Nilson Mascarenhas de Moraes Almada
Cálculo Numérico Bidimensional do Campo
de Temperaturas de Flanges de Junção de
Turbinas
Campinas 2015.
Dedico esse trabalho a todos que me apoiaram neste desafio, em especial à minha esposa e aos meus filhos.
Este trabalho não seria possível sem a ajuda e motivação de várias pessoas as quais presto aqui minha homenagem:
Aos meus pais, pois sem eles eu não estaria aqui e esse trabalho nunca seria realizado. Ao meu orientador por ter me dado esta oportunidade de crescimento e pelo auxilio e orientação.
À minha esposa e filhos, que sacrificaram do tempo em família para que eu me dedicasse na execução dest trabalho.
Esta dissertação tem como objetivo a aplicação do método explícito bidimensional de volumes finitos para o cálculo do campo de temperatura, em regime não permanente, de flanges de junção de turbinas a vapor, durante sua partida (comissionamento do equipamento). Apesar do flange de junção ter uma geometria irregular, foi considerado a utilização de uma malha cartesiana por gerar bons resultados. Um conjunto de critérios foi estabelecido para a definição do tamanho dos elementos da malha, uma vez que a junção é composta de prisioneiros e do próprio flange. Pelo balanço de energia, foram desenvolvidas equações explícitas bidimensionais de volumes finitos para cada um dos tipos de nós. Alguns nós faziam parte da fronteira entre o prisioneiro e o flange. Para isso, foi usado o conceito de resistências térmicas, onde cada quadrante do elemento do nó recebeu a informação dos materiais do flange ou prisioneiro. Como validação da metodologia desenvolvida, foram realizadas três simulações. A primeira foi a validação da malha desenvolvida, onde foram calculados os perfis de temperatura em uma região específica do flange, para tamanhos de elementos menores do que os estabelecidos pelos critérios de geração de malha e seus resultados foram comparados entre si. A diferença dos resultados obtidos com a malha desenvolvida pela malha mais refinada foi menor que 1%. A segunda simulação foi o comparativo dos resultados dos campos de temperatura com os resultados do cálculo explícito unidimensional de volumes finitos e de elementos finitos através de um software comercial. Neste caso os resultados obtidos através do método bidimensional ficaram mais próximos do método de elementos finitos do que o método unidimensional. E a terceira foi o comparativo da variação de temperatura no sensor, com os mesmos métodos descritos na segunda simulação, mas comparados também com os valores reais obtidos em campo. O método bidimensional apresentou resultados muito mais próximos aos obtidos em campo comparado aos outros métodos. Levando em conta os resultados obtidos com a solução bidimensional e as considerações feitas, referentes às aproximações utilizadas nas análises, conclui-se que o método apresentado gerou resultados satisfatórios e válidos para a utilização de análise de distribuição de temperatura em flanges de turbinas. Como complemento deste trabalho, para projetos futuros, pode-se incluir a geometria do rotor para analisar sua influência na transferência de calor para o flange e com isso obter resultados ainda mais próximos do real.
This work aimed to the application of two-dimensional explicit finite difference method for calculating the temperature field in non-steady state steam turbine joint flanges at the start up (commissioning of the equipment). For a mesh type which generates good results and the joint flange having an irregular geometry was considered to use a Cartesian grid. A set of criteria was established to define the elements sizes, since the junction is compound of studs and the flange itself. Trough the energy balance, two-dimensional explicit finite difference equations for each the node types have been developed. Some nodes belonged to the border between the bolts and the flange. For this, the concept of thermal resistance was used, where each node element received the information of the bolt or flange or materials. As validation of this methodology, three simulations were considered. The first was the validation of the developed mesh, where temperature profiles were calculated for a specific region of the flange, for larger and smaller sizes of elements than those established by meshing criteria and the results were compared. The difference between the results from the applied meshing criteria and the smallest element sizes was less than 1%. The second simulation was the comparison of the results of temperature fields with explicit calculation results of the one-dimensional finite difference and finite elements using commercial software. In this case, the 2-D method results were closest to commercial results when compared to 1-D. And the third was the comparison of the temperature variation in the temperature probe with the same methods described in the second simulation, but also compared as actual field values. The method 2-D presented results much more similar for the real results than the others methods. Considering all the results obtained from the 2-D solution and the approximations used in this work, it is concluded that the method presented satisfactory results generated and valid for the use of temperature distribution analysis for turbines flanges. In addition to this work, for future projects may include the rotor geometry to examine its influence on heat transfer to the flange and by that get even closer to real.
.
Figura 1.1 Turbina Laval ...18
Figura 1.2 Turbina desenvolvida por Parsons...19
Figura 1.3 Turbina montada ...19
Figura 1.4 Conjunto junção carcaça ...20
Figura 1.5 Câmara de maior pressão ...20
Figura 3.1 Variação da temperatura no tempo ...25
Figura 3.2 Fluxo de calor em uma placa ...25
Figura 3.3 Esquema de malha pontual para problema unidimensional ...28
Figura 3.4 Variação da temperatura pelo tempo através dos três métodos ...30
Figura 3.5 Volume de controle para o caso bidimensional ...32
Figura 3.6 Exemplo de aproximação de uma geometria complexa ...33
Figura 3.7 Classificação de um corpo no campo triangular...34
Figura 3.8 Geração da Malha no ANSYS ...35
Figura 3.9 Distribuição de temperatura no ANSYS ...35
Figura 4.1 Vista em corte da Câmara da Roda ...39
Figura 4.2 Representação da turbina a vapor ...40
Figura 4.3 Aproximações do volume de controle ...41
Figura 4.4 Geometria genérica do flange de junção ...41
Figura 5.1 Representação da geometria nodal...42
Figura 5.2 Volume de controle para o caso bidimensional ...43
Figura 5.3 Distribuição dos tipos de nós ...44
Figura 5.4 Exemplos de nós de fronteira...44
Figura 5.5 Representação do Nó Tipo 5 ...46
Figura 5.6 Representação do Nó Tipo 5 com 3 elementos de flange e 1 de prisioneiro ...48
Figura 6.1 Representação genérica das dimensões x e y ...49
Figura 6.2 Geometria genérica para o critério entre prisioneiros ...50
Figura 6.3 Cotas necessárias para o cálculo do critério entre prisioneiros ...50
Figura 6.4 Representação do critério dos prisioneiros ...53
Figura 6.5 Representação da malha gerada ...53
Figura 7.1 Geometria de estudo para as simulações ...55
Figura 7.2 Posicionamento do sensor de temperatura...56
Figura 7.3 Malha pelo critério de geração de malhas da metodologia ...58
Figura 7.4 Perfil de temperaturas calcula para cada malha gerada ...59
Figura 7.5 Distribuição de temperatura em t = 6800 [s] ...61
Figura 7.6 Distribuição de temperatura pelo Método Unidimensional ...62
