acresce que, a hipótese ergódica implica que a média temporal deve ser a mesma para todos os membros do ensemble, isto é, ym(t) = y é independente
do membro m. De modo análogo a média de y sobre o ensemble deve ser independente do tempo, isto é, hy(t)i = hyi. Em conclusão, no caso de um ensemble estacionário e ergódico, hyi = y, as médias num dado instante sobre todos os membros do ensemble podem ser substituídas por médias temporais sobre um dado membro, e o clima será dado por qualquer uma destas médias. Deste modo, pode justificar-se a utilização da série temporal de que se dispõe, que corresponde ao clima observado, para se obterem as estatísticas que constituem o clima.
2.2
Simulação do clima
A simulação físico-matemática do clima através da construção de modelos constitui uma ferramenta essencial para o estudo do clima, uma vez que permite realizar inúmeras experiências sob uma grande diversidade de condições impostas ao sistema em estudo, bem como possibilita identificar processos de interacção envolvidos. A confiança que se deposita nos modelos provém da concordância dos resultados obtidos das simulações dos modelos com os empíricos revelados pelas observações.
Um modelo físico-matemático do clima é constituído por um conjunto de equações termohidrodinâmicas (baseadas nos princípios gerais da conservação da massa, energia e momento) completado com prescrições adequadas, a partir do qual se podem deduzir os valores médios dos elementos climáticos para um dado intervalo de tempo e para um dado domínio. As prescrições que completam o modelo consistem na especificação das constantes físicas e planetárias, nas condições iniciais, num conjunto prescrito de condi-ções fronteira, e na parametrização dos fenómenos que ocorrem em escalas menores do que a escala de discretização do modelo. A parametrização destes fenómenos recorre a formulações matemáticas adequadas e à utilização de coeficientes empíricos que traduzem os processos físicos não resolvidos pelo modelo em função das grandezas que caracterizam a fenomenologia da atmosfera de maior escala. Quanto mais simples é o modelo, maior é o grau de parametrização de processos físicos que ocorrem em escalas não resolvidas pelo modelo. A escolha das parametrizações aplicadas e do forçamento externo imposto ao modelo dependem do problema em estudo.
Os modelos do clima podem ser divididos em duas classes: os modelos estocásticos e os modelos deterministas, os quais incluem os modelos estatístico-dinâmicos e os modelos
dinâmicos explícitos sobre os quais recai o nosso estudo. Os modelos estocásticos fazem intervir elementos aleatórios na especificação das condições fronteira e das condições ini-ciais, uma vez que os processos físicos que ocorrem em alguns subsistemas do sistema climático não podem ser parametrizados de forma analítica determinista. Os modelos estatístico-dinâmicos, que se baseiam nas equações médias da dinâmica da atmosfera e nos quais os processos não lineares são parametrizados em termos dos valores médios, são especialmente úteis na medida em que têm um baixo custo computacional e permitem efectuar integrações retrospectivas recuando a épocas geológicas passadas. Os modelos dinâmicos explícitos, de que são exemplo os modelos de circulação geral, procuram si-mular de forma explícita as circulações mais importantes da atmosfera. Partindo das equações da dinâmica da atmosfera, e após um intervalo de tempo suficientemente longo em que o modelo perde a memória às condições iniciais, considera-se que a resposta do modelo se deve ao forçamento externo imposto. Qualquer que seja a resolução espacial do modelo, têm de ser incorporadas representações implícitas dos vários processos de escalas espaço-temporais inferiores às dimensões da malha e menores do que o tempo do intervalo de iteração; tratam-se de processos que o modelo não pode resolver de forma explícita e, como tal, têm de ser parametrizados em termos das variáveis resolvidas pelo modelo. Os modelos realistas deste tipo têm um número muito elevado de graus de liberdade uma vez que as equações têm de ser resolvidas em todos os pontos da malha, e esta deve ter uma resolução capaz de resolver os fenómenos meteorológicos que são o objecto de estudo. Conforme já referido, a não linearidade dos modelos termohidrodinâmicos da atmosfera torna necessário que se recorra aos métodos da análise numérica para a sua resolução. Assim, a resolução de modelos do clima requer o uso de computadores sofisticados, bem como algoritmos numéricos apropriados que substituem as equações diferenciais por equa-ções discretizadas, numa dada resolução espaço-temporal. As equaequa-ções incorporadas no algoritmo numérico serão pois uma aproximação do conjunto de equações com derivadas parciais da dinâmica da atmosfera, sujeitas às simplificações e condições fronteira do es-tudo em questão. Esta aproximação pode recorrer tanto a métodos espectrais como a métodos de diferenças finitas, e deve garantir a conservação dos integrais invariantes do escoamento (tais como a energia total) na ausência dos termos associados ao forçamento e à dissipação.
