A equação de Raychaudhuri e o caráter não-atrativo da gravidade f(R)

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE. F ÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL. PROGRAMA DE PÓS - GRADUAÇÃO EM. F ÍSICA. A E QUAÇÃO DE R AYCHAUDHURI E O C ARÁTER N ÃO -ATRATIVO DA G RAVIDADE f (R) C RISLANE DE S OUZA S ANTOS. NATAL - RN M ARÇO 2017.

(2) C RISLANE DE S OUZA S ANTOS. A E QUAÇÃO DE R AYCHAUDHURI E O C ARÁTER N ÃO -ATRATIVO DA G RAVIDADE f (R). Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de Doutor em Física. Orientador: Prof. Dr. Janilo Santos. NATAL - RN M ARÇO 2017.

(3) i.

(4) À minha amada filha, Lara Gabrielhe, que me inspira a cada dia com seu sorriso radiante.. i.

(5) AGRADECIMENTOS • A Deus, O Criador de todas as coisas e fonte de amor, paz e sabedoria, elementos indispensáveis na elaboração da minha Tese. • Ao meu orientador, Dr. Janilo Santos, pela sua dedicação, paciência, e sobretudo disponibilidade em transmitir conhecimentos. • A minha linda filha Lara Gabrielle, por me abraçar sempre nas horas certas. • Aos meus pais, Auto e Creusa, pelo amor incondicional. • Aos meus irmãos Anne Caroline Souza, Danilo Souza e Gislande Souza pela cumplicidade e amizade. • Aos amigos em especial, Adriana Assis Ferreira, Cristiane Correa, Everton Luiz de Paula e Juliana Cerqueira pelo apoio constante. • A todos os meus colegas do DFTE/UFRN em especial Eliângela Paulino, Tarcisyo, Cristovão e Nyladih Mattos pelo ambiente de amizade e companheirismo criado durante a parte curricular, e que permitiram tornar este curso um espaço de crescimento. • Ao Dr. Gabriel Alves Mendes pela ajuda na resolução de problemas técnicos, pelo apoio e pela amizade quando sempre se fez necessário. • A todos os professores da PPGF-UFRN em particular Dr. Ananias Mariz, Dr. Dory Hélio Anselmo, Dr. Francisco Alexandre, Dr. Luciano Silva e Dr. José Renan de Medeiros que direta ou indiretamente contribuíram para a minha formação acadêmica . • Aos funcionários do PPGF-UFRN em especial Celina Pinheiro e Maria Deílda "por estarem sempre por perto". • Aos meus colegas da DEAD/UFVJM, pelo apoio e amizade. • A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro.. ii.

(6) NOTAÇÕES E CONVENÇÕES. • A assinatura da métrica (−, +, +, +); • Considere a velocidade da luz sempre com valor unitário (c = 1) e a constante de acoplamento gravitacional k 2 = 8πG ; • Os índices gregos variam de 0 a 3 e os latinos de 1 a 3. Índices repetidos obedecem à convenção de Einstein; ρ • Tensor de Curvatura de Riemann: Rσµν = Γρσν,µ − Γρσµ,ν + Γρλν Γλσµ − Γρλµ Γλµν ;. • Tensor de Ricci: Rµν = ∂λ Γλνµ − ∂ν Γλλµ + Γλλσ Γσνµ − Γλνσ Γσλµ ; • Conexões de Levi-Civita na Métrica gµν : Γσµν = 21 g ασ (∂µ gαν + ∂ν gµα − ∂α gµν ) ; • Métrica Conforme: hµν = L0 gµν ; • Conexões de Levi-Civita Generalizadas na Métrica hµν : α 1 α α 0 α 0 αβ 0 µν = Γµν + 2(1+f 0 ) δµ ∂ν f + δν ∂µ f − gµν g ∂β f .. iii.

(7) “A coisa mais bela que o homem pode experimentar é o mistério. É essa emoção fundamental que está na raiz de toda ciência e toda arte.” Albert Einstein. iv.

(8) Resumo A evidência observacional da expansão acelerada do Universo tem sido a principal razão para uma revisão da evolução cosmológica como previsto pela Relatividade Geral (RG). Atualmente existe duas principais abordagens para resolver este problema: pela introdução nas equações de Einstein de um termo o qual representa um novo tipo de fluido (a chamada energia escura) possuindo características exóticas ou pela modificação da teoria de gravitação. Nesta tese nós focamos na segunda abordagem, particularmente, as teorias conhecidas como teorias f (R) de gravidade as quais têm recebido muita atenção nos últimos anos. Neste contexto, a equação de Raychaudhuri permite examinar a estrutura do espaço-tempo como um todo sem soluções específicas das equações de Einstein, desempenhando assim um papel central para a compreensão da atração gravitacional em Astrofísica e Cosmologia. Na teoria da Relatividade Geral sem uma constante cosmológica, uma contribuição não-positiva da geometria do espaço-tempo a equação de Raychaudhuri é usualmente interpretada como a manifestação do caráter atrativo da gravidade. Neste caso, condições de energia específicas - de fato a condição de energia forte - deve ser assumida, a fim de garantir o carácter atrativo. No contexto das teorias f (R) de gravidade, no entanto, mesmo assumindo as condições de energia usuais pode-se ter uma contribuição positiva para a equação de Raychaudhuri. Além de nos fornecer uma maneira simples de explicar a observada expansão acelerada do Universo, este fato abre a possibilidade de um caráter repulsivo deste tipo de gravidade. Nesta tese nós abordamos o carácter atrativo/não-atrativo da gravidade f (R) à luz da equação de Raychaudhuri e fazemos uso da condição de energia forte, juntamente com estimativas recentes dos parâmetros cosmográficos, para colocar limites em uma classe paradigmática de teorias f (R) de gravidade. Palavras-chaves: Teorias f (R) de gravidade, Condições de Energia, Equação de Raychaudhuri e o Caráter atrativo/não-atrativo da gravidade. v.

(9) Abstract The observational evidence of the accelerated expansion of the Universe has been the main reason for a revision of the cosmological evolution as predicted by General Relativity (GR). Currently there are two main approaches to solving this problem: by introducing in the Einstein’s equations a term which represent a new kind of fluid (the so-called dark energy possessing exotic features) or by the modification of the gravitation theory. In this thesis we focus on the second approach, particularly the theories know as f(R) theories of gravity, which have received many attention in the last years. In this framework, the Raychaudhuri equation makes possible to examine the whole of spacetime structures without specific solutions of Einstein’s equations, playing so a central role to the understanding of gravitational attraction in Astrophysics and Cosmology. In the general relativity theory of gravity without a cosmological constant, a non-positive contribution from the spacetime to Raychaudhuri’s equation is usually interpreted as manifestation of the attractive character of gravity. In this case, particular energy conditions - indeed the strong energy condition - must be assumed in order to guarantee this attractive character. In the context of f (R) theories of gravity however, even assuming the usual energy conditions we may have a positive contribution to Raychaudhuri’s equation. Besides giving us a simple way to explain the observed accelerated expansion of the Universe, this fact opens the possibility of a repulsive character of this kind of gravity. In this thesis we address the attractive/non-attractive character of f (R) theories of gravity at the light of Raychaudhuri’s equation and make use of the strong energy condition, jointly with recent estimated values for the cosmographic parameters, in order to put bounds on a paradigmatic class of f (R) theories of gravity. Keywords: f (R) Theories of Gravity, Energy Conditions, Raychaudhuri Equation, Cosmography and The Attractive/non-attractive Character.. vi.

