Introdução ao cálculo variacional
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(11) prq cf_bst] o
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(19) ]]`acfh
(20) _ p k p ez c o ]?cf]t
(21) _bkb] o
(22) p _|c o ~cfsf] ptqq cz ptq+ z|a^c o ce
(23) a p _bkba o c o
(24) p Z pto
(25) p _|cf[ o
(26) p cfez ccz cf_ba^e~c t] q ] z|_|cf}~cf[^
(27) ] o
(28) p t]`e
(29) t[^
(30) k|f] o
(31) p t
(32) _bkb]
(33) h~cf_|cAc?]`} z p e
(34) s] o ] _|cf o
(35) p [^a^ p e
(36) tadc o ] ptq cz ptq+ z|a^c i¡n¢£ \¤¦¥ §(¥i¨
(37) ¥ Z\[^]`_badcfe
(38) g`hi]`[ja^k lnm;o
(39) prq cf_bst] o
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(42) ä å >QHLBçæèM,Pé æè:=<?@3ê ë ?] h
(43) _b]f p kbkb]`_v p [^kb] Ap [^
(44) adc o
(45) p k°à]`_badch p [dcc q a^ìc o
(46) p t] q h p z|íte
(47) tadc p»o
(48) pto a^cfsf] o
(49) _|cfez p c;]`_ba p ez cfsf] o
(50) p k{z p z|_|cf}~cf[^
(51) ]
(52) ë z|] o ]`kc ¬ p [ p kh
(53) _b]f p kbkb]`_ p k6t] q ]`k ¬ ~ca^kz|a p t]`ez cz|] o
(54) _|cfez pvp kbk p kîcfe
(55) ]`k pv¬ p ]`_|c q
(56) e o c qp ez cfa^kh~cf_|c q a^e
(57) ~cv]`_ q cfsf]
(58) ë ]`k qp
(59) k _|cfe o
(60) p k°c q a ]fk o
(61) p t
(62) _bkb] p»o
(63) p a o c ÙrïÁ
(64) aÏ1ïÁ]f} p _{z|]
(65) Q _bta^]
(66) 1ïc ¬ p [Ï ð p [dcfe
(67) aÏ Ä"_b
(68) e~c pµptqºp kbh p tadcf[rcf]h p kbkb]cf[ o ])ñ`e
(69) a^}
(70)
(71) k p kbt]`[dcf_ o
(72) p ò c_|]fh~cf}~ct] qó¬ ptq t]`e a a o
(73) _|cfez prp kbk p z ptq hi]
(74) Ùïc ¬ p [1ô]Z~_ p ajz c ~cf_b[^a^e
(75)
(76) ]`kt ]`a^kbõtk p ë k{z p _b]`a o
(77) p ë ]`k qp
(78) k6h~cfa^kt qp
(79) kîa^_ q f]fk p c+z|] o ]`k6]`k qp
(80) k¦c q a^[ja^cf_ p k ¬ p k ptq h
(81) _ pqp cfh£]`adcf_|c qCp qp a^e
(82) p ez|a cf_|c q o
(83) _|cfez p z|] o ]`k p kbk p kcfe
(84) ]`kt ö k
(85) e
(86) ta^]`e _badcfk a^[ adc pÁ÷ cf_|c o crk p t_ p z cf_badc o ]"
(87) _bkb]vh p [dc°cz p e
(88) sf] pÁptq h p e
(89)
(90) ] ptq cª{ o cf_ k ptq h
(91) _ pr¬ p e p p kbk _ba^]
(92) .
(93) ë qp
(94) kÁh~cfa^kt.