Figura 7.7 Malha gerada pelo Método de Elementos Finitos ...62
Figura 7.8 Distribuição de temperatura pelo Método de Elementos Finitos ...63
Figura 7.9 Perfis de Temperatura ...64
Figura A.4 Representação do Nó Tipo 2 ...79
Figura A.5 Representação do Nó Tipo 3 ...80
Figura A.6 Representação do Nó Tipo 7 ...81
Figura A.7 Representação do Nó Tipo 8 ...82
Figura A.8 Representação do Nó Tipo 9 ...83
Figura A.9 Representação do Nó Tipo 10 ...84
Figura A.10 Representação do Nó Tipo 11 ...85
Figura A.11 Representação do Nó Tipo 12 ...86
Figura B.1 Condição secundária xn>∅n2 ...89
Figura B.2 Condição secundária -∅n2 < xn≤ ∅n2 ...89
Figura B.3 Condição secundária xn< L - ∅n2...90
Figura B.4 Condição secundária L+∅n2>xn≥L-∅n2 e yn≥∅n2 ...90
Figura B.5 Condição secundária L+∅n2>xn≥L-∅n2 e 0<yn<∅n2 ...91
Figura B.6 Condição secundária L+∅n2>xn≥L-∅n2 e yn< 0 ...92
Figura B.7 Condição secundária ≥ 2 ...93
Figura B.8 Condição secundária < 2 ...93
Figura B.9 Condição secundária ≥ 2 ...94
Figura B.10 Condição secundária < 2...94
Figura B.11 Condição primária > − ...95
Figura C.1 Representação dos elementos na malha ...97
Figura C.2 Representação dos nós no elemento ...98
Figura C.3 Tipo 0 de intersecção ...99
Figura C.4 Aproximação do Tipo 1 ...100
Figura C.5 a e c para o Tipo 1...101
Figura C.6 Aproximação do Tipo 2 ...102
Figura C.7 b para o Tipo 2 ...102
Figura C.8 Aproximação do Tipo 3 ...103
Figura C.9 d para o Tipo 3 ...103
Figura C.10 Aproximação do Tipo 4 ...104
Tabela 7.1 Propriedades dos materiais ...56
Tabela 7.2 Propriedades do vapor ...57
Tabela 7.3 Propriedades do vapor ...58
Tabela 7.4 Comparativo dos valores de temperatura ...59
Tabela 7.5 Variação de temperatura para cada malha gerada ...60
Tabela 7.6 Comparativo de temperaturas entre Bidimensional e Ansys ...63
Tabela 7.7 Comparativo dos valores de temperatura por método ...65
Tabela 7.8 Variação de temperatura uni e bidimensional com ANSYS ...65
Tabela 7.9 Variação de temperatura no sensor ...67
Tabela 7.10 Variação de temperatura uni e bidimensional com ANSYS ...67
Tabela A.1 Equações de volumes finitos para cada tipo de nó ...74
Tabela A.2 Critério de estabilidade para cada tipo de nó ...75
Tabela B.1 Critério faces com prisioneiros para determinação do valor de dx1 ...87
Letras Latinas
Bi - número de Biot [-]
c1 - constante de integração [-]
c2 - constante de integração [-]
cp - calor específico a pressão constante [J/kg.ºC]
dx - comprimento do elemento [mm]
dx1 - comprimento do elemento pelo critério das faces com
prisioneiros
[mm]
dx2 - comprimento do elemento pelo critério entre prisioneiros [mm]
dx3 - comprimento do elemento pelo critério entre faces [mm]
dy - altura do elemento [mm]
dy1 - altura do elemento pelo critério das faces com
prisioneiros
[mm]
dy2 - altura do elemento pelo critério entre prisioneiros [mm]
dy3 - altura do elemento pelo critério entre faces [mm]
̇ - energia [W]
f - fator que determina o método de discretização em
volumes finitos
[-]
h - coeficiente de transferência de calor [W/m2.K]
H - altura do flange [mm]
Hg - altura do guia da carcaça [mm]
k - condutividade térmica [W/m.K]
L - comprimento do flange [mm]
Lg - comprimento do guia da carcaça [mm]
nmin - número mínimo de prisioneiros
q - Taxa de transferência de calor [W]
q" - fluxo de calor [W/m2]
s - comprimento total da placa [mm]
S - taxa de geração de calor por unidade de volume [W/m3]
Sc - taxa de geração constante [W/m3.K]
Sp - Termo da taxa de geração dependente da temperatura [W/m3.K]
t - tempo [s]
Tob - temperatura da face do corpo submetida ao fluxo de calor [ºC]
Tvapor - temperatura do vapor [ºC]
VT - velocidade de variação de temperatura [ºC/s]
w - distância entre dois centros de prisioneiro [mm]
x - comprimento [mm]
xn - distância do centro do prisioneiro à uma face vertical do
flange
[mm]
y' - dimensão utilizada para o cálculo da altura nos critérios
de geração de malha
[mm]
y" - dimensão utilizada para o cálculo da altura nos critérios
de geração de malha
[mm]
yn - distância do centro do prisioneiro à uma face horizontal
do flange
[mm]
z - distância entre dois prisioneiros [mm]
Letras Gregas
a - difusividade térmica [m2/s] DT - variação de temperatura admissível [ºC] Dt - passo de tempo [s] Dx - variação de comprimento [mm] Dy - variação de altura [mm] dx - diferencial em x [mm] dy - diferencial em y [mm] f1 - diâmetro do prisioneiro 1 [mm] f2 - diâmetro do prisioneiro 2 [mm] fn - diâmetro do prisioneiro 3 [mm] r - massa específica [kg/m3] Superescritos 0 - instante anterior 1 - instante atual
2 - índice em y para o cálculo dos critérios de geração de
malhas
3 - índice em y para o cálculo dos critérios de geração de
malhas
4 - índice em y para o cálculo dos critérios de geração de
malhas A - propriedade do material A Ar - energia armazenada B - propriedade do material B C - propriedade do material C D - propriedade do material D E - ponto nodal à direita e - ponto nodal à direita
entra - índice de entrada de energia
Fo - Fourier [-]
g - energia gerada
i - índice de cada material N - ponto nodal acima n - ponto nodal acima
n1 - indice referente ao primeiro prisioneiro n2 - indice referente ao segundo prisioneiro P - ponto nodal central
S - ponto nodal abaixo s - ponto nodal abaixo sai - índice de saída de energia vapor - propriedade do vapor W - ponto nodal à esquerda w - ponto nodal à esquerda x - índice em x
y - índice em y
Abreviações
cte - constante min - valor mínimo
1 INTRODUÇÃO ... 18
2 OBJETIVOS ... 22
3 REVISÃO DA LITERATURA ... 23
3.1 Métodos de cálculo de campo de temperaturas ...23
3.1.1 Método Analítico Unidimensional ... 24
3.1.2 Métodos Uni e Bidimensional de volumes Finitos ... 28
3.1.3 Métodos dos elementos finitos ... 33
3.2 Técnicas de Geração de Malhas...36
3.3 Geração Elíptica ...36
3.4 Geração Multiblocos ...37
3.5 Método Cartesiano ...38
4 APROXIMAÇÃO DA GEOMETRIA DO FLANGE DE JUNÇÃO ... 39
5 CÁLCULO BIDIMENSIONAL DE VOLUMES FINITOS NO FLANGE DE JUNÇÃO DE TURBINAS...42
5.1 Geral ...42
5.2 Definição dos tipos de nós ...44
5.3 Cálculo das equações de volumes finitos para cada tipo de nó ...45
6 CRITÉRIOS PARA DEFINIÇÃO DA GERAÇÃO DA MALHA ... 49
6.1 Critério das faces com os prisioneiros ...49
6.2 Critério entre os prisioneiros ...50
6.3 Critério entre faces ...51
6.4 Critério dos prisioneiros ...52
6.5 Ajuste do flange ...54
7 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 55
7.3 Simulação 3: Comparativo da temperatura no sensor com os resultados gerados pelas
simulações uni, bidimensional e ANSYS com caso real ...66
8 CONCLUSÕES... 69
Referências 71 APÊNDICE A – Equações de Volumes Finitos ... 74
A.1 Geral ...74 A.2 Nó Tipo 4 ...76 A.3 Nó Tipo 6 ...77 A.4 Nó Tipo 1 ...78 A.5 Nó Tipo 2 ...79 A.6 Nó Tipo 3 ...80 A.7 Nó Tipo 7 ...81 A.8 Nó Tipo 8 ...82 A.9 Nó Tipo 9 ...83 A.10 Nó Tipo 10 ...84 A.11 Nó Tipo 11 ...85 A.12 Nó Tipo 12 ...86
APÊNDICE B - Critério das Faces com os Prisioneiros ... 87
B.1 Geral ...87
B.2 Valor de dx1 ...89
B.3 Valor de dy1 ...92
APÊNDICE C – Cálculo da área de Preenchimento do Prisioneiro ... 97
C.1 Geral ...97 C.2 Tipo 0 ...99 C.3 Tipo 1 ... 100 C.4 Tipo 2 ... 101 C.5 Tipo 3 ... 103 C.6 Tipo 4 ... 104 C.7 Tipo 5 ... 105
1
INTRODUÇÃO
A história das turbinas a vapor se dá início no século XIX, onde diferentes inventores apresentaram várias proposições para transformar energia térmica em mecânica utilizando a velocidade do fluxo de saída de vapor.
