Aula04

Aula 4 – Determinação da Resposta Temporal

Diagrama de Pólos e Zeros

Transformada Inversa de Laplace

Método das frações parciais

Teoremas do Valor Inicial e Final

Exercícios

Diagrama de Pólos e Zeros

A análise de sistemas lineares invariantes no tempo no domínio da freqüência através de funções transferência apresenta várias vantagens. Uma destas vantagens relaciona-se a possibilidade que o engenheiro ou projetista tem de avaliar qualitativamente o comportamento do sistema em questão, apenas com base nos pólos e nos zeros da função de transferência do mesmo. Tal análise é feita através do posicionamento dos pólos e dos zeros no plano complexo s1. Consideremos então, o sistema linear apresentado na Figura(4.1), onde U(s) representa o sinal de entrada, Y(s) o sinal de saída e G(s) a função de transferência apresentada abaixo:

(

)

( )(

s 1 s 4

)

2 s ) s ( G + + + = (4.1) U(s) G(s) Y(s)

Fig. 4.1: Representação de um sistema linear invariante no tempo.

A função de transferência (4.1) apresenta um zero finito, z1=-2, e dois pólos, p2=-1 e p3=-4. O diagrama de pólos e zeros deste sistema é apresentado na Figura (4.2) apresentada abaixo:

-4 -2 -1

Plano s

σ jω

Fig. 4.2: Diagrama de pólos e zeros relativo a função de transferência (4.1).

1 _{Essa analise será desenvolvida na apostila aula7: Análise de Sistemas de 1.}a _{e 2.}a _Ordem.

Transformada Inversa de Laplace

O sinal de saída Y(s) é obtido pelo simples produto entre o sinal de entrada u(s) e a função de transferência G(s), i.e., ) s ( U ) s ( G ) s ( Y = (4.2) A resposta temporal y(t) de um sistema linear descrito pela função de transferência G(s) e alimentado por um sinal de entrada U(s) é dada pela transformada inversa de Laplace da equação (4.2), i.e.,

{

G(s)U(s)

}

L

{ }

Y(s) L ) t ( y = −1 = −1 (4.3) Matematicamente, a transformada inversa de uma função no domínio da freqüência é dada pela seguinte expressão:

{ }

F(s) L : ds e ) s ( F f(t) 1 j c j c st − ∞ + ∞ − = =

∫

(4.4) onde c é uma constante real maior do que as partes reais de todos os pontos singulares da F(s). Muitas vezes, para a determinação da transformada inversa de Laplace, utiliza-se resultados já existentes em tabelas que apresentam a função no domínio tempo e sua equivalente no domínio da freqüência. As relações mais utilizadas estão expostos na Tabela 4.1. De forma complementar, a Tabela 4.2 apresenta a representação gráfica, a descrição no domínio tempo e no domínio freqüência de alguns sinais de entrada utilizados na analise de sistemas de controle.

f(t) para t≥0 F(s)    = → ∞ ≠ → δ 0 t 0 t 0 ) t ( 1    ≥ → < → 0 t 1 0 t 0 ) t ( u s 1 t 2 1 s at k e t −

(

)

k 1 a s ! k + +

( )

t senω 2 2_+ω ω s

( )

t cosω 2 2_+ω s s

( )

t sen e−at ω

(

)

2 2 a s+ +ω ω

( )

t cos e−at ω

(

)

2 2 a s a s ω + + +

Gráfico Nome f(t) F(s) Degrau u(t) _s 1 Rampa _t⋅_u(t) 2 s 1 Parábola u(t) 2 t2 3

s

1

Senoidal ) t ( u ) t ω sen( ω: freqüência [rad/s] 2 2 s +ω ω

Tab. 4.2: Relação de alguns sinais de entrada empregados em sistemas de controle.

