Modelo de bósons interagentes e sua relação com o BCS.

Texto

(1)DE 5ñO PFULO DE F f5ICg. UNIVERsIDHDE I NsT I TUTO. O. MODETO. DE BO5ON5 INTERF6ENTE5 EOM O BE5. E 5UÊ. RELFçñO. SBI.IFUSP. ilililil rilrüu[llliluqlulll! l[uuilll llil lil il. F. T]INTZ. RICHRDO. Dissertagüo submetida eo Insti tuto de Física da Universidade de. P¡uIo pare obtengão do t í tu Lo l,les t ¡e em Ei ênc i as .. 0nientador: P¡of . Dr.. Ee I. OE. o. so Lui z Lima SERVIÇO. DE. Bli:lLi0Ti:CA E tN;0flrúAÇÃ0. 5ñO. ù. 0(l. ,t. a?. h,'l. 1. PHULO. 990. tbb s /i¡r.. O. ç_. A. o. 5ão de.

(2) F'ICHA CATAT,OGRÁFICA. Þreparad.a pelo Serviço de Biblioteca e Informação do Instituto de Física da Universidade de São Paulo. Diniz, Ricardo s O modelo de bosons interagentes e sua relação com o BCS. São Paulo, 1990. Di-ssertação (Mestrado) - Universidade de São Pauló. Instituto de Física. Depa¡ tamento de Física Nuclear., Área de Concentração: Física Nuclear Orientador: Profs Dr. Celso Luiz Lima. Unitermos:. /rs/. L4/ eO. 1. .IBM; 2.BCS; 3.Microscopia.

(3) À. a. 1. I. R6RHDEE I IIENT05. 6osta¡ia de agradecer rqui. à. I I. 1. I I. if. Cetso, peta o¡ientagão e M. R. RobilIota, peta diagramasi. M. C. Nemes , trab¡[ho;. pe I. a. amizade¡. ajude ne comppeensão. dos. ajude em vários pontos deste. ENPq, peLo apoio financeino. PessoaI da secretaria e demais amigos do Departamento. Todos aqueIes que tiveram a paciência de ouvir minhas rectamagões quando tss coisas não f am bem.. carinho. I. 'l. Em especi. aI. desejo egradecer à Tuca peIa força. es. e.

(4) ì. I. RE5UMO Itoni¡no cfetivo baseado no trat¡mento de Nambu 9) papa o BC5¡ îo quaI incl.uimos atém do empa¡cLhamento monopot ar o emParethamento quadrupotar, discutimos a retagão entre esst modeIo c o HodeIo de Bosons Inteîa9entes. Uma apIica9ão é feita à c¡deia 0(6) do IBM, Ftnavés de um. t. hami. que coFresponde eo Iimi te f-instáveI Rs. dificuLdades. do modeIo de Bohr.. encontradas. generaIizaçäo pa¡e o modeto são discutidas.. I. (. ,. t !. ,i. e. uma. possíveI.

(5) .Àþ. RB5TRFCT. J. s ex tended vith incIusion of quadrupoIe pairing in ¡dition to the usurt The Nambu mechanl sm for. ¡. t,. ù. i. hamittonian is cons t nuc ted Ên:ffective and its retation to the IBM is discussed. and . possibIe tlJe discussed the f eced difficuIties gene¡atization of this mode[.. monopote. *. pairing.. BE5 theory.

(6) tl. ,o. INDICE I NïRoBUç ño. CRPfTULO. 1. .. 1. - 0 Ì'lodeto de Bosons Interegentes. . .. EHPfTULO 2. "l t. - Introdugão à 0ueb¡a Espontânea de 5imet¡ia.... CHPfTULO. 3. CHPfTULO. 4. 7. .18. - H Teoria ECS(EmpareLhamento MonopoIar e 0uadrupoIar').?4 27 - EmpaneLhamento MonopoI ar e 0uadrupoIar' 31 - Tratamento Via Eampo Médio.... - BCs e. E0NCLU5Ã0.. HPÊNDICE. l¿?. .60. .. 1. Dificutdade. I t¡ I. com os Di. RPÊNDICE 2 Uma possívet REFER. ù. .49. IBH. Ê. NC I. F5. .. ag r ämas. generatizagão do modeto.... .63. 66.

(7) .+. I. INTR0DUCTO ). pa¡ti c de seus con¡tituintes funda¡nentai¡ e ¡urs intepaçõeE, nos defrontanor com um probtenr de ordcm técnic¡: o ntlcIco é um sistcma de muitos coppos e obtcî um¡ dcscnigto ex¡t¡ é um probteme muito comptic¡do, scnão impossívet, pois ¡[ém de o si¡tcme porruin um nrimcco nuito grrnde de gf.u¡ de Liberdade, a intepagão entce nucIeons não ê totaImente conhecida. No rnt¡nto, existcm métodos aproximedos gue fo¡¡m desenvoIvidos pa¡a pesotver parciaInente ess.s dificutdades¡ entre outnos destace-se a teorie do campo médio, que consiste em absonven ume pante da interagão entne os nucIeons em um potenciaL médio, no quaI es part ícuIas se movem independentemente umes das outras; a interagão entne ¡s pant ícuIas, não contida nesse c.mpo médio, pode, eventuatmente, se¡ t¡atada como uma pentu¡brgão, ou atnavés de sua diagonaIizegão no erpaço de Hil.bert gerado petas pant ícuIas independentes, ou ainda com o uso de técnicas mais sofisticadas como a RPP (Random Ph¡se Rpproximation). O tratamento edequado dessas inte¡.9ões pesiduais re revetou de vi taI impo¡ttnci I ne descnição de inúmenas prop¡iedades nucIeapes como o espectro de energia e probabil.idades de 0uando tcntemos dcscr.cvrt o ntlcteo .. I. t. \. J. t. tn. decaimento. I. $.

(8) ô. ?. qu.ntid¡de dc drdos txpGnimrnt¡i¡ disponlvci¡, vrte prssrIt¡r . rxist€nci¡ de cst¡dos nuc[..î.s coIetivos, c¡¡.cterizrdo¡ por .ttr¡ trxr¡ de drcrincnto antre ri, qurndo comp¡nrd¡s com t¡ prrvl¡ü:¡ do nod:to de crmadrs, e pon uma ntrc¡nte neguItnidrde Gn seu rspcctro de enepgia. P¡ra dcscFavet esses novimentos nucIc¡res coIctÌvor, vánlos nodetos nto mic¡oscôpicos fo¡¡n pnopo¡to¡ baseedo¡ n¡ gcomet¡ia do ntlcIeo. Dentre ê¡res modaIos dc¡t.ca-se o t¡rbaLho de Bohe e ]totteIson 18), onde o núc Ieo é t r at ado como um f Luido c!r pcAado, inconp¡essfveI e 1n¡otacioneIi nesse t¡¡batho considc¡¡-sc o modo quadrupotar como pesponsávaI pcto compo¡tamento do espect¡o coIetivo nuctear a baixas cnepgias r aptesentando o movimento nuctea¡ associado caractenísticas rotacionais, vib¡acionais e f -instáveis. D¡ grendr. I. t. *. Ì. L. outro modeIo de grrnde importtnci¡ ne descrigão de movimentos nucIrares coIetivos é o nodeto de bosons interagentes, IBI{ 13). Rqui, ro cont¡ário do nodeIo de Bohn, não é feit¡ nenhuma essociagão gcométrica, sendo o sistema nuctear dcscrito como constituldo de bosons (intcrpnet¡dos Un. primeirr .proximagão cono p¡r'ês de fermions) de momento anguIan zepo e dois. No crpítuIo 1 apFesentamos, a nfveI introdutório, as pnincipais caracte¡ísticas do IBM.. em. i. ù.

(9) ,r|. a. Hpesrr de seu incaávet suces¡o, o IBl.l ê um modcIo. essencirtmente fenomenotógico que pnecisa de um. fund.mentrgão micnoscôpicr edequrdr. Nos tlItinos .nos vá¡irs ¡bo¡drgens distintrs fo¡rm t:ntadr¡ 17' e nerre contexto. l. :1,. se inscre o tn¡brl.ho d¡ N¡mbu 9-11). R idéia dc¡¡e tlI tino t¡¡baIho é que t¡nto o IBt'l quanto o BES possuem p.res de férmions .copIrdos a momento engutrr totat zero e descpeven movimcntos coIctivo¡. No entrnto, o IBI{ também possui bosons (papes de férmions) de momento angutar 2 e que devem seî [evados em cont. em um tn¿tamento do tlpo BCs. 5endo Ðssim, neste t¡abaIho inctuimos expticitamente o empareLhamento quadnupoIar no tratamento de Nambu do BCs e dessa forma mostranos mais ctaramente a Iigação entre os dois. ,. modeIos.. Difenentemente do IBH, o nodeto BCs é miccoscópico. r,. que trata das inteîaçõcs entre os no scntido de constÌtuintec fundementais do sistema e cujo néri to consiste do fenômeno de em d¡¡ uma descrigão qurntitativa emparethamento tanto cm física nuctear como em ffsica do estado sôl.ido. TaIvez a cer.ctenística mais impo¡tante do fen6meno de emparethamento, e que é expIicada peIo modeIo EC5, seja o surgimento de um'gapt de enengia ent¡e o estado. fundamentaI e os primeinos estados excitados de um sistema. t¡. ÅucIear ou etet¡ônico. No caso de física nucIeen, o estado fundament¡[ de um ntlcIeo par-paf é preenchido com Pates de. prôtons e panes de neutrons e os estados excitados. não.