Um modo usual de simplificar as equações diferenciais parciais da dinâmica da atmos-fera consiste em recorrer a uma projecção de Galerkin sobre modos associados a funções ortogonais apropriadas (Lorenz 1960). Neste caso, apenas se retêm nas equações de evo-lução dos coeficientes de desenvolvimento das variáveis dependentes, os coeficientes que dizem respeito a um certo conjunto limitado de funções ortogonais, de que resulta um conjunto finito de equações diferenciais ordinárias acopladas que constituem um modelo truncado, o qual constitui uma aproximação das equações diferenciais parciais originais. Um modelo truncado, de que é exemplo o modelo de Lorenz (1984), constituirá uma apro-ximação mais ou menos adequada da dinâmica da atmosfera consoante os modos retidos
contenham ou não a física dos processos em estudo. Quando adequadamente formulados, os modelos truncados apresentam a vantagem de mostrar as principais características da dinâmica, através de um número reduzido de variáveis mas, dependendo das aproxima-ções efectuadas, as conclusões a retirar devem ser encaradas com precaução e usualmente apenas se devem tomar como indicações qualitativas, permitindo testar hipóteses formu-ladas ou, por vezes, formular hipóteses novas, sobre possíveis mecanismos que controlam a dinâmica da atmosfera.
2.3
Modelos de baixa ordem com tempo contínuo
Os modelos realísticos do clima costumam envolver até milhares de equações diferen-ciais acopladas pelo que a sua simulação detalhada tem um custo computacional muito elevado. Existem, no entanto, determinados aspectos e processos envolvidos no estudo do clima que podem ser avaliados recorrendo a alternativas computacionalmente eficientes, isto é, a modelos de baixa ordem, envolvendo um número bem mais reduzido de equações diferenciais. Obviamente, não se espera que tais modelos possam descrever em pormenor todas as características de modelos mais realistas, envolvendo milhares de variáveis e pa-râmetros, mas como bem observado por (Smith 2002), não será igualmente de esperar que problemas identificados claramente em modelos de baixa ordem, não estejam igualmente presentes nos modelos mais realistas.
Ambos modelos, o realístico e o de baixa ordem, são descritos por sistemas de equações diferenciais que, conforme se sabe, envolvem tempo contínuo, e cuja integração no tempo só pode ser obtida através de métodos numéricos (Press et al. 1992; Conte 1980). Uma escolha bastante popular na literatura é o método de Runge-Kutta de quarta ordem com passo fixo (Hilborn 2000), o qual é frequentemente utilizado devido à sua robustez, velocidade de cálculo e precisão.
2.3.1
Sistemas dinâmicos
Por “sistema dinâmico” entende-se um conjunto de regras, em geral dadas por equações matemáticas, cuja função é definir como o estado de um sistema físico evolui com o passar do tempo. Mais especificamente, é um conjunto de regras que define como o ponto representativo do sistema física evolui no espaço de fase (Sprott 2003; Strogatz 2001). Assim, os sistemas dinâmicos podem ser convenientemente descritos em termos geométricos, tratando as variáveis dependentes (ou variáveis de estado) como coordenadas num espaço multidimensional (espaço de fases). O estado do sistema é então representado por um ponto nesse espaço e à medida que o sistema evolui no decurso do tempo, esse ponto descreve uma trajectória ou órbita.
As regras matemáticas que definem os sistemas dinâmicos podem considerar a variável tempo tanto como evoluindo discreta ou contínuamente. Sobre ambas situações existe
abundante literatura, que pode ser obtida dos livros acima, e a escolha duma ou de outra representação basicamente depende de vários fatores, em geral discutidos consoante a escala de tempo apropriada à aplicação visada.
Um sistema de dimensão N, i.e. envolvendo N variáveis X1, · · · , XN, e contendo um
conjunto de parâmetros de controle α, β, · · · , é, em geral, representado formalmente do seguinte modo:
˙ Xi =
dXi(t)
dt = fi(X1, · · · , XN, α, β, · · · , t) , i = 1, · · · , N (2.1) sendo o sistema é denominado autónomo quando as funções fi não contiverem a variável
tempo explicitamente.