O processo descrito pela função de transferência (4.1), conforme representado na Figura 4.1, quando excitado com um sinal de entrada do tipo degrau unitário, apresenta a seguinte resposta analítica determinada através do método das frações parciais:

(

)

( )(

)

s 4 C 1 s B s A s 1 4 s 1 s 2 s ) s ( U ) s ( G ) s ( Y + + + + = ⋅ + + + = = (4.5) Observe que cada um dos pólos da função de transferência (4.1) aparece como sendo uma fração específica da equação (4.5). Este procedimento é deveras conveniente, pois basta determinar os coeficientes A, B e C de (4.5) e, na seqüência, determinar a transformada inversa de cada um dos termos individualmente. Os coeficientes A, B e C são determinados de forma simples através do seguinte procedimento: 5 . 0 A 2 s ) 4 s )( 1 s ( A + + _s=0 = + ⇒ = (4.6) 3 / 1 B 2 s ) 4 s )( s ( B + _s=−1= + ⇒ =− (4.7) 6 / 1 C 2 s ) 1 s )( s ( C + _s=−4 = + ⇒ =− (4.8) Uma vez determinado todos os coeficientes apresentados em (4.5), aplica-se a transformação inversa de Laplace para obtenção da resposta temporal da variável de saída do processo, y(t).

Observando a Tabela 4.1, uma vez calculados cada um dos coeficientes de (4.5), pode-se facilmente determinar a resposta temporal da variável de saída do processo representado na Figura 4.3, admitindo como sinal entrada um degrau unitário, i.e.

t 4 t e 6 1 e 3 1 2 1 ) t ( y = − − − − (4.9) O comportamento temporal da variável y(t), equacionada em (4.9) é apresentado na Figura 4.3.

Fig. 4.3: Resposta temporal de cada uma das parcelas da equação (4.9).

Observe que a equação (4.9) é composta de três parcelas distintas, cada qual resultante da transformada inversa de Laplace de cada uma das parcelas da equação (4.5). Identifique na Figura 4.3 a resposta temporal da variável de saída do processo y(t), assim como a resposta temporal de cada uma das parcelas da equação (4.9), quando este é sujeito a um degrau unitário em sua entrada, considerando y(0)=0,y(0)=0ey(0)=0.

Método das frações parciais

Para apresentar o método para extrair a resposta temporal de um sistema linear invariante no tempo, usando diretamente o sinal de saída no domínio freqüência, são apresentados três exemplos.

1º Caso: Sistema com pólos reais distintos

Um sistema linear invariante no tempo é descrito pela equação diferencial, apresentada na equação (4.10), determinar a resposta temporal y(t), considerando que o sinal de entrada é do tipo degrau unitário e

0 ) 0 ( y e 0 ) 0 ( y , 0 ) 0 ( y =  =  = . ) t ( u 75 ) t ( y 75 ) t ( y 20 ) t ( y +  + = (4.10) Emprega-se o teorema da derivação real, para reescrever a equação 4.10 no domínio freqüência, i.é., ) s ( U 75 ) s ( Y 75 ) 0 ( y 20 ) s ( sY 20 ) 0 ( y ) 0 ( sy ) s ( Y s2 − − + − + = (4.11)

Como as condições iniciais são consideradas nulas, a equação 4.11 pode ser simplificada, ) s ( U 75 ) s ( Y 75 ) s ( sY 20 ) s ( Y s2 + + = (4.12) A partir da equação 4.12 é possível obter a função de transferência G(s) que relaciona a variável de saída Y(s) com a variável de entrada U(s). Nota-se que a função de transferência G(s) apresenta dois pólos reais localizados em -5 e -15.