(95) ø DEé J>QP @ û ù £¡ Ì ¥ß\Ô\ú`¨
(96) ¥ ü Ë°Ì ¤ ÒXÓ ¤ Ì ÑÉý°Ñ Ì ¤Ñ~ú`¨
(97) ¥«ß1¥«þ1Ô\ Ý ¤¥£ 1Ñ Ú ü ÿ l l àaj p _ p e
(98) tadcfsf] o
(99) p
(100) e
(101) s p k o
(102) p q c cf_ba p [A°°°°°°°r°°°°°°°° lnw l u y!kbh~cfst]`k p z|]`_badcfa^ke
(103) ]`_ q c o ]`k °°°°°r°°°°°°°°r°°°°°°°° l`l l Ç Æ!_ba qp a^_|c cf_badcfs] o ];
(104) e
(105) ta^]`e~cf[Á°°°°r°°°°°°°°r°°°°°°°° l Ç l "]`e o a^sf]»e p p kbk _badc»h~cf_|c»c p Å a^k{z|íte
(106) tadc o
(107) p q cf[^]`_ p Å z|_ ptq ] °°°°°° l×Ê Ó Ô1Ñ~ú`¨
(108) ¥,ß Ó ¸îÔ ÚÓÌ ½ ²Ñ Ì Ñ~ Ó ü. u l ]`[^
(109) s p k o c p ¬ ~cfsf] o
(110) p y!
(111) [ p _ °°°°r°°°°°°°°r°°°°°°°° l
(112) u l l Æ!_ba qp a^_b]cfkb] °°°°°°°°°r°°°°°°°°r°°°°°°°° l
(113) u l u pt
(114) e o ]cfkb]·°°°°°°°°°r°°°°°°°°r°°°°°°°° lnm u u y ¬ ~cfsf] o
(115) p y!
(116) [ p _h~cf_|c;cfkb]`k q cfa^k `p _|cfa^kç°°°°°°°r°°°°°°°° u Ç u u l Z~
(117) e
(118) ta^]`e~cfa^kt] q q cfa^k o
(119) p q c cf_ba p [°°°°°r°°°°°°°° u Ç u u u Z~
(120) e
(121) ta^]`e~cfa^k p e ]`[ p e o ] o
(122) p _ba c o cfk o
(123) p ]`_ o
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(126) h p _|aj]`_ p k7°°°°° ufx u u Ç Z~
(127) e
(128) ta^]`e~cfa^k p e ]`[ p e o ]»
(129) e
(130) s p k o
(131) p _badcfk cf_ba p a^k °°°°°°° u ´ Ë°Ì ¥ ÚÓ Ò Ñß1ÑX± Ì Ñ Ô\¤ Û ¡ Ý`Ì ¥£ 1Ñ iÿ Ç l Z~]`_ q
(132) [dcsf]»cfe~cf[ jz|ajc o ]h
(133) _b]`}
(134) [ ptq c o c;}
(135) _|c ¬
(136) a^k{z|g t_b]`e~c r°°°°°°°° Ç w Ç u â%h
(137) _b]`}
(138) [ ptq c o c qp e
(139) ]`_ o a^k{z fe
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(141) ]»h
(142) [dcfe
(143) ]$°°°°°°°r°°°°°°°° Ç`Ç Ç Ç â%h
(144) _b]`}
(145) [ ptq c o c»kb
(146) h p _{ ^ta pro
(147) p _ p ]`[^
(148) sf] o
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(150) a q c °°°°°°°° Ç Ü%Ô Ú ¡×¤ Ú ¤ Ý Ñ~ß1¥ Ì×Ó Û ß Ó ²Ñ Ì Ñ~ Ó \Ñ Ì ÑXþ1Ô\ Ý ¤¥£ 1Ñ~¤ Û
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(153) u Æ!_b]`}
(154) [ ptq cfka^kb]`h p _ba q õ z|_bajt]`k °°°°°°r°°°°°°°°r°°°°°°°° l x.
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(157) _ cz|
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(159) â%h
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(161) [ ptq ca^kb]`h p _ba q õ z|_bajt]3°°°°°°r°°°°°°°°r°°°°°°°° x ´ Ë°Ì ¤¦ Ý ¤¥ ß Ó ³AÑ Ò ¤ Ú ¡¥£ ! Ê l Z~
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(163) s p k
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(168) ^h
(169) a^] o c»t]`e
(170) k p _ cfsf] o
(171) prp e p _ adcL°r°°°°°°°°r°°°°°°°° Ê Ç ¹v¥£ ÝÚ Ô Û ¨
(172) ¥ " ¯Ó Í Ó$Ì # Ý ¤Ñ Û ±;¤ Ú ¤¥ Ì % & Ý Ñ Û . .