O sistema descrito pela Eq. (2.1) diz-se conservativo quando há preservação do volume no espaço de fases e diz-se dissipativo quando um dado elemento de volume definido nesse espaço de fases tende a contrair-se ao longo das trajectórias (isto é, contrai com o passar do tempo). O sistema da Eq. (2.1) pode ainda ser convenientemente reescrito na forma vectorial da seguinte forma:
d~x
dt = ~f (~x), onde ~f (~x) é a velocidade instantânea ~v no ponto ~x.
Tendo em conta que a taxa de variação do volume elementar dV dada pela divergência do escoamento:
d
dt(dV ) = dV ∇ · ~v,
ve-se que o sistema é dissipativo caso a divergência do escoamento seja negativa (∇·~v < 0) e expansivo caso a divergência seja positiva (∇ · ~v > 0).
Para sistemas dinâmicos dissipativos, tem-se que, após um período transiente em que o sistema “perde a memória” das condições iniciais, as trajectórias acessíveis aos vários estados do sistema tendem, assimptoticamente, para uma região confinada do espaço de fases, isto é, para um subconjunto do espaço de fases, que se designa por atractor. O conjunto de todas as condições iniciais no espaço de fase que, de acordo com as equações que regem o sistema, evoluem no decurso do tempo para um determinado atractor, é denominado bacia de atracção. Um sistema dinâmico que tenha mais de um atractor para um mesmo conjunto fixo de parâmetros, diz-se intransitivo; caso contrário diz-se transitivo.
A variação dos parâmetros de controlo de um sistema dinâmico resulta, em geral, numa alteração das propriedades do atractor no espaço de fases. A predictabilidade de um dado sistema pode ser caracterizada caso se conheça o conjunto dos seus atractores e das suas bacias de atracção, para cada valor fixo dos parâmetros de controle do sistema.
Se o atractor corresponde a um regime estacionário, então reduz-se a um ponto fixo no espaço de fases; se o regime for periódico, reduz-se a uma curva fechada. Nestes atractores, pequenos erros na definição de um ponto do atractor (isto é, de um estado do sistema
num dado instante) mantêm-se constantes ou decrescem no tempo, pelo que os movimentos nestes atractores são previsíveis e, como tal, pode dizer-se que a sua predictabilidade é ilimitada. Caso se considere uma superfície de Poincaré, isto é, uma superfície emersa no espaço de fases, então uma dada trajectória irá interceptar a superfície em vários pontos sucessivos e, em particular, se estivermos perante um atractor periódico este “perfurará” a secção num conjunto discreto de pontos.
Um sistema caótico é aquele que apresenta forte sensibilidade às condições iniciais, isto é, em que pequenas variações na especificação das condições iniciais, abaixo do limiar de detecção instrumental, podem produzir grandes variações em estados futuros. O atractor de um regime caótico contém trajectórias aperiódicas que apresentam uma grande sensi-bilidade para as condições iniciais; pequenas perturbações nas condições iniciais crescem, em média, exponencialmente, originando movimentos caóticos imprevisíveis. Como tal, os sistemas caóticos têm uma predictabilidade muito limitada. Assim, pode dizer-se que um sistema caótico é aquele em que um estado presente é insuficiente para determinar estados aproximados num futuro distante (Lorenz 1990). Para estes sistemas, qualquer repetição aproximada de um comportamento anterior terá uma duração temporária e a periodicidade não se desenvolve. Assim, valores numéricos de qualquer variável, em grandes intervalos de tempo, igualmente espaçados (por exemplo, observações anuais de temperatura numa estação meteorológica particular), podem assemelhar-se a números aleatórios.
A sensibilidade às condições iniciais pode ser quantificada através dos denominados expoentes de Lyapunov, os quais representam a taxa exponencial média no tempo da di-vergência ou condi-vergência de órbitas vizinhas no espaço de fases. Se um sistema dinâmico tiver dimensão N, definem-se N expoentes de Lyapunov:
λi = lim t→∞ 1 t log2 εi(t) ε(0) , i = 1, · · · , N,
onde os valores εi(t) representam, no instante t, o comprimento dos eixos principais de
um elipsóide resultante da deformação pelo sistema dinâmico de uma esfera de raio ε(0), no instante inicial (Wolf et al. 1985; Strogatz 2001). Se um dos expoentes for positivo, tal significa que um dos eixos tenderá a alongar-se e, como tal, os pontos extremos desses eixos tenderão a afastar-se progressivamente. Assim, eixos que estão, em média, em expansão correspondem a expoentes positivos, enquanto que eixos que estão, em média, em contracção correspondem a expoentes negativos.
