Exercício 19-2
Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos
coordenados e é concorrente com r : 2x − 2 = 3y − 3 = −2z e s : X = (−1, 1, 0) + λ(5, 3, 1)
Primeiro vamos obter uma equação vetorial para r. Note que r na forma simétrica é
x−1 1/2 =
y−1 1/3 =
z−0
−1/2. Portanto, r contem o ponto A = (1, 1, 0) e é paralela ao vetor
(12,13, −12). Podemos escrever a equação vetorial X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3).
Para determinar a posição relativa entre r e s, podemos fazer o produto misto entre os vetores →u = (3, 2, −3),→v = (5, 3, 1)eAB= (2, 0, 0)→ onde B = (−1, 1, 0) ∈ s.
Se a reta ` que procuramos é paralela ao vetor →w= (a, b, c)e faz ângulos congruentes com os eixos coordenados então
|→w .→i | k→wk . k→i k = | → w .→j | k→wk . k→j k = | → w .→k | k→wk . k→kk ⇒ |a| = |b| = |c|
Exercício 19-2
Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos
coordenados e é concorrente com r : 2x − 2 = 3y − 3 = −2z e s : X = (−1, 1, 0) + λ(5, 3, 1) Primeiro vamos obter uma equação vetorial para r. Note que r na forma simétrica é
x−1 1/2 =
y−1 1/3 =
z−0
−1/2. Portanto, r contem o ponto A = (1, 1, 0) e é paralela ao vetor
(12,13, −12). Podemos escrever a equação vetorial X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3).
Para determinar a posição relativa entre r e s, podemos fazer o produto misto entre os vetores →u = (3, 2, −3),→v = (5, 3, 1)eAB= (2, 0, 0)→ onde B = (−1, 1, 0) ∈ s.
Se a reta ` que procuramos é paralela ao vetor →w= (a, b, c)e faz ângulos congruentes com os eixos coordenados então
|→w .→i | k→wk . k→i k = | → w .→j | k→wk . k→j k = | → w .→k | k→wk . k→kk ⇒ |a| = |b| = |c|
Exercício 19-2
Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos
coordenados e é concorrente com r : 2x − 2 = 3y − 3 = −2z e s : X = (−1, 1, 0) + λ(5, 3, 1) Primeiro vamos obter uma equação vetorial para r. Note que r na forma simétrica é
x−1 1/2 =
y−1 1/3 =
z−0
−1/2. Portanto, r contem o ponto A = (1, 1, 0) e é paralela ao vetor
(12,13, −12). Podemos escrever a equação vetorial X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3).
Para determinar a posição relativa entre r e s, podemos fazer o produto misto entre os vetores →u = (3, 2, −3),→v = (5, 3, 1)eAB= (2, 0, 0)→ onde B = (−1, 1, 0) ∈ s.
Se a reta ` que procuramos é paralela ao vetor →w= (a, b, c)e faz ângulos congruentes com os eixos coordenados então
|→w .→i | k→wk . k→i k = | → w .→j | k→wk . k→j k = | → w .→k | k→wk . k→kk ⇒ |a| = |b| = |c|
Exercício 19-2
Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos
coordenados e é concorrente com r : 2x − 2 = 3y − 3 = −2z e s : X = (−1, 1, 0) + λ(5, 3, 1) Primeiro vamos obter uma equação vetorial para r. Note que r na forma simétrica é
x−1 1/2 =
y−1 1/3 =
z−0
−1/2. Portanto, r contem o ponto A = (1, 1, 0) e é paralela ao vetor
(12,13, −12). Podemos escrever a equação vetorial X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3).
Para determinar a posição relativa entre r e s, podemos fazer o produto misto entre os vetores →u = (3, 2, −3),→v = (5, 3, 1)eAB= (2, 0, 0)→ onde B = (−1, 1, 0) ∈ s.
