MODELO
VERSATIL
PARA ESTIMAR
AS PROBABILIDADES
DE
DIAS CHUVOSOS
EM INTERVALOS
MENSAIS
E DE
ALTURAS
DIARIAS
DE CHUVAS
Tese ApresentadaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAà Universidade Federal de Viçosa, como Parte das
Exi9~ncia5 do Curso de Meteorologia Agrícola, para Obtenção do Título de "Maglster Scientiae"
VICOSA
Fi c h a c a t a l o g r á f i c a p r e p a r a d a p e I a Á r e a d e c a t a l o g a ç ã o e C l a s s i f i c a ç ã o d a B i b l i o t e c a C e n t r a l d a UFV
T
M 5 2 8 m 1 9 8 9
M 2 1 o , J o s é S w C i l l l Í P a i s d e .
M o d e l o v e r s á t i l p a r a e s t i m a r a s p r o b a b i l i d a d e s d e d i a s c h u v o s o s e m i n t e r v a l o s m e n s a í . s e d e a l t u -r a s d i á r i a s d e c h u v a s . V i ç o s a . , UFV, 1 9 8 9 . f
9 3 p .
I
T e s e (M.S.) - UFV
I
1. C l i r r a t o l o g i a . 2 . C h u v a s - P r o b a b i l i d a d e s d e
I
d i a s c h u v o s o s . 3 . P r e c i p i t a ç ã o ( M 2 t e o r o l o g i a ) -D 2 p e n d e n t e s d i á r i a s . 4 . C h u v a s - P r o i l l b i l i d a d e s -M 2 t c d o s e s t a t i s t i c n s . 5 . M 2 t e o r o l o g i a . I . U n iv e r-s i d a d e F e d e r a l d e V i ç o s a . . 1 1 . T i t u l o .
e m - 1 8 . e d .
mD -
1 9 . e d .5 5 1 . 6 5 5 1 . 6
-MODELO VERSÁTIL PARA ESTIMAR AS PROBABILIDADES DE
DIAS CHUVOSOS EM INTERVALOS MENSAIS E DE
ALTURAS DIÁRIAS DE CHUVAS
Tese ApresentadaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAà Universidade
Federal de Viçosa, como Parte das
Exigências do Curso de Meteorologia
Agrícola, para Obtenção do Título
de "Magistet- Scientiae"
APROVADA 20 de dezembro de 1988xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
, ~
---/P ro f . Márcia Mata Ramos
~ \ ~ ~, .
(\A\...L~_ ',,',.i-iA J,,-c..--c..---HGFEDCBAÇ 2 ~ ~
~-~---'r'-fof. Dir-ceu Teix eir a Coelho
(Conselheiro)
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---Prof $llbe o C.h ,haku Sedl~ama
I 01 \L ' ,
/ í ,rlen{/aaOr;
I '
J
' ! I I I \
\ .
Aos meus pais (in memoriam)JonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A minha mulher TamarJ
Aos meus filhos PaulaJ
Rafael e Lívia.xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A Universidade Federal de Viçosa, em seu Programa de Pós-Graduação
pela minha inclusão
A Universidade Federal Rural de Pernambuco, pela
compreensao, apoio e incentivo.
Ao Departamento de Engenharia Agrícola e a Central de
Processamento de Dados da Universidade Federal de Viçosa, pelo
apOIO técnico.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (CAPES), pelo suporte financeiro.
Ao Professor Gilberto Chohaku Sedi~ama, pela
orientação, paCiência e compreensão.
Aos Professores Adil Rainier Alves e Dirceu Tei><eira
Coelho, membros do Comitê de Orientação, pelas críticasonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe
sugestões.
Aos Professores Luiz Claudio Costa e Márcio Mota Ramos,
pelas
tese.
críticas e sugestões no transcorrer da defesa desta
iv
Ao estudante Jarbas Peixoto Filho, pela colaboração na
fase de processamento de dados.xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
À Comunidade Viçosense, por sua hospitalidade e
generosidade.
Aos meus colegas de curso, pelo carinho e saudável
. ~ .
conVlvenCla.
À minha mulher e aos meus filhos, pela compreensão,
estímulo e tolerância.
A todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para
JOsr SWAMI PAIS DE MELO, filho de Jos~ Pais de MeIo e
Nair Wanderle:J Barbosa Pais de MeIo, nasceu em Recife,
Pernambuco, em 16 de março de 1952.
Mudou-se para o Rio de Janeiro, onde iniciou os estudos
de 20 grau no Colégio Pedro lI, concluindo-o em 1971.
Em 1976, licenciou-se em Física pela Universidade
Federal do Rio de Janeiro.
Em 1977, retornou a Recife, ingressando-se no quadro
docente do Departamento de Física da Universidade Católica de
Pernambuco.
No período de 1978 a 1980 ingressou, mediante concurso
público, no Instituto Nacional deonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAMeteorolog1a/3. o DISME, desempenhando a função de meteorologista.
Nesse mesmo período, atuou como professor, em regime
parcial, no Departamento de Agronomia da Universidade Federal
Rural de Pernambuco.xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
vi
De outubro a dezembro de 1980 freqUentou, em Israel, o
11xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA0 Curso Internacional de Meteorologia Agrícola, patrocinado
pela Organização Meteorológica Mundial e pelo Estado de Israel.
Desde 1981, tem-se dedicado, em regime de dedicação
exclusiva, as atividades de professor no Departamento de
Agronomia da Universidade Federal Rural de Pernambuco.
No primeiro semestre de 1986, matriculou-se no Curso de
Mestrado em Meteorologia Agrícola,
Viçosa, em Viçosa-MG.
Página
LISTA DE QUADROS .xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1X
LISTA DE FIGURAS xi
EXTRATO . xii
1. INTRODUç:~O 1
2. REVIS~O DE LITERATURAonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA3
2.1. Distribuição de Probabilidade de Dias Secos
e/ou Chuvosos em Dias Consecutivos, para
Intervalos Mensais .. . .. . . 3
2.2. Distribuição de Probabilidades de
Diários de Precipitação .
Totais
1 0
2.3. Precipitações Dependentes Diárias 15
3. MATERIAIS E METODOS 1 7
3 .1 . Distribuições
Consecutivos,
de Dias Chuvosos em
para Intervalos Mensais
1 0 Dias
1 9
3.2. Precipitações Dependentes Diárias .... 23
Vlll
PáginaxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
4. RESULTADOS E DI SCUSS?!íO . 27
4.1. Distribuição de Probabilidades de Dias e/ou Chuvosos em 10 Dias Consecutivos,
Períodos Mensais . .
Secos para
28
4.2. Precipitações Dependentes Diárias 34
4.3. Precipitações Dependentes para Intervalos de 10
Dias . . . ... . .onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA4 0
5. RESUMO E CONCLUSDES ... 42
BIBLIOGRAFIA ... 46
APrNDICES . 49
A - Distribuições de Probabilidades de Dias Chuvosos em
10 Dias Consecutivos, para Intervalos Mensais 50
QUADRO
1 Coordenadas Geográficas e Períodos de Observação
nas Estações Climatológicas Estudadas .
