Lista 3 - Calculo 1

Questão 1. Questão 2. Questão 4. Questão 5. Questão 3. Questão 6. Questão 7.

Calcule a derivada das funções abaixo: (a)

f

( )

x

=

(

2

x

3

+

5

x

−

8

)

3 (b)

( )

4

5

x

2

3

x

3

x

f

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

(c)

f

( )

x

=

(

5

x

3

+

2

x

) (

3

.

x

−

x

2

)

2 (d)

f

( )

x

=

5

3

x

4

+

5

x

+

1

(e)

( ) (

)

(

)

2 3 x 3 5 3 x 2 x f − − = (f) f

( )

x =2e

(

3x2+6x+7

)

(g) f

( )

x =2

(

5−x3

)

(h) f

( )

x =e

( )

x .

(

x3 −5x

)

(i)

f

( )

x

=

3

e

sen( )x (j)

f

( )

x

=

cos

(

e

x

+

1

)

(k)

f

( )

x

=

2

sen

( )

x

2

.

cos

(

x

+

1

)

(l)

f

( )

x

=

sen

3

( )

x

(m)

( )

( )

( )

( )

5x sen x 3 cos . 2 x f x 2 = (n)

y

=

log

₂(1−3x) (o)

( )

( )

₂

x

ln

x

2

sen

y

=

(p)

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = x 1 ) x ( sen x ln x f 2

Calcule a equação da reta tangente à curva

( )

(

( )

)

1

x

cos

3

x

2

x

sen

2

x

f

₃ 2

+

−

+

=

no ponto

x

_o

=

0

. Derivadas das funções trigonométricas inversas

Calcule a derivada das funções abaixo:

(a) y=arccos

(

2x+1

)

(b)

y

=

arccossec

( )

e

x

(c)

y

=

x

2

(

arcsen

(

x

)

)

3 (d)

y

=

e

x

arcsec

(x)

(e)

y

=

arctg

(

2

7x

)

(f)

y

=

arccotg

(ln

x

)

Mostre que a reta normal à curva y=arcsen

( )

x −ln

(

x+1

)

, no ponto

x

_o

=

0

, faz com o eixo

Ox um ângulo de 90o.

Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função

=

y

arctg

2

( )

x

no ponto de abscissa x₀ = 3.

Derivadas sucessivas.

Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.

(a)

y

=

3

x

4

−

2

x

−

9

,

n

=

4

(b) y= sen

(

−5x

)

, n=5

(c)

y

=

ln

(

1

−

x

2

)

,

n

=

2

(d)

y

=

e

2x+1

, n

=

3

Sejam f

( )

x e g

( )

x funções deriváveis até 3a ordem. Mostre que: (a)

( )

f.g''= gf''+2f'g'+fg'' (b)

( )

f.g'''=gf'''+3f''g'+3f'g''+fg'''

Cálculo Básico – Derivada 2 Parte e Aplicações

______________________________________________________________________________________

Questão 14. Questão 13. Questão 8. Questão 9. Questão 10. Questão 11. Questão 12.

Mostre que a função x= A.cos

(

ω

t+

α

)

, onde A, ω e α são constantes, satisfaz a equação

diferencial

x

'

'

+

ω

2

x

=

0

. Derivada na forma implícita.

Determine a derivada

y

'

das curvas dadas implicitamente por:

(a)

x

2

+

y

2

=

4

(b)

xy

2

+

2

y

3

=

x

−

2

y

(c)

x

2

y

2

+

x

sen

( )

y

=

0

(d)

e

xy

=

x

+

y

−

3

_(e)

0

y

x

y

x

y

3

=

+

−

−

(f) tg

( )

y =xy−1

Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.

(a)

6

x

2

+

13

y

2

=

19

(elipse), nos pontos onde a normal é paralela à reta

26

x

−

12

y

−

7

=

0

. (Ver no Winplot) (b)

ln

( )

y

=

x

+

y

2 no ponto P

(

−1,1

)

.

(c)

x

3

=

y

.

2

y, no ponto em que a normal é vertical.

Seja C a circunferência dada implicitamente por

x

2

+

y

2

=

1

e t a reta tangente à C no ponto de abscissa x_o= 2 2, como mostra a figura ao lado . Calcule o valor da área sombreada.