3 2 −3 5 3 1 2 0 0 = 2(2 + 9) 6= 0
Se a reta ` que procuramos é paralela ao vetor →w= (a, b, c)e faz ângulos congruentes com os eixos coordenados então
|→w .→i | k→wk . k→i k = | → w .→j | k→wk . k→j k = | → w .→k | k→wk . k→kk ⇒ |a| = |b| = |c|
Exercício 19-2
Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos
coordenados e é concorrente com r : 2x − 2 = 3y − 3 = −2z e s : X = (−1, 1, 0) + λ(5, 3, 1) Primeiro vamos obter uma equação vetorial para r. Note que r na forma simétrica é
x−1 1/2 =
y−1 1/3 =
z−0
−1/2. Portanto, r contem o ponto A = (1, 1, 0) e é paralela ao vetor
(12,13, −12). Podemos escrever a equação vetorial X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3).
Para determinar a posição relativa entre r e s, podemos fazer o produto misto entre os vetores →u = (3, 2, −3),→v = (5, 3, 1)e
→
AB= (2, 0, 0)onde B = (−1, 1, 0) ∈ s. Não é nulo, logo r e s são reversas.
Se a reta ` que procuramos é paralela ao vetor →w= (a, b, c)e faz ângulos congruentes com os eixos coordenados então
|→w .→i | k→wk . k→i k = | → w .→j | k→wk . k→j k = | → w .→k | k→wk . k→kk ⇒ |a| = |b| = |c|
Exercício 19-2
Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos
coordenados e é concorrente com r : 2x − 2 = 3y − 3 = −2z e s : X = (−1, 1, 0) + λ(5, 3, 1) Primeiro vamos obter uma equação vetorial para r. Note que r na forma simétrica é
x−1 1/2 =
y−1 1/3 =
z−0
−1/2. Portanto, r contem o ponto A = (1, 1, 0) e é paralela ao vetor
(12,13, −12). Podemos escrever a equação vetorial X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3).
Para determinar a posição relativa entre r e s, podemos fazer o produto misto entre os vetores →u = (3, 2, −3),→v = (5, 3, 1)e
→
AB= (2, 0, 0)onde B = (−1, 1, 0) ∈ s. Não é nulo, logo r e s são reversas.
Se a reta ` que procuramos é paralela ao vetor →w= (a, b, c)e faz ângulos congruentes com os eixos coordenados então
|→w .→i | k→wk . k→i k = | → w .→j | k→wk . k→j k = | → w .→k | k→wk . k→kk ⇒ |a| = |b| = |c|
Há 4 direções possíveis para a reta `, são elas:
→
w1= (1, 1, 1),→w2= (−1, 1, 1),w→3= (1, −1, 1)e →w4= (1, 1, −1). Para cada direção
precisamos encontrar uma reta `i que intersecta as retas reversas r e s e tem essa direção.
Imagine um plano π que contém s e `1. O ponto `1∩ ré o mesmo ponto π ∩ r.
Para que um ponto X pertença ao plano π, basta que o vetor diretor de s, o vetor diretor de `1 e um vetor com origem em algum ponto de π (por exemplo (−1, 1, 0) ∈ s) e
extremidade em X, sejam LD x + 1 y − 1 z 5 3 1 1 1 1 = 0 ⇐⇒ 2(x + 1) − 4(y − 1) + 2z = 0 ⇐⇒ π : x − 2y + z + 3 = 0 Fazendo π ∩ r : 1 + 3λ − 2(1 + 2λ) − 3λ + 3 = 0 ⇒ −4λ + 2 = 0 ⇒ λ = 1/2. Portanto, `1∩ r = (52, 2, −32) e uma equação vetorial para `1 é X = (52, 2, −32) + λ(1, 1, 1)
Da mesma maneira, pode-se determinar `2, `3 e `4. Vamos determinar `2 e `3 por outros
dois métodos
Há 4 direções possíveis para a reta `, são elas:
→
w1= (1, 1, 1),→w2= (−1, 1, 1),w→3= (1, −1, 1)e →w4= (1, 1, −1). Para cada direção
precisamos encontrar uma reta `i que intersecta as retas reversas r e s e tem essa direção.
Imagine um plano π que contém s e `1. O ponto `1∩ r é o mesmo ponto π ∩ r.