Em sistemas dinâmicos dissipativos, a soma dos expoentes de Lyapunov é negativa e, como tal, qualquer domínio contido no espaço de fases será, em geral, transformado progressivamente pelo sistema dinâmico num domínio cujo volume terá uma dimensão menor que a dimensão do sistema quando se toma a dissipação como sendo zero. Assim, um sistema dinâmico dissipativo terá, pelo menos, um expoente negativo, a soma de todos os expoentes será negativa e o movimento das trajectórias, após um intervalo de
tempo transiente, ocorrerá no atractor. Qualquer sistema que contenha, pelo menos, um expoente de Lyapunov positivo, é caótico, e a magnitude desse expoente reflecte a escala temporal para a qual o sistema em estudo é impredictível. Sendo λ1 ≥ λ2 ≥, · · · , ≥ λN,
de tal modo que λ1 corresponde à taxa de maior expansão dos eixos principais e λN à
taxa de maior contracção, então toma-se como indicador da existência (ou inexistência) de regimes caóticos o maior desses expoentes, λ1.
Tabela 2.1: Expoentes de Lyapunov em sistemas tridimensionais
Sinais dos Tipos de
expoentes de Lyapunov Atractores
λ1 λ2 λ3
− − − Ponto fixo
0 − − Periódico
0 0 − Quase-periódico
+ 0 − Caótico
Os expoentes de Lyapunov são aqui utilizados no estudo dos sistemas dinâmicos uma vez que, a partir do seu sinal, pode determinar-se com facilidade e de modo não-ambiguo a natureza dos atractores existentes. Em sistemas tridimensionais, a extensão linear do eixo principal do elipsóide é proporcional a 2λ1t, a área definida pelos dois eixos principais
é proporcional a 2(λ1+λ2)t e o volume definido pelos três eixos principais é proporcional a
2(λ1+λ2+λ3)t. Para estes sistemas, os espectros passíveis de ser encontrados e
correspon-dentes atractores, estão representados esquematicamente na Tabela 2.1 (Wolf et al. 1985). Para um ponto fixo, os três expoentes λ1, λ2, λ3 são negativos, uma vez que o volume de
condições iniciais deve contrair ao longo das três direcções no espaço de fases. Para um atractor periódico, tem-se λ1 = 0, uma vez que se mantém constante a distância entre
duas condições iniciais inicialmente vizinhas, sendo o expoente associado a essa direcção nulo e λ2, λ3 < 0 uma vez que nas direcções perpendiculares há contracção de volume no
espaço de fases. Para um atractor quase-periódico, λ1, λ2 = 0 e λ3 < 0, de modo que as
trajectórias se situam sobre uma superfície. Para um atractor caótico, tem-se λ1 > 0 dada
a existência de divergência exponencial de órbitas vizinhas no espaço de fases, λ2 = 0 que
representa o expoente ao longo da trajectória, tendo-se ainda que λ3 < 0 deve ser maior
em modulo que λ1 para que o sistema seja dissipativo.
Para enfatizar o interesse dos conceitos aqui apresentados no caso do escoamento atmosférico, enuncia-se aqui como pode ser encarada a atmosfera sob o ponto de vista dos sistemas dinâmicos.
A atmosfera constitui um sistema dissipativo, possuindo mecanismos de interacção não-lineares entre as diversas escalas do movimento e estando sujeita a forçamentos ex-ternos. Pode dizer-se que a atmosfera é um sistema instável no sentido em que dois estados inicialmente muito próximos se afastam progressivamente no decurso do tempo,
tratando-se, portanto, de um sistema que tem grande sensibilidade às condições iniciais. A atmosfera, quando encarada como um sistema dinâmico, deve encontrar-se numa re-gião do espaço correspondente à existência de um determinado atractor caótico, sendo um dado estado da atmosfera descrito por uma determinada posição de um ponto no espaço de fases e traduzindo-se a sua evolução, ao longo de uma sequência de estados, por uma trajectória ou órbita desse ponto.