Mostre que as retas tangentes às curvas

4

y

3

−

x

2

y

−

x

+

5

y

=

0

e

x

4

−

4

y

3

+

5

x

+

y

=

0

na origem, são perpendiculares.

Derivada na forma paramétrica

Seja a função

y

=

f

(x

)

dada parametricamente por

∈

_⎥⎦

⎤

_⎢⎣

⎡

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

2

,

0

t

,

t

sen

4

y

t

cos

4

x

3 3

_π

.

Mostre que

tg

(

t

)

dx

dy

₌

₋

_.

Determine uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.

(a)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

∈

⎩

⎨

⎧

=

=

2

,

2

t

,

t

2

sen

y

sent

x

π

π

onde

(

6

t

=

π

). (b)

,

t

[ ]

0

,

π

t

sen

3

y

t

cos

2

x

∈

⎩

⎨

⎧

=

=

( no ponto

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

2

2

3

,

2

A

).

Questão 15. Resolva os seguintes problemas:

(a) A equação do movimento de uma partícula é

s

( )

t

=

3

t

+

2

, s em metros e t em segundos. Determine: (a.1) o instante em que a velocidade é de 1/12 m/s.

(a.2) a distância percorrida até este instante. (a.3) a aceleração da partícula quando t = 2 s.

(b) A receita anual de vendas pela Internet é dada aproximadamente pela função

onde

R

(

t

)

é medido em bilhões de dólares e

t

medido em anos, com

t

=

0

correspondendo ao início de 1997. Pergunta-se:

(b.1) Com que rapidez a receita anual de vendas pela Internet estava variando no início do ano de 2000? (b.2) Qual foi a receita anual de vendas pela internet no início do ano de 2000?

(c) Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80km/h. Um

segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95 km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a estação.

(d) Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que o seu volume aumenta à razão de 8 cm3/min.

Como está variando o raio no instante em que a bola tem 40 mm de diâmetro? (Volume da esfera:

r

3

3

4

V

=

π

)

(e) Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 2 pés/s, quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é

4

π

_rad?

(f) Despeja-se água num recipiente de forma cônica, à razão de 8 cm3/min. O cone tem 20 cm de

profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nível da água está subindo à razão de 1 mm/min, com que velocidade a água estará escoando quando esta estiver a 16 cm do fundo? (Volume do cone:

r

h

3

1

V

=

π

2 )

(g) Um meteorito entra na atmosfera da Terra e queima a uma taxa que, em cada instante, é proporcional a área de sua superfície. Supondo que o meteorito é sempre esférico, mostre que o raio decresce a uma taxa constante.

(h) O piloto de uma aeronave de patrulha de guarda costeira em uma missão de busca acaba de avistar um barco pesqueiro avariado e decide sobrevoá-lo para melhor averiguar. Voando a uma altitude de 1000 pés e a uma velocidade uniforme de 264 pés/s, a aeronave passou diretamente por cima do barco pesqueiro. Com que velocidade a aeronave estava se afastando do pesqueiro quando chegou a uma distância de 1500 pés dele?

,

0

t

4

,

4

,

2

t

45

,

2

t

025

,

0

t

075

,

0

)

t

(

R

=

3

+

2

+

+

≤

≤

Cálculo Básico – Derivada 2 Parte e Aplicações

______________________________________________________________________________________

Questão 16.

Questão 17.

Questão 18.

(i) Um câmera de televisão está posicionada a 4000 pés de uma base de lançamento de foguete. O ângulo de elevação da câmera deve variar a uma taxa que possa focalizar o foguete. O mecanismo de foco da câmera também deve levar em conta o aumento da distância entre a câmera e o foguete em subida. Vamos supor que o foguete suba verticalmente e com uma velocidade de 600 pés/s quando já tiver subido 3000 pés.

(i.1) Quão rápido está variando a distância da câmera ao foguete nesse momento?

(i.2) Se câmera de televisão sempre apontar em direção ao foguete, quão estará variando o ângulo de elevação dela nesse momento?

(j) Dois resistores variáveis R₁ eR₂ são ligados em paralelo. A resistência total

R

é calculada pela equação

(

1 R1

) (

1 R2

)

R

1 = + . Se R₁ eR₂ estão aumentando às taxas de 0,01 ohm s e 0,02 ohm s

respectivamente, a que taxa varia

R

no instante em que R₁=30 ohms e R₂ =90 ohms ?