) 15 s )( 5 s ( 2 75 s 20 s 75 ) s ( U ) s ( Y ) s ( G 2_{+ +} = + + = = (4.13) Utilizando a equação 4.2 e convertendo o sinal de entrada para o domínio da freqüência (Tabela 4.2), determina-se a resposta analítica no domínio freqüência em frações parciais, i.e.,

(

)

s 15 C 5 s B s A s 1 75 s 20 s 75 ) s ( U ) s ( G ) s ( Y ₂ + + + + = ⋅ + + = = (4.14) Inicialmente aplica-se o mínimo múltiplo comum na equação 4.14 resultando em:

(

s 5

)(

s 15

)

Bs

(

s 15

)

Cs

(

s 5

)

A

75= + + + + + + (4.15) Para determinar o coeficiente A, substituir s = 0 na equação 4.15

(

0 5

)(

0 15

)

B 0

(

0 15

)

C 0

(

0 5

)

A 1 A

75= + + + ⋅ + + ⋅ + ⇒ = (4.16) Para determinar o coeficiente B, substituir s = -5 na equação 4.15

(

5 5

)(

5 15

)

B

( )(

5 5 15

)

C

( )(

5 5 5

)

B 3/2 A

75= − + − + + ⋅ − − + + ⋅ − − + ⇒ =− (4.17) Para determinar o coeficiente C, substituir s = -15 na equação 4.15

(

15 5

)(

15 15

)

B

( )(

15 15 15

)

C

( )(

15 15 5

)

C 1/2 A

75= − + − + + ⋅ − − + + ⋅ − − + ⇒ = (4.18) Uma vez determinado todos os coeficientes apresentados em (4.14), aplica-se a transformação inversa de Laplace para obtenção da resposta temporal da variável de saída do processo, y(t).

t 15 t 5 e 2 1 e 2 3 1 ) t ( y = − − + − (4.19) Traçar o gráfico da resposta temporal y(t) da equação 4.19 considerando o tempo variando de 0 a 2 segundos .

2º Caso: Sistema com pólos reais múltiplos

Um sistema linear invariante no tempo é descrito pela equação diferencial, apresentada na equação (4.20), determinar a resposta temporal y(t), considerando que o sinal de entrada é do tipo degrau unitário e

0 ) 0 ( y e 0 ) 0 ( y , 0 ) 0 ( y =  =  = . ) t ( u 100 ) t ( y 100 ) t ( y 20 ) t ( y +  + = (4.20) Emprega-se o teorema da derivação real, para reescrever a equação 4.20 no domínio freqüência, i.é., ) s ( U 100 ) s ( Y 100 ) 0 ( y 20 ) s ( sY 20 ) 0 ( y ) 0 ( sy ) s ( Y s2 − − + − + = (4.21) Como as condições iniciais são consideradas nulas, a equação 4.21 pode ser simplificada,

s2Y(s)+20sY(s)+100Y(s)=10U(s) (4.22) A partir da equação 4.22 é possível obter a função de transferência G(s) que relaciona a variável de saída Y(s) com a variável de entrada U(s). Nota-se que a função de transferência G(s) apresenta dois pólos reais localizados em -10.

) 10 s )( 10 s ( 100 100 s 20 s 100 ) s ( U ) s ( Y ) s ( G 2_{+ +} = + + = = (4.23) Utilizando a equação 4.2 e convertendo o sinal de entrada para o domínio da freqüência (Tabela 4.2), determina-se a resposta analítica no domínio freqüência em frações parciais, i.e.,

(

)

(

)

s 10 C 10 s B s A s 1 100 s 20 s 100 ) s ( U ) s ( G ) s ( Y _{2 2} + + + + = ⋅ + + = = (4.24) Inicialmente aplica-se o mínimo múltiplo comum na equação 4.24 resultando em:

(

s 10

)

Bs Cs

(

s 10

)

A

100= + 2+ + + (4.25) Para determinar o coeficiente A, substituir s = 0 na equação 4.25

(

0 10

)

B 0 C 0

(

0 10

)

A 1 A

100= + 2 + ⋅ + ⋅ + ⇒ = (4.26) Para determinar o coeficiente B, substituir s = -10 na equação 4.25

(

10 10

)

B

( ) ( )(

10 C 10 10 10

)

B 10 A

100= − + 2+ − + − − + ⇒ =− (4.27) Para determinar o coeficiente C, devido a multiplicidade de pólos existente, não basta substituir o valor do pólo na equação 4.25 pois resultaria novamente na equação 4.27 que encontra o coeficiente B. Portanto quando há pólos múltiplos de mesmo valor aplica-se a equação 4.28 para determinar os coeficientes restantes.