2 Distribuição de Probabilidade de Dias Chuvosos em 10 Dias Consecutivos, no Mês de Janeiro, em Catalão (GO)
3 Coeficientes das Retas de Regressão Ajustadas às Probabilidades Condicionais de Ocorrência de Um
Dia Chuvoso, Dado que o Dia Antecedente Fora
Seco, em Fração Média Mensal de Dias Chuvosos (P(C/S)onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
=
ao + bo P(C»4 Número de Amostras Aleatórias de Totais Diários
de Precipitação Empregadas no Ajustamento da
Distribuição Gama de Dois Parâmetros
5 Coeficientes das Retas de Regressão, Ajustadas aos Parâmetros de Escala da Distribuição Gama,
em Função das Alturas Médias Mensais de
Precipitação dos Dias Chuvosos
<S
=
a1 + b1 H)
lX
Página
1 8
2 9
3 3
35
QUADROxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2A 3A 4A 5A 6A 2B 3B 4B 5B 6B
iA Distribuição de Probabilidade de
em 10 Dias Consecutivos, para
Mensais, em Cat a lonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAão (GO) Dias Chuvosos
Intervalos
Distribuição de Probabilidade de Dias Chuvosos
em 10 Dias Consecutivos, para Intervalos
Mensais, em Goiânia (GO) .
Distribuição de Probabilidade de Dias Chuvosos
em 10 Dias Consecutivos, para Intervalos
Mensais, em Lavras (MG) .
Distribuição de Probabilidade de Dias Chuvosos
em 10 Dias Consecutivos, para Intervalos
Mensais, em Patos de Minas (MG) .
Distribuição de Probabilidade de Dias Chuvosos
em 10 Dias Consecutivos, para Intervalos
Mensais, em Uberaba (MG) .
Distribuição de Probabilidade de Dias Chuvosos
em 10 Dias Consecutivos, para Intervalos
Mensais, em Viçosa (MG) .
1B Precipitações
(GO) .
Dependentes Diárias para Catalão
Precipitações
(GO) .
Dependentes Diárias para Goiânia
Precipitações (MG)
Dependentes Diárias para Lavras
Precipitações Dependentes Diárias para Patos de
Minas (MG) .
Precipitações
(MG) .
Dependentes Diárias para Uberaba
Precipitações
(MG) .
Dependentes Diárias para Viçosa
FIGURA
1 Localização das Estações ClimatológicasonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2 Variação Mensal das Probabilidades de Transição
e das Frações Médias Mensais de Dias Chuvosos,
em Catalão (GO) . .
3 Variação Mensal das Probabilidades de Transição
e das Frações Médias Mensais de Dias Chuvosos, em Viçosa (MG)
4 Diagrama para Determinação das
de Transição, em Função das
Mensais de Dias Chuvosos
Probabilidades Frações Médias
5 Variação Mensal dos Parâmetros de Forma (~) e de
Escala (8) da Distribuição Gama e das Alturas Médias Mensais de Precipitação Diária dos Dias
Chuvosos (H), em Catalão <GO) .
6 Variação ~ensal dos Parâmetros de Forma
<~)
e deEscala (8) da Distribuição Gama e das Alturas Médias Mensais de Precipitação Diária dos Dias
Chuvosos (H ), em Viçosa (MG) .
7 Diagrama para Determinação dos
Distribuição Gama, em Função das Mensais de Precipitação dos Dias
Parâmetros da A1turas Médias Chuvosos
xi
Página
1 9
3 1
32
34
3 6
37
EXTRATO
MELO, José Swami Pais de, M.S., Universidade Federal de Viçosa, julho deonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 9 8 9 . Modelo Vers~til para Estimar as Probabilidades
de Dias Chuvosos em Intervalos Mensais e de Alturas Diárias de Chuvas Professor Orientador: Gilberto Chohaku Sedi~ama.
Professores Conselheiros Dirceu Teixeira Coelho e Adil
Rainier Alves.
Com serles de totais di~rios de chuva registrados em
selS estações climatológicas (Catalão (GO) r Goiânia (GO),
Lavras (MG), Patos de Minas (MG), Uberaba (MG) e Viçosa (MG»,
ajustaram-se modelos estocásticos às distribuições de dias
chuvosos em 1 0 dias consecutivos, para intervalos mensais, e
as distribuições de freqüências de totais diários de chuva
agrupados em períodos mensalS.
Em tais modelos, as varlaVe1.S aleatórias, associadas
àqueles fenômenos, foram tratadas, respectivamente, como
varlavels discretas (binária) e contínuas No primeiro caso,
tais variáveis foram subordinadas a modelos baseados na cadeia
Markov de dois estados. No segundo caso, considerando as
alturas diárias de precipitação independentes, ajustaram-se
essas vari~veis à distribuição gama de dois parâmetros
Tendo em vista a dificuldade de aquisi~ão de dados
climat610gicos referentes a longos períodos de observação e o
reduzido numero de esta~ões alocados nas regiões tropicais,
demonstra-se que os parâmetros das distribuições gama e da
cadeia de Markov de dois estados podem ser facilmente
1. INTRODUC~O
Os conhecimentos acerca das distribuições das
preclpitações pluviais no espaço e no tempo desempenham papel
relevante no planejamento das atividades produtivas. TalonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAé a
importância desses conhecimentos, que condicionam decisões,
seJam de ordem tática ou estratégica, em atividades como
agropecuarla, construção civil, transportes, turismo e outras
exercidas ao ar livre
De um lado, a caracterização dessas dlstribulções por
melo de técnicas estatísticas tradicionais fica prejudicada,
em função da dificuldade de aquisição de dados diários de
chuva referentes a longos períodos de observação, para a
maioria das localidades brasileiras. De outro lado, essas
técnicas envolvem a manipulação e o processamento de uma
quantidade considerável de dados.
Tendo em vista a superaçao dessas dificuldades, o
presente trabalho foi desenvolvido com o intuito de demonstrar
modelos estocásticos simplificados para estimar, independentexwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
do tempo e do espaço, as probabilidades de dias chuvosos em
r:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2. REVIS~O DE LITERATURAxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2.1. Distribuição de Probabilidade de Dias Secos e/ou Chuvosos em Dias Consecutivos, para Intervalos Mensais
A observação de um dia chuvoso depende da ocorrenCla de
chuvas
chover
em dias anteriores, uma vez que a probabilidade de
em determinado dia sera maIor em caso de ocorrenCla de
chuva no dia precedente. De acordo com BROOKS e CARRUTHERSHGFEDCBA
( 3 ) I tal fenômeno, conhecido como "persistência", manifesta-se
com menos clarezaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAà medida que o intervalo de tempo entre dois eventos sucessivos aumenta.
Gabriel e Neumann, citados por COE e STERN ( 6 ) , observaram tal fenômeno em seqUências semanais de dias secos e/ou chuvosos em Tel Aviv, para intervalos superiores a um mes. Em circunstâncias distintas, FEYERHERM (7) e THODOROVIC e WOOLHISER (18) também notaram que a hipótese
eventos
de independência estatística dessa categoria de fica prejudicada e, em tais casos, recomendaram a aplicação do modelo estocástico, conhecido como cadeia de Markov de dois
estados, para prognosticar a ocorrência de seqüência de dias
secos e/ou chuvosos em diferentes intervalos de tempo.
parâmetros a ser estimado e a possibilidade de emprego, mesmo
Segundo COE e STERN (6), a aplicação desse modelo
apresenta como vantagens a redução, ao mínimo, do número de
quando não se dispõem de séries de precipitação referentes a
longos períodos de observação. Tal emprego, entretanto,
limita-se a sistemas nos quais o resultado de uma tentativa
depende do último resultado somente deste último e não dos
anteriores. Todavia, esses pesquisadores alertaram que as
ordens mais elevadas podem ser necessarlas na análise de
distribuições de dias secos e/ou chuvosos em dado período.
