PLANO DE FASE Y PUNTOS DE EQUILIBRIO
15 de octubre de 2018
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Objetivo
Que el alumno comprenda y dibuje utilizando la herramienta Simulink las trayectorias del plano de fase de un sistema no lineal. Además de saber encontrar los puntos de equilibrio para observar si influencia con la trayectoria y estabilidad de dicho sistema.
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Introducción
Debido a que no existe un procedimiento general para el análisis y sintonización de los sistemas no-lineales, es necesario abordarlos mediante distintos métodos más específicos que abordan ciertos casos de éstos. El método de plano de fase se puede utilizar para resolver sistemas lineales y no-lineales de orden n = 2, de modo que graficando una variable de estado con respecto a la otra se pueden obtener las trayectorias del comportamiento del sistema.
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Marco Teórico
Método del plano de fase
Este procedimiento consiste en determinar una representación gráfica y así calcular el comportamiento de sistemas de segundo orden. Además de transformar la ecuación diferencial de segundo orden que describe al sistema en dos ecuaciones diferenciales de primer orden.
Al tener sistemas de segundo orden de la forma:
𝑦̈ − 𝑓(𝑦, 𝑦̇, 𝑢) = 0 ( 1 )
Utilizando variables de estado:
𝑥1 ≡ 𝑦 𝑦 𝑥2≡ 𝑦̇ ( 2 )
Resultan dos ecuaciones diferenciales de primer orden:
𝑥̇1= 𝑥2
𝑥̇2= 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑢)
( 3 )
Donde 𝑥1 representa la salida del sistema y 𝑥2 su derivada. La solución del sistema se representa en el plano de fase al graficar la derivada del sistema con respecto a su salida, es decir, 𝑥2= 𝑓(𝑥1) para una cierta entrada 𝑢(𝑡). Cada solución representa una trayectoria (curva de estado) en el plano de fase. Todas trayectorias de un sistema dinámico lineal o no-lineal forman el retrato de fase (phase portrait).
Comportamiento de la Curva de Estado
La ecuación de la curva de estado se define de la siguiente manera:
𝑥̇2
𝑥̇1 =
𝑑𝑥2
𝑑𝑥1=
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑢)
Al resolver esta ecuación diferencial de primer orden (usando separación de variables) se pueden trazar las trayectorias del plano de fase.
Como se eliminó el tiempo 𝑡 se pierde la relación con el tiempo, sin embargo, se puede reconstruir usando 𝑥2 = 𝑓(𝑥1):
𝑥̇1= 𝑥2=𝑑𝑥𝑑𝑡1 ( 5 )
𝑑𝑡 =𝑑𝑥𝑥1
2 ( 6 )
∫ 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝑥𝑥1
2 𝑥1
𝑥10
( 7 )
𝑡 − 𝑡0= ∫ 𝑓(𝑥𝑑𝑥1 1) 𝑥1
𝑥10
( 8 )
Resulta la solución del tiempo en función de 𝑥1:
𝑡 = 𝑡0+ ∫ 𝑑𝑥𝑥1 2 𝑥1
𝑥10
( 9 )
Con 𝑥10= 𝑥1(𝑡0) y 𝑥1 = 𝑥1(𝑡). La trayectoria de fase recorre en el semiplano superior del plano de izquierda a derecha y en dirección contrario en la parte inferior.
Estabilidad de Puntos de Equilibrio
Representan los Puntos Singulares, que son las intersecciones de la trayectoria con el eje 𝑥1 de forma no vertical en el plano de fase. Un sistema lineal o no-lineal e invariante en el tiempo se encuentra en un punto de equilibrio (PE), si las derivadas de las variables de estado son 𝑥̇ = 0. Para
eso se supone que la variable de entrada 𝑢(𝑡) = 𝑢𝐸= 𝐶 es una constate (𝐸 para equilibrio). Para un sistema lineal e invariante en el tiempo de la forma:
𝑥̇(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝑏𝑢(𝑡)
Se obtienen los puntos de equilibrio 𝑥𝐸 para 𝑢(𝑡) = 𝑢𝐸:
𝑥̇(𝑡) = 0 = 𝐴 𝑥𝐸+ 𝑏 𝑢𝐸
𝑥𝐸= −𝐴−1 𝑏 𝑢𝐸
( 11 )
El sistema lineal es asintóticamente estable si todos los valores propios de la matriz del sistema 𝐴
tienen parte real negativa.