( )

[

Y(s)

(

s p

)

]

i 1,2, ,r s ! 1 i 1 p s i 1 i _ =         + − _d − ₌₋ di-1 (4.28)

onde, “ r ” representa a quantidade de pólos múltiplos iguais, “ i ” representa o índice do coeficiente e “–p” o valor dos pólos múltiplos. Para o exemplo acima, “ i=2, r =2 e p = 10 ” pois existem dois pólos em –10 na função de transferência da equação 4.23 e o primeiro coeficiente já foi calculado em (4.27). Logo o coeficiente C é calculado substituindo esses valores na equação 4.28.

(

)

(

)

s C 1 100 s 100 s 10 s 10 s s 100 s C 10 s 2 10 s 10 s 2 2 _ ⇒ =−    ₋ =           =                 + + = − = − = − = d d d d (4.29)

Uma vez determinado todos os coeficientes apresentados em (4.24), aplica-se a transformação inversa de Laplace para obtenção da resposta temporal da variável de saída do processo, y(t).

t 10 t 10 e te 10 1 ) t ( y = − − − − (4.30) Traçar o gráfico da resposta temporal y(t) da equação 4.30 considerando o tempo variando de 0 a 2 segundos .

Observação: Para traçar o gráfico no Matlab, execute os seguintes comandos:

3º Caso: Sistema com pólos complexos

Um sistema linear invariante no tempo é descrito pela equação diferencial, apresentada na equação (4.31), determinar a resposta temporal y(t), considerando que o sinal de entrada é do tipo degrau unitário e.

0 ) 0 ( y e 0 ) 0 ( y , 0 ) 0 ( y =  =  = . ) t ( u 200 ) t ( y 200 ) t ( y 20 ) t ( y +  + = (4.31) Emprega-se o teorema da derivação real, para reescrever a equação 4.31 no domínio freqüência, i.é., ) s ( U 200 ) s ( Y 200 ) 0 ( y 20 ) s ( sY 20 ) 0 ( y ) 0 ( sy ) s ( Y s2 − − + − + = (4.32) Como as condições iniciais são consideradas nulas, a equação 4.32 pode ser simplificada,

) s ( U 200 ) s ( Y 200 ) s ( sY 20 ) s ( Y s2 + + = (4.33) A partir da equação 4.33 é possível obter a função de transferência G(s) que relaciona a variável de saída Y(s) com a variável de entrada U(s). Nota-se que a função de transferência G(s) apresenta um par de pólos complexos localizados em −10±j10.

(

)

2 2 2 10 10 s 200 ) 10 j 10 s )( 10 j 10 s ( 200 200 s 20 s 200 ) s ( U ) s ( Y ) s ( G + + = − + + + = + + = = (4.34)

Utilizando a equação 4.2 e convertendo o sinal de entrada para o domínio da freqüência (Tabela 4.2), determina-se a resposta analítica no domínio freqüência em frações parciais, i.e.,

(

2

)

(

)

2 2 10 10 s C Bs s A s 1 200 s 20 s 200 ) s ( U ) s ( G ) s ( Y + + + + = ⋅ + + = = (4.35) Inicialmente aplica-se o mínimo múltiplo comum na equação 4.35 resultando em:

(

)

[

s 10 10

]

(

Bs C

)

s A

200= + 2+ 2 + + (4.36) Para determinar o coeficiente A, substituir s = 0 na equação 4.36

(

)

[

0 10 10

]

(

B0 C

)

0 A 1 A

200= + 2+ 2 + + ⇒ = (4.37) Para determinar os coeficientes B e C, substituir s = -10 + j10 ou s = -10 - j10 na equação 4.36

(

)

[

10 j10 10 10

]

[

(

10 j10

)

B C

]

(

10 j10

)

A

200= − + + 2+ 2 + − + + − + (4.38) Simplificando a equação 4.38, têm-se

(

10C 200B

)

j C 10

200=− + − (4.39) Como a equação 4.39 é complexa, para encontrar os coeficientes B e C é necessário revolver um sistema de

duas equações reais , uma contendo a parte real e a outra a parte imaginaria da equação (4.39).

