ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO VIA
ELEMENTOS FINITOS
Bryan German Pantoja Rosero
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
FACULDADE DE TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO VIA ELEMENTOS FINITOS
Bryan German Pantoja Rosero
ORIENTADOR: Raúl Darío Durand Farfán
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL
PUBLICAÇÃO: E.DM - 01A/18 BRASÍLIA/DF: FEVEREIRO - 2018
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO
ARMADO VIA ELEMENTOS FINITOS
BRYAN GERMAN PANTOJA ROSERO
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE
EN-GENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE
TEC-NOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE
DOS REQUISÍTOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO
GRAU DE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO
CI-VIL.
APROVADO POR:
Prof. Raúl Darío Durand Farfán, Dr. (ENC - UnB)
(Orientador)
Prof. William Taylor Matias Silva, Dr. (ENC - UnB)
(Examinador Interno)
Prof. Américo Campos Filho, Dr. (PPGEC - UFRGS)
(Examinador Externo)
FICHA CATALOGRÁFICA
PANTOJA ROSERO, BRYAN GERMAN
Análise Dinâmica de Estruturas de Concreto Armado via Elementos Finitos [Distrito Federal] 2018.
xxii, 167p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas e Construção Civil, 2018). Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.
1.Análise Dinâmica 2.Elementos Finitos I.ENC/FT/UnB 3.Concreto Armado 4.Método Semi-Embutido II.Título (Mestre) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
PANTOJA R, B. G. (2018). Análise Dinâmica de Estruturas de Concreto Armado via Elementos Finitos. Dissertação de Mestrado em Estruturas e Construção Civil, Publica-ção E.DM - 01A/18, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 167p.
CESSÃO DE DIREITOS
AUTOR: Bryan German Pantoja Rosero.
TÍTULO: Análise Dinâmica de Estruturas de Concreto Armado via Elementos Finitos.
GRAU: Mestre ANO: 2018
É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmi-cos e científiacadêmi-cos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte dessa dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor.
Bryan German Pantoja Rosero bgpantojar9@gmail.com
Carrera 4 No 6-10 Barrio El Centro 524520 Pupiales – Nariño – Colômbia.
Ao anjo que acompanha a nossa família desde o céu há 10 anos sendo o melhor exemplo de ser humano que tenho conhecido, El Papá Emilio
AGRADECIMENTOS
Um dos atos mais bonitos e nobres do ser humano é saber agradecer a todos os que de certa forma ajudaram a cumprir um objetivo. A elaboração deste trabalho não teria-se tornado possível sem a colaboração e estímulo de varias pessoas. Por este fato, desejo ex-pressar minha gratidão e apreço a todos aqueles que direta ou indiretamente contribuíram em alcançar esta conquista.
Agradeço inicialmente a Deus pelo dom da vida.
Aos meus pais, Amanda e Silvio, as duas pessoas mais importantes que tenho. De todos os amores que posso receber na vida, o amor de vocês é o mais especial. Seu esforço e dedicação tem-me levado a ser a pessoa quem sou hoje.
Aos meus irmãos, Karen e Sebastian, os donos de todos meus sorrisos. Karen, a parceira da minha vida e a minha confidente, agradeço por sempre estar comigo nos bons e maus momentos. Sebastian, o caçula da família, aquele que nos dá tantas alegrias, obrigado por sempre me aguardar em casa de braços abertos.
Ao professor Raul, pela orientação, disposição e ajuda no desenvolvimento de minha pesquisa. Seu apoio foi fundamental para finalizar o trabalho com sucesso. Toda minha admiração e respeito por você.
À Astrid, pela motivação a começar esta etapa. Agradeço pelo tempo compartilhado com você o qual esteve cheio de momentos bons e aprendizagens. Certeza, parte de meus objetivos alcançados são graças a você.
Aos meus grandes amigos, Oscar, Gómez e Velandia, os irmãos que se escolhe. Apesar da distância e o tempo sem nos vermos, sempre estiveram presentes para me bridar o seu suporte.
Aos dois bons amigos que Brasil me deu, Vanessa e Carlos. Fico muito grato pela sua amizade, os conhecimentos compartilhados e sua grande paciência na hora de me ensinar o idioma. Agradeço por todos os momentos que vivemos juntos nestes dois anos que me deram muita felicidade. Sempre lembrarei de vocês, muito obrigado.
Ao meu primo Diego, por sua presença e ajuda nos momentos difíceis. Obrigado pelo ano compartido onde tivemos muitas experiencias agradáveis e principalmente por me mostrar o bom de ter família.
À Universidade de Brasília (UnB), ao Programa de Pós-graduação em Estruturas e Construção Civil (PECC), ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnoló-gico (CNPq) e ao governo brasileiro pela oportunidade oferecida e pelo suporte financeiro.
RESUMO
ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO
AR-MADO VIA ELEMENTOS FINITOS
Autor: Bryan German Pantoja Rosero Orientador: Raul Dario Durand Farfán
Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, 28 de fevereiro de 2018
Atualmente, estudos do comportamento mecânico sob carregamentos dinâmicos de estruturas de concreto armado por meio do Método dos Elementos Finitos (MEF) apre-sentam dificuldades na análise da armadura. Isto é devido às limitações das metodolo-gias usadas na modelagem da armadura no MEF, como a localização dos elementos que representam a armadura dentro dos elementos que representam o concreto ou a discreti-zação do domínio do problema. Neste contexto, no presente trabalho é usado o método semi-embutido (semi-embedded) para a modelagem da armadura. Este método supera as limitações mencionadas dos outros métodos, permitindo conhecer o comportamento da armadura e do contato entre materiais sem restrições de localização ou discretização do domínio.
Para realizar a implementação da metodologia proposta no MEF é necessário o uso de métodos de resolução numérica para problemas que dependem do tempo e que levam em conta a não linearidade física dos materiais representada com seus modelos constitu-tivos. Entre os modelos constitutivos usados para os elementos de concreto se encontram os modelos elástico linear, de Drucker-Prager e de Mazars. Para os elementos de aço utiliza-se o modelo elasto-plástico perfeito. Por sua vez, para o contato aço-concreto são usados os modelos elástico linear e o modelo não linear proposto pelo código CEB-FIP (2010). Para a resolução numérica do problema foi implementado um código que combina os métodos de Newton-Raphson, que soluciona o problema da não linearidade, e de Newmark que resolve o equilíbrio dinâmico para a variação das solicitações no tempo. No trabalho foram realizadas análises dinâmicas de estruturas de concreto armado submetidas a diferentes solicitações, divididas em duas partes. A primeira consistiu em validações do modelo usando exemplos apresentados na literatura e problemas modelados no programa Abaqus, obtendo resultados satisfatórios. As análises restantes consistiram em exemplos propostos pelo autor onde foram modeladas estruturas como vigas e pór-ticos submetidos a diferentes condições de contorno e sismo. Entre os resultados das modelagens se encontram a variação de deslocamentos, tensões no concreto, tensões axi-ais nas barras e tensões cisalhantes nos contatos entre os materiaxi-ais. Finalmente, após as modelagens realizadas chegou-se a diferentes conclusões do trabalho, onde pode-se ci-tar por exemplo, a importância de considerar o comportamento da armadura nas regiões próximas aos apoios e conexões. Isto porque nestes locais os elementos sólidos tendem a ter um comportamento não linear, seja por plastificação ou dano, que deriva na redis-tribuição de tensões transmitindo parte das tensões suportadas pelo concreto à armadura. Palavras chave: Análise dinâmica, Elementos Finitos, Concreto Armado, Método semi-embutido.
ABSTRACT
DYNAMIC ANALYSIS OF CONCRETE STRUCTURES WITH
FINITE ELEMENTS
Author: Bryan German Pantoja Rosero Supervisor: Raul Dario Durand Farfán
Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, Febrary 28th of 2018
Currently, studies of the mechanical behavior under dynamic loading of reinforced concrete structures through the Finite Element Method (FEM) present difficulties in the analysis of the reinforcement. This is due to the limitations of the methodologies used in the modeling of the rebars in the FEM, such as the location of the elements that represent the reinforcement within the elements that represent the concrete or the discretization of the domain of the problem. In this context in the present work the semi-embedded method is used for the modeling of the reinforcement. This method overcomes the mentio-ned limitations of the other methods, allowing to know the behavior of the rebars and the contact between materials without restrictions of location or discretization of the domain. To implement the methodology proposed in the FEM it is necessary to use numeri-cal resolution methods for time-dependent problems that take into account the physinumeri-cal non-linearity of the materials represented with their constitutive models. Among the constitutive models used for the concrete elements are the linear elastic, Drucker-Prager and Mazars models. For the elements of steel the perfect elasto-plastic model is used. For the steel-concrete contact, the linear elastic models and the non-linear model proposed by the CEB-FIP code (2010) are used. For the numerical resolution of the problem, a code was implemented that combines the methods of Newton-Raphson, which solves the problem of non-linearity, and of Newmark that solves the dynamic equilibrium for the variation of the requests in time.
