Sistemas dinâmicos

Por “sistema dinâmico” entende-se um conjunto de regras, em geral dadas por equações matemáticas, cuja função é definir como o estado de um sistema físico evolui com o passar do tempo. Mais especificamente, é um conjunto de regras que define como o ponto representativo do sistema física evolui no espaço de fase (Sprott 2003; Strogatz 2001). Assim, os sistemas dinâmicos podem ser convenientemente descritos em termos geométricos, tratando as variáveis dependentes (ou variáveis de estado) como coordenadas num espaço multidimensional (espaço de fases). O estado do sistema é então representado por um ponto nesse espaço e à medida que o sistema evolui no decurso do tempo, esse ponto descreve uma trajectória ou órbita.

As regras matemáticas que definem os sistemas dinâmicos podem considerar a variável tempo tanto como evoluindo discreta ou contínuamente. Sobre ambas situações existe

abundante literatura, que pode ser obtida dos livros acima, e a escolha duma ou de outra representação basicamente depende de vários fatores, em geral discutidos consoante a escala de tempo apropriada à aplicação visada.

Um sistema de dimensão N, i.e. envolvendo N variáveis X1, · · · , XN, e contendo um

conjunto de parâmetros de controle α, β, · · · , é, em geral, representado formalmente do seguinte modo:

˙ Xi =

dXi(t)

dt = fi(X1, · · · , XN, α, β, · · · , t) , i = 1, · · · , N (2.1) sendo o sistema é denominado autónomo quando as funções fi não contiverem a variável

tempo explicitamente.

O sistema descrito pela Eq. (2.1) diz-se conservativo quando há preservação do volume no espaço de fases e diz-se dissipativo quando um dado elemento de volume definido nesse espaço de fases tende a contrair-se ao longo das trajectórias (isto é, contrai com o passar do tempo). O sistema da Eq. (2.1) pode ainda ser convenientemente reescrito na forma vectorial da seguinte forma:

d~x

dt = ~f (~x), onde ~f (~x) é a velocidade instantânea ~v no ponto ~x.

Tendo em conta que a taxa de variação do volume elementar dV dada pela divergência do escoamento:

d

dt(dV ) = dV ∇ · ~v,

ve-se que o sistema é dissipativo caso a divergência do escoamento seja negativa (∇·~v < 0) e expansivo caso a divergência seja positiva (∇ · ~v > 0).

Para sistemas dinâmicos dissipativos, tem-se que, após um período transiente em que o sistema “perde a memória” das condições iniciais, as trajectórias acessíveis aos vários estados do sistema tendem, assimptoticamente, para uma região confinada do espaço de fases, isto é, para um subconjunto do espaço de fases, que se designa por atractor. O conjunto de todas as condições iniciais no espaço de fase que, de acordo com as equações que regem o sistema, evoluem no decurso do tempo para um determinado atractor, é denominado bacia de atracção. Um sistema dinâmico que tenha mais de um atractor para um mesmo conjunto fixo de parâmetros, diz-se intransitivo; caso contrário diz-se transitivo.

A variação dos parâmetros de controlo de um sistema dinâmico resulta, em geral, numa alteração das propriedades do atractor no espaço de fases. A predictabilidade de um dado sistema pode ser caracterizada caso se conheça o conjunto dos seus atractores e das suas bacias de atracção, para cada valor fixo dos parâmetros de controle do sistema.

Se o atractor corresponde a um regime estacionário, então reduz-se a um ponto fixo no espaço de fases; se o regime for periódico, reduz-se a uma curva fechada. Nestes atractores, pequenos erros na definição de um ponto do atractor (isto é, de um estado do sistema

num dado instante) mantêm-se constantes ou decrescem no tempo, pelo que os movimentos nestes atractores são previsíveis e, como tal, pode dizer-se que a sua predictabilidade é ilimitada. Caso se considere uma superfície de Poincaré, isto é, uma superfície emersa no espaço de fases, então uma dada trajectória irá interceptar a superfície em vários pontos sucessivos e, em particular, se estivermos perante um atractor periódico este “perfurará” a secção num conjunto discreto de pontos.