De acordo com GNEDENKO (1), uma seqUência de resultados
de um conjunto de tentativa forma uma cadeia de Markov dexwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
K estados, se a probabilidade condicional do evento
(s + 1) A
1 (i
=
1 , 2 , 3 , ••• J na (s + 1)-ésima tentativa(s
=
1 , 2 , 3 , ... ), dado que um evento A.S1 tenha ocorrido na
s-eslma tentativa, depender apenas do evento que ocorreu na
s-eslma tentativa e, em nenhuma hipótese, tor modificada por
resultados ocorridos em tentatlvas precedentes. Uma vez
ocorrido o evento A.s na s-ésima tentativa,
1 a probabilidade
(s + 1)
condiclonal de ocorrenCla do evento A. na (s + 1)-ésima
1
tentativa, que é independente do número de ordem da tentativa,
encontrar-se-á, apos (s +1)-~sima tentativa exwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ o estado
do sistema observado na tentativa precedente
o
conjunto de todas as probabilidades de transição deuma cadeia de Markov de K estados pode ser arranjado na forma ~
matricial :
P11 P12 P1K
P<i/j)onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= P
21 P22 P21(
P
K1 PK2 Pt(K
Os prImeiros modelos de distribuição de probabilidade
de ocorrenCla de K dias chuvosos em seqüências de N dias em
períodos mensais (I(
i
N), fundamentados na cadeia de Markov dedois estados, foram desenvolvidos por Gabriel, citado por KATZ
(13), e, posteriormente, testados, sob diversos climas, por
Gabriel e Neumann, citados por THODOROVIC e WOOLHISER ( 18) ,
COE e STERN (5) e ESSENWANGER (7) Segundo esses modelos, a
distribuição de probabilidades de ocorrenCla de K dias
chuvosos em uma seqUência de N dias, precedida de um dia
chuvoso, é dada pela função densidade de probabilidade.
W
1 (KjN)
=
p(C/C)K C1-PCC/S) +C
=
1 a b-1 1-P(C/S)PCC/S) a
( )
P(C/C)
K N-I(-1
)
1-PCC/C) b
( )
+
eq . 1
em que:
W. (KjN) = probabilidade condicional de ocorrenCla de K
determinado mes, dado que o dia antecedente
ao prImeIro dos N dias fora chuvoso;
P(C/C)
=
probabilidade de transição de um dia serchuvoso, desde que o dia precedente fora
chuvoso;
P(C/S)
=
probabilidade de transição de um dia serchuvosoj dado que o dia precedente fora
seco;
a, b
=
constantes a serem determinadasj eNxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ 0,5 - 2K - N + 0,5 I, se K < N
0, se K
=
N.De modo análogo, a distribuição de probabilidade de K
dias chuvosos em seqüências de N dias, antecedidos de um dIa
seco, pode ser determinada pela função
W (KjN)
=
P(C/C)K (1-PCC/S)N-K +o
+
c
.,0 K-1
( )
b-1
N-K
( )
a
l-PCC/C) a
C )
l-PCC/S)
P(C/S) b
( )
P(C/C)
c
=
1eq . 2
em que.
W (KjN)
=
probabilidade condicional de ocorrenCla de Ko
dias chuvosos em N dias consecutIvoS em
determinado mes, dado que o dia antecedente
7
c
=
oxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
0, se K = 0.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
N + 0,5 - 2K - N + 0,5 I, se K ) N
De acordo com THODOKOVIC e WOOLHISER (17), os valores
das constantes a e b, que figuram nas equações 1 e 2. podem
ser determinados. respectivamente, como os valores int e ir c ..·
A partir
que 0,5 (c
1 - 1)
das equaçoes 1
e maiores
e 2 ,
que 0,5 c1
-distribuição de IguaIs ou maIores
a
probabilidades de ocorrência de exatamente K dias chuvosos em
N dias pode ser estimada pela função densidade de
pr-obab i1idade, dada por.
(KjN) + (i-PCC) W CKjN),
o eq. 3
em que.
W (KjN)
=
probabilidade de ocorrencla de exatamente Kdias chuvosos em
N
dias consecutivos, emintervalos mensais; e
P(C)
=
probabilidade de ocorrência de um dia chuvosono mes considerado.
As dificuldades de aplicação desses modelos levaram ao
desenvolvimento de uma fórmula de recorrência, apresentada por
Helgert, citado por KATZ (12), que facilita os procedimentos
de cálculos daquelas probabilidades, mediante o emprego de
métodos computacionals. De acordo com KATZ Ci2) , as
distribuições de probabilidades condicionais de ocorrência de
K dIas chuvosos em N dIas consecutivos (Equações 1 e 2) podem
W0 (KHGFEDCBAj N)
=
(1-P(C/S».W (K;N-1)xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ P(C/S)o
,W
1 (K-1;N-1)
W
1 (Kj N)
=
(1-P(C/S».W (KjN-1) + P(C/S) •o
,W
1 (K-1;N-1)
e c . 4
em que:
K
=
0. 1. 2. .• NjN
=
1. 2. 3. ..
W
o ( 0 j 0 ) = W
1 ( 0 j 0 ) = 1 (condições í nic í aisi . e
W (NjN-1) = W (-1jN-1) = 0 (convenções)
o 1
As estimativas dos parâmetros dessas distribuições
(Equações 1 . 2 e 3) podem ser determinadas empiricamente.
desde que as ocorrências de chuva em dada localidade sejam
razoavelmente homogêneas em intervalos mensais
Com base nessa hipótese, a probabilidade de chover no
m-eslmo (m
=
2. 3 , . ) dia do mes deve ser igual aprobabilidade de chover no (m - 1)-ésimo dia. Denotando-se
tais probabilidades. respectivamente.
essas aproximações formalmente podem ser escritas como:
eq. 5
em que:
P (C)
=
probabilidade de ocorrenCla de chuva no m-ésimo mdia do mês;
P
m-1 (C)
=
probabilidade de(m-1)-ésimo dia do meSj
9zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P(C)
=
probabilidade de ocorrenCla de chuva em qualquerdia, em intervalo mensal, isto e, a fração média
mensal de dias chuvosos;
m
=
2 , 3 , • - • JM;
eM
=
número de dias do mes considerado.Desde que essas condições seJam satisfeitas, a
probabilidadexwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp(C) pode ser estimada, empiricamente, pelo
numero médio mensal de dias chuvosos em n anos observados,
isto e, pela fração média mensal de dias chuvosos.
Conforme observaram Anderson e Goodman, citados por
ESSENWANGER (7 ), e FEYERHERM e BARK (S), os valores empíricos
das probabilidades de transição P{C/S) e P(C/C) podem ser
empregados como aproXlmaçao dos estimadores
verossimilhantes dos parâmetros da cadeia de Markov de dois
estados. Além disto, Garbutt ~ alii, citados por COE e STERN
(6), observaram indícios de relacionamento entre os
estimadores desses parâmetros em 11 localidades da Africa
Oriental.
Por outro lado, GENG
ª
alii ( 1 0 ) , verificandofenômenos semelhantes em localidades dos Estados Unidos,
Holanda e Filipinas, propuseram um método simplificado para
estimar probabilidades de transição. De acordo com tal método,
a probabilidade P(C/S) em dado mês pode ser estimada por
intermédio da equação de regressão linear
P(C/S)
=
a + b P(C)Por força de definição. as probabilidades de transição
apresentam as mesmas propriedades das probabilidades
condicionais, e, em decorência disto, a probabilidade de
ocorrenc1a de chuva no m-eS1mo dia do mês pode ser expressa
por:xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P (C) = P (HGFEDCBAC / S )onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
m (1-Pm_1(C) + P(C/C) Pm-1(C) eq . 7
Mediante a aplicação das equaçoes 5 e 6 na equação 7 e
as manipulações algébricas apropriadas, GENG d alii (10)
demonstraram que a probabilidade P(C/C) pode ser determinada
por:
P(C/C)
=
1 - (1-P(C» eq . 82.2. Distribuição de Probabilidades de Totais Diários de
Precipitação
A distribuição gama de dois parâmetros tem sido
empregada no ajustamento de freqüências de totais de
precipitação, observados sob diferentes condições de clima, em
intervalos diários, semanais, quinzenais e mensais.
