AJUSTE DAS COORDENADAS PLANIMÉTRICAS DE MALHAS URBANAS UTILIZANDO MEDIÇÕES DIRETAS DE DISTÂNCIAS E INFORMAÇÕES DE COLINEARIDADE

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AJUSTE DAS COORDENADAS PLANIMÉTRICAS DE MALHAS URBANAS

UTILIZANDO MEDIÇÕES DIRETAS DE DISTÂNCIAS E INFORMAÇÕES

DE COLINEARIDADE

ROBERTO DA SILVA RUY ANTONIO MARIA GARCIA TOMMASELLI

PAULO DE OLIVEIRA CAMARGO Universidade Estadual Paulista - UNESP Faculdade de Ciências e Tecnologia - FCT Departam ento de Cartografia, Presidente Prudente - SP

{rruy, tom aseli, paulo}@prudente.unesp.br

RESUMO - As prefeituras de pequeno porte, em geral, não têm disponíveis bases cartográficas planimétricas atualizadas da malha urbana, devido à falta de m ão-de-obra especializada e carência de equipam entos adequados à levantam entos. Um a solução para este problem a seria o Aerolevantam ento, m as esta técnica é inacessível para pequenas prefeituras, devido ao seu alto custo. Por outro lado, freqüentem ente são feitos levantam entos a trena das testadas dos im óveis e, com algum as m edidas adicionais, “amarrando” as quadras entre si, é possível realizar um ajustam ento em rede das coordenadas dos vértices das quadras. Do ponto de vista prático, a idéia é que um a planta planimétrica em escala m édia possa ser refinada através da introdução de m edidas lineares entre os vértices das quadras, de informações de colinearidade entre tais vértices e de alguns pontos de controle. Um program a de ajustam ento foi im plem entado em linguagem C/C++ e alguns testes práticos foram conduzidos. Estes ex perimentos foram realizados com dados simulados e reais, permitindo afirmar que o método atende aos objetivos propostos.

ABSTRACT - Municipal governm ents do not have updated cartographic databases of urban areas, m ainly due to the lack of technical staff and to the problem s to m aintain suitable surveying instrum ents. A feasible alternative is the direct m easurem ents of blocks and som e additional lengths linking grid points using measuring tapes. The idea is that a m edium scale planimetric map can be adjusted with the distances m easurem ent, colinearity inform ation and control points. This approach enables the construction of large scale planimetric maps at low cost. The adjustm ent algorithm s were im plem ented in C/C++ language and the m ethod was accessed with sim ulated and real data. The results were effective the m ethod readied the proposed objectives.

1 INTRODUÇÃO

Em geral, as prefeituras de pequeno porte não têm disponíveis bases cartográficas planim étricas atualizadas da m alha urbana, em virtude da falta de m ão-de-obra especializada e carência de equipam entos adequados.

Isso pode ser solucionado por técnicas de aerolevantam ento, porém, devido ao alto custo, torna-se inacessível para pequenas prefeituras. As administrações públicas podem dispor apenas de fotografias em escalas m édias e pequenas, norm almente custeadas pela administração estadual ou federal. Mas, estas escalas são inadequadas ao cadastro e ao planejam ento urbano.

Freqüentem ente, são realizados levantam entos à trena das testadas dos im óveis e, se forem adicionadas algum as m edidas lineares concatenando as quadras entre si, é possível realizar um ajustam ento em rede das

coordenadas dos vértices das quadras, que na m etodologia proposta devem ser fornecidas por um a carta digital. A proposta deste trabalho é utilizar as m edidas lineares diretas e restrições de colinearidade para m elhorar a base cartográfica existente.

Estas informações são integradas à um software CAD, por meio de arquivos dxf, para visualização e edição dos dados. Este arquivo serve de entrada para o program a desenvolvido em linguagem C/C++, que realiza o ajustam ento em rede das coordenadas planim étricas dos vértices das quadras por m eio do m étodo param étrico com injunções. As m edidas de distâncias form am equações de observações, enquanto que as coordenadas e as informações de colinearidade são introduzidas com o injunções relativas.

Dentro deste contex to, serão apresentados neste trabalho alguns ex perimentos realizados com dados

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simulados e reais, a fim de com provar a integridade da m etodologia proposta.

2 METODOLOGIA

A idéia deste trabalho é a atualização de bases cartográficas em escalas m édias para que sejam com patíveis à bases em escalas grandes. Para tanto, parte da hipótese que um a planta de quadras pré-existente e digitalizada forneça as coordenadas aproximadas dos vértices das quadras, form ando um a malha de pontos.