In the work, dynamic analyzes of reinforced concrete structures submitted to different requests were carried out, divided into two parts. The first one consisted of validati-ons of the model using examples presented in the literature and problems modeled in the Abaqus program, obtaining satisfactory results. The remaining analyzes consisted of examples proposed by the author where structures such as beams and frames were sub-mitted to different contour and earthquake conditions. Among the modeling results are the variation of displacements, tensions in concrete, axial stresses in the bars and shear stresses in the contacts between the materials. Finally, after the modeling, it was reached different conclusions of the work, where it can mention, for example, the importance of considering the behavior of the reinforcement in the regions near the supports and con-nections. This is because in these places the solid elements tend to have a non-linear behavior, either by plastification or damage, that results in the redistribution of tensions transmitting part of the tensions supported by the concrete to the reinforcement.
Keywords: Dynamic analysis, Finite elements, Reinforced concrete, Semi-embedded method.
SUMÁRIO
LISTA DE TABELAS x
LISTA DE FIGURAS xi
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES xvii
1 INTRODUÇÃO 1
1.1 OBJETIVOS . . . 3
1.2 ESCOPO DO TRABALHO . . . 4
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5 2.1 ELEMENTOS FINITOS . . . 5
2.1.1 Formulação estática dos elementos finitos . . . 6
2.1.2 Formulação dinâmica dos elementos finitos . . . 7
2.2 MODELAGEM DOS MATERIAIS . . . 8
2.2.1 Comportamento do Concreto . . . 8
2.2.2 Comportamento do Aço . . . 9
2.2.3 Modelos Constitutivos dos Materiais . . . 9
2.3 MODELAGEM DA ARMADURA . . . 12
2.3.1 Interação Aço-Concreto . . . 12
2.3.2 Métodos de modelagem de armadura em MEF . . . 12
2.4 ANÁLISE DINÂMICA . . . 14
2.4.1 Equação de movimento . . . 15
2.4.2 Vibração livre não amortecida . . . 16
2.4.3 Vibração livre amortecida . . . 16
2.4.4 Vibrações Forçadas . . . 17
2.4.5 Influência da excitação da base . . . 17
2.4.6 Resposta dinâmica não linear . . . 19
2.5 COMPORTAMENTO DINÂMICO DO CONCRETO ARMADO . . . 21
2.6 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DIRETA EM FUNÇÃO DO TEMPO . . . 25
2.6.1 Métodos Explícitos . . . 26
2.6.2 Métodos Implícitos . . . 26
2.7 MÉTODOS DE SOLUÇÃO PARA PROBLEMAS NÃO LINEARES FÍSICOS . . . 27
2.7.1 Método de Newton . . . 27
2.7.2 Método das diferenças finitas . . . 28
2.8 ESTUDOS DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO . . . 30
3 METODOLOGIA 34 3.1 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA O CONCRETO . . . 34
3.1.1 Elástico-Linear . . . 34
3.1.2 Drucker-Prager (Modelo Elasto-Plástico) . . . 35
3.1.3 Mazars (Modelo de Dano) . . . 39
3.2 MODELO CONSTITUTIVO PARA O AÇO . . . 41
3.3.1 Elástico-Linear . . . 43 3.3.2 CEB-FIP (2010) . . . 44 3.4 MÉTODO SEMI-EMBUTIDO . . . 45 3.4.1 Discretização da armadura . . . 46 3.4.2 Modelagem da interface . . . 46 3.5 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA . . . 49
3.5.1 Matrizes K, M e C dos elementos finitos . . . 50
3.5.2 Método de Newton Raphson . . . 53
3.5.3 Método de Newmark . . . 54
3.5.4 Método de Newton Raphson com Integração de Newmark . . . 56
3.5.5 Critério de Convergência . . . 59
3.5.6 Passo automático na discretização do tempo . . . 59
3.5.7 Frequências de Vibração e Deformadas Modais . . . 60
3.5.8 Implementação de comportamento sísmico . . . 62
3.5.9 Algoritmos Implementados . . . 63
3.5.10 Pós-processamento . . . 69
3.5.11 Abaqus . . . 70
4 TESTES E VALIDAÇÕES 71 4.1 Exemplo 1: Viga simplesmente apoiada de concreto armado - Comparação com Abaqus . . . 71
4.2 Exemplo 2: Viga engastada de concreto armado. Comparação com Abaqus 76 4.3 Exemplo 3: Laje de Concreto Armado Engastada, Haido et al. (2010) . . . 81
4.4 Exemplo 4: Viga Simplesmente Apoiada de Concreto Armado, Bathe e Ramaswamy (1979) . . . 84
4.5 Exemplo 5: Viga Bi-engastada de Concreto Armado, Stangenberg (1974) . 88 5 ESTUDO DE CASOS: PROBLEMAS PROPOSTOS 92 5.1 Problema 1: Viga Simplesmente Apoiada de Concreto Armado com Reforço Longitudinal e Transversal Sujeita a Carga e Descarga. . . 93
5.2 Problema 2: Viga Engastada de Concreto Armado com Reforço Longitu-dinal e Transversal Sujeita a Carregamento Harmônico Distribuído. . . 106
5.3 Problema 3: Pórtico Simples de Concreto Armado com Reforço Longitu-dinal e Transversal Sujeita a Carregamento Harmônico Distribuído. . . 116
5.4 Problema 4: Sistema de Pórticos de Concreto Armado com Reforço Longitudinal e Transversal Sujeito a Ação Sísmica. . . 133
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 155 6.1 CONCLUSÕES . . . 155
6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS . . . 158
REFERÊNCIAS 160
ANEXOS 164
A ESTUDO DE CASOS: PROBLEMA 1 MODIFICADO 165
LISTA DE TABELAS
3.1 Parâmetros de aderência KS recomendados em função do diâmetro (CA50),
(Rosales, 2016) . . . 44
4.1 Propriedades da viga de concreto armado - Exemplo 1. . . 72
4.2 Parâmetros α e β do método de Rayleigh - Exemplo 1. . . 73
4.3 Parâmetros α e κ do modelo de Drucker-Prager FemLab - Exemplo 1. . . . 73
4.4 Parâmetros K, β◦ e σc0 do modelo de Drucker-Prager Abaqus - Exemplo 1. 73 4.5 Propriedades da viga de concreto armado - Exemplo 2. . . 78
4.6 Parâmetros α e β do método de Rayleigh - Exemplo 2. . . 78
4.7 Parâmetros α e κ do modelo de Drucker-Prager FemLab - Exemplo 2. . . . 78
4.8 Parâmetros K, β◦ e σc0 do modelo de Drucker-Prager Abaqus - Exemplo 2. 78 4.9 Propriedades da laje de concreto armado - Exemplo 3, (Haido et al., 2010). 83 4.10 Parâmetros α e κ do modelo de Drucker-Prager - Exemplo 3. . . 83
4.11 Propriedades da viga de concreto armado - Exemplo 4, (Bathe e Ra-maswamy, 1979). . . 85
4.12 Parâmetros α e κ do modelo de Drucker-Prager - Exemplo 4. . . 87
4.13 Propriedades da viga de concreto armado - Exemplo 5, (Bathe e Ra-maswamy, 1979). . . 89
4.14 Parâmetros α e κ do modelo de Drucker-Prager - Exemplo 5. . . 90
5.1 Propriedades dos materiais dos problemas propostos. . . 93
5.2 Parâmetros α e κ do modelo de Drucker-Prager FemLab. . . 93
5.3 Parâmetros do modelo de Dano de Mazars. . . 93
5.4 Parâmetros modificados do modelo de Dano de Mazars (Problemas 1, 2 e 3). 93 5.5 Propriedades de reforço e contato da viga de concreto armado - Problema 1. 94 5.6 Parâmetros α e β do método de Rayleigh - Problema 1. . . 95
5.7 Propriedades de reforço e contato da viga de concreto armado - Problema 2.107 5.8 Parâmetros α e β do método de Rayleigh - Problema 2. . . 107
5.9 Propriedades de reforço e contato aço-concreto do pórtico simples de concreto armado - Problema 3. . . 118
5.10 Parâmetros α e β do método de Rayleigh - Problema 3. . . 119
5.11 Propriedades do reforço e contato aço-concreto do sistema de pórticos de concreto armado - Problema 4. . . 136
5.12 Parâmetros α e β do método de Rayleigh - Problema 4. . . 137
B.1 Frequências naturais de vibração da viga do Problema 1 para diferentes solicitações estáticas e danificação. . . 167
LISTA DE FIGURAS
2.1 Curvas de tensão-deformação sob compressão biaxial. Modificado de
Buyukozturk e Shareef (1985). . . 8 2.2 Curvas de tensão-deformação para o aço. Modificado de Gere (2006). . . . 9 2.3 Métodos de modelagem da armadura em MEF (a) Distribuído, (b)Discreto,
(c) Embutido. Modificados de Azimi et al. (2015). (d) Semi-Embutido. . . 14 2.4 Sistema idealizado de um grau de liberdade. (a) Componentes básicos.