(10) LISTA DE FIGURAS. 3.1. Vetor de desvio entre duas geodésicas vizinhas. (Figura retirada da referência [100]). 17. 5.1. Comportamento da curvatura gaussiana média MU µ /H02 (equação 5.21) para os valores médios dos parâmetros cosmográficos S0 = {q0 = −0.49±0.29, j0 = −0.50 ± 4.74, s0 = −9.31 ± 42.96}. Nós assumimos aqui ΩΛ = 0.69.. 5.2. . . . . .. 48. comportamento da curvatura gaussiana média MU µ /H02 (equação 5.21) em torno de n ≥ 0 para os valores inferiores (linha tracejada), médios (linha pontilhada) e superiores (linha sólida) dos valores do conjunto de parâmetros cosmográficos. A linha horizontal é MU µ /H02 = 3. Nós tomamos aqui ΩΛ = 0.69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vii. 49.

(11) SUMÁRIO. 1. Introdução. 1. 2. Teorias f (R) de Gravidade. 7. 2.1. Equações de Campo das Teorias f (R) de Gravidade no Formalismo Métrico. 9. 2.2. Equações de Campo das Teorias f (R) de Gravidade no Formalismo de Palatini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 14. 3.1. Congruência de Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 3.1.1. 17. Congruência de Geodésicas Tipo-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.1. 3.1.2. 3.2. A Equação de Raychaudhuri para Congruências Tipo-Tempo 20. Congruência de Geodésicas Tipo-Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2.1. 4. 10. 22. Equação de Raychaudhuri para Congruências de Geodésicas Tipo-Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . .. 26. Algumas Restrições Sobre As Teorias f (R). 30. 4.1. Cosmografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 4.2. Condições de energia de Hawking e Ellis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. viii.

(12) 5. 6. 4.2.1. Condição de Energia Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 4.2.2. Condição de Energia Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. Aplicações. 40. 5.1. Restrições da SEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 5.2. Vínculos Cosmográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 5.3. Uma Classe de Teorias f (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. Observações Finais e Perspectivas. 52. 6.1. Observações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 6.2. Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. Referências bibliográficas. 54. Apêndice. 67. A Equações de Movimento no Formalismo Métrico de Gravidade f (R). 67. ix.

(13) CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO. "A vida sem ciência é uma espécie de morte".. Socrates. A Teoria de Gravitação de Albert Einstein, conhecida como Relatividade Geral (RG), explica como se dá a interação gravitacional entre os corpos. Essa teoria é expressa em linguagem puramente geométrica, nela a matéria e a energia modificam a geometria do espaço-tempo curvando-a, a interação gravitacional é uma consequência dessa modificação. A relação entre a curvatura do espaço-tempo e a distribuição de matéria e energia é dada pelas equações de campo de Einstein, expressas pela equação Gµν = k 2 Tµν ,. (1.1). onde k 2 = 8πG é a constante de acoplamento gravitacional, G é a constante gravitacional de Newton (G = 6, 67x10−11 N m2 kg −2 ), Gµν é o tensor de Einstein, Gµν = Rµν − R2 gµν , Rµν é o tensor de Ricci, R é o escalar de curvatura, gµν é o tensor métrico do espaço-tempo e por fim Tµν é o tensor energia-momento. Este último contém em sua estrutura todas as informações referentes à energia e momentos do campo. A RG generaliza a Relatividade Especial para os casos de referenciais não inerciais 1.

(14) Capítulo 1. Introdução. 2. e se reduz à teoria de gravitação de Newton no regime de campo fraco. Vale ressaltar que no Universo regido pela RG, a gravidade não é uma força e sim uma consequência do fato que o espaço-tempo não é plano. Como já mencionamos, ele é curvado pela distribuição de matéria e energia. Portanto, a gravidade é uma propriedade do espaço-tempo. As equações de campo de Einstein, em sua forma original, descreviam um Universo dinâmico. No entanto, na época que foi formulada não havia qualquer razão para supor que o Universo estivesse se expandindo ou se contraindo [1]. Em função disso, Albert Einstein, em 1917, para descrever um Universo estático compatível com o pensamento em voga na época e explicar o Universo como todo mantido unido pela gravitação, introduziu em suas equações, ad hoc, a famosa constante cosmológica Λ. Assim as equações (1.1) tomaram a seguinte forma Gµν + Λgµν = k 2 Tµν .. (1.2). Para esse caso, o Universo se mantém estático, com a densidade sendo fixada por Λ e pelo valor de G. Contudo, o interesse no Universo estático de Einstein foi deixado de lado assim que surgiram os primeiros indícios observacionais de que o Universo estava em expansão. Não seria exagero afirmar que atualmente a RG é a teoria de gravitação mais aceita pela comunidade científica. Isso porque desde seu surgimento até os dias atuais, ela vem sendo submetida a vários testes experimentais e tem se mostrado bem sucedida. No que se diz respeito aos chamados testes clássicos, a RG apresenta bons resultados. Ela descreve bem o campo gravitacional do nosso Sistema Solar e também apresenta bons resultados no regime de campo fraco. Entretanto, quando o limite do Sistema Solar é extrapolado, a teoria de gravitação de Einstein começa a ser questionada. Observações recentes de Supernovas do tipo IA [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], indicaram que Universo vem passando por uma fase de expansão acelerada, contrariando o que se pensava até então. A atual fase de expansão acelerada do Universo se tornou um dos problemas mais desafiadores da cosmologia, pois uma expansão acelerada não condiz com RG, se levarmos em conta apenas partículas conhecidas preenchendo o Universo. A expansão acelerada do Universo viola a condição de energia forte de Hawking e Ellis. Abordaremos sobre assunto detalhadamente na seção (4.2.2) do capítulo (4). A supracitada evidência observacional da expansão acelerada do Universo tem sido a principal motivação para uma revisão da evolução cosmológica como previsto pela.

(15) Capítulo 1. Introdução. 3. RG e também do modelo padrão de partículas elementares. A princípio esse problema poderia ser solucionado, no âmbito da RG, com a introdução de um termo representando um novo tipo de fluído universal, chamado de energia escura, nas equações de Einstein. Esta energia escura equivaleria a 68,75% do total do Universo [9]. Ela seria oriunda de um tipo de matéria com a característica especial de não se aglomerar, comportando -se como um fluído com pressão negativa. É importante ressaltar que até a presente época esse tipo de matéria não foi detectada em laboratório. À energia escura estão associadas duas visões. Na primeira, o papel da energia escura seria desempenhado pela constante cosmológica Λ que estaria associada à energia do vácuo dos campos de matéria. Entretanto, nessa visão temos o problema da constante cosmológica. Tal problema consiste em uma discrepância entre o valor teórico da densidade de energia do vácuo no modelo padrão da Física de Partículas e o valor inferido das observações cosmológicas. Essa divergência pode chegar a 120 ordens de grandeza. Além dessa discrepância há ainda o problema da coincidência cósmica, que consiste no fato do valor atual da densidade de energia do vácuo ser comparável à densidade de matéria. Na segunda visão, a energia escura pode ser derivada de qualquer campo escalar que viole a condição de energia forte de Hawking e Ellis para a RG [10, 11, 12]. O problema dessa visão é que os campos escalares capazes de explicar a aceleração cósmica não encontram fundamentos na física de partículas. Como dito anteriormente, a existência de energia escura traria consequências diretas para as condições de energia. Até o final do século passado consideravam-se fluidos fisicamente aceitáveis, apenas aqueles que satisfizessem as condições de energia de Hawking e Ellis para a RG. Ressaltamos que não são observados efeitos locais associados a energia escura, fato que nos leva a concluir que este é um problema de natureza cosmológica. Porém, sua resolução trará consequências relevantes para a Física como um todo, inclusive em seu nível mais fundamental [13, 14]. Além da expansão acelerada do Universo, outro problema que surgiu com as observações astrofísicas e cosmológicas foi o problema da matéria escura. Estudos sobre a dinâmica das galáxias (comportamento incompatível das curvas de rotação das galáxias observadas com as previsões teóricas) e estudos de os aglomerados de galáxias 1 indicam que a maioria da matéria presente nesses sistemas é de natureza não bariônica. Essa maté1. Existe uma diferença considerável entre a massa total virializada (Mv) do aglomerado, estimada pelo Teorema do Virial, e a massa bariônica total (Mb), calculada quando se estima separadamente a massa de cada galáxia e em seguida soma-se todas as contribuições de todas as galáxias [15, 16, 17]..