Para que um ponto X pertença ao plano π, basta que o vetor diretor de s, o vetor diretor de `1 e um vetor com origem em algum ponto de π (por exemplo (−1, 1, 0) ∈ s) e
extremidade em X, sejam LD x + 1 y − 1 z 5 3 1 1 1 1 = 0 ⇐⇒ 2(x + 1) − 4(y − 1) + 2z = 0 ⇐⇒ π : x − 2y + z + 3 = 0 Fazendo π ∩ r : 1 + 3λ − 2(1 + 2λ) − 3λ + 3 = 0 ⇒ −4λ + 2 = 0 ⇒ λ = 1/2. Portanto, `1∩ r = (52, 2, −32) e uma equação vetorial para `1 é X = (52, 2, −32) + λ(1, 1, 1)
Da mesma maneira, pode-se determinar `2, `3 e `4. Vamos determinar `2 e `3 por outros
Há 4 direções possíveis para a reta `, são elas:
→
w1= (1, 1, 1),→w2= (−1, 1, 1),w→3= (1, −1, 1)e →w4= (1, 1, −1). Para cada direção
precisamos encontrar uma reta `i que intersecta as retas reversas r e s e tem essa direção.
Imagine um plano π que contém s e `1. O ponto `1∩ r é o mesmo ponto π ∩ r.
Para que um ponto X pertença ao plano π, basta que o vetor diretor de s, o vetor diretor de `1 e um vetor com origem em algum ponto de π (por exemplo (−1, 1, 0) ∈ s) e
extremidade em X, sejam LD x + 1 y − 1 z 5 3 1 1 1 1 = 0 ⇐⇒ 2(x + 1) − 4(y − 1) + 2z = 0 ⇐⇒ π : x − 2y + z + 3 = 0 Fazendo π ∩ r : 1 + 3λ − 2(1 + 2λ) − 3λ + 3 = 0 ⇒ −4λ + 2 = 0 ⇒ λ = 1/2. Portanto, `1∩ r = (52, 2, −32) e uma equação vetorial para `1 é X = (52, 2, −32) + λ(1, 1, 1)
Da mesma maneira, pode-se determinar `2, `3 e `4. Vamos determinar `2 e `3 por outros
dois métodos
Há 4 direções possíveis para a reta `, são elas:
→
w1= (1, 1, 1),→w2= (−1, 1, 1),w→3= (1, −1, 1)e →w4= (1, 1, −1). Para cada direção
precisamos encontrar uma reta `i que intersecta as retas reversas r e s e tem essa direção.
Imagine um plano π que contém s e `1. O ponto `1∩ r é o mesmo ponto π ∩ r.
Para que um ponto X pertença ao plano π, basta que o vetor diretor de s, o vetor diretor de `1 e um vetor com origem em algum ponto de π (por exemplo (−1, 1, 0) ∈ s) e
extremidade em X, sejam LD x + 1 y − 1 z 5 3 1 1 1 1 = 0 ⇐⇒ 2(x + 1) − 4(y − 1) + 2z = 0 ⇐⇒ π : x − 2y + z + 3 = 0 Fazendo π ∩ r : 1 + 3λ − 2(1 + 2λ) − 3λ + 3 = 0 ⇒ −4λ + 2 = 0 ⇒ λ = 1/2. Portanto, `1∩ r = (52, 2, −32) e uma equação vetorial para `1 é X = (52, 2, −32) + λ(1, 1, 1)
Da mesma maneira, pode-se determinar `2, `3 e `4. Vamos determinar `2 e `3 por outros
Há 4 direções possíveis para a reta `, são elas:
→
w1= (1, 1, 1),→w2= (−1, 1, 1),w→3= (1, −1, 1)e →w4= (1, 1, −1). Para cada direção
precisamos encontrar uma reta `i que intersecta as retas reversas r e s e tem essa direção.
Imagine um plano π que contém s e `1. O ponto `1∩ r é o mesmo ponto π ∩ r.