(b) Equilíbrio de forças. Modificado de Clough e Penzien (2003). . . 15 2.5 Influência da excitação da base. (a) Movimento do sistema (b) Forças de
equilíbrio. Modificado de Clough e Penzien (2003). . . 18 2.6 Função não linear da Força elástica vs Deslocamento. Modificado de Paz
e Leigh (2006). . . 20 2.7 Comparação da resposta dinâmica do comportamento elasto-plástico e
elástico. Modificado de Paz e Leigh (2006). . . 21 2.8 a) Efeito no material inelástico com carga não monotônica, b) Resposta
histerética de um material inelástico. Modificado de García Reyes (1998). 23 2.9 Resposta histerética de uma viga de concreto reforçado em balanço.
Modificado de García Reyes (1998). . . 23 2.10 Resposta histerética do concreto armado com deformações diferentes em
cada ciclo de carga. Modificado de García Reyes (1998). . . 24 2.11 Resposta cíclica do concreto armado. a) Comportamento a compressão,
b) Comportamento a tração. Modificado de Torrenti et al. (2013). . . 24 2.12 Resposta cíclica do aço. Modificado de Shi et al. (2013). . . 25 3.1 Superfície de plastificação de Drucker-Prager no espaço de tensões
principais, (de Souza Neto et al., 2008) . . . 35 3.2 Superfícies de plastificação de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager, (de Souza
Neto et al., 2008) . . . 36 3.3 Superfícies de plastificação de Mohr-Coulomb e aproximações
Drucker-Prager em tensões planas. a) Aproximação tensão uniaxial, b) Aproxima-ção tensão biaxial. Modificado de (de Souza Neto et al., 2008) . . . 37 3.4 Circulo de Mohr-Coulomb para cálculo da coesão c e o ângulo de atrito φ 38 3.5 Modelo elasto-plástico perfeito (a)Ciclo carga-descarga, (b) Parcela de
deformação elástica, (c) Parcela de deformação plástica, (d) Deformação total. Modificado de Olleros (2017). . . 42 3.6 Modelo constitutivo elástico-linear para elementos de interface (Durand e
Farias, 2012) . . . 43 3.7 Aderência analítica, relação tensão-deslizamento. Modificado de
Fédéra-tion InternaFédéra-tionale du Béton (2010). . . 44 3.8 Discretização do reforço dentro dos elementos sólidos no método
semi-embutido, (Durand e Farias, 2012). . . 46 3.9 Representação dos 3 elementos do método semi-embutido (Durand e
Farias, 2012). . . 47 3.10 Exemplificação de vetor de influência em uma coluna engastada. . . 63 4.1 Viga simplesmente apoiada - Exemplo 1: a) Carregamento dinâmico, b)
Discretização do domínio, c) Condições de contorno. . . 72 4.2 Viga simplesmente apoiada - Exemplo 1: armadura de reforço. . . 72 4.3 Deformadas modais para a viga - Exemplo 1. . . 73
4.4 Deslocamento na metade do vão da viga sem amortecimento em função
do tempo - Exemplo 1. . . 73
4.5 Tensões na armadura no ponto A sem amortecimento em função do tempo - Exemplo 1. . . 74
4.6 Deslocamento na metade do vão da viga com amortecimento em função do tempo - Exemplo 1. . . 74
4.7 Tensões armadura ponto A com amortecimento em função do tempo -Exemplo 1. . . 75
4.8 Viga engastada - Exemplo 2: a) Carregamento dinâmico, b) Discretização do domínio, c) Condições de contorno. . . 77
4.9 Viga engastada - Exemplo 2: armadura de reforço. . . 77
4.10 Deformadas modais para a viga - Exemplo 2. . . 78
4.11 Deslocamento no extremo livre da viga sem amortecimento em função do tempo - Exemplo 2. . . 79
4.12 Tensões na armadura no ponto A sem amortecimento em função do tempo - Exemplo 2. . . 79
4.13 Deslocamento no extremo livre da viga sem amortecimento em função do tempo - Exemplo 2. . . 80
4.14 Tensões na armadura no ponto A sem amortecimento em função do tempo - Exemplo 2. . . 80
4.15 Laje de concreto armado - Exemplo 3: a) Condições de contorno, b) Armadura de reforço, c) Carregamento dinâmico, d) Discretização do domínio, (Haido et al., 2010). . . 82
4.16 Deslocamento do ponto médio da laje de concreto armado - Exemplo 3, (Haido et al., 2010). . . 83
4.17 Viga de concreto armado - Exemplo 4: a) Carregamento dinâmico, b) Dis-cretização do domínio, c) Condições de contorno, (Bathe e Ramaswamy, 1979). . . 85
4.18 Viga de concreto armado - Exemplo 4: armadura de reforço (Bathe e Ramaswamy, 1979). . . 85
4.19 Deslocamento ponto médio inferior da viga. Análise elástico-linear. . . 86
4.20 Deslocamento no ponto médio inferior da viga. Análise não linear. . . 87
4.21 Viga de concreto armado - Exemplo 5: a) Carregamento dinâmico, b) Discretização do domínio, c) Condições de contorno (Stangenberg, 1974). . 88
4.22 Viga de concreto armado - Exemplo 5: armadura de reforço (Stangenberg, 1974). . . 89
4.23 Deslocamento do ponto médio do vão da viga de concreto armado -Exemplo 5, (Stangenberg, 1974). . . 90
4.24 Deslocamento do ponto médio do vão da viga de concreto armado -Exemplo 5, (Stangenberg, 1974). . . 91
5.1 Viga simplesmente apoiada - Problema 1: a) Carregamento dinâmico, b) Discretização do domínio, c) Condições de contorno. . . 94
5.2 Armadura de reforço da viga simplesmente apoiada - Problema 1. . . 94
5.3 Deformadas modais viga - Problema 1. . . 95
5.4 Tensões axiais m kPa na armadura para t = 0, 111 s - Problema 1. . . 96
5.5 Tensões cisalhantes em kPa no contato açoconcreto para t = 0, 111 s -Problema 1. . . 96
5.6 Tensões axiais em kPa na armadura para t = 0, 111 s, com escala de
tensões reduzida - Problema 1. . . 97
5.7 Tensões cisalhantes em kPa no contato aço-concreto para t = 0, 111 s, com escala de tensões reduzida - Problema 1. . . 97
5.8 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados, Vista 1 - Problema 1. . . 98
5.9 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados, Vista 2 - Problema 1. . . 98
5.10 Tensões σyy no concreto com Modelo de Mazars. t = 0,111 s, Problema 1. 99 5.11 Regiões com deformações plásticas. Modelo de Drucker-Prager. t = 0,1 s - Problema 1. . . 99
5.12 Regiões com dano. Modelo de Mazars. t = 1,0 s - Problema 1. . . 100
5.13 Deslocamento na metade do vão em função do tempo - Problema 1. . . 100
5.14 Tensões axiais na armadura no ponto A1 em função do tempo - Problema 1.101 5.15 Tensões axiais na armadura no ponto B1 em função do tempo - Problema 1.101 5.16 Tensões axiais na armadura no ponto D2 em função do tempo - Problema 1.101 5.17 Tensões axiais na armadura no ponto E1 em função do tempo - Problema 1.102 5.18 Tensões axiais na armadura no ponto E2 em função do tempo - Problema 1.102 5.19 Tensões cisalhantes no contato no ponto A1 em função do tempo -Problema 1. . . 102
5.20 Tensões cisalhantes no contato no ponto B1 em função do tempo -Problema 1. . . 103
5.21 Tensões cisalhantes no contato no ponto D2 em função do tempo -Problema 1. . . 103
5.22 Tensões cisalhantes no contato no ponto E2 em função do tempo -Problema 1. . . 103
5.23 Viga engastada - Problema 2: a) Carregamento dinâmico, b) Discretização do domínio, c) Condições de contorno. . . 106
5.24 Armadura de reforço da viga engastada - Problema 2. . . 107
5.25 Deformadas modais da viga - Problema 2. . . 108
5.26 Tensões axiais em kPa na armadura para t = 0,051 s - Problema 2. . . 108
5.27 Tensões cisalhantes em kPa no contato açoconcreto para t = 0,051 s -Problema 2. . . 109
5.28 Tensões axiais em kPa na armadura para t = 0,051 s, com escala de tensões reduzida - Problema 2. . . 109
5.29 Tensões cisalhantes em kPa no contato aço-concreto para t = 0,051 s, com escala de tensões reduzida - Problema 2. . . 110
5.30 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados - Problema 2. . . . 110
5.31 Tensões σyy no concreto com Modelo de Mazars. t = 0,051 s - Problema 2. 111 5.32 Regiões com deformações plásticas. Modelo de Drucker-Prager. t = 0,042 s - Problema 2. . . 111
5.33 Regiões com dano. Modelo de Mazars. t = 1,0 s - Problema 2. . . 112
5.34 Deslocamento na extremidade livre em função do tempo - Problema 2. . . 112