(16) Capítulo 1. Introdução. 4. ria de natureza desconhecida é denominada de matéria escura. Os dados observacionais indicam que desconhecemos a natureza de 95,4 % do conteúdo do Universo. A Física atualmente consegue compreender apenas 4, 86% [9]. Apesar da proposta existência de uma matéria escura solucionar tanto o problema da curva de rotação das galáxias quanto a discrepância entre a Mv e Mb dos aglomerados de galáxias, a matéria escura ainda não foi detectada experimentalmente. Seus efeitos gravitacionais são a única evidência de sua existência [18, 19, 20, 21]. Um problema adicional, é que a matéria escura é dependente fortemente do tamanho da estrutura auto-gravitante. Tanto o problema da matéria escura, quanto o problema da expansão acelerada do Universo, reforçam a ideia de que a Teoria de Gravitação de Einstein pode necessitar ser revisada ou modificada. nos últimos anos vários pesquisadores têm se dedicado a solucionar os problemas mencionados acima. Eles têm trabalhado diligentemente para encontrar a viabilidade de vários modelos e/ou campos de matéria, ou até mesmo modificações da Teoria de Gravitação de Einstein. No paradigma da RG, atualmente o modelo que melhor se adequa as observações é o chamado "Modelo Padrão de Concordância ΛCDM "(Constante Cosmológica + Cold Dark Matter2 ). Neste modelo temos que a constante cosmológica representa a energia escura, responsável pela aceleração do Universo. A matéria escura fria seria a responsável por explicar a dinâmica observada das galáxias e dos aglomerados de galáxias. Para esse modelo a constituição do Universo dá-se da seguente forma (aproximada) [22]: 72,4% de energia escura, 23% de matéria escura fria e apenas 4,6% de matéria bariônica, ou seja, tudo que conhecemos até hoje no Universo ( estrelas, planetas, gases interestelares e intergaláticos, etc.) representa a menor parte da composição do Universo. O Modelo Padrão da Concordância ΛCDM seria perfeito, a não ser pelo fato que ele nos informa que 95,4% do conteúdo do Universo, matéria e energia, são oriundas de uma matéria com propriedades exóticas e peculiares. Fato que traz consigo inconsistências como o problema da Constante Cosmológica e o problema da Concordância. Ainda no contexto da RG, um outro modelo bem conhecido, é o modelo wCDM ou Quintessência [12, 23]. Este modelo é uma extensão do modelo ΛCDM . Nele a constante cosmológica é substituída pelo fator barotrópico w cujo valor dever ser w 6= −1 . A equação de estado é derivada do campo escalar o qual está acoplado com a curvatura. A dinâmica deste campo escalar evolui lentamente. Para esse modelo é possível ter-se ainda 2. Em português significa matéria escura fria..

(17) Capítulo 1. Introdução. 5. um fluido cósmico que possua comportamentos diferentes, os quais são atrelados a sua densidade. Como se vê, as propostas de explicação para a energia escura e matéria escura, no âmbito da RG, entram em conflito com o modelo Padrão da Física de Partículas pois nos apresentam um novo tipo de matéria, a qual não é acomodada pela Física atual que é incapaz de explicá-la. Devido aos problemas citados neste capítulo, alguns autores se interessaram por outra perspectiva, que consiste na hipótese de a RG não funciona bem em escalas cosmológicas, devendo, portanto, ser modificada ou extendida, para que possa explicar o panorama atual do Universo. Dentro desta linha de pesquisa temos as chamadas "Teorias de Gravidade Modificadas ", como exemplos podemos citar as Teorias f(T) e suas extensões ou Gravidade Tele-Paralela [24, 25], Teorias Gauss-Bornnet f(G) [26], Teorias de Weyl [27], Teoria de Brans-Dicke [28], Teorias Tensoriais-Vetorial-Escalares [TeVeS] [29], Gravidade Eddington-Born-Infeld (EBI) [30, 31, 32] e as Teorias f(R) de Gravidade [33]. Esta última tem recebido bastante atenção da comunidade científica, principalmente do ponto de vista da cosmologia. O interesse cosmológico nas teorias f(R) de gravidade vem do fato que estas teorias exibem naturalmente a expansão acelerada do Universo sem precisar de campos de matérias exóticos tais como energia escura. Os autores em [33, 34, 35, 36, 37, 38] abordam de forma detalhada este assunto. Atualmente, tem-se realizado muito esforço por parte dos pesquisadores desta linha a fim de se limitar a liberdade das diferentes formas funcionais as quais são possíveis para os modelos f(R). Recentemente, vínculos observacionais de vários conjuntos de dados cosmológicos têm sido explorados neste sentido [39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, ?]. Princípios gerais, tais como a estrutura não casual [52, 53, 54, 55], condições de energia [56, 57, 58, 59, 60, 61, 62], têm sido levados em conta a fim de se restringir o espaço de soluções e esclarecer algumas sutilezas relacionadas as teorias f(R) de gravidade. Nesta tese, um dos nossos propósitos é também estabelecer limites nos parâmetros de uma classe paradigmática de modelos f(R) no formalismo métrico através de considerações sobre o seu carácter atrativo/não atrativo da gravitação resultante. Para tal, nós iremos considerar a equação de Raychaudhuri e assumir a condição de energia forte junto com estimativas recentes dos parâmetros cosmográficos. Existe uma relação entre a curvatura média Gaussiana, a equação de Raychaudhuri e as equações de campo de uma teoria de gravidade. Esta relação nos permite obter in-.

