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Valor médio de uma onda complexa

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Academic year: 2019

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Texto

(1)

Circuitos Trifásicos

Aula 11

Cálculo de RMS, Potência e

Distorção de uma Onda

Engenharia Elétrica Universidade Federal de Juiz de Fora

(2)

Valor médio de uma onda complexa

Ovalor médio(average) de umaonda periódicade tensão, corrente ou potência está relacionado com acomponente contínuadesta onda.

Graficamente, o valor médio pode ser representado como “área sob a curva, no intervaloT, dividido pelo períodoT”.

O períodoT é o intervalo de repetição da onda periódica.

Fave=

1

T

Z t0+T

t0

(3)

Valor eficaz de uma onda complexa

Dada umafunção periódicaf(t), o seuvalor eficaz ourmsé dado por

Frms= s

1

T

Z T

0

f(t)2dt (2)

Escrevendof(t)na forma de amplitude e fase dasérie de Fourier

f(t) =a0+ ∞

X

n=1

Ancos(nωt+φn) (3)

Substituindo (5) em (4) e lembrando que(a+b)2 =a2

(4)

Valor eficaz de uma onda complexa

F2rms=

1

T

Z T

0

"

a20+2 ∞

X

n=1

a0Ancos(nωt+φn) +

X

n=1

A2ncos

2

(nωt+φn) #

dt (4)

Portanto

Frms= v u u ta 2 0+ 1 2 ∞ X

n=1

A2

n (5)

Em termos da série de Fourieranebn

Frms= v u u ta 2 0+ 1 2 ∞ X

n=1 (a2

n+b

2

(5)

Valor eficaz de uma onda complexa

Finalmente, para uma tensão do tipo

v(t) =Vcc+V1pcos(ωt+φ1) +V2pcos(2ωt+φ2) +· · ·+Vnpcos(nωt+φn) (7)

em queVpé o valor de pico.

Ovalor eficazé dado por

Vrms= s

V2

cc+

V12p

2 +

V22p

2 +· · ·+

V2

np

(6)

Valor eficaz de uma onda complexa

Já, se o valor de amplitude da cada componente harmônica é dadaem termos de seu valor eficaz

Vpn=Vn

2 (9)

Ovalor eficazda onda complexa se torna

Vrms= r

V2

cc+

2V12

2 + 2V22

2 +· · ·+ 2V2

n

2 (10)

Finalmente

Vrms= q

V2

cc+V

2 1+V

2

2 +· · ·+V 2

(7)

Exemplo

Uma forma de onda de tensão complexa que possui um valor eficaz de 240 V contém 30% de terceiro harmônico e 10% de quinto harmônico, ambos inicialmente em fase entre si.

a) Determine o valor eficaz da fundamental de cada harmônico.

Resposta:V1=228,8V;V3=68,64V; V5=22,88V.

(8)

Potência média de uma onda complexa

Considere as seguintes tensão e corrente

v(t) =Vcc+

X

n=1

Vnpcos(nωt−θn) (12)

i(t) =Icc+

X

m=1

Impcos(mωt−φm) (13)

Apotência média (ou ativa)é dada por

P= 1

T

Z T

0

(9)

Potência média de uma onda complexa

Substituindo (14) e (9) em (16)

P= 1

T

Z T

0

VccIccdt (15)

+ ∞

X

m=1

ImpVcc

T

Z T

0

cos(mωtφm)dt

+ ∞

X

n=1

VnpIcc

T

Z T

0

cos(nωtθn)dt (16)

+ ∞

X

m=1 ∞

X

n=1

ImpVnp

T

Z T

0

(10)

Potência média de uma onda complexa

Osegundo e o terceiro termosde (19) são iguais azero, devido a integral do cosseno em um período

Os termos daquarta integral são nulos paran6=m

P= 1

T

Z T

0

VccIccdt (17)

