Matemática Módulo 4 M19 M20 M21 M22 M23 M24

Matemática

Módulo 4

M19 Geometria Analítica: Pontos e Retas 3 - 12

M20 Geometria Analítica: Circunferência 13 - 18

M21 Geometria Analítica: Cônicas 19 - 22

M22 Números Complexos 23 - 26

M23 Polinômios 27 - 30

M

19

Geometria Analítica: Pontos e Retas

TERCEIRÃ

O FTD

TERCEIR

ÃO

TERCEIRÃ

O FTD

TERCEIRÃ

O FTD

TERCEIR

ÃO

TERCEIRÃ

O FTD

TERCEIRÃ

O FTD

M

19

TERCEIR

ÃO FTD

Geometria Analítica:

Pontos e Retas

Caderno de

Atividades

1

_{(Unesp-SP) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de}

vértices P(0, 0), Q(6, 0) e R(3, 5), é:

a) eqüilátero.

b) isósceles, mas não eqüilátero.

c) escaleno.

d) retângulo.

e) obtusângulo.

Pelo enunciado, temos:

P(0, 0) Q(6, 0) R(3, 5) y

x M

Portanto, o triângulo PRQ é isósceles e não eqüilátero. No #PMR (retângulo em M), temos: (PR)2 _{= (PM)}2 _{0 (MR)}2 _{→ (PR)}2 _{= 3}2 _{0 5}2 _{→ PR = 34} No #RMQ (retângulo em M), temos: (QR)2 _{= (MQ)}2 _{0 (MR)}2 _{→ (QR)}2 _{= 3}2 _{0 5}2 → QR = 34 Então: PQ = 6 PR=QR= 34 123 PR = QR ϑ PQ M T9 = 9 = =N 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 2 1 1 1                _             y x D C A B D C A B y x y x A B D C y x D C A B C D B A x y

a)

d)

b)

e)

c)

Sendo as linhas da matriz N as co-ordenadas de A, B, C e D, respecti-vamente, temos: A(0, 1), B(1, 0), C(2, 1) e D(1, 1), que correspondem à figura: y x 0 1 A 1B 2 D C X X y

2

_{(ESPM-SP) A figura mostra um quadrado ABCD}

re-presentado no plano cartesiano. As linhas da matriz M são

as coordenadas dos vértices do quadrado.

Multiplicando-se a matriz M pela matriz de transformação T dada,

ob-tém-se uma matriz N. Assinale a alternativa que mostra a

figura representada pela matriz N.

Geometria Analítica: Pontos e Retas

M

19

y A(1, 2) B(−1, 2) D(−1, −2) E(1, −2) x O 2 1 −1 H

5

_{(Unifesp-SP) A figura representa, em um sistema}

or-togonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em

relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na

origem do sistema, e os pontos A(1, 2), B, C, D, E e F,

correspondentes às intersecções das retas e do eixo Ox

com a circunferência.

y A(1, 2) r s B C F D E x O

Nessas condições, determine:

a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do

hexágono ABCDEF;

b) o valor do cosseno do ângulo AOB.

4

_{(Fatec-SP) Seja r a reta que passa pelos pontos (3, 2) e}

(5, 1). A reta s é a simétrica de r em relação à reta de

equa-ção y = 3. A equaequa-ção de s é:

a) x 0 2y − 7 = 0

d) x − 2y − 11 = 0

b) x 0 2y − 5 = 0

e) 2x − y 0 5 = 0

c) x − 2y 0 5 = 0

A equação da reta s é:

A reta s, simétrica de r em relação à reta de equação y = 3, passa pelos pontos (3, 4) e (5, 5), conforme a figura:

y x y = 3 (3, 2) (3, 4) (5, 1) (5, 5) s r X x y x 1 5 5 1 3 4 1 0 5 0 = _→ −2y0 =

3

_{(PUC-RJ) Os pontos (−1, 6), (0, 0) e (3, 1) são três}

vértices consecutivos de um paralelogramo. Assinale a

opção que apresenta o ponto correspondente ao quarto

vértice:

a) (2, 7)

c) (1, −6)

e) (6, 3)

b) (4, −5)

d) (−4, 5)

Sabendo que A(−1, 6), B(0, 0), C(3, 1) e D(x_D, y_D) são os vértices conse-cutivos do paralelogramo, que M é o ponto médio de suas diagonais e que as diagonais de um paralelogramo se cruzam no seu ponto médio, temos M:

• ponto médio de AC :

Portanto, o vértice D tem coordenadas (2, 7). • ponto médio de BD : xM =− 01 3 = 2 1 yM =601= 2 7 2 1 44 2 44 3 x x x M D D = 00 = = 2 1→ 2 y y y M D D = 00 = = 2 7 2 → 7 1 44 2 44 3 C

(

− 5 0,

)

F

(

5 0,

)

X

a) O ponto B é simétrico de A em relação ao eixo Oy.