20 C 1 B B 200 C 10 0 C 10 200 − = − = ⇒    − = − = (4.40)

Substituindo os coeficientes encontrados na equação 4.35 e ajustando os termos das frações parciais, de forma a empregar diretamente a Tabela 4.1 para converter o sinal do domínio freqüência para o domínio tempo.

(

)

2 2

(

)

2 2

(

)

2 2

10

10

s

10

s

10

10

s

10

s

1

10

10

s

20

s

s

1

)

s

(

Y

+

+

+

−

+

+

−

=

+

+

+

−

=

(4.41)

Finalmente, aplica-se a transformação inversa de Laplace na equação (4.41) para obter-se a resposta temporal da variável de saída do processo, y(t).

( )

10t e

( )

10t 1 e

[

( )

10t

( )

10t

]

e 1 ) t (

y = − −10tsen − −10tcos = − −10t sen +cos (4.42)

Traçar o gráfico da resposta temporal y(t) da equação 4.42 considerando o tempo variando de 0 a 2 segundos .

A função step do Matlab mostra o gráfico da resposta temporal y(t) para uma entrada do tipo degrau empregando diretamente a função de transferencia G(s). Use a função step para verificar se as respostas temporais analíticas obtidas pela aplicação do método das frações parciais, admitindo uma entrada do tipo degrau unitário e condições iniciais nulas, são corretas.

Para verificar se a resposta temporal y(t) da equação 4.42 é efetivamente correta, execute os seguintes comandos:

Considere o processo apresentado na Figura 4.4, sujeito a um sinal de entrada do tipo degrau unitário:

Fig. 4.4: Processo excitado por um degrau unitário.

Faça as seguintes tarefas considerando três casos distintos.

 No primeiro caso considerar b0=1 e z1=0, admitindo condições iniciais

0 ) 0 ( e 0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( = y = y = y   :

- Desenhe o diagrama de pólos e zeros;

- Obtenha analiticamente a resposta temporal da variável de saída do processo y(t) e de suas derivadas temporaisy(t)ey(t);

- Com base na resposta analítica determinada no item anterior, obtenha graficamente o comportamento de cada uma destas variáveis empregando o Matlab.

- Utilize a função step do Matlab para comparar com o gráfico obtido no item anterior.  No segundo caso considerar b0=1 e z1=2 e supor ainda y(0)=0,y(0)=0ey(0)=0. Repita

os itens anteriores.

 No terceiro caso admitir b0=0 e z1=2 com y(0)=−1,y(0)=1ey(0)=1, repetindo cada um dos itens anteriores e

- Avalie as diferenças encontradas entre no gráfico obtido da resposta analítica, que considera o efeito das condições iniciais, e o gráfico obtido utilizando a função step que considera as condições iniciais nulas.

- Qual é o efeito das condições iniciais na resposta temporal?

 Compare, para cada caso apresentado, as diferenças encontradas nas expressões analíticas com os gráficos das respostas temporais.

(

)

( )(

s 1 s 4

)

z s b0 1 + + − U(s) Y(s)

Teoremas do Valor Final e Inicial

Os teoremas do valor final e inicial são utilizados para determinar, sem o cálculo prévio da resposta temporal de uma função genérica representada no domínio freqüência F(s), os valores iniciais e finais que a função f(t), transformada inversa de Laplace de F(s), assumirá no domínio do tempo.

Teorema do valor final

O teorema do valor final poderá ser empregado se

dt t df t

f()e () forem funções transformáveis por Laplace e se lim f(t)

t→∞

existir. Nestes casos, a igualdade estabelecida na equação (4.43) é válida, i.e.