(173) 9;:=<?>A@CBEDEF,G@ à p k o
(174) p cXcfez|a
(175) a o c o
(176) p ]`k+cfez|a ]`k _ pt ]`kîª z|a^e
(177) ~c q t]`e
(178) p ta qp ez|] o
(179) pA¬ p ] ^_bt
(180) [^]6õc6t
(181) _ c o
(182) p h p _' qp z|_b] o c o ] ¬ p h£]`kbkb
(183) a _ p c q+ Å a q c p¬ pò cf[^a^[ p ];á l×Êfx lnx u ã ptqlnx Ç w £]`_ q
(184) [^]`Q]h
(185) _b]`}
(186) [ ptq c o c}
(187) _|c ¬
(188) a^k{z|g t_b]`e~cá o ] _ pt ]Ä"_|cf ( k{z|]`k = }
(189) _ p ^kbkba q ] "
(190) _b]`e
(191) ]`k = z ptq h£]ãh~cf_btadcf[ qp ez p t] q h~cf_|cfe o ];]vz ptq h£] o
(192) p6o
(193) p kbta o c o
(194) p q cvh~cf_{z)^t
(195) [dc + e q k pt
(196) a qp ez|]6ta^_bt
(197) [dcf_t] q ]z ptq h£] o
(198) po
(199) p kbta o c o c qp k q ce q h£]f[ ]`e
(200) ]a^e
(201) kbt_bajz|]
(202) y q lnx
(203) `x + * p , z|]`eèá lnx u $l `u ãÁh
(204) _b]`hiñ`kr q h
(205) _b]`}
(206) [ ptq ch
(207) _bg`h
(208) _ba^]
(209) ] o ckb
(210) h p _{ ^ta p;o
(211) p _ p ]`[^
(212) sf] o
(213) p _ p kba^k{z|íte
(214) tadc q ^e
(215) a q c prp e
(216) e
(217) ta^]`Ak ptq h
(218) _b] cf_tic;h
(219) _b]`h
(220) _ba pto c o
(221) p cf_|cf z p )_ jkbz|a^tc o c»t
(222) _ c â o
(223) p k p e ]`[ a qp ez|]vkba^k{z ptq+ z|a^t] o crz p ]`_badc o ]v [^t
(224) [^] o cfk cf_badcf s p k_ p cf[ qp ez p t] qp st]` ¬ ~cfe o .] -f]`
(225) eÄ p _be
(226) ]`
(227) [^[^aá lnx` x $l
(228) ã h
(229) _b]`hiñ`k]h
(230) _b]`}
(231) [ ptq c o cv}
(232) _|c ¬
(233) a^k{z|g t_b]`e~c ptq lnx`m`x â q õ z|] o ] o
(234) p kb]`[^
(235) sf]vk p o
(236) p h p e o adc o ] q õ z|] o ]v
(237) k|c o ]vh~cf_|c o
(238) p z p _ q a^e~cf_]vc q a^e
(239)
(240) ] o
(241) p q _|cfa^] o
(242) p [^
(243) ì ptq q qp a^]«t] q a^e o ^ pQo
(244) p _ p _|cfsf] cf_ba p [Ï%Æ]`_bõ q ] q õ z|] o ]
(245) k|c o ] e
(246) ] qp k q ] cfe
(247) ] hi]`/_ -`c qp kÄ p _be
(248) ]`
(249) [^[^aîá lnxÊ $l fwÊ ã°h~cf_|cµ_ p kb]`[ p _]h
(250) _b]`}
(251) [ ptq c o c }
(252) _|c ¬
(253) a^k{z|g t_b]`e~c p ptq $l fw l 1 0î q h
(254) _b]`}
(255) [ ptq cîa^kb]`h p _ba q õ z|_ba^t] ¬ pp [ p ~c adcîh
(256) _b]`hi]`k{z|]°e q c cf_{z c»c»k p Aa^_ q f]
(257) p _|c q cfa^k p ©~cfìf y!