+ ∞

X

m=1

ImpVcc

T

Z T

0

cos(mωtφm)dt

+ ∞

X

n=1

VnpIcc

T

Z T

0

cos(nωtθn)dt (18)

+ ∞

X

m=1 ∞

X

n=1

ImpVnp

T

Z T

0

(11)

Potência média de uma onda complexa

Finalmente,param=n, apotência médiase reduz a

P=VccIcc+

1

2 ∞

X

n=1

VnpInpcos(θn−φn) (19)

Já se o valor de amplitude da cada componente harmônica é dadaem termos de seu valor eficaz

P=VccIcc+

X

n=1

(12)

Fator de potência

Fp= potˆencia ativa total

tens˜ao eficaz total×corrente eficaz total = P

S (21)

Alternativamente

Fp= V1I1cos(θ1) +V2I2cos(θ2) +· · ·+VnIncos(θn)

VrmsIrms

(13)

Exemplo

Uma tensão complexa expressa por

v=60 cost) +15 cos(3ωt+π/4) +10 cos(5ωtπ/2)V alimenta um circuito resultando em uma corrente da forma

i=2 costπ/6) +0,3 cos(3ωtπ/12) +0,1 cos(5ωt8π/9)A. Determine:

a) A potência ativa total fornecida ao circuito;

Resposta:53,26W

b) O fator de potência global.

(14)

Exemplo

Uma tensão complexa expressa por

v=25+100 cost) +40 cos(3ωt+π/6) +20 cos(5ωt+π/12)V, em queω=104

rad/s, alimenta um circuito série composto por uma resistênciaR=5e uma indutânciaL=500µH. Determine:

a) Uma expressão para a corrente que flui pelo circuito;

Resposta:

i(t) =5+14,14 cos(ωt0,785)+2,43 cos(3ωt0,726)+0,784 cos(5ωt1,112)A

b) O valorrmsda corrente;

Resposta:I=11,33A

c) A potência dissipada no circuito.

(15)

Distorção harmônica total (DHT, THD)

OTHD(Total harmonic distortion) é definido em consequência da necessidade de se quantificar numericamente o impacto das harmônicas numa onda.

OTHDf indica a distorção harmônica total em relação à componente

fundamental.

THD=

q

A2 2+A

2 3+A

2

4+· · ·+A 2

n

A1 ×

100% (23)

OndeA1,A2, · · ·,Anrepresentam o valor eficaz das harmônicas de

(16)

Distorção harmônica total (THD)

Existe uma outra forma de se calcular oTHD, onde quantificado o grau de distorção harmônica total em relação ao sinal total.

THDaltern= q

A22+A 2 3+A

2

4+· · ·+A 2

n

q

A2 1+A

2 2+A

2 3+A

2

4+· · ·+A 2

n

×100% (24)

(17)

Distorção harmônica total (THD)

Para exemplificar, vamos determinar o valor doTHDf para um sinal de

corrente que possua as seguintes características medidas em um dado ponto do circuito

Tabela 1:Exemplo de correntes harmônicas em um dado sinal.

Ordem Valor(A)

I1 3,63

I3 2,33

I5 0,94

I7 0,69

I9 0,50

I11 0,41

I13 0,33

(18)

Distorção harmônica total (THD)

Da tabela, temos

THD=

p

(2,33)2+ (0,94)2+ (0,69)2+ (0,50)2+ (0,41)2+ (0,33)2

3,63 ×100% (25)

(19)

Distorção harmônica total (THD)

A Figura abaixo mostra o sinal de corrente e o seu respectivo espectro relativo ao exemplo anterior.

Deve-se notar que a onda em questão é bastante deformada em relação a uma senóide ideal, o que pode ser verificado pelo alto valor doTHDf

(20)

Fator de Ondulação (Ripple) e de Crista (Pico)

Fator de Ondulação indica a presença de ondulação em uma onda (sinal) contínua (CC).