Para que um ponto X pertença ao plano π, basta que o vetor diretor de s, o vetor diretor de `1 e um vetor com origem em algum ponto de π (por exemplo (−1, 1, 0) ∈ s) e
extremidade em X, sejam LD x + 1 y − 1 z 5 3 1 1 1 1 = 0 ⇐⇒ 2(x + 1) − 4(y − 1) + 2z = 0 ⇐⇒ π : x − 2y + z + 3 = 0 Fazendo π ∩ r : 1 + 3λ − 2(1 + 2λ) − 3λ + 3 = 0 ⇒ −4λ + 2 = 0 ⇒ λ = 1/2. Portanto, `1∩ r = (52, 2, −32) e uma equação vetorial para `1 é X = (52, 2, −32) + λ(1, 1, 1)
Da mesma maneira, pode-se determinar `2, `3 e `4. Vamos determinar `2 e `3 por outros
dois métodos
Outro Método
Queremos encontrar uma reta paralela a →w2= (−1, 1, 1)que seja concorrente com as retas
reversas r : X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3) e s : X = (−1, 1, 0) + t(5, 3, 1). Então devem existir valores de λ e t tais que o vetor P Q→ com P = (1 + 3λ, 1 + 2λ, −3λ) e Q = (−1 + 5t, 1 + 3t, t) seja paralelo a w→2
Outro Método
Queremos encontrar uma reta paralela a →w2= (−1, 1, 1)que seja concorrente com as retas
reversas r : X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3) e s : X = (−1, 1, 0) + t(5, 3, 1). Então devem existir valores de λ e t tais que o vetor P Q→ com P = (1 + 3λ, 1 + 2λ, −3λ) e Q = (−1 + 5t, 1 + 3t, t) seja paralelo a w→2 → P Q= (−2 + 5t − 3λ, 3t − 2λ, t + 3λ) = k(−1, 1, 1) ⇐⇒ −2 + 5t − 3λ = −k 3t − 2λ = k t + 3λ = k
Outro Método
Queremos encontrar uma reta paralela a →w2= (−1, 1, 1)que seja concorrente com as retas
reversas r : X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3) e s : X = (−1, 1, 0) + t(5, 3, 1). Então devem existir valores de λ e t tais que o vetor P Q→ com P = (1 + 3λ, 1 + 2λ, −3λ) e Q = (−1 + 5t, 1 + 3t, t) seja paralelo a w→2 → P Q= (−2 + 5t − 3λ, 3t − 2λ, t + 3λ) = k(−1, 1, 1) ⇐⇒ −2 + 5t − 3λ = −k 3t − 2λ = k t + 3λ = k ⇒ 8t − 5λ = 2 2t − 5λ = 0 ⇒ 6t = 2 ⇒ t = 13 λ = 152 ⇒ P = 7 5, 19 15, − 2 5 , Q = 2 3, 2, 1 3
Outro Método
Queremos encontrar uma reta paralela a →w2= (−1, 1, 1)que seja concorrente com as retas
reversas r : X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3) e s : X = (−1, 1, 0) + t(5, 3, 1). Então devem existir valores de λ e t tais que o vetor P Q→ com P = (1 + 3λ, 1 + 2λ, −3λ) e Q = (−1 + 5t, 1 + 3t, t) seja paralelo a w→2 → P Q= (−2 + 5t − 3λ, 3t − 2λ, t + 3λ) = k(−1, 1, 1) ⇐⇒ −2 + 5t − 3λ = −k 3t − 2λ = k t + 3λ = k ⇒ 8t − 5λ = 2 2t − 5λ = 0 ⇒ 6t = 2 ⇒ t = 13 λ = 152 ⇒ P = 7 5, 19 15, − 2 5 , Q = 2 3, 2, 1 3
Temos então dois pontos em `2. Uma equação vetorial para `2 é X = 23, 2,13 + λ(−1, 1, 1)
E Outro Método
Para encontrar a reta `3 paralela a →
w3= (1, −1, 1)concorrente com as retas reversas
r : X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3) e s : X = (−1, 1, 0) + t(5, 3, 1)
Imagine um plano α1 contendo `3 e r e um plano α2 contendo `3 e s.