(258) [ p _+á $l f w $l 2
(259) Ç ã]`a!cf[^
(260) e
(261) ] o
(262) p -f]`
(263) eXÄ p _be
(264) ]`
(265) [^[^a ptq Äcfkb[ p;p»p k{z c c¦c q a^[ja^cf_ a^ìc o ]»t] q ]»z|_|cf}~cf[^
(266) ] o
(267) p c q }i]`kt -`]f
(268) e p k p Aa^_ q f]
(269) y![ p _ ptp [dcf}i]`_b]`?] q õ z|] o ] o
(270) p -`c qp k Ä p _be
(271) ]`
(272) [^[^a p ptq $l
(273) _ p kb q a^»e q cî}
(274) a^] _|c©ic6]r_ p kb
(275) [jz c o ] ¬ p z|a^e
(276) ~c6]`} z|a o ]îh~cf_|c q
(277) ajz|]`k h
(278) _b]`}
(279) [ ptq cfkt!à p ez|_ p cfk q
(280) ajz cfk"t]`a^k|cfk"a q h£]`_{z cfez p k ¬ p y!
(281) [ p _ o
(282) p k p e ]f[ p p k{z c pt¬ ~cfsf] o aj p _ p e
(283) tadcf[ f − f = 0 Æ\]`_bõ q " q c o aj©~t
(284) [ o c o
(285) p kb
(286) _ adc ¬ ~cfe o ]Xk p z|a^[^ajìc c q ]`k q õ z|] o ]`k o
(287) p y!
(288) [ p _t~]`kh
(289) _b]`}
(290) [ ptq cfk o
(291) pr _|cfe o
(292) pro aj©~t
(293) [ o c o
(294) p k p z|]`_be~c c q q cfa^kt] q h
(295) [^a^c o ]`kt Ã1c _|cfe `p á $l Ç x l
(296) l Ç ã p ez|_ p ]`krcfe
(297) ]`k o
(298) p$l fxu+p l fw p [dcf}£]`_b]`µ q q õ z|] o ] cfe~cf[ jz|ajt]
(299) f] ¬ ~cf[ z|]`_be
(300) ]`;hi]`kb'k p [ o
(301) pto
(302) ìta^_ taj[ qp ez p cfk pt¬ ~cf s p k o aj p _ p e
(303) ta^cfa^k o
(304) pq ^e
(305) a q ]`k o
(306) p t
(307) _ cfk o
(308) p h
(309) _b]`}
(310) [ ptq cfk o ]» [^t
(311) [^] o cfk cf_badcf s p kty!
(312) [ p _h
(313) _b]`ez c qp ez p c o ]fz|]`] q õ z|] o ] y. d 0 dx y.
(314).
