Tópicos de Combinatória Contemporânea

Contemporânea

Carlos Gustavo T. de A. Moreira

A ombinatória ontemporânea existe devidoa este

Objetivamosnestetexto aapresentação dealgunstópi osmodernos

da ombinatóriaaalunosdagraduação. Devidoànaturezaelementarda

área, podemos dis utirtópi osnão tão distantes dafronteira do

onhe- imentoemumtexto omoeste,voltadoajovens ini iantes. Esperamos

queosleitorespossamterumaidéiadoquesefazem ombinatóriahoje

através destas notas.

A ombinatória é uma área vasta, que ontinua a res er

vigorosa-mente. Tópi os de pesquisa que têm se mostrado frutíferos in luem a

teoria extremaldos onjuntos, os métodos probabilísti ose osmétodos

algébri os. Es olhemos alguns dos resultados mais onhe idos nestas

linhas de pesquisa para formar uma fotograa da área. Com o intuito

de apresentara ombinatória omo uma dis iplinaintegradanogrande

universo da matemáti a, pro uramos apresentar apli ações dos

resul-tados e das té ni as da ombinatória em outras áreas; em parti ular,

damos espe ial atenção a apli açõesem geometriaelementar.

NoCapítulo1,dis utimos algunsresultadosfundamentaisdateoria

extremal dos onjuntos: dis utimos, dentre outros, o teorema de

Sper-ner(1928)eoteoremadeErd®s,KoeRado(1961). Dis utimostambém

alguns resultados bási os dateoria de Ramsey. Damosduas apli ações

doteoremadeSperner(umaàanálise/geometriaeoutraaumproblema

dateoria dos números). Apresentamostambémneste apítuloalgumas

apli ações daálgebra linear à teoria extremal dos onjuntos. É no

Ca-pítulo2queapresentamos talvez aapli açãomais espeta ulardateoria

extremal dos onjuntos nos anos re entes: expomos o ontra-exemplo

deKahneKalai(1993)paraa onje turadeBorsuk(1933). Dis utimos

neste apítulo também o número romáti o (n) do R n

, o número

mí-nimo de ores quepre isamos usar para olorir os pontosdo R n

queremos ter dois pontos à distân ia 1 da mesma or. O res imento

exponen ialde (n), onje turadoporLarmaneRogers(1972),foi

pro-vado por Frankle Wilson em 1981. Surpreendentemente, a ferramenta

bási a deste apítulo é um resultado elementar da teoria extremal dos

onjuntos, que pode ser provado através de onsiderações de

indepen-dên ia linearde ertos polinmios.

NoCapítulo3,elaboramosumpou o maisanoçãode ongurações

mono romáti asinevitáveisem oloraçõesdo R n

: estudamos uma área

dateoriade Ramsey onhe ida omo ateoria de Ramseyeu lideana;as

investigaçõesoriginaisnestetópi oforamrealizadasporErd®s,Graham,

Montgomery, Roths hild, Spen er e Straus no iní io da dé ada de 70.

Apresentamos neste apítulo alguns resultados mais novos de Frankl,

Rödl e K°íº (os resultados realmente re entes estão além do es opo

deste texto).

No Capítulo 4, dis utimos um método probabilísti o poderoso que

tevesuasorigensemumtrabalhode Ajtai,Komlós,eSzemerédi(1981),

e atingiu seu pleno poten ial na demonstração de Rödl (1985) da

on-je tura de Erd®s e Hanani (1963), sobre oberturas e empa otamentos

quase-ótimos (sistemas de Steiner aproximados). Terminamos o

Capí-tulo 4 om alguns resultados re entes sobre oberturas em hipergrafos

regulares.

Supomosqueos leitoresestãoa ostumados om argumentos

ombi-natórioselementarese têm familiaridade om noçõesda álgebralinear,

aritméti a modular,e teoria elementardas probabilidades.

O leitor per eberá que temos, freqüentemente, preo upações

assin-tóti as: muitasvezesdenimosumafunçãof(n)deforma ombinatória

(tipi amente omo o tamanho máximo de algum objeto ombinatório,

parametrizadopelointeiron)eentãonosperguntamossesabemos

quan-toéf(n)expli itamente,emfunçãode n; asonão onsigamos

determi-nar ovalorexato de f(n),tentamos estimarf(n)para n grandes. Para

apre iar os resultados que apresentaremos, é importante que o leitor

por exemplo,o fato que

1loglogn logn n " n n logn  n  n!n n  n ;

onde supomos que " e são onstantes arbitrárias om 0 < " < 1 <

(es revemos f(n) g(n) se lim

n!1

f(n)=g(n)=0). Ademais, o leitor

terá maior fa ilidade em a ompanhar a `substân ia' do que estamos

dis utindoem váriaso asiõesseeletiverfamiliaridade omestimativas

parafatoriaise oe ientesbinomiais. Comistoemmente, ompilamos

um pequeno apêndi e om algumas estimativas padrão para n! e para

expressões envolvendo oe ientes binomiais.

É om imenso prazer que agrade emos à organização do 23 o:

Co-lóquio Brasileiro de Matemáti a pelo apoio e oportunidade de ampla

divulgaçãodeste material.

Finalmente, agrade emos o apoio do CNPq através do PRONEX

(projetos 416/96 e 107/97) e dos auxílios 300334/931, 300647/956,

910064/997 e 468516/20000. Agrade emos também o apoio da F

A-PERJ eda FAPESP.

CarlosGustavo T. de A. Moreira <guguimpa.br>

IMPA, Instituto de Matemáti a Pura e Apli ada

http://www.impa.br/~gugu

YoshiharuKohayakawa <yoshiime.usp.br>

Instituto de Matemáti a e Estatísti a, USP

http://www.ime.usp.br/~yoshi

Riode Janeiro

São Paulo

Prefá io v

Notaçõese alguns termosde uso freqüente 1

CAPÍTULO 1. Umaintrodução àteoria extremal dos onjuntos 3

1. Introdução 3

2. Dois teoremas extremais lássi os 3

3. Té ni as da álgebralinear 24

4. O teoremade Ahlswede eKha hatrian 32

5. O teoremade Ramsey 34

CAPÍTULO 2. A onje tura de Borsuk e o número romáti o

de R n

47

1. Introdução 47

2. Espaços de polinmios 48

3. A onje tura de Borsuk éfalsa 52

4. O número romáti o de R n

58

5. Uma onstruçãoexplí ita na teoriade Ramsey 66

CAPÍTULO 3. Teoria de Ramsey eu lideana 71

1. Introdução 71

2. Um resultado de ompa idade 73

3. O teoremadoproduto 75

4. Conjuntosesféri os 77

5. Triângulos epolígonosregulares 84

6. Alguns resultados mais avançados 96

CAPÍTULO 4. Coberturas e empa otamentosemhipergrafos 101

1. Introdução 101

2. O teoremade Rödl 103

3. Coberturase empa otamentosoptimais 112

4. Cotas inferiores para oberturas 121

5. Empa otamentos 130

6. Observações nais 131

Apêndi e A. Estimativaspara fatoriais e oe ientes binomiais 135

1. Fatoriais 135

2. Coe ientes binomiais 137

[n℄=f1;:::;ng

P(X)=fY : Y Xg, o onjunto das partes de X

k- onjunto: um onjunto om k elementos

Sistemasde onjuntos, hipergrafos: umsistemade onjuntosnada mais

é que um onjunto de sub onjuntos de um onjunto xo. Um

hipergrafo é um sistema de onjuntos ujos membros têm todos

a mesma ardinalidade.

bx ,dxe,fxg: bx éomaiorinteiromenor ouigual ax edxe= b x .

Es revemos fxg para a parte fra ionáriade x, isto é, fxg =x

bx .

jxj, kxk, jXj: se x é um vetor em um espaço eu lideano, então kxk

denota anorma eu lideana de x. Porsimpli idade, usamos

tam-bém a notação jxj para a norma de x. Para um onjunto X,

es revemos jXjpara a ardinalidadede X.

x k
, X k
: es revemos x k

para o oe iente binomial, que é denido

omo (x)

k

=k!=x(x 1):::(x k+1)=k!se k é um inteiro

não-negativo e é 0 se k é um inteiro negativo. Se X é um onjunto,

X

k

é o onjunto fY  X: jYj = kg dos k-sub onjuntos de X.

Claramente,   X k
  = jXj k
.

O(f(n)), o(f(n)): es revemos O(f(n)) para qualquer função g(n)

sa-tisfazendo jg(n)j  Cf(n) para todo n  n

0

, onde C e n

0 são

onstantes. Es revemos o(f(n)) para qualquer função g(n)

satis-fazendo lim

n!1

g(n)=f(n) = 0; em parti ular, o(1) denota uma

quantidade quetende a 0.

s, , : es revemos f(n)  g(n) se f(n) = o(g(n)). Ademais, às

vezes es revemos f(n)sg(n) se lim

n!1

Uma introdução à teoria extremal dos onjuntos

1. Introdução

Neste apítulo, dis utimos alguns resultado fundamentaisda teoria

extremal dos onjuntos. Nós nos restringiremos a alguns resultados

apenas, abrindo assim espaço para algumas apli ações um pou o mais

elaboradas. Esperamos que este apítulo sirva omo uma introdução

a esta ri a área da ombinatória, mas também esperamos que o leitor

que tenha seu interessado despertado onsulte os ex elentes textos de

Anderson [5℄,Babai eFrankl [7℄,e Bollobás[11℄.