A m etodologia deste trabalho, já descrita em RUY et al (2001), baseia-se em algum as relações entre os vértices das quadras. As distâncias m edidas em cam po são usadas com o equações de observação, as restrições de colinearidade e as coordenadas dos vértices de quadras são introduzidas com o injunções relativas, em um ajustam ento pelo m étodo param étrico. Uma característica importante desta m etodologia é que no software CAD as informações são introduzidas graficam ente, usando um sistem a que ex porta um arquivo do tipo dxf a ser lido pelo program a de refinam ento.

O arquivo gráfico contendo a planta de quadras pode ser obtido através da digitalização de cartas ou fotografias aéreas da área. As distâncias entre os vértices de quadras são m edidas em cam po com trena. Tais m edidas correspondem às faces das quadras e distâncias entre vértices das quadras distintas, que são efetuadas para ligar as quadras entre si e garantir a rigidez da rede, evitando assim, um deslocam ento entre as quadras. Os pontos colineares são selecionados após um a verificação em campo, procurando identificar os vértices que estão dispostos aproximadam ente num a mesma reta, respeitando um a tolerância pré-estabelecida pelo usuário. Os pontos de controle são pontos correspondentes à alguns vértices das quadras, cujas coordenadas podem ser obtidas com receptor GPS (Global Positioning System). Estes pontos possuem a finalidade de definir o referencial da rede com ex atidão, os quais devem estar bem distribuídos pela m alha. Todas estas inform ações são editadas num software CAD, que gera um arquivo dxf a ser lido pelo program a de ajustam ento desenvolvido em linguagem C/C++.

Com isso, é realizado o refinamento das coordenadas iniciais por m eio das inform ações adicionais editadas no software CAD. As coordenadas são ajustadas pelo m étodo param étrico com injunções, onde as distâncias m edidas em cam po form am as equações de distâncias e as coordenadas e as relações de colinearidade entre os vértices as injunções relativas.

- Equações de Observação

As equações de observação são escritas com o equações de distâncias entre dois vértices:

) ( ) ( ia a f a i a f a Y Y X X d = − + − (1) onde:

a_{– distância linear entre os pontos;}

a i

X , a i

Y - coordenadas ajustadas do vértice i; a

f

X , Yfa - coordenadas ajustadas do vértice f;

- Equações de Injunção

As coordenadas dos vértices das quadras, tanto as ex traídas na carta quanto as levantadas em cam po, são utilizadas com o injunções de posição (equações de coordenadas). dy Y Y dx X X i a i i a i + = + = 0 0 (2) onde a i X e a i

Y são as coordenadas ajustadas do vértice i.

Para estabelecer as relações de colinearidades, definem -se retas a partir dos ex tremos dos alinham entos e, com isso, obriga-se que as distâncias entre os pontos intermediários dos alinhamentos e as retas definidas estejam dentro da tolerância indicada pelo usuário. As equações são definidas com as coordenadas dos pontos ex tremos: 0 1 1 1 = a f a f a i a i Y X Y X Y X (3)

A partir deste determinante, tem-se que:

(

−

) (

+ −

) (

+ − ia

)

=0 a f a f a i a i a f a f a i Y X X X Y X Y X Y Y (4) onde: a i a i Y

X , : Coordenadas do vértice i da reta; a

f a f Y

X , : Coordenadas do vértice f da reta.

A equação 4 pode ser associada a form a ax + by +

c = 0, onde: a = a f a i Y Y − ; b = a i a f X X − ; (5) c = a i a f a f a iY X Y X − .

As injunções de colinearidade são definidas com base na distância mínima do ponto à reta. Cada vértice é ajustado à reta para que o alinham ento seja satisfeito. A distância de ponto à reta é definida pela equação:

2 2 , b a c bY aX d a P a P a r P + + + = (6) onde:

daP,r: distância ajustada do vértice P à reta r;

a, b, c: parâmetros da reta r;

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) ( )

(N N' 1U U' X =− + − +

- Método Paramétrico com Injunções

O vetor X de correção aos parâm etros é dado por: (7) ou (8) onde: PA A N= T C P C N_'₌ T _Inj PL A U ₌ T ' ' C P L U Inj T = 1 2 0 − ∑ = Lb

P σ → m atriz peso das observações, sendo 2 0

σ o fator de variância a priori e

b L

∑ a matriz variância-covariância (MVC) das observações (distâncias).

1 2 0 ' − ∑ = b L inj

P σ → m atriz peso das injunções, sendo σ02o fator de variância a priori e

b L

∑ a MVC das injunções (coordenadas dos vértices das quadras e relações de colinearidade).