(315) p µc e
(316) ]fz cfsf] o
(317) p Ã1c _|cfe `p ~c q cfe o ] δy(x) o
(318) p q c cf_badcfsf] o cÉ
(319) e
(320) sf] y(x) po
(321) p δI c cf_badcfsf] o c,a^ez pt _|cf[Ï=Z~]`a ¬ ~cfe o ]ècz p ]`_badc p k{z| o c o c,]`a o
(322) p e
(323) ] q a^e~c o c436527897:<; =$> ?"=2@BAC=DFE G> )Ã1c _|cfe `p ]`_ q
(324) [^]` p k{z c e
(325) ] cXcfe [^a^k pp cfh
(326) [^a^t]`,ch
(327) _b]`}
(328) [ ptq cfk q cfa^k `p _|cfa^kt t] q p Å z|_ ptq ]`k cf_ba p a^k p e
(329) t]`ez|_|cfe o ]Ét]`e o a^ s p kcfk ¬ ~cfa^k o
(330) p p _badc q k p _k|cz|a^k{ p ajz cfk°h~cf_|c t
(331) _ cfk© Å
(332) cfktLÃ pt`p e o _ p á $l `Ê`u l
(333) Ç`Ç ã p q h
(334) _ ptp e o
(335) p k p e~ccfe [^a^k pQo c« ~c q c o c«k pt
(336) e o c cf_badcfsf] δ o
(337) p q c°a^ez pt _|cf[Ï]`+k p ªbc
(338) c o
(339) pp e
(340) t]`ez|_|cf_" q t_bajz|õt_ba^]°t] q ] ¬ ~cf[£h£] o
(341) p _k p adc o a^k{z|a^e
(342) a^_ q3q+ Å a q ] o
(343) p q3q ^e
(344) a q ]
(345) Æ\]`_ q c6z|_|cfe
(346) k{]`_ q cfsf]°c ¬ ~cf[ p [ p e~f]ª{
(347) k{z|aj©~t]` h
(348) [dcf
(349) kba p [ qp ez p p [ p°p e
(350) t]`ez|_b]`µcfkt]`e o a^ s p k f ≥ 0 h~cf_|c qq ^e
(351) a q ] p f ≤ 0 h~cf_|c q q+ Å a q ]
(352) à p k o
(353) pp ez f]Qcz p ]`_badc o ]? [^t
(354) [^] o cfk cf_badcf s p k6z|]`_be
(355) ]` k p»q
(356) ajz|]a q h£]`_{z cfez p ptqóo a p _bk|cfk _ p cfk o c cz ptq+ z|a^c«Æ!
(357) _|c pµo c cz ptq+ z|a^c ë h
(358) [^a^c o c o cHZ ^kba^c po c y!e `p e
(359) ~cf_badc Làa^ì ptq ]`k ¬ p ] [^t
(360) [^] o cfk cf_badc s p kõc p _bk|f] ptqóo a qp e
(361) k|f]«a^e ©~e
(362) ajz c o
(363) p ]fz|a q ajìcfsf]
(364) ë cfe~cf[^] adc p ez|_ p cfk cf_badcf s p k o
(365) p Ã1c _|cfe `pp cfk pt¬ ~cf s p k o aj p _ p e
(366) tadcfa^k ]`_ o a^e _badcfk o ] [^t
(367) [^]cz|_|cfa^Q]a^ez p _ p kbk po
(368) pq
(369) ajz|]`k p k{z| o cfez p kîh~cf_|c+]cfkbkb
(370) ez|]
(371) (]`k ¬ ~cfa^k p [dcf}£]`_|c c q kb]`[^
(372) s p kt] q/o a o ]`kb]X_ba ]`_tèy q l
(373) Ç Êfw cfe
(374) ]`kcfh£g`k+c o
(375) p k| ]`} p _{z c o cfk t]`e o a^ s p k o
(376) p à pt`p e o _ p H -`cft]`}
(377) aÁá l
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(412) p _{z p ìc p k{z c cve
(413) ]`k"_ pt¬ p _ba qp ez|]`k o cvcfe [^a^k ppo cv[^g ajc N M p a^_bk{z|_|cfkbkîá l
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(423) _ p ta^kb] o c;z p ]`_badc o ]. [^t
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(425) a^]`k o c q c×z p q+ z|a^c P M p a p _ k{z|_|cfkbkr]`_ q
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(527) z ptq ]`k ∆f ∆x→0 ∆x. f 0 (x0 ) = lim. à p ©~e
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(529) p. lim [. t] q ]vk p e o ]»] p _b_b]e~ccfh
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(532) e
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(537) p rõ q c
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(546) a cf[ p ez ptqp ez p z cf[ ¬ p . f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) ∆x→0 ∆x lim. f 0 (x0 ). õîc
(547) o p _ba c o c o
(548) p. y = f (x). ptq. x0. k p p kb] qp ez p k p p Å a^k{z p. δ>0. ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )∆x + (∆x)∆x. h~cf_|cz|] o ] pr¬ ~cf[ ¬ p _ XZY)}. | ∆x |< δ.
