Planejamento e Pesquisa 1 - Análise de variância

Planejamento e

Pesquisa 1

-Análise de variância

Durabilidade de 4 tipos de

carpetes: exh_aov.mtw

Eu tinha 4 tipos de carpetes e coloquei cada tipo em quatro casas

(um tipo em cada casa). Após 60 dias foi medida a durabilidade.

Variável resposta: durabilidade

Fator: Carpete

4 Níveis do fator

4 Réplicas

E se tiver mais que dois grupos?

A

análise de variâncias

(ANOVA) é

apropriada para esse tipo de experimento

A ANOVA foi desenvolvida por Fisher nos

anos 20, e aplicada iniciamente em

experimentos agrícolas

Caracterização do problema

Em geral, tenho

níveis

do fator (variável explicativa

categórica), ou

tratamentos

, e n

réplicas

, sendo

que as unidades amostrais que receberão cada

tratamento não são escolhidas em função de cada

tratamento: Planejamento completamente

aleatorizado (completely randomized design)

N = total de observações

Consideraremos efeitos fixos, efeitos aleatórios

serão considerados posteriormente

Objetivo inicial

: Testar a igualdade das distribuições

da variável resposta nos vários tratamentos

Assumindo distribuição normal, independência e

homocedasticidade para a variável resposta

observada nas várias unidades amostrais, o objetivo

torna-se:

Dados

y

_ij

corresponde à variável resposta do tratamento i e unidade

amostral j.

Esse formato para os dados é chamado de wide (ou unstacked)

em alguns programas.

Se todas as variáveis respostas y

_ij

estivessem na mesma

coluna, poderíamos ter uma segunda coluna indicando qual o

tratamento correspondente a cada y

_ij

.

4 3 2 1 20 15 10

Carpete

D

ur

ab

ili

da

de

Qual carpete você compraria?

An Example (See pg. 62)

Mudando a

potência muda a

taxa em média?

Qual o nível de

potência ótimo?

Lay-out dos dados

Em geral, tenho

níveis

do fator (variável explicativa categórica),

ou

tratamentos

, e n

réplicas

, sendo que as unidades que

receberão cada tratamento não são escolhidas em função de

cada tratamento: Planejamento completamente aleatorizado

(completely randomized design)

N = total de observações

Consideraremos efeitos fixos, efeitos aleatórios serão

Análise de variância

O nome vem da

partição

da variabilidade total da

variável resposta em componentes de acordo com o

modelo proposto

O modelo básico para um fator é

sendo µ

_i

a média de cada tratamento e e

_ij

os erros

experimentais.

Assumiremos que os erros são independentes e







=

=

+

=

i

ij

i

ij

n

j

r

i

e

y

,...,

1

,...,

1

,

µ

Análise Descritiva

O que fazer descritivamente para

responder ao objetivo inicial?

Modelos – Parametrizações

Para os r níveis do fator de interesse e para as n

_i

observaçoes de cada nível, temos o modelo de

médias

De modo equivalente, podemos definir o modelo

de desvios médios

Qual a interpretação dos parâmetros? Esse

modelo é identificável?

ij

i

ij

e

y

=

µ

+

ij

i

ij

e

y

=

µ

+

τ

+

Modelos – Parametrizações

Podemos escolher um dos r níveis do fator

como sendo uma categoria de referência. Por

exemplo escolhendo a categoria 1 obtemos







≠

+

∆

+

=

+

=

1

,

1

,

1

1

i

e

i

e

y

ij

i

ij

ij

µ

µ

Notação

.

.

.

1

.

,

i

i

i

n

j

ij

i

n

y

y

y

y

i

=

=

∑

=

N

y

y

y

y

a

i

n

j

ij

i

..

..

1

1

..

=

∑∑

,

=

=

=

Estimação

O modelo básico para um fator é

sendo µ

_i

a média de cada tratamento e e

_ij

os erros

experimentais.

Assumiremos que os erros são independentes e

e

_ij

~N(0,σ

2

₎

Quais métodos de estimação podemos utilizar?

Qual os estimadores dos parâmetros?







=

=

+

=

i

ij

i

ij

n

j

r

i

e

y

,...,

1

,...,

1

,

µ

Análise de Variância

Variabilidade Total

é medida como a soma de

Note que:

O particionamento (pg. 692) é:

..

.

.

..

y

y

y

y

y

y

_ij

−

=

_ij

−

_i

+

_i

−

entre

dentro dos tratamentos

(

)

(

)

(

)

SSE

SStrat

SST

y

y

y

y

n

y

y

r

i

n

j

i

ij

r

i

i

i

r

i

n

j

ij

+

=

−

+

−

=

−

∑

∑∑

∑∑

=

=

=

=

=

1

1

2

.

1

2

..

.

1

1

2

..

(

)

∑∑

=

=

−

=

r

i

n

j

ij

y

y

SST

1

1

2

..

Graus de liberdade (posto)

gl

_total

= N-1

Há N diferenças, mas 1 grau é perdido dado que

gl

_trat

=r-1, a desvios com

gl

_erro

= N-r, pois para cada i temos

correspondendo a n

_i

-1 graus, logo temos

n

-1 + ... + n

-1 = N-r

(

)

0

1

1

..

