Circuitos Trifásicos
Aula 11
Cálculo de RMS, Potência e
Distorção de uma Onda
Engenharia Elétrica Universidade Federal de Juiz de Fora
Valor médio de uma onda complexa
Ovalor médio(average) de umaonda periódicade tensão, corrente ou potência está relacionado com acomponente contínuadesta onda.
Graficamente, o valor médio pode ser representado como “área sob a curva, no intervaloT, dividido pelo períodoT”.
O períodoT é o intervalo de repetição da onda periódica.
Fave=
1
T
Z t0+T
t0
Valor eficaz de uma onda complexa
Dada umafunção periódicaf(t), o seuvalor eficaz ourmsé dado por
Frms= s
1
T
Z T
0
f(t)2dt (2)
Escrevendof(t)na forma de amplitude e fase dasérie de Fourier
f(t) =a0+ ∞
X
n=1
Ancos(nωt+φn) (3)
Substituindo (5) em (4) e lembrando que(a+b)2 =a2
Valor eficaz de uma onda complexa
F2rms=
1
T
Z T
0
"
a20+2 ∞
X
n=1
a0Ancos(nωt+φn) +
∞
X
n=1
A2ncos
2
(nωt+φn) #
dt (4)
Portanto
Frms= v u u ta 2 0+ 1 2 ∞ X
n=1
A2
n (5)
Em termos da série de Fourieranebn
Frms= v u u ta 2 0+ 1 2 ∞ X
n=1 (a2
n+b
2
Valor eficaz de uma onda complexa
Finalmente, para uma tensão do tipo
v(t) =Vcc+V1pcos(ωt+φ1) +V2pcos(2ωt+φ2) +· · ·+Vnpcos(nωt+φn) (7)
em queVpé o valor de pico.
Ovalor eficazé dado por
Vrms= s
V2
cc+
V12p
2 +
V22p
2 +· · ·+
V2
np
Valor eficaz de uma onda complexa
Já, se o valor de amplitude da cada componente harmônica é dadaem termos de seu valor eficaz
Vpn=Vn
√
2 (9)
Ovalor eficazda onda complexa se torna
Vrms= r
V2
cc+
2V12
2 + 2V22
2 +· · ·+ 2V2
n
2 (10)
Finalmente
Vrms= q
V2
cc+V
2 1+V
2
2 +· · ·+V 2
Exemplo
Uma forma de onda de tensão complexa que possui um valor eficaz de 240 V contém 30% de terceiro harmônico e 10% de quinto harmônico, ambos inicialmente em fase entre si.
a) Determine o valor eficaz da fundamental de cada harmônico.
Resposta:V1=228,8V;V3=68,64V; V5=22,88V.
Potência média de uma onda complexa
Considere as seguintes tensão e corrente
v(t) =Vcc+
∞
X
n=1
Vnpcos(nωt−θn) (12)
i(t) =Icc+
∞
X
m=1
Impcos(mωt−φm) (13)
Apotência média (ou ativa)é dada por
P= 1
T
Z T
0
Potência média de uma onda complexa
Substituindo (14) e (9) em (16)
P= 1
T
Z T
0
VccIccdt (15)
+ ∞
X
m=1
ImpVcc
T
Z T
0
cos(mωt−φm)dt
+ ∞
X
n=1
VnpIcc
T
Z T
0
cos(nωt−θn)dt (16)
+ ∞
X
m=1 ∞
X
n=1
ImpVnp
T
Z T
0
Potência média de uma onda complexa
Osegundo e o terceiro termosde (19) são iguais azero, devido a integral do cosseno em um período
Os termos daquarta integral são nulos paran6=m
P= 1
T
Z T
0
VccIccdt (17)
+ ∞
X
m=1
ImpVcc
T
Z T
0
cos(mωt−φm)dt
+ ∞
X
n=1
VnpIcc
T
Z T
0
cos(nωt−θn)dt (18)
+ ∞
X
m=1 ∞
X
n=1
ImpVnp
T
Z T
0
Potência média de uma onda complexa
Finalmente,param=n, apotência médiase reduz a
P=VccIcc+
1
2 ∞
X
n=1
VnpInpcos(θn−φn) (19)
Já se o valor de amplitude da cada componente harmônica é dadaem termos de seu valor eficaz
P=VccIcc+
∞
X
n=1
Fator de potência
Fp= potˆencia ativa total
tens˜ao eficaz total×corrente eficaz total = P
S (21)
Alternativamente
Fp= V1I1cos(θ1) +V2I2cos(θ2) +· · ·+VnIncos(θn)
VrmsIrms
Exemplo
Uma tensão complexa expressa por
v=60 cos(ωt) +15 cos(3ωt+π/4) +10 cos(5ωt−π/2)V alimenta um circuito resultando em uma corrente da forma
i=2 cos(ωt−π/6) +0,3 cos(3ωt−π/12) +0,1 cos(5ωt−8π/9)A. Determine:
a) A potência ativa total fornecida ao circuito;
Resposta:53,26W
b) O fator de potência global.
Exemplo
Uma tensão complexa expressa por
v=25+100 cos(ωt) +40 cos(3ωt+π/6) +20 cos(5ωt+π/12)V, em queω=104
rad/s, alimenta um circuito série composto por uma resistênciaR=5Ωe uma indutânciaL=500µH. Determine:
a) Uma expressão para a corrente que flui pelo circuito;
Resposta:
i(t) =5+14,14 cos(ωt−0,785)+2,43 cos(3ωt−0,726)+0,784 cos(5ωt−1,112)A
b) O valorrmsda corrente;
Resposta:I=11,33A
c) A potência dissipada no circuito.