5.35 Tensões axiais na armadura no ponto B2 em função do tempo - Problema 2.113 5.36 Tensões axiais na armadura no ponto D1 em função do tempo - Problema 2.113 5.37 Tensões axiais na armadura no ponto D2 em função do tempo - Problema 2.113 5.38 Tensões cisalhantes no contato no ponto A2 em função do tempo -Problema 2. . . 114
5.39 Tensões cisalhantes no contato no ponto E1 em função do tempo
-Problema 2. . . 114 5.40 Portico Simples - Problema 3. a) Função do carregamento dinâmico, b)
Discretização do domínio, c) Condições de contorno. . . 117 5.41 Armadura de Reforço da Viga do Pórtico Simples - Problema 3. . . 117 5.42 Armadura de Reforço das Colunas do Pórtico Simples - Problema 3. . . . 118 5.43 Deformadas modais do pórtico Problema 3. . . 119 5.44 Tensões axiais em kPa na armadura para t = 0,054 s - Problema 3. . . 120 5.45 Tensões cisalhantes em kPa no contato açoconcreto para t = 0,054 s
-Problema 3. . . 120 5.46 Tensões axiais em kPa na armadura para t = 0,054 s, com escala de
tensões reduzida - Problema 3. . . 121 5.47 Tensões cisalhantes em kPa no contato aço-concreto para t = 0,054 s,
com escala de tensões reduzida - Problema 3. . . 121 5.48 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados - Problema 3, Viga
V1, Parte 1. . . 122 5.49 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados - Problema 3, Viga
V1, Parte 2. . . 122 5.50 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados - Problema 3,
Coluna C1. . . 123 5.51 Tensões σyy no concreto com Modelo de Mazars. t = 0,054 s - Problema 3. 123
5.52 Tensões σzz no concreto com Modelo de Mazars. t = 0,054 s - Problema 3. 124
5.53 Regiões com deformações plásticas. Modelo de Drucker-Prager. t = 0,042 s - Problema 1. . . 124 5.54 Regiões com dano. Modelo de Mazars. t = 1,0 s - Problema 1. . . 125 5.55 Deslocamento em y no extremo superior esquerdo em função do tempo
-Problema 3. . . 125 5.56 Tensões axiais na armadura no ponto A2 em função do tempo - Problema 3.126 5.57 Tensões axiais na armadura no ponto D1 em função do tempo - Problema 3.126 5.58 Tensões axiais na armadura no ponto F2 em função do tempo - Problema 3.126 5.59 Tensões axiais na armadura no ponto G2 em função do tempo - Problema 3.127 5.60 Tensões axiais na armadura no ponto K2 em função do tempo - Problema 3.127 5.61 Tensões axiais na armadura no ponto L1 em função do tempo - Problema 3.127 5.62 Tensões axiais na armadura no ponto M1 em função do tempo - Problema
3. . . 128 5.63 Tensões cisalhantes no contato no ponto A2 em função do tempo
-Problema 3. . . 128 5.64 Tensões cisalhantes no contato no ponto C1 em função do tempo
-Problema 3. . . 128 5.65 Tensões cisalhantes no contato no ponto E2 em função do tempo
-Problema 3. . . 129 5.66 Tensões cisalhantes no contato no ponto F2 em função do tempo
-Problema 3. . . 129 5.67 Tensões cisalhantes no contato no ponto G2 em função do tempo
-Problema 3. . . 129 5.68 Tensões cisalhantes no contato no ponto L1 em função do tempo
5.69 Tensões cisalhantes no contato no ponto N1 em função do tempo
-Problema 3. . . 130 5.70 Sistema de Pórticos - Problema 4: Discretização do domínio e Condições
de contorno. . . 134 5.71 Acelerograma do Sismo El Centro como função do tempo para 30,9 s de
duração - Problema 4. . . 134 5.72 Armadura de Reforço das Colunas do sistema de pórticos - Problema 4. . 135 5.73 Armadura de Reforço da Viga do sistema de pórticos - Problema 4. . . 135 5.74 Armadura de Reforço da Laje Maciça do sistema de pórticos - Problema 4. 136 5.75 Deformadas modais do sistema de pórticos - Problema 4. . . 137 5.76 Tensões axiais em kPa na armadura para t = 2,45 s - Problema 4. . . 138 5.77 Tensões cisalhantes em kPa no contato açoconcreto para t = 2,45 s
-Problema 4. . . 138 5.78 Tensões axiais em kPa na armadura para t = 2,45 s, com escala de tensões
reduzida - Problema 4. . . 139 5.79 Tensões cisalhantes em kPa no contato aço-concreto para t = 2,45 s, com
escala de tensões reduzida - Problema 4. . . 139 5.80 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados da viga V2, Vista
1 - Problema 4. . . 140 5.81 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados da viga V2, Vista
2 - Problema 4. . . 141 5.82 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados da viga V4, Vista
1 - Problema 4. . . 141 5.83 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados da viga V4, Vista
2 - Problema 4. . . 142 5.84 Pontos da armadura onde apresentamse os resultados da Coluna C1
-Problema 4. . . 142 5.85 Pontos da armadura onde apresentam-se os resultados da Laje - Problema
4. . . 143 5.86 Tensões σyy em kPa no concreto com Modelo de Mazars para t = 2,45 s
-Problema 4. . . 143 5.87 Tensões σzz em kPa no concreto com Modelo de Mazars para t = 2,45 s
-Problema 4. . . 144 5.88 Regiões com deformações plásticas para t = 2,45 s. Modelo de
Drucker-Prager - Problema 4. . . 144 5.89 Regiões com dano para t = 35,00 s. Modelo de Mazars - Problema 4. . . . 145 5.90 Deslocamento em y do pórtico. Ponto localizado na metade do vão da viga V1 em
função do tempo - Problema 4. . . 145 5.91 Deslocamento em z no ponto médio inferior da laje em função do tempo - Problema 4. 146 5.92 Tensões axiais na armadura no ponto A1 em função do tempo - Problema 4.146 5.93 Tensões axiais na armadura no ponto F1 em função do tempo - Problema 4.146 5.94 Tensões axiais na armadura no ponto H1 em função do tempo - Problema 4.147 5.95 Tensões axiais na armadura no ponto J2 em função do tempo - Problema 4.147 5.96 Tensões axiais na armadura no ponto K1 em função do tempo - Problema 4.147 5.97 Tensões axiais na armadura no ponto N1 em função do tempo - Problema 4.148 5.98 Tensões axiais na armadura no ponto P2 em função do tempo - Problema 4.148 5.99 Tensões axiais na armadura no ponto R2 em função do tempo - Problema 4.148 5.100 Tensões axiais na armadura no ponto V2 em função do tempo - Problema 4.149
5.101 Tensões cisalhantes no contato no ponto C1 em função do tempo
-Problema 4. . . 149 5.102 Tensões cisalhantes no contato no ponto F2 em função do tempo
-Problema 4. . . 149 5.103 Tensões cisalhantes no contato no ponto G1 em função do tempo
-Problema 4. . . 150 5.104 Tensões cisalhantes no contato no ponto N1 em função do tempo
-Problema 4. . . 150 5.105 Tensões cisalhantes no contato no ponto O1 em função do tempo
-Problema 4. . . 150 5.106 Tensões cisalhantes no contato no ponto P1 em função do tempo
-Problema 4. . . 151 5.107 Tensões cisalhantes no contato no ponto R2 em função do tempo
-Problema 4. . . 151 5.108 Tensões cisalhantes no contato no ponto V2 em função do tempo
-Problema 4. . . 151 A.1 Deslocamento na metade do vão em função do tempo - Problema 1. . . 165 A.2 Tensões axiais na armadura no ponto A1 em função do tempo - Problema 1.165 A.3 Tensões cisalhantes no contato no ponto A1 em função do tempo
-Problema 1. . . 166 B.1 Deformadas modais viga - Problema 1. . . 167
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES
Abreviações
MEF Método dos Elementos Finitos
Símbolos do Alfabeto Grego
∆F(k−1) Diferença entre forças externas e internas de rigidez
ωm Frequência m de vibração do sistema
ωn Frequência n de vibração do sistema
α Coeficiente do método de Rayleigh
α Constante de calibração do modelo CEB-FIB (2010)
α Constante do material do modelo de Drucker Prager
¯
ω Frequência circular da forã harmônica
β Coeficiente do método de Rayleigh
β Constante do método de integração de Newmark
σ∗ Tensor do modelo de Mazars
∆¨ui Incremento da aceleração
∆ ˙ui Incremento da velocidade
∆p(ti) Incremento da força externa
∆t Incremento de tempo
∆ui Incremento do deslocamento
∆t Duração do intervalo de tempo
tol Valor da tolerância do critério ce convergência
η Parâmetro de material modelo de Drucker Prager
γ Constante do método de integração de Newmark
κ Constante do material do modelo de Drucker Prager
ν Coeficiente de Poisson
ω Frequência angular