(l) Pela ruptura de um navio-tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um círculo cuja área cresce uma taxa de 6 km2/h. Com que rapidez estará crescendo o raio da mancha quando a área for de 9 km2?

Regra de L’Hospital

Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital :

(a) 3 o x _2x senx 5 x 5 lim− + → (b)

_x

₄

2

x

3

x

lim

₂ 3 2 x

−

+

−

− → (c) 2 x 4 x

₅

_x

e

lim

+∞ → (d)

senx

x

x

2

e

e

lim

x x o x

−

−

−

− → (e) ⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −∞ → _x 5 xsen lim x (f) 2 x / 5 xlim→+∞(x) (g)

[

]

3_x2 o x cos 2x) lim ( → (h)

(

)

x 2 o x 2x x lim + → (i) lim x

(

e 1

)

x / 1 2 x→+∞ −

Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos relativos, os intervalos onde o gráfico tem concavidade para cima e onde o gráfico tem concavidade para baixo, os pontos de inflexão, as assíntotas horizontais e verticais e o esboço gráfico.

(a)

f

( )

x

=

x

3

−

6

x

2

+

9

x

+

2

(b)

f

( )

x

=

−

x

3

+

3

x

−

2

(d)

( )

2 / x2 e x f = − _{; Sabendo que:} f'

( )

x =−xe−x2/2 _e f''

( )

x =(x2 −1)e−x2/2 (e)

( )

(

)

16

x

8

x

2

x

f

₂ 2

−

+

−

=

; Sabendo que:

( )

(

₂

)

2

16

x

x

48

x

'

f

−

=

e

( )

(

₂

)

3 2 16 x ) 16 x 3 ( 48 x ' ' f − + − =

Determine as constantes

a

e

b

tais que a função

f

(

x

)

=

ax

4

+

bx

3

tenha um ponto de

inflexão em

(

2

,

−

16

)

e um mínimo relativo em

x=3

.

(c)

f x

( )

x

x

=

+

−

1

1

; Sabendo que:

( )

(

)

2 1 x 2 x ' f − − = e

( )

(

)

3 1 x 4 x ' ' f − =

−2 −1 1 2 3 4 5 −2 0 −1 0 1 0 x y Questão 19. Questão 20.

Sabe-se que:

f

(

x

)

=

ax

4

+

bx

3

+

cx

2, o gráfico da derivada

f

'

é representado ao lado e

f

tem um máximo no ponto

)

5

,

1

(

. Determine as constantes a, b e c. (Otimização)

Resolva cada problema a seguir:

(a) Deseja-se cercar um jardim de forma retangular com

L

metros de cerca. Encontre as dimensões do maior jardim que pode ser cercado ser usado todo o material.

(b) A potência P de uma bateria de um automóvel é dada por

P

=

VI

−

I R

2 , sendo I a corrente para uma voltagem V e resistência interna da bateria R. São constantes V e R. Que corrente corresponde à potência

máxima?

(c) Uma área retangular com

288

m

2 deve ser cercado. Em dois lados opostos será usada uma cerca que

custa 1 dólar o metro e nos lados restantes, uma cerca que custa 2 dólares o metro. Encontre as dimensões do retângulo com o menor custo.

(d) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por C x

( )

=2x3 +6x2+18x+6 e a receita obtida na venda é dada por R x

( )

=60x−12x2, determinar o número ótimo de unidades que maximiza o lucro L. ( Lucro = Receita - Custo, isto é,

L x

( )

=

R x

( )

−

C x

( )

). (e) Usando uma folha de cartolina, de lado igual a 60 cm, deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando seus cantos em quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.

(f) Uma reta variável passando por P

(

12,

)

corta o eixo Ox em A a,

(

0 e o eixo Oy em

)

B

(

0, . Determine o b

)

triângulo OAB de área mínima, para a e b positivos.

(g) O departamento de trânsito de uma cidade, depois de uma pesquisa, constatou que num dia normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente

( )

V t =2t3−27t2 +108t−35 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio dia. A que horas do intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui mais lentamente, e com que velocidade?

(h) Um gerador de corrente elétrica tem uma força eletromotriz de ε volts e uma resistência interna de r ohms. ε e r são constantes. Se R ohms é uma resistência externa, a resistência total é (r + R) ohms e se P watts é a potência então, P=

( )

ε2R (r+R)2 . Qual o valor de R que consumirá o máximo de potência? Interprete o resultado.