=

−

∑∑

=

=

a

i

n

j

ij

y

y

(

)

∑

=

=

−

r

i

i

i

y

y

n

1

..

.

0

(

)

∑

=

−

n

j

i

ij

y

y

1

2

.

Análise de Variância

SSE

SStrat

SST

=

+

Um alto (baixo) valor de SS

_trat

reflete grandes

(pequenas) diferenças entre as médias dos

tratamentos

As hipóteses são

diferença

alguma

menos

ao

há

:

...

:

1

2

1

0

H

H

µ

=

µ

=

=

µ

_r

Análise de Variância

Enquanto as somas de quadrados não podem ser

diretamente comparadas, os quadrados médios

podem.

O quadrado médio é a soma de quadrados dividida

pelo correspondente graus de liberdade:

r

N

SS

MS

r

SS

MS

r

N

r

N

gl

gl

gl

erro

erro

trat

trat

erro

trat

total

−

=

−

=

−

+

−

=

−

+

=

,

1

1

1

Útil

(

)

∑

∑∑

=

=

=

−

=

−

=

r

i

i

i

r

i

n

j

i

ij

y

n

s

y

SSE

1

2

1

1

2

)

1

(

Um estimador não viesado para a variância σ

2

é

pg. 696

(

)

r

N

y

y

r

N

SSE

MSE

r

i

n

j

i

ij

−

−

=

−

=

∑∑

=

1

=

1

2

Útil

Detalhes na pg. 696

(

)

1

)

(

_.

2

2

−

−

+

=

∑

r

n

MSTR

E

σ

i

µ

i

µ

N

n

_i

_i

∑

=

µ

µ

_.

Tabela de Análise de Variância

Altos valores de F indicam diferenças entre as médias.

Como realizar o teste?

Fonte de variação

Soma de

quadrados

Graus de

liberdade

Quadrado

médio

F

Entre tratamentos SStrat

r-1

MStrat

F=MStrat/MSE

Erro

SSE

N-r

MSE

Resultados

As somas de quadrados

apresentadas podem ser

escritas de modo

matricial como Formas

quadráticas. Utilizando os

resultados apresentados,

por exemplo em Searle,

temos que:

2

2

2

2

~

,

~

gl

gl

SSE

sob

SStrat

χ

σ

χ

σ

H

0

MStrat e MSE são

independentes

Resultados

Utilizando os resultados anteriores, temos que

Sob H

₁

, obtemos uma distribuição F não central.

erro trat

gl

gl

F

H

MSE

MStrat

F

_,

0

~

=

Tabela de Análise de Variância

Assim, rejeitamos H0 se F>F

_α

_α

_α

_α

_{,gltrat,glerro}

Fonte de variação

Soma de

quadrados

Graus de

liberdade

Quadrado

médio

F

Entre tratamentos SStrat

a-1

MStrat

F=MStrat/MSE

Erro

SSE

N-a

MSE

Suposições do modelo

É importante checar a validade da

Normalidade

Homocedasticidade

Independência

Se o modelo ajustado está de acordo com os

dados: omissão de variáveis relevantes,

presença de valores discrepantes

Model Adequacy Checking in the ANOVA

Resíduos

Gráfico QQ

p

_k

= (k-0,5)/N

Procurar quantis p

_k

na

dist normal.

Bussab e Morettin

(2011)

.

ˆ

ˆ

i

ij

i

ij

ij

y

y

y

e

−

−

=

µ

Mais diagnósticos

Teste de Barttlet

Assume que as

r

amostras são independentes e

normalmente

distribuídas.

Teste de Barttlet

2

r

2

2

2

1

0

:

H

σ

=

σ

=

K

=

σ

























−

−













−

−

+

−

−

−

=

∑

∑

=

=

r

i

i

T

r

i

i

i

T

r

n

n

r

S

n

MSE

r

n

1

1

2

1

1

1

)

1

(

3

1

1

)

ln(

)

1

(

)

ln(

)

(

B

2

1

0

~

H

B

χ

_r

₋

Teste de Levene

O teste de Barttlet assume normalidade

dos dados. Uma alternativa, que não

precisa dessa suposicão é o teste de

Levene Modificado.

Teste de Levene

O teste de Levene (1960) se inspira em

uma ANOVA para os desvios absolutos

2

r

2

2

2

1

0

:

H

σ

=

σ

=

K

=

σ

.

i

ij

ij

Y

Y

z

=

−

(

)

(

)

H

sob

~

1

0

F

z

z

r

z

z

n

L

−

−

−

=

∑

∑

_n

z

z

∑

=

N

z

z

∑∑

=

Outros testes de igualdade de

variâncias …

Teste F para duas populações

independentes.

Teste de Brown-Forsythe

Pesquisar em Parra-Frutos, I. 2009. The

behaviour of the modified Levene’s test

when data are not normally distributed.

Comput Stat (2009) 24:671–693.

Quando as suposições não são

válidas

No caso de outliers > investigar o dado

Faltando variáveis explicativas > fácil

Heterocedasticidade

Quando ni=n, o efeito da heterocedasticidade no

teste F é menor.