2. Dois teoremas extremais lássi os

Começamosdis utindodoisteoremas lássi os,quesão

possivelmen-teosdois resultados mais onhe idos dateoriaextremal dos onjuntos:

oteoremadeSpernerde1928eoteoremadeErd®s,Ko,eRado,provado

em1938, mas publi ado apenas em 1961.

2.1. O teorema de Sperner. Começamos om uma observação

dateoria elementar dos números.

2.1.1. Um problema extremal da teoria dos números. Dados n +1

inteiros distintos de [2n℄ = f1;:::;2ng, não é difí il ver que há dois

elementos desta seqüên ia que são relativamente primos (exer í io!).

Por outro lado, um pou o mais de meditação também revela que há

doiselementosnestaseqüên ia omumdividindoooutro. Estasegunda

armação éum exer í io um pou o mais difí il(sugestão: es reva ada

um dos n+1números na forma2 k

m, onde m é um inteiroímpar).

Podemos enun iar a segunda armação a ima da seguinte forma:

o maior número de elementos que podemos ter de [2n℄ sem ter dois

este limitante de n não pode ser melhorado, pois podemos onsiderar

osn números n+1;:::;2n.

2.1.2. Umproblemaextremalpara onjuntos. Passemosagoraa

on-siderar problemas extremais análogos para onjuntos. Seja A P([n℄)

umafamíliade onjuntos. OquepodemosdizersobreotamanhodeAse

sabemosqueAnão ontémdoismembros,digamosAeB, omAB?

Seja f(n) a maior ardinalidade possível para talfamíliaA.

Umaprimeira observação que podemos fazeré que

(1) f(n)  n k  ;

paratodok. Defato,se tomamospara Aafamíliade todos os

sub on-juntos de [n℄ om k elementos, então a propriedade que exigimos está

satisfeita, e temos jAj = n

k

. Para maximizar o limite inferior em (1),

tomamosk =bn=2 .

O nosso resultado desta seção, provado em 1928 por Sperner [68℄,

mostra quevalea igualdade em(1) om k =bn=2 , istoé,

f(n)=  n bn=2  :

Na verdade, provaremos um resultado de aparên ia talvez um pou o

té ni a à primeira vista, mas que impli a o resultado desejado. O T

e-orema 1 abaixo é devido, independentemente, a Bollobás[9℄ (em uma

forma mais geral), Lubell [57 ℄, Yamamoto[71 ℄, e Meshalkin [60℄.

Di-zemos que dois onjuntos A e B são omparáveis seA B ou B A,

e dizemosque A eB são in omparáveis aso ontrário.

Teorema1. SejaAP([n℄)umafamíliade onjuntos ujos

mem-bros são in omparáveis entre si. Então

(2) X  n jAj  1 1:

Demonstração. Consideraremos permutações : [n℄ ! [n℄.

Po-demos representar  es revendo a seqüên ia

(3) (1);(2);:::;(n);

que nada mais é que uma ordenação dos inteiros em [n℄. Vamos dizer

que uma permutação  e um onjunto A são ompatíveis se os

pri-meiros jAj elementos na seqüên ia (3) formam uma permutação dos

elementos de A, istoé, se

(4) A=f(1);:::;(jAj)g:

SejaP o númerode pares (;A) om  uma permutaçãode [n℄ eA um

membro de A om  eA ompatíveis. O quepodemosdizer sobre P?

Por um lado, se temos um onjunto A2 A xo então o número de

permutações ompatíveis om A é exatamente

(5) jAj!(n jAj)!:

Qualéonúmerode onjuntos A2A ompatíveis omumapermutação

xa? Éfá ilverqueanossahipótesesobreAgarantequeestenúmero

é no máximo 1! Con luímos que

(6) X A2A jAj!(n jAj)!=P  X  1=n!;

de onde segue que

(7) X A2A jAj!(n jAj)! n! 1:

Naturalmente, (7) é equivalente à desigualdade (2), e o teorema está

provado. 

A demonstração brilhantedo Teorema 1que apresentamos a ima é

devida a Lubell [57℄. Temos omo orolário do Teorema 1 o seguinte

Corolário2. Se AP([n℄) não ontém doiselementos ompará-veis, então (8) jAj  n bn=2  :

Demonstração. A desigualdade (8) segue de (2): basta observar

que o oe iente binomial n

k

é máximo quando k=bn=2 . 

2.1.3. Uma apli ação à análise. Apresentamos aqui uma apli ação

doteoremade Spernerà análise. Consideraremos um problema

geomé-tri o quetem origemnobre: trata-sede um problema que Littlewoode

Oord [55 ℄estudaram emum trabalhode 1943, omoobjetivo de

pro-var limitantes superiores para onúmero típi o de raízes reais de ertos

polinmiosaleatórios. Vamos des rever brevementeoresultado nalde

Littlewoode Oord, antes de passar aoproblema geométri o.

Sejama

0 ;:::;a

n

números omplexosxosesuponhaquetemosuma

seqüên ia " 1 ;:::;" n om " j

2 f 1;1g para todo j. Considere agora o

polinmio (9) P(x)=a 0 +" 1 a 1 x+


+" n a n x n :

QuantasraízesreaistemaequaçãoP(x)=0tipi amente? Aqui,

enten-demospor`tipi amente'oseguinte: suponhaquees olhemosossinais"

j

aleatoriamente, de forma independente; emoutras palavras,

onsidera-mos todos os2 n

polinmiosdaforma (9) om os a

j

xos, e es olhemos

um ao a aso, om todos eles equiprováveis. Estamos interessados em

saber, então, qual étipi amenteo número de raízes reais de tal

polin-mio aleatório. Foi esse o problema que Littlewood e Oord ata aram

em[55℄.

Oresultado prin ipalde [55℄ é oseguinte. Ponha

Então todosos2 n

polinmiosP(x) omoem(9),ex etopornomáximo

O  loglogn logn 2 n  =o(2 n )

deles, são tais aequação P(x)=0 tem nomáximo

10(logn) log M p ja 0 a n j +2(logn) 5 !

raízes reais. Por exemplo,grosseiramentefalando, setodos osa

j

tem a

mesma ordemde grandeza, então esse número de raízesé O((logn) 6

).

Para provar o resultado a ima, Littlewood e Oord onsideraram

umproblema geométri oquebasi amenteperguntaoquão on entrada

pode ser a distribuição das 2 n somas dotipo X 1jn " j a j ; onde os " j

são novamente 1. É este o problema geométri o que

pas-saremos a onsiderar agora. Por onveniên ia, mudamos a notação, e

passamos a es reverz

j

emvez de a

j

(1j n). Ainda, men ionamos

que oque segue éindependente dadis ussão a ima.

Suponhaquez

1 ;:::;z

n

sejamnúmeros omplexosxos,não

ne essa-riamentedistintos, omjz

j j1(1j n). Para ada"=(" j ) 1jn 2 f 1;1g n , onsidere asoma (10) S(")= X 1jn " j z j :

Quantasdas somasem(10) podem airemum dis ofe hado de raior?

Littlewoode Oord provaram que este número é

(11) C (r+1)2 n p n logn;

onde C é uma onstante universal. Alguns exemplos simples mostram

logarít-Em 1945, Erd®s publi ou um melhoramento do limitante (11): ele

provouqueofator logarítmi onão é ne essário[18℄. A ferramentaque

eleusou foi justamenteo teoremade Sperner!

Teorema3. Sejamz

1 ;:::;z

n

números omplexosxos om jz

j j1

paratodo1j n,er>0umnúmeroreal. Entãoonúmerodesomas

da forma (10) que perten em a um mesmo dis o fe hado de raio r é

(12) B (r+1)2 n p n ;

onde B é uma onstante universal.

É levemente mais onveniente fazeruma renormalizaçãodo

proble-ma, para enxergarmos melhor a sua natureza ombinatória.

Some-mos z

1

+


+ z

n

à soma em (10) e dividamos por 2. Temos assim

uma soma daforma

(13) S(Æ)= X 1jn Æ j z j ; onde Æ = (Æ j ) 1jn e os Æ j

perten em a f0;1g. Note que uma erta

oleção de somas da forma (10) está ontida em um dis o fe hado de

raiorseesóseassomas orrespondentes daforma(13)perten emaum

dis ofe hadode diâmetro r. Temos assimuma formulaçãoequivalente,

om as somas em (13) (Æ

j

2 f0;1g, 1  j  n) e diâmetro r. Para

evitar onfusão,quando falamosnesta formulaçãoes revemos
parao

diâmetro.

O exemplo que mostra que o resultado de Erd®s não pode ser

me-lhorado, a menos do valorda onstante, é o seguinte exemplo simples:

suponha que
0 éum inteiro xoe tome

(14) z

1

=


=z

n =1:

Considere inteiros onse utivos u

0 <


<u
taisque  n u  +


+  n u 

seja máximo. Grosseiramente falando, os u

k

distribuem-se em torno

de n=2, simetri amente. Considere agoraa famíliade onjuntos

A=  [n℄ u 0  [


[  [n℄ u
 : Note que se A, A 0 2 A, então laramente   jAj jA 0 j   u
u 0 
, pois osinteiros u j

são onse utivos. Considere agoraas somas

(15) S(A)=

X

j2A z

j

para todo A  [n℄ (naturalmente, estas são as somas da forma (13)).

No nosso exemplo (14), se onsideramos assomas em (15) om A2A,

temos que(i) a diferençade quaisquer dois deles é 
e (ii) temos

(16) jAj = X 0j
 n u j   (
+1)2 n p n

dessas somas, onde é uma onstante absoluta positiva e supomos

quen n

0

(
). Con luímosqueo Teorema3não pode ser

substan ial-mentemelhorado. (A estimativaem(16)pode ser deduzidada fórmula

de Stirling; veja o Apêndi e A.)