Cuando se trabajan con sistemas no-lineales e invariantes en el tiempo de orden 2 y en la representación del plano de fase descrita en la ecuación (3), se obtienen los puntos de equilibrio 𝑥𝐸1 y 𝑥𝐸2 para 𝑢(𝑡) = 𝑢𝐸 con las ecuaciones:
𝑥̇1= 0 = 𝑥𝐸2
𝑥̇2= 0 = 𝑓(𝑥𝐸1, 𝑥𝐸2, 𝑢𝐸)
( 12 )
Si no existe una señal de entrada 𝑢(𝑡) y una condición inicial 𝑥0 diferente de cero, entonces un
sistema no-lineal asintóticamente estable tiende al punto de equilibrio en un tiempo infinito. Dependiendo del rango de estabilidad del entorno alrededor de un PE en el plano de fase, las trayectorias iniciadas en este entorno se quedarán ahí o tenderán al punto de equilibrio. Por lo que un punto de equilibrio en cuanto a su estabilidad puede ser:
Asintóticamente estable global, si el sistema después de una elongación arbitraria vuelve a su
punto de equilibrio 𝑥𝐸(𝑡 → ∞) = 𝑥𝐸. El rango de estabilidad del punto de equilibrio es ilimitado.
Asintóticamente estable local, si el sistema después de una elongación limitada vuelve a su punto
de equilibrio 𝑥𝐸(𝑡 → ∞) = 𝑥𝐸. El rango de estabilidad del punto de equilibrio es limitado.
Semiestable (estable en el sentido de Lyapunov), si el sistema después de una pequeña elongación
arbitraria sale del punto de equilibrio y se quedara en el entorno de ese punto.
Inestable, si el sistema después de una pequeña elongación arbitraria sale del punto de equilibrio y
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Desarrollo
1) Lleva a cabo las simulaciones de los incisos 2-d), 3-c) y 4-e) de los ejercicios “Plano de Fase” de clase.
2) Dado el siguiente control de posición con fricción de Coulomb con 𝐾 = 2, 𝐽 = 1 y 𝑀𝐶 = 1:
Genera un modelo del sistema no-lineal en Simulink y simula las trayectorias en el plano de
fase para valores iniciales 𝑥0= [1.5
0 ] y 𝑥0= [20].
3) Considere el siguiente sistema en bucle cerrado con un elemento de zona muerta y los parámetros 𝐾𝑃= 2 y Δ = 0.2:
Genera un modelo del sistema no-lineal en Simulink y simula las trayectorias en el plano de
fase para valores iniciales 𝑥0= [10], 𝑥0= [ 0.5
4) Considere el modelo del péndulo matemático sin fricción con la aceleración de la gravedad
𝑔 ≈ 10𝑚𝑠2 y longitud del péndulo 𝑙 = 20𝑚:
a) Determina la energía total del sistema 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
b) Usando 𝐸̇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0, determina la ecuación diferencial no-lineal y homogénea, cuya solución describe el movimiento del péndulo. Usando variables de estado, determina las ecuaciones de estado.
c) Calcula los puntos de equilibrio 𝑥𝐸1 y 𝑥𝐸2 del sistema.
d) Calcula la trayectoria 𝑥2= 𝑓(𝑥1) del sistema y determina la constante de integración en función de los valores iniciales 𝑥1(0) = 𝑥10 y 𝑥2(0) = 𝑥20.
e) Usando los puntos de equilibrio para los valores iniciales, determina la trayectoria 𝑥2= 𝑓(𝑥1) y grafícala usando Matlab. Calcula el valor 𝑥2 = 𝑓(0).
f) Usando otros dos valores iniciales adecuados, determina la trayectoria 𝑥2= 𝑓(𝑥1) y grafícala usando Matlab junto con la trayectoria del inciso e).
g) Genera un modelo del sistema no-lineal en Simulink y simula las trayectorias en el plano de fase. Identifica los puntos de equilibrio y la “separatrix” (línea divisora).
5) Considere el péndulo matemático con fricción viscosa, cual es proporcional a la velocidad instantánea 𝐹 = 𝑏𝑣(𝑡) con constante de fricción 𝑏 = 0.1.
a) Usa la ecuación del inciso 3b) y agrégale el término de fricción. Modifica las ecuaciones de estado.