Os pontos D e E são, respectivamente, simétricos de A e B em relação à origem.

Os pontos C e F pertencem à circunferência e ao eixo Ox. O raio R = OA , da circunferência, é tal que:

R=OA= (1−0)2 0(2−0)2 = 5 =OF

Dessa forma, os pontos B, C, D, E e F têm coordenadas, respectiva-mente, iguais a (−1, 2),

(

− 5 , 0 ,

)

(−1, −2), (1, −2) e

(

5 , 0 .

)

Os triângulos OFA, OBC, OCD e OEF têm áreas iguais a:

S OF AH 1 ₂ 5 2 2 5 = 9 = 9 =

Os triângulos OAB e ODE têm áreas iguais a:

S AB AH 2 ₂ 2 2 2 2 = 9 = 9 =

Então, a área do hexágono ABCDEF é:

S=4S102S2=49 5 02 29 =4

(

5 01

)

u.a. 22 5 5 2 5 5 2 2 =

( )

0

( )

−

( ) ( )

9 cos (A BO ) b) No #AOB:

AB2 _{= OA}2 _{0 OB}2 _{− 2OA 9 OB 9 cos (AOB)}

M

19

Geometria Analítica: Pontos e Retas

7

_{(UFMG) Os pontos A(2, 6) e B(3, 7) são vértices do}

triângulo ABC, retângulo em A. O vértice C está sobre o

eixo Ox. A abscissa do ponto C é:

a) 8,5

b) 9

c) 9,5

d) 8

y 7 6 2 3 C(c, 0) x A B

Como o triângulo ABC é retângulo em A, temos: M_AC 9 M_AB = −1 − − 9 = − = 6 2 1 1 1 8 C C        → X

8

_(MACK-SP)

Desempregados (mil) t (meses) 2 1 A B C D 2 4 0

O gráfico acima mostra a evolução da quantidade de

pes-soas desempregadas (em mil), a partir de determinado

momento, em certa região. Se i // a, o número de

pessoas desempregadas, 5 meses após o início das

obser-vações, é:

a) 4 000

c) 3 500

e) 2 000

b) 3 000

d) 2 500

d t 2 1 A B C D 2 4 5 0

O coeficiente angular da reta q é m_AB = − − = 2 1 2 0 1 2. O coeficiente angular da reta & // q também é 1

2 e & passa por C(4, 2).

A equação da reta &, sendo t a abscissa e d a ordenada, é:

d t t d

t −2= 1 − − = − = =

2(t 4)→2d 4 4→2d → 2

Portanto, o número de desempregados, após 5 meses do início da observação, é 2 500. Para t = 5: d = = 5 2 2,5 (em mil) X

6

_{(UFV-MG) A figura abaixo ilustra um quadrado de}

lado 8 com vértices situados sobre os eixos coordenados.

y

x A

B

a) Se a e b são as coordenadas

do ponto B, ou seja, B(a, b),

determine a soma a 0 b.

b) Determine a equação da

reta que passa pelos pontos

A

e B.

Seja r a reta suporte do lado do quadrado que passa por A, B e C :

A B r O C a) O ponto B(a, b) 7 r: x0y=_{4 2 .} Logo, a0b=4 2 .

b) A equação da reta que passa por A e B é a equação de r: x 0 =y 4 2 . Como o quadrado tem lado 8, 8 e Q representam metade da diagonal do quadrado, ou seja, OA=OC=4 2, portanto A ,

(

0 4 2

) (

e C4 2 0,

)

.