A predictabilidade da atmosfera engloba diversos aspectos, tais como o de caracterizar o estado do tempo num determinado instante futuro, as condições médias da atmosfera num dado intervalo de tempo e numa dada região, a duração e persistência de vários regimes de circulação da atmosfera e a transição entre regimes. A incerteza na especifi-cação das condições iniciais da atmosfera, aliada à sua instabilidade, não permitem fazer previsões para além de um limite temporal limitado, condicionando, assim, a sua pre-dictabilidade. Do ponto de vista da dinâmica dos sistemas caóticos, a predictabilidade da atmosfera pode ser quantificada recorrendo à estrutura dos atractores a partir, por exemplo, dos expoentes de Lyapunov.
Independentemente das condições iniciais, as trajectórias no espaço de fases de um sistema caótico dissipativo são atraídas para subconjuntos do espaço, que são os atractores. No caso da atmosfera, os pontos situados no atractor representam os estados que são compatíveis com o clima. De referir, finalmente, que apesar de não ser possível especificar o estado do sistema num dado instante, podem ser previstas as características estatísticas globais de uma dada solução.
Complexidade com espaço-tempo
discreto
Este capítulo trata da complexidade em sistemas com espaço e tempo discretos analisando-se o comportamento de autómatos celulares unidimensionais modelados por regras totalísticas de classe 4 e apresentam-se dois resultados novos particular-mente interessantes: 1) um algoritmo que permite fazer a actualização espacial de qualquer autómato sem impor limitações no tamanho da rede e nas condições de fronteira (as restrições usuais na literatura); 2) uma fórmula analítica geral para quantificar a complexidade do algoritmo. Os principais resultados deste capítulo es-tão resumidos em três manuscritos: Freire e Gallas (2007); Freire et al. (2007b,c).
3.1
Espaço-tempo discreto versus contínuo
Conforme referido no capítulo anterior, a complexidade das simulações do clima pode ser modelada em dois níveis, recorrendo a modelos de circulação da atmosfera mais realís-ticos, mas de elevado custo computacional, ou a modelos de baixa ordem, mais fáceis de se tratarem computacionalmente. Em ambos os casos, uma vez formulado o problema e es-colhidas as equações diferenciais, a sua solução passa pelo processo usual da discretização numérica.
Como é bem sabido, a utilização de equações diferenciais constitui o método tradicional nas ciências exactas desde há quase 350 anos, desde a sua introdução por Leibniz e Newton. Mais recentemente, porém, tem-se vindo a desenvolver uma gama de modelos radicalmente novos para o tratamento de fenómenos envolvendo complexidade espaço-temporal. Tais modelos, utilizados cada vez com mais intensidade nos últimos 20 anos, baseiam-se no emprego directo de algoritmos intrinsecamente discretos, ab initio. Os modelos mais conhecidos neste campo são os denominados autómatos celulares, cuja descrição detalhada e inúmeras aplicações se pode consultar em diversas obras da especialidade, tais como Chopard e Droz (1998); Ilachinski (2001); Badii e Politi (1997); Abraham et al. (1989); Wolfram (1994, 2002).
Para além da novidade teórica, um aspecto particularmente interessante dos autóma-tos celulares é o de permitir considerar-se a interacção de redes complexas de “unidades locais”, i.e. a interacção de conjuntos de elementos independentes, cada um com a sua di-nâmica própria. Os autómatos celulares envolvem variáveis discretas, em geral, variáveis binárias, que assumem apenas dois valores lógicos. Este facto tem a imensa vantagem computacional dos modelos baseados em espaço-tempo discreto: cálculos exactos e com-putacionalmente rápidos.