Os desvios padrão das distâncias são obtidos de acordo com o instrumento de m edida em pregado.

Já, os desvios padrão das injunções são dados por: - Coordenadas ex traídas da carta: relativo à escala da carta (0.3mm x denominador da escala);

- Pontos de controle: fornecido pelo receptor GPS;

- Equações de colinearidade: relativo à tolerância estabelecida pelo usuário.

A m atriz A é definida pelas derivadas parciais das equações de observações (equação 1) em função dos parâmetros (coordenadas dos vértices).

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A m atriz das injunções C é dada por:

- Derivadas parciais das equações de coordenadas (equações 2) em função dos parâm etros:

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- Derivadas parciais da equação 6 em função dos vértices que com põem o alinhamento. Tais derivadas são decom postas em:

ü derivadas em relação às coordenadas do vértice

inicial da reta:

[

]

2 2 2 2 2 2 *( ) * ) ( b a b a c bY aX b b a Y Y P P P f X d i +       + + + − − + − = ∂ ∂

(11)

[

]

2 2 2 2 2 2 *( ) * ) ( b a b a c bY aX a b a X X P P f P Y d i +       + + + − + − = ∂ ∂

(12)

ü derivadas em relação às coordenadas do vértice

final da reta:

[

]

2 2 2 2 2 2 *( ) * ) ( b a b a c bY aX b b a Y Y P P i P X d i +       + + + − + − = ∂∂

(13)

[

]

2 2 2 2 2 2 *( ) * ) ( b a b a c bY aX a b a X X P P P i X d i +       + + + − − + − = ∂ ∂

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ü derivadas em relação às coordenadas dos

vértices internos do alinhamento

2 2 2 2 * b a b a a P X d + + = ∂ ∂ (15) 2 2 2 2 * b a b a b P Y d + + = ∂ ∂ (16)

Os vetores L e L’ são form ados por:

(17) (18) 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 i f i f i f x a f a i f i f i f x a f a i f i f f i x a i a i f i f f i x a i a y y x x y y Y d y y x x x x X d y y x x y y Y d y y x x x x X d − + − − = ∂ ∂ − + − − = ∂ ∂ − + − − = ∂ ∂ − + − − = ∂ ∂ ) ( ) (A PA C P C 1 A PL C P L' X inj T T inj T T ₊ ₊ − = − b

L

=

₀

−

' ' 0 ' b

L

=

−

u u X a

I

X

c

₌

∂

0

(4)

X

_a

=

₀

+

onde:

L0: vetor dos valores aproximados;

Lb: vetor das observações (distâncias);

L0’: vetor dos parâm etros aproximados;

Lb’: vetor dos parâm etros injuncionados.

O Vetor dos parâm etros ajustados Xa e dado por:

(19) onde:

X0: vetor dos parâm etros aproximados;

X: vetor das correções.

Com o o m odelo é não linear, são necessárias iterações no ajustam ento. O critério de convergência adotado foi de 0.01m.

Por fim, as coordenadas ajustadas são introduzidas novam ente no arquivo dxf sobrescrevendo as coordenadas iniciais. Este arquivo ajustado é carregado no software CAD para visualização da base ajustada.

3 EXPERIMENTOS E RESULTADOS

Para verificar o funcionam ento do program a e da m etodologia desenvolvidos, foram realizados vários ex perimentos em diversas situações. Num primeiro m om ento, foram realizados ex perimentos simulados e em seguida, ex perimentos com dados reais.

As considerações sobre os ex perimento serão tratadas posteriorm ente no tópico 4.

3.1 Experimentos simulados

Neste teste foi construída um a pequena m alha regular com coordenadas referenciadas a um sistem a arbitrário, como pode ser visto na Figura 1.

Figura 1 – Representação da m alha de quadras correspondente ao teste sim ulado.

Para simular os testes foram introduzidos erros em torno de 1m nas coordenadas dos vértices de quadras, provocando um a pequena deform ação na m alha. A Tabela 1 mostra as coordenadas m odificadas para a realização dos ex perimentos simulados.

Tabela 1: Coordenadas m odificadas da m alha simulada. Vértice X (m) Y (m) 1 -1 211 2 100 211 3 101 111 4 1 110 5 109 209 6 210 211 7 211 111 8 111 111 9 1 99 10 100 99 11 101 -1 12 1 1 13 109 101 14 211 100 15 212 1 16 111 0

De acordo com as discrepâncias atribuídas, os erros médios quadráticos nas com ponentes x e y foram: EMQx = 1.0000m e EMQy = 0.9014m

As distâncias foram tom adas de acordo com a m alha regular precisa definida inicialmente (Figura 1).