(10) ^D. 4. coIGtivos rão devidos t excitrgõrs dc prFtfcuIr, anqu¡nto ¡s excitagões dos pr¡es originrm movimentos coIetivos. Em núcIeo¡ p¡r'-fmprr, onde há umt pertlcu[¡ ¡ nris ou. menos, nlo há g.p dc encrgla rnGsmo ocop¡endo o emp¡reIhamento cnt¡e os nuc Ieons do c.rogo pe¡-pai pois devcmos con¡idcrar a inten¡gão ent¡c a part fcuIa fmpar e o c.pogo. Trat.¡emos rqui apenai con núc Ieos prr'-paP. þ. -e. 0 DCs, entretanto, é também uma teoria de cempo nédio e como taL vioIa atgumr(s) simetnia(s) do harniItonirno de pantida; no caso de empareIhamento a momento anguIar totat zero é o núme¡o de pant ícuIas gue deixa de ser uma quantidadc conse¡vada. 0 tratamento proposto poF Nambu para o BCs, feito no contexto de quebna espontânea de simetria, fo¡nece duas espécie¡ de excitagões bos6nicas, que e Ç , rtém das exci tações fcr¡riEnicas dcnota¡emos po , ff gue são obtidas quando foînectmos energia suf iciente pepa quebrrc um 'par de Eoopcr". Os modos coIetivos são gerados a partir da própria intecação de emperethamento cuja contribuìgão é incoppor¡da eo novo campo médio. g. ger¡ m¡sies das excitagões e obedecendo à retação fermiônicas bosônica¡ 1 : ?. 0l.ternativamente, essa Ø/ Øn =Q: ,' mesma Pe I rgüo de n¡s5 a pode str obtida atrrvés de um hami t toni rno efet ivo onde se Iev¡ em cont. ¡s interações boson-boson t boson- fr ¡mi on con conJt¡ntes de .coptrmento. %r'. lr. quebra. de simetria.

(11) *. t. t. F. *,. o qut Nrnbu f tz Em outrrs prIevrrs, ¡prop¡irdr¡. (ven c.p. 4l é rscreve¡ un h¡mittonirno cfctlvo onde os borons, quG ¡to lntcppr'.trdo5 como p.rc¡ dc f r¡mions, lncont¡rn-¡c dcA:nc¡adot en urn rst¡do conden¡rdo, F e¡cothe de um dcsses cst¡dos bos6nicos dcAoner¡dos p.r. îepre¡ent¡r o cstrdo fund¡m¡nt¡[ (do sistcmr bos0nico) é fei ta pG¡mitindo que o nGspÊctivo boson dc¡cnvotv¡ um v¡tor aspenrdo do vácuo difc¡cnte. de z€no. Novrmentc tcmoi. quebre de simetni¡ que gere ¡. ¡etegão dc mrss¡ 0 : 1 z. e ¡ssin un. d¡s c.r'¡cte¡ f sticas do por esse hami I toni ¡no efet ivo.. þ. iü. BCS. 2. é bem îeProduzida. notaî ainda eue¡ en um tnatamento de campo médio de p¡pes de nuc teons que sc acop I am a J=0, a única simetcia queb¡ada ê o ntJmeco dc partlcutas, que em Iinguagerrt de gpupos é neppceentada peto g¡uPo das de teo¡i¡ a 1 dimensão, U(1). No caso de t¡ansformações unitá¡its p¡r'es acopIados . J=0, l'l=0 ¿ J=2, f{= -2,-1 ,0,1,2, etém da viotagto do núme¡o de ptrtfcuIas há a viotagão da simetria ¡ob o gîupo 0(6) ¡ eue é o gîupo das tr¡nsfonmaçües ontogonais em 6 dimensücs. Eonvém. t. una.

(12) Ë. 6. pre¡entc tn¡btIho cst¡nos lnteccs¡edo¡ ¡Pen¡g (quc cornGspondcn à crd:i¡ Gm sistcm¡s Y -instúvri¡ U(6) t 0(6) 2 0(5) > 0(3) do IBll) (v¡r c.p. 1, polr c¡tes No. t. f$. ¡i¡ten¡s slo m¡i¡ rimpIcs de rtrril dc¡critos do ponto de vi¡ta do BEs. Eonsider.nemos cntto que os nucIeons de vrtênci¡ estejam ocup¡ndo cst¡dos con l=312 de modo que poden ¡e rcoptrr somente r J=0 ¿ J-2 (it = -?,-1 ,0,1,2) impl.ic¡ndo em ume simetri¡ de prrtidr U(6) > ¡u¡bcspago bosônico.. t. +.

(13) Þ. 7. 1. O I{ODELO DE BO50N5 INTERF6ENTE5 (IBI,I). 0IBH13) é um modeIo ÊssGncirImente fcnomenol.ógìco. ì. que dcscreve movimento¡ nucIe.p!5 cotetivos êm brixas energias. Es¡e modeto ne sue versão mais singeta nto îtz distingão entre pnotons e ncutîons e utitiza dois tipos de bosons n¡ conrtrugto dos estedos nucIe¡res coIetivos: o boson de momento angutar 0 (boson s) e o boson de momento anguIar ? (boson d). l'licnoscopìcamente esses bosons podem se¡ inteîpFetados como papts de fermions cot'Petacionados. 5omente nucIeons de vatência são importantes na formagão desses pa¡e5 coIetivos, de modo gue o núme¡o de bosons é iguaI ao ntlme¡o de paîes de partÍcuIas (ou bunacos) fora da 6 bosons foPmam um espaço de Hi tbert com simetria U(6) sendo que o núme¡o quântico ässoci¡do às oper.gões de ¡imetria sob U(6) fornece o ntlnero totaI de bosons, o quaL é uma quantid¡de conservada.. camada fechada mais pnóxima. Esses. :{. indiceçto da existtncia dos bosons 5 e d pode seî obtide at¡¡vés de ená[ise dos etementos de mat¡iz de urna interação efetiva ent¡e nucteons idênticos ocupando nlveis de partícuIa independente. Como exempIo mostPamos o eIemento de matriz pePe o níveL ggtZ (p¡ótons) na iigrr. 1 14'. Uma. It.

(14) EJ (¡ovl. ìÒ. I. o. - lrO. -2,O. o2.-6t Figura 1- Etcnento de matniz psre Þ. {. a. confisur.gão Cffgstù2. ven da figure gue estes etrnentos de matrlz süo bastante at¡ativos qurndo os nucIeons se acopIam a J=0. Prra J=2 e J=4 r intenaçto pepmanece atr¡tiv¡ mes no caso de J=4 cta é muito fr¡c¡. Embo¡a exist¡m versões do IBI'1 que incIuem os bosons com momento anguI ar 4 (boson g), Podemos. tnat.remos sed. êt. J. aqui o IBM tm sua vensão oniginaI. com bosons. 0 hamittonlano m¡is ge¡aI que contém termos de 1 e 2 co¡pos nos bosons s e g[ , que conse¡va o núne¡o totat de bosons e é inva¡iante poP rotaçües, pode ser escnito como 13,16). r¿. 1) ct D {[¿'¡J'[írJ|o* ú/€) v" {þ'tl'[¡;J' *. H. €, (s's ). * eu (17). t/,. +. l,= 4. (¿¿. +. zr(. [¿"J' [trrJ'/o* þø i {tnJ" fc ;Jo* [,r i J'ftt¡l'r u, {fei'J' [¡;J/" * (/þ) u {[¿'rJ"fs iJ"J" ft).

(15) i". I. ?. 5e con¡ider.pnos que o númcro tot¡t debosonsrN=ñr+n¿r. ê conservrdo, (1) como. podemos. substituir. ñg. polN-ndcPtescnever. I. H= €oNt. (//¿)u. N(,vt/ ). r e'(Jt"7) + T,tl, l=4. z,. þ¿rt)û. Ç. d {[¿'¡J'[iJJlo+ ú/ã) i. {[ttJ'F;J'/'.[¿'¿J' r{ì. þ. [¡¡J/'. (,þ) u [[¿'¿1"[s i]"* ["','J"[¡¡fl". (/ = -2,-1,0,1,2, = (- ',¡ /r comporta-se como um tenso¡ esférico de momento engutae t e proiegão ,/ ft c J7, é o opepado¡ de criagão (destruigto) de bosons d e S/f S I e o opcnadon de criação (destnuigão) de N é o número tota[ de bosons. n equagão (2) bosons å possui I coeficientes independentes mas, iá que os dois pr imei ros termos cont r ibuem da mesma forma PaPa a energi a dos e¡tados com um drdo N, etes não Precisam se¡ considerados se estivermos interessados epenas n.s ene¡gias de excitrgão do sistema. Fssim os esPagamentos em energia dos níveis são determinados por apenas 6 eoef icientes, QU€ são, em gera[, ajustados ¡os dados exPerimentais. onde e' --. :+. I. ËJ. G). €¿. - €,. {.

(16) ä. l0. 0 h¡miItoni¡no do IBH, é e¡crito Gn tenmos do¡ geredo¡cs do U(6) que ¡lo:. (trt )í (¿{)Í. .l. 36. , (¿,,)Í ¡ (EJ)i; (r,t)"" ¡ (¿,í)/. ). (¿'i)' (/'t):. (s). a. O coniunto dos geradores que sto fechados sob e operação. de. ê, o comutado¡ de dois geradores é ume combinagão Iineen de todos os ge¡adores desse conjunto, def ine um rubg¡upo do U(6). 0 conhecinento dos subgcupos é impontante pois nos fornecem ntJmeros quânticos rdequados pere rotutar as funções de onda.5e essumirmos que o momento anguIar é um bom ntlmeco quântico, o gnupo de notagões, deve f azep par te da c¡dei a de subgpupos e, nesse 0(3) , caso, são obtidas epenas três cadeias pÐre a decomposigão do u(6) 15,16) : comutagão, isto. -.i. {. ). u(s) ) u(6) > u(3) I u(6) > 0(6) I. u(6). 0(5). ). (l-a\. 0(3). 0(3). 0(s) ). R cadei a (4-¿) corresponde ao. (ç- ¿) 0(3). (4- c). U(5) cujo espectro é tipicamente vibraciona[, a cadeia (4-b) é o iinit" U(3) onde o espectro é rotacionat e a c¡deia (4-c) ê. r+. chamado. o I imi te 0(6) sendo que o espect ro como o de um roto , Y - ins tlve l. .. de. Limite. energia comporta-se.