Em função da flexibilidade nesses ajustamentos,
Friedman e James, citados por WEAVER e MILLER (21), e ISDN
gl
alii (12) empregaram tais modelos às freqUências de totais
mensais de precipitação, observados em várias estações dos
Estados Unidos. Moole~, citado por ESSENWANGER (7), demostrou
ser a distribuição gama de dois parâmetos adequada para a
11
diversas localidades da Asia. AZEVEDO (1) também comprovou o
ajustamento desse modelo às freqUências de totais mensais de
precipitação em dezenas de esta~ões, em todas as regiões
brasileiras. BERNARDO (2), SEDIYAMA ~ ~ (17), FRIZZONE
(9), CASTRO NETO ~ alii (4), MAROUELLI (15) e CASTRO NETO e
SILVEIRA (5), por outro lado, ajustaram esse modelo à
distribuição de freqUências de totais de chuva em período de
10 dias, para várias localidades brasileiras.
Para dados agrupados em 13 períodos de quatro semanas,
referentes a três esta~ões dos Estados Unidos, ISDN ~ alii
(12) ajustaram famílias de funções gama para descrever as
distribui~ões de freqUências de totais diários de precipitação
e, por intermédio desses ajustamentos, estudaram as variações
sazonais em seus parâmentros. GENG ~ alii (10) também
aplicaram tais distribui~ões às freqUências de totais diários
de chuva,
estações,
agrupados em períodos mensais,
sendo c~nco nas Estadas Unidos,
referentes a sete
uma na Holanda e
outra nas Filipinas.
Por outra lado, considerando famílias de distribuição
gama ajustadas às freqUências de totais diãrios de chuvas,
agrupadas em 28 períodos de 13 dias, em três esta~ões dos
Estados Unidas, YEVJEVICH (22) verificou forte assimetria
nessas distribuições, com base em dados registrados nas
esta~ões de Fort Colins (Colorado), Durango (Colorado) e
Austin (Texas), todas nas Estados Unidas.
De acordo com THOM (20), essas distribuições podem ser
1 YIX -i e-y /$xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA,0{Y{N
r
IX(IX )$
eq. 9 0, para outros valores de Y
com IX ) 0,
s
>
0 er
(IX )>
0,em que:
IX
=
parâmetro de forma (adimensional)j$
=
parâmetro de escala (mm)j eY
=
total de precipitação Cmm ) :r
eoHGFEDCBA
(" ')--J
"-t
l X -1 e-t dt (função gama)o
eq. 9a
Segundo Shenton e Bowman, citados por ESSENWANGER (7),
os estimadores verossimilhantes dos parâmetros de forma (IX ) e
de escala (8) propostos por THOM (19) apresentam tendência
para valores do parâmetro de forma inferior à unidade. Por
este motivo, Greenwood e Durand, citados por GENG
gt
alii(10), sugeriram o emprego das seguintes estimativas:
a) Parâmetro de forma
~ =
(0,5000876 + 0,16488552 A - 0,0542744 A2)/A,1 3zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
em que:
A
=
ln Y. - ln Y.xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 1
b) Parâmetro de escala
.•. Y.HGFEDCBA
f i =-L
A eq . 1 1
Com relaG:ão às estimativas desses parâmetros nos
ajustamentos da distribuição gama aos totais diários de
precipitação, ISDN ~ alii (12), YEVJEVICH (22) e GENG ~ alii
(10) constataram forte assimetria (a:< 1,00) e verificaram
que, ao contrário do parâmetro de forma, o parâmetro de escala
apresentou variações sazonais bastante significativas.
Contrastando com GENG ~ alii (10), que empregaram as
equações 10 e 11, ISDN ~ alii (11) e YEVJEVICH (22)
serviram-se das estimativas desses parâmetros propostas por THOM (19).
Apesar dessas diferenças metodológicas, os resultados obtidos
por esses pesquisadores indicam que a forma da distribuição
gama ajustada às freqUências de totais diários de precipitação
apresentam forte assimetria (Ir"
<
1 ,00) . Buscando uma explicação para esses fatos, GENG ~ alii (9) observaram queos estimadores verossimilhantes do parâmetro de forma
associaram-se aos pequenos valores de precipitação, enquanto
os estimadores dos parâmetros de escala indicavam em que
medida chuvas intensas podem ocorrer em determinadas
localidades. Com base nessas constatações, esses autores
parâmetro de escala pode ser estimado em fun~ão da altura
média mensal de precipita~ão dos dias chuvosos.
apresentam formas características. No caso de 0 ( a ( 1 . a
De acordo com LARSEN e PENSE (14), os gráficos das
reportadas pela distribui~ão gama (Equa~ão 9)
forma dessa distribuição assemelha-se a umxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA"j" reverso no
primeiro quadrante. com comportamento assintótico em ambos os
eixos coordenados. Para va1ores a
2.
1 , tais distribuiçõesexibem, no primeiro quadrante, formas semelhantes às de um
sino, podendo ou nao apresentar comportamento assintótico em
relação ao eixo das abscissas. Em ambas as situações,
entretanto, as curvas representativas dessas distribuições
apresentam assimetrias positivas e aproximam-se da origem do
sistema de coordenadas.
Forçando-se a passagem de tais curvas sobre a orlgem do
sistema de coordenadas, a integra~ão da equação 9 no intervalo
fornece as probabilidades de ocorrência totais de
precipita~ão iguais ou inferiores a um dado valor de Y0 (mm):
P (Y i. Y ) = (Y 0
Y 0 )0
eq . 1 2
De acordo com Thom, citado por NIMER ( 1 6 ) , a
substituição da variável Y por b = Y //5 permite reescrever a
equa~ao como:
1
J
Y0/~HGFEDCBAP - 1 -b
Py (y ( Y 0) = b e db eq. 1 3
15zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Segundo NIMER (16), a expansão em serle hipergeométrica
da equaçao anterior permite a determinação das probabilidades
com suficiente aproximação, mediante o emprego da
seguinte fórmula:
ba:
b b2xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Py (y i. y )
=
( 1 + + +o
r
(o: 1) b (a: 1) (o:+ 1) (o: + 2)
+ e +
b3
+ . . . )
(u: + 1) (o.: + 2) (o:: + 3)
eq . 14
2.3. Precipitações Dependentes Diárias
Tomando por base as aprOXlmaçoes. ~ apresentadas na
equaçao 14, WEAVER e MILLER (21) desenvolveram um programa de
computação capaz de determinar totais de precipitação,
associados a nlvelS selecionados de probabilidade Py(Y
i
Y 0),mediante a extração das raizes da equação 14 pelo método de
Newton-Rapheson. Como sugeriram esses pesquisadores, as raizes
b (Equar;ão 14) ,
A
que devem ser multiplicadas por
S
paradeterminar os totais de precipitação Y
0 associados aos níveis
de probabilidade PyCY > Y0) (precipitações dependentes), podem
[
b. b. b.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2b . 1
=
b. - 1 + ( 1 + 1 + 1 +1+ 1 ,. .•. .•..
O:: (O:: + 1) (IX + 1) (IX + 2)
3
)
]
-r
,. bb.
Py<Y
>
Y0)
(O :: ) ei
1 .+
di
-1).•. "- A
(o: + 1) (a: + 2) (o: + 3) b.
1
3. MATERIAL E M~TODOS
A base de dados para o ajustamento dos modelos,
neste trabalho, constitui-se
precipitação
de séries temporais de
usados
totais
diários de registrados nas estações
climatológicas de Catalão (GO), Goiânia (GO), Lavras (MG),
Patos de Minas (MG), Uberaba (MG) e Viçosa (MG).
As coordenadas geográficas dessas estações, bem como o
período de registros analisados, encontram-se discriminadas no
QuadroxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1.