Um sistema caótico é aquele que apresenta forte sensibilidade às condições iniciais, isto é, em que pequenas variações na especificação das condições iniciais, abaixo do limiar de detecção instrumental, podem produzir grandes variações em estados futuros. O atractor de um regime caótico contém trajectórias aperiódicas que apresentam uma grande sensi- bilidade para as condições iniciais; pequenas perturbações nas condições iniciais crescem, em média, exponencialmente, originando movimentos caóticos imprevisíveis. Como tal, os sistemas caóticos têm uma predictabilidade muito limitada. Assim, pode dizer-se que um sistema caótico é aquele em que um estado presente é insuficiente para determinar estados aproximados num futuro distante (Lorenz 1990). Para estes sistemas, qualquer repetição aproximada de um comportamento anterior terá uma duração temporária e a periodicidade não se desenvolve. Assim, valores numéricos de qualquer variável, em grandes intervalos de tempo, igualmente espaçados (por exemplo, observações anuais de temperatura numa estação meteorológica particular), podem assemelhar-se a números aleatórios.

A sensibilidade às condições iniciais pode ser quantificada através dos denominados expoentes de Lyapunov, os quais representam a taxa exponencial média no tempo da di- vergência ou convergência de órbitas vizinhas no espaço de fases. Se um sistema dinâmico tiver dimensão N, definem-se N expoentes de Lyapunov:

λi = lim t→∞ 1 t log2  εi(t) ε(0)  , _{i = 1, · · · , N,}

onde os valores εi(t) representam, no instante t, o comprimento dos eixos principais de

um elipsóide resultante da deformação pelo sistema dinâmico de uma esfera de raio ε(0), no instante inicial (Wolf et al. 1985; Strogatz 2001). Se um dos expoentes for positivo, tal significa que um dos eixos tenderá a alongar-se e, como tal, os pontos extremos desses eixos tenderão a afastar-se progressivamente. Assim, eixos que estão, em média, em expansão correspondem a expoentes positivos, enquanto que eixos que estão, em média, em contracção correspondem a expoentes negativos.

Em sistemas dinâmicos dissipativos, a soma dos expoentes de Lyapunov é negativa e, como tal, qualquer domínio contido no espaço de fases será, em geral, transformado progressivamente pelo sistema dinâmico num domínio cujo volume terá uma dimensão menor que a dimensão do sistema quando se toma a dissipação como sendo zero. Assim, um sistema dinâmico dissipativo terá, pelo menos, um expoente negativo, a soma de todos os expoentes será negativa e o movimento das trajectórias, após um intervalo de

tempo transiente, ocorrerá no atractor. Qualquer sistema que contenha, pelo menos, um expoente de Lyapunov positivo, é caótico, e a magnitude desse expoente reflecte a escala temporal para a qual o sistema em estudo é impredictível. Sendo λ1 ≥ λ2 ≥, · · · , ≥ λN,

de tal modo que λ1 corresponde à taxa de maior expansão dos eixos principais e λN à

taxa de maior contracção, então toma-se como indicador da existência (ou inexistência) de regimes caóticos o maior desses expoentes, λ1.

Tabela 2.1: Expoentes de Lyapunov em sistemas tridimensionais

Sinais dos Tipos de

expoentes de Lyapunov Atractores

λ1 λ2 λ3

− − − Ponto fixo

0 _{− −} Periódico

0 0 ₋ Quase-periódico

+ 0 ₋ Caótico

Os expoentes de Lyapunov são aqui utilizados no estudo dos sistemas dinâmicos uma vez que, a partir do seu sinal, pode determinar-se com facilidade e de modo não-ambiguo a natureza dos atractores existentes. Em sistemas tridimensionais, a extensão linear do eixo principal do elipsóide é proporcional a 2λ1t, a área definida pelos dois eixos principais