(17) +. t1. iâ. :¡trdos. 0urnto .os. rotut¡do¡ ¡t¡rvés dos númcros quânticos de quetqueî um¡ d¡s t¡ês cadcirs de subgrupos do U(6). 0s ntlneros quânticos obtidos atrevés d¡s nep¡estntagües esÍoci rdos ¡ão inredut fveis de cadr subg¡upo. Não entraremo¡ nos detathes de como encontrar essei ntlmeros qutntlcos focnecendo aqui epenas os pesuI tados. Indicemos e rtferênci a 16 que t ¡ata o. t. t\. þ. rssunto de. n. d. ). .Ê. I. b¡stantc compIeto.. de bosons.. ntlme¡o de bosons. senioridade ( t. d =. ímprr ) . Fisicamente ðcop t ¡dos a ze ro.. nd,. t. nd-2,' .., 1 ou 0 paca nd par OU éo ntime¡o de bosons d não. na = núme¡o quântico ¡diciona[. É necessário pois pr¡a n¡ , 6 comcgem a aParecer 2 estados com os mesmo5 nümeros quûnticos. /7o ê o númeno de tripIctos de bosons acop I ados a ze ¡o . L. l.t. ii,. a zero em pares ou trincas ' p¡ojegão de L sob¡e o eixo z do Iaboratónio'. ñL. L. tão. u(6). (7,r') K. (L = l,. +1, 7*2,..., 27-2, 2^' ) onde À= J'371¿ representa o núme¡o de bosons que não. momcnto angutar. cs. 'ì. modo. ntlmeno totaI. N. t. do IBI'i, ester podem seî. acop I ados. 2. u(3). >. ¡epresentagão irredutfvet do U(3).. intcoduzido pois = número quãntico tdicionaI que éfnesmo vator de L na pode haver muitos estados com o (^ ,l¿, pan. (^ min K 0 ( ¡eppesentagão mesma ,fr. r( ' = momento engulrr. K ( L ( K + máx t).'fl.

(18) Ll. 1?. 0(6)> 0(5)>. tii-u(6)>. I Ð. 0(3). N, N-2, N-4,....,0 ou 1 prre N p.p ou N fmpar. ¡aniorldrde. 0 ( t ,( d.. )-3na >. L^. momento anguIan.. ¿^ )tt )/^. com. ¿ Å-1. excIuido.. +. Para todo grupo, é posslvet const¡uiP um oper¡don que comutr com todos os genadoccs desse gîupo. Esse operador. é ch¿mado operador de Ca¡imi r, e os seus autovatores são rotuIados peIos pîóprios números quånticos associados a esse gnupo. 0 hami I toni ano pode ser escri to em termos dos operrdores de Easimi n dos vários subgrupos que consti tuem as tnês possíveis cadeias do IBt'1.. t. 0s. ope r ado re. de Easimir e seus autovaIo¡es. s. os vácio¡ gnupos do IBH sto conhecidos 13,16). os ¡esuLtados na tabeLa 1. 't1,. paFe. Hpresentemos.

(19) é. ¡lÈ. 13. 2reneooß€ s D€ CestauR. 4uro. ve ¿ or?€ s. I. Cuß). N. N. 2 Ctrß). = û(,C+E). N(urs). Ç,,t. ?7, d. I. aj,,,= sû. -,Ðoî [PaI'Fril'. nr(rr+4). [tí,."/tJ[e r r ÍJJ. ¿ç(r+ 4). 2. coo,= Ñ(¡xrL)2. z D I¿'JJL [tliJ¿. %r,t á,. C. u(J). .ç. o. l-4s. =¿. 2. t^. n¿. â.â+. tl i.î. /-l. C oß). ¿P0+3). /t (flr'* 2F *sttY) ¿¿. (¿*1). TabeIa 1- 0penadores de Casimir e eutovatones PaPa os do. IBM.. Fqui, â=. L= t. ÁL. ê;=. (J'i *S rrl - (z/ilr(¿rL/l. ,EQri);. gFUpos.

(20) î,¡. t4. ¿a. Em. é ¡. ¡\,. I. e¡c r i. to. tcrnos dessGt optt'¡donc¡ o h¡mi t toni tno do IEÞl. como. H =/cU(s). 2. 2. z. f BC + òa + EA oê) 0ß) UG). tF c2 * 6Aak)z uê). G). Dcpendendo dr crdei ¡ dc rubgrupos gue 3e desej a e¡tudac, (4-r), (4-b) ou (4-cl ' podcnos ¡nut e¡ rtguns coeficicntcs do hamiLtoni¡no (5) de modo que cIe scja. ba¡e fonm¡da peIos ntlmenos qutntlcos correspondentes à crdeia escothida. Pssim, somente com os autovatores dos ope,'adores de Ea¡imir é construido todo o espectro e, a[én disso, podem seP obtidas expPessões an¡[fticas papa es probabiLidades de transigäo em cada um desses Iimites. Nesses cesos timites diz-se que há uma slmetria dinåmica.. diagonaI. ne. F e 6 sto nu[os, o h¡miItonirno é diagonaI na base U(5) e os ¡utovato¡es são 0uando. ¿. ?. Eaß). 8 r7 (r¿ *l) + JDo(o+ s) r .28 L (t -t ). tt0 F f igura 2 most¡a o espectro expe¡imentaI do C d obtido peto IBM nesse Limite.. ,ù. G) e. aque I e.

(21) ,. 15. E. (McV). ¡. l3to... ErP.. Th. (n ,01. 3. (n. ¿,. 6. o. 2. q'ót.. *. t-. g'-. 4t-. a. gt-. {-. a. gt-. 6t-. u(51. - tto com Figuna 2- Espectro expe¡imentaI e teór'ico do Ld ¡imetria dinâmica U(5). 0s núme¡os entre parênteses indicam os números qutntico¡ Je nA.N =hf/ +7ìrz = 1b + é o númeno totaI de bosons. 6 P. i:. ?_. 0 rspcctno teórico mostrado nesta f i gu r a é nuíto parecido geomét¡ico com o espectro vibr¡cionaI obtido do node Io coIctivo 18-20). Por isso dizemos que quando F e 6 são nulos há o Limite vibracion¡L do IBl4. 0uando. R,. B,. diagonaI ne ba¡e U(3). € ù. uß). e. D e 6 se anuIan, o hamittoniano seus autovatores são,. (¿ß)F(¡'*/* &,El(¿*r). é. +3)+3/) ^f. +. (7).

(22) ló. rù. 0 aspGctro exPe¡incnteI e teÓrico P.r. o f igure 3.. t56-. E. (McVl. I. t. ,t. ErP.. (?O.21 lt6.4l. 2. to: o:- 6=. (18. ol. o-. 6:-. a4r-. t. ê no¡t¡¡do n.. Th.. (24,01. ¡g'8-. st4-. 6tqt-. ár. e. a. o. ts6. .. 64eo92. l24,Ol. 6d. 12o ,21. ?:. qç- 4.-. o-. t. su(3). Figurr 3- Compe¡agão do espectco expe¡imentaI do 6d156 com o erpectro teó¡ico gerado peIo IBI'l no Limite U(3). 0s ntlmeros entne parêntcscs sáo os númenos quânticos ). e //. N =71, +719 = 7b * 5p = 12 bosons. ri-. Tì.. Rqui t¡mbém o espectro teó¡ico tem uma correspond€ncia com o Esse é o limitc nodcIo coIctivo gconétrico 18-20). ¡otacional. do IBll. 5e F, B e. diagonrI na brse 0(6). t. i. oG). tiì. ù. = ¿6. o. toni ano ¡ecá. F. ¡e. e. os autovatores ¡enão dados por,. rnuIaPem,. hami I. t (r+ Ð +,tD e (¡ +a) r .2f¿ (/+/). (a).

(23) T7. Ð. P comp¡rrg¡o com ot drdos GxPtrincntric é mo¡t¡rd¡ nt figurr 1. ¡. E. 196Þ. (McV. 7a' lr8 (6.O1. Ò. Erp.. Th. (6.O1. l2.Ol. .l. 2. 6t-. 5t-. 4,t-. 5t-. 2'2'o. gt-. 2'-. ¡,'- 3'-. , 2._ ^t2'-. o-. 2'g'-. otso(61. Figura 4- Espectro experiment¡[ dt Ptls6e equete ge r ado po t' um hami t toni ano com simet ¡i a 0(6) . 0s vaIones N = nr rfi¡ ¿ 77¿ es tüo ent re parêntcses . de 6 de bosons. total $ é o número 2b, 4b =. há uma correspondência com o rnodeIo geométrico onde .go P a o Limite é conhccido cono T'i"stáveL.. Nov amente. ¿l. D.

(24) $1. e. 1g. 2-. f,,. ,ü. INTRoDUçñ0 À oUEBRR E5PONTfrNER DE sIllETRIn. 0 fe¡nomagneti¡mo é um dos exemptos nais famiIi¡ce¡ de quebna ctpontlnc¡ de ¡imetri¡. Vamos discutin, qurtitativamcnte, o fen6meno do ferromegnetismo no contcxto do modeLo de Hcisenberg 1 ). Nesse modeIo, o iistcma é um rrrrnJo cristatino conetitufdo de dipoIos magnéticos de spin 112 com uma interação ipin-spin, de modo gue os dipotos vizinhos mais próximos tendem a se atinhar. Essa intenagãp é notacionatmente inva¡irnte e, assim t o hamittoniano. No entanto, abaixo de uma temperatura crítica, o estado fundamentaI epresenta os spins aIinhados ern aIguma direção. â. Ê. definida resuLtando uma magnetizagão não nuIa. H dinegão desse magnetizagto é arbitrária cendo o estado fundamenta[, portrnto, degenecado. Uma caracte¡fstica importante desse estado fundament¡t assimétrico é que os estados excitados obtidos deIe ¡través de pequGnes perturbações também appesenttm essa mesne.ssimet¡ia. 0 mesno ¡aciocínio pode ser apIicado eo núcIco. Hs forças nuctea¡es são inv¡riantes pot rotagûes mas isso não significe que o cstado fund¡mentaI do sistema nucIear o seja.De fato, certos ntlcIeos podem possuir ume deformação totat difenente de zelo, o que impLica em ume direção pnefc¡enci¡[ no etprgo.. ¡. Ç'.

(25) q. T. 19. mencion¡¡ que o exemPto acima é rpenas um dentre muito¡. supercondutividrde e des interrgõcr cxcnpIo, trmbém uti Lizam lnten¡amente o Eonvlån. do fe¡non.gnÊti¡mo de Fs tco¡ir¡ pot cIctrofr.c.sr concei to de qucbra. eipontãnea de ¡imetria. R fim de esctarece¡ mais qu¡ntitativamente a idéia r). ',t. de quebra Gspontånea de ¡imct¡i¡,. con¡ider?mos. um ¡istema. cuja Lagrangêene (ou h¡mlItoniano) possua uma dete¡minada simetria, isto é, que seia invani¡nte sob es coPPcspondentcs pode seî t¡ansformagões de simetcia. Poc exempIo, / esfericamente simétrica ou seja, invariante sob notagões em tn€s dimensões. 0uanto à obtenção dos níveis de energia desse. 1. ),". ). sistema, duas situagões sÊ um d¡do nfvet. podem. de energia. correspondente auto estado. t. tnan¡fornagtes de simetria 2). é. ocorrer: fo¡. não. degene c ado. tlnico e invrriante. ,. o. sob .g. de. o nlvet de enengia pode 5eP dcaenecado e nesse ceso ¿uto e¡tados coPPaspondentes nto são inva¡irntes.. os. r êttt prnticuIac, o nlveI de energi a mais baìxo do sistema ou cstado fundamentaL. 5e ete fo¡ não degenerado, o estado fundamenta[ é rlnico e Possui a simetria Conside¡cnos. ',t. {p. . No caso de degencrQscênci a, nüo há um estedo tlnico åe "t paîa reppesentar o cstado fundamentaI m.s ume combinrgão I ine¡r d¡ csttdos com a metma energi e gue 5e t¡rnsforn¡m.