Provemos agora o seguinte lema, que diz que o Teorema 3 vale no

aso em queos z

j

são todos reais positivos.

Lema 4. Sejam x

1

;:::;x

n

números reais xos, om x

j

 1 para

todo 1  j  n, e
 0 um número real. Então o número de somas

da forma (17) S(A)= X j2A x j (A[n℄)

que perten em a um mesmo intervalo fe hado de omprimento
é

(18) (b
+1)  n bn=2  C (b
+1)2 n p n ;

Demonstração. Suponha queas somas em(17) pertençam a um

dado intervalo fe hado I de omprimento
para ertos A  [n℄.

Se-ja A =A(I) P([n℄) osistema de onjuntosformado exatamente por

estes A, istoé,

(19) A=fA[n℄: S(A)2Ig:

OquepodemosdizersobreA? Se temosemAuma adeiade onjuntos

(20) A 0 


A ` om A i 1 6=A i para todo1i`, então laramente (21) S(A ` ) S(A 0 )`;

de onde segue que ` 
, pela denição de A. Um pequeno ra io ínio

agora mostra que se toda adeia omo em (20) ontida em A é tal

que `
, então (22) A=A 0 [


[A b
; onde ada A j

(0j 
) éum sistema de Sperner,istoé,não ontém

dois membros A 6= A 0

om A  A 0

. Pelo Corolário 2 e a fórmula de

Stirling(veja oApêndi e A), on luímos que

(23) jAj (b
+1)  n bn=2  C (
+1)2 n p n ;

parauma onstanteabsolutaC. Olimite (18)segue de (19)e(23). 

Observação 5. Erd®s [18℄ eSperner [68℄ de fato provaram quese

toda adeia omo em (20) ontida emA é talque `
, então A tem

nomáximo (24) max X  n u j 

membros,ondeomáximoétomadosobretodasasseqüên iasdeinteiros

onse utivos u

0

<


< u

b

. Claramente, (24) é a soma dos b
+1

maiores oe ientes binomiaisnan-ésimalinha dotriângulode Pas al.

Noteque o limitantesuperior (24) pode ser atingido.

Agora podemosprovar oTeorema3.

Demonstraçãodo Teorema 3. Fixe z

j

(1  j  n) e r omo

no enun iado do teorema. Cada z

j

é tal que a sua parte real Rez

j

ou a sua parte imaginária Imz

j

é em valor absoluto  1= p

2 > 1=2.

Considerando umarotaçãopor=2,ouequivalentementeatro ados z

j

por iz

j

(1 j n, i = p

1 ), podemos portandosupor que jRez

j j 

1=2 para todo1j t, onde t n=2. Ademais, laramente podemos

tro ar z

j

por z

j

para qualquer j, de forma que podemos supor que

temos Rez j  1 2

para todo1j t. Fixe agora os valores de "

j

2f1gpara j >t, de

formaarbitrária. Noteque há 2 n t

formas de sefazer isto.

Considere as 2 t somas da forma (25) X 1jt " j z j ; om " j 2f1g (1j t). Ponha (26) x j =2Rez j 1 (1j t):

Se N das somas daforma(25)perten emaum dis o fe hado de raior,

então, onsiderandoapenasaparterealdosz

j

,temosN somasdaforma

(27) X 1jt " j x j ; om " j 2f1g(1j t),

ontidas emum intervalofe hado de omprimento4r (veja (26)). Pelo

Lema 4, (28) N (4r+1)  t bt=2  C (4r+1)2 t p :

Provamos que para ada uma das formas de se xar os "

j

2 f1g

(t< j n), onúmero máximo de somas da forma(25) queperten em

aum mesmodis o fe hado de raior élimitadosuperiormentepor(28).

Comotemos 2 n t

formaspara xaros"

j

(j >t) etn=2, temos,para

uma onstante absolutaB, nomáximo

C (4r+1)2 t p t 2 n t B (r+1)2 n p n

somas daforma(10) emum mesmo dis ofe hado de raior, omo

que-ríamos demonstrar. A prova doTeorema3 está ompleta. 

Finalmente,men ionamosqueahistóriadesse problemageométri o

não a aba om o resultado de Erd®s a ima. Passemos a onsiderar a

versão om somas do tipo (13) (Æ

j

2 f0;1g, 1 j  n) e diâmetro
.

Passemostambéma onsiderarosz

j noR

d

(atéagora,tínhamosd=2).

Agora a nossa hipótese sobre os z

j

é que eles satisfazemkz

j k 1 para todo1j n. Colo amos V =(z j ) 1jn . Ponha (29) =fS(Æ): Æ 2f0;1g n g;

istoé,é afamíliadas 2 n

somaspossíveisdaforma(13). Aqui,

quere-mos onsiderar  omoum `multi onjunto', istoé, levamos em ontaa

multipli idade om que ada elemento o orre em. Agora pomos

m(V;
) =max

B

jB\j;

ondeomáximoétomadosobreasbolasfe hadasB R d dediâmetro
. Finalmente, pomos m(n;
)=m d (n;
)=max V m(V;
);

onde o máximoé tomadosobre todas asseqüên ias V de vetores

z 1 ;:::;z n 2R d om kz k1para todo j.

O Teorema 4 (veja também a Observação 5) diz que m

1

(n;
) é a

soma dos b
+1 maiores oe ientes binomiais na n-ésima linha do

triângulode Pas al.

Katona[48℄eKleitman[49℄provaramquem

2 (n;
) = n bn=2
se
<

1, e isto foi generalizado por Kleitman[50 ℄ para d  2 (in lusive para

normas arbitrárias emR d

). Váriosresultados seguiram-se para
1,

até que,nalmente, emum trabalhopubli adono Annalsof

Mathema-ti s em 1988, Frankl e Füredi [30℄ provaram o seguinte teorema, que

onrmou uma onje tura de Erd®s (veja [51℄).

Teorema 6. Seja d 1 um inteiro e
 0 um número real xo.

Então m d (n;
) =(b
+1+o(1))  n bn=2  ;

onde o(1)!0 onforme n !1.

Con luímosobservandoque, omoquetemosàdisposição,podemos

provar uma ota superior daforma

(30) (d)(b
+1)  n bn=2  para m d

(n;
), onde (d) é uma onstante que depende apenas da

di-mensão d.

2.1.4. Uma apli açãoàteoria dosnúmeros. Nestaseção,

apresenta-mos uma apli ação do teoremade Sperner à teoria dos números. Esta

apli ação está rela ionada om o que dis utimos em Ÿ2.1.1. Dizemos

queumaseqüên iadeinteirospositivosa

1 <a 2 <::: éprimitiva se ne-nhuma i divideoutroa j

(i<j). VimosemŸ2.1.1quequalquerseqüên ia

primitivaem[2n℄temnomáximonelementos. Noquesegue,ao

tratar-mos de seqüên ias primitivasA=(a

i ),sempre supomos a 1 <a 2 <


.

Uma medida interessante para o `tamanho' de seqüên ias A =(a

i ) é afunção (31) A(x)= X ax 1 a i ;

isto é, a soma dos inversos dos membros de A que são  x (x 2 R).

Noteque no aso emque aseqüên ia A=(a

i )é 1<2<:::, temos (32) lim x!1 1 logx A(x)=1; pois (33) log(n+1)<H n = X 1kn 1 k <logn+1

para todo n > 1. As desigualdades em (33) podem ser provadas

om-parando-se a soma om a integral R

n

1

dx=x = logn. (O número H

n

a ima é onhe ido omo o n-ésimo número harmni o. Aproximações

mais pre isas de H

n

surgirão mais à frente nestas notas.) Em geral, o

limite nolado esquerdode (32) (quandoeleexiste) é onhe ido omoa

densidade logarítmi a de A=(a

i ).

O que podemos dizer sobre A(x) se A = (a

i

) é uma seqüên ia

pri-mitiva? Nesta seção, vamos provar o seguinte teorema de Behrand [8℄,

de 1935.

Teorema7. Existe uma onstanteabsoluta >0tal que,paratoda

seqüên ia primitiva de inteiros A=(a

i ), temos (34) A(n) = X a i n 1 a i  logn p loglogn para todo n3.

Começamos om um aque imento. Es reva d(m) para onúmerode

divisores (positivos) de um inteiro positivom. Porexemplo, d(6)=4.

Lema 8. Temos

(35)

X

mx

Demonstração. Note que d(m) é o número de jeitos de se

fato-rar m omo o produto ordenado de dois inteiros (os d(6)=4 divisores

de 6 orrespondem àsfatorações16, 23, 32,e 61). Assim, a

soma dolado esquerdo de (35) é

X x a;b 1; ondees revemos P x a;b

paraasomasobretodosospares(a;b) deinteiros

positivos om abx. Entretanto,

X x a;b 1= X ax X bx=a 1= X ax j x a k x X ax 1 a 3xlogx:

Na última desigualdade a ima, usamos que onúmero harmni o H

a =

1+1=2+


+1=aélimitadosuperiormenteporloga+13loga para

todoa 2(veja (33)). 

Fixemosagora umaseqüên ia primitivaA=(a

i

). Queremosprovar

a desigualdade (34). Para ada inteiro u > 0, seja r(u) o número de

elementos a

i

em A taisque a

i

divide u. Vamos onsiderar asoma

(36) %(n)= X un r(u): Es revendo P n m;a i

para asoma sobre todos ospares (m;a

i ) omma i  n, m inteiro,e a i um elementode A, temos %(n)= X n m;a i 1; que éigual a (37) X a i n X ma i n 1= X a i n  n a i  =n X a i n 1 a i +O(n):

para todo n  n

0

, onde n

0

e C são onstantes independentes de n.