φ Ângulo de atrito do material
ρ Densidade do material
σc Resistência a compressão do material
σf Tesnão de escoamento
σt Resistência a tração do material
τ (s) Tensão cisalhante do contato em função do deslizamento da barra
τf Tensão cisalhante residual no modelo CEB-FIP (2010)
τ Tensão cisalhante no contato
˜
ε Deformação equivalente de extensão
ε Deformação do material
ξm Relação de amortecimento m do sistema
ξn Relação de amortecimento n do sistema
ξ Parâmetro de material modelo de Drucker Prager
f (σ) Função de plastificação
αC Valor do modelo de Mazars
αT Valor do modelo de Mazars
∆U(k) Incremento de deslocamentos
δui Variação arbitrária no deslocamento
hσ∗i− Parcela negativa do tensor σ∗ hσ∗i+ Parcela positiva do tensor σ∗ hεCii− Parcela negativa da deformação εC
hεT ii+ Parcela positiva da deformação εT
σij Tensor de tensões
τmax Tensão cisalhante máxima no modelo CEB-FIP (2010)
εe Deformação elástica do material
εp Deformação plástica do material
εC Deformação do modelo de Mazars
εd0 Deformação de referência no modelo de Mazars
εT Deformação do modelo de Mazars
ε1 Deformação principal 1
ε3 Deformação principal 3
Símbolos do Alfabeto Latino ¯
c Parâmetro de material modelo de Drucker Prager
D0 Tensor elástico de quarta ordem do material
¨
Ui Acelerações nodais no instante i
¨
Ui−1 Acelerações nodais no instante i − 1
¨
u(t) Aceleração em função do tempo
¨
ui Aceleração no instante no instante de tempo i
¨
ui+1 Aceleração no instante no instante de tempo i+1
˙
Ui Velocidades nodais no instante i
˙
Ui−1 Velocidades nodais no instante i − 1
˙u(t) Velocidade em função do tempo
˙ui Velocidade no instante de tempo i
˙ui+1 Velocidade no instante de tempo i+1
˙
U Velocidade dos graus de liberdade
B Matriz que relaciona deformações-deslocamentos
C Matriz de amortecimento
D Matriz que relaciona tensões-deformações
F Vetor de forças externas
F Vetor generalizado de forças
Fint Vetor de forças internas
K Matriz de rigidez
M Matriz de massa
N Matriz que contém as equações de forma do elemento finito
U Vetor de deslocamentos dos graus de liberdade
B Matriz que transforma deslocamentos nodais em relativos
F Forças internas
Fext Forças externas aplicadas
I Tensor identidade
Kb Matriz de rigidez do elemento de barra
KJ Matriz de rigidez do elemento de junta
N Matriz de funções de interpolação da interface
R Matriz de cossenos diretores para a região de contato
r Vetor de influência sísmica
u∗ Deslocamentos dos nós ficticios da interface
ub Deslocamentos dos nós flutuantes da interface
us Deslocamentos nodais do elemento sólido
t+∆tK(k−1) Matriz do sistema em cada iteração de Newton-Raphson
a Ponto de contorno a
AC Parâmetro relacionado com ensaios de compressão uniaxial
As Área da seção transversal da barra
as(s) Escalar em função do tempo que representa as acelerações sísmicas
AT Parâmetro relacionado com ensaios de tração uniaxial
b Ponto de contorno b
BC Parâmetro relacionado com ensaios de compressão uniaxial
BT Parâmetro relacionado com ensaios de tração uniaxial
c Coeficiente de amortecimento do sistema de um grau de liberdade
c Coesão do material
cc Coeficiente de amortecimento crítico
D Escalar que representa o dano no modelo de Mazars
DC Variável de dano a compressão
DT Variável de dano a tração
E Modulo de elasticidade do material
Es Modulo de Young do aço
f Função que representa a equação diferencial de 2 ordem
f00(x1) Segunda derivada com respeito a x da função f (x) avaliada em x1
f (t+∆tU(k)) Função resíduo do método de Newton Raphson
f (t) Forças externas em função do tempo
f (x) Função f da variavel x
fD(t) Força de amortecimento em função do tempo
fI(t) Força inercial em função do tempo
fS(t) Força elástica em função do tempo
fy Derivada parcial respeito a y de f
fy0 Derivada parcial respeito a y0 de f
J2 Segundo invariante das tensões desviadoras
k Rigidez do sistema de um grau de liberdade
ki Rigidez no instante de tempo i
KN Rigidez do contato perpendicular à barra
KS Modulo de rigidez do contato
m Massa do sistema de um grau de liberdade
Mij Funções de forma do elemento sólido no nó i avaliado no nó embutido j
Mij Matriz de massa em forma tensorial
nj Vetor normal à superfície
P Perímetro da barra de reforço
p Pressão hidrostática
p(t) Força externa em função do tempo
p0 Amplitude da força harmônica
s1 Valor de deslizamento 1 do modelo CEB-FIP (2010)
s2 Valor de deslizamento 2 do modelo CEB-FIP (2010)
s3 Valor de deslizamento 3 do modelo CEB-FIP (2010)
ST Contorno do meio contínuo
T Força de arrancamento do teste de arrancamento
t Tempo
ti Força de superfície
ti+1 Instante de tempo i+1
u(t) Deslocamento em função do tempo
ui Deslocamento dos graus de liberdade
ui Deslocamento no instante de tempo i
ur Deslocamentos longitudinais da barra
ug(t) Deslocamento na base da estrutura
ui+1 Deslocamento no instante de tempo i+1
umax Deslocamento final do teste de arrancamento
V Volume do meio contínuo
x1 Ponto 1 da variavel x
xi Ponto i da variavel x
xj Coordenadas cartesianas
xi−1 Ponto i − 1 da variavel x
y00 Equação diferencial de 2 ordem representada por f
¨
ui Aceleração dos graus de liberdade
Cijkl Tensor que representa rigidez no modelo Elástico-Linear
F∗ Vetor de pseudo-forças
K∗ Matriz de pseudo-rigidez
ui Deslocamentos dos nós do elemento interface
t+∆tU¨(k) Acelerações nodais no instante t + ∆t da iteração k t+∆tU˙(k) Velocidades nodais no instante t + ∆t da iteração k t+∆tU(k) Deslocamentos nodais no instante t + ∆t da iteração k
x∗ Aproximação da raiz da função f (x)
Ui Deslocamentos nodais no instante i
Ui−1 Deslocamentos nodais no instante i − 1
1
INTRODUÇÃO
Devido os benefícios que o concreto armado possui, dentre eles, a resistência à compressão e tração, facilidade de moldar e custo, tem-se tornado o material mais usado na construção de obras de infraestrutura. Estas obras, durante sua vida útil, estão submetidas, além de carregamentos produzidos por seu peso próprio e cargas de ocupação, a carregamentos dinâmicos devido ao uso ou fenômenos naturais como os sismos. Neste sentido, e sabendo que toda estrutura tem como fim prestar um serviço garantindo segurança, estudos do comportamento dinâmico desse tipo de estruturas sob diversas solicitações e configurações estruturais são de grande importância.
Para analisar o comportamento mecânico de estruturas de concreto armado, muitas pes-quisas usam métodos computacionais pelos grandes benefícios que oferecem na solução de modelos matemáticos difíceis de resolver analiticamente. Entre esses métodos o mais usado é o Método dos Elementos Finitos (MEF) devido a vantagens como a versatilidade de modelar geometrias complexas, materiais heterogêneos e não lineares. Uma vez de que o concreto armado é um material heterogêneo pela presença de dois materiais (considerando o concreto e o aço) com comportamentos mecânicos diferentes, existem descontinuidades que devem ser levadas em conta no MEF. Na atualidade existem diferentes metodologias que permitem modelar a armadura dentro do concreto, como os métodos distribuído, dis-creto, embutido e semi-embutido apresentando cada um vantagens como desvantagens. O método distribuído diminui o gasto computacional mas não permite conhecer o com-portamento mecânico da armadura. Já o método discreto permite conhecer as tensões na armadura ao considerar dois tipos de elementos mas restringe a discretização do domínio. Por sua vez, o método embutido apresenta facilidade na livre localização da armadura nos elementos de concreto a partir de duas abordagens. A primeira e mais simples, as-sume aderência perfeita do aço e concreto que impossibilita conhecer o comportamento mecânico do contato. Já na segunda, de implementação mais complexa, o deslizamento da armadura é permitido com o aumento da quantidade de graus de liberdade.