O maior progresso do desenvolvimento de construção de turbinas a vapor ocorreu no final do século XIX, quando Gustav Laval (Suécia) e Charles Parsons (Inglaterra) , independentemente um do outro, aperfeiçoaram o equipamento (Schegliaiev, 1978). Esse desenvolvimento permitiu o uso das turbinas como o equipamento de acionamento em embarcações.
Na turbina de Laval, construída em 1883, o vapor entra por um ou vários bocais, obtendo uma velocidade considerável e se dirige para as palhetas receptoras em um disco no eixo da turbina, conforme mostrado na Figura 1.1.
Figura 1.1 Turbina Laval
Já na turbina de Parsons, desenvolvida em 1884, a expansão do vapor acontece não somente em um estágio, mas em vários estágios consecutivos, conforme Figura 1.2.
Figura 1.2 Turbina desenvolvida por Parsons
A turbina a vapor é composta da montagem de vários componentes, onde cada um exerce uma função no equipamento. A Figura 1.3 mostra um exemplo de uma turbina.
Figura 1.3 Turbina montada
Um dos conjuntos de componentes importantes para o bom desempenho do equipamento é flange de junção da carcaça, que é a montagem das carcaças superior e inferior através de parafusos. O uso de parafusos de alongamento (prisioneiros) resulta em uma melhor expansão térmica do conjunto (Dietzel, 1980).
Os flanges e prisioneiros operam em condições de compressão e tração. Seus projetos são baseados somente nas forças de tração (Shlyakhin, 1965). A Figura 1.4 mostra o conjunto.
Figura 1.4 Conjunto junção carcaça
A injeção inicial de vapor em uma turbina, para que a mesma atinja sua rotação nominal e comece a gerar carga, é chamada de partida da turbina. A partida deve ser feita de tal forma que não comprometa a integridade física do equipamento, além de assegurar uma passagem rápida pelas rotações críticas do rotor.
Na partida, alguns componentes, principalmente carcaça e rotor, devem ter os campos de temperaturas controlados, com o intuito de evitar tensões térmicas. O controle é realizado através de curvas de partidas, podendo ser feito através da medição da variação de temperatura pelos sensores de temperatura instalados no flange de junção na câmara de maior pressão da turbina. A câmara de maior pressão é representada na Figura 1.5.
Figura 1.5 Câmara de maior pressão
O campo de temperaturas gerado na junção da carcaça, durante a partida da turbina, é influenciado pelo coeficiente de transferência de calor do vapor, que é dependente da pressão, temperatura e vazão de vapor. Esse campo pode ser determinado por vários métodos, como:
analítico, implícito e explícito unidimensional e bidimensional de volumes finitos, elementos finitos, etc.
O método analítico apresenta a solução exata, porém a resolução do seu equacionamento pode ser muito complexa, quando considerada a resolução bidimensional. Para o caso unidimensional a solução se torna mais simples.
O método explícito de volumes finitos é o mais simples de se calcular, porém quanto mais preciso for o elemento (menor tamanho), menor será o intervalo de tempo, devido aos seus critérios de estabilidade. Essa condição não existe no método implícito, entretanto, este método já é um pouco mais complexo.
Já o método dos elementos finitos é um método de aproximação mais preciso, por utilizar malhas não estruturadas no seu cálculo. Porém, o uso deste método requer um recurso computacional de investimento alto.
Os fabricantes de turbinas calculam a variação de temperatura através do cálculo explícito unidimensional de volumes finitos. Esse método é simples quando comparado às análises feitas por elementos finitos, como por exemplo, pelo software ANSYS, porém apresenta um custo de implementação e recursos computacionais baixos.
2
OBJETIVOS
O objetivo deste trabalho é a aplicação do método explícito bidimensional de volumes finitos para o cálculo do campo de temperaturas, em regime não permanente, de flanges de junção de turbinas a vapor, conhecidos os valores do coeficiente de transferência de calor, variáveis com o tempo, durante a partida do equipamento.
Além disso, desenvolver uma metodologia de geração de malhas cartesianas considerando o flange no formato de um polígono acrescentado de geometrias circulares que representam os prisioneiros.
Outro objetivo é a validação da metodologia desenvolvida. Para isso três simulações são consideradas:
- Simulação da malha variando os tamanhos dos elementos e comparando os perfis de temperatura gerados por cada tamanho considerado;
- Comparação dos campos de temperaturas gerados pelo método desenvolvido no trabalho com os resultados do cálculo explícito unidimensional de volumes finitos e de elementos finitos através de um software comercial;
- Comparação da variação de temperatura no sensor de temperatura instalado no flange de junção, com os mesmos métodos descritos na simulação acima e com os resultados reais de campo.
3
REVISÃO DA LITERATURA
Neste capítulo será feita uma apresentação sobre alguns conceitos envolvendo métodos de cálculo de campo de temperaturas e técnicas de geração de malhas.
3.1 Métodos de cálculo de campo de temperaturas
Muitas são as formas de calcular o campo de temperaturas em um corpo, seja de geometria cilíndrica, retangular ou complexa. O método de solução exata é o analítico, entretanto, nem sempre é possível utilizar-se deste método na resolução de problemas devido à complexidade da geometria ou do próprio problema em si.
A importância do cálculo do campo de temperatura se dá pela suposição de que as tensões térmicas nos componentes das turbinas são proporcionais às diferenças de temperatura média e de uma superfície do metal (Leyzerovich, 2007).
A influência do campo de temperaturas pode refletir problemas em outros componentes durante a partida. Investigações de propagação de trincas em rotores de turbinas a vapor apresentam natureza de fadiga. A razão principal da fadiga se deve às partidas periódicas do equipamento, principalmente onde não foi considerado um procedimento adequado quanto ao cálculo e controle do campo de temperaturas (Bovsunovsky, 2015).
Vários métodos numéricos foram desenvolvidos para facilitar a resolução de problemas de campo de temperaturas, obtendo resultados confiáveis aproximados. Podem ser citados os métodos implícitos e explícitos uni e bidimensionais de volumes finitos, método dos elementos finitos e outros. A escolha de um método ou outro se dá através da análise do problema a ser estudado, bem como, dos recursos computacionais disponíveis para a execução.
Nesta seção serão apresentadas as descrições básicas dos métodos: analítico unidimensional, volumes finitos bidimensional para o campo de temperaturas em placas e para elementos finitos será apresentado o software utilizado para o comparativo das simulações.
3.1.1
Método Analítico Unidimensional
Para a definição das curvas de partida da turbina, considera-se uma diferença de temperatura admissível entre as câmaras da carcaça em todo período de partida do equipamento. O acréscimo dos valores de temperatura em cada câmara é proporcional ao aumento de injeção de vapor (vazão mássica) na admissão da turbina, também conhecido como aumento de carga. Na abordagem pelo método analítico unidimensional, o flange é considerado como uma parede plana sem geração com propriedades constantes.
Uma vez estipulada uma diferença máxima de temperatura admissível, o processo de partida é otimizado quando a taxa de variação de temperatura (°C/s) é constante em toda extensão do flange. Isto ocorre quando t®¥ na solução analítica para uma parede plana com uma face adiabática e a outra submetida a um fluxo de calor constante (Arpaci, 1966).
A variação de temperatura admissível (Indústria no segmento de turbinas a vapor, 2011) entre a superfície do corpo que recebe o fluxo de calor e a temperatura média do flange, DT, para o caso unidimensional é dada por
∆ = − (3.1) Onde:
∆ … Variação de temperatura admissível;
… Temperatura da face do corpo submetida ao fluxo de calor; … Temperatura média.
Quando a taxa de variação de temperatura é constante, as temperaturas internas, média e do vapor se propagam paralelamente (através do controle da vazão de vapor). Isso é mostrado na Figura 3.1.
Figura 3.1 Variação da temperatura no tempo
A equação a seguir representa a taxa de variação de temperatura, ondeVT é velocidade de variação da temperatura.
= = (3.2)
Seja o flange representado pela placa unidimensional na Figura 3.2, onde S é a espessura do corpo e Tf a temperatura do fluido. A equação da condução de calor
unidimensional sem geração e com condutividade térmica, k, constante, é escrita como:
= .
(3.3) Sendo a difusividade térmica, dada por:=
. (3.4) Onde:... Massa específica do material.
... Calor específico a pressão constante.