(549) ]`e o
(550) p. lim∆x→0. (∆x) ∆x. =0. . ~r+PfZgejhrw{_Jjk`H\ fZ\ ranjk`uvfZlnjhr. ë ez p k o
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(552) ìta^_ q ]`kc o
(553) p ©~e
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(558) ta^]`e~cfa^k"a^_ ptq ]`k o
(559) p ©~e
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(562) ¢¡ =2@'=n£ 9=2A>£ 9"G@ ¤1¢¡ =2@'=n£ 9=2A>£ 9"G@ ¥¢¦ 59 . x∈S. ;1G¨:F= ;:.":F@. S. x ∈ S. . G'¬A>G9 . 1x = x . =@'=£ 9=27ª£ 9"G@. ¶ Ó & \¤¦ú`¨
(563) ¥ ü Ð ¤1 ¥. GC=. S. 9 . || x ||= 0. =2@'=/:;1: > G. x=0. || ax ||=| a ||| x ||. || . || : S → R. 9 . S . x ∈ S (ab)x = a(bx). Gh£ 9=27ª£ 9"G@k2G:F@. . . x ∈ S (a + b)x = ax + bx. R. . 9¨8A´:F=27. . ||x||. ;1GC"AC;1:. . =2@'=.:;1:. x ∈ S a ∈ R. . ;1G>Aª29=27ª; = ;1GkC@BAC¶2297ª=2@ . ). G>=DF:h2G:F@BAC=27¨:F@ = ;1:Z> : @)G. B:F7ª== BG@B=n8: . 8G"C@):G . f ∈S. R. > G·> : @)G. GZ@'=2A´:. . S. G'¬A>G¢9 =³¨:F@ =. :8:F 9":. B (f ) = {g ∈ S| ||g − f || < }. ¶ Ó & \¤¦ú`¨
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(566) ¥ ü Ð . (−x) . x, y, ∈ S k(x + y) = kx + ky. G>=DF:.7²A¨G)=2@¢> : @)G³: >h@)G)=2A>. 8µ= = ;1:³9 =/¨:F@ =;1G. || x ||> 0. =27N£ 9"G. =2@'=§£ 9=27ª£ 9"G@. x+0 = x. ;1G¨:F= ;1:":F@. Gh£ 9=27ª£ 9"G@. a, b ∈ K. x∈S. S. G{£ 9=2A>£ 9"G@. a, b ∈ K. °1¢¡ =2@'=n£ 9=2A>£ 9"G@hG> 8)=27ª=2@)G>. S . =2@'=©:§£ 9=27. 0. G7G G":yG . k∈K. ¯$¢¡ =2@'=n£ 9=2A>£ 9"G@hG> 8)=27ª=2@)G>. G . . . ®¢¡ =2@'=n£ 9=27ª£ 9"G@hG> 8)=27ª=2@. ± . . x, y, z ∈ S (x + y) + z = x + (y + z). G7G G":§G . « ¢¡ =2@'=k8)= ; =. 0. x, y ∈ S x + y = y + x. 8:F 9":. Y ⊂S . bº G>G³8)=$> :. . = BG@B:h> Ge=2@'=q:;1:":F":. ;2Aª»$G : >Z£ 9"G. à p k{z c q cfe p a^_|ck p y ∈ Y p h ∈ S p ez f] p p k{z p ªbc o
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(571) p;¬ p. | h |< δ. S. >0. h~cf_|ccf[ q.