Em função das limitações desses três métodos, Durand (2008) propôs um novo método que combina as vantagens do método discreto e do método embutido com a inclusão de um terceiro elemento chamado elemento de interface ou de contato. Assim, este método
permite que os elementos de armadura atravessem livremente os elementos que represen-tam o concreto e, além disso, represen-também permite conhecer caraterísticas do comporrepresen-tamento mecânico das barras de aço tais como tensões axiais, deslizamentos e o comportamento do contato entre os materiais. Apesar das vantagens, ao se considerar o uso do terceiro elemento junto com os elementos barra e sólidos, há um incremento na quantidade de graus de liberdade, aumentando também o gasto computacional comparado com os ou-tros métodos. Nos últimos anos, múltiplas pesquisas se desenvolveram usando o método semi-embutido com o fim de conhecer mais acuradamente o comportamento da arma-dura de estruturas feitas com concreto armado. Entre elas estão os trabalhos de Del Rio (2015), Rosales (2016), Silva (2017) e Faria (2017). Um dos produtos dessas pesquisas é o programa de elementos finitos para estruturas FemLab, que usa o método semi-embutido para a modelagem da armadura no concreto armado.
Na atualidade, estudos dinâmicos de estruturas de concreto armado por meio do MEF apresentam dificuldades na hora da modelagem da armadura como: problemas na locali-zação dos elementos de aço, o desconhecimento do comportamento mecânico das barras e da sua interação com o concreto. Tais dificuldades na modelagem da armadura provêm do uso das hipóteses das metodologias usadas, como aderência perfeita entre aço e concreto ou a suposição do aço perfeitamente distribuído nos elementos de concreto atravessados, considerando o concreto armado como um material homogêneo.
Outro fato importante que deve ser levado em consideração quando o concreto armado é submetido a cargas dinâmicas é o comportamento cíclico do material. Este está relacio-nado diretamente com o comportamento histerético da estrutura cuja resposta dependerá do estado deformacional e tensional de solicitações passadas. Desta forma, devido às caraterísticas do material em questão, se espera que as respostas evidenciem tanto defor-mações plásticas como perda na rigidez da estrutura ao longo do tempo.
Neste contexto, no presente trabalho se pretende analisar o comportamento dinâmico de estruturas de concreto armado com o MEF usando o método semi-embutido dando ênfase no comportamento mecânico do aço. Para isto utiliza-se a biblioteca disponível do programa FemLab para análise estática, complementando e modificando ela com os
códigos necessários para realizar análises dinâmicas. Entre esses códigos estão as fun-ções necessárias para a montagem das matrizes de massa e amortecimento, a primeira usando matrizes de massa consistentes e a segunda usando o método de Raylegh para matrizes de amortecimento. Também foi necessária a modificação dos códigos existentes do programa relacionados com os dados de entrada como as condições de contorno, que neste caso dependem do tempo, e também os relacionados com os dados de saída para visualização, por exemplo, de velocidades e acelerações. Além disso, foi implementado um solver baseado na combinação dos métodos de Newton-Raphson, para levar em conta o comportamento não linear dos materiais, e de Newmark com aceleração constante para a integração numérica no tempo da equação de equilíbrio dinâmico. Junto com isso foram implementados códigos que permitem realizar a análise modal da estrutura mostrando frequências e modos de vibração, necessárias para o uso do amortecimento de Rayleigh. Por último, por meio dos códigos implementados também foi possível a análise de uma estrutura submetida a carregamentos sísmicos.
Logo, com os códigos de elementos finitos implementados, foram feitas validações da me-todologia comparando os resultados obtidos de modelações realizadas no software Abaqus e por outros autores. Após disso, dita metodologia é aplicada na análise de estruturas hipotéticas com o fim de avaliar o comportamento dinâmico da armadura tendo como re-sultados além do estado de tensões no concreto, tensões axiais da armadura e cisalhantes no contato aço-concreto. Por fim, foram extraídas conclusões em função do comporta-mento da armadura sob efeitos dinâmicos.
1.1
OBJETIVOS
Por meio do desenvolvimento desta pesquisa os objetivos propostos para serem atingidos são os seguintes:
• Estudar o comportamento dinâmico das estruturas de concreto armado submetidas a diferentes solicitações, fazendo uso dos modelos constitutivos lineares e não lineares e do método dos elementos finitos.
• Avaliar o comportamento da armadura e da interface aço-concreto por meio da modelagem da armadura com o método semi-embutido.
• Escrever os códigos necessários para complementar o programa FemLab permitindo realizar análise dinâmicas não lineares que incorporam o efeito de armaduras.
1.2
ESCOPO DO TRABALHO
O presente trabalho foi dividido em seis capítulos cujo conteúdo é descrito a continuação: No capítulo 1, foi realizada a descrição da pesquisa, introduzindo a temática que foi estudada e apresentando os objetivos a serem alcançados.
O capítulo 2 contêm a fundamentação teórica que foi necessária para o adequado desen-volvimento desta pesquisa. Entre os temas tratados se encontram os elementos finitos, a modelagem dos materiais, os métodos de modelagem da armadura, noções de dinâmica estrutural, comportamento dinâmico do concreto armado, métodos de integração numé-rica e métodos de solução de problemas não lineares. Além disso são apresentados alguns estudos encontrados na literatura que estão relacionados com o trabalho.
No capítulo 3 se descreve a metodologia usada durante a modelagem computacional que contem tópicos como o método semi-embutido, modelos constitutivos para os materiais e a implementação numérica feita dentro da biblioteca de elementos finitos FemLab. Durante o capítulo 4 são apresentados cinco exercícios com diferentes condições estruturais e de carga, alguns encontrados na literatura e outros modelados no software Abaqus, que permitiram validar o modelo usado na presente pesquisa.
Ao longo do capítulo 5 podem ser encontrados quatro problemas propostos pelo autor que simulam estruturas em situações comuns. Entre elas se encontram uma viga simplesmente apoiada com carregamento de carga e descarga, uma viga engastada com carregamento distribuído sinusoidal, um pórtico simples com carregamento harmônico distribuído e finalmente um sistema aporticado de um andar submetido a ação sísmica.
Finalmente, no capítulo 6, são apresentadas as conclusões obtidas após realizadas todas as análises numéricas e as sugestões para trabalhos futuros que se geraram durante a pesquisa e que podem ajudar a complementa-la.
2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo são apresentadas informações encontradas na literatura associadas à temá-tica estudada. O conteúdo está composto por: elementos finitos, modelagem dos materiais e da armadura, análise dinâmica e estudos do comportamento dinâmico de estruturas de concreto armado.
2.1
ELEMENTOS FINITOS
Felippa (2016) apresenta os seguintes fatos relevantes na historia do MEF. Para come-çar, o método teve origens na indústria aeroespacial, entre os anos 1950 - 1962 quando M.J Turner generalizou e aperfeiçoou o Método da Rigidez Direta trabalhando na em-presa Boeing . Entre 1952 - 1953 supervisionou-se o desenvolvimento do primeiro estudo de meio contínuo baseado em elementos finitos. Nesses anos teve outros contribuintes no aperfeiçoamento do método como Irons, com os modelos iso-paramétricos, funções de forma, teste patch e solucionadores frontais, Melosh, quem reconheceu a ligação com Rayleigh-Ritz e sistematizou a derivação variacional dos elementos de rigidez, e Wilson, que desenvolveu um programa de fonte aberta baseada na metodologia do MEF. Depois, teve outros pesquisadores que popularizaram o método como Argyrus, Clough, Martin and Zienkiewicz que transmitiram os conhecimentos do método alcançados na industria aeroespacial para um amplo campo de aplicações da engenharia entres os anos 1950 - 1960.
Segundo Soriano (2009), soluções analíticas de modelos matemáticos contínuos podem ser complexas ou impossíveis. Outra opção para chegar a uma solução é usar métodos aproximados que substituem infinitos graus de liberdade do modelo contínuo por uma quantidade finita. Entre os métodos de aproximação se encontram os de simulação nu-mérica como o Método dos Elementos Finitos, o mais utilizado na mecânica do contínuo.
De acordo com Soriano (2009), o MEF parte de formulações simples para as variáveis dependentes primárias em subdomínios denominados elementos finitos, substituindo às formulações exatas de solução do modelo. Em cada elemento finito, equações algébricas são desenvolvidas usando equações que governam o problema. Em seguida, se arranja um sistema de equações lineares, por meio da montagem das parcelas de todos os elementos
finitos, cuja solução leva a resultados relacionados com o modelo completo. Com isso pode-se fazer um pós processamento com a possibilidade de se obter outros resultados desejados.
Neste cenário, o método dos elementos finitos compõe-se da idealização, discretização do domínio e solução do problema. A idealização consiste em levar as formulações da física a modelos matemáticos, que simulem os fenômenos estudados. A discretização do domínio de modelos contínuos é usada para reduzir a quantidade de graus de liberdade e é feita com elementos finitos. Um exemplo desses elementos são os elementos isoparamétricos, que são os mais usados. Para cada elemento é possível formular uma equação baseada no problema estudado, e depois, acopla-las em uma só a ser solucionada. As soluções são encontradas nos nós dos elementos pertencentes ao sistema discretizado. Se o objetivo é obter as grandezas para pontos diferentes aos nós, é preciso usar interpolação dos valores conhecidos dos nós.