Aplicando (3.2) em (3.3):
=
(3.5) Esta equação é resolvida com uma integral dupla.As condições de contorno são: Para x = 0 (na face isolada):
= 0 (3.6)
Para x = s, tem-se T=Tob.
Integrando:
= . = . + (3.7) A constante da integral c1 é obtida na região do isolamento com x = 0:
= . 0 + = 0 => c1=0 (3.8)
A segunda integral:
( ) = . . = .. + (3.9) A constante da integral c2 é obtida com a condição de contorno em x = S e T = Tob:
= − .. (3.10) Com isso, a distribuição de temperatura é:
( ) = . . + (3.11) A partir de uma condição inicial e da variação de temperatura admissível,DT, é possível calcular a taxa de variação de temperatura VT e o fluxo de calor constante q” necessário para
mantê-la, bem como estimar o tempo para o processo de partida do equipamento. Na prática, são conhecidos os valores do coeficiente de transferência de calor, h, e de Tf para cada
intervalo de tempo na partida, permitindo o controle do processo de partida da turbina. O fluxo de calor é descrito através da seguinte equação:
3.1.2
Métodos Uni e Bidimensional de volumes Finitos
A solução da equação (3.3) é obtida variando o tempo t, com uma condição dada de distribuição inicial de temperatura T, obtendo seus valores no tempo t+Dt. Os valores conhecidos de T na malha serão denotados por , , e os a serem encontrados, no tempo t +Dt, serão , , (Patankar, 1980).
A equação da discretização é derivada pela integração da Equação 3.3 através do volume de controle mostrado na Figura 3.4 e sobre o intervalo de tempo t para t+Dt.
Figura 3.3 Esquema de malha pontual para problema unidimensional Então:
∆ =
∆
(3.13)
A ordem da integração é definida pela natureza do termo e é considerado c como constante. Para a representação de , assume-se que o valor do ponto da malha de T prevalece em todo o volume de controle:
c ∆ = c ∆x ( − ) (3.14)
= − = (( ) )− (( ) ) (3.15)
∆x( − ) = ∆ (( ) )− (( ) ) (3.16) Neste caso, , variam de t para t +Dt. Pode-se supor que:
∫ ∆ = [ + (1 − ) ] (3.17) Onde é um fator que varia entre 0 e 1.Usando as fórmulas similares para as integrais de e , deriva-se da Equação (3.19): ρc ∆x ( − ) = ( ) − ( ) + (1 − ) ( ) − ( ) (3.18) Com isso: = [ + (1 − ) ] + [ + (1 − ) ] + [ − (1 − )( + )] (3.19) Onde: = ( ) (3.20) = ( ) (3.21) = ρ ∆t ∆x (3.22) = + + (3.23) Valores de são interpretados nas variações de ~ , onde, = 0 leva ao método explícito, = 0.5 ao método Crank-Nicholson e = 1 ao método implícito. A Figura 3.5 mostra esta representação:
Figura 3.4 Variação da temperatura pelo tempo através dos três métodos
O método explícito assume o valor para toda a variação de tempo, exceto t +Dt. O método implícito postula que, no tempo t, abruptamente cai de para e permaneça nesse valor em o período. Já o método Crank-Nicholson assume uma variação linear de .
Para o método explícito,f = 0, a Equação (3.23) se torna:
= + + ( − − ) (3.24) Isso significa que não está relacionado com ou , mas é explicitamente obtido nos termos das temperaturas conhecidas , . Esta é a razão do método se chamar explícito.
Qualquer método considerando ≠ 0 poderia ser implícito, isto é, pode estar conectado com os valores desconhecidos de temperaturas e e a solução de um conjunto de equações simultâneas seria necessária.
O uso do método explícito é condicionado por: os coeficientes devem sempre ser positivos, porém, para a equação acima, o coeficiente de pode ser negativo. Para que esse coeficiente se torne positivo, Dt, deve ser pequeno o suficiente para que seja maior que
+ .
Para uma condutividade uniforme e ∆ = ( ) = ( ) , esta condição pode ser expressa como:
∆t< (∆ ) (3.25) A equação acima é conhecida como critério de estabilidade para o método explícito. Uma característica dessa condição é que se o valor de ∆x for diminuído para aumentar a precisão espacial o valor de∆t também será forçado a ser diminuído.
O termo “estabilidade” garante que estas oscilações não ocorram, entretanto não garante soluções plausíveis. Isso pode ser explicado como:
Para f = 0.5, o coeficiente de da Equação (3.28) se torna − ( + )/2. Para condutividade e malhas uniformes, este coeficiente pode ser visto como ∆ /∆ − /∆ . Se o intervalo de tempo não for pequeno suficiente este coeficiente pode se tornar negativo também. O aparente perfil linear mostrado na Figura 3.4 é válido para intervalos pequenos de tempo.
Para que o coeficiente de nunca seja negativo, o único valor aceitável é = 1, encontrado apenas no método implícito. Com isso, a Equação (3.23) se torna:
= + + (3.26) Onde:
= ∆ + (3.27) = + + − ∆ (3.28) Onde Sc é a parte constante da geração de calor e Sp é o termo referente à geração
dependente da temperatura
Para a equação diferencial geral bidimensional, onde S é a taxa de geração de calor por unidade de volume, tem-se:
Para a discretização da equação, tem-se a porção da malha em duas dimensões, mostrada na Figura 3.5. Para o ponto da malha P, os pontos E e W são os vizinhos na direção x, enquanto N e S são da direção y. O volume de controle ao redor de P é mostrado pelas linhas pontilhadas.
Figura 3.5 Volume de controle para o caso bidimensional
A assume-se que, o fluxo de calor, q”, prevalece sobre toda face de área Dy x 1. O fluxo através das outras faces pode ser obtido de forma análoga ao unidimensional.As deduções da equação de discretização serão apresentadas no Apêndice A. De forma geral, a equação de discretização pode ser representada como:
= + + + + (3.30) Onde: = ( )∆ , = ∆ ( ) , = ∆ ( ) , = ∆ ( ) , = ρc ∆x∆y ∆t (3.31) = + + (3.32) = ∆x∆y + (3.33) = + + + + − ∆ ∆y (3.34) N Dx n W w P e E y Dy x Volume de Controle s S
3.1.3
Métodos dos elementos finitos
Ferramentas comerciais de cálculos em elementos finitos são comumente usadas em aplicações industriais. Um exemplo dessas ferramentas é o ANSYS. Os resultados obtidos pela análise térmica, geralmente servem de entrada para as análises estruturais (ANSYS Mechanical users guide V150, 2013).
Em geral, para geometrias com formas complexas, sistemas de coordenadas cartesianas podem ser adaptados em condições que não representam fielmente a geometria complexa (Traupel, 1982).
A Figura 3.6 mostra essa imperfeição no contorno externo de uma geometria complexa.
Figura 3.6 Exemplo de aproximação de uma geometria complexa
De forma geral, essa consideração é levada para o cálculo de elementos finitos para condução de calor, onde como solução, foram considerados elementos triangulares adequando de forma satisfatória às geometrias complexas. Para a simulação utilizada no Capítulo 6, uma combinação de elementos triangulares e tetraédricos foi utilizada no cálculo.
A Figura 3.7 mostra outra geometria complexa com elementos triangulares.
Figura 3.7 Classificação de um corpo no campo triangular
As análises térmicas em regime não permanente basicamente seguem os mesmos procedimentos que as análises em regime permanente, sendo a diferença principal o carregamento dependente do tempo, onde essa dependência pode ser representada por uma equação ou uma curva aplicada às condições de contorno.
Alguns métodos podem ser usados para o cálculo das temperaturas no ANSYS. Um deles é o Método FULL, que usa um algoritmo Newton-Raphson (NR) para a solução das correções de temperatura. Este método permite múltiplas correções a serem aplicadas com o objetivo de se obter uma solução convergente.
Outro método é o Método QUASI, onde usa o algoritmo Picard, que altera a matriz térmica (usada no cálculo) somente se as propriedades dos materiais mudam significativamente na condição de regime não permanente.
A Figura 3.8 mostra uma malha de uma junção de flange considerando aproximadamente 72.000 elementos quadráticos e triangulares.
Figura 3.8 Geração da Malha no ANSYS
A Figura 3.9, mostra o campo de temperatura de um flange de junção de turbinas, bem como as distribuições de temperaturas mínimas e máximas através to tempo, utilizando o método FULL.