(i) Se

1200

cm

2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior valor possível da caixa.

Cálculo Básico – Derivada 2 Parte e Aplicações

______________________________________________________________________________________

Questão 1.

(a)

f

'

( )

x

=

3

(

2

x

3

+

5

x

−

8

) (

2

6

x

2

+

5

)

(b)

( )

(

)

(

)

5 3

5

x

2

3

x

3

84

x

'

f

+

−

=

(c)

f

'

( )

x

=

(

5

x

3

+

2

x

) (

2

x

−

x

2

)(

−

65

x

4

+

55

x

3

−

14

x

2

+

10

x

)

_(d)

( )

(

)

1

x

5

x

3

2

25

x

60

x

'

f

4 3

+

+

+

=

(e)

( ) (

) (

)

(

)

3 2

x

3

5

x

6

12

3

x

2

x

'

f

−

−

−

=

(f)

( ) (

)

(

3x2 6x 7

)

e 12 x 12 x ' f = + + + (g) f'

( )

x =2

(

5−x3

)

ln

( )

2

(

−3x2

)

(h)

( )

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = 3 5 2 5 ' 3 2 x x x x e x f x

(i)

f

'

( )

x

=

3

cos

( )

x

e

sen( )x (j)

f

'

( )

x

=

−

e

x

sen

(

e

x

+

1

)

(k)

f

'

( )

x

=

4

x

cos

( )

x

2

cos

(

x

+

1

)

−

2

sen

( )

x

2

sen

(

x

+

1

)

(l)

f

'

( )

x

=

3

sen

2

( ) ( )

x

cos

x

(m)

( )

( )

_{( ) ( )}

( )

_{( )}

[

]

( )

( )

_{( ) ( )}

( )

5

x

sen

x

5

cos

x

3

cos

2

.

5

x

5

sen

x

3

sen

2

.

3

x

3

cos

4

ln

2

x

'

f

₂ x 2 x 2 x 2

₋

₋

=

(n)

2

ln

)

1

x

3

(

3

'

y

−

=

(o)

( )

( )

₂

( )

₂

( )

2

x

ln

x

x

2

sen

2

x

ln

x

2

cos

x

2

'

y

=

−

(p)

( )

x

2

2

1

)

x

(

g

cot

x

2

x

'

f

+

−

+

=

Questão 2.

2

y

−

4

x

+

3

=

0

Questão 3.

(a) 2

)

1

x

2

(

1

2

'

y

+

−

−

=

(b) 1 e 1 ' y x 2 − − = (c)

(

)

(

)

2 2 1 2 3 1

x

1

x

sen

x

3

x

sen

x

2

y

−

+

=

− − _(d)

1

x

x

e

)

x

sec(

arc

e

y

2 x x

−

+

=

(e) _14x x 7

2

1

2

)

2

ln(

7

y

+

=

. (f)

x

x

ln

x

1

y

₂

+

−

=

.

Questão 5.

reta tangente:

(

x 3

)

6 9 y 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

π

π

reta normal: 6

(

x 3

)

9 y 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π −

Questão 6.

(a)

y

( )4

=

72

(b)

y

( )5

=

( )

−

5

5

cos

(

−

5

x

)

(c)

(

₂

)

2 2 x 1 x 2 2 ' ' y − − − = (d) ( ) 1 x 2

e

8

'

'

'

y

=

+

Respostas

(a)

y

'

=

−

xy

−1 (b)

2

y

6

xy

2

y

1

'

y

₂ 2

+

+

−

=

(c)

( )

( )

y

cos

x

y

x

2

y

sen

xy

2

'

y

₂ 2

+

−

−

=

(d) _xy xy

xe

1

1

ye

'

y

−

−

=

(e)

(

x y

)

2x y 3 y 2 ' y _{2 2} + + = (f)

( )

y

x

sec

y

'

y

₂

−

=

Questão 10.

(a) R. T:

(

)

( )

⎩

⎨

⎧

=

−

+

−

−

=

+

+

1

,

1

Q

0

19

y

13

x

6

1

,

1

P

0

19

y

13

x

6

em

em

R. N:

(

)

( )

⎩

⎨

⎧

=

+

−

−

−

=

−

−

1

,

1

Q

0

7

x

13

y

6

1

,

1

P

0

7

x

13

y

6

em

em

(b) reta tangente:

y

=

−

x

reta normal:

y

=

x

+

2

(c) reta tangente:

y

=

0

reta normal: x=0

Questão 11.

