Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis Harmônicas em uma Variedade Riemanniana

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado

Hipersuperf´ıcies M´ınimas Completas Est´

aveis

Harmˆ

onicas em uma Variedade Riemanniana

Caio Eduardo Pinheiro Costa

Salvador-Bahia

Caio Eduardo Pinheiro Costa

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao

Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da

Universidade Federal da Bahia como requisito

parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em

Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos

Barbosa.

Salvador-Bahia

Costa, Caio Eduardo Pinheiro.

Hipersuperf´ıcies M´ınimas Completas Est´aveis Harmˆonicas em uma

Variedade Riemanniana / Caio Eduardo Pinheiro Costa. – Salvador: UFBA,

2011.

51 f.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de

Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2011.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Estabilidade Harmˆonica. 2. Hipersuperf´ıcies M´ınimas. 3. Curvatura

de Ricci. I. Barbosa, Jos´e Nelson Bastos. II. Universidade Federal da Bahia,

Instituto de Matem´atica. III. Hipersuperf´ıcies M´ınimas Completas Est´aveis

Harmˆonicas em uma Variedade Riemanniana .

Caio Eduardo Pinheiro Costa

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao

Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da

Universidade Federal da Bahia como requisito

parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em

Matem´atica, aprovada em 27 de maio de 2011.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador)

UFBA

Prof. Dr. Pedro Antonio Hinojosa Vera

UFPB

Prof. Dra. Ana Lucia Pinheiro Lima

`

Primeiramente, agrade¸co a Deus por ter me dado sa´ude e determina¸c˜ao necess´arios

para a supera¸c˜ao das dificuldades encontradas ao longo desse caminho.

Aos meus pais, Mˆonica e Eduardo, e meus av´os, Enalva e Ney, por colaborarem

com meu crescimento e entenderem, por diversas vezes, a minha ausˆencia. N˜ao h´a palavras

que expressem minha sincera gratid˜ao e admira¸c˜ao por minha m˜ae e minha av´o. Com

muito esfor¸co, vocˆes sempre me deram muito mais do que eu precisei e o melhor que possa

existir: o amor incondicional. Vocˆes duas s˜ao os meus maiores exemplos de vida, e sem

vocˆes nada disso valeria a pena.

Agrade¸co tamb´em a Gilberto, algu´em que j´a faz parte da fam´ılia e tornou-se muito amigo

e prestativo, em muitas ocasi˜oes.

As amigas Ana Paula, Ariane e Teresa, que estiveram muito presentes nestes

dois anos, agrade¸co por muitas e muitas palavras sinceras, momentos de felicidade e

cumplicidade. A Antˆonio Marcos, que foi uma pessoa indispens´avel para a realiza¸c˜ao

deste trabalho, me dando for¸ca, incentivo e ajuda em alguns momentos de fraqueza;

muito obrigado, de verdade, pela compreens˜ao e pela amizade verdadeira.

Ao meu orientador, Prof. Jos´e Nelson, pela sua orienta¸c˜ao, confian¸ca e

ensinamentos. Sou muito grato por sua paciˆencia, descontra¸c˜ao e contribui¸c˜ao na minha

forma¸c˜ao.

Ao professor Pedro Hinojosa pelas sugest˜oes, corre¸c˜oes, bem como por concordar

em participar da banca.

Agrade¸co aos colegas de mestrado, em muito especial aos meus amigos

Francisleide, K´atia e Renivaldo; foram muitas e muitas horas de aprendizado, tanto

matem´atico quanto de vida. Vocˆes trˆes fizeram com que estes dois anos dif´ıcies

tor-nassem menos dolorosos, com muitas risadas e momentos especiais. Agrade¸co tamb´em a

minha grande amiga Ela´ıs pelo carinho, apoio e momentos inesquec´ıveis.

A todos os professores da Universidade Federal da Bahia que de alguma forma

forneceram. Em especial, ao professor Enaldo Vergasta e a professora Ana Lucia, pessoas

que admiro muito e sempre mostraram-se presentes, proporcionando-me apoio, for¸ca e

conhecimento; agrade¸co tamb´em a professora Ana Lucia por concordar em participar da

banca.

Aos funcion´arios do IM, em especial a D. Tˆania pela boa-vontade, incentivo e

pelos esclarecimentos sobre procedimentos acadˆemicos e a D. Zez´e por sua constante

aten¸c˜ao.

Agrade¸co tamb´em a todos que de alguma maneira contribu´ıram para que esse

momento se concretizasse.

Resumo

Nesta disserta¸c˜ao, versaremos sobre estabilidade harmˆonica de hipersuperf´ıcies

m´ınimas em uma variedade Riemmaniana. O resultado principal mostra que uma

su-perf´ıcie m´ınima completa est´avel harmˆonica em uma variedade Riemanniana de curvatura

de Ricci n˜ao negativa ´e conformemente equivalente ao planoR2 _{ou ao cilindro S}1_×R.O

trabalho ´e baseado no artigo dos autores Qing-Ming Cheng and Young Jin Suh, intitulado

“Complete Harmonic Stable Minimal Hypersurfaces in a Riemannian Manifold”.

In this dissertation, we deal with some results concernig harmonic stability for

complete minimal hypersurfaces in a complete Riemannian manifold. The main result

shows that a complete stable minimal surface in a Riemannian manifold of nonnegative

Ricci curvature is conformally equivalent to either a planeR2 _{or a cylinder S}1_{×R. The}

work is based on the paper of the authors Qing-Ming Cheng and Young Jin Suh, entitled

“Complete Harmonic Stable Minimal Hypersurfaces in a Riemannian Manifold”.

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 4

1.1 Gradiente, Divergˆencia, Laplaciano . . . 4

1.2 Forma Elemento de Volume . . . 13

1.3 F´ormula de Bochner-Weitzenbock . . . 16

1.4 Conex˜ao Induzida . . . 21

1.5 Superf´ıcies de Riemann . . . 25

2 Hipersuperf´ıcies M´ınimas Est´aveis 28

3 Estabilidade Harmˆonica 34

4 Superf´ıcies M´ınimas Est´aveis Harmˆonicas 41

A investiga¸c˜ao de hipersuperf´ıcies m´ınimas completas imersas em uma variedade

Riemanniana floresceu no s´eculo passado e, desde ent˜ao, uma boa compreens˜ao de sua

geometria local e estruturas topol´ogicas foi obtida. O teorema cl´assico de Bernstein afirma

que um gr´afico m´ınimo completo no espa¸co EuclideanoR3 _{tem que ser um plano. Como}

generaliza¸c˜ao, Almgren [2], De Giorgi [7], Fleming [12] e Simons [16] provaram que um

gr´afico m´ınimo completon₋dimensional no espa¸co EuclideanoRn+1_{, comn ≤7,tem que}

ser um hiperplano. Mas, paran ≥8,Bombieri, De Giorgi e Guisti [3] encontraram gr´aficos inteiros m´ınimos em Rn+1 _{n˜ao lineares. Como gr´aficos m´ınimos tem a propriedade de}

minimizar ´area, resultado este provado por do Carmo, ´e natural considerar hipersuperf´ıcies

m´ınimas est´aveis em Rn+1_{. Em 1979, do Carmo e Peng [8], provaram que uma superf´ıcie}

m´ınima completa est´avel em R3 _{deve ser um plano. Simultaneamente, Fisher-Colbrie e}

Schoen [11] mostraram que uma superf´ıcie m´ınima completa est´avelM em uma variedade

Riemanniana completa 3−dimensional N, com curvatura escalar n˜ao-negativa, tem que ser conformemente equivalente a um plano ou conformemente equivalente ao cilindro

S1_{×R. Em particular, quando N =R}3_{, obtiveram queM ´e um plano.}

Por outro lado, com foco no Teorema de Bernstein generalizado, foi questionado

por Yau, em [18], se ´e poss´ıvel provar que toda hipersuperf´ıcie m´ınima completa est´avel

em Rn+1 _{(n ≤ 7) ´e um hiperplano. Embora muitos trabalhos nesta dire¸c˜ao tem sido}

feitos, este problema permanece em aberto. Por exemplo, Shen e Zhu [15] mostraram

que uma hipersuperf´ıcie m´ınima completa est´avel emRn+1 _{com curvatura total finita tem}

que ser um hiperplano. Cheng e Wan, em [5], provaram que uma hipersuperf´ıcie m´ınima

completa emR4 _{com curvatura escalar constante ´e um hiperplano.}

Em [13], Jiaqiang Mei e Senlin Xu introduziram a no¸c˜ao deestabilidade harmˆonica

e ´ındice harmˆonico para uma hipersuperf´ıcie m´ınima completa em Rn+1 _{da seguinte}

maneira : sendo M uma hipersuperf´ıcie m´ınima em Rn+1_{, define-se uma forma bilinear}

por

2

I(X, Y) =

Z

M{h∇

X,_∇Y_{i −}S_hX, Y_i}dM, _∀X, Y _∈Γc(T M),

onde Γc(T M) ´e o conjunto de campos de vetores tangentes com suporte compacto em

M, S ´e o quadrado da norma da segunda forma fundamental e _∇ ´e a conex˜ao induzida em M. Observemos que a express˜ao acima ´e inspirada na forma bilinear associada ao

operador de estabilidade, o qual atua em um espa¸co de fun¸c˜oes. O´ındice harmˆonico de

M, h(M),´e definido como a dimens˜ao m´axima dos espa¸cos vetoriais nos quaisI´e negativa definida. Se h(M) = 0, M ´e dita est´avel harmˆonica. Foi provado em [13] que a condi¸c˜ao de estabilidade harmˆonica ´e mais fraca que a de estabilidade.