3.2 Técnicas de Geração de Malhas
Muitas são as aplicações na engenharia onde as geometrias de estudo são complexas e, muitas vezes, se faz a necessidade de descrevê-las numericamente para resolver as equações que governam o fenômeno em estudo.
Existem várias formas de se gerar um campo de pontos discretos que se adapte à geometria de estudo. Pode-se de forma geral, dividir entre métodos algébricos (onde se tem diversas formas de interpolação) ou diferenciais (onde se tem um sistema de equações diferenciais).
Um exemplo é a técnica de geração elíptica, onde um sistema de equações diferenciais parciais é resolvido, e as funções incógnitas são as coordenadas cartesianas e as variáveis independentes são as coordenadas curvilineares. Outro exemplo de método é o por multiblocos, onde os pontos da malha são calculados analiticamente (Mascarenhas, 2001).
3.3 Geração Elíptica
O sistema de geração de malhas elíptico, ou Bound Fitted Coordinates, permite a especificação de distribuição de malha em todos os contornos do domínio. Essa abordagem foi introduzida por Crowley (1962).
Winslow (1967) proporcionou um avanço nas técnicas de geração reconstruindo o sistema inicial em equações mais complexas na forma e no método de solução, porém numericamente mais simples, pois, no novo sistema as condições de contorno tornam-se mais simples.
3.4 Geração Multiblocos
Esta técnica consiste em subdividir uma geometria complexa em partes menores e acoplar às sub-malhas. A grande vantagem desta técnica é a concentração de malha nas regiões de maior interesse de estudo. Launder&Massey (1978) investigaram a qualidade da solução numérica em problemas de transferência de calor em geometria tipo banco de tubos com diferentes malhas.
Bisvas&Mitral (1994) utilizaram uma forma de interpolação para malhas justapostas, isto é feito onde uma malha principal contorna a região física e uma fronteira fictícia é criada entre as duas sub-malhas transferindo informações de um campo para outro.
Essa técnica se torna indicada para problemas físicos onde configurações com muitos objetos interagem criando domínios com geometrias irregulares, pois permite tratar de regiões diferentes dentro da mesma configuração sem que as linhas coordenadas sejam contínuas.
As malhas estruturadas podem ser casadas, onde dois blocos vizinhos são unidos juntamente sem sobreposição e malhas sobrepostas, que permitem que estes blocos de malhas possam estar sobrepostos um ao outro de forma a cobrir o domínio de interesse (Wang, 1995). As malhas sobrepostas são mais flexíveis que as malhas casadas, pois podem ser adaptadas às geometrias mais complexas, porém a transferência de dados é mais difícil.
Rai (1986) desenvolveu um tratamento de interface de esquema numérico na forma conservativa, para resolver problemas de descontinuidade para malhas casadas, e Berger (1987) apresentou uma discussão conservativa para malhas sobrepostas. Henshaw&Chesshire (1987) desenvolveram estruturas de dados para interpolação conservativa de malhas sobrepostas.
Vários fatores no campo da interpolação podem afetar a qualidade da solução dos problemas envolvendo gradientes e descontinuidades nas interfaces das malhas. Deve-se considerar que para alguns problemas a precisão da interpolação nas interfaces das malhas se faz necessário.
3.5 Método Cartesiano
A geração de malhas cartesiana é atrativa e se tornou popular devido à sua simplicidade e potencial de automação. Muitos estudos optam pela aproximação de geometrias complexas através das malhas cartesianas, como por exemplo, o método cartesiano dente de serra (sawtooth), propostos por Chai e Patankar (1994).
Para o estudo de transferência de calor por radiação em geometrias complexas os resultados foram satisfatórios. A vantagem deste método perante os outros citados é a simplicidade do gerenciamento do equacionamento e dos procedimentos numéricos. Entretanto, a desvantagem é a formação de “dente de serra” na superfície de contorno, fazendo com que o contorno permaneça com ângulos mesmo com a malha refinada.
Simulações envolvendo geometrias complexas representam uma tarefa desafiadora, pois existe a dificuldade de gerar um sistema de malhas em condições complexas de contorno que satisfaçam a solução numérica de forma simples, precisa e estável (Lin et al.,1998). Para tal, é necessário converter a geometria em uma representação numérica da malha.
Esta aproximação exige um esforço adicional na geração das novas coordenadas para cada objeto e uma complexidade maior na solução das equações. Para a geração automática dessa malha é exigido um esforço computacional grande (Thompson, 1996).
Um método cartesiano não estruturado é usado para resolver problemas com geometrias complexas (Karman, 1995). A malha é refinada no contorno através de subdivisões. Uma maior precisão no contorno é obtida com porções de elementos triangulares na malha cartesiana.
Outro método clássico para tratar geometrias complexas é a introdução de nós adicionais na intersecção nas fronteiras das geometrias e da malha cartesiana (Lapidus et. al., 1982). Embora este método gere uma aproximação de contorno suave, é criada uma instabilidade numérica na solução das equações discretizadas derivadas das equações governantes.
4
APROXIMAÇÃO DA GEOMETRIA DO FLANGE DE JUNÇÃO
Como já descrito anteriormente, o objeto geométrico de estudo deste trabalho é o flange de junção de carcaças de turbina a vapor, especificamente em uma de suas câmaras de pressão, denominada de câmara da roda.
A câmara da roda abriga uma secção do rotor e outros componentes da turbina, como caixa de injetores, buchas de compensação e porta-palhetas, importantes para o funcionamento do equipamento. A Figura 4.1 mostra, em corte, essa geometria.
Figura 4.1 Vista em corte da Câmara da Roda
A carcaça da turbina é formada por duas metades: superior e inferior, fixadas pelo flange de junção que, além do flange é composta de prisioneiros, luvas e porcas para garantir a fixação das duas metades da carcaça.
Figura 4.2 Representação da turbina a vapor
Algumas aproximações da geometria de estudo são consideradas: 1. Objetos de estudo: Flange de junção;
2. Volume de Controle: Câmara da roda;
3. Não existe folga entre o flange e os prisioneiros, isto é, os diâmetros dos prisioneiros são iguais aos diâmetros dos furos da carcaça. Em geral, existe uma folga de 2 a 5 mm entre a face do prisioneiro e o furo da carcaça. Entre essas superfícies existe ar parado e confinado pelo isolamento térmico.
4. Geometria simplificada em forma de polígono;
5. Paredes laterais da fronteira da câmara da roda são consideradas como adiabáticas; 6. Parede superior da fronteira da câmara da roda é considerada como parede
adiabática, pois na prática é instalado na carcaça um isolamento térmico.
7. Propriedades físicas dos materiais constantes, isto é, não variam com posição ou mudanças de temperatura.
A Figura 4.3 mostra o resultado das aproximações consideradas para a geometria de estudo.
Figura 4.3 Aproximações do volume de controle
Já a Figura 4.4 mostra um desenho genérico, representando todas as cotas que serão utilizadas para os cálculos de definição de malhas e também para a aplicação do cálculo numérico bidimensional do campo de temperaturas.
Figura 4.4 Geometria genérica do flange de junção
Nesta figura, L é o comprimento do flange; H é a altura; f1, f2 ... fn são os diâmetros
dos prisioneiros ; x1 ,x2... xn e y1,y2...ynrepresentam as posições, em x e y, dos centros dos
prisioneiros com relação à face lateral e inferior do flange respectivamente; Lg e Hg são o comprimento e a altura do guia da carcaça (guia onde será montado o porta-palhetas) respectivamente.
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CÁLCULO BIDIMENSIONAL DE VOLUMES FINITOS NO
FLANGE DE JUNÇÃO DE TURBINAS
5.1 Geral
Aplicando uma malha cartesiana e as aproximações apresentadas no capítulo anterior à geometria aplica-se o cálculo bidimensional de volumes finitos em regime não permanente. A Figura 5.1 mostra uma representação da malha gerada com as aproximações consideradas para as condições de contorno.
Figura 5.1 Representação da geometria nodal
A figura mostra as Faces Isoladas 1 e 3 como fronteiras para seções de flanges que compõem outras câmaras. Essas faces são consideradas como superfícies adiabáticas como aproximação de cálculo.