Exceto a estação de Viçosa, situada na Zona da Mata
mineira, as demais estações encontram-se em região de cerrados
(savana) Segundo a classificação climática de Kappen, as
localidades de Catalão, Goiânia e Uberaba apresentam climas
Minas (Cwa) , Viçosa (Cwa)onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe Lavras
os climas de Patos de
(Cwb) enquadram-se na tropicais chuvosos (Aw) Em contraste,
categoria de climas tropicais de altitude (Figura i).
Os dados de chuva, organizados em seqUências mensais,
foram recuperados a partir de fitas magnéticas,
e
obtidas junto
Instituto de
ao Instituto Nacional de Meteorologia ao
Pesquisas Espaciais, e processados na Central de
Processamentos de Dados da Universidade Federal de Viçosa
Para todos os efeitos, as seqüÊncias mensais que
apresentaram falta de um ou mais elementos foram descartadas e
os últimos elementos de seqüências referentes aos meses de
fevereiro em anos bissextos, ignorados.
QUADRO 1 - Coordenadas Geográficas e Períodos de Observação nas Estações Climatológicas Estudadas
Esta~ãc Loca 1 LatitudexwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(5)
Longitude
(11/)
Altitude
(m)
Período
Catalão 18°10' 47°58' 846 1961-1978
2 Goiânia 16°48' 49°15' 741 1961-1978
3 Lavras 21°14' 45°00' 910 1968-1986
4 Patos de Minas 18°36' 46 °3: ' 896 1961-1980
5 Uberaba 19°45' 47°55' 743 1965-1985
1 9
LEGENDA:HGFEDCBA
I .xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACatalõo
2 . Goiônia
3. Lavras
4 . Patos de Minas
. 5 . Uberaba
6 . ViçosazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FIGURA 1 - Localização das Estações Climatológicas.
3 .1 . Distribuição de Dias Chuvosos em 1 0 Dias Consecutivos. para Intervalos Mensais
ocorrência
Para análise das distribuições de probabilidades de
de dias em 1 0 dias consecutivos, para intervalos mensals, tomaram-se como amostras conjuntos de seql.lências
menos 10
mensais de totais diários de precipitação registrados, em pelo
em cada uma das esta~ões
estudadas (Quadro 1)
anos de observa~ão,
Com o objetivo de ajustar essas distribuições (Equações
1 , 2 e 3),
mensal, uma
assume valor
uma seql.lência associou-se, a cada elemento de
variável aleatória discreta (binária)
x ,
que mm-eslmo dia do mes (monmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= i, 2, 3, ... ) seja igualou superior a
0 ,1 mm (dia chuvoso), ou nulo, no outro caso (dia seco). Os
conjuntos dessas variáveis CX , m
=
i, 2, 3,m }, referentesxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
a· quaisquer dos meses, foram considerados processos
estocásticos dependentes, representáveis por cadeias de Markov
de dois estados.
Denotando-se por x os valores observados da variável
m
X ,
m registrados em um mes, e localidade particular, o numero
de dias chuvosos em quaisquer das seqUências observadas foi
determinado pela expressão:
M
=
r·HGFEDCBAL X1 m
m =
eq. 1 6
em que:
N
l=
numero mensal de dias chuvosos observados em dadalocalidade;
x
=
valor observado da variável X no m-ésimo dia don m
meSj
m
=
1 , 2, 3 , .. . ,M;
eM
= numero de dias do mes.Os parâmetros necessarlos para o ajustamento dessas
d ist r í buic õe s (Equac;ões i, 2 e 3) foram estimados,
empiricamente, em cada mês e localidade estudados. Para isto,
procedeu-se da seguinte maneira:
a) Cálculo das probabilidades de ocorrencl.a de um dia
2 1xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
L
1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
=
1N 1
p(C )
=
eq , 1 7L.H
em que:
P(C)
=
probabilidade de ocorrenCla de um dia chuvoso no mesconsiderado, isto é, a fração média mensal de dias
chuvosos;
N. = numero mensal de dias chuvosos em dada localidade;
1
1 = 1 , 2 , 3 , ...
,
LjL = numero de amostrasj e
M = numero de dias do mes considerado
b) Determinação das probabilidades condicionais de um
dia ser chuvoso, dado que o dia precedente fora
seco, mediante a aplicação da seguinte fórmula:
Número de dias secos seguidos de dias chuvosos em todas as amostras
P<C/S) = eq . 1 8
Número de dias secos em todas as amostras
em que:
P(C/S)
=
probabilidade de transição de um dia serchuvoso, dado que o dia anterior fora seco.
c) Cálculo das probabilidades condicionais de um dia
ser chuvoso, dado que o dia precedente fora chuvoso,
Número de dias chuvosos seguidos de dias chuvosos em todas as amostras
P(C/C)onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
=
exwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAq . 1 9Número de dias chuvosos em todas as amostras
em que:
PCC/C)
=
probabilidade de transição de um dia serchuvoso, dado que o dia anterior fora chuvoso.
As probabilidades condicionais de ocorrência de
K
diaschuvosos (K
=
0, t, 2, 10) em seqUências de 10 dias paraintervalos mensa~s (Equações 1 e 2), foram determinadas para
cada localidade estudada. Para t an to, desenvolveu-se um
programa (FORTRAN-77) capaz de resolver a fórmula de
recorrenc~a apresentada por KATZ (12) (Equação 4)
Uma vez calculadas essas probabilidades, as
probabilidades de ocorrência de exatamente
K
dias chuvosos em 10 dias, para intervalos mensais, puderam ser obtidas atravésda substituição desses valores, juntamente com os valores das
probabilidades PCC), na equaçao apropriada (Equação 3)
Os valores da função densidade de probabilidade
acumulada das distribuições de
K
dias chuvosos em 1 0 diasconsecutivos, para intervalos mensa~s, foram calculados
através da relação:
W (K i. k , N) = eq. 20
K i. k
Por outro lado, as probabilidades de ocorrência de K
dias chuvosos, sendo K ma~or que determinado k, foram
2 3xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
W (K
>
k j N)=
1 - W (K i. k j N)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAeq. 21Através de estudos de regressao e de correla~ão, os
parâmetros P(C/S) e P(C/C) foram relacionados com as
probabilidades P(C), em cada localidade e no conjunto de
localidades estudadas. Para este fim, empregou-se um programa
(aplicativo) conhecido como SAEG (Sistema de Análises
Estatísticas e Genéticas), desenvolvido pela Central de
Processamento de Dados da Universidade Federal de Viçosa.
3.2. Precipitações Dependentes Diárias
Com a finalidade de ajustar a distribuição gama de dois
parâmetros às freqtiências de totais diários de precipitação em
cada um dos meses e localidades analisados, os valores nulos
desses elementos, nas seqtiências mensais observadas, foram
separados dos valores maiores ou iguais a 0 ,1 mm (dia
chuvoso) .
Após essa separa~ao, as alturas de chuva maiores ou
iguais a 0 ,1 mm, constantes em cada uma das seqtiências
originais, foram agrupadas em seqüências ~ 1 ' ~2' .
,
~. deJ
valores observados de uma variável aleatória contínua, Y ., em J
que o índice subscrito denota a ordem do elemento nos grupos (j ~ número de dias do mês)
De acordo com esse procedimento, as alturas médias
mensais de precipitação por dia chuvoso foram calculadas, para
G JxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
,.
E~.
s:
=
1=
1 J- 9 J
H = eq . 22
G
E N
g = 1 g
em que:
-H
=
altura média mensal de precipitacão dos diaschuvosos (mm/dia)j
~.