(18) Capítulo 1. Introdução. 6. formações a respeito do caráter atrativo/repulsivo das teorias f(R) de gravidade. A ideia central deste trabalho é explorar a referida relação fazendo uso dos parâmetros cosmográficos (desaceleração q, jerk j e snap s ) para delimitar os parâmetros livres de um certo modelo de gravidade f(R) no formalismo métrico. Esta tese está estruturada da seguinte forma: no capítulo (2) apresentamos as teorias f(R) de gravidade no formalismo Métrico e no formalismo de Palatini. No capítulo (3) deduzimos, em detalhes, a equação de Raychaudhuri nas suas versões tipo-tempo e tiponula. Destacamos o papel do tensor de Ricci afim de se obter a focalização e desfocalização de feixes de geodésicas. No capítulo (4) fazemos uma revisão sobre cosmografia e uma breve discussão sobre sua importância como técnica independente de modelo. E por fim, uma sucinta revisão das condições de energia de Hawking e Ellis para o tensor energia momento de um fluido perfeito, no contexto da RG são trazidas nesse capítulo. Deduzimos em detalhes a Condição de Energia Nula e a Condição de Energia Forte. No capítulo (5) apresentamos os resultados originais obtidos na nossa investigação. Discutimos o papel desempenhado pelo tensor de Ricci na equação de Raychaudhuri e sua dependência com a teoria de gravitação adotada. Apresentamos também nesse capítulo uma análise detalhada, para uma classe de teorias f(R) de gravidade no formalismo métrico, mostrando a forte dependência da teoria, no que se refere ao seu poder atrativo/repulsivo, com seu espaço de parâmetros. Por outro lado, nossa análise mostra que essa dependência é fortemente determinada pelo valor dos chamados parâmetros cosmográficos. Usamos então valores de parâmetros cosmográficos, determinados a partir de vários conjuntos de dados observacionais, para traçar limites dos parâmetros dessa classe de teorias f(R). Este estudo foi realizado utilizando a geometria de FRW. Por fim, no capítulo (6) vamos expor nossas considerações finais e perspectivas..

(19) CAPÍTULO 2 TEORIAS F (R) DE GRAVIDADE. "O mais incompreensível do mundo é que seja compreensível. ". Albert Einstein. No atual cenário cosmológico duas questões de grande relevância científica ainda se encontram em aberto: o problema da matéria escura e o problema da energia escura. Tais problemas têm levado muitos pesquisadores a comungar da ideia de uma revisão da RG. Muitos destes cientistas entendem que a expansão acelerada do Universo não pode ser atribuída a existência de componentes exóticos, mas sim como um indício que a RG pode não estar correta. Com o domínio de aplicabilidade da teoria de gravitação de Einstein em cheque, surgiu a indicação de que uma possível correção ou modificação (extensão) da RG seja necessária. Atualmente na literatura científica encontramos várias possibilidades de modificações da RG. A essência de todas essas propostas passa pela modificação da ação de Einstein-Hilbert. De fato, tal modificação altera as equações de campo de Einstein, visto que estas equações são obtidas através da extremização da ação de Einstein-Hilbert. Em particular, as chamadas teorias f(R) de gravidade se destacam em meio as demais, pois são consideradas por muitos pesquisadores a forma mais simples de alteração da RG. Tal modificação se dá da seguinte maneira: o escalar de Ricci (R) presente na ação 7.

(20) Capítulo 2. Teorias f (R) de Gravidade. 8. de Einstein- Hilbert é substituído por uma função não linear f(R). Dessa forma altera-se as equações de campo em menor ou maior grau de modo a explicar a expansão acelerada do Universo, dentro do modelo cosmológico de Friedmann. Tal procedimento possibilita explicar a expansão acelerada do Universo sem a necessidade de postular a existência de campos de matéria exóticos [33, 35, 37]. Além do problema da energia escura, recentemente tem-se estudado também problemas relacionados a matéria escura dentro do escopo das teorias f(R) de gravidade [37, 63, 64, 65]. De forma sucinta, podemos dizer que a ideia chave das teoria f(R) de gravidade é tentar explicar a expansão acelerada do Universo usando somente a matéria ordinária como componente do Universo, dentro do modelo cosmológico de Friedmann. Em outras palavras, o espaço-tempo é encurvado pela matéria ordinária de maneira diferente daquela proposta por Einstein. Para um estudo mais aprofundado sobre o tema ver os artigos [33, 34, 35, 36, 38]. As equações de campo das teorias f(R) de Gravidade podem ser obtidas através de duas abordagens variacionais distintas, a saber, o formalismo métrico e o formalismo de Palatini. Na formulação métrica existe apenas uma variável dinâmica da configuração, que é o tensor métrico. Nesta formulação, supõe-se que as conexões são de Levi-Civita. Para obter as equações de campo, varia-se a ação com respeito ao tensor métrico. No formalismo de Palatini a métrica e as conexões são tratadas como campos independentes e assume-se que os campos de matéria não se acoplam com as conexões. Logo, para obter as equações de campo nesse formalismo, extremiza-se a ação em relação a ambas as variáveis1 . No contexto da RG (ação de Einstein-Hilbert) ambas as abordagens levam ao mesmo conjunto de equações de campo. O mesmo não acontece quando se trata das teorias f(R) de gravidade. F(R) gerais, com termos não-lineares, apresentam dinâmicas diferentes quando estudas pelos dois formalismos supracitados [33, 68, 69]. Nesta tese, nosso estudo sobre gravidade f(R) foi efetuado seguindo o formalismo métrico. Porém, para melhor visualizar a diferença entre as equações de campo dos dois formalismos, iremos também discutir rapidamente o formalismo de Palatini na seção (2.2). 1. Existem outros métodos para obter as equações de campo, como por exemplo, a formulação EinsteinEddington na qual as equações de campo são obtidas variando a ação com respeito as conexões. Outros exemplos de método são encontrados em [66, 67]. Nesta tese consideramos apenas o formalismo métrico e o formalismo de Palatini..

(21) Capítulo 2. Teorias f (R) de Gravidade. 2.1. 9. Equações de Campo das Teorias f (R) de Gravidade no Formalismo Métrico Para derivar as equações de campo das teorias f(R) de gravidade no formalismo. métrico, devemos inicialmente considerar a ação de Einstein-Hilbert modificada SEH. 1 = 2 2k. Z. √. −g d4 (x) [(R + f (R)) + LM ] ,. (2.1). onde g é o determinante da métrica gµν , f (R) é uma função generalizada do escalar de Ricci R e LM é a densidade de Lagrangeana da matéria. Nesta formulação as conexões são definidas a priori como sendo as de Levi-Civita da métrica, conforme a equação abaixo 1 Γρµν = g ρσ (∂ν gσµ + ∂µ gσν − ∂σ gµν ). 2. (2.2). Variando a equação (2.1) em relação a métrica obtemos as equações de campo de Einstein generalizadas (maiores detalhes do desenvolvimento dos cálculos são encontrados em no apêndice A desta tese), (1 + f 0 )Rµν −. gµν (R + f ) − (∇µ ∇ν + gµν 2) f 0 = k 2 Tµν , 2. (2.3). onde 2 = g ασ ∇α ∇σ , f 0 = df /dR e Tµν é o tensor energia momento definido por Tµν. √ 2 δ( −gLM ) ≡ −√ . −g δg µν. (2.4). O traço da equação (2.3) é dado por R = −8πGT − 2f + Rf 0 + 32f 0 . Isolando Rµν na equação (2.3) e subtraindo o termo. (2.5) R g 2 µν. de ambos os lados da. equação, chegamos a uma forma bem comum de se escrever as equações de movimento das teorias f(R) modificadas no formalismo métrico Gµν = Rµν −. i R 1 h 2 gµν 0 0 gµν = k T + (∇ ∇ − g 2) f + (f − Rf ) . µν ν µ µν 2 1 + f0 2. (2.6).