(572) XZY½¼. ¾¿`H\ uÀ_L\B`fÁwkfy`H\ fZgJikjmlnjÀ^2odadce\jhadfk|. cf[ja p ez c q ]`k ¬ p e~f] c q ]`k6[^a o cf_t] q
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(577) p
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(599) p. õ° ~c q c o ] o
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(603) e
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(605) p h t] q k p e o ] L(h) õ o
(606) p kba e~c o ]hi]`_ δI(h) ~]`?k p ªbc . L(h) (h) =0 lim ||h||→0 ||h||. δI =. ¶ Ó & \¤¦ú`¨
(607) ¥ ü Ð ÃÂ 9¨8A´:F=27!7²A¨G)=2@. 9¨8A´:F=27. á l u ã. d I(y0 + th)|t=0 = L(h) dt. I :S →R . ;2A G@)G¨8AC522G7N¨:³":F":. =27£ 9"G. δI : S → R. > GG'¬A>Gq9 . y0 ∈ S. G I(y0 + th) − I(y0 ) = δIy0 (h), ∀ t ∈ R h ∈ S. t→0 t. lim. ¶ Ó Ò ¥£ Û ¡ Ì Ñ~ú`¨
(608) ¥ ü Ð ü. 9 ":F µ=£ 9"G. δI(h). G'¬A>= bÄ "1:. á l Ç ã. I(y0 + th) − I(y0 ) t→0 t. δI(h) = lim ":F@B=2":. :F;1G. limt→0 (th) = 0. LÅ. á l ã. I(y0 + th) − I(y0 ) = δI(h) + (th) t. 97²CA 7²A´8)=2;1:= B: >h: >Z7ª= ;1: >h; =nG)£ 9=D$: ¥ ":F@. I(y0 + th) − I(y0 ) = tδI(h) + t(th) 8: :. δI(h) . µ": :)1ƨG)=qG : >{£ 9G. tδI(h) = δI(th). G¢> GC=. th = k . I(y0 + h) − I(y0 ) = δI(h) + 1 (k) :F;1G. 1 (k) = t(k). b¡ :F@B=2":. (tk) = (tk) → 0 t. lÇ. G : >. t. G : >.
(609) 8: . t→0. bÄ. 8:F > G)£ 9"G"G G"G. lim. ¸Ç Ó Ò Ú ¥ ü Ð ü. t→0. I(y0 + th) − I(y0 ) = δI(h) t. ?= : >{8:F >AC;1G@'=2@h:b9¨8A´:F=27. I(y) =. Z. I : R, Y ⊂ S. b. F (x, y(x), y 0 (x))dx. ]`e o
(610) p y hi]`kbkb
(611) a1h
(612) _ba qp a^_|c
(613) o p _ba c o c;t]`ez)^e ~c y!ez f] I(y0 + th) =. Z. á l Ê ã. a. b. F (x, y0 (x) + th(x), y00 (x) + th0 (x))dx a. d I(y0 + th)|t=0 δI(h) = dt Z b [Fy (x, y0 (x), y00 (x))h(x) + Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))h0 (x)] dx. =. â6e o
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(615) _ba qp a^_|c fc _badcsf] o ];
(616) e
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(618) XZYÈ. ÉRjhadln\ gJikjÊan_bce_brrzy`H\ fPfy`ffs_eË\ r!Ìbadce\fÊln_Rodu. wkfk|jk`. _eË/+`H_buÀj. à ] qp k q ] q ] o ] ¬ p h~cf_|cr
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(632) ta^]`e~cfa^kvcAt]`e o a^sf]Qk p _ c o
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(634) _ba qp a^_|c cf_badcfsf];k p cfe
(635) [ p ®"Ó ¥ Ì×Ó Ò Ñ ü Ð ü G y 9 G'¬C@)G :/;1G I(y) G"1: δI(y ) = 0 ¶ Ó Ò ¥£ Û ¡ Ì Ñ~ú`¨
(636) ¥ ü Ð 9 ":F µ=d£ 9"G y 9 ":F":d;1G ³Í "A : Z GC= f (t) = I(y + th)Î 0. 0. 0. > G. t>0. 0. G1:. f (t) − f (0) f (t) − f (0) > 0 ⇒ δIy0 (h) = lim > 0, ∀ h ∈ S. t→0 t t G. t < 0. =2=27:) = G"G . f (t) − f (0) f (t) − f (0) < 0 ⇒ δIy0 (h) = lim < 0, ∀ h ∈ S. t→0 t t ¡ :F@B=2":. δIy0 (h) = 0 ∀ h ∈ S . :F9n> GC=. à p k{z c»]`_ q ck p t]`e
(637) kba o
(638) p _|cf_ q ]`k];
(639) e
(640) ta^]`e~cf[ I(y) =. Z. δIy0 = 0.. b. F (x, y(x), y 0 (x))dx. z p _ ptq ]`k ¬ p c°t]`e o a^sf]°h~cf_|c ¬ p ]r
(641) e
(642) ta^]`e~cf[~h£]`kbkb~c° q cf[^]`_ p Å z|_ ptq ]°õc o
(643) p¬ p crkb~c h
(644) _ba qp a^_|c cf_badcfsf];k p cfe
(645) [ p ]`?k p ªbc δI(y) =. Z. a. b. [Fy h(x) + Fy0 h0 (x)] dx = 0 a. l×Ê.