Área =

u

.

a

.

4

1

−

π

Questão 14.

(a) reta tangente:

4

x

−

2

3

y

+

1

=

0

reta normal:

2

3

x

+

4

y

−

3

3

=

0

(b) reta tangente:

(

x

2

)

2

3

2

2

3

y

−

=

−

−

reta normal:

(

x

2

)

3

2

2

2

3

y

−

=

−

Questão 15.

(a) 2 3

m/s

2

36

1

m

2

s

6

(a.2)

(a.3)

−

(a.1)

(b) (b.1)

R

$

4

,

625

bi

/

ano

(b.2) R$12bi (c)

119

,

09

km

/

h

(d)

cm/

min

2

1

π

(e)

2

5

rad/s (f)

(

)

cm

/

min

5

5

8

−

π

3 (h)

88

5

≅

196

,

8

pés

/

s

(i) (i.1)

360

pés

/

s

(i.1)

0

,

096

rad

/

s

(j)

ohm/s

1600

11

(l)

1

km

/

h

π

Questão 16.

(a) −5/12 (b) −5/2 (c)

+

∞

(d)

2

(e) −5 (f)

1

(g)

e

3 (h)

1

(i) +∞

Cálculo Básico – Derivada 2 Parte e Aplicações

______________________________________________________________________________________

Questão 17.

(a) D f

(

)

= ; interseção com Oy: R P

( )

0;2 ; não tem assíntotas; crescente:

(

−∞_,1

] [

∪ _3,+∞

)

_{; decrescente:}

[ ]

_{1,3 ;} máx.: Q

( )

1,6 ; mín.: R

( )

3,2 ; C.V.B: (−∞,2

]

; C.V.C:

[

2,+∞); P.I: M

( )

2,4 .

(b) D f

( )

= ; interseção com Oy: R P

(

0;−2

)

; não tem assíntotas; crescente:

[

−1,1

]

;

decrescente:

(

−∞,−1

] [

∪ 1,+∞

)

; máx.: Q

( )

1,0 ; mín.: R

(

−1,−4

)

; C.V.C: (−∞,0

]

; C.V.B:

[

0,+∞); P.I: M

(

0,−2

)

. (c) D f

(

)

= −R

{ }

1 ; interseção com Ox P

(

−10,

)

e com Oy Q

(

0 1,− ; assíntotas: x

)

=1 e y=1;

decrescente em R−

{ }

1 ; não possui máximo nem mínimo relativos; C.V.C:

(

1,+∞ ; C.V.B:

)

(

− ∞,1 ;

)

não tem ponto de inflexão.

(d) D f

(

)

= ; interseção com Oy: R N

(

01, ; assíntota y = 0 ; crescente:

)

(

− ∞,0 ; decrescente:

]

[

0,+∞ ;

)

máx.: N

( )

01, ; não tem mín.; C.V.C:

]

− ∞ − ∪

,

1

] [

1

,

+ ∞

[

; C.V.B:

[

− 1 1

,

]

; P.I: P

(

−1;0,6

)

eQ

(

1;0,6

)

.

(e) D

( )

f = R−

{

−4,4

}

; interseção: com Oy: N

(

0,−1/2

)

e com Ox: P

(

−2,0

)

e Q

( )

2,0 ; assíntotas

2

y

,

4

x

,

4

x

=

=

−

=

−

; crescente:

[

0,4

) (

∪ ,4+∞

)

; decrescente:

(

−∞,−4

)

∪

(

−4,0

]

; mín.: N

(

0,−1/2

)

; não tem máx..; C.V.C:

]

−4,4

[

; C.V.B:

(

−∞,−4

) (

∪ 4,+∞

)

.

Questão 18.

a=1

,

b=−4

Questão 19.

a=3

,

b=−16

,

c=18

Questão 20.

(a) um quadrado de ladoL/4

(b) I = V/2R

(c) 24 m ($1) e 12 m($2) (d) x = 1000 unidades (e) 10 cm

(f) base = 2 e altura = 4

(g) Mais rapidamente às 3 horas com velocidade de 100 km/h

e mais lentamente às 6 horas com velocidade de 73 Km/h.

(h) r = R (i)

4000

cm

3