é proporcional a 2(λ1+λ2)t e o volume definido pelos três eixos principais é proporcional a

2(λ1+λ2+λ3)t. Para estes sistemas, os espectros passíveis de ser encontrados e correspon-

dentes atractores, estão representados esquematicamente na Tabela 2.1 (Wolf et al. 1985). Para um ponto fixo, os três expoentes λ1, λ2, λ3 são negativos, uma vez que o volume de

condições iniciais deve contrair ao longo das três direcções no espaço de fases. Para um atractor periódico, tem-se λ1 = 0, uma vez que se mantém constante a distância entre

duas condições iniciais inicialmente vizinhas, sendo o expoente associado a essa direcção nulo e λ2, λ3 < 0 uma vez que nas direcções perpendiculares há contracção de volume no

espaço de fases. Para um atractor quase-periódico, λ1, λ2 = 0 e λ3 < 0, de modo que as

trajectórias se situam sobre uma superfície. Para um atractor caótico, tem-se λ1 > 0 dada

a existência de divergência exponencial de órbitas vizinhas no espaço de fases, λ2 = 0 que

representa o expoente ao longo da trajectória, tendo-se ainda que λ3 < 0 deve ser maior

em modulo que λ1 para que o sistema seja dissipativo.

Para enfatizar o interesse dos conceitos aqui apresentados no caso do escoamento atmosférico, enuncia-se aqui como pode ser encarada a atmosfera sob o ponto de vista dos sistemas dinâmicos.

A atmosfera constitui um sistema dissipativo, possuindo mecanismos de interacção não-lineares entre as diversas escalas do movimento e estando sujeita a forçamentos ex- ternos. Pode dizer-se que a atmosfera é um sistema instável no sentido em que dois estados inicialmente muito próximos se afastam progressivamente no decurso do tempo,

tratando-se, portanto, de um sistema que tem grande sensibilidade às condições iniciais. A atmosfera, quando encarada como um sistema dinâmico, deve encontrar-se numa re- gião do espaço correspondente à existência de um determinado atractor caótico, sendo um dado estado da atmosfera descrito por uma determinada posição de um ponto no espaço de fases e traduzindo-se a sua evolução, ao longo de uma sequência de estados, por uma trajectória ou órbita desse ponto.

A predictabilidade da atmosfera engloba diversos aspectos, tais como o de caracterizar o estado do tempo num determinado instante futuro, as condições médias da atmosfera num dado intervalo de tempo e numa dada região, a duração e persistência de vários regimes de circulação da atmosfera e a transição entre regimes. A incerteza na especifi- cação das condições iniciais da atmosfera, aliada à sua instabilidade, não permitem fazer previsões para além de um limite temporal limitado, condicionando, assim, a sua pre- dictabilidade. Do ponto de vista da dinâmica dos sistemas caóticos, a predictabilidade da atmosfera pode ser quantificada recorrendo à estrutura dos atractores a partir, por exemplo, dos expoentes de Lyapunov.

Independentemente das condições iniciais, as trajectórias no espaço de fases de um sistema caótico dissipativo são atraídas para subconjuntos do espaço, que são os atractores. No caso da atmosfera, os pontos situados no atractor representam os estados que são compatíveis com o clima. De referir, finalmente, que apesar de não ser possível especificar o estado do sistema num dado instante, podem ser previstas as características estatísticas globais de uma dada solução.

Complexidade com espaço-tempo

discreto

Este capítulo trata da complexidade em sistemas com espaço e tempo discretos analisando-se o comportamento de autómatos celulares unidimensionais modelados por regras totalísticas de classe 4 e apresentam-se dois resultados novos particular- mente interessantes: 1) um algoritmo que permite fazer a actualização espacial de qualquer autómato sem impor limitações no tamanho da rede e nas condições de fronteira (as restrições usuais na literatura); 2) uma fórmula analítica geral para quantificar a complexidade do algoritmo. Os principais resultados deste capítulo es- tão resumidos em três manuscritos: Freire e Gallas (2007); Freire et al. (2007b,c).