(26) ?0. 'þ. juntos ¡ob rs opêrtgües dc ¡imetni r ¿. o( 5e a5cothcnmos rrbitr¡¡irmente un de¡scs estrdor degene¡¡do¡ como o cstedo fundrnentrt, entlo este c¡ttdo nto mri¡ Poitui ¡á ¡ ¡imetnia t dc ,( , e dizemor quc ocorpGu um¡ quebra eipontånr¡ de. a. sinetni¡.. ì/. ,Ð. 0 exempIo m¡is simpIcs de uma tcoria exibindo quebnr etponttnea de simet¡ia é o nodcIo de 6oLd¡tone. F¡rcmos um tr¡t¡mento c[ás¡ico mostrendo expLici trrnente . tnansigão pap¡ o cäio qulntico, llesmo gue sem mui to rigor, ac¡editando que cssa atitude ingênua não tna¡á Prcjuízo parl o Ieitor. H Iagrangeana do modeto de 6ol'dstone ê. / o. ,i. ).. =. nde. 2). [A /L,J[a/ /,',tJ - ru/ /,,)/' - ) /øØl/ o) óf¿ - æ(øþ)+i(o,)é. um cempo escar. ar comprexo. ¿ e. ,/. e. são parãmetro¡ reais arbít¡á¡ios.. .). 0 h¡nittoniano coPrespondente a (9). H. =. IA øi,il2"¿,,,J.. þØiú.[i/r,l*. é. r'/ør,t/¿+. )/dþ/ç. sendo que 7 tO pepa que o sistema sej a estávet.. H Iagrangeane (9) é invariante sob transfo¡mações f ase stobai s,. :" ì. {$. /at - þiø -. y'r,). e'd ). /2,t-. /L,'=. )l. - Z'4,. lt /r) €. (to).

(27) ,t. ?1.. m.s o a¡tado. f. und¡mcnta[ (ou vácuo r. r. Lingu.grm quãntica). inv¡ni ante dependendo do ¡ ina I. do s i s tcma podc ou não ter de. cttl. a. 0 mlnimo de V Cll é dado por'. Jtr. (tt-n). /=o awøþ/ --o +, / = (-r'/¿l )/'. 1'. (tt- / ). 2. ) 0 ¡omente a primei¡a soLugão é rceitávcL ê cop¡aspondcnte ¡uperflcie de cnergia potencirI em fungão / e ø" é apPasent¡d¡ na figura 5.. 5e ,/. a. de. v tll. y', tx). {'f. l. lzll-t. Z. Figura 5- 5upe¡fície de energia potenci al. para f ). o potenciaI. Neste ceso. Vq6). único vato¡. þr*) : o,. þ/lr'tlo)=o. e. o. tem estado. quebna tsponttnea. um. 0. mínimo absoIuto paPa. o. fundanenta[ é único,. de simetrie não. pode. ocoPnel.. .z. '* (!. sol.ugã. þ = $ nog dá um máximo tocaI enquanto que a scgunda sotugto corresponde a todo um ouando ,/-(. o, .. clrcuIo de ¡nfnimo rbsotuto. en.

(28) .la. ì. tr'/"¡ ) /¿. Øat. e. /€. ø (o,re-r¿F) /tz). R supe¡ffcie de cn:rgir estô P!prc¡entrda n¡ f lgure v. t. tlt. 6. Vi¡lo r¡poria. .11. lt ltl Vi¡to lotcrol. /2lxl. Figure 6- Superfície de energia potenciat pena /. \i. À. ¿. ( 0.. Rgora não há um estado rlnico que descPeve o estado fundamentat mas uma combinrgão Iinear de estados conFespondcndo.o cf¡cuIo de potenciaI mínimo. P qucbra espontânea de simetnir ocoPrecá quando escothe¡mos ume de e pð¡a representar o estado 'diregão' particuIr¡ fundanenta[. D:vido I sinet¡ie dr Iagrange.na (9) sob t¡rnsf ornagUe¡ de f ase gl.obais (10), o v¡[on de e não é Impo¡t¡nte e podemos cscoIhe¡ 0 = Q de modo que ø". sej a rert.. fjì. e. (-,.. 'A,s. ). //¿. Vemos então que. r'1¡7). zr > C. 1o//r,t/o>=é* o. õ e¡tado fund¡nentaI desenvoIvcu (VEV) dife¡entc de zePo.. um. (ß) ou seJa,. v¡[oî esperrdo do. vácuo.

(29) t. d. n'l. teo¡i¡s dc quebra asponttnet de ¡imetnia ¡cmpîe .p¡r.ecrn os chamrdos bosons de 6ol.d¡tone e de Higg¡ quG correrpondcm¡ pGspectivrmente, . o¡cit.gõe¡ dc f¡¡e G r¡diai¡.o Iongo do v¡[c de potencieI mfnino da figuna 6. P¡¡¡ entrnde¡mos isso, considercnos pequenos des Ioc¡mentos em to¡no dr configuragto de equitibnio Ørr) - øo I Cx) e lltr) ¡travé¡ da int¡oduzindo dois c.mpo¡ reais Em. iil. rqu.ção. /r,t = /€ fz' t tk) + t' Trrt J ,. 0l ). O'(x) e lTtr) medem os desvios do campo ø (x) en Em te¡mos reLagão à configuragão de equi L fb¡i o þ Crl = É desses c.mpos a Iagrangeana (9) torna-se. onde. rftl - t/"(¿) r') ú*t 2 ù-rft) ri t .,{. I. %t)l frk. +. fanf r îrhf J. f * r/Ð'1" * 0 /t) D' '. (ts). da Iagrangeana (15) que o cempo I tx) (agora f¡[ando quanticamente) possui essocirdo a ete um boson de messa Ølc=(tÀrr)t/' enquanto que o boson associado ao campo n' (x) ten masse zero pois não há termos em fl't*12. Esses são os bosons de Higgs e de 6otdstone nesPectivamente. Htém (14) que e disso, segue das equ.gões (13) Vemos. /o). t.;I. tt. e c¡ta é ¡ condiglo p.¡¡ I quebre <o/ //z) ø rspontånea de simetri¡ em teo¡ia quântic¡r €h rnaIogia com .s cqurções (121 ou (13) de teonia ctá¡gicr..

(30) Yi. ü. ?4. 3. R TEORIN BCs. EI.IPRRELHSHENTO I{ONOPOLFR. E. OURDRUPOLHR. .ptcsentaîemos um t¡atamento de .mpaneIhrmento monoPoI ar (pares de férmions .coPI ados a momento anguLar total. J=0, M=0) e quadrupotar (panes de Neste capí tuIo. d.,. I. fermions acopI ados a J=?, M=0) mostr¡ndo que ambos podem seP tr¡tados em pé de iguaIdade.0s férmions (nucLeons) possuem momento rngutar totat i = 312 de modo que dois nucteons podem se acopLar somente a J=0, l'l=0 e J=2, jt=-2, -'1 ,0 ,1,2' No ceso de empa¡eLhamento quadrupoIlr, considereremos aPenes. e. os cá[cu[os sendo que a incIusão das outras projegões em nada attera¡ia o tratamento. pnojegão H=0 para simptifican. do probIema.. o modeIo BCs no contexto de ume teoria de quebra esPontãnea de simetria de modo que suPgem excitações bosônicas (modos coIetivos) massivas e sem massa' Tr.atepemos. ù". a.. Para cada simetria quebnada aparece um boson coÎ¡espondente' No caso de emparethamento a J=0, l'l=0, o número de part lcuLas é vioLado enquanto que com empacethamento a J=2, M=0, a[ém da vioIagão do número de partfcuIas, há e viotagão momento anguIan, isto ê, o estado bosönico constituído. do de. pares de partícutas ecopLadas e J=2 e J=0 não é um escaIar F!ém das excitagões bosSnicas existem es sob rotações. fe¡miônicas do sistema que surgQn quando fonnecemos energi a suficiente P.Pa quebrar um 'Pan de Eoopen'. Venemos que essa energia é no mínimo iguaL. ixcitrçües f3.

(31) ?5. { a ¿^. onde ¿l. êo. gaP. de cnergit:nt¡e. o rstado fund¡ment¡[. e. os pnimeiros ¡stado¡ excitados. utiLiz¡ndo técnices dc teorit quåntic¡ de clmPos nosttanemos gue o etpectro de m.ss¡ entre .s excitagõer bos0nic¡s e fe¡miônicas está n. pPoporgão bern conhecida 6'8) Htrrmf ,%l= 0: 1 z 2 onde V|V é ¡ massa (cnergia) do I. ê. n.sJ. do boson dc n.ss. zeno (bo¡on de Goldstone) , nf fé¡mion c VLO é a m.5sa do bocon massivo (boson de Higgs)' Ì.lostpetemos também que a constante de ecopIemento ent¡e os. dois modos coLetivos e o5 férmions ê. mesme no timite de momento zero. 0 fato de a constante de acopIamento sen a . I é importante quando se desej a mesme pare os modo t // escreve¡ um hami Itoniano efetivo descrevendo interagões boson-boson e boson-fénmion que satisfaga a retagão de massa 0 : 1 : 2. Easo contnário isso não se¡ia possíve[ ' i. I. ,'t,. observagão se faz necessá¡ia.0uando tratamos de empareLhamento monopoIar (J=0, M=0) e quadrupoIar (J=2, M=0), tanto o núme¡o de part ícutas quanto o momento angutar uma. tra. são viot ados Iocatrnente. No entanto, pa¡a tentanmos ¡eppoduzir e cadeia do IBM cotrespondendo ao Limite F-instávet, ppecisamos de uma simetria de partida maior, a sabet, a simet¡ia 0(6) ou gPUPo das transfo¡ma9ões ó"rtogoneis em 6 dimcnsões. Conseguimos i¡so Iev¡ndo em conta as outras 5 proiegões do par .copIado ¿ J=2 atém da tlnica projegto do p.p .copLado ¡ J=0. Pssim, as simetri¡s.