De (37), deduzimos (38) X a i n 1 a i = 1 n %(n)+O(1):

Para provarmos (34), ésu ienteestimar%(n) por ima de forma

apro-priada. Para tanto,estimaremos r(u) (veja (36)).

Oque podemosdizer sobre r(u)? Suponha ini ialmenteque

(*) todos oselementosde A=(a

i

) são livresde quadrados (isto é,

nenhum divisor de a

i

é um quadrado >1 (i1)).

Noquesegue,es revemos!(v)paraonúmerodedivisoresprimos

distin-tos de v (porexemplo, !(12) =2). Claramente, segue da hipótese (*),

daprimitividadede A=(a

i

),edoteoremadeSperner,Corolário2,que

(39) r(u)  k bk=2  =O  2 k p k  :

(A última estimativa segue da fórmula de Stirling para fatoriais; veja

o Apêndi e A.) Estimemos %(n) distingüindo os u que têm muitos

divisores primos daquelesque têm pou os divisores primos:

(40) %(n) X un;!(u)` O 2 !(u) p !(u) ! + X un;!(u)>` O 2 !(u) p !(u) ! =O(1) 2 ` p ` n+O  1 p `  X un 2 !(u) :

Podemos agora usar que P un 2 !(u)  P un

d(u), que,peloLema 8, é

O(nlogn). Em(40), tomamos` =loglogn. Disto resultaque

(41) %(n)=O  n logn p loglogn  ;

Seja(a (k)

i

) asubseqüên ia de A=(a

i

) formadapelos elementosa (k) i de A om a (k) i = k 2 q (k) i , onde q (k) i

é um inteiro livre de quadrados; em

outras palavras, a subseqüên ia (a (k)

i

) é formada pelos elementos de A

ujos fatores quadráti os máximos são exatamente k 2 . Temos (42) X a i n 1 a i = X k1 X a (k ) i n 1 a (k) i = X k1 1 k 2 X q (k ) i n=k 2 1 q (k) i  X k1 1 k 2 X q (k ) i n 1 q (k) i : Como a seqüên ia (q (k) i

) é laramente primitiva e também é formada

por inteiros livres de quadrados, podemos apli ar a desigualdade (34),

istoé, temos (43) X q (k ) i n 1 q (k) i =O  logn p loglogn  : Como P k1 k 2

onverge (de fato, esta soma é (2) =  2

=6), a

desi-gualdade (34) segue de (42) e(43). O Teorema7 está provado.

Observação nais. Oleitor pode  ar urioso emsabero quãobom

éolimitante(34). Umaseqüên iaprimitiva anni a éaseqüên iados

primos (p

k

), enesse aso temos

(44) X p k n 1 p k

=loglogn+O(1);

que é muito menor que o lado direito de (34) (para (44), veja, por

exemplo, aSeção 7do Capítulo22de Hardye Wright [44℄).

Entretan-to,podemos in rementar esta onstrução de formasimples.

Considere-mos primeiro omo lidar,separadamente, omossegmentos ini iaisdos

inteiros [n℄ =f1;:::;ng. Fixe um inteiro n  3. Seja A

n

 [n℄ o

on-junto dos inteiros 1  k  n om exatamente ` = bloglogn divisores

primos, levando em onta multipli idades. Formalmente, se(k) é

(12)=3),então

(45) A

n

=fk: 1k n e(k)=bloglogn g:

Antes de ontinuarmos,observamosqueaes olhadovalorde`podeser

entendida levando-se em onta um resultado de Hardy e Ramanujan,

que diz que (k) é tipi amente loglogn para 1  k  n (veja [44 ,

Capítulo22, Seção10℄).

Voltemosaos nossos onjuntosA

n

em(45). Éfá ilverqueA

n [n℄

é primitivo (ou melhor, a seqüên ia res ente orrespondente é uma

seqüên ia primitiva), isto é, para quaisquer dois elementos distintos a

ea 0

emA, temos quea nãodivide a 0

. Valeoseguinteresultado, devido

a Pillai[61℄.

Teorema 9. Existe uma onstante absoluta > 0 tal que, para

todo n 3, temos (46) X a2A n 1 a  logn p loglogn : Seja ( n

) uma seqüên ia de res entes de reais positivos om

n !0

onformen!1. Podese onstruirumaseqüên iainnita(a

i

)apartir

dos A

n

(n3)para a qualvaleoseguinte: para innitosvalores de n,

temos (47) X a i n 1 a i  n logn p loglogn :

Fe hamos esta seção enun iando sem prova um resultado de Erd®s,

Sárközy, e Szemerédi [27℄, quemelhorao teoremade Behrend.

Teorema 10. Para toda seqüên ia primitiva de inteiros A = (a

i ), temos (48) X an 1 a i =o  logn p loglogn  :

Emvistadasobservaçõesa ima,oTeorema10nãopodeser

substan- ialmentemelhorado. Finalmente,oleitordeve ompararosTeoremas9

e 10 para observar a diferença substan ial que existe entre seqüên ias

primitivasnitase innitas.

Uma ex elente referên ia para os resultados desta seção é a

mono-graa Sequen es,de Halberstame Roth [43℄.

2.2. O teorema de Erd®s, Ko, e Rado. Na Seção 2.1,

inves-tigamos quantos membros um sistema de onjuntos A  P([n℄) pode

ter, se supomos que A não ontém dois elementos omparáveis. Uma

outragama de problemasextremais parasistemasde onjuntosvêm da

imposição de ondições sobre as interseções dos membros do sistema.

Por exemplo,o quepodemosdizer sobre jAj seum sistema AP([n℄)

étalquetodomembrode A interse ta qualqueroutro? Dizemos queA

é um sistema interse tante quando valeesta ondição.

O problema a ima é fá il: laramente podemos ter sistemas

inter-se tantes om 2 n 1

elementos; basta porexemplo onsiderar o sistema

A

1

=fA[n℄: 12Ag:

Por outro lado, se temos >2 n 1

membros em A, então

ne essariamen-te A ontém um onjunto A e seu omplemento A

= [n℄ n A, que

laramenteimpli a queA não éinterse tante.

Oproblemaextremaldedeterminaromaiortamanhodeumsistema

interse tante ontido em  [n℄ k  =fA[n℄: jAj=kg

é muito mais interessante. De fato, este problema foi estudado por

Erd®s, Ko, e Rado em 1938, embora o resultado tenha sido

publi a-do[25℄ apenas em 1961.

Éfá il onstruir umsistemainterse tanteA`grande' dek- onjuntos

(isto é, onjuntos om k elementos) ontidos em[n℄. Observemos

ini i-almentequese 2k>n, então podemos tomarA = [n℄

k

para frente que2k n. Neste aso, podemos tomar

(49) A

0

=fA[n℄: jAj=k e 12Ag:

Claramente, temos queA

0 éinterse tante e (50) jA 0 j=  n 1 k 1  :

Oteoremade Erd®s, Ko,e Rado armaque todosistemainterse tante

formado por k-sub onjuntos de [n℄ tem tamanho no máximo jA

0 j =

n 1

k 1

, desde quen 2k. Ademais,se um talsistema tem tantos

mem-brosquantoA

0

,entãoeleéisomorfo aA

0

,desdequen >2k;emoutras

palavras,existe essen ialmente umaúni a formade se onstruir um tal

sistema de ardinalidademáxima!

Como o leitor já deve imaginar, dizemos que dois sistemas de

on-juntos A  P(X) e B  P(Y) são isomorfos se existe uma

bije-ção b: X!Y tal queA 2A see sóse

b(A)=fb(a): a2Ag2B:

O teoremade Erd®s, Ko, eRado é omo segue.

Teorema 11. Seja A [n℄ k
, om n 2k>0. Se A é um sistema interse tante, então (51) jAj  n 1 k 1  :

Ademais, se n>2k e valea igualdade em (51), então A é isomorfoao

sistema A

0

denido em (49).

Demonstração. Usaremos um método muito engenhoso

inven-tado por Katona. Consideremos `permutações í li as' dos elementos

de [n℄:

onde os índi es são onsiderados módulo n. Mais formalmente,

onsi-deramosbijeções

: Z=nZ![n℄;

e olo amos a

i

=(i)para todoi. Dadouma tal e um onjunto A

[n℄ om jAj =k, dizemos que  e A são ompatíveis se A o orre omo

um `segmento'em(52). Formalmente,a ondição queexigimoséqueA

seja igual a fa

i+1 ;:::;a

i+k

g para algum i2Z=nZ. (Note que, omo os

índi es são módulo n, o onjunto A pode `dar a volta'.)

Observemos ini ialmenteque,dada umapermutação í li a omo

em(52),

(*) existemno máximo k membros de A que são ompatíveis om

esta permutação.

De fato, seja A 2 A um membro de A ompatível om . Suponha

queA =fa

i+1 ;:::;a

i+k

gparaumdadoi2Z=nZ. Para ada2j k,

podemos onsiderar os onjuntos disjuntos

J j eJ + j Z=nZ dados por J j =fa i+j bn=2 ;:::;a i+j 1 g e J + j =fa i+j ;:::;a i+j+bn=2 g:

Claramente, apenasum dentre J

j eJ

+

j

pode onter um membro de A,

poisJ

j \J

+

j

=;. Poroutrolado,todomembro A 0

de Aqueédiferente

de A mas é ompatível om  pre isa estar ontido em J

j ou J + j para algum j, poisA 0

\A6=;. A asserção (*) está provada.