Os autómatos celulares têm aplicações nos mais diversos campos, importando referir algumas dessas aplicações desenvolvidas no âmbito dos subsistemas que compõem o sis-tema climático. Assim, no caso da litosfera, merece mencionar os modelos baseados em autómatos celulares cujo objectivo é reconstruir os padrões sísmicos de uma dada região (Jiménez et al. 2007). No caso da hidrosfera, pode mencionar-se a utilização de autóma-tos celulares para simular o escoamento hidrodinâmico em torno de obstáculos (Wolfram 2002; Chopard e Droz 1998), bem como a simulação de processos de difusão com vista à previsão da dispersão de poluentes em alto mar (Karafyllidis 1997; Nakano et al. 1998). No caso da biosfera, é de mencionar a interessante utilização de autómatos celulares para a simulação da propagação de fogos florestais (Encinas et al. 2007). No caso da atmos-fera, os autómatos celulares têm vindo a ser utilizados numa vasta gama de áreas, desde a simulação de imagens de satélite (Piazza e Cuccoli 2001), a análise de dispersão de po-luentes (Marín et al. 2000) e a assimilação de dados (Tomassetti et al. 2005). No aspecto mais relevante de modelos de circulação da atmosfera, merece mencionar a utilização de autómatos celulares para melhorar a simulação de regimes de tempo nas latitudes médias do Pacifico Norte e assim minimizar a usual sobrestimação dos ventos de oeste (Jung et al. 2005; Shutts 2005).
Dada a crescente importância de aplicações de autómatos celulares aos subsistemas do sistema climático e, em particular, à atmosfera, consideram-se neste capítulo alguns aspectos da dinâmica de células discretas modeladas com autómatos celulares de classe 4 cujo comportamento foi conjecturado por Wolfram (2002) como sendo o mais complexo. Em primeiro lugar são revisados alguns conceitos básicos sobre autómatos celulares e, em seguida, apresentam-se as nossas contribuições ao assunto, já parcialmente publicadas na literatura especializada (Freire e Gallas 2007; Freire et al. 2007c).
3.2
Autómatos celulares
Sucintamente, como já mencionado, os autómatos celulares são idealizações matemáti-cas de sistemas físicos nos quais o espaço e o tempo são discretos, podendo ser vistos como um conjunto de sítios discretos (células) interconectados localmente entre si. A cada uma dessas células (isto é, cada sítio i) está associado um estado com um determinado grau de liberdade discreto, representado por um número inteiro σi. O intervalo de variação dos
valores de σi está associado, grosso modo, à complexidade atribuída à dinâmica local em
cada sítio. No caso mais elementar, o dos autómatos binários, temos σi ∈ {0, 1}. Em
outras palavras, neste caso dois valores são suficientes para descrever a dinâmica local. A evolução temporal de um autómato é definida através de uma regra que, para um dado instante t e para cada sítio i, diz de que modo se obtêm os valores de σi(t + 1). As
regras que definem a evolução temporal podem tanto envolver elementos probabilísticos como ser puramente determinísticas. Regras determinísticas são por vezes chamadas de totalísticas por terem a sua actualização determinada por uma soma dependente do valor de σ no sítio i a ser actualizado, bem como dos valores de σ de um determinado número de sítios vizinhos localizados a uma certa distância do sítio i. Em geral, consideram-se vizinhanças simétricas com um alcance r. Neste trabalho consideraremos apenas regras totalísticas. Assim, a dinâmica do sistema é determinada fundamentalmente pela regra de actualização, pelo que o comportamento dinâmico observado será semelhante quando evoluímos o sistema por uma mesma regra, ainda que se considerem diferentes tamanhos de autómatos e diferentes condições iniciais.
Num autómato celular é possível variar a sua dimensão, o número de estados que os sítios assumem e o alcance da regra de actualização. Quanto maiores forem estes factores, mais complexa será a implementação computacional. No entanto, é de realçar que mesmo autómatos celulares com definições extremamente simples, como os autómatos binários, são capazes de apresentar um comportamento complexo.
De um modo mais formal e geral, seja σi(t) o valor de um sítio i num autómato celular
unidimensional no passo de tempo t. Cada σi(t) é especificado através de um número
arbitrário p de valores inteiros: 0 ≤ σi(t) ≤ (p − 1). Os valores dos sítios evoluem por
iteração de
σi(t + 1) = F [σi−r(t), · · · , σi+r(t)] ,
onde F é uma função arbitrária que especifica a regra de actualização de alcance r. As diferentes regras de actualização são usualmente identificadas através de um número associado ao tipo de actualização efectuado. Assim, no caso de regras totalísticas de autómatos binários unidimensionais com alcance r = 2 vizinhos sobre as quais recai este trabalho, esse número é definido com base em todos os valores possíveis da soma dos sítios da vizinhança que correspondem a uma actualização do sítio central para o valor 1. Esquematicamente, tem-se i+r X n=i−r σn(t) 5 4 3 2 1 0 σi(t + 1) a5 a4 a3 a2 a1 a0
sendo o número da regra definido pela expressão