Esta disserta¸c˜ao ser´a baseada no artigo Complete Harmonic Stable Minimal Hypersurfaces in a Riemannian Manifold, de Qing-Ming Cheng e Young Jin Suh [6], publicado no Monatsh Math, em 2008, no qual ´e introduzido o conceito de estabilidade

harmˆonica para uma hipersuperf´ıcie m´ınima em uma variedade Riemanniana completa

qualquer, que generaliza o conceito apresentado em [13]. Neste contexto, o ´ındice de M

ser´a definido como sendo o ´ındice da forma bilinear

I(X, Y) =

Z

M{h∇

X,_∇Y_{i −}(RicN(ν, ν) +S)_hX, Y_i}dM .

O objetivo principal deste trabalho ´e apresentar uma demonstra¸c˜ao de um

resultado que generaliza os teoremas provados por Do Carmo e Peng [8] e Fisher-Colbrie

e Schoen [11], citados anteriormente, para uma hipersuperf´ıcie m´ınima completaM2 _em

uma variedade Riemanniana completa N3_{. Mais precisamente, o seguinte resultado.}

Teorema. Seja N3 _{uma variedade Riemanniana completa com curvatura de Ricci n˜ao}

negativa e M2 _{uma superf´ıcie m´ınima orientada completa est´avel harmˆonica em N}3_.

Ent˜ao, M ´e conformemente equivalente ao plano R2 _{ou ao cilindro S}1_×R.

Embora o teorema citado refira-se a variedades bi-dimensionais, alguns dos

resul-tados necess´arios para a sua demonstra¸c˜ao ser˜ao apresenresul-tados num contexto mais geral

para variedades Riemannianas de dimens˜ao qualquer.

Este trabalho consta de quatro cap´ıtulos. O primeiro cap´ıtulo ´e dedicado a

con-ceitos e resultados b´asicos de Geometria Riemanniana, que est˜ao relacionados com o

No segundo cap´ıtulo, exibiremos as f´ormulas da primeira e da segunda varia¸c˜ao

para uma imers˜ao entre variedades Riemannianas, as quais representam, respectivamente,

a primeira e a segunda derivada da fun¸c˜ao ´area associada a uma varia¸c˜ao, e o conceito de

estabilidade.

No terceiro cap´ıtulo, introduziremos o conceito de estabilidade harmˆonica. Ser´a

visto que a condi¸c˜ao de estabilidade harmˆonica ´e mais fraca que a de estabilidade, isto ´e,

que toda hipersuperf´ıcie m´ınima completa est´avel ´e est´avel harmˆonica.

Finalmente, no quarto cap´ıtulo, apresentaremos a demonstra¸c˜ao do principal

Cap´ıtulo 1

Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar alguns conceitos e resultados b´asicos, e

alguns resultados relevantes que ser˜ao utilizados ao longo deste trabalho.

1.1

Gradiente, Divergˆ

encia, Laplaciano

Nesta se¸c˜ao definiremos gradiente, divergˆencia e laplaciano em uma variedade

Rie-manniana, determinando para cada um destes suas express˜oes em rela¸c˜ao a um

referencial ortonormal. Destacaremos alguns resultados b´asicos que utilizaremos no nosso

trabalho.

Consideremos M uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n e denotemos por

h, i a sua m´etrica, ∇ a conex˜ao Riemanniana relativa a esta m´etrica, X_{(M) o conjunto}

dos campos de vetores de classe_C∞ _{em M eC}∞_{(M) o anel das fun¸c˜oes reais de classe C}∞

definidas emM .Dada uma fun¸c˜aof ∈ C∞_{(M),definimos o gradiente def como o ´unico}

campo ∇f em M dado por

h∇f, Xi=Xf =df ·X , ∀X ∈X_(M).

A divergˆencia de um campoX ∈X_{(M) ´e a fun¸c˜ao divX :M →}R_{, definida por}

divX = tr(Y _{→ ∇}YX),

onde tr denota o tra¸co de uma aplica¸c˜ao linear.

O laplaciano deM ´e definido como o operador ∆ :C∞_{(M)→ C}∞_{(M) dado por}

∆f = div(_∇f), _∀f _{∈ C}∞(M).

Calcularemos, primeiramente, as express˜oes de_∇f, divX e∆f em rela¸c˜ao a um referencial ortonormal_{E1, . . . , En}definido em um aberto de M.Observemos no entanto que as express˜oes do gradiente, da divergˆencia e do laplaciano independem do referencial

escolhido, pois o gradiente em cada ponto p _∈ M ´e o vetor que representa o funcional lineardfp e a divergˆencia ´e o tra¸co de uma aplica¸c˜ao linear.

Como, por defini¸c˜ao,

h∇f, Eii=Eif, i= 1, . . . , n,

a express˜ao de∇f ´e

∇f = n

X

i=1

(Eif)Ei. (1.1)

Agora, como divX = tr(Y _{→ ∇}YX), ent˜ao

divX = n

X

i=1

h∇EiX, Eii.

Escrevendo X = n

X

j=1

XjEj , segue que

h∇EiX, Eii = h∇Ei( n

X

j=1

XjEj), Eii= n

X

j=1

h∇EiXjEj, Eii

= n

X

j=1

hEi(Xj)Ej +Xj∇EiEj, Eii

= n

X

j=1

hEi(Xj)Ej, Eii+ n

X

j=1

hXj∇EiEj, Eii

= _hEi(Xi)Ei, Eii+ n

X

j=1

Xjh∇EiEj, Eii

= Ei(Xi)hEi, Eii − n

X

j=1

Xjh∇EiEi, Eji

= Ei(Xi)− h∇EiEi, n

X

j=1

XjEji

= Ei(Xi)− h∇EiEi, Xi,

onde usamos que

0 =EihEi, Eji=h∇EiEi, Eji+hEi,∇EiEji

implica

6

Portanto,

div X = n

X

i=1

{Ei(Xi)_{− h∇}EiEi, Xi}. (1.2)

Para o laplaciano, temos

∆f = div(_∇f) = n

X

i=1

{Ei(Eif)− h∇EiEi,∇fi}= n

X

i=1

{Ei(Eif)− ∇EiEi(f)},

isto ´e,

∆f = n

X

i=1

{Ei(Eif)− ∇EiEi(f)}. (1.3)

Lema 1.1.1. Sejam f, g∈ C∞_{(M), h∈ C}∞_{(R), e X ∈X(M). Ent˜ao}

(a) _∇(f +g) = _∇f+_∇g;

(b) _∇(f g) =f _∇g+g _∇f;

(c) ∇(h◦f) =h′ _{◦f· ∇f;}

(d) ∆(f g) =f∆g+g∆f+ 2_h∇f,_∇g_i;

(e) 1 2∆(f

2_{) =f∆f+| ∇f |}2_;

(f) div(f X) = fdivX + h∇f, Xi.

Demonstra¸c˜ao:

(a) Seja X _∈X_{(M) qualquer. Por defini¸c˜ao,}

h∇(f +g), X_i = X(f +g) = Xf+Xg

= _h∇f, X_i+_h∇g, X_i

= _h∇f +_∇g, X_i,

e como X _∈X_{(M) ´e qualquer, conclu´ımos que}

(b) Seja X _∈X_{(M) qualquer. Por defini¸c˜ao,}

h∇(f g), X_i = X(f g) =f Xg+g Xf

= f_h∇g, X_i+g_h∇f, X_i

= _hf _∇g+g _∇f, X_i,

e como X _∈X_{(M) ´e qualquer, conclu´ımos que}

∇(f g) =f ∇g+g ∇f.

(c) Sejam p_∈M e X _∈TpM quaisquer. Por defini¸c˜ao,

h∇(h◦f)p, Xi = d(h◦f)pX =h′(f(p))dfpX

= h′_(f(p))h∇f

p, Xi = _hh′(f(p))_∇fp, Xi,

e como p∈M e X ∈TpM s˜ao quaisquer, conclu´ımos que

∇(h_◦f) =h′_◦f_{· ∇}f.