=
altura diâria deJ precipitaç:ão registrada no
9-eSlmo agrupamento;
N
=
N1
=
numero de dias chuvosos no g-eslmo9
agrupamento;
J
=
numero de e1ementos no g-ésimo agrupamentoj eG
=
numero de agrupamentos considerados.Os estimadores verossimilhantes dos parâmetros de forma
e de escala foram determinados, conforme sugeriram Greenwood e
Duran, citados por GENG ~ alii (10), da seguinte maneira
a) Parâmetro de forma
~ =
(0,5000876 + 0, 16488552A - 0,0542274A2)/Aeq. 23
em que.
G
'<:"
"-9
=
1I
'-'
,.
j
=
11 ~.
n J
-A
=
1H-n
G
9
=
1N
b) Parâmetros de escalaxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
.•.
Hto'onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
=
eq 24f-' .•.
ir
em que: ...•
8
=
parâmetro de escala da distribuiç~o gama (mm/dia);H
=
altura média mensal de precipitaç~o por dia chuvoso(mm/dia)HGFEDCBAj e
.•.
a parâmetro de forma da distribuição gama
Uma vez determinados esses parâmetros, procedeu-se ao
ajustamento das equaçoes iterativas (Equaç~o 13) para cada m~s
e localidade analisada, mediante a expansao da serle entre
parênteses até o termo e a substituiç~o dos
correspondentes dos parâmetros de forma
Após o ajustamento dessas equações, calcularam-se, por
métodos computacionais, as precipitações diárias dependentes,
no espectro de probabilidades compreendido entre 0,05 e 0,95.
Para tanto, tomaram-se como estimativas inICIais das raízes b
(Equação 13) as razoe~ entre o parâmetro de forma e os
parâmetros de escala correspondentes a cada mes e localidade
particular. Para todos os efeitos, nas 1.368 equaçoes
ajustadas, consideraram-se suficientes 30 iterações com erro
nas estimativas das raizes da ordem de 1 0-4.
Concluído o processo iterativo, os valores das raIzes b
foram multiplicados pelos respectivos valores de para
determinação das probabilidades dependentes nos nIvelS de
Através de gráficos, analisaram-se, no tempoonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe no
espac;::o, os comportamentos dos parâmetros de forma, dos
de
parâmetros de escala e das alturas médias mensaIs
precipitação dos dias chuvosos.
As evidências de relacionamento entre os parâmetros de
escala e as alturas médias mensais de precipitaç:ão dos dias
chuvosos foram investigadas por meio de estudos de regressao
simples e correlação entre essas variáveis, com o auxílio do
4_ RESULTADOS E DISCUSSOES
Com base em dados diários de precipitação, registrados
nas estações climatológicas de Catalão, Goiânia, Lavras, Pato
de Minas, Uberaba e Viçosa, determinaram-se as probabilidades
de ocorrência de dias chuvosos em 10 dias consecutivos, para
períodos mensais,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe, também, as precipitações dependentes
diárias, em níveis selecionados de probabilidades, para
agrupamentos mensais de alturas diárias de chuva_
Para gerar valores das probabilidades de dias chuvosos
em 10 dias consecutivos para intervalos mensais (Equação 3),
empregaram-se modelos propostos por Gabriel, citado por KATZxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( 13) , que condicionam tais probabilidades à ocorrencla de
chuva no dia antecedente ao primeiro dia de qualquer seqUência
de 10 dias, arranjada em intervalos mensais (Equações 1 e 2)_
As precipitações dependentes diárias foram determinadas
em nlvels de probabilidade compreendidos entre 0,05 e 0,95,
mediante o ajustamento da dlstribuição gama de d 0 1 S
parâmetros_
ComonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa finalidade de facilitar as estimativas
verossimilhantes dos parâmetros dessas distribuições,
estabeleceram-se rela<;:ões funcionais (empíricas) capazes de
determinar tais parâmetros, independente do tempo e do espaço,
a partir de sumários climatológicos mensais.
4.1. Distribuic~o de Probabilidades de Dias Secos e/ou
Chuvosos em 10 Dias Consecutivos, para Períodos Mensais
As probabilidades, associadas as distribuições de dias
secos e/ou chuvosos, em seqUências de 10 dias, para intervalos
mensals, foram arranjadas em forma de tabelas (Quadros iA axwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
6A) . Nestes quadros, tais probabilidades podem ser
determinadas a partir de qualquer dia do mês, desde que dele
se possa projetar uma seqUência de 10 dias. Para ilustrar a
. ~
organlzaçao daquelas tabelas, no Quadro 2 apresentam-se os
valores das probabilidades, gerados pelos modelos propostos
por Gabriel, citado por KATZ (12), para Ca ta lão (GO), no mês de janeiro.
Quanto ao ajustamento dos modelos de distribuiç~o, as
mal ores dificuldades relacionam-se com as estimativas das
probabilidades de transição, porque envolveram contagens dos
secos seguidos de dias chuvosos e do número de dias
chuvosos antecedidos de dias chuvosos, em uma quantidade de
dados constituída de cerca de 4 X 104 registros de totais
QUADRO 2 - Distr'ibui~ão de Probabilidade de Dias Chuvosos em 10 Dias Consecutivos, no Mês de Janeiro, em Catalão (GO)
i .---... i
Probabilidade de ocorrência de um
dia chuvoso em 10 dias consecutivos,
desde que o dia antecedente ao
primeiro desses 10 dias seja seco.
W1<KiN) W(KiN)
Loc a l :
N K W0(kiN)
10 0 \ 0,004 0,002 0,003 \ 0,003
1 0,015 0,008 0,011 0,013
2 0,037 0,024 0,029 0,043
3 0,073 0,053 0,061 0,103
4 0,117 0,094 0,103 0,206
5 0,158 0,139 0,147 0,353
6 0,181 0,175 0,177 0,530
7 0,172 0,185 0,180 0,710
8 0,134 0,160 ;0, 150 0,860
9 0,079 0.109 0,097 0,957
10 0,029 0,051 0,043 1,000
Probabilidade de ocorrincia de quatro dias
chuvosos em 10 dias consecutivos. desde
que o dia antecedente ao primeiro desses
10 dias seja chuvoso.
Probabilidade de ocorrência de três
ou menos dias chuvosos em 10 dias
consecutivos.
Mês: Janeiro
W(K> kiN)
0,997 0,987 0,957 0,897 0,794 0,647 0,470 0,290 0,140 0.043 0,000
Probabilidade de ocorrência
de mais de sete dias chuvosos
em 10 dias conse~utivos.
Probabilidade de ocorrência de
oito dias chuvosos em 10 dias
consecutivos.
Na tentativa de contornar esses problemas, procurou-se
estabelecer rela,ões entre as probabilidades de transição e as
fra<;:ões médias mensais de dias chuvosos. Para ist o,
construíram-se gráficos de P(C/S) versus mes, de P(C/C) versus
mês e de P(C) versus mês,
localidades estudadas.
Em tais gráficos,
com dados referentes a cada uma das
observou-se que, independente do mes
ou da localidade, os valores dessas probabilidades aumentaram
ou diminuíram no mesmo sentido.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
o
comportamento dessas probabilidades, manifestado pelo paralelismo entre suas curvasrepresentativas no tempo, forneceu indícios de dependência
funcional entre as probabilidades de transição P(C/S) e P(C/C)
e as probabilidades (empíricas) de ocorrência de um dia
chuvoso, em intervalos mensais. Exemplos de tais
comportamentos foram mostrados nos gráficos referentes a
Catalão (Figura 2) e Viçosa (Figura 3)
Com o objetivo de aprofundar as investiga<;:ões dessas
relações, procederam-se aos estudos de regressão e correlação,
envolvendo arranjos dessas probabilidades, tomadas duas de
cada vez, em cada localidade, no conjunto de localidades
estudadas. Com os resultados desses estudos, constatou-se que
a dependência funcional entre as probabilidades de transição
P(C/S) e as probabilidades P(C) podem ser expressas, em cada
localidade, por intermédio de retas de regressão (Quadro 3)
Do mesmo modo, observou-se a dependência entre as
probabilidades de transição P(C/C) e P(C), porem com variações
mais acentuadas nas probabilidades P(C/C), quer entre meses,
1,0
0,9
0,8
n.7
'" 0,6onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
4J
'O
'"
"O0,5
.D tO .D
0.4 o
'-a .