(32) f. 26. rú. U(1),9uê é o gîuPo drs tr¡nsfonmagões unitá¡1as a ume dimensto ou nÚmeno de prntícut¡s. Eomo já mencionamos anterionmente, os cátcuIos. quebn.des sto 0(6). r. [én. dc. se¡ão fei tos epenes no c.so. simpl,icidade, tem que conctusões obtid¡s. i\. I. (t,:!,. ß. ':$. pnojegão l'l=0 unicemente. rest¡igão. p¡eiudique. Pon. .s. n finaLidade desse cepftuto, afinat, é a de justificar o hamittoniano de pantida do capítuIo 4 o quat Leva em conta ¿s inteneções boson-boson e boson-fcrmion e quQ após quebra de simetria fornece o espectro de massa das excitagões bosônicas e fe¡miônicas, isto ê, a reIa9ão de massa. I. esse. dc. 0 : 1 z 2..

(33) ?7. Ç. a. t. E},iPRRELHRilENTO }IONOPOLHR. 3.1. E. OURDRUPOLRR. o 12' Fcf erênci ¿ Util.iz¡ndo I notegão d' de hami Itoniano descnevendo a interrgão de empaneIh¡mcnto dois nucIeons com momento anguIar tot¡¡ it = i2 = 3l? ¡copIrdos . J=0¡ H=0 e J=2, H=0 ê drdo por. rì I. H". - 71',6". J¡¡ t. r r'l. f. J-tî. Ç, P', tt). (t< ). com. / Ê, rl. J (//). f o ope¡ador de criagão de um par de partfcuIes momento anguIar totaL J e P¡oie9ão ì''l' acop I ad rs. send. t. ,,t'l i!. ". d,.

(34) È)(l. Ë. 1o ctso: J=0, ll=0.. (j//Y/¡> = Ê: = a. kÐ'/. ft11r'. F fu. [t't'],'. (te). ¿. =. (i'¿-n/oo) f: t:' (#/' fr .3,,. + (_t)t-- y"i Í,'., ?'. kr)'¿. =f j=. s/z. t-ì. I. +fu'H). s/a-m. o. D. /oo rf. t/e. +7. ,. m. s/z-. ø. út /¿-. m'. I. /' z m 2. -7n. /t-,' 2. Le m. (tr) (¿o). Ë. Desc¡rt¡ndo o índicc 3/,2 podenos cscreve¡. H" =. -''. # Ð ft)'/'-' eÍ/' É' /: /. /, 7n-m'#ú/,h. -G" S =fLfu) ' Tnm,. ?,. 13. Qr).

(35) +. ?9. 20 c.soz J=2, l{=0.. <i/yli>= fu / D tzo. D ,if,*[trü. (z z) 2. J. #. jm. .rün(m). f: ú (zs). (zt) s. Temos então. H2=. #-Ð,t@)^(n)ú t:. !-, l-, -Gz f. t. ß. zo h,47n(''m') *'/:. y'-r'/*' (zs).

(36) 30. 1â. e. f. H'-4 a. -. ¡i. (t/Ðc'. (u,* e"/o). v: v: /-,h,. f. mmt. ù. Ð [{4'-''*nrnotu-m'ù'. z(4,n, - {--m,). -zÇ't #, li/,/, h>o. *'/: /-,/(ze). Vemos dessa ¡Jl.tima equação gue no caso particutan empe¡eLhamento quadrupoIan axiaImente simétrico, ambos nl. ¡. os. emparethamentos (monopoIar e quadrupotar) são descritos por. Itonianos semel.hantes. Essa pPopriedade será irnportante quando escpevePmos o tenmo de empa¡ethamento da próxima. hami. seção.. ¡r. de.

(37) I. 31.. 3.?. TRHTPMENTO. E. VIR. CFHPO T,IÉDIO DO EMPFRELHR}'IENTO T'IONOPOLRR. OUHDRUPOLHR. a segão seguinemos de perto o tnltrmento 5ch¡ieffe¡ (ref . 5) e |4ukerjee c Nembu (rcf . 9). Ness. ¡). ù. de. infinito contendo considertremos um ¡istema fénmions com momcnto rnguIlr totaI j = 312 intecagindo via Um potenciat de dois corPos com etementos de matriz constantes e iguais a 9.R constante g vai a zelo fona de espessur. I em torno da supenf ície de Fe¡mi ' (Fpesar da seção 3.1 te¡ sido feite em um sistema finito, aqui t rabal.hanemos com um sistema inf inito de modo que es fungões de onda sej am ondas pIanas). Na cepresentação dos. uma camada de. momentos, guê é o espego mais adequado eos nossos cá[cutos, n{. r. usado o espð9o de configunações postenio¡mente neaLizado uma t¡ansfonmagão de Fourie¡) hami Itoniano paîa o sistema ê (poder í amos ter. H. D..ú,x- I p/Ðu, k,?. 7nk. k. {.r- {rr., /r,r, /*,. mn,. 4 t HT r,' k. lll¡. kz). e. o.

(38) 3?. Õ. ondemérproieçãodo 312, 112, -112, -312. I. ¡f. momento e. k,. anguIar j e. g sto quadri¡nomentos; k. ú'/"'ú. /,. trÉr il lt <o/. -+. +. (o/É'ú/o>. /'ú. /,'/, - <n//: /, /oS ú'/,. t A t Q/¿ ú to> *'È þa). entanto, Pa¡a nossos PloPÓsitos, é conveniente util.ize¡mos um processo equivatente (e pnático) ao de Iinearizagão 5'6). Escrevemos. 4 ). ,qt. q. ko). <o//,?, /o)/"t/o. No. r¡. (Ï,. p.rr. /,'ú /o). + (o//,rA?o. 1. =. P¡¡a cri¡rnos um camPo médio ( rp rox imagão de H¡rtree - Fock) incLuindo conPeteções de enpÐrethamento, podemos Iine¡Pizar HI com respeito ä um dado estrdo /O)q"" por' sua vez é determinado autoconsi¡tcntcmente tm te¡mos do Na LinearizagËo P!ss.mos de um h¡mi Itoniano Iinc¡¡izado. produto do t ipo. ¡r. o5 vato¡es. assume. ,4 +(/x*/ø)-,.u. I. - (/x * Hø). mais mais. (,tz. þo). 1.

(39) 33. ð. ond e. lr. lkil il, /. Ð. km. ¡st). m. é o termo que se¡á o PotencieI de H¡¡t''e!-Fock' 0 termo n'l1. 'il. +. (sz¡. ./N= ,þ Dk.il-. I. K7,'7. ê inctuido. plFa desLoca¡ a oPigem. l'¿. ' enet'gia.. da. f-. ê. um. muLtipLicador de Lagrange que é detenmin ado pe I a condi 9ão de que o vaLor esPenado do oPeradon N = Ð /r:- "l* deva sen ^m pantícuLas' de médio número o No, a iguaI Tratandooempa¡el'hamentomonopoLarequadrupoIar empédeigual'dade,PodemoSeScreverotenmoquedescFeve essa intecagão ,rl. 1. ,q/. como. /¿**t*/:,þ) * /" * /-*'r/, fl'l'Ù. onde. ¡':,. I. é. uma cons t. an. te. comP I ex. (¿ a. z).

(40) 34. ù. 0 hemiItoniano (33) contén cont¡ibuições Plîe o5 dois tipos de empareIhamento stm que Poss.mos distingui-[os' 5eri¡ interessente venific¡l'sQ ess. é uma re9la gerat mtsmo papecendo que não' Note-se QU€¡ no cÐso de parGs ecoPLados. I. a. J = l, somente a pîoje9ão i'l = Q foi considerada. Fizemos isso somente pa¡a simpLifica¡. Podcrf¡mo5 ter incIuido ls outras ploiegõQs (l,l = ?, 1, -1 , -21 mls isso ¡Ó lumentaria o tnabaIho.. sunge um pnobIema' Devido a pnesenga de corpo Hø / o hamiItoniano (23) não é mais um operador de 1 e não podemos t¡atac Hl como perturbagão. Pana contornaP essa dificuLdade uti tizamos uma notação diferente. Definimos Rgoca. os espinores. /r tt" T. ,*. !* --. tþ /* tl" 7-*. -. ßl- o). /-L-*. {': =/ln'/,-,/" I. ). '1. /. /r tlt , X* -tþ. ßt-¿).

(41) f:. 35. ê. e. Peesc revemo5. ,. Ho. ,. e HI. c omo. //: = f !r/ ( ã* A, t Ø, A, . /, 4 ) !* t cousr. k. l, y, ) d, A, !0,) t Ð -tk !:&4¡Ø"4"+/*4')lr. Hr'= s. (ss). I. (r-|,. rt/t,. ß<). partes ceat e são, nespec t ivamente, o te¡mo constante aPa¡ece devido às de ø; ã*= €¡ + /* ,/ reIagões de anticomutagão dos / é a nova energia de PactícuIa independente, e as matrizes R. onde. ø inaginánia. o. ø. são dadas por. ft= (:;) ,r. a. /"=ß;),. /,=. /îs. (". o. ß?). es ). 4. sendo. .>. 6t. que. 2-/o'ì). -. Ø¿. são as matrizes de PauIi.. (,r' o ,/,. /t ol (o't/ OE. ,ô. sEtì\jlÇ0. c). tJE rr. 61¡;¡¡01í-r-ìA. Iiji'Lll-lir1;ì',)À 0. rE. t. t66 S 'a( ; u (. \ì-.

(42) 3ó. a. Podemos.go¡a caIcuIar o P¡opegador de 1 conpo o qurI se¡á necessá¡io pare o cátcuto drs auto-energies devido à interagão rcsidu¡[ Hì. 0 ProPrgrdor dc 'l corpo é dcf inido. a. POP. ø Ø: /) = -¿ ((/r{yut ln1'tl I Y). (38). I onde. /lD = éa. Escrevendo. =. e. ì4'l. 4øt. -r' e. /o'/. iÇ(F,O ne f orma matricirI. ,fti't,ft) tr*h)J t rl4 o o. t. /. )O. o. t,rc) /v. q,bi. e. Go) temos'. r{U,/,lil /pr,þ)-l , rf /r,/,/t) 4-/"@J ,. (rl. (¿z). *supencondutor" função de onda do estado fundamenta[. 4/û {. + % il; yl,-,)/o) Tû. k. ,. 0/o /. lr). r/4* ø {t,þÛ t rflr*rtt /n,¡,rotJ. r\i ,rrtt *lt"rol t r //.í.,t,to /r-rtaJ (. /r).