Experimento 1

Neste ex perimento foram considerados: - 2 pontos de controle (6 e 12);

- 4 equações de colinearidade (nas faces periféricas da m alha).

Figura 2: G eom etria das quadras após o ajustam ento – ex perimento 1. x (m) 0 210 100 110 100 110 210 0 5 11 12 15 14 13 10 16 y (m) 9 3 4 2 1 7 8 6 Pontos de Controle

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A Tabela 2 m ostra os erros nos vértices que não foram usados com o controle no ajustam ento.

Tabela 2: Erros verdadeiros e erro m édio quadrático obtidos no ex perimento 1. Vértice DX (m) DY (m) 1 -0,0562 0,0651 2 -0,0543 0,0890 3 -0,0437 0,0962 4 -0,0446 0,0633 5 -0,0039 1,0904 7 0,0226 0,0054 8 0,0182 1,0886 9 0,9587 0,0125 10 0,9491 0,0352 11 -0,0051 0,0366 13 1,0104 1,0266 14 1,0113 -0,0432 15 0,0449 -0,0464 16 0,0431 1,0221 EMQ 0,5263 0,5673 Experimento 2 Para o ex perimento 2 foram usados: - 5 pontos de controle (1, 3, 6, 12, 15); - 4 equações de colinearidade (nas faces

periféricas da m alha).

Figura 3: Geom etria das quadras após o ajustam ento – ex perimento 2.

A seguir, a Tabela 3 mostra os erros obtidos ao final do ajustam ento para os pontos que não foram tratados com o controle.

Tabela 3: Erros verdadeiros e erro m édio quadrático obtidos no ex perimento 2. Vértice DX (m) DY (m) 2 0,0017 -0,0002 4 -0,0006 0,0031 5 0,0020 0,0689 7 0,0101 0,0019 8 0,0120 0,0647 9 0,0527 0,0031 10 0,0624 -0,0113 11 -0,0007 -0,0057 13 0,0756 0,0519 14 0,0736 0,0019 16 -0,0005 0,0549 EMQ 0,0405 0,0367 Experimento 3

Neste últim o ex perimento simulado foram considerados:

- 5 pontos de controle (1, 3, 6, 12, 15);

- 8 equações de colinearidade (em todas as faces da m alha).

Na Tabela 4, pode-se observar os erros nos pontos que não foram usados com o controle no ajustam ento.

Pontos de Controle

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Tabela 4: Erros verdadeiros e erro m édio quadrático obtidos no ex perimento 3. Vértice DX (m) DY (m) 2 -0,0424 0,0181 4 -0,0058 -0,1106 5 -0,0259 0,6619 7 0,0313 -0,0960 8 0,0368 0,6617 9 0,5070 -0,1348 10 0,6316 0,0132 11 -0,0467 0,0191 13 0,6817 0,6252 14 0,6864 -0,1272 16 -0,0332 0,6217 EMQ 0,3814 0,3943

3.2 Experimentos com dados reais

Os testes utilizando dados reais foram realizados em uma área teste localizada em um bairro na área urbana de Presidente Prudente – SP, representada pela Figura 6.

Figura 5: Área teste localizada na cidade de Presidente Prudente-SP.

Na Figura 5, os vértices foram num erados de 1 a 64, com intuito de auxiliar nos ex perimentos.

Para a realização dos ex perimentos foi utilizada uma carta digital na escala 1:10000, correspondente a esta região de estudo, a partir da qual foram ex traídas as coordenadas aproximadas dos vértices de quadras.

As distâncias m edidas em cam po, correspondentes às faces de quadras e cruzam entos de vias, foram efetuadas com o auxílio da trena. Posteriorm ente, estas m edidas foram reduzidas a sistem a de projeção UTM,

pois a carta digital se encontrava referenciada a este sistem a.

Os pontos de controle foram coletados com receptor GPS Trimble 4600 SL, procurando-se distribuí-los por toda a rede. Entretanto, devido às obstruções de sinais causados por árvores e construções, a coleta de tais pontos foi restrita à alguns vértices de quadras. Dentro deste panoram a, foram coletados para controle os vértices 5, 11, 14, 19, 21, 24, 25, 27, 31, 35, 41, 48, 52 e 63. Dentro dos ex perimentos realizados, os pontos que não foram introduzidos como controle, foram usados com o verificação.

Utilizando estas coordenadas dos pontos rastreados com receptor GPS, pôde-se obter os erros m édios quadráticos para este conjunto de pontos: EMQx =

5.4980m e EMQy = 9.1910m.