0,3
0,2
0,1
0,0
3 1
PIC)
P(C/S)
_... P(c/C)
M eseszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FIGURA 2 - Variação Mensal das Probabilidades de Transição e das Frações Médias Mensais de Dias Chuvosos, em
Ca t a l ão (GOl
A reta de regressao ajustada para o conjunto de
localidades (Quadro 3) explicou 94,9Y. das variações ocorridas
independentemente da localidade e
do mês.
nas probabilidades P(C/S),
constatou-se que nenhum dos coeficientes Além disto,
lineares das retas, ajustados às probabilidades referentes a
zero, ao nível
uma localidade particular, foi significativamente diferente de
nenhum dos de SY.. De maneira idêntica,
coeficientes angulares
das probabilidades
da reta de regressao, ajustados as
referentes localidades
analisadas, foi significativamente diferente de 0,710. quaisquer
1,0
0,9zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
0.8
0 ,7
0.6
li) ~ 0,5
tilxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA :"2
15
0.4tilHGFEDCBA
. D
o ci: 0.3
0,2
0,1
0,0
PIC)
P(e/S)
PIe/c)
J F M A M J J A s o N D
Meses
FIGURA 3 - Variação Mensal das das Frações Médias Vü:osa (MG).
Probabilidades de Transição Mensais de Dias Chuvosos
e
em
Em face desses resultados e da relação apresentada na
equaçao 8 , tais probabilidades de transição, na area de
abrangência deste estudo, podem ser estimadas pelas expressoes:
a) P(C/S)
=
0,71 P(C); e eq. 25b) P(C/C)
=
0,29 + 0,71 P(C). eq. 2 6Em decorrência disso, construiu-se um diagrama (Figura
3) para facilitar as
dias transição, em
chuvosos.
estimativas das probabilidades de
33
QUADRO 3 - Coeficientes das Retas de Regressão Ajustadas às Probabilidades Condicionais de Ocorrência de um Dia Chuvoso, Dado que o Dia Antecedente Fora Seco, em
Fração Média Mensal de Dias Chuvosos (P(C/S)onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
=
aoxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ bo P(C»
Estações a
o bo
2
r cv
C ata l ão - 0,005 0,702 0,993 0,001
Goiânia - 0,020 0,841 0,995 0,005
Lavras 0,013 0,594 0,964 0,003
Patos de Minas 0,001 0,636 0,988 0,079
Uberaba 0,005 0,733 0,982 0,093
ViI:;:osa 0,036 0,578 0,927 0,086
Combinação - 0,007 0,710 0,949 0,145
A importância de tais resultados nao se traduz apenas
pela redução na quantidade de dados de entrada (30:1) e no
numero de parâmetros a serem estimados (3:1) nos modelos de
distribuição de probabilidades de dias secos e/ou chuvosos,
mas, também, por confirmarem resultados semelhantes aos
obtidos por GENG et alii (9) e Garbutt ~ alii, citados por
COE e STERN (6), em condições climáticas totalmente diferentes
0,7
P(C/CI=0,29+Q71 PICIonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0,8
o 1/11 .~ 0,6
LI)
c
ID
.=
0,5ou
-o 0 4
<li ' ou
-o
:2
0,3Li
2:: Q2
o L...
a , 0.1
0.0~--+---+--_-+--+---t---I--r--t---t
Q1 0,2 Q3 Q4 Q5 0.6 0,7 0,6 0,9 to PICI
FIGURA 4 - Diagrama para Determinação das Probabilidades de Transição, em Função das Frações Médias Mensais de Dias Chuvosos.
4.2. Precipitações Dependentes Diárias
o
numero de amostras consideradas no ajustamento dadistribuição gama de dois parâmetros às alturas diárias de
precipitação agrupadas em intervalos mensais apresentou
marcantes diferenças entre os meses referentes as estações
seca e chuvosa (Quadro 4).
Considerando tais contrastes, observados em todas as
lo ca l idades estudadas, as estimativas verossimilhantes dos
parâmetros dessas distribuições devem ser encaradas com
reserva nos meses secos, em função da forte redução na
amostragem. Por causa disto, recomenda-se proceder ao exame de
adequabilidade <aderência) desses ajustamentos em futuros
35
QUADRO 4 - Número de Amostras Aleatórias de Totais Diários de
Precipitação, Empregadas no Ajustamento da
Distribuição Gama de Dois Parimelros
Estações Janeiro Fevereiro
Catalão 334
*
(18;0;0)**
29 (18;8;0)Goiinia 384 (18.0;0) 23 (15.9.0)
Lavras 367 (18;0,0) 53 (17,6,2)
Patos de Minas 399 (20,0,1) 41 (20;8.0)
Uberaba 334 (16,0,5) 33 (17.6;4)
Viçosa 304 (17,0.0) 125 (16;1;1)
(*) Número de amostras de totais diários de precipitação,
empregadas nas estimativas dos parimetros a e 8.
(**)
Número de anos estudados; agrupamentos separados porfalta de chuva (mês seco), e ~grupamentos descartados por
falta de um ou mais registros.
Mesmo desconsiderando possíveis tendenciosidades nas
estimativas dos parimetros de forma e de escala, nos meses
referentes a estação seca, a distribuição gama de dois
parâmetros foi ajustada às freqUências de alturas diárias de
precipitação em dias chuvosos, em lodas as localidades
analisadas. Em todos os casos, a forma dessas distribuições
"
exibiu assimetria positiva (a ( 1,00). Isto porque valores
observados das precipitações em dias chuvosos apresentaram, em
sua maioria, valores relativamente baixos, além disto, valores
excessivamente elevados (60 mm/dia ou mais) raramente foram
Os comportamentos dos estimadores dos parâmetros de
formaFEDCBA(ct )'" e de escala ($) e" das alturas médias mensais de precipitac;:ão dos dias chuvosos (H) foram analisados no tempo e
de
P
'" versusno espaço. Para isto, construíram-se gráficos de â versus mês,
~
mes e de
H
versus mes. Em todos essesentretanto, as curvas representativas do parâmetro de escala gráficos,
apresentaram-se praticamente paralelas as curvas das alturas
médias mensais de precipita,ão dos dias chuvosos, como se pode
ver, por exemplo, nas Figuras 5 (Catalão) e 6 (Vic;:osa).
24 22 20 1 8 16 14 '" o L
-v
12 Ef i "
: . ; 1 0 c,
{ 1 I r n r n / c i a )
_._._ R I m m / d i a )
A -1
_ _ _ _ l i x 10
8 I J A 6 4 2
o
s
o
NM J J
M A
F
M e s e s
15 1 3 11 9 H 7 5 3 D
Variação ...Mensal Escala ( $ ) da Médias Me!lsais Chuvosos (H) em
A
dos Parâmetros de Forma (u) e de Distribui,ão Gama e das Alturas de Precipita,ão Diária dos Dias Catalão (GO).
-24 22onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 0 18 16 1 4 ~ 12 L - -+-CII E10
''''
L-'
"
o...zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA8 §Irnrn/dia)
H lrnm/dia)
ó
4HGFEDCBA
. r ' '
-I
i
-'-",
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\
\
,1..,.---
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"
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, . ~ - - - ~ . . . I
~_._.~.,...