(d) Seja _{E1, . . . , En} um referencial ortonormal definido em um abertop∈U ⊂M . Sabendo que ∆f =

n

X

i=1

{Ei(Ei(f))− ∇EiEi(f)}, ∀f ∈ C

∞_{(M), temos}

∆(f g) = n

X

i=1

{Ei(Ei(f g))_{− ∇}EiEi(f g)}

= n

X

i=1

{Ei(f Ei(g) +gEi(f))₋f _∇EiEi(g)−g ∇EiEi(f)}

= n

X

i=1

{Ei(f Ei(g)) +Ei(gEi(f))₋f _∇EiEi(g)−g ∇EiEi(f)}

= n

X

i=1

{f Ei(Ei(g)) +Ei(g)Ei(f) +gEi(Ei(f)) +Ei(f)Ei(g)

−f ∇EiEi(g)−g ∇EiEi(f)}

= n

X

i=1

f(Ei(Ei(g))− ∇EiEi(g)) + n

X

i=1

g(Ei(Ei(f))− ∇EiEi(f))

+ n

X

i=1

Ei(g)Ei(f) +Ei(f)Ei(g)

= f

n

X

i=1

Ei(Ei(g))_{− ∇}EiEi(g) +g n

X

i=1

Ei(Ei(f))_{− ∇}EiEi(f)

+ 2 n

X

i=1

Ei(f)Ei(g)

8

j´a que

h∇f,_∇g_i = _h n

X

i=1

(Ei(f))Ei, n

X

j=1

(Ej(g))Eji= n

X

i,j=1

Ei(f)Ej(g)hEi, Eji

= n

X

i=1

Ei(f)Ei(g),

pois _{E1, . . . , En}´e um referencial ortonormal. (e) Tomando g =f no item anterior, segue que

∆(f2_{) = 2f∆f+ 2h∇f,∇fi,}

ou seja,

1 2∆(f

2_{) = f∆f+}

| ∇f _|2,

como quer´ıamos.

(f) Sabendo que div X = n

X

i=1

h∇EiX, Eii, onde {E1, . . . , En}´e um referencial ortonor-mal em M ,temos que

div(f X) = n

X

i=1

h∇Ei(f X), Eii = n

X

i=1

hf_∇EiX + Ei(f)X , Ei i

= n

X

i=1

f_h∇EiX, Eii + Ei(f)hX, Eii

=f

n

X

i=1

h∇EiX, Eii +

*

X,

n

X

i=1

Ei(f)Ei

+

=fdivX + _h∇f, X_i,

finalizando a prova da proposi¸c˜ao.

Se M ´e compacta e orient´avel com bordo ∂M ,para X _∈X_{(M) tem-se que}

Z

M

(divX)dM =

Z

∂Mh

X, ν_idA ,

ondedM edAs˜ao os elementos de volume de M e do bordo ∂M,respectivamente, eν ´e o campo unit´ario normal exterior em ∂M. Este resultado ´e conhecido como

Sejam f, g _{∈ C}∞_{(M). Considerando o campo X = f ∇g, temos deste teorema}

que _Z

M

div(f∇g)dM =

Z

∂M

fh∇g, νidA.

Mas, pelo item (f) do lema anterior,

Z

M

div(f_∇g)dM =

Z

M

(fdiv(_∇g) + _h∇f,_∇g_i)dM

e portanto

Z

M

(f∆g + h∇f,∇gi)dM =

Z

∂M

fh∇g, νidA. (1.4)

Por outro lado, considerando o campoX = g∇f, segue que

Z

M

(g∆f + h∇g,∇fi)dM =

Z

∂M

gh∇f, νidA.

A diferen¸ca entre estas duas ´utimas express˜oes nos d´a

Z

M

(f∆g ₋ g∆f)dM =

Z

∂M

(f_h∇g, ν_{i −} g_h∇f, ν_i)dA. (1.5)

As express˜oes (1.4) e (1.5) s˜ao chamadas F´ormulas de Green.

Introduziremos agora o conceito de variedades conformes.

Seja ϕ : M _−→ N um difeomorfismo, onde N ´e uma variedade Riemanniana. De-notemos, por abuso,_h, _i, _∇e∆ a m´etrica emN,a conex˜ao Riemanniana e o laplaciano

relativos a esta m´etrica, respectivamente. Suponhamos existir uma fun¸c˜ao µ ∈ C∞_(M)

que satisfa¸ca, para todo p_∈M e todo par de vetoresv , w_∈TpM , µ(p)6= 0 e

hdϕp·v, dϕp·wi = µ2(p)hv, wi.

Neste caso, dizemos que ϕ ´e uma aplica¸c˜ao conforme, que M e N s˜ao

variedades conformese que a fun¸c˜ao µ2 _{´e o coeficiente de conformalidade deϕ.}

Dizemos queϕ :M _−→N ´e uma aplica¸c˜ao localmente conforme se, para cada p_∈M

existirVp ⊂M vizinhan¸ca depemM tal queϕ

Vp :Vp →ϕ(Vp) ´e uma aplica¸c˜ao conforme. Neste caso, dizemos queM eN s˜ao variedades localmente conformes.

Supondo ϕ : M _−→ N aplica¸c˜ao conforme, observemos que dados X _∈X_{(M) e}

f _{∈ C}∞_{(M), pondog = f ◦ϕ}−1 _{temos, paraq =ϕ(p),}

10

isto ´e,

(dϕ_·X)g = Xf _◦ϕ−1. (1.6)

O lema seguinte nos mostra como se relacionam as conex˜oes de M e N.

Lema 1.1.2. Se X, Y _∈X_{(M), ent˜ao}

∇dϕ·X(dϕ·Y) = dϕ·

∇XY + 1

2µ2(X(µ

2_{)Y + Y(µ}2_{)X − hX, Yi∇µ}2 ₎

.

Demonstra¸c˜ao:

Seja S(X, Y) o campo emM que satisfaz

∇dϕ·X(dϕ·Y) = dϕ·(∇XY + S(X, Y)), (1.7)

para quaisquer X, Y ∈X_(M).

Utilizando (1.6) obtemos para quaisquer X, Y, Z _∈X_(M),

(dϕ_·X)_hdϕ_·Y, dϕ_·Z_i = (dϕ_·X)(µ2_hY, Z_i) =X(µ2_hY, Z_i)_◦ϕ−1 ,

ou seja,

(dϕ_·X)_hdϕ_·Y, dϕ_·Z_i = _{X(µ2)_hY, Z_i + µ2 X_hY, Z_{i} ◦}ϕ−1 . (1.8) Pela defini¸c˜ao de S, temos tamb´em que

h ∇dϕ·X(dϕ·Y), dϕ·Z i = hdϕ·(∇XY + S(X, Y)), dϕ·Z i

=µ2h∇XY + S(X, Y), Zi ◦ϕ−1

=_{µ2_h∇XY, Zi + µ2hS(X, Y), Zi } ◦ϕ−1. (1.9) Permutando-se Y eZ em (1.9) obtemos

hdϕ_·Y,_∇dϕ·X(dϕ·Z)i = {µ2hY,∇XZi + µ2hY, S(X, Z)i } ◦ϕ−1. (1.10) Pela compatibilidade com a m´etrica da conex˜ao Riemanniana,

Usando novamente a compatibilidade com a m´etrica da conex˜ao Riemanniana, decorre de

(1.8), (1.9),e (1.10) que (1.7) equivale a

X(µ2)hY, Zi = µ2{ hS(X, Y), Zi + hY, S(X, Z)i }. (1.11) Por outro lado, S(X, Y) dado por

S(X, Y) = 1

2µ2{X(µ

2_{)Y + Y(µ}2_)X

− hX, Y_i∇µ2 _}

obviamente verifica

hS(X, Y), Zi = 1

2µ2{X(µ

2_{)hY, Zi + Y(µ}2_{)hX, Zi − Z(µ}2_{)hX, Yi },}

como tamb´em

hS(X, Z), Y_i = 1

2µ2{X(µ 2₎

hY, Z_i + Z(µ2)_hX, Y_{i −} Y(µ2)_hX, Z_{i }}

e consequentemente, satisfaz a equa¸c˜ao (1.11), o que conclui a demonstra¸c˜ao do lema.

A proposi¸c˜ao seguinte nos mostra a rela¸c˜ao que existe entre os laplacianos das

variedades conformes M e N .

Proposi¸c˜ao 1.1.3. Sejam f _{∈ C}∞_{(M) e g ∈ C}∞_{(N) tais que g = f◦ϕ}−1_{. Ent˜ao,}

∆g(q) =

1

µ2∆f +

n−2 2µ4 ∇µ

2_(f)

(p),

onde q=ϕ(p), p_∈M .

Demonstra¸c˜ao:

Seja {E1, . . . , En} um referencial ortonormal definido num aberto p ∈ V ⊂ M . Usando queµ2 _{´e o coeficiente de conformalidade deϕ,´e f´acil ver que{ηF}

1, . . . , ηFn}´e um referencial ortonormal definido no aberto W = ϕ(V), onde η = 1_µ ◦ ϕ−1 e

Fi =dϕ·Ei , i = 1, . . . , n. Assim, de acordo com (1.3) temos emW

∆g = n

X

i=1

12

Utilizando (1.6),temos que

Fig = (dϕ·Ei)g = (Eif)◦ϕ−1,

Fi(Fig) = (dϕ·Ei)((Eif)◦ϕ−1) = (Ei(Eif))◦ϕ−1

Fiη = (dϕ·Ei) 1

µ ◦ϕ

−1 _{= (Ei(}1

µ))◦ϕ

−1_.

Calculemos cada parcela da soma em (1.12). Pelas trˆes express˜oes acima, temos que

ηFi(ηFi(g)) = η(Fiη)(Fig) + η2Fi(Fi(g)) =

1

µ(Ei(

1

µ))(Eif) +

1

µ2(Ei(Eif))

◦ϕ−1.(1.13) E pela compatibilidade com a m´etrica da conex˜ao Riemanniana,

(_∇ηFi(ηFi))g = η(Fiη)(Fig) + η2((∇FiFi)g).