Experimento 4

Para este ex perimento, foram considerados: - 5 pontos de controle (5, 14, 41, 52 e 63); - 9 pontos de verificação (11, 19, 21, 24, 25, 27,

31, 35 e 48);

- 16 equações de colinearidade (em todas as faces da m alha).

Para verificar a confiabilidade dos resultados no ex perimento 4, a Tabela 5 mostra os erros obtidos para os pontos de verificação. N 18 19 20 17 2 3 4 1 6 7 8 5 N 10 11 12 9 14 15 16 13 22 23 24 21 26 27 28 25 30 31 32 29 34 35 36 33 38 39 40 37 42 43 44 41 46 47 48 45 50 51 52 49 54 55 56 53 58 59 60 57 62 63 64 61 Pontos de Controle Pontos de V erificação

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Tabela 5: Erros verdadeiros e erro m édio quadrático dos pontos de verificação no ex perimento 4.

Vértice DX (m) DY(m) 11 -0,428 0,752 19 -0,241 0,706 21 -0,617 1,232 24 -0,185 1,118 25 -0,612 -0,113 27 0,048 0,503 31 -0,700 -0,333 35 0,001 0,295 48 0,434 0,361 EMQ 0,436 0,701 Experimento 5

Neste ex perimento com dados reais, foram considerados m ais pontos de controle, conform e segue descrito:

- 11 pontos de controle (5, 11, 14, 19, 21, 31, 35, 41, 48, 52 e 63);

- 3 pontos de verificação (24, 25 e 27);

- 4 equações de colinearidade (nas faces periféricas).

Na Tabela 6 pode-se verificar os erros obtidos nos pontos de verificação após o ajustam ento.

Tabela 6: Erros verdadeiros e erro m édio quadrático dos pontos de verificação no ex perimento 5.

Vértice DX (m) DY (m) 24 -0,269 0,331 25 0,068 -0,344 27 0,093 -0,077 EMQ 0,169 0,279 4 DISCUSSÃO

Os ex perimentos realizados, tanto os simulados com o os reais, mostraram que o program a desenvolvido fornece resultados satisfatórios, que podem atingir uma precisão com patível a um a escala 1:1000.

Nos testes simulados partiu-se de um erro em torno de 1m e ao final do processam ento, obteve-se em alguns casos um resultado m enor que 0.1m de discrepância (Ex perimento 2). Para os testes com dados reais, inicialmente, as discrepâncias estavam em torno de 5m e, após o ajuste, os resultados m ostraram erros inferiores a 1m.

Em alguns casos as equações de colinearidade perturbaram os resultados, conform e mostram os ex perimentos 3, 4 e 5. Analisando os testes, pôde-se constatar que ao se definir equações de colinearidade entre pontos de controle (ex perimento 2), estes erros são minimizados, pois tais pontos não estão oscilando com os dem ais e, com isso, o resultado não diverge. No ex perimento 3, pode-se notar que algum as equações não estão definidas pelos pontos de controle e, com isso, os resultados sofreram m odificações. Dessa form a, as equações de colinearidade devem estar “ancoradas” em pontos de controle.

No ex perimento 5, o grande núm ero de pontos de controle contribuiu para um resultado m elhor.

5 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

A partir dos ex perimentos apresentados, pode-se concluir que a m etodologia proposta e o program a desenvolvido funcionam do m odo esperado, podendo ser úteis para as prefeituras realizarem atualizações de m alhas urbanas.

Nos testes, pôde-se perceber que os pontos de controle ex ercem um papel fundam ental neste processo. Eles devem ser devidam ente distribuídos, de m odo que as equações de colinearidade sejam formadas a partir desses pontos, evitando assim, as deform ações nos alinhamentos de quadras.

Novos estudos devem ser desenvolvidos nesse sentido, visando m elhorar os resultados. Um a alternativa pode ser a utilização de injunções funcionais (G(Xa) = 0)

ao invés das injunções relativas (G(Xa) = La’) para o

estabelecim ento das restrições de colinearidade.

Pontos de Controle Pontos de V erificação

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Para a realização dos ex perimentos foi utilizado o software CAD AutoSketch, que é com ercializado a um preço sim bólico em bancas de revistas. Além deste, foram testados os softwares CAD AutoCad e MicroStation, mas devido a incom patibilidade entre os arquivos dxf, estes softwares apresentaram alguns problem as. Para serem utilizados haveria a necessidade de desenvolver outros m ódulos de entrada de dados, o que não é o objetivo deste trabalho.

AGRADECIMENTOS

A agência de fom ento FAPESP, pelo financiamento e apoio à pesquisa desenvolvida (Processo n.º 00/00959-6).

REFERÊNCIAS

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