Agora ontamos de duas maneiras os pares da forma (;A) om 

uma permutação í li a eA um membro de A om  e A ompatíveis.

SejaP onúmero de taispares. Devidoà (*), xada uma , existemno

permutações í li as ompatíveis om A. Con luímos que jAjnk!(n k)!=P  X  k =n!k; de onde (51) segue.

A prova da uni idade das ongurações extremas para o aso em

que n> 2k é um pou o deli ada,e  a omo um bomexer í io para o

leitor. 

Antesde passarmosparaonossopróximotópi o, a omoexer í io

parao leitores lare er asituaçãono aso emquen=2k. Oquesão os

sistemas interse tantes A [2k℄

k

?

Consideremos agora sistemas `-interse tantes de k-sub onjuntosde

[n℄, isto é, sistemas de onjuntos A  [n℄

k

om jA\Bj  ` para

to-do A e B 2 A. Naturalmente, até agora temos onsiderado sistemas

1-interse tantes. Erd®s,Ko,e Radotambémprovaramlimitantes

supe-riores para otamanho de sistemas `-interse tantes para `>1.

Considereaseguinte onstruçãosimplesde sistemas`-interse tantes

(`  1). Seja L  [n℄ um onjunto om ` elementos. O sistema

`-interse tantexado porL éo sistema

(53) A L =fA[n℄: jAj=k; LAg: NotequejA L j= n ` k `

. Parao asoemquenégrandeemrelaçãoak,os

sistemas A

L

xados por `- onjuntos L são os sistemas `-interse tantes

de tamanho máximo.

Teorema12. Paratodo`ek om1`kexisteumn

0 =n

0 (`;k)

para o qual vale o seguinte. Se A  [n℄

k

é um sistema `-interse tante

e n n 0 , então (54) jAj   n ` k `  :

Demonstração. SejaAumsistema`-interse tante omono

enun- iado. Naturalmente, não há nada a fazer se k = `, e portanto

su-pomos k > `. Podemos também supor que A é maximal, isto é, ao

adi ionarmos qualquer k- onjunto B ontido em [n℄ a A, se B 2= A, o

sistema A deixade ser `-interse tante.

Da maximalidade de A segue que há dois membros A e A 0 2 A om jA \ A 0 j = `. Seja L = A \ A 0 . Se todos os membros de A ontém L, então A  A L

e não há nada a provar. Supomos portanto

que

(55) existe B 2A om jB \Lj<`.

Ponha U = A[A 0

[B e suponha agora que C 2 AnfA;A 0

;Bg.

Armamosque

(56) jC\Uj`+1:

De fato, note que C ontém um elemento de B nL, pois jB \Lj < `

ejC\Bj`. Portanto,seLC, anossaarmação jáestá veri ada.

SuponhaqueL6C. Então, paraquejC\Aj, jC\A 0 j`, pre isamos quejC\(A[A 0 )j`+1(poisL=A\A 0

tem exatamente`elementos

e L6C). Novamente, a nossa armação (56) está veri ada.

Note que (56) vale também para C 2 fA;A 0 ;Bg. Portanto temos, muito generosamente, (57) jAj2 jUj X jk ` 1  n jUj j  :

Defato,todomembroC de Apodeser es rito omoC

1 [C 2 onde C 1 = C\U e C 2 =CnU. Como há 2 jUj possibilidades para C 1 e, dado C 1 , háno máximo X jk ` 1  n jUj j 

possibilidadesparaC

2

(poisjC

2

jk ` 1),adesigualdade(57)segue.

Notequeolado direitode (57) éO(n k ` 1

) eolado direitode (54) não

é O(n k ` 1

). Finalmente, lembre que deduzimos (57) supondo (55).

O Teorema 12está provado: se (55) vale, então (57) vale e

portan-to(54)valeestritamenteparansu ientementegrande;poroutrolado,

se (55) não vale, então todomembro de A ontém L. 

3. Té ni as da álgebra linear

Consideraremos nesta seção teoremas extremais para sistemas de

onjuntos A om restrições de paridade nas ardinalidades das

inter-seções entre pares de membros de A. O nosso primeiro resultado é o

seguinte.

Teorema 13. Suponha queA P([n℄) é um sistema de onjuntos

tal que

(i) jAj é ímpar para todo A2A,

(ii) jA\A 0

j é par para todo A e A 0

2A om A6=A 0

.

Então jAjn.

Demonstração. Aprovadesteteoremausaumaté ni aum tanto

inesperada: álgebra linear sobre o orpo F

2

= GF(2) dos inteiros

mó-dulo 2. Defato, onsideremososvetores ara terísti os x

A =(x (A) i ) i2[n℄

dos membros A2A. Aqui,temos

x (A) i = 8 < : 0 if i2= A 1 if i2A

paratodoi2[n℄. Armamosqueosvetoresx

A

(A2A) são

linearmen-te independentes sobre F

2

. Note que isto termina a prova, pois estes

vetores estão ontidos em F n

2

, que tem dimensão n.

Paraprovaraindependên ialineardosvetoresx

A (A2A),suponha que tenhamos (58) X  A x A =0;

om 

A 2 F

2

para todo A 2 A. Usamos agora o fato que podemos

denir um produto es alarF n 2 F n 2 !F 2 olo ando (59) hx;yi=x T ymod2= X 1in x i y i mod2; onde x = (x i ) e y = (y i

). (A úni a propriedade que queremos

so-bre hx;yi é que eleseja linear na segunda entrada: hx;

1 y 1 + 2 y 2 i=  1 hx;y 1 i+ 2 hx;y 2

i). Fixe agora A

0

2 A, e onsidere o vetor

ara te-rísti o x A 0 de A 0 . Segue de (58) que (60) X A2A  A hx A 0 ;x A i= D x A 0 ; X A2A  A x A E =0:

Entretanto, as hipóteses (i) e (ii) do nosso teorema impli am que o

lado esquerdo de (60) é 

A

0

! Daí segue que os vetores x

A

(A 2A) são

linearmenteindependentes, omo queríamos demonstrar. 

Ademonstração muitoelegantedoTeorema13a imamere eser

es-tudada om uidado. Este texto usará argumentos desse gênero várias

vezes. Oleitorapre iará opoder doargumentoalgébri oa ima ao

ten-tar en ontrar uma prova puramente ombinatória do resultado a ima.

Tente!

Oqueo orresemudamosasparidadesnoenun iadodoTeorema13?

Suponha que exigimos agora que os membros de A tenham todos

ar-dinalidade par, e mantenhamos a ondição (ii) (todas as interseções

pares). Temos aqui uma situação surpreendentemente diferente,

o-momostraa seguinte onstrução. Considere ini ialmenteuma partição

de [n℄ em pares, omo porexemplo

(61) [n℄ =f1;2g[f2;3g[:::

(oúltimoblo odestapartiçãoénaverdadeum onjuntounitáriosené

ímpar). Sejam p

1 ;:::;p

bn=2

ospares que ompõeesta partição. Ponha

Isto é,os membrosde A são os onjuntos quepodem ser es ritos omo

umauniãodosp

i

(1ibn=2 ). Claramente, jAjépar paratodoA2

A e (ii) doTeorema 13valepara A. Entretanto,

jAj=2 bn=2

:

Isto é, tro ando a hipótese na paridade exigida em (i) no Teorema 13

passamosapermitirsistemas omum númeroexponen ialdemembros.

(Antes ossistemas tinhamno máximon membros!)

Pre isamosagora en ontrar limitantes superioresparaosnossos

no-vos sistemas. Na verdade, o nosso resultado diz que a onstrução que

estudamos a ima forne e sistemasextremais.

Teorema 14. Suponha queA P([n℄) é um sistema de onjuntos

tal que

(i) jAj é par para todo A2A,

(ii) jA\A 0

j é par para todo A e A 0 2A om A6=A 0 . Então jAj2 bn=2 .

Aprovadoteoremaa imaexigequeestudemos álgebralinearsobre

orposnitos (na verdade, F

2

) om um pou o mais de uidado.

3.1. Alguns fatos da álgebra linear. Seja F um orpo,

pos-sivelmente nito, e seja V um espaço vetorial sobre F. Uma

fun-ção : V V !F é bilinearse elafor linearem ada oordenada:

(u+v;w)=(u;w)+(v;w)

e

(w;u+v)=(w;u)+(w;v)

para todo  e  2 F e todo u, v, e w 2 V. Se V = F n

, as formas

bilineares  sobre V são exatamente as apli ações (u;v) 7! (u;v) =

u T

Bv, onde B éuma matriznn om entradas emF. Dizemosque 

é simétri a se a matriz asso iada a  é uma matriz simétri a, isto é,

Um produto interno em V é simplesmente uma forma bilinear

si-métri a. Fixe um produto interno  sobre V, e suponha que V tenha

dimensão n. Podemos identi arV om F n

.

Dizemos que dois vetores u e v são ortogonais se (u;v) = 0, e

es revemos u ? v nesse aso. O espaço ortogonal W ?

de um

subespa-çoW V é dado por

(63) W ? =fv 2V : v ?w para todow2Wg: Noteque W ? éum subespaço vetorial de V.

Dizemos que um vetor não-nulo v 2 V é isotrópi o se v ?v. Se U,

W V são doissubespaçosde V,dizemosqueU eW sãoortogonais se

todou2U éortogonalatodow2W. Nesse aso, es revemosU ?W.