Para desenvolvermos esta ´ultima igualdade, vamos determinar a express˜ao de_∇FiFi .Pelo lema anterior, tem-se

∇FiFi = ∇dϕ·Ei(dϕ·Ei) = dϕ·(∇EiEi + 1

2µ2( 2Ei(µ 2_)E

i − ∇µ2 ) ), decorrendo ent˜ao de (1.6) que

(∇FiFi)g =

(∇EiEi)f + 1

2µ2( 2Ei(µ 2_)E

i − ∇µ2 )f

◦ϕ−1 .

Portanto,

(_∇ηFi(ηFi))g = { 1

µ(Ei(

1

µ))(Eif)

+ 1

µ2( (∇EiEi)f + 1

2µ2( 2Ei(µ 2_)E

i − ∇µ2 )f )} ◦ϕ−1 . Consequentemente, usando esta ´ultima express˜ao e (1.13),o termo geral do somat´orio em

(1.12) ´e

ηFi(ηFi(g))−(∇ηFi(ηFi))g = { 1

µ2(Ei(Eif) − (∇EiEi)f )

−₂1_µ4( 2Ei(µ2)Ei − ∇µ2 )f } ◦ϕ−1. Logo,

∆g = { 1

µ2

n

X

i=1

(Ei(Eif) − (∇EiEi)f )

+ 1

2µ4(

n

X

i=1

∇µ2 − 2 n

X

i=1

Ei(µ2)Ei )f } ◦ϕ−1 =

1

µ2∆f +

n₋2 2µ4 ∇µ

2_(f)

e em q=ϕ(p) temos a f´ormula desejada.

A partir desta proposi¸c˜ao, segue imediatamente o seguinte

Corol´ario 1.1.4. Se ϕ : M2 _{−→ N}2 _{´e um difeomorfismo conforme, f ∈ C}∞_{(M) e}

g ∈ C∞_{(N) s˜ao tais que g =f◦ϕ}−1_{, ent˜ao}

∆g(q) = 1

µ2∆f(p),

onde q=ϕ(p), p_∈M e µ2 _{´e o coeficiente de conformalidade.}

Uma fun¸c˜ao f ∈ C∞_{(M) ´e ditaharmˆonicase ∆f ≡0. Nas condi¸c˜oes do corol´ario}

acima, observemos que f ´e harmˆonica se, e somente se,g ´e harmˆonica.

1.2

Forma Elemento de Volume

Seja M variedade Riemanniana orientada. Seja dM a forma diferencial de grau

n=dim M definida por

dM(v1, . . . , vn)(p) = ±

q

det(_hvi, vji), p∈M, i, j ∈ {1, . . . , n},

ondev1, . . . , vn∈TpM e o sinal + ou−indica se a base{v1, . . . , vn}pertence `a orienta¸c˜ao deM ou n˜ao. dM ´e chamado o elemento de volumede M.

Para todo campo X ∈ X_{(M) definimos o produto interior i(X)dM, de X por}

dM, como a (n₋1)₋forma

i(X)dM(Y2, . . . , Yn) = dM(X, Y2, . . . , Yn), Y2, . . . , Yn∈X(M). Usaremos o seguinte resultado em nosso trabalho.

Lema 1.2.1. Para qualquer X ∈X_(M),

14

Demonstra¸c˜ao:

Sejam p _∈ M e _{Ei}ni=1 um referencial geod´esico em p definido em U ⊂ M.

Podemos supor que_{Ei(q)_{} ⊂}TqM ´e uma base positiva de TqM, ∀q ∈U.

Para cadai∈ {1, . . . , n},seja wi a 1−forma diferencial definida por

wi(Ej) = δij, j ∈ {1, . . . , n}.

Afirmamos que w1∧. . .∧wn = dM, em U.

Com efeito , sejaq ∈U, v1, . . . , vn∈TqM vetores linearmente independentes. Escrevamos

vj = n

X

i=1

aijEi(q) em fun¸c˜ao dos vetores da base{Ei(q)}.

Assim,

w1∧. . .∧wn(v1, . . . , vn) = det

   

w1(v1) · · · w1(vn)

...

wn(v1) · · · wn(vn)

    = det    

a11 · · · a1n ...

an1 · · · ann

   

onde estamos usando quewi(Ej) = δij.

Por outro lado, observemos que para cada i, j _{∈ {}1, . . . , n_},

hvi, vji =

* _n

X

k=1

akiEk(q), n

X

s=1

asjEs(q)

+

= n

X

k=1

akiakj ,

j´a que{Ei} ´e um referencial ortonormal.

DenotandoA =

   

a11 · · · a1n ...

an1 · · · ann

  

e G =

hvi, vji

n×n, temos que

G = ATA

e da´ı,

detG = detATA = (detA)2.

Portanto,

detA = _±√detG.

Conclu´ımos ent˜ao que w1 ∧. . .∧wn(v1, . . . , vn) = dM(v1, . . . , vn). Como q ∈U

Agora, para cadai_{∈ {}1, . . . , n_},considere θi = w1∧. . .∧wbi∧. . .∧wn, ondewbi significa que o fator wi n˜ao est´a presente.

SendoX ∈X_{(U),escrevamos X =} X

i

XiEi.

Afirmamos que i(X)dM = X i

(−1)i+1Xiθi , em U.

De fato , para quaisquerY2, . . . , Yn∈X(U) temos por defini¸c˜ao,

i(X)dM(Y2, . . . , Yn) = dM(X, Y2, . . . , Yn) = dM(

X

i

XiEi, Y2, . . . , Yn)

= X

i

Xi dM(Ei, Y2, . . . , Yn)

= X

i

Xi w1∧. . .∧wn(Ei, Y2, . . . , Yn)

= X

i

Xidet

         

0 w1(Y2) · · · w1(Yn)

... ... . .. ... 1 wi(Y2) · · · wi(Yn)

... ... . .. ... 0 wn(Y2) · · · wn(Yn)

          = X i

Xi (−1)i+1det

wk(Yj)

k=1,...,n, k6=i, j=2,...,n

= X

i

(₋1)i+1_X

i w1∧. . .∧wbi∧. . .∧wn(Y2, . . . , Yn)

= X

i

(₋1)i+1_X

i θi(Y2, . . . , Yn),

e comoY2, . . . , Yn∈X(U) foram tomados arbitr´arios, obtemos

i(X)dM = X i

(₋1)i+1_X

iθi , em U.

Desta ´ultima afirma¸c˜ao segue que

d(i(X)dM) = X i

(−1)i+1 d(Xiθi) =

X

i

(−1)i+1 dXi∧θi +

X

i

(−1)i+1Xi∧dθi. Masdθi ≡0 em p,pois para todo k ∈ {1, . . . , n},

dwk(Ei, Ej) = Ei(wk(Ej)) − Ej(wk(Ei)) + wk([Ei, Ej])

e assim

dwk(Ei, Ej)(p) = Ei(δkj)(p) − Ej(δki)(p) + 0 = 0,

16

Com isso, temos em p,

d(i(X)dM) = X i

(₋1)i+1 _dX

i∧θi.

Por fim, observemos que

X

i

(₋1)i+1 _dX

i∧θi =

X

i

(₋1)i+1 ₍X

j

Ej(Xi)wj)∧θi

= X

i,j

(−1)i+1 Ej(Xi)wj∧θi

= X

i

(₋1)i+1 _Ei(Xi)w

i∧θi

= X

i

Ei(Xi)w1∧. . .∧wn

X

i

Ei(Xi) dM

= divX dM,

onde usamos que wj ∧θi = wj ∧(w1∧. . .∧wbi∧. . .∧wn) = 0, sei6=j, e (₋1)i+1 _w

i∧θi = (−1)i+1 wi ∧(w1∧. . .∧wbi∧. . .∧wn) = w1∧. . .∧wn, como tamb´em (1.2) e o fato de{Ei} ser um referencial geod´esico em p.

Obtemos ent˜ao qued(i(X)dM)(p) = divX(p) dM,e comop∈M foi tomado arbitr´ario, conclu´ımos que

d(i(X)dM) = div X dM.

1.3

F´

ormula de Bochner-Weitzenbock

Nesta se¸c˜ao estabeleceremos alguns resultados envolvendo o hessiano de fun¸c˜oes

de classeC∞ _{e demonstramos a f´ormula de Bochner-Weitzenbock.}

Defini¸c˜ao 1.3.1. Sejam f ∈ C∞_{(M) e p ∈ M. Definimos o hessiano de f no ponto p}

como sendo o operador linear

hessfp :TpM −→TpM

Considerando o tensor Hessf(X, Y) = _h∇X(∇f), Yi, observemos que

Hessf(X, Y) = h∇X(∇f), Yi = Xh∇f, Yi − h∇f,∇XYi

=XY(f)_{− ∇}XY(f),

onde usamos a compatibilidade com a m´etrica da conex˜ao Riemanniana∇ e a defini¸c˜ao de_∇f. Assim,

Hessf(X, Y)−Hessf(Y, X) = XY(f)− ∇XY(f)−[Y X(f)− ∇YX(f)]

= (XY ₋Y X)f + (_∇YX− ∇XY)f

= [X, Y]f + [Y, X]f = 0

ou seja,

Hessf(X, Y) = Hessf(Y, X), _∀X, Y _∈X_(M).