Ripple= Vrms

Vave

= Vrms

Vcc

= Vrms

V0

(27)

Fator de Crista é particularmente útil para atrair a atenção sobre a presença de valores de pico (crista) excepcionais em relação ao valor eficaz.

Kp =

Vpico

Vrms

(21)

Solução de Circuito com Componentes Harmônicas

(a)

i(t)

+

− Linearnetwork v(t)

(b)

i(t)

+

+

+

+

− Linearnetwork

V1cos( 0t + 1)

V0

V2cos(20t + 2)

Vn cos(n 0t + n)

Periodic Source

(22)

Solução de Circuito com Componentes Harmônicas

V0 +

Io

+

+

Z( = 0)

V1 1 +

I1

Z( 0)

+

+

V2 2

Vn n +

I2

Z(20)

+

In

(23)

Problema 1

No circuito da figura abaixo a fonte de tensão no domínio do tempo é dada porv(t) =300 cos(314t) +120 cos(942t+0,698)V. Determine:

(a) Frequência fundamental da fontev;

(b) Expressão para a correnteino domínio do tempo; (c) Espectro harmônico para correntei;

(d) A potência total dissipada no circuito;

(e) Expressão para a tensãov1no domínio do tempo; (f) Espectro harmônico para a tensãov1;

(g) Expressão para a correnteicno domínio do tempo. (h) THD da correntei;

i

560 +

v1

2.123µF

ic

2k +

(24)

Problema 1

Resposta (a) ?;

(b) i(t) =0,188 cos(314t+0,644) +0.145 cos(942t+1,305)A;

(c) ?;

(d) P=29,7W;

(e) v1(t) =105,3 cos(314t+0,644) +81,2 cos(942t+1,305)V; (f) ?;

(25)

Problema 2

Um circuitoRCsérie, no qualR=1eC=100mF, é excitado pela tensão periódica mostrada a seguir. Calcule as respostas forçadas para

i,vrevc, bem como os respectivos Espectros de frequência e THDs.

− +

Vs

I

1

+ Vr −

−j10

ω Ω

+

− Vc

Figura 4:CircuitoRL, problema 2.

t(s)

vs(V)

−2 1 0

1

1 2 3

(26)

Problema 2

Resposta

i(t) =0,1908 cos(πt17,44◦)+0

,1455 cos(3πt−43,30◦)+0,1074 cos(5πt−57,52◦)+· · · A

vr(t) =0,1908 cos(πt−17,44◦)+0,1455 cos(3πt−43,30◦)+0,1074 cos(5πt−57,52◦)+· · ·V

vc(t) =

1

2+0,6070 cos(πt−107,44

) +0

,1544 cos(3πt−133,30◦)+

(27)

Problema 3

Calcule a potência complexa fornecida pela fonte, no exemplo anterior„ através da forma trigonométrica de Fourier.

− +

Vs

I

1

+ Vr −

−j10

ω Ω

+

− Vc

Figura 6:CircuitoRL, problema 2.

t(s)

vs(V)

−2 1 0

1

1 2 3

Figura 7:Tensão de entrada

(28)

Problema 4

Um circuitoRCLsérie, no qualR=100Ω,L=1HeC=0,04µF, é excitado pela tensão periódica mostrada a seguir. Calcule a resposta forçada paravc.

t(ms)

vs(V)

−2π π 0 1

π 2π 3π

Figura 8:Tensão de entrada

Resposta:vc(t) =

1

2 + 20

π cos(5000t+180 ◦

(29)

Problema 5

Determinei0(t)na figura a seguir se a tensão de entradav(t)tem a seguinte forma

v(t) =1+

X

n=1 2(1)n

1+n2 [cos(nt)−nsen(nt)]

− +

v(t)

4 i(t) 2

2H

i0(t)

2

Figura 9:Problema 5.

Resposta:i (t) =1 + ∞

X (−1)n

Referências

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