Dizemos que um subespaço W  V é totalmente isotrópi o se W ?

W. Note que, em parti ular, se W é totalmenteisotrópi o, então todo

elemento de W é isotrópi o. Ademais, se W é totalmente isotrópi o,

temos W W ?

.

Finalmente, dizemosque o espaçoV é singular se V \V ?

6=(0).

Proposição15. Seja V umespaçovetorial de dimensãon eseja

um produto interno sobre V.

(i) Para todo subespaço W V, temos

dimW +dimW ?

n:

(ii) Oespaço V nãoé singular se esó se a matriz B asso iadaà 

é não-singular, isto é, tem determinante não-nulo.

(iii) SeV não é singular, entãopara todosubespaçoW V, temos

dimW +dimW ?

=n:

(i)Sejaw

1

;:::;w

d

umabase deW. Umvetorv 2V perten eaW ? se esó se (64) w T i Bv =0; para todo1id:

O sistema linear a ima têm d equações, de forma que a dimensão do

espaçodas soluçõesW ?

én d. DaíseguequedimW+dimW ?

n.

(ii) Suponhaque B é singular. Então existe um vetor não-nulov 2

V om Bv = 0. Claramente, (u;v) = u T

Bv = 0 para todo u 2

V, de forma que v 2 V \V ?

6= (0) e V é, por denição, singular.

SuponhaagoraqueB sejanão-singular. Então osistema(64)( omd=

n e w

1

;:::;w

n

uma base de V) admite apenas a solução trivial v = 0

pois osvetores w T

i

B (1in) são linearmenteindependentes. Dessa

formaV ?

=(0), e V énão-singular.

(iii) Suponha que w

i

(1  i  d) formam uma base de W, omo

na prova de (i). De (ii), sabemos que B é não-singular. Portanto, os

vetoresw T

i

B (1id) são linearmenteindependentes. Daí segueque

o espaço de soluções do sistema (64) tem dimensão exatamente n d,

de onde temos dimW +dimW ?

=n. 

Corolário16. Seja V um espaço vetorial de dimensãon, munido

de um produto interno. Ademais, suponha que V seja não-singular.

Então todo subespaço totalmente isotrópi o W de V tem dimensão 

n=2.

Demonstração. SejaWumsubespaçototalmenteisotrópi odeV;

temos W  W ?

. Como V não é singular, temos de (iii) da

Proposi-ção 15 que

2dimW dimW +dimW ?

=n;

o que ompleta a prova deste orolário. 

3.2. Prova do Teorema 14. Temos agora as ferramentas da

ál-gebra linear ne essárias para provaro nosso teorema.

os vetores ara terísti os x

A

(A 2 A) dos membros de A. Seja W o

subespaço de V = F n

2

gerado por estes x

A

(A 2 A). Consideramos o

produto interno anni o

hx;yi=x T ymod2=x T I n ymod2 sobre V; a identidade I n

é a matriz asso iada a este produto interno.

Note quetemos, portanto,um espaço não-singular. Pelas hipóteses (i)

e (ii) de nosso teorema, temos que W é um subespaço totalmente

iso-trópi o. Segue do Corolário 16 que dimW  n=2. Naturalmente,

temos dimW  bn=2 . Ademais, omo estamos sobre F

2 , laramen-tejAj jWj2 dimW 2 bn=2 . 

3.2.1. Observações. Notequeos Teoremas13e14tratamdos asos

ímpar/par e par/par da paridade das ardinalidades dos membros

deAeinterseçõesdosparesdemembrosdeA. Deixamos omoum

exer- í iopara oleitores lare er asituaçãopara asvariantesímpar/ímpar

e par/ímpar.

Terão papel fundamental no Capítulo 2 resultados extremais para

sistemas de onjuntos envolvendo restrições módulo p ( om p um

pri-mo ímpar) para as ardinalidades das interseções dois a dois de seus

membros (veja o Teorema33).

3.3. O teorema de Fisher. Oquepodemosdizer sobreum

siste-made onjuntossesabemosquea ardinalidadedainterseção de

quais-quer dois de seus membros é exatamente um valor dado? É intuitivo

que tal restrição é muito mais forte que restrições de paridade, omo

temos visto até o momento. Provaremos o seguinteresultado, às vezes

hamado de o teoremade Fisher não-uniforme,usando álgebra linear.

Teorema 17. Fixe inteiros 1  ` < n. Suponha que o sistema de

onjuntos A  P([n℄) é tal que jA\A 0

j =` para quaisquer A, A 0

2 A

distintos. Então jAjn.

quetodososmembrosdeAtêmamesma ardinalidade,usandoálgebra

linear;defato,foiestanotadeBosede duaspáginasqueintroduziuesta

té ni ano estudo de problemas extremais para sistemasde onjuntos.

Namesmaépo a,independentemente, deBruijneErd®s[16℄

prova-ram o aso` =1doTeorema17,pormétodos ombinatórios. Noteque

mesmo o aso emque ` =1é de fatointeressante: além da onstrução

óbvia em que todos os membros de A ontêm um elemento xo e são

disjuntos amenosdesteelemento,háaindaosexemplosdos planos

pro-jetivosnitos,emquetodopar de linhasseinterse tamemexatamente

um ponto.

Majumdar [58℄ e Isbell [45 ℄ independentemente provaram o T

eore-ma17;a prova que damosabaixo é devida a estes autores.

Prova do Teorema 17. Consideremos primeiro o aso em que

existe um A 2 A om jAj = `. Então todos os outros membros de A

ontémAenãoseinterse tamforadeA. PortantojAj1+n `n,e

portantoonossoresultado vale. Supomos daquiparafrentequejAj>`

para todo A2A.

Para simpli aranotação, suponha queA =fA

1

;:::;A

m

g.

Consi-dere os vetores ara terísti osdos A

i

: para ada i,seja x

i =(x ij ) 1j<n onde (65) x ij = 8 < : 0 se j 2= A i 1 se j 2A i :

Provaremos queosvetores x

i

(1im) são linearmente

independen-tes, de onde poderemos on luir quem n.

Considere a matrizM =(x ij )2f0;1g mn formada pelos x ij

deni-dos em (65); equivalentemente, as linhas da matriz M são justamente

osvetores x

i

(1im). É fá ilver quevaleaidentidade

(66) A=MM

T

=`J+D;

onde J denotaamatriz mm om todas asentradas iguaisa1 eD=

(1  i  m). Fazemos agora duas observações: se as linhas x

i de M

não sãolinearmenteindependentes, entãoexiste umvetornão nuloy=

(y i )2R m om y T M =0, de forma que (67) y T Ay=0:

Anossasegundaobservaçãoéque,devidoa(66),oladoesquerdode(67)

pode ser es rito daseguinteforma:

y T Ay=y T (`J D)y =`y T Jy+y T Dy =` X 1im X 1jm y i y j + X 1im d i y 2 i =`  X 1im y i  2 + X 1im d i y 2 i >0;

oque ontradiz(67). Assim,podemos on luirqueaslinhasx

i

(1i

m) de M são de fato linearmente independentes, de forma que temos

ne essariamentem n. OTeorema 17 está provado. 

3.3.1. Umainterseçãoproibida. Emboraarelação omoTeorema17

sejaapenasnaforma,nãoresistimosemen ionamosaquisemprovaum

resultado profundo de Frankl e Rödl sobre sistemas de onjuntos om

restrições na ardinalidade das interseções de pares de seus membros.

Paul Erd®s [20℄ props em 1976 a seguinte onje tura: se um sistema

de onjuntos A  P([n℄) é tal que não há em A dois membros A e A 0

om jA \A 0

j = bn=4 , então jAj  (2 ") n

para alguma onstante

absoluta " > 0. Em outras palavras, a proibição de exatamente uma

ardinalidade para as interseções dois a dois provo a uma queda

ex-ponen ial no tamanho do sistema. (No Teorema 17, exigimos que as

interseções sejam todas de uma ardinalidade dada; aqui exigimos que

elas sejamquaisquer, a menos de um úni o valor.) Erd®s ofere eu 250

dólares pelaresolução desta onje tura.

Rö-deumsistemade onjuntosAP([n℄)quenão ontémdoismembrosA e A 0 om jA\A 0 j=`.

Teorema 18. Para todo 0 <  < 1=4 existe uma onstante " =

"()>0 para o qual temos

m(n;`)(2 ") n

para qualquer inteiro ` om n<`<(1=2 )n.

Para o aso em que` =bn=4 , o resultado explí ito éque

(68) m(n;bn=4 )<1;99 n

;

e, mais geralmente, se` =b%n , temos

(69) m(n;b%n )(2 % 2 =2+o(% 3 )) n : Tomando A %

P([n℄) omo sendo o sistema de todos os sub onjuntos

de [n℄ omestritamente mais de (1+%)n=2 elementos, vemos que

m(n;b%n )(2 % 2 +o(% 3 )) n

e, no aso espe í o em que %=1=4, vemos que

m(n;bn=4 )1;9378 n

:

Estes limites inferiorespara m(n;`) mostramque(68) e (69) não estão

muito longe de serem limitantes ótimos.

A demonstração do Teorema18 ébastante omplexa.