Observa¸c˜ao 1.3.2.

∆f = tr(hessf).

De fato, seja {Ei}ni=1 um referencial ortonormal emM. Assim,

tr(hessf) = n

X

i=1

hhessf(Ei), Eii = n

X

i=1

h∇Ei(∇f), Eii

= n

X

i=1

*

∇Ei n

X

j=1

Ej(f)Ej

!

, Ei

+

= n

X

i=1

n

X

j=1

h∇Ei(Ej(f)Ej), Eii

= n

X

i=1

n

X

j=1

hEj(f)∇EiEj +Ei(Ej(f))Ej, Eii

= n

X

i=1

n

X

j=1

Ej(f)h∇EiEj, Eii+Ei(Ej(f))δij

= n

X

i=1

" _n X

j=1

Ej(f)_h∇EiEj, Eii

!

+Ei(Ei(f))

#

. (⋆)

Por outro lado,

0 = EihEi, Eji = h∇EiEi, Eji+hEi,∇EiEji

Logo,

18

Tamb´em,

∇EiEi(f) = h∇EiEi,∇fi = h∇EiEi, n

X

j=1

Ej(f)Eji

= n

X

j=1

Ej(f)h∇EiEi, Eji.

Substituindo as duas ´ultimas igualdades em (⋆), obtemos

tr(hessf) = n

X

i=1

{−∇EiEi(f) +Ei(Ei(f))} = ∆f,

como quer´ıamos.

Para a demonstra¸c˜ao do pr´oximo teorema, a F´ormula de Bochner-Weitzenbock,

precisamos do seguinte lema.

Lema 1.3.3. Sejam f _{∈ C}∞_{(M) e {E}

i}ni=1 um referencial geod´esico em M. Ent˜ao,

n

X

i=1

(Ei(f)∆(Ei(f))₋Ei(f)Ei(∆f) ) = Ric(_∇f,_∇f),

onde Ric(∇f,∇f) ´e a curvatura de Ricci de M na dire¸c˜ao do campo ∇f.

Demonstra¸c˜ao:

Inicialmente, observemos a validade das seguintes rela¸c˜oes

(1) Ej(Ei(f)) = Ejh∇f, Eii = h∇Ej(∇f), Eii+h∇f,∇EjEii = hessf(Ej, Ei) = hessf(Ei, Ej) = h∇Ei(∇f), Eji,

onde usamos que o referencial {Ei}ni=1 ´e geod´esico.

(2) _∇(Ei(f)) = n

X

j=1

Ej(Ei(f))Ej = n

X

j=1

h∇Ei(∇f), EjiEj , onde na ´ultima igualdade

foi usado o item anterior.

(3) ∆(Ei(f)) = tr(hessEi(f)) = n

X

j=1

hhess(Ei(f))_·Ej, Eji = n

X

j=1

h∇Ej(∇Ei(f)), Eji =

n

X

j,k=1

A partir disto, temos

∆(Ei(f)) = n

X

j,k=1

h h∇Ei(∇f), Eki · ∇EjEk+Ej(h∇Ei(∇f), Eki)Ek , Eji

= n

X

j,k=1

hEj(h∇Ei(∇f), Eki)Ek, Eji

= n

X

j,k=1

Ejh∇Ei(∇f), Eki ·δkj

= n

X

j=1

h∇Ej∇Ei(∇f), Eji+h∇Ei(∇f),∇EjEji

= n

X

j=1

h∇Ej∇Ei(∇f), Eji.

Logo,

n

X

i=1

Ei(f)∆(Ei(f)) = n

X

i,j=1

Ei(f)_h∇Ej∇Ei(∇f), Eji (∗)

Por outro lado,

Ei(∆f) = Ei n

X

j=1

Ej(Ej(f))− ∇EjEj(f)

!

= Ei n

X

j=1

Ej(Ej(f)

!

= Ei n

X

j=1

h∇Ej(∇f), Eji

!

= n

X

j=1

Eih∇Ej(∇f), Eji

= n

X

j=1

h∇Ei∇Ej(∇f), Eji,

onde usamos a rela¸c˜ao (1) acima e o fato de ser_{Ei}ni=1 um referencial geod´esico.

Consequentemente,

n

X

i=1

Ei(f)Ei(∆f) = n

X

i=1

Ei(f) n

X

j=1

h∇Ei∇Ej(∇f), Eji

= n

X

i,j=1

Ei(f)_h∇Ei∇Ej(∇f), Eji (∗∗)

20

n

X

i=1

Ei(f)∆(Ei(f))₋Ei(f)Ei(∆f)

= n

X

i,j=1

Ei(f)(_h∇Ej∇Ei(∇f), Eji − h∇Ei∇Ej(∇f), Eji)

= n

X

i,j=1

Ei(f)(_h∇Ej∇Ei(∇f)− ∇Ei∇Ej(∇f), Eji)

= n

X

i,j=1

Ei(f)(_hR(Ei, Ej)∇f , Eji)

= n X j=1 hR( n X i=1

Ei(f)Ei, Ej )∇f , Ej i

= n

X

j=1

hR(∇f, Ej)∇f , Ej i

= Ric(_∇f,_∇f),

o que prova o lema.

Podemos agora demonstrar o

Teorema 1.3.4. (F´ormula de Bochner-Weitzenbock)

Seja f _{∈ C}∞_{(M). Ent˜ao,}

1

2∆| ∇f |

2 _{= Ric(}

∇f,_∇f) +_h∇f,_∇(∆f)_i+_|hessf _|2,

onde |hessf |2 ₌

n

X

i,j=1

h∇Ei(∇f), Eji

2 _{e {E}

i}ni=1 um referencial ortonormal em M.

Demonstra¸c˜ao:

Seja _{Ei}ni=1 um referencial ortonormal em M . Sabendo que

| ∇f _|2 = n

X

i=1

(Ei(f))2,

temos

∆_{| ∇}f _|2 = ∆( n

X

i=1

(Ei(f))2) = n

X

i=1

∆(Ei(f))2 =

n

X

i=1

2(Ei(f)∆(Ei(f))+| ∇(Ei(f))|2 ) = 2

n

X

i=1

onde usamos o Lema 1.1.1₋item (e).

Assim, usando o lema anterior, segue que

1

2∆| ∇f |

2 ₌

n

X

i=1

Ei(f)∆(Ei(f)) + n

X

i=1

| ∇(Ei(f))|2

= Ric(∇f,∇f) + n

X

i=1

Ei(f)Ei(∆f) + n

X

i=1

| ∇(Ei(f))|2 _.

Mas,

h∇f,_∇(∆f)_i= =

* _n

X

i=1

Ei(f)Ei, n

X

j=1

Ej(∆f)Ej

+

= n

X

i=1

Ei(f)Ei(∆f),

pois o referencial_{Ei}ni=1 ´e ortonormal.

Tamb´em, pela rela¸c˜ao (2) na prova do lema anterior temos

| ∇(Ei(f))|2 _{= h ∇(Ei(f)),∇(Ei(f))i =}

n

X

j=1

h∇Ei(∇f), Eji

2_.

Logo,

n

X

i=1

| ∇(Ei(f))|2 ₌

n

X

i,j=1

h∇Ei(∇f), Eji

2 _{=|hessf |}2 _.

Conclu´ımos ent˜ao que

1

2∆| ∇f |

2 _{= Ric(}

∇f,_∇f) +_h∇f,_∇(∆f)_i+_|hessf _|2,

provando o teorema.

1.4

Conex˜

ao Induzida

Seja M uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n e X ∈ X_{(M). Definimos o}

operador

∇X :X_(M)→X_(M)

Z _{7→ ∇}X(Z) = _∇ZX,

22

Observe que _∇X ´e_C∞_{(M)−linear, j´a que}

∇X(W +f Z) = _∇W+f ZX =∇WX+f∇ZX =_∇X(W) +f_∇X(Z),

para quaisquer W, Z _∈X_{(M), f ∈ C}∞_(M).

Sejam X, Y _∈X_{(M). Definamos}

h∇X, Yi:X_{(M)→ C}∞_(M)

Z _{7→ h∇}X, Y_iZ =_h∇X(Z), Y_i=_h∇ZX, Yi.

Note que, pela_C∞_{(M)−linearidade de∇X e pela bilinearidade da m´etrica Riemanniana,}

h∇X, Y_i ´e assim um tensor de ordem 1 em M.

Sejam T, S dois tensores de ordem 1 em M.Definamos

hT, S_i=X i

T(Ei)S(Ei),

sendo_{Ei}ni=1 um referencial ortonormal definido em um aberto deM.