(22) Capítulo 2. Teorias f (R) de Gravidade. 10. Fazendo f (R) = 0, tanto nas equações (2.3) quanto em (2.6), recupera-se as equações de Einstein da RG. Na seção a seguir será apresentada as equações de movimento modificadas para teorias f(R) de gravidade no formalismo de Palatini.. 2.2. Equações de Campo das Teorias f (R) de Gravidade no Formalismo de Palatini No formalismo de Palatini tanto a métrica quanto as conexões são consideradas. como variáveis livres. Desta maneira, para se obter as equações de campo de Einstein generalizadas, devemos variar a ação de Einstein-Hilbert modificada, equação (2.1) não somente com respeito a métrica, mas também em relação as conexões, as quais para este formalismo, são variáveis independentes e por esse motivo até o momento são desconhecidas. Variando a equação (2.1) com relação a métrica, obtemos ˜ µν − (1 + f 0 )R. gµν (R + f (R)) = k 2 Tµν . 2. (2.7). ˜ µν é o tensor de Ricci escrito em termos das novas conexões. onde o R As equações (2.7) são conhecidas como as equações de campo de Einstein generalizadas no formalismo de Palatini. Chamamos a atenção para o fato que assim como Rµν ˜ µν , é escrito em termos das conexões de Levi-Civita e as derivadas dessas conexões, o R portanto é escrito em termos das conexões independentes e as derivadas destas conexões independentes. Nesta tese, iremos representar essas conexões independentes por {αµν }. Variando as equações (2.1) com relação as conexões e após alguns cálculos (para mais detalhes das contas ver [69]), temos o seguinte resultado ˜ α L0 √−gg µν = 0, ∇. (2.8). ˜ α é a derivada covariante associada a conexão {α } e L0 = 1 + f 0 . onde ∇ µν Não podemos deixar de observar que para o formalismo de Palatini a condição.

(23) Capítulo 2. Teorias f (R) de Gravidade. 11. de metricidade é recuperada quando se faz f (R) = R na equação (2.8). Vale lembrar que na RG, tal condição é imposta ad hoc. Quando resolvemos a equação (2.8) obtemos como resultado as conexões {αµν }, dadas por 1 {αµν } = hασ (∂µ hσν + ∂ν hµσ − ∂σ hµν ) , 2. (2.9). onde definimos hµν = L0 gµν ; h = det(hµν ); hµν = gµν /L0 , então g = h/(L0 )4 . As conexões {αµν } são chamadas de conexões de Levi-Civita para a métrica hµν . Alguns pesquisadores denominam hµν de métrica conforme outros como métrica aparente [70, 71]. Ao substituirmos hµν = L0 gµν na equação (2.9) obtemos α µν. = Γαµν +. 1 α 0 α 0 αβ 0 ∂ f + δ ∂ f − g g ∂ f , δ ν µ µν β µ ν 2(1 + f 0 ). (2.10). No formalismo de Palatini, assim como no formalismo métrico, recupera-se as equações de campo de Einstein para RG, porém neste caso a substituição necessária é f (R) = R. É importante salientar que ao estudarmos as teorias f(R) de gravidade via formalismo métrico, obtemos equações de campo de quarta ordem na métrica, quando o estudo é realizado via formalismo de Palatini, as equações de campo são de segunda ordem na métrica. Este fato deixa o formalismo de Palatini a frente do formalismo métrico, uma vez que é mais cômodo trabalhar com equações mais simples. Um outro fato relavante que deve-se mencionar é a descoberta de Dolgov e Kawasaki [72] ao estudar a f (R) = R −. µ4 R. no formalismo métrico. No referido estudo os autores encontraram uma instabilidade nas equações que descrevem a dinâmica de R na presença de matéria para este modelo. Este problema não aparece no estudo desta f (R) no formalismo de Palatini [73]. Se levarmos em consideração os fatos mencionados acima, podemos concluir que o formalismo de Palatini se apresenta de uma forma mais eficaz que o formalismo métrico, uma vez que além de possuir uma abordagem matemática mais simples também possui resultados satisfatórios nos testes cosmológicos . Contudo, o fato de surgir na formulação de Palatini uma nova métrica hµν a qual está associada a métrica da variedade por uma transformação conforme hµν = L0 gµν , leva a alguns questionamentos relevantes a respeito da viabilidade deste formalismo. Como, por exemplo, se hµν = L0 gµν para um dado gµν , uma f (R) é tão boa quanto a outra? Qual é o papel físico da métrica conforme? O que ela de fato representa? Há uma nova Física associada a ela? Em relação as conexões também.

(24) Capítulo 2. Teorias f (R) de Gravidade. 12. surgem perguntas, uma vez que no formalismo de Palatini temos duas conexões, a saber a conexão associada a métrica gµν representadas por Γαµν e as novas conexões {αµν } que surgem naturalmente durante o desenvolvimento desse formalismo. Os pesquisadores questionam qual dessas conexões irá descrever as geodésicas de um corpo em queda livre? Alguns autores se dedicaram a responder ou pelo menos esclarecer alguns dos questionamentos acima. Por exemplo, M. de Laurentes et al., por exemplo, defendem em [74, 75] que os campos gravitacionais deveriam ser representados por {αµν }. Logo, os corpos em queda-livre devem seguir geodésicas descritas por {αµν }. Em uma tentativa de esclarecer o papel da transformação conforme presente no formalismo de Palatini e sua estrutura bi-métrica, Santos, J. e Santos, S. C. em [71], relacionaram diretamente a nova métrica hµν bem como as conexões {αµν } às simetrias conformes preexistentes na variedade. É fato que os formalismos métrico e de Palatini produzem a expansão acelerada do Universo, porém eles são afetados por problemas genéricos. Por exemplo, para garantir a compatibilidade com a gravidade local a dinâmica, na abordagem variacional métrica, quando interpretada em termos de um campo escalar tipo Brans-Dicke, exige que este campo escalar de propagação seja maciço com interação de curto alcance. Assim, é necessário um mecanismo camaleão capaz de esconder o campo escalar em experimentos de laboratórios. Esse mesmo mecanismo deve se comportar como uma interação de longo alcance em escalas cósmicas para produzir a aceleração desejada. No entanto, esses modelos cameleão também são fortemente limitados pelas observações cosmológicas e não apresentam um melhor desempenho do que a RG com constante cosmológica [76, 77]. Por outro lado, a abordagem de Palatini dá origem a um campo escalar não-dinâmico de Brans Dicke, implicando que no vácuo, a teoria é similar a RG com uma constante cosmológica efetiva Λef f . Esta propriedade é bem vinda, pois assegura a existência de um Universo de De Sitter acelerado em tempos tardios, se Λef f for pequeno. Apesar desta interessante propriedade, os modelos f(R) de gravidade em Palatini com uma Λef f pequena conduzem às características inaceitáveis na evolução das perturbações cosmológicas [78, 79] e também na física local e atômica como mostrado em [80, 81].Em resumo, ambas as versões métricas e de Palatini das teorias f(R) de gravidade, ao mesmo tempo que possuem características interessantes, também apresentam diferentes e graves inconvenientes. Um aspecto importante que vale a pena enfatizar, quando falamos sobre teorias f(R) de gravidade, é que os modelos f(R), tanto no formalismo métrico quanto no formalismo de Palatini, são descritos no frame de Jordan enquanto que a teoria de gravitação de Einstein é formulada no frame de Einstein. Contudo, pode-se mostrar que qualquer.

(25) Capítulo 2. Teorias f (R) de Gravidade. 13. teoria f(R) de gravidade é equivalente matematicamente, via transformação conforme, à gravidade de Einstein com um campo escalar minimamente acoplado [82, 83, 84, 85]. Este fato pode ter influenciado na abordagem (recentemente muito debatida) utilizada por alguns pesquisadores a respeito das condições de energia para as teorias f(R) de gravidade. Discutiremos mais os detalhes sobre esse assunto no capítulo (4). Existe uma relação entre as equações de movimento de uma teoria de gravidade e a equação de Raychaudhuri, a qual pode nos informar muito a respeito dessas teorias. No capítulo a seguir iremos discutir um pouco mais sobre a equação de Raychaudhuri e também sobre a referida relação..