4. O teorema de Ahlswede e Kha hatrian

VimosnoTeorema12 quese n ésu ientemente grandeemrelação

a k, então um sistema `-interse tante de k-sub onjuntos de [n℄ tem no

máximo n `

k `

membros. Ademais, os exemplos extremos são os

siste-mas A

L

Consideremos asseguintes onstruçõesalternativaspara sistemas

`-interse tantes A

i

(0  i  (n `)=2) sobre [n℄. Para ada inteiro i

om 02in `, pomos

(70) A

i

=fA[n℄: jAj=k; jA\[`+2i℄j`+ig:

Noteque,defato,osA

i

são`-interse tantes: seAeA 0

sãodoismembros

de A distintos, então temos que A\A 0

\[`+2i℄  A\A 0

tem pelo

menos ` elementos. Ademais, note que A

0

nada mais é que o sistema

`-interse tante xado pelo`- onjunto L=[`℄.

Consideremos um aso extremo: tome ` = 2, k = 2r, e n = 4r.

Então o sistema 2-interse tante A

i om i=r 1 é A r 1 =fA[n℄: jAj=k; jA\[2r℄jr+1g; e tem ardinalidade (71) jA r 1 j= 1 2  4r 2r   2r r  =  1 2 +o(1)  4r 2r  :

Por outrolado, um sistemaA

L

xado porum 2- onjuntoL (veja (53))

tem (72) jA L j=  4r 2 2r 2  =  1 4 +o(1)  4r 2r  :

Comparando(71)e(72)vemosque,emgeral,a onstrução(70) omi>

0podeforne ersistemas`-interse tantesmaioresqueaquelesxadospor

`- onjuntos L.

Nãoédifí ilprovarquesen n

0

(k),entãojA

i

jémáximoparai=0.

O exemplo a ima mostra que para ertos asos extremos, o máximo

dos jA

i

j éatingidopara valores i>0.

SejaM(n;k;`)a ardinalidademáximadeumsistema`-interse tante

de k-sub onjuntos de [n℄. Então M(n;k;`)max

i jA

i

j. Ademais, sen

é su ientemente grandeem relaçãoa k,então valea igualdade (este é

Conje tura 19. Para todo 1`k n, vale que (73) M(n;k;`)=max i jA i j;

onde o máximo é tomado sobre 0i(n `)=2.

A onje tura a ima é devida, nesta generalidade, a Frankl [29℄. O

aso ` =2, k =2r, e n =4r já o orre no artigooriginal de Erd®s, Ko,

e Rado [25 ℄,de 1961.

4.1. A resolução da Conje tura 19. Um dos grandes

resulta-dos da teoria extremal dos onjuntos em anos re entes foi a resolução

ompleta da onje tura deFrankl, Conje tura 19,porAhlswede e

Kha- hatrian [1℄em 1997.

Teorema 20. A Conje tura 19 é verdadeira.

A onje tura de 1938 de que M(4r;2r;2) é dado por jA

r 1 j

(ve-ja (71)) foi um dos problemas favoritos de Erd®s. A demonstração do

Teorema 20é um tantorebus ada, e está fora does opo destas notas.

5. O teorema de Ramsey

Embora óbvio, o prin ípio da asa do pombo, também onhe ido

omo o prin ípio de Diri hlet, pode ser empregado de formas sutis,

muitas vezes permitindo provar resultados de forma inesperada. Este

prin ípio pode ser enun iado da seguinte forma: se olo amos n +1

pombosem n asas, então alguma asa vaire eber mais de um pombo.

Nesta seção, dis utiremos brevemente uma versão mais sosti ada

destefenmenobási odanatureza, onhe ida omooteoremade

Ram-sey. Para umadis ussão introdutóriaàteoria de Ramsey, oleitor pode

onsultar [15℄. Umaex elentereferên ia(mais avançada) éa

monogra-a[42℄.

5.1. O prin ípio de Diri hlet. Se oleitor não está familiarizado

omapli açõesdoprin ípioda asadopombo,entãoébemnaturalque

deste prin ípio, expomos aqui um resultado bem onhe ido de 1842 de

Diri hlet,sobreaproximaçõesdiofantinas. Esteresultadonãoseráusado

no resto do texto; resolvemos in luí-lo porque ele é um dos melhores

exemplos queilustram opoder doprin ípio da asa dopombo.

Teorema21. Seja umnúmeroirra ional, entãoexistem innitas

soluções ra ionais p=q para a desigualdade

(74)      p q     < 1 q 2 :

Demonstração. FixeuminteiroQ1. ConsidereosQ+1

núme-ros 0;f g;f2 g;:::;fQ g 2 [0;1), onde es revemos fxg para a parte

fra ionáriade x,isto é,fxg=x bx . Considere os Q intervalos

I k =  k 1 Q ; k Q  [0;1)

para 1  k  Q. Note que estes Q intervalos parti ionam o

inter-valo [0;1). Pelo prin ípio de Diri hlet, dois dos Q+1 números fi g

(0  i  Q) perten em a um mesmo intervalo I

k

; suponha que eles

sejamfi g e fj g, om i>j. Então

(75)   fi g fj g   < 1 Q :

Portanto,tomandoq =i j >0e p=bi bj , deduzimos de (75)

que

jq pj< 1

Q :

Dividindoporq e lembrandoque q=i j Q, temosque

(76)      p q     < 1 qQ  1 q 2 ;

e assim en ontramos uma soluçãopara (74).

Comoéirra ional,oladoesquerdode(76)éestritamentepositivo,

digamos>1=Q 0

,paraalguminteiropositivoQ 0

. Repetindooargumento

talque (77)      p 0 q 0     < 1 q 0 Q 0  1 (q 0 ) 2 : Como 1=q 0 Q 0 < 1=Q 0 < j p=qj, a aproximação p 0 =q 0 é uma nova

aproximaçãode . Podemosassimdeduzirque(74)defatoteminnitas

soluções. 

Jáen ontramosnestetextoumaoutraapli açãodoprin ípioda asa

dopombo: uma seqüên iaprimitivade inteiros ontida em[2n℄ têm no

máximon elementos. (Vo ê fezosegundo exer í iosugeridono omeço

daSeção 2.1.1?)

5.2. O teorema de Ramsey para grafos. Passaremos agora a

dis utirumresultado lássi odeRamsey [63℄,de1930. Agrossomodo,

o teorema de Ramsey é uma versão iterada do prin ípio da asa do

pombo.

Umaáreari ada ombinatória, onhe ida omoateoriadeRamsey,

lida omresultadosrela ionadosaoteoremadeRamseyeaoutros

resul-tadosquesão manifestaçõesdeum fenmenobási o,assimdes ritopor

Theodore S. Motzkin: desordem ompleta é impossível. Estudamos

no Capítulo 3 uma subárea da teoria de Ramsey, a saber, a teoria de

Ramsey eu lideana, introduzida em um trabalho de 1973, dedi ado a

Motzkin pelosilustres autoresP.Erd®s,R.L.Graham,P. Montgomery,

B.L. Roths hild, J.Spen er, e E.G. Straus [21℄.

5.2.1. O teorema de Ramsey. Aqui, restringimo-nos à versão mais

simples do teorema de Ramsey, que é a versão para grafos. Um grafo

nadamaiséqueumpar(V;E),ondeV éo onjuntodevérti es deGeE

é um onjunto de pares de vérti esde G: E  V

2

. Oselementos de E

são asarestas de G. Usualmente, dizemos queuma arestae=fx;yg2

E de um grafo G = (V;E) liga os seus extremos x e y. Quando dois

vérti es x, y 2 V de G formam uma aresta fx;yg 2 E de G, dizemos

que x ey são adja entes.

Um liqueemumgrafoG=(V;E)éum onjuntoU V devérti es

om U

arestas de G. Um onjunto independenteem Gé um onjunto W V

devérti es om U

2

\E =;,istoé,nenhumpardevérti esemW forma

uma aresta de G. Pomos

!(G)=maxfjUj: U éum lique emGg

e

 (G)=maxfjWj: W éum onjunto independente emGg:

O teorema de Ramsey simplesmente diz que grafos grandes pre isam

onter liques ou onjuntos independentes grandes.

Teorema 22. Sejam k e ` inteiros positivos. Então existe um

in-teiron

0 =n

0

(k;`)tal quetodo grafo G om pelomenosn

0

vérti es é tal

que !(G)k ou  (G)`.

Muitas vezes, sea on lusão do Teorema22valepara um inteiro n,

es revemos

(78) n !(k;`):

Ademais, denimos omo o número de Ramsey R (k;`) o menor valor

possível para o inteiro n

0

(k;`) no enun iado do Teorema 22, ou,

equi-valentemente, omenor valorde n parao qual(78) vale. Naturalmente,

o Teorema22 armaque R (k;`)<1 para todok e` 1.

A provadoTeorema 22ébaseada naapli açãodoprin ípioda asa

dopombode formaiterada.

Demonstraçãodo Teorema 22. Claramente, temos

(79) R (1;`)=R (k;1)=1

para todo k e `1. Suponha agora que k e `2, eque R (k 0

;` 0

)<1

para todo par (k 0 ;` 0 ) om k 0 +` 0

Seja G = (V;E) um grafo om n = R (k;` 1)+R (k 1;`) vérti es.

Devemos provar que G ontém um lique de ardinalidade k ou um

onjunto independente de ardinalidade `. Fixe um vérti e x de G.

Pelo prin ípio da asa do pombo, ou (i) x é adja ente a R (k 1;`)

vérti es,ou (ii) x não éadja entea R (k;` 1) vérti es de G.

Suponha que vale o aso (i) a ima. Considere o grafo G 0

ujo

on-juntodevérti esY éo onjuntodevérti esydeG omxeyadja entes

(os`vizinhosde x'); denimoso onjuntode arestas emG 0 omo o on-junto E \ Y 2

, isto é, dois vérti es y e y 0

2Y são adja entes em G 0

se

e só seo foremem G. Pela denição de R (k 1;`), o grafo G 0

ontém

um lique de tamanho k 1 ou ontém um onjunto independente de

tamanho`. Notequese tal onjuntoindependenteexistiremG 0

,então

ele é também um onjunto independente em G e não há nada mais a

fazer. Caso G 0

ontenha um lique U 0

de tamanhok,então observamos

queU =U 0

[fxg éum lique emGde tamanhok, eassimterminamos

a prova.