Claramente `3= α1∩ α2
Para escrever a equação geral de α1 temos o ponto A = (1, 1, 0) ∈ r, o vetor →
u = (3, 2, −3)paralelo a r e o vetorw→3= (1, −1, 1)paralelo a `3. Um ponto
X = (x, y, z) ∈ α1 se e somente se [ →
AX,→u ,w→3] = 0
Para escrever a equação geral de α2 temos o ponto B = (−1, 1, 0) ∈ s, o vetor →
v = (5, 3, 1)paralelo a s e o vetorw→3= (1, −1, 1)paralelo a `3. Um ponto
X = (x, y, z) ∈ α1 se e somente se [ →
E Outro Método
Para encontrar a reta `3 paralela a →
w3= (1, −1, 1)concorrente com as retas reversas
r : X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3) e s : X = (−1, 1, 0) + t(5, 3, 1)
Imagine um plano α1 contendo `3 e r e um plano α2 contendo `3 e s.
Claramente `3= α1∩ α2
Para escrever a equação geral de α1 temos o ponto A = (1, 1, 0) ∈ r, o vetor →
u = (3, 2, −3)paralelo a r e o vetorw→3= (1, −1, 1)paralelo a `3. Um ponto
X = (x, y, z) ∈ α1 se e somente se [ →
AX,→u ,w→3] = 0
Para escrever a equação geral de α2 temos o ponto B = (−1, 1, 0) ∈ s, o vetor →
v = (5, 3, 1)paralelo a s e o vetorw→3= (1, −1, 1)paralelo a `3. Um ponto
X = (x, y, z) ∈ α1 se e somente se [ →
BX,→v ,w→3] = 0
E Outro Método
Para encontrar a reta `3 paralela a →
w3= (1, −1, 1)concorrente com as retas reversas
r : X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3) e s : X = (−1, 1, 0) + t(5, 3, 1)
Imagine um plano α1 contendo `3 e r e um plano α2 contendo `3 e s.
Claramente `3= α1∩ α2
Para escrever a equação geral de α1 temos o ponto A = (1, 1, 0) ∈ r, o vetor →
u = (3, 2, −3)paralelo a r e o vetorw→3= (1, −1, 1)paralelo a `3. Um ponto
X = (x, y, z) ∈ α1 se e somente se [ →
AX,→u ,w→3] = 0
Para escrever a equação geral de α2 temos o ponto B = (−1, 1, 0) ∈ s, o vetor →
v = (5, 3, 1)paralelo a s e o vetorw→3= (1, −1, 1)paralelo a `3. Um ponto
X = (x, y, z) ∈ α1 se e somente se [ →
E Outro Método
Para encontrar a reta `3 paralela a →
w3= (1, −1, 1)concorrente com as retas reversas
r : X = (1, 1, 0) + λ(3, 2, −3) e s : X = (−1, 1, 0) + t(5, 3, 1)
Imagine um plano α1 contendo `3 e r e um plano α2 contendo `3 e s.
Claramente `3= α1∩ α2
Para escrever a equação geral de α1 temos o ponto A = (1, 1, 0) ∈ r, o vetor →
u = (3, 2, −3)paralelo a r e o vetorw→3= (1, −1, 1)paralelo a `3. Um ponto
X = (x, y, z) ∈ α1 se e somente se [ →
AX,→u ,w→3] = 0
Para escrever a equação geral de α2 temos o ponto B = (−1, 1, 0) ∈ s, o vetor →
v = (5, 3, 1)paralelo a s e o vetorw→3= (1, −1, 1)paralelo a `3. Um ponto
X = (x, y, z) ∈ α1 se e somente se [ →
BX,→v ,w→3] = 0
α1: x − 1 y − 1 z 3 2 −3 1 −1 1 = 0 ⇐⇒ −(x−1)−6(y−1)−5z = 0 ⇐⇒ α1: x+6y+5z −2 = 0 α2: x + 1 y − 1 z 5 3 1 1 −1 1 = 0 ⇐⇒ 4(x + 1) − 4(y − 1) − 8z = 0 ⇐⇒ α2 : x − y − 2z + 2 = 0 `3 = α1∩ α2 : x + 6y + 5z − 2 = 0 x − y − 2z + 2 = 0 ⇒ 7y + 7z + 4 = 0 ⇒ y = −47 − z 7x − 7z + 10 = 0 ⇒ x = −107 + 7z Uma equação vetorial de `3 é X = −107 , −47, 0 + λ(1, −1, 1)
