Difus˜
ao em uma part´ıcula catal´ıtica
esf´erica
´
Eliton Fontana
Departamento de Engenharia Qu´ımica Universidade Federal do Paran´a - UFPR
Problema
Equa¸c˜ao Governante: De r2 d dr r2dCA dr = k1CACondi¸c˜oes de Contorno:
CA = CAR em r = R
dCA
Problema
Antes de propor uma forma de resolu¸c˜ao para o problema,
pode-se reescrever a equa¸c˜ao usando a rela¸c˜ao para a derivada
de um produto: De r2 d dr r2dCA dr = k1CA De r2 r2d 2C A dr2 + 2r dCA dr = k1CA d2C A dr2 + 2 r dCA dr − k1 De CA = 0
Este formato facilita a aplica¸c˜ao do m´etodo de diferen¸cas
Estrat´egia de Solu¸c˜
ao (Etapas)
1 Definir o dom´ınio discreto;
2 Aproximar as derivadas por rela¸c˜oes alg´ebricas;
3 Discretizar a equa¸c˜ao diferencial e as condi¸c˜oes de
contorno;
4 Obter uma equa¸c˜ao alg´ebrica para cada n´o do dom´ınio
discreto;
5 Resolver o sistema alg´ebrico;
Dom´ınio Discreto
Dom´ınio de solu¸c˜ao: 0 ≤ r ≤ R
Dom´ınio discreto: Obtido atrav´es da divis˜ao do dom´ınio de
solu¸c˜ao em N pontos:
Supondo espa¸camento ∆r constante, temos que o dom´ınio
discreto ´e dado por:
r (i ) = (i − 1)∆r i = 1, 2, 3, . . . , N
Como foram definidos N pontos, existem N − 1 intervalos, logo:
∆r = R
Aproxima¸c˜
ao das derivadas
Aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao CA(r ) por uma formula¸c˜ao discreta
CA(i ) e das derivadas por Diferen¸cas Finitas com formula¸c˜ao
central: CA = CA(i ) dCA dr = CA(i + 1) − CA(i − 1) 2∆r d2C A dr2 = CA(i + 1) − 2CA(i ) + CA(i − 1) ∆r2
Discretiza¸c˜
ao das Condi¸c˜
oes de Contorno
Condi¸c˜ao em r = 0 (i = 1):
dCA
dr = 0
Dom´ınio discreto:
Como n˜ao existe um ponto i = 0, a formula¸c˜ao central n˜ao
pode ser utilizada. Usando um esquema para frente, a derivada em r = 0 pode ser aproximada como:
dCA dr r =0= CA(2) − CA(1) ∆r = 0 → CA(1)−CA(2) = 0
Discretiza¸c˜
ao das Condi¸c˜
oes de Contorno
Condi¸c˜ao em r = R (i = N):
CA(R) = CAR
Dom´ınio discreto:
Neste caso n˜ao ´e necess´ario aproximar nenhuma derivada,
sendo suficiente associar o valor conhecido CAR com a vari´avel
discreta em r = R (i = N):
Discretiza¸c˜
ao da EDO
Para obter uma equa¸c˜ao para cada um dos n´os internos,
utiliza-se a EDO discretizada.
Usando as formula¸c˜oes de diferen¸cas centrais na EDO e
lembrando que o dom´ınio discreto ´e dado por
r (i ) = (i − 1)∆r , obt´em-se as seguintes equa¸c˜oes para i = 2
at´e i = N − 1 (n´os internos): CA(i + 1) − 2CA(i ) + CA(i − 1) ∆r2 + 2 (i − 1)∆r CA(i + 1) − CA(i − 1) 2∆r − k1 De CA(i ) = 0
Discretiza¸c˜
ao da EDO
Simplificando a agrupando os termos, obtemos a rela¸c˜ao:
AP(i )CA(i ) + AE(i )CA(i + 1) + AW(i )CA(i − 1) = 0 onde AP(i ) = − k1 De ∆r2−1 AE(i ) = 1+ 1 i − 1 AW(i ) = 1− 1 i − 1
Sistema linear
Juntando as condi¸c˜oes de contorno e a equa¸c˜ao discretizada,
obt´em-se o seguinte sistema linear:
CA(1) − CA(2) = 0
Para i = 2 at´e N − 1
AP(i )CA(i ) + AE(i )CA(i + 1) + AW(i )CA(i − 1) = 0
CA(N) = CAR
Assim, cada um dos N pontos possui uma equa¸c˜ao linear
Sistema linear
O sistema linear anterior pode ser escrito na forma matricial como: 1 −1 0 0 0 . . . 0 AW(2) AP(2) AE(2) 0 0 . . . 0 0 AW(3) AP(3) AE(3) 0 . . . 0 0 0 AW(4) AP(4) AE(4) . . . 0 .. . ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 1 CA(1) CA(2) CA(3) CA(4) .. . CA(N) = 0 0 0 0 .. . CAR
Resolu¸c˜
ao do Sistema Linear
Por se tratar de um sistema tridiagonal, pode-se resolver utilizando o algoritmo de Thomas (TDMA).
An´
alise do Erro
Para verificar se o valor de N adotado est´a adequado, deve-se
avaliar a solu¸c˜ao com valores gradativamente maiores at´e este
parˆametro n˜ao influenciar mais os resultados
significativamente.
Por exemplo, pra o caso k1 = 0.75, De = 10−5, R = 0.02 e
An´
alise do Erro
Neste caso em particular pode-se obter a solu¸c˜ao do problema
de valor de contorno por m´etodos anal´ıticos.
Comparando a solu¸c˜ao exata com a obtida com N = 20:
Como pode ser visto, o valor obtido com a resolu¸c˜ao por