Suponhaagoraquevaleo aso(ii)a ima. ConsidereografoG 00

ujo

onjuntode vérti es Z é o onjunto de vérti es z 2V nfxgde G om x

e z não-adja entes e z 6= x; denimos o onjunto de arestas em G 00

omo o onjunto E \ Z

2

. Pela denição de R (k;` 1), o grafo G 00

ontém um lique de tamanho k ou ontém um onjunto independente

de tamanho ` 1. Note que se tal lique existir em G 00

, então ele é

tambémum liqueemGenão hánadamais afazer. CasoG 00

ontenha

um onjunto independente W 00

de tamanho ` 1, então observamos

que W =W 00

[fxg éum onjunto independente emG de tamanho `.

Isto on luia prova doTeorema 22. 

Observação 23. A demonstração a ima do Teorema 22 de fato

impli aque (81) R (k;`)  k+` 2 k 1  :

usando-Um problema numéri o famoso rela ionado ao teorema de Ramsey

é oseguinte. Ponha

(82) R (n)=R (n;n):

Problema 24. Determine ou estime R (n).

Sabe-se o valor de R (n) para valores pequenos de n. É trivial

que R (1) = 1 e que R (2) = 2. Um exer í io bem onhe ido é

pro-var que R (3) = 6. Já é mais difí il provar que R (4) = 18 (tente!). O

que sesabe sobre R (5) éque

43R (5)49:

Para mais detalhes sobrevalores exatos dos númerosde Ramsey,vejaa

`Resenha dinâmi a' de StanislawRadziszowski[62℄.

O que podemos dizer sobre a ordem de grandeza de R (n)? Pela

Observação 23, temosque

(83) R (n)  2n 2 n 1   p n 4 n

para alguma onstante positiva >0.

Como podemos limitar R (n) por baixo? Claramente, provar que

R (n)>N signi aprovarque existe um grafo om N vérti es que não

ontém nenhum lique de tamanho n nem ontém nenhum onjunto

independente de tamanho n. À primeira vista,pode ser surpreendente

que este seja um problema difí il.

5.2.2. Olimitante exponen ial de Erd®s. Um resultado inuentede

Erd®s foi o seu limitanteinferior exponen ial [19℄ para os números de

Ramsey R (n),publi ado em1947. Embora aprovadesteresultado seja

muitosimples,foielaademonstraçãodenitivadequeoassim hamado

método probabilísti o é fundamentalna ombinatória.

Teorema 25. Para todo n2, temos R (n)>2 n=2

.

Demonstração. Podemos veri ar por inspeção que R (n)>2 n=2

Consideremos grafos Gsobre V =[N℄,onde

N =b2 n=2

;

denidos daseguinteforma: para ada par de vérti esdistintosa e b2

V, lan e uma moeda honesta e oloquea aresta fa;bg em G see só se

a moeda der ara. Noteque denimos assim um grafo aleatório G.

Maisformalmente,para ada1a<bN, onsidereumavariável

aleatóriaX a;b om P(X a;b =0)=P(X a;b =1)= 1 2 ; om todas as variáveis X a;b (1  a < b  N) independentes. A

ares-ta fa;bg perten e ao grafoaleatório Gse esó seX

a;b =1.

Qual é o número esperado de liques de tamanho n em G? Para

ada sub onjunto U  V de n vérti es, es reva Y

U

para a variável

indi adora 01 que vale1 see só seU é um lique emG. Então

(84) P(Y U =1)=2 ( jUj 2 ) =2 ( n 2 ) :

O número total de liques de tamanhon em G é Y = P

U Y

U

, onde a

soma ésobretodosos n-sub onjuntos de V. Assim, o númeroesperado

de liques de tamanho n em Gé, devido a (84),

(85) E(Y)=E X U Y U
= X U E(Y U )= X U P(Y U =1)=  N n  2 ( n 2 ) ;

onde usamos uma propriedade fundamentaldo valoresperado, a assim

hamada linearidade (o valor esperado de uma soma de variáveis

alea-tórias é asoma dos valores esperados dessas variáveis). Analogamente,

se Z é o número de onjuntos independentes em G, podemos deduzir

que (86) E(Z) =  N n  2 ( n 2 ) :

De (85) e (86), podemos deduzirque (87) E(Y +Z)=2  N n  2 ( n 2 ) 2  eN n  n 2 n(n 1)=2 2  e2 n=2 2 (n 1)=2 n  n =2 e p 2 n ! n <1;

onde usamos que n  5e que a

b

 (ea=b) b

(veja Lema 94 do

Apêndi- e A)

O que podemos deduzir de (87)? O número esperado de liques

e onjuntos independentes de tamanho n em G é < 1. Claramente,

algum grafo G gerado da formaa ima pre isa ser tal que o número de

tais onjuntos é0,pois aso ontrárioonúmeromédiodetais onjuntos

seria pelo menos 1! Daí segue que existe um grafo G om N vérti es

om !(G)<n e  (G)<n, e portantoR (n)>N. 

Oargumentode Erd®s, om umpou omais de uidadonas

estima-tivas, forne eo seguinte resultado:

(88) R (n)

n

e 2

(n 1)=2

para todo n1. Este limitante, entretanto, ainda pode ser melhorado

levemente, usando-se té ni as maisavançadas dateoriade

probabilida-de. Usando oassim hamadoLema Lo alde Lovász [26℄, Spen er [67 ℄

provou que o limite inferior em (88) pode ser melhorado por um fator

de 2, istoé, valeque

(89) R (n)

n

e 2

(n+1)=2

A desigualdade (89) de 1975 é ainda o melhor resultado que se

onhe- e nesta direção. Por outro lado, mais de 50 anos após o limitante

superior (83) ter sido provado, Thomason e Rödl independentemente

paraR (n)hoje édevidoaThomason[70℄,quedizqueexiste uma

ons-tanteabsoluta >0 para oqual temos

(90) R (n)n 1=2+ = p logn  2n 2 n 1  :

NotequeolimitantedeThomason(90)éaproximadamenten 1=2

menor

que o limitante em (83). (O limitante de Rödl [41℄ para R (n) era

basi amenteum fator de loglogn menor queo lado direitode (83).)

Para a grande frustração de todos os envolvidos, os seguintes

pro-blemas de Erd®s, de 1947, persistem.

Conje tura 26. Olimite (91) lim n!1 R (n) 1=n existe.

Problema 27. En ontre ovalor do limiteem (91), aso eleexista.

Oque se sabesobre o Problema27é que

(92) p 2liminf n!1 R (n) 1=n limsup n!1 R (n) 1=n 4;

que é o que Erd®s já sabia em 1947. Erd®s ofere eu 100 dólares pela

resolução da Conje tura 26, e ofere eu 250 dólares pela resolução do

Problema27.

NaSeção5.3,exibiremosexpli itamenteumgrafoqueprovaqueR (n)

res e pelo menos ubi amente emn. No Capítulo 2, Seção 5,

exibire-mos um grafo queprova queR (n) res e superpolinomialmente om n.

Seráateoriaextremaldos onjuntosquenosdaráinformaçõessobre

os liques e sobre os onjuntos independentes dos grafos que vamos

onstruirexpli itamentenaSeção5.3abaixoenaSeção5doCapítulo2.

5.3. Construçõesexplí itas. Considereastriplasdo onjunto[n℄

e denaum grafoG

n

sobreelas, denindo omo arestas exatamenteos

pares de triplas de têm exatamente um elemento em omum. F

ormal-mente, o grafo G tem onjunto de vérti es V = [n℄

arestas E =  fA;Bg2  V 2  : jA\Bj=1  :

Vamos provar que os liques e onjuntos independentes de G

n

são

`pe-quenos'.

Teorema 28. Seja G

n

o grafo denido a ima. Então

(93) !(G

n

);  (G

n )n:

Demonstração. Suponha que A

1 ;:::;A ! 2V formam um lique em G n

. Então temos uma família de sub onjuntos de [n℄ om ada

par de onjuntos distintos interse tando em exatamente um elemento:

o Teorema17 impli aque !n. Con luímosque !(G

n )n.

Suponha agora que B

1

;:::;B

2 V formam um onjunto

indepen-dente em G

n

. Então temos família de sub onjuntos de [n℄, todos de

ardinalidade ímpar, om ada par de onjuntos distintos

interse tan-do em 0 ou 2 elementos, isto é, em um número par de elementos: o

Teorema 13impli aque n. Con luímosque  (G

n

)n. 

Corolário 29. Para todo n, existe um grafo que pode ser

expli i-tamente des rito que prova que R (n+1)> n 3
. A onstruçãode G n

a imaédevidaaZsigmondNagy(1972). Como

men ionado anteriormente, veremos noCapítulo 2 uma onstrução

ex-plí itade umgrafoqueprovaqueR (n) res emaisrápidoquequalquer

polinmioem n.

5.4. O teorema de Ramsey para hipergrafos. Ramsey provou

o seguinte resultado mais geral emseu trabalhooriginal [63℄.

Teorema 30. Sejam k, `, e r inteiros positivos om k  `. Então

existe um inteiro positivo N

0 = N

0

(k;`;r) para o qual vale a seguinte

asserção: se N N

0

, então