Vejamos, primeiramente, que a igualdade acima independe da escolha do referencial

ortonormal. Para tal, seja {Fi}ni=1 outro referencial ortonormal em M. Escrevendo

Fi =

X

j

aijEj,

temos

hT, SiF =

X

i

T(X j

aijEj)S(

X

k

aikEk) =

X

i

(X

j

aijT(Ej)·

X

k

aikS(Ek))

= X

i

X

j,k

aijaikT(Ej)S(Ek) =

X

i,j,k

aijaikT(Ej)S(Ek)

= X

j,k

(X

i

aijaik)T(Ej)S(Ek) =

X

j,k

δjkT(Ej)S(Ek)

= X

j

T(Ej)S(Ej) =hT, SiE,

o que mostra o que quer´ıamos, onde usamos que a matriz mudan¸ca de base (aij)n×n ´e

ortogonal. ´

E facil ver que a defini¸c˜ao acima ´e uma forma bilinear, sim´etrica e positiva definida e,

portanto, define um produto interno. A partir disto, dado T um tensor de ordem 1 em

|T _|= p_hT, T_i := sX i

(T(Ei))2_,

onde _{Ei}ni=1 ´e qualquer referencial ortonormal definido em um aberto de M.

Sejam X, Y _∈X_{(M). Logo, h∇X, Yi:} X_{(M)→ C}∞_{(M) ´e um tensor de ordem 1}

em M.De acordo com o que vimos acima, definimos ent˜ao

| h∇X, Yi |= sX i

(h∇X, YiEi)2_,

onde {Ei}ni=1 ´e qualquer referencial ortonormal definido em um aberto de M.

Em particular, dado X _∈X_(M),

| h∇X, X_{i |}2 ₌ X

i

(_h∇X, X_iEi)2_{. (1.14)}

Sendo novamente X, Y ∈ X_{(M), sabemos que ∇X, ∇Y :} X_{(M) →} X_{(M) s˜ao}

dois operadores lineares. Definimos ent˜ao

h∇X,_∇Y_i = tr(_∇X∗_{◦ ∇}Y) = X i

h∇X∗_{◦ ∇}Y(Ei), Eii

= X

i

h∇Y(Ei),∇X(Ei)i

= X

i

h∇X(Ei),_∇Y(Ei)_i

para qualquer referencial ortonormal _{Ei}ni=1 definido em um aberto de M, onde ∇X∗ ´e

o operador adjunto associado a ∇X.

Em particular, definimos

h∇X,_∇X_i = X i

h∇X(Ei),_∇X(Ei)i

isto ´e,

| ∇X _|2 = X

i

| ∇X(Ei)|2 . (1.15)

Lema 1.4.1. Seja X ∈X_{(M). Ent˜ao,}

(i) | ∇ |X |2_|2 _{= 4 | h∇X, Xi |}2 _.

24

Demonstra¸c˜ao:

Seja_{Ei}ni=1um referencial ortonormal definido em um aberto deM.Ent˜ao, segue

que

∇ |X |2 _{= ∇hX, Xi =} X

i

EihX, Xi ·Ei

= X

i

2_h∇EiX, Xi ·Ei = 2

X

i

(_h∇X, X_iEi)Ei.

Com isso,

| ∇ |X |2_|2 _{= h∇ |X |}2_{,∇ |X |}2_i

=

*

2X

i

(_h∇X, X_iEi)Ei , 2

X

j

(_h∇X, X_iEj)Ej

+

= 4X

i,j

h∇X, X_iEi· h∇X, XiEj· hEi, Eji

= 4X

i

(h∇X, XiEi)2 = 4_{| h∇}X, X_{i |}2 _,

onde usamos (1.1), o fato da conex˜ao ∇ ser compat´ıvel com a m´etrica e ser {Ei}ni=1 um

referencial ortonormal.

Ou seja,

| ∇ |X |2_|2 _{= 4 | h∇X, Xi |}2_,

o que mostra o item (i).

Para (ii),o c´alculo ´e simples

| h∇X, X_{i |}2 = X i

(_h∇X, X_iEi)2 = X i

h∇EiX, Xi2

= X

i

| h∇EiX, Xi |2 ≤

X

i

| ∇EiX |2|X |2 = |X |2 X

i

| ∇X(Ei)|2 _{=|X |}2 X

i

h∇X(Ei),∇X(Ei)i

= _|X _|2 _{h∇X,∇Xi =|X|}2_{| ∇X |}2_,

onde usamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz para a m´etrica Riemanniana. Portanto,

| h∇X, X_{i | ≤ | ∇}X _||X _|,

como quer´ıamos demonstrar.

1.5

Superf´ıcies de Riemann

Umasuperf´ıcie de Riemann M ´e uma variedade bidimensional, conexa de Haus-dorff, com um atlas maximal _{Uα,zα}α∈A em M (ou seja, {zα(Uα)}α∈A constitui uma

cobertura aberta de M e

zα :Uα ⊂C→M

´e um homeomorfismo de um subconjunto aberto do plano complexo C _{) tal que as}

mu-dan¸cas de parˆametros

fαβ = zα−1◦zβ :zβ−1(zβ(Uβ)∩zα(Uα))→zα−1(zβ(Uβ)∩zα(Uα))

s˜ao holomorfas sempre que zα(Uα)∩zβ(Uβ) 6= ∅ . Pelas equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann, conclu´ımos que toda superf´ıcie de Riemann ´e orient´avel.

Pode-se mostrar que toda superf´ıcie orient´avel M possui uma estrutura de superf´ıcie de

Riemann.

O plano complexoC_{,com a ´unica carta coordenada (}C_{, id),e qualquer subconjunto aberto}

conexo deC _{s˜ao superf´ıcies de Riemann; em particular, o disco unit´ario}

D2 _{={z ∈C;|z |<1}´e uma superf´ıcie de Riemann. A esfera de RiemannC=C∪ {∞},}

com o atlas formado por duas aplica¸c˜oes, a identidade definida emC_{e a aplica¸c˜aoz 7→} 1

z

definida para z ₆= 0 extendida a _∞ por 0_{7→ ∞}, com esta estrutura, ´e uma superf´ıcie de

Riemann.

Uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : M1 → M2 entre duas superf´ıcies de Riemann ´e

dita holomorfa em p _∈ M1 se, dada uma coordenada local {V1, y1} em f(p), existe uma

coordenada local{U1, x1} em ptal que f(x1(U1))⊂y1(V1) e a aplica¸c˜ao

y₁−1_◦f_◦x1 :U1 →C´e um holomorfismo em x−11(p). A fun¸c˜ao f ´e dita holomorfa em um

aberto de M1 se for holomorfa em todos os pontos deste aberto. ´E claro que a defini¸c˜ao

dada ´e independente da escolha das coordenadas locais.

Sef´e bijetiva e holomorfa, ent˜aof−1_{´e holomorfa ef´e ditaequivalˆencia conforme.}

Neste caso,M1 e M2 s˜ao ditasconformemente equivalentes.

Lema 1.5.1. Sejaf :U _⊂R2 _{→V ⊂R}2 _{uma bije¸c˜ao holomorfa entre abertos deC=R}2_.

Ent˜ao, f ´e uma aplica¸c˜ao conforme.

Demonstra¸c˜ao:

Escrevamos f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), (x, y)_∈U. Como f ´e holomorfa, vale as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann

∂u ∂x =

∂v ∂y ,

∂u ∂y =−

26

Sendo_{e1, e2}a base canˆonica de R2, segue que

hdfe1, dfe2i =

∂f ∂x, ∂f ∂y = ∂u ∂x, ∂v ∂x , ∂u ∂y, ∂v ∂y = ∂u ∂x ∂u ∂y + ∂v ∂x ∂v ∂y = 0

e

hdfe1, dfe1i =

∂f ∂x, ∂f ∂x = ∂u ∂x 2 + ∂v ∂x 2 = ∂v ∂y 2 + ∂u ∂y 2

= _hdfe2, dfe2i.

Assim, _hdfei, dfeji=µ2δij =µ2hei, eji, onde µ2 = ∂u_∂x

2

+ ∂v ∂x

2

=∂v ∂y

2

+∂u ∂y

2

.

Agora, se v ´e um campo de vetores qualquer em U, temos que

hdfv, dfvi = hdf(a1e1+a2e2), df(a1e1+a2e2)i

= a2

1µ2he1, e1i+a22µ2he2, e2i

= µ2(a2₁+a2₂) = µ2_hv, v_i,

e portantof ´e uma aplica¸c˜ao conforme.

Seja agora f : M1 → M2 uma equivalˆencia conforme entre duas superf´ıcies de

Riemann. Tomando _{U, x_} e _{V, y_} como parametriza¸c˜oes isot´ermicas em M1 e M2,

respectivamente, tais que f(x(U))⊂y(V), ent˜ao a aplica¸c˜ao

ϕ=y−1◦f ◦x:U ⊂R2 _→y−1_{(f(x(U))) ⊂R}2

´e uma bije¸c˜ao holomorfa, e pelo lema anterior conclu´ımos ser uma aplica¸c˜ao conforme.

Como x e y s˜ao isot´ermicas, ent˜ao s˜ao aplica¸c˜oes conformes. Assim, de ϕ =y−1_{◦f ◦x}

segue quef =y◦ϕ◦x−1 _{´e um difeomorfismo, e por composi¸c˜ao ´e localmente conforme.}

Portanto, f ´e uma aplica¸c˜ao localmente conforme.

