Mat.Semana. PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter. (Rodrigo Molinari)

(1)

Mat.

Semana 15

PC Sampaio

Alex Amaral

Rafael Jesus

Gabriel Ritter

(Rodrigo Molinari)

(2)

Probabilidade

mai

25

01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

Probabilidade Condicional

(3)

85 M

at

.

RESUMO

Já sabemos que podemos representar probabilida-de como

P(A)

Porém existem casos onde um evento onde uma probabilidade depende da outra. Conhecida como probabilidade condicional. Sendo A e B eventos po-demos considerar:

Probabilidade da união de

dois eventos:

p(A U B)=p(A)+p(B) – p(A

∩

B)

Probabilidade condicional

P(A/B)=

Eventos independentes

Se A e B forem eventos independentes, então p(A

∩

B)=p(A) . p(B)

EXERCÍCIOS DE AULA

1.

Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das cinco áreas com os brinquedos disponíveis e dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da entrada até chegar à área IV.

Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções existentes de percur-so pelos caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha, que a cami-nhada foi feita escolhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna.

Nessas condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem retornar é igual a

a) 1/96 b) 1/64 c) 5/24 d) 1/4 e) 5/12

n(E) n° de casos favoráveis

₌

n(S) n° de casos possíveis

=

(

A

)

p

B

p(B

∩

(4)

86 M

at

.

2.

Uma companhia preocupada com sua produtividade costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência, verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha frequentado o curso de treinamen-to tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por outro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha frequentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% frequenta-ram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário re-centemente admitido na companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua quota de produção é a) 11,70% b) 27,40% c) 35% d) 83% e) 85%

3.

Suponha que na região em que ocorreu a passagem do furacão Katrina, somen-te ocorrem três grandes fenômenos destrutivos da natureza, dois a dois mutua-mente exclusivos:

✓ os hidrometereológicos (A) ✓ os geofísicos (B) e

✓ os biológicos (C)

Se a probabilidade de ocorrer A é cinco vezes a de ocorrer B, e esta correspon-de a 50% da probabilidacorrespon-de correspon-de ocorrência correspon-de C, então a probabilidacorrespon-de correspon-de ocorrer a) A é igual a duas vezes a de ocorrer C.

b) C é igual à metade da de ocorrer B. c) B ou C é igual a 42,5%.

d) A ou B é igual a 75%. e) A ou C é igual a 92,5%.

4.

Uma urna contém apenas 10 bolas. Essas bolas são de diversas cores, e somente 4 são brancas. Sabe-se que as bolas diferem apenas na cor. Retira-se uma bola ao acaso, e em seguida retira-se outra bola, sem reposição da primeira. A proba-bilidade de obter duas bolas que não sejam ambas brancas é:

a) 2/15 b) 13/15 c) 1/3 d) 3/5 e) 2/9

(5)

87 M

at

.

5. EXERCÍCIOS PARA CASA

1.

Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâm-bio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao in-vés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A pro-babilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente res-pondida em inglês é a) 23,7% b) 30,0% c) 44,1% d) 65,7% e) 90,0%

2.

Um estudo de grupos sanguíneos humanos realizado com 1000 pessoas (sendo 600 homens e 400 mulheres) constatou que 470 pessoas tinham o antígeno A, 230 pessoas tinham o antígeno B e 450 pessoas não tinham nenhum dos dois. Determine:

a) o número de pessoas que têm os antígenos A e B simultaneamente;

b) supondo independência entre sexo e grupo sanguíneo, a probabilidade de que uma pessoa do grupo, escolhida ao acaso, seja homem e tenha os antígenos A e B simultaneamente

A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engar-rafamento possível. O melhor trajeto para Paula é

a) E1E3. b) E1E4. c) E2E4. d) E2E5. e) E2E6.

(6)

88 M

at

.

3.

4.

5.

Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam sim a ambas; 300 responderam sim à pri-meira; 250 responderam sim à segunda e 200 responderam não a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido não à primeira pergunta? a) 1/7 b) 1/2 c) 3/8 d) 11/21 e) 4/25

Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predado-res é 1/40.

Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamen-te, ser devorada por predadores é de:

a) 1,0%. b) 2,4%. c) 4,0%. d) 3,4%. e) 2,5%

Os consumidores de uma loja podem concorrer a brindes ao fazerem compras acima de R$ 100,00. Para isso, recebem um cartão de raspar no qual estão re-gistradas 23 letras do alfabeto em cinco linhas. Ao consumidor é informado que cada linha dispõe as seguintes letras, em qualquer ordem:

• linha 1 – {A, B, C, D, E}; • linha 2 – {F, G, H, I, J}; • linha 3 – {L, M, N, O, P}; • linha 4 – {Q, R, S, T, U}; • linha 5 – {V, X, Z}.

(7)

89 M

at

.

Para que um consumidor ganhasse um secador, teria de raspar o cartão exata-mente nas letras dessa palavra, como indicado abaixo:

Considere um consumidor que receba um cartão para concorrer a um ventilador. Se ele raspar as letras corretas em cada linha para formar a palavra VENTILA-DOR, a probabilidade de que ele seja premiado corresponde a:

a) 1/15000 b) 1/18000 c) 1/20000 d) 1/25000

6.

Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas pretas e x bolas vermelhas, sendo x > 2. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é observada e recolocada na urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Se 1/2 é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de x é:

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6

7.

Em Matemática, um número natural a é chamado palíndromo se seus algaris-mos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo número. Por exemplo, 8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se:

a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999?

b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual é a probabi-lidade de que esse número seja palíndromo? Tal probabiprobabi-lidade é maior ou menor que 2%? Justifique sua resposta.

8.

Uma escola comprou computadores das empresas X e Y. 40% dos computado-res foram comprados da empcomputado-resa X e os demais da empcomputado-resa Y. a probabilidade de um computador fabricado por X apresentar defeito no primeiro ano e uso é 0,10 e se fabricado por Y é de 0,15. Se um destes computadores é escolhido ale-atoriamente, qual a probabilidade percentual de ele não apresentar defeito no primeiro ano de uso?

(8)

90 M

at

.

QUESTÃO CONTEXTO

Surfista atravessa Atlântico sozinho sem qualquer apoio

O sul-africano, Chris Bertish conquistou o recorde mundial ao atravessar o oce-ano Atlântico, sem qualquer tipo de assistência, numa travessia realizada sobre uma prancha, em pé (paddle).

O surfista iniciou a sua jornada na cidade de Agadir, em Marrocos, no dia 6 de Dezembro do ano passado. Fez cerca de 7.242 km, e chegou ontem, a English Harbour, na ilha de Antígua, no Caribe. Bertish navegou numa prancha de 6 me-tros de comprimento, equipada com uma pequena cabine e painéis solares que custou cerca de 1.500 euros. Remou durante 93 dias o "equivalente a uma mara-tona por dia", segundo a CNN. Contornou as ilhas Canárias (Espanha), antes de se dirigir para o mar aberto e avistar as Caraíbas. A viagem foi distinguida com um Guinness World Record para a maior distância percorrida sozinho e sem aju-da, em oceano aberto no espaço de um dia (115 808 Km).

Motivado pelo feito de Bertish, Fábio, um amante do surfe, decide que no fim de semana ele vai surfar. No entanto, ele dispõe de apenas um dia para realizar o esporte, ou sábado, ou domingo. Olhando a previsão do tempo ele vê que no sábado a previsão de chover é de 60% e no domingo é de 40%. Sabendo que ele prefere surfar sem que esteja chovendo, qual a probabilidade dele surfar no domingo?