Já a Face Isolada 2 representa a face de isolamento do flange da turbina para o meio ambiente. Na prática, usa-se um isolamento por mantas para diminuir as perdas de calor do material da carcaça-flange para o meio ambiente.
A face representada na parte inferior da geometria é definida como a fronteira entre o flange e o fluxo de vapor. Além disso, são apresentados Tvaporcomo a temperatura do vapor e
h como sendo o coeficiente de transferência de calor para o vapor dado do problema.
A equação diferencial da condução térmica bidimensional, onde S é a taxa de geração de calor por unidade de volume é:
ρ = k + k + S (5.1) As equações discretizadas, a partir da equação acima, para cada nó da malha, são obtidas através da aplicação da equação da conservação da energia para um volume de controle em uma região nodal. A formulação do balanço de energia considera os fluxos de calor através da fronteira do volume de controle. O volume de controle é representado pela a Figura 5.2
Figura 5.2 Volume de controle para o caso bidimensional A equação do balanço de energia pode ser expressa como:
∑ - ∑ + Ėg = Ėar (5.2)
Onde ∑ é o somatório da energia que entra no volume de controle, ∑ é o somatório da energia que sai do volume de controle, Ėg é a taxa de geração de energia e Ėar é a taxa de energia armazenada.
N Dx n W w P e E y Dy x Volume de Controle s S
5.2 Definição dos tipos de nós
Foram definidos 12 tipos de nós para as equações de discretização da temperatura. A Figura 5.3 mostra uma representação geral para cada tipo de nó, indicando, por exemplo, se o nó está posicionado em uma parede adiabática (Nós Tipos 1, 2, 3, 4, 6, 7 ou 12) ou se está em uma face de fronteira com o fluxo de vapor (7, 8, 9,10, 11 ou 12).
Figura 5.3 Distribuição dos tipos de nós
Devido a geometria de junção do flange ser composta pelo flange e prisioneiros, deve-se incluir a possibilidade do nó estar localizado na fronteira dos componentes. Isto acontece somente com os Nós Tipo 4, 5 e 6. A Figura 5.4 mostra um exemplo dessa aplicação.
Para o método de discretização, foi feita uma formulação genérica para estes tipos de nós, considerando quatro materiais diferentes para o elemento cujo nó central é do Nó Tipo 5 e dois materiais diferentes para os elementos que tem como nós centrais os Nós Tipo 4 e 6.
Isso foi feito para criar elementos genéricos onde se possam substituir os materiais de cada quadrante por flange ou prisioneiro de forma a atender a necessidade do cálculo. Este procedimento é detalhado no item 5.3.
5.3 Cálculo das equações de volumes finitos para cada tipo de nó
Como já descrito anteriormente, os Nós Tipo 4, 5 e 6 apresentam uma característica diferente dos outros tipos, uma vez que podem ser nós de fronteira entre flange e prisioneiro.
Definindo um equacionamento genérico para estes nós, foi considerado que cada elemento no qual o nó pertence, possui um material diferente denominado de A, B, C e D, onde os materiais receberam as propriedades do flange ou prisioneiro, isto é um, dois, três ou quatro materiais faziam parte do flange ou do prisioneiro. Esta consideração é genérica para o equacionamento, entretanto, na prática, somente existirão no máximo dois materiais, variando a quantidade e posição dos quadrantes.
Algumas observações foram consideradas para o desenvolvimento do cálculo:
· As massas específicas dos materiais, tanto do flange como dos prisioneiros, r, foram consideradas as mesmas para estes componentes, por se tratarem de aço;
· O calor específico à pressão constante médio, , é a média aritmética das capacidades térmicas dos materiais envolvidos nos elementos para os Nós Tipos 4, 5 e 6.
· O nó central será denominado por P, e os nós adjacentes por N (nó superior), W (nó à esquerda), E (nó à direita) e S (nó inferior).
· Os índices 0 e 1 correspondem aos instantes anterior e atual do cálculo de temperaturas.
· Tanto para o eixo x, como para o eixo y foram definidos os números de Biot, como = . e = . .
· Tvapor é a temperatura do vapor que varia durante o tempo de partida da máquina.
Para o Tipo de Nó 5, foi considerado o nó central de quatro elementos com a combinação materiais diferentes (A, B, C e D) para cada um. A Figura 5.5 mostra essa representação, considerando resistências térmicas para a aplicação do balanço de energia.
Figura 5.5 Representação do Nó Tipo 5
A figura mostra a aplicação de resistências térmicas para cada interface de elementos com materiais diferentes. Aplicando a Equação 5.2 para o Nó Tipo 5 tem-se na forma explícita:
2 .
( + )
. ( − ) + 2 .( + ). ( − ) + 2 .( + ). ( − ) +
.( ). ( − ) = ̅ . ∆ (5.3)
Onde kA, kB, kC e kD são as condutividades térmicas, para cada material. Introduzindo a
difusividade térmica, a, para cada material e i variando com A, B, C e D, tem-se:
Substituindo a Equação 5.4 em 5.3 e reagrupando, tem-se:
= 1 −∆ + +∆ +
+∆2. + +2 0 (5.5)
Considerando os valores de Fourier em x e y para cada para cada material:
=∝ . ∆ (5.6) =∝ . ∆ (5.7) Com isso, a equação de volumes finitos para o Nó Tipo 5 é:
= 1 −12 . + + + + + + + . +
. + . + ( + ). + + . + ( + ). (5.8)
O critério de estabilidade determina que:
1 − . + + + + + + + ≥ 0 (5.9)
Desenvolvendo os valores de Fourier e isolando Dt, tem-se o critério de estabilidade como:
∆ ≤ . .. (5.10) Por exemplo, se o Tipo de Nó 5, representar uma combinação de três elementos que pertencem ao flange (materiais A, B e C) e um elemento pertencente ao prisioneiro (material D), o mesmo pode ser representado pela Figura 5.6.
Figura 5.6 Representação do Nó Tipo 5 com 3 elementos de flange e 1 de prisioneiro Sendo F o material do flange e P do prisioneiro, a equação de volumes finitos é definida por:
= 1 − . 3. + + 3. . + . + . +
. 2. . + 2. . + ( + ). (5.11)
O critério de estabilidade determina que:
∆ ≤ . . .. (5.12) As deduções das equações para os outros tipos de nós são apresentadas no Apêndice A, onde os cálculos das temperaturas em cada instante são executados ponto a ponto.
6
CRITÉRIOS PARA DEFINIÇÃO DA GERAÇÃO DA MALHA
Para a geração da malha, vários critérios foram adotados com o objetivo de se obter a malha mais precisa para a aplicação da metodologia. Foi utilizada uma malha cartesiana, onde os critérios de definição do tamanho dos elementos (dx e dy) foram relacionados às mínimas
distâncias entre faces e prisioneiros com uma quantidade mínima de 02 elementos (nmin).
6.1 Critério das faces com os prisioneiros
O critério das faces com os prisioneiros determina as menores distâncias entre as faces laterais, superior e inferior do flange, bem como na região do guia da carcaça, com as linhas perpendiculares formadas pelos diâmetros dos prisioneiros. A Figura 6.1 mostra uma representação genérica das dimensões x e y que devem ser encontradas para este critério.
Figura 6.1 Representação genérica das dimensões x e y
No APÊNDICE B é apresentado um descritivo detalhado para a obtenção de x e y para cada condição do posicionamento dos prisioneiros dentro do flange.
6.2 Critério entre os prisioneiros
O critério entre os prisioneiros determina a linha que representa a menor distância entre dois prisioneiros, nos eixos x e y. Como exemplo, será descrito o cálculo envolvendo os furos 1 e 2, representado pela Figura 6.2.
Figura 6.2 Geometria genérica para o critério entre prisioneiros
Através da Figura 6.3, define-se a como o ângulo da linha formada com a face horizontal, z como o comprimento dessa linha e w como a distância entre os centros dos dois prisioneiros.