Uma aplica¸c˜ao cont´ınua π:Mf_→M entre duas variedades diferenci´aveis chama-se umaaplica¸c˜ao de recobrimentoquando cada pontop_∈M pertence a um abertoV _⊂M

tal queπ−1_{(V) =}S

αUα ´e uma reuni˜ao de abertos Uα ⊂ M ,f dois a dois disjuntos, cada um dos quais se aplica por π difeomorficamente sobre V. Assim, podemos dizer que π

para cadap_∈M ,o conjuntoπ−1_{(p) chama-se afibrasobre p.QuandoMf´e simplesmente}

conexo, chamamosMfderecobrimento universal deM .

Dizemos que uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetiva f :Mf→M tem apropriedade de levantamento de caminhos se, dados arbitrariamente um caminho α: [0,1]_→M e um ponto _ep_∈Mftal que f(p_e) =α(0) , existir um caminho α_e: [0,1]_→M ,f tal que α_e(0) = p_e

ef ◦αe=α.

Se existir um ´unico caminho α_e como acima, dizemos que f : Mf _→ M tem a propriedade de levantamento ´unico de caminhos. Prova-se que qualquer recobrimento possui tal propriedade.

O teorema a seguir caracteriza o recobrimento universal de qualquer superf´ıcie

de Riemann.

Teorema 1.5.2. (Teorema da Uniformiza¸c˜ao de Koebe) O recobrimento universal de qualquer superf´ıcie de Riemann ´e conformemente equivalente ao disco unit´ario D2 _{, ao}

plano R2 _{ou `a esfera C.}

Cap´ıtulo 2

Hipersuperf´ıcies M´ınimas Est´

aveis

No presente cap´ıtulo, introduziremos o conceito de varia¸c˜ao de uma imers˜ao

e em seguida apresentaremos as f´ormulas da primeira e segunda varia¸c˜ao da fun¸c˜ao

volume associada a cada varia¸c˜ao. A f´ormula da primeira varia¸c˜ao nos permite

carac-terizar as hipersuperf´ıcies m´ınimas como pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao volume, enquanto que

a da segunda ´e de fundamental importˆancia quando se tenta encontrar um m´ınimo local

desta fun¸c˜ao para cada varia¸c˜ao. Esta tentativa nos conduz ao problema de estabilidade,

que ´e o objetivo de estudo deste cap´ıtulo.

Sejam M uma variedade Riemanniana e x : M _→ M uma imers˜ao, onde M ´e

uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n. Suponhamos que M ´e compacta orientada com bordo ∂M.

Formalizemos agora o conceito de varia¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.0.3. Umavaria¸c˜aoda imers˜ao x´e uma aplica¸c˜aoX :I_×M _→M de classe

C∞_{, onde I = (−ε, ε), que satisfaz:}

(i) cada aplica¸c˜ao xt :M →M definida por xt(p) = X(t, p) ´e uma imers˜ao;

(ii) x0 =x;

(iii) xt

_∂M =x_∂M,para todo t_∈I.

Para o campo ∂

∂t em I, indicaremos sua extens˜ao (de maneira usual) ao produto I_×M simplesmente por ∂

∂t.

Seja W o campo em x(M) definido por

W =dX· ∂

∂t

_t

=0

.

Observemos que para cada p _∈ M, W(p) ´e o vetor velocidade, em t = 0, da curva

α:I _→M definida por α(t) =X(t, p).O campo W ´e denominado campo variacional da varia¸c˜aoX.

Seja dMt o elemento de volume de M na m´etrica induzida por xt, para cada

t_∈(₋ε, ε).Definamos a fun¸c˜ao _A: (₋ε, ε)_→R _por

A(t) =

Z

M

dMt.

Isto ´e, A(t) ´e o volume de M com rela¸c˜ao `a m´etrica induzida porxt.

O teorema seguinte nos mostra a express˜ao da primeira derivada da fun¸c˜ao _A(t)

em t= 0.

Teorema 2.0.4 (f´ormula da primeira varia¸c˜ao).

dA dt t=0

=−n

Z

M

h−→H , WidM ,

onde −→H ´e o campo curvatura m´edia da imers˜ao.

Demonstra¸c˜ao: Pode ser encontrada em [4] .

Decorre deste teorema que a imers˜ao x ´e m´ınima se, e somente se, dA

dt t=0

= 0,

para a fun¸c˜ao volume _A correspondente a cada varia¸c˜ao como definida anteriormente.

Com efeito, se x ´e m´ınima ent˜ao −→H ≡ 0, e portanto dA

dt _t =0

= 0, para toda

varia¸c˜ao dex.Reciprocamente, suponha que dA

dt t=0

=−n

Z

M

h−→H , WidM = 0, para

qual-quer campo W em M. Suponhamos que exista um ponto p _∈ M tal que −→H(p) ₆= 0.

Assim, pela continuidade do campo−→H existe uma vizinhan¸caU _⊂M do pontop tal que

− →

H(q)6= 0, ∀q ∈U. Tomemos comoW um campo em M de forma queW ≡−→H , em U e

W _≡0, em M_\U. Logo,

Z

M

h−→H , WidM =

Z

U

h−→H , WidM =

Z

U

|−→H |2 _{dM >0,}

e ent˜ao para tal campoW,₋n

Z

Mh

− →_{H , W}

idM <0,o que contraria nossa hip´otese, mostrando

que de fato devemos ter−→H ≡0,ou seja, x ´e m´ınima.

Podemos dizer ent˜ao que a imers˜ao x ´e m´ınima se, e somente se, x ´e um ponto cr´ıtico para a fun¸c˜ao volume _A correspondente a cada varia¸c˜ao como definida

anterior-mente. Mais precisamente, pelo fato de quex´e m´ınima se e somente se dA

dt _t =0

30

que o ponto t = 0, o qual est´a associado `a imers˜ao x, ´e um ponto cr´ıtico para a fun¸c˜ao

A relativa a cada varia¸c˜ao. ´E neste sentido que dizemos serem as imers˜oes m´ınimas os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao volume.

Se x ´e uma imers˜ao m´ınima, ´e natural ent˜ao perguntar se, para cada varia¸c˜ao,

x representa um m´ınimo local desta fun¸c˜ao, isto ´e, se temos _A(0) _{≤ A}(t), para todo

t∈(−ε, ε) e para toda varia¸c˜ao dex.Como este ´e um problema de determinar o m´ınimo de uma fun¸c˜ao diferenci´avel _A : (₋ε, ε) _→ R_{, ´e preciso conhecermos a express˜ao de}

d2_A

dt2

_t

=0

, chamada f´ormula da segunda varia¸c˜ao,que apresentaremos a seguir.

De acordo com nosso interesse neste trabalho, faremos algumas restri¸c˜oes.

Su-poremos a partir de agora que a imers˜aox´e m´ınima e tem codimens˜ao 1,e que a varia¸c˜ao

X´e normal, isto ´e, o campoW ´e um campo normal. Assim, escreveremosW =f N, onde

f _{∈ C}∞_{(M) e N ´e uma orienta¸c˜ao de M. Observemos que, como X fixa o bordo de M,}

temos queW_|∂M ≡0, e essa condi¸c˜ao equivale a f|∂M ≡0.

Temos ent˜ao o seguinte resultado.

Teorema 2.0.5 (f´ormula da segunda varia¸c˜ao).

δ_f2_A = d

2_A

dt2

_t=0 =−

Z

M{

f∆f+ (Ric_M(N, N) +S)f2_}dM ,

onde Ric_M(N, N) ´e a curvatura de Ricci de M na dire¸c˜ao N e S = _| B _|2 _{´e o quadrado}

da norma da segunda forma fundamentalB da imers˜ao.

Demonstra¸c˜ao: Pode ser encontrada em [4] .

Consideremos x : Mn _{→ M}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie orientada imersa em uma} variedade Riemanniana M .Suponhamos que M compacta com bordo∂M.

Fixado N uma orienta¸c˜ao de M, denotemos por A o operador de M com respeito a N

dado por

A :X_(M)→X_(M),

AX =−(∇XN)T, X ∈X(M).

Cada fun¸c˜ao suave f ∈ H(M), onde H(M) = {f ∈ C∞_{(M) ; f|}

∂M ≡ 0}, induz uma varia¸c˜ao normal

X : (₋ε, ε)_×M _→M ,

Podemos ent˜ao considerar a fun¸c˜ao volume A: (−ε, ε)→R_{, A(t) =}

Z

M

dMt. Assim, pela f´ormula da primeira varia¸c˜ao,

δfA=

d_A dt

t=0

=₋n

Z

Mh

− →

H , W_idM =₋n

Z

M

Hf dM ,

onde H ´e a curvatura m´edia dex.

Como consequˆencia, M ´e uma hipersuperf´ıcie m´ınima se, e somente se, δfA = 0, ∀f ∈

H(M).

O operador estabilidade desse problema variacional ´e dado pela f´ormula da

se-gunda varia¸c˜ao, como sendo

δf2A =

d2_A

dt2

t=0

=₋

Z

M{

f∆f+ (Ric_M(N, N) +S)f2_}dM .