(26) CAPÍTULO 3 EQUAÇÃO DE RAYCHAUDHURI E ATRAÇÃO GRAVITACIONAL. "Nenhuma grande descoberta foi feita jamais sem um palpite ousado".. Isaac Newton. Em meados do século XX a teoria de gravitação de Einstein ainda se deparava com certos problemas, visto que a compreensão de suas soluções, até para a mais simples delas como era o caso da solução de Schwarzschild, ainda não estava clara [86]. O fato da RG admitir soluções caracterizadas por singularidades tais como divergências na curvatura do espaço-tempo, divergências de natureza física como nas densidades, e divergências nos parâmetros cinemáticos como na taxa de expansão, inquietava os especialistas da época, os chamados relativistas. E como resultado desta inquietude surgiram muitas questões e com elas soluções ou tentativas de soluções brilhantes. Da tão promissora safra de renomados relativistas, destacamentos Almakumar Raychaydhuri, um dos muitos estudiosos que se dedicaram a análise de algumas das questões que se encontravam em aberto na RG naquela época. Um dos primeiros frutos de seu trabalho foi o célebre artigo "Cosmologia Relativística I"[87], publicado em 1955. Neste artigo Raychaudhuri derivou pela primeira vez, e de maneira notável, a equação 14.

(27) Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 15. fundamental da atração gravitacional para a matéria não-relativistica , hoje conhecida como equação de Raychaudhuri. Nesse trabalho supões-se que a geometria do Universo seja dependente do tempo, mas não o considera homogêneo e isotrópico. A derivação desta equação como apresentada em [87] é um pouco diferente da que encontramos hoje, pois ele usou coordenadas especiais nesse trabalho. Em 1955, enquanto estudavam a cosmologia newtoniana, Heckmann e Sckucking em [88] chegaram a um conjunto de equações no qual uma delas era a equação de Raychaudhuri (para o caso newtoniano). No ano de 1957 Raychaudhuri [89] re-derivou suas equações de uma maneira um pouco diferente. Neste trabalho os resultados carregavam uma similaridade com a aproximação moderna para tal derivação. Também em [89] foi mostrado que o trabalho de Heckmann e Sckucking para o caso newtoniano poderia ser generalizado para o cenário totalmente relativístico. Ainda nesse ano, uma carta foi publicada por Raychaudhuri [90]. Nela foi apontado que Komar no ano de 1956 ao investigar a questão da permanência ou não de singularidades nos modelos cosmológicos sob condições mais gerais, obteve as mesmas conclusões [91] (relativas as condições de existências destas singularidades) que Raychaudhuri em [87]. Nos artigos [87, 89] a equação de Raychaudhuri é quase inteiramente restrita à cosmologia. Foi Ehlers [92] quem estendeu esta equação à matéria arbitrária. Esse é um trabalho importante que inclui a aceleração das linhas de Universo da matéria. Nele também aparecem, aparentemente pela primeira vez, as derivações das equações de evolução do tensor de distorção1 e rotação. Apesar de ter sido mencionado nesse artigo, foi somente depois dos trabalhos de Penrose [93] e Hawking [94, 95] que Raychaudhuri recebeu o merecido reconhecimento. E foi neste período que o termo "equação de Raychaudhuri" veio a ser usado na literatura da Física. Após meio século de discussões e análises dessa equação em diversos cenários, nos dias atuais são bem conhecidas sua importância e aplicabilidade. Sendo considerada o alicerce para a compreensão da atração gravitacional em Astrofísica e Cosmologia. Modelos cosmológicos os quais obedecem às condições de energias fazem uso desta equação como base das estimativas da idade do Universo. Sua generalização para o caso de geodésicas nulas, conhecida como equação de Raychaudhuri nula, desempenha um papel central na óptica geométrica em um espaço tempo curvo, como explorado por Sachs, Ehlers, Penrose e outros [96]. As versões tipo-nula e tipo-tempo desta equação, quando combinadas, possuem um papel central em muitos teoremas de singularidades [96, 97]. 1. Em inglês, Shear.

(28) Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 16. Nas seções a seguir iremos deduzir a equação de Raychaudhuri na sua versão tipo-tempo e tipo-nula. Iremos demonstrar como esta equação está diretamente relacionada com a atração gravitacional. Para tal, iremos fazer um breve paralelo do movimento das geodésicas tipo-tempo e tipo-nula com a cinemática de um meio deformável (tal estudo se encontra detalhado na dissertação de mestrado da autora desta tese em [1]). Para além, iremos explicitar como se dá a relação entre a curvatura gaussiana média de superfícies geodésicas, a equação de Raychaudhuri e as equações de campo da teorias f(R) de gravidade.. 3.1. Congruência de Geodésicas No âmbito da RG, estamos interessados no estudo do movimento livre de corpos. testes e também dos raios de Luz. Um corpo teste é um corpo cuja massa é tão pequena que a curvatura produzida por ele no espaço-tempo é insignificante por si só. O seu movimento é devido à curvatura produzida por outros corpos cujas massas são consideradas significativas [98]. O conceito de movimento livre ou movimento em queda livre na RG significa que o corpo teste não está sob qualquer influência além da exercida pela curvatura do espaço-tempo. Lembramos que na RG a gravitação não é uma força, mas uma propriedade geométrica do espaço-tempo. Neste caso, estes corpos testes os quais se movem livremente em resposta à geometria do espaço-tempo, seguem geodésicas. As geodésicas são curvas que representam um caminho de comprimento extremo entre dois pontos, parametrizados arbitrariamente. Seja M uma variedade e O uma região aberta contida em M . Uma congruência em O é o termo usado para designar uma familia de curvas tais que em cada ponto de O passa uma, e apenas uma, curva desta família. Para o caso em questão, as referidas curvas são geodésicas tipo-tempo ou tipo-nulo. Para o nosso estudo iremos tratar o conteúdo material do Universo como um fluído perfeito, cujas partículas se movem ao longo de geodésicas tipo-tempo. O movimento dos fótons são descritos por geodésicas tipo-nulas. Nesta seção, temos como objetivo a análise do comportamento do desvio geodésico ξ, entre duas geodésicas vizinhas tipo-tempo na congruência, como uma função do tempo próprio τ ao longo destas curvas usadas como referência. Na seção a seguir faremos a mesma abordagem para geodési-.

(29) Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 17. cas tipo-nulas. Nesta tese não abordaremos geodésicas tipo-espaço, tendo em vista que o estudo destas é similar ao estudo das geodésicas tipo-tempo.. 3.1.1. Congruência de Geodésicas Tipo-Tempo Considere uma congruência de geodésicas tipo-tempo parametrizadas pelo parâ-. metro afim τ . Nesta congruência são escolhidas duas geodésicas vizinhas γ0 e γ1 e entre elas é introduzida uma família de geodésicas. Para cada geodésica um índice S ∈ [0, 1] é atribuído, de forma que S = 0 em γ0 e S = 1 em γ1 (ver figura (3.1)). Estas curvas serão descritas por relações de xα (S, τ ), onde S especifica a geodésica e τ é um parâmetro afim ao longo da geodésica especificada. Com esta configuração, temos interesse em dois ve~ o qual é tangente à geodésica denominado de quadri-velocidade tores, a saber o vetor U ~ = U α eˆα , U α Uα = −1 e U α = ∂xα /∂τ ) e o vetor de desvio geodésico ξ~ denotado por (U ξ~ = ξ α eˆα onde ξ α = ∂xα /∂S. ξ~ aponta nas direções transversais ao fluxo da congruência.. Figura 3.1: Vetor de desvio entre duas geodésicas vizinhas. (Figura retirada da referência [100]).. Da situação descrita acima nós podemos retirar as seguintes expressões: a equa~ = 0 a qual pode tamção da geodésica tipo-tempo parametrizada por τ dada por ∇U~ U bém ser escrita como U α ;β U β = 0, as relações U α Uα = −1, ξ α ;β U β veja [1]).. e. U α ;β Uα = 0,. U α ;β ξ β =. U α ξα = 0 (para um estudo mais detalhado da dedução dessas expressões.