Figura 6.3 Cotas necessárias para o cálculo do critério entre prisioneiros Tem-se, então:
= −Ø −Ø (6.2) Com isso, pode-se obter x e y:
= . ∝ (6.3) = . ∝ (6.4) As dimensões dos elementos para este critério em comprimento e altura são respectivamente:
= (6.5) E,
= (6.6)
6.3 Critério entre faces
Os valores de x e y para o critério entre faces correspondem às menores distâncias, no eixo x, entre L e Lg e, no eixo y, entre H e Hg. Esses valores podem ser descritos como:
= min ; (6.7) = min ; (6.8) As dimensões dos elementos para este critério são respectivamente:
= (6.9) = (6.10)
6.4 Critério dos prisioneiros
Depois de calculados os valores de dx1, dx2, dx3, dy1, dy2 e dy3 tomam-se os menores
valores para cada eixo, a fim de se obter os valores parciais que serão utilizados para o cálculo final do tamanho dos elementos através do critério dos prisioneiros. Tem-se então:
= min ( ; , ) (6.11) = min ( ; , ) (6.12) Para evitar que os valores de dx e dy sejam muito diferentes, foi considerado que a
relação da maior dimensão do elemento para a menor não deve ser maior que cinco, isto é, se for a maior dimensão, então: ≤ 5. , se for a maior dimensão, então: ≤ 5. . Caso os valores não satisfaçam essas condições, o maior valor é reduzido a cinco vezes o menor valor.
Com os valores de dx e dy calculados, é necessário verificar se a malha que será gerada
para cada prisioneiro corresponde a uma geometria mais próxima de um círculo.
Para essa verificação, deve-se, em primeiro lugar determinar se o elemento da malha faz parte do prisioneiro ou do flange. Isso é feito através do cálculo da área de preenchimento do prisioneiro em cada elemento, onde se essa área corresponder a um valor maior ou igual a 50% da área do elemento, o mesmo elemento fará parte do prisioneiro ao invés do flange.
O método para se calcular a área de preenchimento do prisioneiro em cada elemento é desenvolvida no APÊNDICE C.
Uma vez definido, quais elementos fazem parte do prisioneiro, calcula-se a área total desses elementos. O cálculo considera apenas um quarto de círculo, onde foi considerado que o nó do elemento inicial coincide com o centro do prisioneiro. A Figura 6.4 mostra essa representação.
Figura 6.4 Representação do critério dos prisioneiros
Se a relação da área dos elementos pela área real de ¼ de círculo do prisioneiro estiver entre 99,5% ~ 100,5% os valores de dx e dy estão aprovados, caso contrário dx e dy serão
divididos por 02 até que essa porcentagem se encontre nos limites acima ou que os valores cheguem ao valor mínimo de 01 [mm].
Um exemplo da malha gerada é representado pela Figura 6.5.
6.5 Ajuste do flange
Com os valores de dx e dy definidos anteriormente, deve-se aproximar a geometria do
flange de junção para que se ajuste à malha gerada. Para isso, as dimensões (conforme Figura 6.1) L, Lg, H e Hg serão redimensionadas. Na prática, essa aproximação gera alterações na ordem de 1 à 2 [mm] das dimensões originais, o que não influencia nos resultados obtidos deste trabalho.
Com isso, são gerados números de elementos para cada dimensão, a partir do valor arredondado da divisão da dimensão pelo comprimento, dx, ou a altura do elemento, dy.
7
RESULTADOS E DISCUSSÕES
A realização de simulações de cálculos utilizando a metodologia apresentada neste trabalho é de suma importância para a sua validação.
As simulações servem para indicar se a metodologia pode ser aplicada, bem como, se as aproximações definidas como condições de contorno (exemplo: paredes adiabáticas, não influência do rotor, definição dos critérios de geração de malha, etc.) podem ser consideradas.
Com isso foram realizadas três simulações para a validação da aplicação da metodologia desenvolvida, utilizando a geometria e as condições de contorno descritas a seguir. As simulações dos métodos unidimensional e bidimensional de volumes finitos foram realizadas em um computador com processador Intel® Core i7® com 4 Gb de RAM. Para o caso dos cálculos em ANSYS foi utilizado um computador Intel® Xeon ® CPU E5-2630 v2 2.60GHz com 12 Gb de RAM.
O flange de junção possui 03 prisioneiros. A geometria é apresentada na Figura 7.1.
O sensor de temperatura está instalado entre os prisioneiros 2 e 3, posicionado com as seguintes cotas, em [mm], como mostrado na Figura 7.2.
Figura 7.2 Posicionamento do sensor de temperatura
As propriedades dos materiais do flange e prisioneiros estão descritas na Tabela 7.1.
Componente To k r cp
[ºC] [W/(m.K)] [kg/m3] [J/(kg.K)]
Flange 40 47,11 7850 442
Prisioneiros 40 24,10 7850 462
Tabela 7.1 Propriedades dos materiais
O período considerado de partida da máquina apresenta temperatura de vapor, TV,
constante. Entretanto, o coeficiente de transferência de calor, h, varia durante o tempo partida, t. Isto acontece devido à variação de vazão mássica de vapor na entrada da turbina.
Os valores de h já são conhecidos do cálculo preliminar da turbina, e são baseados na pressão de vapor, PV, da temperatura do vapor, TV, e da vazão mássica de vapor, ̇ , na
respectiva câmara onde está o flange.
t TV h t TV h t TV h [s] [ºC] [W /m2K] [s] [ºC] [W /m2K] [s] [ºC] [W /m2K] 0 302 6 3500 302 135 6200 302 178 500 302 37 4000 302 146 6300 302 179 1000 302 68 4500 302 156 6400 302 180 1500 302 88 5000 302 165 6500 302 181 2000 302 108 5500 302 171 6600 302 182 2500 302 116 6000 302 176 6700 302 183 3000 302 124 6100 302 177 6800 302 184 .
Tabela 7.2 Propriedades do vapor As simulações apresentadas neste capítulo são:
Simulação 1: Validação da definição dos critérios de geração de malhas. Foram realizados cálculos dos campos de temperatura no flange de junção, utilizando a malha gerada pelos critérios definidos na metodologia e, malhas com elementos de tamanho menor. Seus resultados foram comparados através do perfil de temperatura no plano do sensor de temperatura.
Simulação 2: Comparativo dos resultados dos campos de temperatura, pelo cálculo da metodologia apresentada com os cálculos de volumes finitos unidimensional e elementos finitos através de um software comercial.
Simulação 3: Comparativo da variação de temperatura no sensor, realizados pelos cálculos da metodologia apresentada com cálculos de volumes finitos unidimensional, elementos finitos através de um software comercial e, principalmente, com os dados obtidos de uma medição real realizada na partida de uma turbina a vapor em campo.
7.1 Simulação 1: Validação da definição dos critérios de geração de
malhas
Nesta simulação, os valores de dx e dy da malha foram os valores dos critérios definidos pela metodologia. Os valores foram: dx = 5 [mm], dy= 1 [mm] com 34855 elementos eDt =
0,035 [s], com tempo de processamento de 45 [min]. A malha é representada pela Figura 7.3
.
Figura 7.3 Malha pelo critério de geração de malhas da metodologia
Para a validação do método de geração de malhas foram considerados tamanhos de elementos com as respectivas quantidades eDt descritos na Tabela 7.3.
dx dy nº Dt Tempo de Processamento [mm] [mm] elementos [s] [min] 4 1 43715 0,034 60 3 1 58180 0,033 75 2 1 87165 0,029 120 1 1 174275 0,018 230
Após o cálculo dos campos de temperaturas para cada malha gerada, foi gerado um perfil de temperaturas no plano y do sensor de temperatura. A Figura 7.4 mostra o perfil.
Figura 7.4 Perfil de temperaturas calcula para cada malha gerada
Foi realizada a comparação dos resultados obtidos, considerando as diferenças de temperaturas encontradas com a utilização da malha definida pela metodologia (para este exemplo dx = 5 mm) com os valores mais refinados de dx e a fluxo de calor aproximadamente constante q” = 17.580 W/m2.
Este comparativo foi feito em cinco posições do flange no plano do sensor de temperatura, conforme Tabela 7.4.
Posição T [ºC] [mm] dx = 5 [mm] dx = 4 [mm] dx = 3 [mm] dx = 2 [mm] dx = 1 [mm] 0 219,3 218,8 219,0 220,0 218,6 80 195,8 195,2 195,5 196,8 194,9 160 180,1 179,4 179,8 181,2 179,1 240 172,3 171,3 171,8 173,4 171,1 320 169,8 168,8 169,3 170,9 168,5
A Tabela 7.5 mostra a variação de temperatura, em [ºC], e seu valor em % de cada tipo de malha para a referência considerada.
