Universidade Federal de Pernambuco Centro Acadêmico do Agreste Laboratório de Física Moderna
Professor Luis Leão / Turma:F8 Nome:_____________________________________________________________Data: _____/______/_________
ATIVIDADE 1: INTERFERÔMETRO DE MICHELSON E MORLEY
Introdução
“Os grandes princípios já estão firmemente estabelecidos... as futuras verdades da
física terão que ser procuradas na sexta casa decimal.” (A. A. Michelson)
A frase acima foi proferida por Michelson em uma palestra dirigida a cientistas no final do século XIX. O notável sucesso da física clássica levou a uma onda de otimismo que, de certo modo, revelou-‐se prematuro visto que já havia sérias ‘rachaduras’ nos alicerces do que hoje denominamos física clássica. Segundo o próprio Lorde Kelvin existiam apenas “duas pequenas nuvens no horizonte da física”: o resultado negativo da experiência de Michelson e Morley e o chamado problema da radiação do corpo negro.
Nesta atividade, estudaremos o experimento de Michelson e Morley. Talvez, este seja o experimento que “não deu certo” mais famoso da história da física. Maxwell mostrou que a luz, diferentemente do que afirmava Newton e seguidores, não era (até então) formada por corpúsculos, mas sim uma onda. Tal fato pode ser obtido diretamente das equações de Maxwell (no vácuo).
Experimento
1. Obtenha a equação de onda para os campos: elétrico (E) e magnético (B); utilizando as equações de Maxwell (no vácuo) abaixo. (Dica, tire o rotacional das equações iii) e iv) e utilize a identidade vetorial
! ∇ ×
! ∇ ×
! A=
! ∇
! ∇i
! A
Equações de Maxwell
i) ! ∇i
! E=ρ ε
0 ii)
! ∇i
! B=0
iii) !
∇ ×E! =−∂ ! B ∂t
iv) !
∇ ×B!=µ 0
! J+µ
0ε0 ∂E!
∂t ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪
Equações de Maxwell (Vácuo)
i) !
∇iE! =0
ii) !
∇iB! =0
iii) !
∇ ×E! =−∂ ! B
∂t
iv) !
∇ ×B!=µ 0ε0
∂E!
∂t ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪
( 1)
O fato de surgirem equações de onda para os campos E e B, naturalmente das
equações de Maxwell, levou muitos cientistas na época, em analogia as ondas mecânicas,
a propor um meio de propagação para tais ondas. Este meio foi chamado de éter
luminífero. Tal meio constituiria uma espécie de referencial absoluto no qual a
velocidade da luz poderia ser medida. A hipótese de um campo auto-suportável, capaz de
propagar-se no vácuo, nem de perto passou pela cabeça dos cientistas da época, surgindo
assim, a necessidade de um meio (o éter). Portanto, o interferômetro de Michelson e
Morley era “apenas” uma tentativa de se obter, indiretamente, através do fenômeno de
interferência da luz, a velocidade desta última.
Considere uma fonte de luz e um espelho situado a uma distância L da fonte e seja v a velocidade orbital da Terra, paralela à direção do feixe de luz, conforme mostra a Figura 1.
Figura 1 VELOCIDADE RELATIVA DA LUZ ESPERADA CASO A TRANSFORMAÇÃO DE GALILEU FOSSE VÁLIDA.
De acordo com a transformação de Galileu (TG), o tempo gasto para um pulso de
t= L c−v+
L
c+v =
2cL c2−v2 =
2L
c 1−
v2
c2
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
−1 ≅2L
c 1+ v2
c2
⎛ ⎝⎜
⎞
⎠⎟ ( 2)
Como a velocidade orbital da Terra é v≅3 . 1 04 m/s , então a razão
v2 c2≅1 0- 8. Michelson percebeu que essa precisão poderia ser obtida via métodos
interferométricos, projetando assim um interferômetro de alta precisão conforme mostra o esquema na Figura 2.
Figura 2 ESQUEMA DO EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
refletido em A, dirigido ao espelho C onde é novamente refletido, atravessa o espelho A e vai para a ocular O. Note que ao passar pela segunda vez pelo espelho A, os raios 1 e 2 passam a percorrer a mesma trajetória recombinando-‐se na ocular O. A diferença de caminho óptico entre os raios gera em O um padrão de interferência, que iremos observar. Esta diferença de caminho óptico pode ser calculada multiplicando-‐se a velocidade da luz c, pela diferença dos tempos de percurso dos raios 1 e 2, ou seja, calculando-‐se a diferença de caminho óticocΔt=c t
1−t2
(
)
.