Modelos com fator aleatório apresenta sérios

problemas com heterocedasticidade, mesmo

com ni=n.

Melhor utilizar testes que não assumem

homocedasticidade, como os não paramétricos

e ajuste de modelos heterocedásticos.

Não normalidade

O teste F é pouco afetado.

O nível de significância será um pouco maior

que o especificado.

Com efeito aleatório, há maiores problemas.

Os testes não paramétricos não exigem

normalidade, mas em geral precisam de

grandes amostras.

Estimação dos efeitos

A partir do modelo

O estimador de µ

_i

é

implica







=

=

+

=

i

ij

i

ij

n

j

r

i

e

Y

,...,

1

,...,

1

,

µ

( )

Y

_ij

_i

E

=

µ

( )

i

i

Y

E

_.

=

µ

( )

_i

n

Y

Var

2

.

σ

=

i

Y

Comparações de Médias

Assuma que a análise de resíduos é

satisfatória

Testamos a igualdade das médias

Se a hipótese foi rejeitada, não sabemos

quais médias são diferentes

Para determinar quais médias diferem

entre si, temos um

problema de

comparações múltiplas

Contrastes

0

:

0

:

:

:

4

3

1

4

3

0

4

3

1

4

3

0

≠

−

=

−

⇔

≠

=

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

H

H

H

H

0

:

0

:

:

:

4

3

2

1

1

4

3

2

1

0

4

3

2

1

1

4

3

2

1

0

≠

−

−

+

=

−

−

+

⇔

+

≠

+

+

=

+

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

H

H

H

H

Igualdade das taxas

médias

para as 2 maiores potências

Igualdade das taxas médias das 2 menores e das 2

maiores potências

Contrastes

Para as constantes

c

₁

,…c

_a

, que somam

zero, as hipóteses

podem ser escritas

usando os contrastes

L

Estimador

Devido à

independência

∑

∑

=

=

≠

=

=

=

r

i

i

i

r

i

i

i

c

L

H

c

L

H

1

1

1

0

0

:

0

:

µ

µ

∑

=

=

r

i

i

i

y

c

L

1

.

ˆ

∑

=

=

r

i

_i

i

n

c

L

Var

1

2

2

)

ˆ

(

σ

Contrastes

Estimador

Estimador da Var

Tem distribuição t-Student com N-r graus de liberdade

∑

=

=

r

i

i

i

y

c

L

1

.

ˆ

∑

=

=

r

i

_i

i

n

c

MSE

L

r

a

V

1

2

)

ˆ

(

ˆ

∑

∑

=

=

−

=

−

=

r

i

_i

i

r

i

i

i

n

c

MSE

L

y

c

L

r

a

V

L

L

t

1

2

1

.

0

)

ˆ

(

ˆ

ˆ

Teste e intervalo de confiança

Se H

₀

é verdadeira

r

N

r

i

_i

i

r

i

i

i

t

n

c

MSE

y

c

t

₋

=

=

∑

∑

=

~

1

2

1

.

0

Comparações múltiplas

O coeficiente de confiança γ=1-α se refere

a um só intervalo e não a vários.

Podemos estar interessados em todas as

comparações 2 a 2, ou por exemplo, para

a=4, somente entre µ

₁

e µ

₂

, µ

₁

e µ

₃

e µ

₁

e

µ

₄

.

Método de Tukey

Quando estamos interessados em todas

as comparações 2 a 2.

Quando todos os grupos tem n

observações, o coeficiente de confiança

conjunto será γ=1-α. Quando os tamanhos

diferem o γ será maior, ou seja, é um

Distribuição Studentized range

Sejam Y

₁

,...,Y

_r

observações independentes da

distribuição N(µ,σ

2

_).

w=max{Y

_i

}-min{Y

_i

},

s

2

estimador de σ

2

correspondente a v graus de

liberdade

q é chamado de studentized range

A distribuição de q encontra-se em tabelas por

exemplo em Neter et al. (1996).

s

w

v)

Método de Tukey

O intervalo para Di=µ

_i

-µ

_k

, para i e k diferentes, é

.

.

ˆ

k

i

Y

Y

D

=

−

,

}

ˆ

{

ˆ

ˆ









_D

_m

_T

_V

_ar

_D













+

=

k

i

n

n

MSE

D

ar

V

ˆ

{

ˆ

}

1

1

1

Outros Métodos

Why Does the ANOVA Work?

2

2

1

0

(

1)

2

2

0

We are sampling from normal populations, so

if

is true, and

Cochran's theorem gives the independence of

these two chi-square random variables

/(

So

Treamtents

E

a

a n

Treatments

SS

SS

H

SS

F

χ

χ

σ

−

σ

−

=

2

1

1, (

1)

2

(

1)

2

2

₁

2

1)

/(

1)

/[ (

1)]

/[ (

1)]

Finally, (

)

and (

)

1

a

a

a n

E

a n

n

i

i

Treatments

E

a

a

F

SS

a n

a n

n

E MS

E MS

a

χ

χ

τ

σ

σ

−

−

−

−

=

−

−

−

−

=

+

=

−

∑