Distorção harmônica total (DHT, THD)
OTHD(Total harmonic distortion) é definido em consequência da necessidade de se quantificar numericamente o impacto das harmônicas numa onda.
OTHDf indica a distorção harmônica total em relação à componente
fundamental.
THD=
q
A2 2+A
2 3+A
2
4+· · ·+A 2
n
A1 ×
100% (23)
OndeA1,A2, · · ·,Anrepresentam o valor eficaz das harmônicas de
Distorção harmônica total (THD)
Existe uma outra forma de se calcular oTHD, onde quantificado o grau de distorção harmônica total em relação ao sinal total.
THDaltern= q
A22+A 2 3+A
2
4+· · ·+A 2
n
q
A2 1+A
2 2+A
2 3+A
2
4+· · ·+A 2
n
×100% (24)
Distorção harmônica total (THD)
Para exemplificar, vamos determinar o valor doTHDf para um sinal de
corrente que possua as seguintes características medidas em um dado ponto do circuito
Tabela 1:Exemplo de correntes harmônicas em um dado sinal.
Ordem Valor(A)
I1 3,63
I3 2,33
I5 0,94
I7 0,69
I9 0,50
I11 0,41
I13 0,33
Distorção harmônica total (THD)
Da tabela, temos
THD=
p
(2,33)2+ (0,94)2+ (0,69)2+ (0,50)2+ (0,41)2+ (0,33)2
3,63 ×100% (25)
Distorção harmônica total (THD)
A Figura abaixo mostra o sinal de corrente e o seu respectivo espectro relativo ao exemplo anterior.
Deve-se notar que a onda em questão é bastante deformada em relação a uma senóide ideal, o que pode ser verificado pelo alto valor doTHDf
Fator de Ondulação (Ripple) e de Crista (Pico)
Fator de Ondulação indica a presença de ondulação em uma onda (sinal) contínua (CC).
Ripple= Vrms
Vave
= Vrms
Vcc
= Vrms
V0
(27)
Fator de Crista é particularmente útil para atrair a atenção sobre a presença de valores de pico (crista) excepcionais em relação ao valor eficaz.
Kp =
Vpico
Vrms
Solução de Circuito com Componentes Harmônicas
(a)
i(t)
+
− Linearnetwork v(t)
(b)
i(t)
+
−
+
−
+
−
+
− Linearnetwork
V1cos( 0t + 1)
V0
V2cos(20t + 2)
Vn cos(n 0t + n)
Periodic Source
Solução de Circuito com Componentes Harmônicas
V0 +−
Io
+
+
Z( = 0)
V1 1 +−
I1
Z( 0)
+
+
V2 2
Vn n +
−
I2
Z(20)
+
−
In
Problema 1
No circuito da figura abaixo a fonte de tensão no domínio do tempo é dada porv(t) =300 cos(314t) +120 cos(942t+0,698)V. Determine:
(a) Frequência fundamental da fontev;
(b) Expressão para a correnteino domínio do tempo; (c) Espectro harmônico para correntei;
(d) A potência total dissipada no circuito;
(e) Expressão para a tensãov1no domínio do tempo; (f) Espectro harmônico para a tensãov1;
(g) Expressão para a correnteicno domínio do tempo. (h) THD da correntei;
i
560Ω +
−
v1
2.123µF
ic
2kΩ +
−
Problema 1
Resposta (a) ?;
(b) i(t) =0,188 cos(314t+0,644) +0.145 cos(942t+1,305)A;
(c) ?;
(d) P=29,7W;
(e) v1(t) =105,3 cos(314t+0,644) +81,2 cos(942t+1,305)V; (f) ?;
Problema 2
Um circuitoRCsérie, no qualR=1ΩeC=100mF, é excitado pela tensão periódica mostrada a seguir. Calcule as respostas forçadas para
i,vrevc, bem como os respectivos Espectros de frequência e THDs.
− +
Vs
I
1Ω
+ Vr −
−j10
ω Ω
+
− Vc
Figura 4:CircuitoRL, problema 2.
t(s)
vs(V)
−2 −1 0
1
1 2 3
Problema 2
Resposta
i(t) =0,1908 cos(πt−17,44◦)+0
,1455 cos(3πt−43,30◦)+0,1074 cos(5πt−57,52◦)+· · · A
vr(t) =0,1908 cos(πt−17,44◦)+0,1455 cos(3πt−43,30◦)+0,1074 cos(5πt−57,52◦)+· · ·V
vc(t) =
1
2+0,6070 cos(πt−107,44
◦) +0
,1544 cos(3πt−133,30◦)+
Problema 3
Calcule a potência complexa fornecida pela fonte, no exemplo anterior„ através da forma trigonométrica de Fourier.
− +
Vs
I
1Ω
+ Vr −
−j10
ω Ω
+
− Vc
Figura 6:CircuitoRL, problema 2.
t(s)
vs(V)
−2 −1 0
1
1 2 3
Figura 7:Tensão de entrada
Problema 4
Um circuitoRCLsérie, no qualR=100Ω,L=1HeC=0,04µF, é excitado pela tensão periódica mostrada a seguir. Calcule a resposta forçada paravc.
t(ms)
vs(V)
−2π −π 0 1
π 2π 3π
Figura 8:Tensão de entrada
Resposta:vc(t) =
1
2 + 20
π cos(5000t+180 ◦
Problema 5
Determinei0(t)na figura a seguir se a tensão de entradav(t)tem a seguinte forma
v(t) =1+ ∞
X
n=1 2(−1)n
1+n2 [cos(nt)−nsen(nt)]
− +
v(t)
4Ω i(t) 2Ω
2H
i0(t)
2Ω
Figura 9:Problema 5.
Resposta:i (t) =1 + ∞
X (−1)n