Disso, definimos a forma bilinearQ:C∞_{(M)× C}∞_{(M)→Ragindo no espa¸co das fun¸c˜oes}

suaves emM como

Q(f, g) = ₋

Z

M{

f∆g+f(Ric_M(N, N) +S)g_}dM .

O ´ındice de uma hipersuperf´ıcie m´ınima M, denotado por Ind(M), ´e definido como sendo a dimens˜ao m´axima de qualquer subespa¸coV deH(M) no qualQ´e negativa definida, ou seja

Ind(M) = max_{dim V :V _≤H(M)e Q(f, f)<0para toda f _∈V_}.

Uma hipersuperf´ıcie m´ınima ´e dita est´avel se Q(f, f)≥ 0 para toda f ∈ H(M).

Caso contr´ario, ´e dita inst´avel.Equivalentemente, em termos de ´ındice, estabilidade significa que Ind(M) = 0.

Intuitivamente, Ind(M) mede o n´umero de dire¸c˜oes independentes nas quais a hipersuperf´ıcie deixa de minimizar volume. Para ver isto, observe que seQ(f, f)<0 para

alguma f ∈ H(M), ent˜ao δ2

fA <0 e portanto V olume(M) > V olume(Mt) para valores pequenos de t ₆= 0, na varia¸c˜ao normal induzida por f, onde Mt significa a variedade M dotada com a m´etrica induzida porxt.Da´ı a hipersuperf´ıcie m´ınima M, enquanto ponto

cr´ıtico do funcional volume, n˜ao ´e um m´ınimo local.

Vamos agora formalizar a defini¸c˜ao de estabilidade, para uma hipersuperf´ıcie

m´ınima n˜ao necessariamente compacta. De uma maneira geral, consideraremos este

32

Defini¸c˜ao 2.0.6. Sejax:Mn

→Mn+1 uma hipersuperf´ıcie m´ınima orientada imersa em uma variedade RiemannianaM . SejaD_⊂M um dom´ınio limitado com fecho compacto.

Dizemos que D´e est´avel se δ2

fA ≥0 para qualquer f ∈H(D).Dizemos que M ´eest´avel se todo dom´ınio limitadoD_⊂M, com fecho compacto, ´e est´avel.

Observa¸c˜ao 2.0.7. Notemos que sendox:Mn_→Mn+1_{uma hipersuperf´ıcie m´ınima} ori-entada imersa em uma variedade RiemannianaM , fixadoN uma orienta¸c˜ao de M temos queM ´e est´avel se, e somente se, _∀f _{∈ C}∞

0 (M)(fun¸c˜oes suaves com suporte compacto)

−

Z

M{

Sf2+ Ric_M(N, N)f2_{− | ∇}f _|2_}dM _≥ 0.

Com efeito, supondo M est´avel seja f ∈ C∞

0 (M). Tomando D = suppf, temos

queD= suppf ´e compacto ; tamb´em, f|∂D ≡0,pois caso existissep∈∂Dcom f(p)6= 0, pela continuidade de f existiria V _⊂ M vizinhan¸ca de p tal que f(q) ₆= 0,_∀ q _∈ V, e

ent˜ao ter´ıamos V ⊂ suppf, o que n˜ao ocorre por hip´otese. Assim, pela estabilidade de

M, δ2

fA ≥0. Com isso,

−

Z

M

{Sf2+ RicM(N, N)f2− | ∇f |2}dM =

Z

D

| ∇f |2 _{dM −}

Z

D

{Sf2+ RicM(N, N)f2}dM

= ₋

Z

D

f∆f dM ₋

Z

D{

Sf2+ Ric_M(N, N)f2_}dM

= −

Z

D

{f∆f +Sf2+ RicM(N, N)f2}dM =δ2fA ≥0. Ou seja,_∀f _{∈ C}∞

0 (M),

−

Z

M{

Sf2+ Ric_M(N, N)f2_{− | ∇}f _|2_}dM _≥0.

Aqui, usamos o seguinte. SeX =_∇

f2

2

, usando o teorema de Stokes e o Lema(1.2.1),

temos Z D ∆ f2 2 dM = Z D

divXdM =

Z

D

d(i(X)dM) =

Z

∂D

i

∇(f

2

2 )

dM = 0,

pois f_{|∂D ≡} 0. Da´ı, usando o Lema 1.1.1 ₋ item (e) e o fato que ∆(f₂2) = 1 2∆(f

2_),

conclu´ımos que

Z

D

| ∇f _|2 _{dM =−}

Z

D

f∆f dM .

Reciprocamente, supondo que ∀f ∈ C∞

0 (M)

−

Z

M{

seja D _⊂ M um dom´ınio limitado com D compacto. Tomemos f _{∈ C}∞_{(D), f|}

∂D ≡ 0. Consideremosf _{∈ C}∞_{(M) dada por:}

f(x) =

  

f(x), x_∈D

0, x /∈D

Logo, suppf _⊂D ´e compacto e ent˜ao f _{∈ C}∞

0 (M). Da´ı, por hip´otese, segue que

−

Z

D{

f∆f +Sf2+ Ric_M(N, N)f2_}dM

= ₋

Z

D{

Sf2+ Ric_M(N, N)f2_{− | ∇}f _|2_}dM

= −

Z

M

{Sf2+ RicM(N, N)f

2

− | ∇f |2_{}dM ≥0,}

Cap´ıtulo 3

Estabilidade Harmˆ

onica

No presente cap´ıtulo, introduziremos o conceito de estabilidade harmˆonica e

´ındice harmˆonico para uma hipersuperf´ıcie m´ınima em uma variedade Riemanniana

completa qualquer. Veremos um resultado que mostra que a condi¸c˜ao de estabilidade

harmˆonica ´e mais fraca que a de estabilidade, enquanto que um segundo resultado ser´a

´

util para a demonstra¸c˜ao do teorema principal deste trabalho.

Seja Mn _{uma hipersuperf´ıcie m´ınima orientada em uma variedade Riemanniana} completa Nn+1_{. Definimos uma forma bilinear atrav´es da igualdade:}

I(X, Y) =

Z

M{h∇

X,_∇Y_{i −}(RicN(ν, ν) +S)_hX, Y_i}dM,

para quaisquer X, Y ∈ Γc(T M), que ´e o conjunto de campos de vetores tangentes com suporte compacto emM, onde S denota o quadrado da norma da segunda forma funda-mental,_∇ ´e a conex˜ao induzida, RicN(ν, ν) denota a curvatura de Ricci deN na dire¸c˜ao

do vetor normal unit´ario ν para M.

O´ındice harmˆonico deM, h(M),´e definido como a dimens˜ao m´axima dos espa¸cos vetoriais nos quaisI(., .) ´e negativa definida. Se h(M) = 0, M ´e dita est´avel harmˆonica . Conforme vimos no cap´ıtulo anterior, uma hipersuperf´ıcie m´ınima M em uma variedade Riemanniana completa Nn+1 _{´e dita est´avel se}

Z

M{

Sf2+ RicN(ν, ν)f2_}dM _≤

Z

M | ∇

f _|2 dM,

vale para qualquerf _{∈ C}∞

0 (M).

Quando o espa¸co ambiente Nn+1 _{= R}n+1_{, Jiaqiang Mei e Senlin Xu, em [13],}

provaram que uma hipersuperf´ıcie m´ınima completa est´avel tem que ser est´avel harmˆonica.

Veremos agora que tal afirma¸c˜ao ´e v´alida para qualquer espa¸co ambiente.

Proposi¸c˜ao 3.0.8. Uma hipersuperf´ıcie m´ınima orientada completa est´avel Mn _{em uma}

variedade Riemanniana completa Nn+1 _{´e est´avel harmˆonica .}

Demonstra¸c˜ao:

Suponha M est´avel e n˜ao est´avel harmˆonica. Logo, deve existir um campo de vetoresX _∈Γc(T M) tal que

Z

M

{h∇X,∇Xi −(RicN(ν, ν) +S)hX, Xi}dM <0,

isto ´e, _Z

M{

RicN(ν, ν)_|X _|2 +S _|X _|2_}dM >

Z

M | ∇

X _|2 dM.

Sejaε >0 um n´umero real positivo.

ComoX tem suporte compacto, existe r > 0 tal que suppX ⊂Bp(r), onde p∈suppX ´e um ponto fixado eBp(r) ´e uma bola geod´esica com raio r centrada em p.

Escolhemos uma fun¸c˜ao suaveϕ tal que

      

ϕ = 1, em Bp(r),

ϕ = 0, em M\Bp(r+ 1),

| ∇ϕ _|≤2, em M.

Note que ϕ|SuppX = 1 e suppϕ=Bp(r+ 1). Consideremos a fun¸c˜ao fε =ϕ(|X |2 +ε)

1

2 ∈ C∞

0 (M).Usando o Lema 1.1.1, temos que

∇fε = (|X |2 +ε)

1

2 · ∇ϕ+1

2 ·ϕ·(|X |

2 _+ε)−1

2 · ∇(|X |2).

Da´ı, segue que

| ∇fε|2 = h∇fε,∇fεi

= (_|X _|2 _{+ε)· | ∇ϕ |}2 _{+ϕ· h∇ϕ,∇ |X |}2_i

+ 1

4

ϕ2

(|X |2 _+ε) | ∇ |X | 2

|2 .