2. Com o auxilio da figura 2, mostre que se usarmos a transformada de Galileu (TG),
encontra-se:
t
1=
(
2L1 c)
1−β 2(
)
−1t
2 =
(
2L2 c)
1−β 2(
)
−1 2cΔt=c t 1−t2
(
)
= 21−β2
(
)
L 1
1−β2
(
)
−L2⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥
( 3)
3. O instrumento é girado de 90° de modo que os feixes trocam de papéis. Mostre que
nesta nova configuração obtém-se:
t'
1=
(
2L1 c)
1−β 2(
)
−1 2t'
2 =
(
2L2 c)
1−β 2(
)
−1cΔt'=c t' 1−t'2
(
)
= 21−β2
(
)
L 1−
L 2 1−β2
(
)
⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥( 4)
c
(
Δt− Δt')
= 21−β2
(
)
L
1+L2
1−β2
(
)
−L
1+L2
(
)
⎡
⎣ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥ ⎥
≅ L
1+L2
(
)
β2 ( 5)Essa diferença nas observações deveria, em princípio, produzir um deslocamento
(ΔN) das franjas de interferência e foi isso que Michelson tentou observar. Para um
determinado comprimento de onda (λ) da luz, o padrão inicial seria, em princípio,
deslocado de ΔN franjas com ΔN =c
(
Δt− Δt')
λ=2 L 1+L2(
)
⎡λ(
1−β2)
⎣⎢ ⎤⎦⎥
≅
(
L1+L2)
β2 λ. De posse dos parâmetros experimentais (L1, L2,λ, v), Michelson teria plenas condições de obter um valor para c.
4. Obtenha os parâmetros (
L1, L2,λ, v) do seu interferômetro e calcule o ΔNesperado ao rotacionar em 90° o interferômetro.
5. Sem girar o interferômetro meça e calcule ΔN =c
(
Δt− Δt')
λ em função davariação ΔL1 (ouΔL2). Note que neste caso Δt' corresponde ao experimento sem
girar, trocando-se apenas
L1 por L1+ΔL1. (OBS: considere neste caso que v=0).
Michelson tinha um interferômetro onde
L=L1=L2 = 1m o qual, posteriormente, foi refeito juntamente com Morley aumentando-se as distâncias em dez vezes com a
ajuda de uma série de espelhos provocando várias reflexões de modo que
L=L1=L2 = 10m. Além disso, montaram o aparelho numa placa de pedra que flutuava num tanque de mercúrio, para diminuir as tensões mecânicas durante a rotação (ver
Figura 3), fato este que poderia alterar a distância entre os espelhos e levar a resultados falsos. Mesmo com todos esses cuidados, os resultados foram negativos levando à
Figura 3 EXPERIMENTO DE MICHELSON REMODELADO POR MORLEY.
6. Para a luz visível, faça uma estimativa de ΔN em ambos os casos (L = 1m e L =
10m). Explique se é viável realizar tal medida com o interferômetro que o CAA
dispõe. Dê argumentos plausíveis que justifiquem a sua resposta.
Uma possível explicação para o resultado nulo da experiência seria o arrastamento do
éter pela Terra, em analogia com um objeto imerso num fluido com viscosidade não nula.
Contudo, o arrastamento do éter estava em contradição direta com dois experimentos
(que não será discutido neste texto) realizados no passado e bem confirmados: o
fenômeno de aberração da luz das estrelas descoberto em 1725 por James Bradley e o
experimento de Fresnel e Fizeau que mediu um coeficiente nulo de arrastamento do éter
em relação ao planeta Terra em 1853.
Para explicar os resultados nulos de Michelson e Morley e manter o éter estacionário
em relação ao planeta Terra, Fitz Gerald e Lorentz propuseram uma contração dos corpos
na direção do seu movimento por um fatorγ =
(
1−β2)
, onde β=v c. Com essa hipótese
o braço do espectrômetro de Michelson paralelo à velocidade da Terra sofreria uma
contração explicando assim o resultado nulo do experimento. Todavia, com a ausência de
comprovação experimental, tal hipótese foi logo abandonada.
7. Mostre que a hipótese de Fitz Gerald-Lorentz explica o resultado nulo do
experimento na direção de v, os sinais de luz enviados pela fonte levam o mesmo
tempo, no percurso de ida e de volta, nas duas direções.
Vale salientar que apesar da relatividade restrita explicar os resultados negativos do
experimento de Michelson e Morley, ela não foi motivada por ele e sim pela assimetria
nas equações de Maxwell perante transformada de Galileu. O próprio Einstein não cita
em seu artigo de 1905 o experimento de Michelson e Moreley chegando a dizer que não
se lembrava se a conhecia na época. Muitos cientista antes de Einstein trabalharam no
problema da assimetria das equações de Maxwell sendo Lorentz o mais bem sucedido
deles achando uma primeira lei de transformação de referenciais que mantinham
invariantes as equações de Maxwell. Lorentz vinha desenvolvendo seu trabalho desde
1895, obteve em 1904 (um ano antes de Einstein) às transformações hoje conhecidas
como Transformações de Lorentz (em sua homenagem), que desempenham um papel
fundamental na teoria especial da relatividade, criada por Einstein no ano seguinte.
Bibliografia:
- P. A. Tipler, R. A. Liewellyn; FISICA MODERNA, 3°ed., Editora LTC, 2006,
Rio de Janeiro.
- John R. Ritz, F. J. Milford, R. W. Christy; FUNDAMENTOS DA TEORIA
ELETROMAGNÉTICA, 3°ed., Editora Campus, 1982, Rio de Janeiro.
- R. Gazzinelli; TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA, 1° ed., Editora
Blucher, 2009, São Paulo.
- Notas de Aula de Laboratório de Física Moderna, Prof. Sergio Campello, UFPE
– Centro Acadêmico do Agreste, 2015, Caruaru.