2
o
J F M A M J J A s o N
Meses
37
14 12 10 B H ó 4 2 o DVariação ..•Mensal Escala ( S ) da Médias Mensais Chuvosos (H) em
dos Parâmetros de Forma (â) e de
Distribuição Gama e das Alturas
de Precipitação Diária dos Dias
Viçosa (MG). FIGURA 6
-As análises desses gráficos, por outro lado, sugeriram
parâmetro a possibilidade de relacionamento funcional entre o
de escala e a altura média mensal de precipitação
chuvosos.
Uma vez ajustadas essas distribuições, determinaram-se
as precipitar;ões no espectro
para todos os
Os valores probabilidade,
diárias dependentes
compreendido entre 0,05 e 0,95,
meses e localidades analisados (Quadros 18 e 38).
dos dias
nulos das precipitações dependentes diárias, verificados em
alguns meses, foram induzidos por aproximações resultantes da
aplicação da equação 12, que, repesentando as curvas dessas
distribuições em outro sistema coordenado com origem no ponto
zero, eliminou o comportamento assintótico das distribuiçõesxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A
gama (~ ( 1,00) nas vizinhanças do ponto 0,0 mm.
Os indícios de relacionamento entre os estimadores
"..
verossimilhantes dos parâmetros de escala
<p)
e as alturasmédias mensais de precipitação por dias chuvosos (H) foram
explorados por meio de estudos de regressao simples e de
correlação entre essas variáveis, em todas as localidades e no
conjunto de localidades analisadas (Quadro 5).
QUADROonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 - Coeficientes das Retas de Regressão Ajustadas aos
Parâmetros de Escala da Distribuição Gama em Função das Alturas Médias Mensais de Precipitação dos Dias
"
-ChuvososHGFEDCBA< P
=
ai + b1 H)
Estações cv
Catalão 2,38 1, 31 0,961 0,006
Goiânia 1, 07 1, 45 0,942 0,079
Lavras 4,84 0,79 0,785 0,095
Patos de Minas 3,19 1,24 0,909 0,085
Uberaba 1,96 1, 19 0,822 0,114
"
Viçosa 3,90 1,42 0,949 0,095
39
Com base nessas análises, constatou-se que esse
relacionamento independe do tempo e do espac;:o. Assim, os
parâmetros de escala (P) podem ser estimados pela reta deonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
-regressao:,.
p
=
3,85xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ 1,15 H eq. 27que explica 82,7y' das varlaçoes observadas do parâmetro de
escala em quaisquer dos meses e localidades estudadas.
Uma vez que as estimativas verossimilhantes dos
parâmetros de escala relacionam-se com as estimativas dos
parâmetros de forma (Equação 24), estes últimos podem ser
facilmente determinados, por intermédio da seguinte equac;:ao:
â
=
R
(3,85 + 1,15 H)-1 eq. 28Esses processos de estimar os parâmetros da
distribuição gama foram resumidos por meio da construção do
40
35
30
25xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP=48S+1.1SH
20
15
10
1/1
5 o
•..
.•... ~
E ,111
15 20 25 30 H (m m ldia)
•..
5 10111
e ,
Q2
Q4
Q6
Q8HGFEDCBA
â =
R/.8
ta
FIGURA 7 - Diagrama para Determinação dos Parâmetros da Distribuição Gama. em Função das Alturas Médias Mensais de Precipitação dos Dias Chuvosos.
4.3. Precipitações Dependentes para Intervalos de 10 Dias
A combinação dos modelos anteriormente descritos
permite o cálculo das precipitações dependentes para
intervalos de 1 0 dias. bastando, para tanto. multiplicar o
numero dependente de dias chuvosos. nos níveis de
4 1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
colunas), pelo valor correspondente da precipitação dependente
diária (Quadros 18 a 68).
Os resultados dessas operaçoes, efetuadas com dados
referentes às localidades de Lavras e Viçosa, mostraram-se
compatíveis com os obtidos, respectivamente, por CASTRO NETO
Em
todos os setores da economia é possível encontrar exemplos nos quais os conhecimentos acerca das distribuiçoesde chuvas no espaço e no tempo desempenham papel relevante no
processo de tomada de decisão, .quer seja em nível operacional,
quer seja em nível de planejamento.
TalonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe a importância desses conhecimentos que condicionam decisões, sejam de ordem tática ou estratégica, em
atividades como agropecuarl.a, construção civil,
transportes, turismo e outras exercidas ao ar livre.
Diversos fatores dificultam a caracterização dessas
distribuições nas regiões tropicais. Certamente, entre esses
fatores,
de dados
relacionam-se a inexistência de registros históricos
diários de chuva e o reduzido número de postos
climatológicos alocados nessas áreas.
Não obstante isso, há muitos aspectos dessas
distribuições que podem ser revelados através de análises de
serl.es temporais de dados de chuva referentes a períodos de
observação relativamente curtos.
43zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Tendo em vista esse fato, analisaram-se modelos
estocásticos representativos das distribuições de
probabilidades de ocorrência de dias chuvosos em
m~nsais e das alturas diárias de precipitação.
intervalos
Os modelos de distribuição de dias chuvosos em
intervalos mensais, baseados na cadeia de Markov de dois
estados, foram capazes de estimar, em primeira aproximação, os
valores das probabilidades de ocorrência de dias chuvosos, em
10 dias consecutivos, em todas as localidades estudadas.
Com referência às estimativas dos parâmetros para o
ajustamento desses modelos, constatou-se a existência de uma
relação linear (empírica) entre as probabilidades de transição
e as frações médias mensais de dias chuvosos, que,
aparentemente, independem do tempo e do espaço. Com base
nestes resultados, verificou-se a possibilidade de ajustar
esses modelos a partir de sumários climatológicos mensais. Em
termos práticos, isto representa reduções no numero de
parâmetros a serem estimados (3:1) e na quantidade de dados
utilizados nestas estimativas (30:1).
Com o objetivo de facilitar as determinações das
probabilidades de ocorrência de dias chuvosos em seqüências de
10 dias, para intervalos mensais, os valores gerados através
daqueles modelos foram organizados em forma de tabelas,
que o nGmero dependente de dias chuvosos podem ser,
diretamente determinados.
sendoonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA aIi,
Além dessas distribuições, também as distribuições de
analisadas. através do ajustamento da distribuição gama de
dois parâmetros às freqüências de totais diários de chuva.
Considerando que não foi realizado nenhum teste de
adequabilidade (aderência) desses ajustamentos e, também. o
fato de as estimativas de seus parâmetros terem sido afetadas
por reduções
estação seca
dependentes,
no número de amostras referentes aos meses de
(maio a outubro), os valores das precipitações
fornecidos através da aplicação desse modelo,
mostraram-se coerentes em todos os casos analisados.
Quanto aos parâmetros da distribuição gama, observou-se
relacionamento funcional entre os estimadores verossimilhantes
do parâmetro
precipitação
de escala e as alturas médias mensais de
dos dias chuvosos. Com efeito, esse
relacionamento simplifica, consideravelmente, os procedimentos
relativos aos ajustamentos dessas distribuições às freqüências
de totais diários de precipitação agrupados em períodos
mensais.
A combinação dos dois modelos anteriormente descritos
permitiu o cálculo dos totais de precipitação dependentes para
intervalos deonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 0 dias, bastando, para tanto, multiplicar o
número de dias chuvosos dependentes nos níveis de
probabilidades especificados pelo
precipitação dependente diária.
valor correspondente da
Em" suma, os modelos usados no presente trabalho
mostraram-se capazes de gerar, em primeira aproximação, não so
as precipitações dependentes diárias, em níveis de
dependentes de dias chuvosos, distribuídos em 10,
quaisquer dos meses e localidades estudadas.
45
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