) s ( sF lim ) t ( f lim 0 s t→∞ → = (4.43) Prova: A prova do teorema do valor final é decorrência direta do teorema da derivação real, ou seja

(

sF(s) f(0)

)

lim dt e dt ) t ( df lim 0 s 0 st 0 s − = → ∞ − →

∫

(4.44)

Avaliando-se o lado esquerdo da igualdade estabelecida em (4.44), conclui-se que

(

sF(s) f(0)

)

lim dt dt ) t ( df 0 s 0 − = → ∞

∫

(4.45) ou ainda

(

sF(s) f(0)

)

lim ) 0 ( f ) ( f 0 s − = − ∞ → (4.46)

provando-se a igualdade estabelecida em (4.43), uma vez que limf(t) f( )

t→∞ = ∞ .

Teorema do valor inicial

O teorema do valor inicial é útil para determinação do valor que f(t) assume em um instante de tempo imediatamente superior a zero, t=0+. O teorema do valor inicial poderá ser empregado se

dt t df t

f()e () forem funções transformáveis por Laplace e se limsF(s)

s→∞

existir. Nestes casos, a igualdade estabelecida na equação (4.47) é válida, ou seja

) ( lim ) 0 ( sF s f s→∞ + _{= (4.47)} Prova: A prova deste teorema também é decorrência direta do teorema da derivação real. Neste caso

(

( ) (0 )

)

lim ) ( lim 0 + ∞ → ∞ − ∞ →

∫

_{+ dt} e dt= sF s −f t df s st s (4.48)

Avaliando-se o lado esquerdo de (4.48), para s→∞, conclui-se que

(

( ) (0 )

)

0 lim − + = ∞ → sF s f s (4.49)

resultando em que f(0 ) limsF(s)

s→∞

Para exemplificar a utilização dos dois teoremas enunciados anteriormente, considera-se o segundo caso apresentado para o processo da Fig. 4.4. Neste caso, serão determinados os valores iniciais e finais da variável de saída do processo y(t), admitindo como sinal de entrada do processo um degrau unitário. O valor final será calculado com base na equação (4.43), i.e.

2 1 s 1 ) 4 s )( 1 s ( ) 2 s ( s lim ) s ( sY lim ) t ( y lim 0 s 0 s t − = + + − = = → → ∞ → (4.50)

sendo o valor inicial determinado com base (4.47), ou seja

0 s s lim s 1 ) 4 s )( 1 s ( ) 2 s ( s lim ) s ( sY lim ) 0 ( y ₂ s s s = = + + − = = ∞ → ∞ → ∞ → + _(4.51)

Exercícios

6.1 O sistema apresentado na Fig. 4.5 tem condições iniciais nulas e função de transferência definida pela equação (4.52). Determine a resposta temporal considerando o tipo de entrada aplicado para cada caso.

(

s 5

)

10 ) s ( G + = (4.52) i. Degrau unitário,    ≥ → < → 0 t 1 0 t 0 ) t ( u ii. Rampa,    ≥ → < → 0 t t 0 t 0 ) t ( u iii. Senoidal,    ≥ → ω < → 0 t ) t sen( 0 t 0 ) t ( u , onde ω =10 rad/s U(s) G(s) Y(s)

Fig. 4.5: Sistema de controle utilizado no exercício 4.1.

6.2 Para o circuito elétrico apresentado na Fig. 4.6, determine a resposta temporal para cada caso apresentado, considerando que o sinal de entrada é do tipo degrau unitário e as condições iniciais são nulas.

i. R=100Ω,L=2HeC=1000µF ii. R=10Ω,L=1HeC=10000µF iii. R=20Ω,L=2µHeC=100µF

Fig. 4.6: Circuito elétrico utilizado no exercício 4.2.

Componente Unidade [SI] Tensão – Corrente Corrente - Tensão

Ohm : Ω e(t)=Ri(t) _R ) t ( e ) t ( i = H: Henry _dt ) t ( di L ) t ( e = =

∫

_e(τ_)dτ L 1 i(t) t 0 Faraday : F =_C

∫

i(τ)dτ 1 e(t) t 0 dt ) t ( de C ) t ( i =