2.1.1 Formulação estática dos elementos finitos
Tekkaya e Martins (2009) apresentam a formulação dos elementos finitos baseadas nas equações que governam o equilibro estático em ausência de forças de corpo assim:
∂σij
∂xj
= 0 (2.1)
onde, σij é o tensor de tensões e xj as coordenadas cartesianas. Usando o método de
Galerkin a Eq. 2.1 pode ser reescrita em forma integral como: Z
V
∂σij
∂xj
δuidV = 0 (2.2)
onde δui é a variação arbitrária no deslocamento de ui. Usando integração por partes a
Eq. 2.2 torna-se, Z V σij ∂(δui) ∂xj dV − Z ST tiδuidS = 0 (2.3)
onde ti = σijnj é a força de superfície aplicada sobre o contorno ST na direção de seu vetor
forma matricial como:
KU = F (2.4)
com K sendo a matriz de rigidez, U o vetor de deslocamentos dos graus de liberdade e F o vetor de forças externas.
2.1.2 Formulação dinâmica dos elementos finitos
Tekkaya e Martins (2009) apresentam a formulação para elementos finitos baseados na equação de equilíbrio dinâmico em ausência das forças de corpo. Esta equação é dada por:
∂σij
∂xj
− ρ¨ui = 0 (2.5)
onde ρ é a densidade e ¨ui é a aceleração das partículas do material. Fazendo o processo
similar ao utilizado na formulação estática, chega-se à equação: Z V ρ¨uiδuidV + Z V σij ∂(δui) ∂xj dV − Z ST tiδuidS = 0 (2.6)
que, escrita de forma matricial, torna-se:
M ¨U + Fint= F (2.7)
A Eq. 2.7 expressa o equilíbrio dinâmico em qualquer instante de tempo. M é a matriz de massa, Fint = KU é o vetor de forças internas dado pela rigidez do material e F
é o vetor generalizado de forças. Normalmente as estruturas também possuem forças de amortecimento e precisam ser consideradas na equação. A força de amortecimento é representada pelo termo C ˙U, sendo C a matriz de amortecimento e ˙U a velocidade de deslocamento dos graus de liberdade. Assim reescrevendo a Eq. 2.7 tem-se:
M ¨U + C ˙U + KU = F (2.8)
que representa a equação matricial dinâmica para a análise de estruturas por meio dos elementos finitos.
2.2
MODELAGEM DOS MATERIAIS
Na análise de estruturas é importante conhecer os comportamentos mecânicos dos mate-riais que as compõem quando resistem diferentes tipos de carregamento. Assim, devido que os materiais componentes do concreto armado são o concreto e o aço, nos seguintes parágrafos serão descritos tais comportamentos e alguns de seus modelos constitutivos.
2.2.1 Comportamento do Concreto
A principal caraterística mecânica do concreto é suportar tensões altas de compressão, porém, tem limitada resistência a tração. Dependendo das condições de carregamento, este material mostra variação nas caraterísticas de deformação, que pode ser observada na curva tensão-deformação, como é apresentado na Figura 2.1. Inicialmente, para pequenas tensões, a resposta tensão-deformação é basicamente linear. A partir de certo nível de carga inicia o comportamento é não linear, sendo mais proeminente perto ao valor máximo f0c (resistência de compressão). Logo depois do pico a curva mostra um amolecimento do material, que se traduz na parcela descendente da curva (Buyukozturk e Shareef, 1985).
+1 +2 +3 0 -1 -2 -3 =-1/0 =-1/-1 =-1/-0.52 +σ +σ
σ
ε ε ε ε ε ε ε ε ε 3 3 3 2 2 2 2 deformaçãox10-3 f'c 1 1 1 1 2 1/ 1.2 1.1 1.0 / σ :Tensão na direção ii ε :Deformação na direção iiσ
1σ
Figura 2.1. Curvas de tensão-deformação sob compressão biaxial. Modificado de Buyukoz-turk e Shareef (1985).
Buyukozturk e Shareef (1985) mencionam que o comportamento descrito acima pode va-riar dependendo das condições de carregamento que está submetida. Por exemplo, ensaios experimentais do comportamento sob compressão biaxial e triaxial mostram incrementos na resistência da compressão. Por outro lado, o concreto possui um comportamento a tração frágil com uma resistência aproximada do 10% da resistência a compressão. A
baixa resistência a tração é uma das desvantagens que tem o material, pois se produz facilmente fissuração nele por diferentes fenômenos como a retração ou a temperatura. Também é importante destacar que, quando o concreto é submetido a cargas cíclicas de certo nível, tanto a rigidez como as resistências podem ser degradadas.
2.2.2 Comportamento do Aço
Na Figura 2.2 apresenta-se o diagrama tensão-deformação em tração de um aço estrutural. Inicialmente o gráfico indica uma relação proporcional e linear, seguida de um tramo de tensões constantes com aumento de deformações. Posteriormente, o material endurece apresentando uma relação não linear atingindo seu valor máximo de tensão última para, após as tensões serem reduzidas, finalmente chegar à fratura, (Gere, 2006).
Tensão ultima Tensão de escoamento Limite de Proporcionalidade Região linear Plasticidade perfeita de escoamento Endurecimento por deformação Estricção Fratura s v
Figura 2.2. Curvas de tensão-deformação para o aço. Modificado de Gere (2006).
2.2.3 Modelos Constitutivos dos Materiais
Oller (2001) define o modelo constitutivo como uma formulação matemática, que descreve o funcionamento físico macroscópico de um sólido ideal, resultante de hipóteses simplifi-cativas aplicadas sob um sólido real. Assim, os modelos constitutivos só representam uma realidade condicionada por essas hipóteses que devem ser levadas em conta na sua utili-zação em um modelo físico ou computacional. É por isso que atualmente existem vários modelos e continua-se trabalhando neles com o objetivo de conseguir uma formulação que
seja acorde ao problema a ser resolvido.
Uma classificação geral dos modelos constitutivos formulados para o comportamento dos materiais apresenta-se em Oller (2001). Esta classificação permite transmitir a ideia de que o comportamento macroscópico dos materiais pode ser representado por diferentes caminhos e é mostrada a continuação:
• Modelos baseados na elasticidade linear e não-linear • Modelos baseados na teoria da plasticidade e do dano • Modelos de fratura
Em seguida mostra-se uma curta descrição de alguns modelos clássicos que se usam para representar o comportamento do material, organizadas segundo a classificação apresen-tada por Oller (2001).
Modelos baseados na elasticidade linear e não linear
São modelos simples que representam adequadamente o comportamento dentro da faixa elástica de um material mas pouco apropriados para materiais frágeis. Os modelos basi-camente são:
• Elásticos de Cauchy, baseados na lei de Hooke. Nestes modelos o campo tensional σij é definido partindo do campo de deformações ij no instante atual através de
uma função tensorial do tipo σij = fij(ij).
• Hiperelásticos de Green. São modelos onde a tensão σij é definida a partir de um
potencial em função de ij que é a variável livre do problema. Isto é ∂σij
∂ij.
• Hipoelásticos. Este tipo de modelos definem aleatoriamente a variação temporal da tensão em função da variação temporal de deformação ˙σij = fij( ˙ij).
Modelos baseados na teoria da plasticidade e do dano
Estes modelos permitem a representação do comportamento macroscópico não linear dos materiais considerando dissipação de energia provocada pelo desenvolvimento de deforma-ções irrecuperáveis chamadas deformadeforma-ções plásticas. Os modelos de plasticidade podem ser classificados como:
• Plasticidade perfeita baseada nos modelos clássicos. São modelos onde as formula-ções usam funformula-ções limites de plasticidade definindo o estado de tensões e deforma-ções a partir do qual o material deforma-se sem variação do estado tensional. • Plasticidade com amolecimento e/ou endurecimento. Estes modelos são similares
aos de plasticidade perfeita com a diferença de tornar o material mais o menos rígido do que na plasticidade perfeita, depois de alcançar os limites de plasticidade. Estes modelos podem aproximar melhor alguns comportamentos mecânicos dos materiais, como a fratura.
• Plasticidade com amolecimento e/ou endurecimento e/ou dano. Estes modelos adi-cionam a teoria de dano aos modelos de plasticidade aprimorando a formulação não linear para problemas relacionados com metais e geo-materiais.
Modelos de Fratura
Estes modelos são formulados com o objetivo principal de tratar problemas da fratura em materiais frágeis como o concreto simples. Embora este trabalho estude o comportamento dinâmico de concreto armado (material composto) a seguir se faz uma breve descrição dos modelos de fratura dada sua importância nas pesquisas atuais do concreto. Em general estes modelos podem ser classificados como:
• Modelos de mecânica de fratura. São modelos formulados em termos de fatores de intensidade de tensões ou no conceito de concentração de tensões.
• Modelos de fissura distribuída. Estes modelos estão baseados na mecânica dos meios contínuos mas usando teorias da mecânica da fratura. Assim, permitem demostrar que os problemas de descontinuidade, como a fratura, podem ser aproximados por meio de problemas contínuos tratados no seu estado limite.
• Modelos de fissura discreta. São modelos que combinam teorias de elasticidade com outras que levam em conta limites máximos de tensão e deformação.