(30) Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 18. Estamos interessados em entender como se dá a cinemática dessa congruência de geodésicas. Queremos saber se o transporte paralelo de ξ~ ao longo dela é falho ou não. Para tal, iremos iniciar o nosso estudo definindo um campo tensorial, o qual irá atuar ~ Este campo é definido deste campo se dá como a seguir sobre ξ. Bαβ ≡ Uα;β .. (3.1). Este é um tensor puramente transversal, uma vez que Bαβ U α = Uα;β U α = 12 (U α Uα );β = 0. Como qualquer outro tensor, Bαβ também pode ser decomposto como sendo a soma de suas partes simétrica e anti-simétrica. A parte anti-simétrica do tensor possui traço igual a zero, logo o traço do tensor está contido no traço da parte simétrica. Desta forma, a parte simétrica pode ser dividida em duas partes, a saber a parte simétrica de traço livre (sem traço) e o traço. Chamaremos o traço do tensor de θ, a parte simétrica sem traço de σαβ e a parte anti-simétrica de wαβ . Assim escreveremos Bαβ como segue 1 Bαβ = θhαβ + σαβ + wαβ , 3. (3.2). onde θ é a expansão (ou contração) escalar, σαβ representa o tensor distorção, wαβ o tensor rotação e por fim hαβ ≡ gαβ + Uα Uβ é a métrica transversal. Ela é puramente espacial (U α hαβ = 0), ou seja, a hipersuperfície que tem como métrica hαβ é ortogonal a U α . Isto significa que existe um folheamento da variedade por hipersuperfícies ortogonais a U α . As quantidades na equação (3.2) estão relacionadas à geometria da área transversal ortogonal às linhas de fluxo. Elas são dadas, respectivamente, por θ = Bαα = U α ;α , 1 σαβ = B(αβ) − θhαβ , 3 wαβ = B[αβ] ,. (3.3). O significado de θ, σαβ e wαβ fica claro a partir da analogia com a hidrodinâmica. Assim, temos que o traço θ leva em conta a divergência ou convergência das geodésicas vizinhas, sendo então interpretado como uma mudança relativa no volume de um fluído de partículas. Normalmente θ é chamada a expansão escalar da congruência. O tensor distorção σαβ nos fornece informações sobre a deformação da congruência de geodésicas sem mudar o volume. E por fim, o tensor de rotação wαβ representa a vorticidade da.

(31) Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 19. congruência. Os tensores σαβ e wαβ são ortogonais a U β , o que significa dizer que: σαβ U β = 0. (3.4). wαβ U β = 0. A verificação das equações em (3.4) é simples e a faremos a seguir. Ao substituirmos as definições de σαβ e wαβ dadas pela equação (3.3) e a equação (3.1) nas expressões σαβ U β e wαβ U β e também levando em consideração as definições de tensores simétricos e anti-simétricos 2 , obtemos respectivamente 1 1 (Uα;β + Uβ;α ) U β − θhαβ U β , 2 3 1 = (Uα;β − Uβ;α ) U β . 2. σαβ U β = wαβ U β. (3.5). Nós sabemos que hαβ U β = 0 e que Uα;β = (gαλ U λ );β = U λ ;β gαλ . Assim as equações acima se resumem em 1 λ U ;β gαλ U β + U λ ;α gβλ U β , 2 1 λ U ;β gαλ U β − U λ ;α gβλ U β , = 2. σαβ U β = wαβ U β. (3.6). após algumas cálculos temos que 1 λ U ;β U β gαλ + U λ ;α Uλ , 2 1 λ = U ;β U β gαλ − U λ ;α Uλ . 2. σαβ U β = wαβ U β. (3.7). Lembrando que U λ ;β U β = U λ ;α Uλ = 0, obtemos as expressões em (3.4). Vemos então que os tensores σαβ e wαβ são puramente espaciais. A ação de Bαβ sobre o vetor de desvio ξ~ é dada por Bβα ξ β = U α ;β ξ β ,. (3.8). Bβα ξ β = ξ α ;β U β .. (3.9). como U α ;β ξ β = ξ α ;β U β temos que. 2. A(ij) = 12 (Ai) + Aji ) e A[ij] = 12 (Aij − Aji ).

(32) Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 20. Observe que o lado direito da equação (3.9) nos informa como se dá o transporte ~ ao longo da congruência. Esta equação do vetor de desvio ξ~ na direção do vetor tangente U mede o quão falho é o transporte paralelo de ξ~ ao longo da congruência [99, 100]. A evolução do tensor Bαβ nos dá a evolução da geometria da área transversal às linhas de fluxo. Em particular se θ > 0 a congruência estará divergindo, as geodésicas tendem a se separar; por outro lado se θ < 0 a congruência estará convergindo, as geodésicas tendem a se unir. O estudo da evolução de Bαβ é de grande utilidade para a compreensão do conceito de gravidade atrativa e gravidade repulsiva. Tal evolução é dada pela equação de Raychaudhuri. A seguir deduziremos de forma minuciosa tal equação na sua versão tipo-tempo, tendo em vista que ela é o ponto de partida para a discussão do nosso trabalho.. 3.1.1.1. A Equação de Raychaudhuri para Congruências Tipo-Tempo. A equação de evolução do campo tensorial Bαβ é dada por D (Bαβ ) = Bαβ ;µ U µ = Uα ;βµ U µ . dτ. (3.10). λ Mas Uα ;βµ = [∇µ , ∇β ]Uα + Uα ;µβ e como [∇µ , ∇β ]Uα = Rαβµ Uλ podemos escrever a equação. (3.10) como D (Bαβ ) = (Uα ;µβ +Rναβµ U ν )U µ . dτ. (3.11). Sabemos que Uα ;µβ U µ = (Uα ;µ U µ );β −Uα ;µ U µ ;β e Uα ;µ U µ = 0. Substituindo essas expressões em (3.11) teremos a equação da evolução do tensor Bαβ D (Bαβ ) = −Uα ;µ U µ ;β +Rναβµ U ν U µ , dτ = −Bαµ Bβµ − Rανβµ U ν U µ .. (3.12). Podemos também calcular a evolução de cada componente do tensor Bαβ (simétrica sem traço, anti-simétrica e traço) fazendo as decomposições apropriadas. A mais usada é a equação de evolução para a expansão, a qual será detalhada a seguir, as demais serão apenas apresentadas..