(43) t. 37. temponaL dc. H transformada de Fourier etemento de matriz de (41) fornece:. f",, (/)/") = Ço¿t (F,/"). (Å + =. Ê. e. €¿. þ¿ ã¿ /o "P. Ç.,r(Ã,Å) = Ç"'t (f,rt ). â. 2. ,'Jß. (/z-o). ¿'*. (É - õr ). Ç.r, (f,É) = Ç+ç6ß). {. e. ø' - /"' ,,',/. P. I. Ç"r, (Ã,Ê) = Ç,n (þ. +). 4. 2. -. /'r;t. 4 -, é ðn' -. /'- /"'+ ,'J. Ø *,Ø,. ¡;. =. â. 2. cada. ãr' -. G¿-/). 0z'c¡ (. /'- /r' r,'J. tz- ¿). quantid¡de infinitesimaI positiva e o termo exponenciaI n¡s expressões (42'¿) ¿ (42-b) é posto pera essegur¡r a convergênci a da intcgraI em po de 6o (Ë,po). Flssim, o pnopagador no espaço dos momentos pode 5e1 escrito onde. d é. uma. c omo. (tttëpls+Ø4+þt" f" F,É) ,t. ß. e. ø'- /'*.'J. ,/'. )e. JÊA'. ú3).

(44) t. 3g. enargll de qu.se-p!ctfcu[¡ é obtida do poIo dc (43). R. com. Po)0,eédadaPoP. fp -- ( Ç' * /,' * /"')/". a. tima equegão que a rnergi a de gu.5esupe¡condutor difere da energia, part lcuta do sistema Ef = €r+Xp-/ do sistcma nonma[. Isso oconîe devido .o eperecimento de um 'gaPr de enengia cntne o estado fundamentaL e os primeiros estados excitados de um vemos dessa. I. ftl ). rl L. supercondutor.5endo assim, é necessária uma quantidade finita mínima de energia Para excitar o sistema. Essa quantidade mínima ê iguat a ¿A onde A é o parâmetno do gap. É a energia necessá¡ia pa¡a quebrar um Pa¡ de cooper. Ve¡emos adiant. (. ou.. f, pode seP identificado. com o geP.. I Pa¡a encontcaîmos o efeito de H I sob re o espect no de excitagão de quase-partícuIa, caIcutamos a auto-energia devido a esses interações Pesiduais. Ês Peg¡es de Ðfn¿) 5,7) Feynmam-Dyson em 1 ? ordem (fig. 7) fornecem. ,,(F,n) +. ¡. ". -iAs J F [¿'. i ålt [çrr; ¿ùA,. ç". G,Êil. +. + /r4u-Øtr-Øt" (ls1.

(45) I. 39 P. I. ). ),. T. T. I. I I I. I I. I. kklt-Pk. +. +. Al. I. +. -,-L-A2. a. .PFoximlgão Figura 7- Huto energia drs quast-p¡rtfcut¡s ànacontribuigão cort'crponde te¡mo BEs. 0 Primeiro (exchenge) e os direta, o segundo ê o termo de troca dois rlItinos Podem ser victos como uma inteîe9ão com c. ampos ex te rnos. I. .. 5e quizermos que a energia dc gu.se-partlcuIa. não. seja ¡fetada poî Hi, isto ê, se não permitirmos contribuigões adicion¡is devidas " HT sobr" H:, devemos usaP 5'6) o que se chama de condição autoconsistente. LGt)=o / eé. essa. condigto que i rá detccminar Podemos integraP. r. ø.. expressão (45). s. abendo. que. 4=. o¿7. Temos en tão,. b. em Ps. ln'Ø. (ft). (8,-ãr)nr- 4¿,- Ø¿" JEF. k7).

(46) 40. Þ. r[r/# h.ÉJ t. LF,Ð=. *[ul#. +,4"[r/#Fh.ø].. %'- xrJ. (/a). UtiLizando. condigão de autoconsist€ncia (46) e o fato de as mat rizes P tePem I inearmente independentes, podemos iguatrr a zero os coeficientes de A1, AZ " P3. Obtenos I .á f,+ ')/¿. -å. ø. Jþ. /tÐ'. ¿Ef. Jf3. ø. PL,P. ¿Ef. (/. 2'. "). ê- Êp. f,t ,/" .Ò. o. C. ø. (/?-t). É Ê/" r. Ê t â/". lP. å. 2. Jr. a. úz-.). %. É'fy" onde. 4 ùV. /¿ (t -. en/en. ). /50). é a probabi Lidade de ocupagão de estados emp.reLhados. Ð.

(47)

(48)

(49) T. .t. 43. gurbr.da rtém dr usu.I vioI açto do ntlmero dc prrt ícu[¡s. Veremos esið simetria mais ta¡de quando da tentativa de deniv.ção do IBM. R contribuigão paî. a crdeia de boLhas é 8'9' 10). .l. 4. ,lG) = r{. ç. 0) =€'. /þ (¿/)'. 4 ¡"rv)t. r'. ,. propagadores (no. é, momento transferido. I. k -f/ÐJ. I. imi te. (ß-f./¿)/ * ãpÁo y' zAt =. (sz -s ). €.+o /. * õr 4, + ZAt (Å *f"k)" * ,'J Ç" - zz. 1"/þ*P/z). (sz-a-). ,. isto. zero),. (ß /f"/¿)/. ç"al-7/t). ¡. Ç,. þ" Ç, ltrf/z) t, 6 rl lÐJ. Usando os. rt). þr. î" G * F/z ) 4. k-F./")'- Ç'-z¿*''.1. (s. 3-. (sz-. a). /).

(50) ù. 44. . J, C). {rf l. podenos escFCveF. como. y'"-r:l-q+¿¿. ,l. ¿/. ÇGl - r,J' (¿nt - t"p )' - ê; - o' * ,sJfk - Ãl IIG. ef -. a'+i rJ. k4'a) e ¿.. trrr 0. ¿'. É-f"/t-e;-¿. ¿. Ø = ¿'; Pn' k f/T- l' - o' *,, tJ[G.f/')'-. Ç" - z",. r"r] ßç-/). onde os poIos estão. em. ês). É=rf"þ-(1't4)+t'J Fgor¡ integcamos (54-a) e (54-b). em Ps. e. obtemos. Ê/ è. loß") = &'. /. ¡",v)" (Ç'*2"¡'t". I-. - /¿" fr"- /(ãr"/¿'). t-. 7'". Ê-/*. 7.'. (5('a). fit / Çr(f" )= €'. êi +a?+. (se-é). fl"- /1"'*¿'). /,'8/¿. H C 5,8,9,11) 't. condigão paîa a Qxistência de um modo coIetivo. {ro(Ð = /. ¡s Z).

(51) *:. 45. ).. z z z en (56-a) e f" -(¿ e cqurção do gep (51) e f, /¿ (56-b) e condigüo (57) é satisfeita. Vemos então que. Us ando. 6 (F"'= /¿' ). --. I. 4G"'--o). e. :J. de modo que as masses dos modos coIetivos lt. I. f7o. = JA. e. ffiv. am. ( ss). são. (s7 ). o. Já que . 'nassa das excitações fermiônicas é iguat ao 9aP, e f)n é iguaI vemos de (59) que a nazão entr " V?f , flf a 0:'l:2 o que está de acordo com a teo¡ia de BCs 5'6) Para caLcutar as constantes de acopIamento Çn. e. . f/ e os f érmions ¡ Dotemos a ent¡e os modo s f iguatdade dos diagramas da figura 8. 0 eIemento de matniz pðra a cadeia de boIhas ¿ 7'8'9) Çff. (. /4 "l enqu an to que. /-lo o. '. co n lesponden. '-'tr- /-Jt, te. ao. di agrama com o boson. intenmediário é dado por 8,9 ) 2,. /qI. fltl =. - Çrr az /o. n;. (¿t ).

(52) -t. 46. podcmos eJcîtvcl. Já que os di tg1.n.s sto equiv¡[cntcs, 4,. o2. J,. Çv. fo-. z. e. / -{n. C. Fgona expandimos. ,8ff). dç). - 9'r f"t - m;. 1-Jrr. (rz¡. série de TaYl'or Gn to¡no " lV(f) "^ pana os modo, ?f Ú aoz = 4Az ". e qo = 0 Pcspec t iv¡nente. Temos entto. de. ,. ¡l. J" (rt z\. ,[ (f"'= /¿'). +. G"'- /zz ) J,E (f,') J F"'. =-{t. f"'- /z'). (. /.Ç (ñ'). Jf,'. z. /< gz= To. l¿a. t). Øz. onde o 'l vem da equação (5ô). 5ubstituindo (63) na pcimeira a. das ¡e I ações (62) obtemos ¿. 1,. €. J,nß). ). De modo aná [ogo temos. -/. ¿þ'. Pe. r. a. G( ¿. /¿. 'a). 2. ç;. -1 2 Çrr ,ù. a. J,IîÌ'(f;). kt-t). / qz. dlþ. z. =O.

(53) 47. I'. ðs derivadas, é conveniente Pa¡a ¡vaIirr de um modo que as to¡ne mais simptes escrevermo t lt " llf pana a integragão. Fazemos. r eproximação. 2 ¿-. dl _ Jrf Jr = i+ f// ¿tr¿ 7¿Dt. Ê. /¿t)'. ?. e e mudança de variáveis 7=¿(ãf'*¿'). 4 t/". lq. /rsL. paFa eScrevecmo5. z. ^. -E. Gi). û - /¿7zr/þ J." ( r'f.'). (tt. -. o1. 4¿". À' / J." ,Ir(p' - €'lh 4" I (*"- þ') (t- /¿%') (. kt-é). /¿' Lembrando que. cg.Nr. no. timite. de acopIamento fnaco. (( 1) ,, X">7 l¿" e que ainda ft - tz'/f )*,-, /. ,a. integna[ (66-a) fonnece. ,Ã(f",) ,;.. : +krÚ'-f,') -/, Û¿'- ß'f. (t. t).