3.1

Espaço-tempo discreto versus contínuo

Conforme referido no capítulo anterior, a complexidade das simulações do clima pode ser modelada em dois níveis, recorrendo a modelos de circulação da atmosfera mais realís- ticos, mas de elevado custo computacional, ou a modelos de baixa ordem, mais fáceis de se tratarem computacionalmente. Em ambos os casos, uma vez formulado o problema e es- colhidas as equações diferenciais, a sua solução passa pelo processo usual da discretização numérica.

Como é bem sabido, a utilização de equações diferenciais constitui o método tradicional nas ciências exactas desde há quase 350 anos, desde a sua introdução por Leibniz e Newton. Mais recentemente, porém, tem-se vindo a desenvolver uma gama de modelos radicalmente novos para o tratamento de fenómenos envolvendo complexidade espaço-temporal. Tais modelos, utilizados cada vez com mais intensidade nos últimos 20 anos, baseiam-se no emprego directo de algoritmos intrinsecamente discretos, ab initio. Os modelos mais conhecidos neste campo são os denominados autómatos celulares, cuja descrição detalhada e inúmeras aplicações se pode consultar em diversas obras da especialidade, tais como Chopard e Droz (1998); Ilachinski (2001); Badii e Politi (1997); Abraham et al. (1989); Wolfram (1994, 2002).

Para além da novidade teórica, um aspecto particularmente interessante dos autóma- tos celulares é o de permitir considerar-se a interacção de redes complexas de “unidades locais”, i.e. a interacção de conjuntos de elementos independentes, cada um com a sua di- nâmica própria. Os autómatos celulares envolvem variáveis discretas, em geral, variáveis binárias, que assumem apenas dois valores lógicos. Este facto tem a imensa vantagem computacional dos modelos baseados em espaço-tempo discreto: cálculos exactos e com- putacionalmente rápidos.

Os autómatos celulares têm aplicações nos mais diversos campos, importando referir algumas dessas aplicações desenvolvidas no âmbito dos subsistemas que compõem o sis- tema climático. Assim, no caso da litosfera, merece mencionar os modelos baseados em autómatos celulares cujo objectivo é reconstruir os padrões sísmicos de uma dada região (Jiménez et al. 2007). No caso da hidrosfera, pode mencionar-se a utilização de autóma- tos celulares para simular o escoamento hidrodinâmico em torno de obstáculos (Wolfram 2002; Chopard e Droz 1998), bem como a simulação de processos de difusão com vista à previsão da dispersão de poluentes em alto mar (Karafyllidis 1997; Nakano et al. 1998). No caso da biosfera, é de mencionar a interessante utilização de autómatos celulares para a simulação da propagação de fogos florestais (Encinas et al. 2007). No caso da atmos- fera, os autómatos celulares têm vindo a ser utilizados numa vasta gama de áreas, desde a simulação de imagens de satélite (Piazza e Cuccoli 2001), a análise de dispersão de po- luentes (Marín et al. 2000) e a assimilação de dados (Tomassetti et al. 2005). No aspecto mais relevante de modelos de circulação da atmosfera, merece mencionar a utilização de autómatos celulares para melhorar a simulação de regimes de tempo nas latitudes médias do Pacifico Norte e assim minimizar a usual sobrestimação dos ventos de oeste (Jung et al. 2005; Shutts 2005).

Dada a crescente importância de aplicações de autómatos celulares aos subsistemas do sistema climático e, em particular, à atmosfera, consideram-se neste capítulo alguns aspectos da dinâmica de células discretas modeladas com autómatos celulares de classe 4 cujo comportamento foi conjecturado por Wolfram (2002) como sendo o mais complexo. Em primeiro lugar são revisados alguns conceitos básicos sobre autómatos celulares e, em seguida, apresentam-se as nossas contribuições ao assunto, já parcialmente publicadas na literatura especializada (Freire e Gallas 2007; Freire et al. 2007c).