Posição DT [ºC] e % [mm] dx = 4 [mm] dx = 3 [mm] dx = 2 [mm] dx = 1 [mm] 0 0,51 0,23% 0,22 0,10% -0,78 -0,35% 0,69 0,32% 80 0,60 0,31% 0,24 0,12% -1,00 -0,51% 0,85 0,44% 160 0,77 0,43% 0,33 0,18% -1,12 -0,62% 1,03 0,58% 240 0,99 0,58% 0,45 0,26% -1,13 -0,65% 1,20 0,70% 320 1,04 0,61% 0,51 0,30% -1,13 -0,66% 1,27 0,75%
Tabela 7.5 Variação de temperatura para cada malha gerada
Analisando os resultados mostrados na Tabela 7.5, pode-se verificar que as maiores variações se dão na posição do flange de 320 [mm] para valores de dx = 1 mm (DT = 1,27 [º]) e dx = 2 mm (DT = -1,13 [ºC]). Esses valores representam uma variação menor de ±1% dos valores encontrados pela malha gerada pela metodologia.
Os resultados mostram que os critérios utilizados para a geração de malha na aplicação do cálculo numérico bidimensional de volumes finitos para flanges de junção de turbinas a vapor podem ser utilizados.
7.2 Simulação 2: Comparativo dos resultados dos campos de temperatura
gerados pela simulação bidimensional com outros métodos.
O comparativo dos resultados dos campos de temperatura, pelo cálculo da metodologia apresentada com os cálculos de volumes finitos unidimensional e elementos finitos, foi realizado para o tempo de partida da turbina igual a 6800 [s].
O resultado do cálculo da distribuição de temperatura pela metodologia bidimensional com a malha da simulação 1 (dx = 5 [mm], dy = 1 [mm], 34855 elementos e passo de tempo
para cada simulação, Dt = 0,035 [s]), é representado pela na Figura 7.5. O tempo de processamento como já descrito foi de 45 [min].
Figura 7.5 Distribuição de temperatura em t = 6800 [s]
A distribuição de temperatura apresenta uma característica bidimensional. Isto se deve ao fato do guia da carcaça estar em contato com o vapor tanto na face horizontal quanto na vertical e apresentar as maiores temperaturas no flange de junção. Outro aspecto apresentado é a influência dos prisioneiros na distribuição de temperatura no flange. Por apresentar o calor específico à pressão constante maior que o flange (valores representados na Tabela 7.1), as linhas isotérmicas nas regiões dos prisioneiros sofrem variações.
Para o caso unidimensional, não existem influências dos prisioneiros e do guia da carcaça, pois foi considerado o plano do sensor de temperatura e a distribuição de temperatura se dá no eixo y. A distribuição de temperatura com dy = 1 [mm] eDt = 0.035 [s], no plano do
sensor de temperatura, é mostrada na Figura 7.6. O tempo de processamento foi de 20 [min].
Figura 7.6 Distribuição de temperatura pelo Método Unidimensional
Para o cálculo no ANSYS, a malha gerada foi formada por elementos triangulares e quadráticos com apresentou tamanho médio de elementos de 2 [mm] num total de 72534 elementos, conforme mostrado na Figura 7.7. O tempo de processamento foi de 310 [min].
A distribuição de temperatura no ANSYS é mostrada na Figura 7.8.
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Figura 7.8 Distribuição de temperatura pelo Método de Elementos Finitos
Uma vez que normalmente, na indústria, costuma-se utilizar um software comercial de elementos finitos, foi realizado o comparativo entre os resultados encontrados, máximo e mínimo, de temperaturas dos métodos bidimensional e elementos finitos. Os resultados são mostrados na Tabela 7.6.
Posição T [ºC]
Bidimensional ANSYS Diferença
Face Isolada 2 166,65 146,08 20,57
Guia da Carcaça 245,48 228,16 17,32
Tabela 7.6 Comparativo de temperaturas entre Bidimensional e Ansys
Para a maior temperatura, localizada no guia da carcaça, o método bidimensional apresentou um valor 17,3 [ºC] maior que o encontrado no ANSYS, isto é uma variação de 7,6%. Para a aplicação do guia da carcaça como apoio ao porta-palhetas da turbina, essa variação não representa impacto no seu projeto, bem como em sua operação.
Para a menor temperatura, localizada na face superior do flange (Face Isolada 2), a diferença encontrada foi maior que no guia da carcaça. O valor de 20,57 [ºC] representa uma variação de 14% do valor encontrado no ANSYS. Esse valor também não é significativo na prática, pois essa face é isolada termicamente, e o projeto da manta de isolamento apresenta fatores de segurança que englobam essa diferença.
Para incluir o método unidimensional no comparativo dos resultados, foram considerados os perfis de temperatura de cada método no plano onde foi instalado o sensor de temperatura. A Figura 7.9 mostra os perfis.
Figura 7.9 Perfis de Temperatura
A Figura 7.9 mostra que em todo o plano do sensor de temperatura, os valores de temperatura encontrados no método bidimensional e no unidimensional são maiores que os do ANSYS. Entretanto, os resultados obtidos pelo bidimensional estão mais próximos do ANSYS do que os encontrados pelo unidimensional.
Esses resultados são apresentados em cinco posições do flange no plano do sensor de temperatura, por cada método utilizado, pela Tabela 7.7.
Posição T [ºC]
[mm] Unidimensional Bidimensional ANSYS
0 241,22 219,26 204,71
80 223,38 195,78 177,97
160 210,12 180,12 161,16
240 201,17 172,27 151,08
320 195,60 169,79 146,08
Tabela 7.7 Comparativo dos valores de temperatura por método
A Tabela 7.8 mostra a variação de temperatura, [ºC], e seu valor em %, calculada pelos métodos uni e bidimensional e comparada com o método dos elementos finitos considerado como referência. Posição DT [ºC] e % [mm] Unidimensional Bidimensional 0 36,51 17,84% 14,55 7,11% 80 45,41 25,51% 17,81 10,00% 160 48,96 30,38% 18,96 11,77% 240 50,09 33,16% 21,20 14,03% 320 49,52 33,90% 23,71 16,23%
Tabela 7.8 Variação de temperatura uni e bidimensional com ANSYS
Os resultados apresentados na tabela acima mostram que o método bidimensional apresentou variações bem menores em relação ao ANSYS quando comparadas às variações apresentadas pelo método unidimensional. Basicamente metade dos valores em todas as posições do flange.
Como já mencionado anteriormente, na partida, o campo de temperaturas formado no flange de junção deve ser controlado de tal forma a evitar tensões térmicas. O controle é realizado através de curvas de partidas, podendo ser feito através da medição da variação de temperatura pelos sensores de temperatura instalados no flange de junção.
A elaboração de uma curva de partida, com valores errados de distribuição de temperatura pode acionar, em alguns casos, uma parada de segurança desnecessária do equipamento, ou no caso inverso, o equipamento pode operar com temperaturas próximas a de saturação do vapor, danificando o mesmo.
7.3 Simulação 3: Comparativo da temperatura no sensor com os
resultados gerados pelas simulações uni, bidimensional e ANSYS com
caso real
De todas as análises apresentadas, esta é a mais importante de todas, pois considera a variação de temperatura na posição do sensor para cada um dos métodos e seus resultados são comparados com a medição real de campo no período de partida do equipamento.
O período de tempo de análise inicia-se em 4500 [s] e termina em 6800 [s]. O início de 4500 [s] se deve ao fato de que houve variações significativas das leituras apontadas no sensor e com isso, para um melhor estudo comparativo os valores de temperatura medidos até esse período foram descartados. O Gráfico 7.1 mostra a evolução da temperatura no sensor na medição real e dos métodos apresentados.
Gráfico 7.1 Variação de temperatura do sensor
O gráfico mostra que a análise bidimensional apresenta resultados mais próximos do real medido, quando comparados aos resultados unidimensional e de elementos finitos. A Tabela 7.9, mostra esses resultados para alguns intervalos de tempo.