(54) .¡. 4B. de modo que. /il. -t. (h'). Jf"". //¿. ¿. (/8 ). J,N,. oz_ n /¿¿. e, finaLmente, </. /(¿. çí. t H constante. z/. /r,. de acopIamento. pðna. anátogo sendo que a derivada. é. /¿ 7- o). // é obtida de modo 0. 0 avaIiada em qo 2. o. modo. ¡esuttado é, z. /(4 ?. îv 0bservemos 'a!. a densidade. que. constante pois. a. de. f aproximadamente é muito menon que a. Fe¡mi Nf. cegião de intenagão. energia de Fe¡mi ,/. '.. (¿z-/). /UF. ^.

(55) 49. BCS. PO¡. N¡¡tc crpl tul.o tpPa¡cntlno¡ o tnltrmcnto pnopolto N¡mbu r ilukcnjccg) vislndo um. dcriv.ç¡o nlcnorcópicl do rtrrvés de un tr¡tlmcnto tiPo BEs.. I BI{. I. e. 4. I Bt{. Htravés dc un hrmittonirno efetivo con int:îlgõc5 bo¡on-boson e boson-fenmion é obtid¡, .Pós qucb¡e etPonttne¡ de simet¡ie, uoa cðn¡cte¡ística importante do BE5: a Pêtr9ão. de messa ent ¡e as exci ta9ões bosônicas e fermiônicas 0 : 1 : 2. nos Limita¡ à discussão da cadeia 0(6) do IBM, adequada PaPa a descrigão de ntlctcos transicionais¡ ê assumido que os nucIeons de vatência (partícuIas ou bunacos) vamos. .(. 't. ocuPðmestadoscomj=3t?,denodoquepaPesdenucIeons podem dar origem a bosons com momento angutar tota[ 0 e ?. Estr escoIhe não é tão nest¡itiv. cono p.Pece à p¡imeira vista st Levapnos Gm conta que na região da PIatlnr, excmpIo padrão de rpl.ic¡9ão da crdeia 0(6), os nucItons de va[ência ocUpamest¡doScomj=312(venepêndicezP.raUmadiscussão ¡[ ternativa em termos de Pseudo-spin e pseudo-momento rngutan o¡bitaL) ¡ de quetqucr forme o obietivo maion é. {. I I. I I. l. mostr¡r que o IBì{ tcm pontos de cont¡to con o BC5. Rssim, supondonucIQonscom!=3l2,asimctni¡do¡ctorf:nniônicoé U(4) r GopncsPondcndo à degcnaîtscCnci e de um r¡trdo cotl t : 312 (Zi + 1 . 4), anqu¡nto que r ¡imctni¡ do ¡ctor.

(56) :À. 50. é 0(6), e quaI correrpondc ros 6 cstados de momento rngutrr 0 e 2 (l'l=0 c l'l'-2,-1 ,0,1'Zr. 0 hrmiItoniano de prrtida, Ievando em cont. essas simet¡i¡s, é bog0nico. //=. t. I â .¿. (m /m. z 4. {). +. - yr{n p. +. '/-. 7?. qz I +. t. .nm Gø_- ø: /"f. Ç7ø r,[vrúrÐnYh. f. yr(t-Ðn. (?o). n. onde o. fé¡mion. componentes,. it=. (to. é. esc¡ i. ü" /-ir". repnesentando estados. to como um espinor de oi to. /:/" /rt" /,t' la. na c¡mada. de. /Ð/ø. va[ência. (aqui. a. superf ície de Fermi), e o cempo bosônico, þ, (n=0,1,?,3,4,5),. L. .t. é rotutado peIas ppojegões de seu momento angutar e é interpFetado, êm primeina appoximação, como um par de ,. (Fqui também o sistema é considerado f érmions t þ u // como pante de um meio infinito onde se t¡abatha no timite dc momento zero). Note ainde que a parte bos6nica da equagão (70) é semethante a um hami Ltoniano do tipo modeIo d . Veja¡ por exempIo, a îefe¡ência (21). No hami t toni ano acima, o primeiro tenmo é a eneegia cinética bos0nica com P- o momento cÐnonicamente . 0 segundo tenmo desc îeve um potenciaI com con j ug ado a øinvariância por U(6), cuja fo¡n¡ ê iguaI à figura 6 do crpf tuIo 2 (rqui um chrpéu mexicano em6 dimensúes), e o.

(57) 5l. tercei¡o. posrui. PoP 0(6) onde Uma inv¡riånci¡ é interp net ¡do como um momento. L-, = -t(ø:/*-ø:þ,) angutar em 6 dimensões. {t. ìr. e. (t/t). Ð L,i. é o cot t'espondente. invariante dc Easimir 13). 0 quarto é o termo de energi a é uma matriz diagona[ 8x8 cinética dos fermions, onde F us ade papa rcpresentar tnergi ls posi tivas e negetivas pan a partfcuIas e buracos respectiv¡mente. R diagonaI de Ç é (1, 1, 1, 1, -'l , -1, -1, -1). 0 rll'timo te¡mo é a interagäo boson-fe¡mion escnito de modo a conse¡var o ntime¡o de não p¡rtlcutas, isto ê, permite interações do tipo ///l^., são 8x8 , sê transformam como Fs matrizes ç / / / vetores sob operações 0(6) e se¡vem PaPa acopLar os nuct.onr, / , êo Peres com momento anguLar 0 e 2' R constante de ecopI amento 6 é discutida no capí tuIo 3. Fgora, notemos gue o estado fundamentaI do sistema bosônico é constituido por 6 bosons ø" , isto ê, o estado de menor energi a pode seî rep¡esentado como uma combinação. . Isso não é intePessante Pois não temos um estado único pePa representar o estado fundamentaI e, consequentemente, uma referência pa¡a tnatar os estados excitados. Como foi dito no capítuto ?, podemos escother quatquer um desses 6 estados degenerados paPa replesentar o estado fundamentaI impondo que o mesmo tenhe um vaIoc Iinean de estados. do vácuo (VEV) diferente de zeFo. Ro fazermos essa escotha, ococre ume quebra de simetria pois ¡9ora o estado. eãpenado F. ø".

(58) t:. 5?. fund¡mcnt¡[ nto m.ir pos5ui . simctrie do h¡mittoni¡noNambu 9) csco Ihc o boson de momento engutar tot¡1 0 ø". p.r¡ dcsenvotver. um VEV. difcrente de zePo, Gscrcvendo. ø" = é + (ø. (lf +t'Ci)/E. ø,=. onde C. e. i=/,2,r,t,5 (z-l). boson pePe de¡envoveP. escotha desse a. (Ft'n). pepresent am osci L a9ões em to¡no do vácuo.. /f. degene nGscênc i. *,'7")/,ø. um. a energia. e ainda ab¡ixa. vEv*o desse. remove. modo. H a. em. retagão eos outros. Esse abaixamento é feito pare concordar com o f ato, a partir de ingredicntes f ísicos, que o boson de momento anguIar zero é mais Ligrdo que o boson de momento angutar 2. Veja a figure 1 do caP. 1.. 1,. Int¡oduzindo (71-a) e Q1-b) no hamittoniano (70) (omitindo os tenmos cinéticos) obtemos. H = /t (aç"¿'). + ç ¿ Y'[ Y + o,Í ',tr V /^,tÆç'ãøÇG,Ír//:) + /,Eq'õ aãq (c"t; - If" lf ). + Çt/¿ + J Ç" .t t. [ 7rr; * t/)']z *. Ç". .7(øq -r,A)"r. ã(øq - lEtr)' * ç Z y'ßr" *,¿([ % + [ll + if[q){. onde n = 0,1,2,3,4,5 e i(i). (te) 1. ,2,3,4 ,5.

(59) 53. Nr. rqu.gto (72r,. o. pnimeiro e. o. o boson d respectivamente. Note que o boson 7/ não. sto. de messa pðn.. te¡mos. ¡egundo ncmbros. e o fcrmion possui masse.. Tcmos en tão. %e=. ,f7Cí %r= o f. ¡. Gt- o). "2,Æ Ç õ. de modo que a Pel,agão de massa. z. æ-¿). (7t' c). Mr'Øf : %o. :2. 0:'ì. é. satisfeita. R scgui n,. as interações boson-boson (do 3e ao. 7a. da equação 7n são t¡atadas em termos de diagPamas a nível. de 'á¡vore' (sem Ioops intecnos) e no Iimite de momento zero. Di rgramas com Ioops intecnos se referem a intenações em energias maiores (onde a auto-energia das pantícutas é impontante) e, como o hamittoniano (70) peproduz epenas as propriedades em baixas energi as do membro. (..,l. diagrames não são l-evados em conta.0s. sistema, tais. I. "'ll. camPos. são escritos em te¡mos de operadones de criação. e aniquiIação,. t. Ín=k n /¿r) (/, + Ár" 7/,. V %7r. v. %¡r. (71- a). 0/-/).

(60) tJ4. t?. onde V ê um votume de notm.Iizrgfio, o queI pode ¡er igul[¡do. .o voIume (depois da redugão P.r! um sistema finito) nucteà¡, e 777f é a m¡sse do boson ff qu. no f inal' f a¡emos tcndcp p.n. zero. Essa pequen. m¡¡¡r é intcoduzida plP. ct iminar probtcm¡s com divcrgênci a quando os di rgî!mÐs bosons. Eomo exempto mostPlmos eIguns envotvcm teis diag¡.mas (¡etinados da refer€nci¡ 9) G su.s cont¡ibui9ões. á. lo. d¿. 6. 1. Ç¡. do. P intereção pepresentada poP asse diagPema vem do terceiro e quarto memb¡os do hamittoniano (72).5ua contribuigão é dada pon (vértice esquerdo) x (proprgador) x (vértice dineito) com t.. ì. o PesuItado. /¿ tF. Ç'¿. )' z (ç ¿, a: a, ao) I (¿. onde o pnopagador (no. 2. t. / llo. a". ß.. ,a. ff.. rto)'. imi te de momento zero). L. % t.. *a. v. È. ff". é. I -mC2. ltsS.