(646) I HRQTS£<ADEK @ ä. Ï. æÑÐ DEHLF,G@ Bçæ. DEK æ>/ÓkÔ H å >QHL: å æ Ò. 6ð a q ]`k ¬ p c;t]`e o a^sf];h~cf_|c»c p Å a^k{z|íte
(647) tadc o
(648) p q cf[^]`_ p Å z|_ ptq ]»h~cf_|c; q
(649) e ta^]`e~cf[1õc o
(650) pv¬ p ch
(651) _ba qp a^_|c cf_badcfsf]k p cfe
(652) [ p £]`Qk p ªbc δI(y) = 0 ë kbkba q £k p t]`e
(653) kba o
(654) p _ cf_ q ]`k];
(655) e
(656) ta^]`e~cf[ Z áu l ã I(y) = F (x, y(x), y (x))dx z p _ ptq ]`kÁt] q ];h
(657) _ba qp a^_|c cf_badcfsf] x1. 0. x0. Z. x1. ]`e o
(658) p c
(659) e
(660) sf]. [(Fy (x, y(x), y00 (x)) η(x) + Fy0 ((x, y0 (x), y00 (x)) η 0 (x)] dx = 0,. x0. η(x). õ o aj p _ p e
(661) ta p [ p. η(x0 ) = η(x1 ) = 0. p ªbc. á u u ã cfkbkb q a^_ ptq ]`k ¬ p Φ(x) h£]`kbkb
(662) ah
(663) _ba qp a^_bc o
(664) p _ba c o ct]`ez)^e ~c p ez f] p p z ~ce o ]Q q ca^ez p _|cfsf]»h£]`_h~cf_{z p kÁe
(665) ]k pt
(666) e o ]»z p _ q ];z p _ ptq ]`k Φ(x) =. Z. k pt p°¬ p Ψ(x) =. x1. Z. x1. [Fy η(x) + Fy0 η 0 (x)] dx. x0. Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))η 0 (x)dx = Ψ(x). x0.
(667) x=x1.
(668) [η(x)Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))]
(669). ]»h
(670) _ba qp a^_b]vz p _ q ]»k p cfe
(671) [dc q c p ì ¬ p Ψ(x) = −. Z. x1. η(x). η(x). d Fy 0 , dx. ~h£]`_{z cfez|]. x0. η(x0 ) = η(x1 ) = 0. x1 x0. x=x0. −. Z. d Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))dx. dx. lnx.
(672) Ã] ] prp ez f]. Φ(x) =. Z. x1. Fy (x, y0 (x), y00 (x))η(x)dx. x0. Φ(x) =. Z. x1. . Fy (x, y0 (x), y00 (x))η(x). à p k{z c q cfe p a^_|c x0. Z. prp kbt_ p p _ q ]`k. Fy −. −. d F0 dx y. x1 x0. . Z. x1. η(x) x0. d Fy0 (x, y0 (x), y00 (x))dx dx. d 0 − Fy0 (x, y0 (x), y0 (x))η(x) dx dx. á u Ç ã. d Fy − Fy0 η(x)dx = 0 dx. z p _ ptq ]`kc;k pt
(673) a^ez prpt¬ ~cfsf]
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