2.3
MODELAGEM DA ARMADURA
Na análise do concreto armado via elementos finitos é importante a forma de modelar a armadura dentro do concreto. Existem diferentes métodos para a modelagem dos ele-mentos de reforço dentro dos eleele-mentos de concreto, como o método discreto, distribuído, embutido e semi-embutido que serão brevemente apresentados nesta seção.
2.3.1 Interação Aço-Concreto
De acordo com Wight (2016), a descrição da interação aço-concreto pode ser feita ade-quadamente pelo mecanismo de aderência entre materiais. Para uma barra de aço no concreto a aderência pode ser de três mecanismos: aderência por adesão, aderência por atrito e aderência mecânica. Com respeito a aderência por adesão, esta é resultante das ligações físico-químicas geradas no contato aço-concreto. Em relação a aderência por atrito, esta é dada pela resistência na interface aço-concreto quando existe uma tendência de deslocamento relativo e depende da magnitude do coeficiente de atrito. Por fim, a aderência mecânica é produto da existência de nervuras na barra, que dão um engate mecânico entre os materiais.
2.3.2 Métodos de modelagem de armadura em MEF
Existem quatro abordagens na modelagem da armadura no concreto armado: o modelo distribuído (smeared model ), o modelo discreto (discrete model ), o modelo embutido (em-bedded model ) e o modelo semi-embutido (semi-em(em-bedded ). Apesar de cada modelo ter vantagens e desvantagens, a principal limitação dos três primeiros em comparação com o semi-embutido é não conseguir representar adequadamente o comportamento da interface armadura e concreto (Durand e Farias, 2012). Assim, a seguir apresenta-se uma pequena descrição destas quatro metodologias expondo seus pontos fortes e fracos.
Modelo Distribuído
Nesta formulação, as barras de aço são assumidas uniformemente distribuídas sobre os elementos de concreto, para os quais são modificadas as propriedades como a rigidez do material. Para isto, se assume aderência perfeita entre o concreto e a armadura. Este modelo distribuído pode ser usado adequadamente para representar armaduras que têm uma configuração regular e uniformemente dentro do concreto, (El-mezaini e Citipitio-glu, 1992). Normalmente o método é usado quando o objetivo da análise não considera importante o comportamento detalhado da armadura e é buscado um menor custo com-putacional. A Figura 2.3a apresenta a aplicação deste modelo.
Modelo Discreto
Neste modelo, o reforço é modelado usando elementos de barras especiais conectados ao concreto através de molas fictícias que representem a aderência entre os materiais. O modelo é simples em conceito e tem a vantagem de representar diferentes propriedades mais acuradamente como as tensões axiais na barra. Porém, sua principal desvantagem se apresenta nas discretizações do domínio pois, a malha dos elementos finitos está restrita pela localização da armadura, sendo necessário que os nós dos elementos de aço coincidam com os nós dos elementos de concreto (El-mezaini e Citipitioglu, 1992). Na Figura 2.3b pode-se visualizar uma representação do modelo discreto.
Modelo Embutido
O método se fundamenta na ideia de avaliar a rigidez da camada do aço individualmente dentro do elemento sólido em conjunto com as funções de forma iso-paramétricas per-mitindo a locação arbitrária da armadura nos elementos de concreto. Este método tem duas abordagens apresentadas nos trabalhos de Elwi e Hrudey (1989) e Hartl (2002). Na primeira a compatibilidade de deformação é controlada supondo a aderência perfeita entre materiais. Assim esta abordagem embutida não permite estimar o deslizamento da arma-dura e consequentemente as tensões no contato aço-concreto, (El-mezaini e Citipitioglu, 1992). A Figura 2.3c apresenta o esquema que representa este modelo. Já a segunda
abordagem não considera aderência perfeita e incorpora mais graus de liberdade para representar o deslizamento do reforço. Nesta abordagem, além de ter uma implementação numérica mais complicada, apresenta maior custo computacional.
Modelo Semi-Embutido
Este método combina caraterísticas dos modelos discreto e embutido como, aplicar con-dições de contorno diretamente nas inclusões, embutir arbitrariamente a armadura nos elementos de concreto e a simulação do deslocamento relativo entre os dois materiais. Na metodologia, as armaduras são discretizadas em segmentos limitados pelas interseções com os elementos sólidos que atravessam. Os segmentos resultantes são considerados como elementos de barra reais e são conectados aos elementos sólidos por meio de elementos de interface, sendo estes últimos os que permitem estudar o comportamento entre materiais, (Durand, 2008). A Figura 2.3d pode-se visualizar um esquema deste modelo.
Elemento de Concreto Nó do Concreto Propriedades distribuidas do aço nos elementos de concreto Elemento de Concreto Nó de Concreto Deslocamentos compativeis entre concreto e reforço Nó do Reforço Elemento de Concreto Nó de Concreto Nó compartilhado entre os elementos do concre-to e do reforço
Elemento de ConcretoNó de Concreto Deslizamento relativo Posição inicial reforço Elemento de interface Pisição final reforço Nó do Reforço
a
(a) (b) (c) (d) h=0 sFigura 2.3. Métodos de modelagem da armadura em MEF (a) Distribuído, (b)Discreto, (c) Embutido. Modificados de Azimi et al. (2015). (d) Semi-Embutido.
2.4
ANÁLISE DINÂMICA
Para Mo (1994), na análise da resposta dinâmica de estruturas, o termo dinâmica pode ser definido como variável no tempo. Assim, tanto a carga dinâmica numa estrutura como a sua resposta estrutural (deslocamentos, deformações, forças internas, tensões) são grandezas que variam no tempo. Desta forma, como principal diferença entre uma análise
estática e uma dinâmica tem-se que a segunda leva em consideração as forças inerciais produzidas pela massa dos corpos estudados.
Visando ter um melhor entendimento da temática estudada, nesta seção se apresentam os conceitos básicos da dinâmica de estruturas para sistemas de um grau de liberdade. Já entendendo estes conceitos, se simplifica a compreensão do comportamento de sistemas de vários graus de liberdade, que serão usados na pesquisa.
2.4.1 Equação de movimento
As equações de movimento podem ser deduzidas a partir de diferentes princípios, como o de Alembert que estabelece que a massa desenvolve uma força proporcional a sua ace-leração e no sentido oposto. De acordo com Clough e Penzien (2003) este conceito pode ser expressado por meio da segunda lei de Newton, assim:
f (t) − m¨u(t) = 0 (2.9)
onde m¨u(t) é a força de inércia que resiste à aceleração ¨u(t) da massa m do sistema e f (t) inclui diferentes forças que agem sobre tal massa, como elásticas, viscosas e cargas externas definidas independentemente.
Na Figura 2.4 pode-se observar a idealização de um sistema com um grau de liberdade que contém forças inerciais (fI(t) = m¨u(t)), elásticas (fS(t) = ku(t)), de amortecimento
(fD(t) = c ˙u(t)) e externas (p(t)) agindo sobre ele. O equilíbrio dinâmico do sistema é
representado pela equação:
m¨u(t) + c ˙u(t) + ku(t) = p(t) (2.10)
c u(t) p(t) (a) k m f f f u(t) p(t) (b) D S I (t) (t) (t)
Figura 2.4. Sistema idealizado de um grau de liberdade. (a) Componentes básicos. (b) Equi-líbrio de forças. Modificado de Clough e Penzien (2003).
2.4.2 Vibração livre não amortecida
Quando trata-se de vibração livre, o termo p(t) da Eq. 2.10 é igual a zero. A ausência de amortecimento em uma estrutura anula a parcela c ˙u da mesma equação. Assim, a vibração livre não amortecida e sua solução são dados respectivamente por:
m¨u(t) + ku(t) = 0 (2.11)
u(t) = u(0) cos ωt + ˙u(0)
ω sin ωt (2.12)
onde u(0) e ˙u(0) são as condições iniciais do problema de deslocamento e velocidade respectivamente e, ω é a frequência angular cujo valor está dado pela equação ω2 = k/m.
A solução pode ser rescrita e representada por:
u(t) = ρ cos (ωt + θ); ρ = s [u(0)]2+ ˙u(0) ω 2 ; θ = arctan − ˙u(0) ωu(0) (2.13)
2.4.3 Vibração livre amortecida
Na vibração livre amortecida somente o termo p(t) da Eq. 2.10 é igual a zero. Assim, a equação de movimento para este caso é escrita como:
m¨u(t) + c ˙u(t) + ku(t) = 0 (2.14)
Dentro da vibração livre amortecida apresentam-se 3 tipos de movimentos que são: a vibração com amortecimento crítico, super-crítico e sub-crítico. Para isto, se leva em conta o conceito de amortecimento crítico dado pela variável cc e representado pela seguinte
equação:
cc = 2mω (2.15)
Quando o valor do amortecimento c do sistema é igual ao cc, a vibração corresponde a
um sistema com amortecimento crítico. Se c for maior do que cc o sistema apresenta