(33) Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 21. Tomando o traço da equação (3.12), obtemos Dθ = −Bαµ B µα − Rνµ U ν U µ . dτ. (3.13). Usando a equação (3.2) para calcular Bαµ B µα , chegamos a seguinte expressão Bαµ B µα =. θ2 + σαµ σ αµ − wαµ wαµ . 3. (3.14). Substituindo (3.14) em (3.13) encontramos a equação de evolução para a expansão de congruências de geodésicas tipo-tempo, mais conhecida como a equação de Raychaudhuri dada por Dθ θ2 = − − σαµ σ αµ + wαµ wαµ − Rαµ U α U µ . dτ 3. (3.15). Essa é a equação é o ponto central para a prova de teoremas de singularidades. Ela também é a equação chave para nosso estudo sobre o caráter atrativo/não- atrativo das teorias modificadas de gravidade. A equação de evolução para a parte simétrica sem traço σµν é dada por Dσµν 2 1 1˜ = − θσµν − σµα σνα − wµρ wνρ + hµν (σαβ σ αβ − wαβ wαβ ) + Cανµβ U α U β + R µν ,(3.16) dτ 3 3 2 ˜ µν é a parte sem traço de Rµν projetada espacialmente e Cανµβ é o tensor de Weyl. onde R Esses tensores são definidos respectivamente como ˜ µν = hαµ hβ Rαβ − 1 hµν hαβ Rαβ , R µ 3. (3.17). e Cανµβ = Rανµβ −. 1 1 gα[µ Rβ]ν − gν[µ Rβ]α + gα[µ gβ]ν R . 2 3. (3.18). Finalmente a equação de evolução para a parte anti-simétrica wµν é dada por Dwµν 2 = − θwµν + σµα wνα − σνα wµα . dτ 3. (3.19). Como pode se ver o desenvolvimento das equações (3.15, 3.16 e 3.19) foi essen-.

(34) Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 22. cialmente de carácter geométrico. Sendo assim, podemos afirmar que estas equações são totalmente independente de qualquer referência às equações de campo de Einstein.. 3.1.2. Congruência de Geodésicas Tipo-Nulas A importância do estudo de geodésicas tipo-nulo, para as quais ds2 = 0, está no. fato de que são elas que descrevem a trajetória dos raios de luz. Compreender como se dá o movimento dos fótons é uma etapa importante no estudo da geometria do espaçotempo. Nesta seção iremos estudar as congruências de geodésicas tipo-nulas. Para tal iremos considerar uma configuração geométrica análoga a da subseção (3.1.1), a qual trata das geodésicas tipo-tempo. Porém, com duas modificações relevantes: o campo vetorial tangente será indicado por vetores nulos K α e as geodésicas serão parametrizadas pela variável λ (parâmetro afim desta configuração). Sendo assim, as relações importantes para o nosso estudo são: 1. Kα K α = 0; 2. K α ;β K β = 0 (esta é a equação da geodésica para a congruência nula); ~ será igual ao trans3. K α ;β ξ β = ξ α ;β K β (o transporte paralelo de ξ~ na direção de K ~ ~ na direção de ξ); porte paralelo de K ~ essa é uma condição de perpendicularidade e de 4. K α ξα = 0 ( ξ~ é ortogonal à K, paralelismo, uma vez que K α é um vetor tipo-nulo). Assim como na subseção (3.1.1), estaremos interessados no estudo das propriedades transversais da congruência. Tais propriedades são descritas pelo vetor de desvio ~ Ou seja, queremos saber o que acontece no cone de luz (parte transversal). geodésico ξ. Para estudar a cinemática das congruências de geodésicas nulas iremos proceder seguindo a forma utilizada no estudo das geodésicas tipo-tempo. Porém, para o caso tiponulo devemos ser cautelosos em relação as quantidades puramente transversais. Assim, de forma análoga ao estudo anterior, introduzimos um campo tensorial Bµν dado por Bαβ = Kα ;β ,. (3.20).

(35) Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 23. o qual fornece a medida do quanto é falho o transporte paralelo de ξ~ ao longo da congruência. Como antes, a ação de Bαβ sobre o desvio geodésico é dada por Bβα ξ β = K α ;β ξ β .. (3.21). A equação (3.21) possui uma componente transversal que devemos remover. A condição ~ Essa compoK α ξα = 0 falha ao remover uma eventual componente de ξ~ na direção de K. nente será isolada usando a métrica transversal hαβ = gαβ + Kα Nβ + Kβ + Nα onde Nα é um vetor nulo, tal que Nα K β = −1. Aplicando hαβ a ξ α , temos ξ˜α ≡ hαµ ξ µ = ξ α + (Nµ ξ µ )K α .. (3.22). ˜ representa a velocidade relativa de A derivada covariante de ξ˜µ na direção de K µ (∇K~ ξ) duas geodésicas vizinhas ξ˜µ ;β K β = hµν Bβν ξ β + hµν ;β ξ ν K β .. (3.23). Mas hµν ;β ξ ν K β = K µ Nν ;β ξ ν K β e finalmente podemos reescrever (3.23) como ξ˜µ ;β K β = hµν Bβν ξ β + Nν ;β ξ ν K β K µ .. (3.24). Esta é a velocidade relativa de duas geodésicas vizinhas. Como vemos, ela tem uma componente ao logo de K µ , a qual isolaremos novamente usando a métrica transversal (ξ˜α ;β K β )˜≡ hαµ ξ˜µ ;β K β = hαµ Bνµ ξ ν .. (3.25). Para simplificarmos esta equação faremos algumas substituições. Primeiramente trocaremos ξ ν por ξ˜ν . Isto é possível porque B ν K β = 0. Depois inseriremos a relação ξ˜ν ≡ hν ξ˜β , β. β. uma vez que ξ˜ν é puramente transversal. Por último definimos a parte puramente trans˜αβ = hµ hν Bµν , temos então versal de Bµν como B α β. . ˜βα ξ˜β . ξ˜µ ;β K β ˜= B. (3.26). O comportamento puramente transversal da congruência nula é governado pela equação ˜ α ξ˜β é interpretado fisicamente como a velocidade transversal relativa entre (3.26), onde B β. duas geodésicas vizinhas..

(36) Capítulo 3. Equação de Raychaudhuri e Atração Gravitacional. 24. A parte puramente transversal de Bµν pode ser expressa mais explicitamente usando hαβ , de modo que ˜αβ = hµα hνβ Bµν = Bαβ + Kα N µ Bµβ + Kβ N µ Bαµ + Kα Kβ N µ N ν Bµν . B. (3.27). ˜αβ em suas componentes irredutíveis temos Decompondo o tensor B ˜αβ = 1 θhαβ + σαβ + wαβ , B 2. (3.28). onde θ é a expansão (ou contração) escalar, σαβ é o tensor distorção, e wαβ é o tensor rotação, dados respectivamente por ˜ α, θ = B α ˜(αβ) − 1 θhαβ , σαβ = B 2 ˜ wαβ = B[αβ] .. (3.29). A expansão pode ser explicitada, usando a equação (3.27), assim ˜αβ = K α ;α . θ = g αβ B. (3.30). Chamamos a atenção para o fato que a escolha do vetor nulo não exerceu nenhuma influência sobre θ e como era de se esperar, a expansão é única. Assim como no caso das congruências das geodésicas tipo-tempo. A seguir deduziremos a equação de Raychaudhuri para a congruência de geodésicas tipo-nulas, visto que possuímos todas as definições e conhecimentos para fazê-lo.. 3.1.2.1. Equação de Raychaudhuri para Congruências de Geodésicas Tipo-Nulas. A derivação da equação de evolução para Bαβ em uma congruência de geodésicas nulas, segue o mesmo caminho usado para o cálculo da evolução desse tensor no caso de.