(61) ËB J!,. È. Es¡¡ intcr.gto vem do te¡ceÍ ro nembro d¡ eq. (72, com um. cont¡ibuigão drd¡ por z. ß6c'e) ti ¿! ¿o I, (tvøv )". /%í - %o". onde o tittimo termo é 1tr. po tênc. i. rs. (7(). /. o. pPopagrdor.. ¡té. de. 1. ?. Expandindo (76). o¡dem tcmos. - (¿,ød¿)". (ru'o¡ %J. 4vz No tlttimo parênteses,. 't. o. primei ro tenmo é divergente. ( tem. 7'/?/ no denomi n ado r ) enquanto que o segundo é f inito. De ¡cordo com a Peferênci a 3, os termos divepgentes se canceIam de todos os contribuiçóes as i den t i c amen te qu ando possíveis diagremas são somadas. (Não conseguimos e I iminar essÐs divergências. No apêndicel rortc¡mos as dificuIdades que encontnamos com esse do. mode I o ).. (¡. 3. do tl¡. em. d;.

(62) È. 5ó. Es¡: dirgtrm., îeppestnttndo um. intertgto quárticr cntnc o¡ bosons ( /vem do 5P e 79 mcmbros da eq. (72). 5ur cont r ibui gtro. é. I. 2. Qo. ¡.. a¡ Øo). G7). r quendo é fei t a r substituigão ¿tFa ¿ paPe a m.ssa do boson d , todos os diagî.mes convergentes tem e lle2.vz. mesma dependênci " Note- se eua. operado¡es a e b são Peegrupados de. Hgona os. e apapecerem de forma expt ícita os invaniantes. de. modo. Easimin. pa¡a o U(6), 0(6) e 0(5).. ile fu). - t/t. Qo) 0ø(/) =. Em. It/,. 0". (t). os. þ,ll). termos. = ã/,"". --. desses. ; ,lrfr)= F¿l¿,. z (¿-en - d, o*f. 22n. -//e 'hw-Z (¿'* /, -. ll,. l-¡". o, (r) = Zß|/, ; ã(¿ro¡ = Zd, o¡ -/¡ar)(/ilj /,1/, ) -. trar)'. 0s) -. li/, )'. ,tJr. invari antes o. hami. Itoni ano bosônico. ê.

(63) lt. 37. escri to. Hs = +. como. Hnil,(v). Os (r) "2,. +. û/aëuv). z. N6(r). 0rø). [-tM(:) +. 3. O,. (ø) f. J 0t (îÛ + JO"ßrr)J 0z). onde muttipl.ice-se por U pape fo¡necer o îesutt¡do ô. em. unidrdes dc enengla e nto en unidades dc cnergia Por voIume.. Itoniano acima ainda não está pronto peF. se¡ comprrrdo com o IBM. É preciso tr¿tar o probtema do ntlmero de partícutas, que não é uma quantidade consenvada, e o c.so de votume infinito.. 0. hami. 0uanto ao FesoLvem o. primei ro. probIeme projetando. caso, Nambu o. hami Ltoniano. diagonaI em enengia pepa uma base diagonat li. e. em. Muker. ¡. ""9). de uma base. ntimero. t partícuIas. Isso é feito notando que i,-, ú4t { que / r-, !'¿u { de modo gue se pode esc¡tveî. de e. a,-(u+Ð/ø Á = .-¿(u- ù)/€ onde u aniquita um par de pactícutas e v um per. de bu r acos. M¡ntendo somente u ou v pois part ícuIas e buracos podem. t{. se. .. î. cohside¡¡dos'pantfcut¡st nrssa îrppascntegão, os modotT " to¡n.m-se idênticos com uma m.ss¿ hlil=?rç/2. Em te¡mos Í do opan¡dor !., o hamiItonirno (7?, é cscnito como.

(64) i*. 5e,. H¿=û/¿)4^¿. *. I. k/sä'ù[N6-etG/Ð. t]. fu). onde os opepadones de Casirni r são egora f unções de !¿ e tem. a. fo¡ma gue antes. P¡¡a o scaundo ca5o, notemos gut um impIica em um sistena finito, número de pantfcuIas finito cuio cf ei to é o de diminui ¡ os pt'oprgadores dc todos os dirg¡amas. Essa redugão ocoppe pois.goPe há uma incerteza no momento. Por exempIo, p.pa nucteos com A¿ 2OO' (raio nucteer^r 7 fm) o ppopagado¡ do diagPame 1 toPne-5e. nesma. itr. /. 4 onde R. dado por. --+. ê. /. -/. o ¡aio nucIear /=. de redução é. e. trr/,fmn C=1. 13.. (ez). I + ¿z7pz. mÍ * Aþu. /. é o comprimento de coePênci. a. Poctanto, nesse exempIo, o faton Na. verdade, esse f ator. deve. se. n. dif erente pane dif enentes di agramas mes foi tomado como um f ator de co¡r'egão gIobal.. ,(1. g). 0 comprimento de coenência pode seî interpPetado como a distância entre os constituintes de um peP de Eoopen. Pon exempto, papa nucteos ne região de massa R-200, (momento ¿e'fermi pf ,u ?40 I'lev) o gep de encrgia é .Pîoximad¡nente O,75 l,lev o que impl.ict em m=3 l,lev e em ./-lO f m gue é menor que o comp¡inento de coê¡êncie no mcio infinito ('-'20 fm).. i.

(65) R. I. 59. I. conte esse f¡tor hemi I toni ¡no bosönico é escrito como Lev. ,ft = 44 Éa. equ. ando. em. de coPregão,. ØrN, * (c/a õ'/)[-,1¿'- o, * (rþ). agäo. ac ima. IBM co ¡ nespondendo. que se¡á comparade com o. eo I imi te. Y. tt]. hami I. o. @). toni ano. do. -instáveL.. cfCøezv) tem o va[or de coeficiente epnoximadamente 4OC-lA Mev¡, 200 E Kev pðna A¡¡200. No IBM, os coeficientes na região da Ptatina variam de -30 a -50 Kev para o tenmo 06 e de 40 a 60 Kev Para o termo 0S' 0 hamiLtoniano (83) peproduz esses resuttados, em média, pãre 0. E-'114. t'. Note que o hamiItoniano acima não possui o termo conrespondente ao invariante de fasimir do 0(3). De acondo. com a neferência 3, não é possíveI obte¡ essè espontaneamente at¡avés do h¡mittoniano de partida.. (,ù. termo.

(66) ó0. EONCLUSãO I. Hpesar de näo termos obtido e copFespondência. entre o BEs e o IBt'|, é prematuro dizer que o modeIo Pîoposto pop Nambu e llukerjcc 9) seja f¡Lho.0 modeIo util.iza em 3ue formuI ação uma quantidade excessiva de .PPoximações (o gue não é de todo ¡uim papa uma dcscnigão qual. it¿tiva) e na passagem do sistema infinito a finito emp¡ega um fator de corregão C um tanto quanto forgado mes, o ponto principaL näo neside nes appoximaçöes uti Iizadas na adequagão do hami I toniano tipo modeIo Cf com o IBM reaI ista, mes sim em saber quão boa é a conexão entre o BC5 com empareIhamento monopotar e quadrupoIar e o hami Ltoniano tipo modeIo ( (ven equegão 70r.. t:,. (iÞ. fomo vimos no cap í tuIo 3, o estado bosônico constituido pop panes de nucIeons ecoptados a J=0 e J=2 nüo é um escatar (invariante) sob rotaçöes. No entanto, o ó (que são hamittoniano 70 do capítuIo 4 possui os campos tn inteppretados pictoricamente como paîes de nucteons) com bom momento angutar, isto ê, o momento anguIan é um bom número quântico e o hamiItoniano é invariante sob es operagões de rotagão no espago tnidimensinat. Isso deve sen assim pois o há'miLtoniano do IBt'l também é inva¡iante sob rotações. 0 que queremos dizer coír isso é que enquanto no BES os estados constituídos por pares ¿coptados ¡ J=0 e J=2 não tem momento.

(67) ól. anguta¡. como. hrmi I toni. rno 70. pouco obscupa. a. bom ntlmero quSntico, t em bom nomen to rngu I r n I i gegão ent ne os doi s .. Outro ponto importante é o f¡to. os ."^eo, þ e isso deixe. do um. que o BES nto. mistu¡a protons e neutnons, isto ê, ou trabathamos com protons ou com neutrons. Já o IBM não distingue esses dois tipos de pantlcuIas e, lssim, a conexão entre BCs e IBM fica um pouco prejudicada. No entanto, há a possibil,idade de protons e neut¡ons serem tratados (via BES) conjuntamente através de um acopI amento a modos coIetivos de densidad" 9).. Trata-se, contudo, de uma idéia obscupa. Note ainda que o t¡atamento mutuamente excIusivo entre protons e neutronr 9) é que penmitiu e pnojegão do hamiItoniano (73) em um subespaço diagonaI em núme¡o de partícuIas como foi feito (ver equagões 80-a e 80-b), isto ê, conside¡ando sÓ partícuIas ou só buracos. Por outro Iado, no IBM os bosons são "fonmados' pon papes de protons (pantícuta ou buraco) e papes de neutrons (part fcuta ou buraco) de modo que. nume. apIicagão do IBM a um ntlcteo reaI a difeîença entre bosons-. protons e bosons-neutrons é compIetamente igno¡ada ( tatvez näo sej a ta¡de para refopgep mais uma vez que tratemos eo Iongo deste trabaIho com a versão mais simpIes do IEM-. rìð [ i teratura, IBM-1 , embona exïstam versões onde a distinção ent¡e protons e neutrons é Ievade em cont a exp L ici t amente- o chamado IBt'l-2) f requentemente denominada r. .. al.

(68) 6?. Po¡t:¡iolmcnte,. ¡crir intcrr¡sente î tz¿¡ um t¡¡tam:nto BC5 [cv¡ndo em conta ambrs es espécies d¡ part fcuIas (protons e neutnons), seguin o nesmo modeIo pnoposto po¡ Nanbu e ilukerjee 9) e, finrImente, f¡trî a comprrrgão com o IBH-2. Ncsse c¡so ê nGcesstl¡io inctuir expticitrmente o número quântico de isospin. t-. 0utro ponto intcrcssantc serie ve¡ifica¡ e pos¡ibil.idade de se obter ntlcIeos defo¡mados a pertin de um h¡mi Itoni¡no efetivo escrito em termos dos bosons f/" d ao BC5. Já que esses bosons näo tcm momento anguIar como bom núme¡o quântico (são deformados) tatvez fosse possívet ge¡ap, a partin detes, um campo nuctear que apresente can ac. t (.. ter. ísti. cas rot acionai s..