A

x y

x y equação da reta será:

0 r 1 0 4 2 1 4 2 0 1 0 4 2 4 2 32 = _→ 0 − = _→ x0y−4 2 =0

Geometria Analítica: Pontos e Retas

M

19

11

_{(UFRJ) Um avião taxia (prepara-se para decolar) a}

partir de um ponto que a torre de controle do aeroporto

considera a origem do eixos coordenados, com escala em

quilômetros. Ele segue em linha reta até o ponto (3, −1),

onde realiza uma curva de 90) no sentido anti-horário,

seguindo, a partir daí, em linha reta. Após algum tempo,

o piloto acusa defeito no avião, relatando a necessidade de

abortar a decolagem. Se, após a mudança de direção, o

avião anda 1 (um) quilômetro até parar, para que ponto

do plano a torre deve encaminhar a equipe de resgate?

y x r s A 3 −1 O x y x x m_r 1 3 1 1 0 0 1 0 0 1 3 1 3 − = _→− − = _→ = −  = −   3y y

Equação da reta r que passa por O(0, 0) e A(3, −1):

Equação da reta s que passa por A(3, −1) e é perpendicular a r , sendo m_s = 3:

y 0 1 = 3(x − 3) → y = 3x − 10

O avião deve passar por um ponto P(x, y) tal que P 7 s e PA = 1.

Substituindo
em : (x − 3)2 _{0 (3x − 10 0 1)}2 _{= 1} 10x2 _{− 60x 0 89 = 0} ∆ = 40 x = Σ = Σ 60 40 20 60 2 10 20 xδ = 0 30 10 10 xφ = − 30 10 10 Para x , em temos: y = 0 = 0 − 30 10 10 3 30 10 10 10
    y = − 3 10 10 10 E P ou o ponto procurado é: 30 10 10 3 10 10 10 0 − ,    3 10 10 3 10 10 1 0 − ,     (não convém)

3x − 2y − 5 = 0

mx − y 0 2 = 0

123

x − y − 1 = 0

4x − y − 10 = 0

2x 0 y − 8 = 0

1

4

2

4

3

b) Discuta, em função do parâmetro m, a posição relativa

das retas de equações

concorrem num mesmo ponto e obtenha esse ponto.

9

_(FGV-SP)

a) No plano cartesiano, mostre que as retas de equações

a) Vamos tomar inicialmente duas das retas e fazer sua intersecção:

123 x − y − 1 = 0 4x − y − 10 = 0 → 123 x − y = 1 −4x 0 y = −10 −3x = −9 x = 3 e y = 2

As retas x − y − 1 = 0 e 4x − y − 10 = 0 concorrem no ponto (3, 2). Esse ponto também pertence à reta 2x 0 y − 8 = 0,

pois 2 9 3 0 2 − 8 = 0.

Portanto, as três retas concorrem no ponto (3, 2). b) Calculando os coeficientes angulares das retas:

r1 y x mr 3 2 5 2 3 2 1 : 3x−2y−5=0_→ = − _→ = r2: mx−y02=0→y=mx02→mr2 =m Se m = 3

2, as retas são paralelas. Se m oncorrentes

ϑ 3

2,as retas são c .

10

_{(FGV-SP) No plano cartesiano, o ponto da reta r:}

3x − 4y = 5 mais próximo da origem tem coordenadas

cuja soma vale:

a)

−

2

5

b)

−

1

5

c) 0

d)

1

5

e)

2

5

y x O s P r

Como m a r ms equação da reta é:

= 3 = −

4

4 3

→ , s

Seja s a reta que passa pela origem e é perpendicular à reta r .

Portanto, o ponto de r mais próximo da origem é P 3 5 4 5 ,− ,     cuja soma das coordenadas é − 1 5.

O ponto da reta r mais próximo da origem é o ponto de intersecção entre as retas r e s, obtido pela solução do sistema:

3x − 4y = 5 y x = − 4 3 → x e y = 3 = − 5 4 5 1 4 2 4 3 X y y −0= −4 − = − 3 4 3 (x 0)→ x PA= (x−3)20(y01)2 =1→(x−3)2 0(y01)2 =1

M

19

Geometria Analítica: Pontos e Retas

14

_{(Fuvest-SP) Sejam A(0, 0), B(8, 0) e C(−1, 3) os}

vértices de um triângulo e D(u, v) um ponto do

segmen-to p. Sejam E o ponsegmen-to de intersecção de i com a reta

que passa por D e é paralela ao eixo y e F o ponto de

intersecção de o com a reta que passa por D e é

parale-la ao eixo x.

a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero

AEDF.

b) Determine o valor de u para o qual a área do

quadrilá-tero AEDF é máxima.

Pelo enunciado, temos a figura abaixo, em que 0 , u , 8. y x A(0, 0) C(−1, 3) D(u, v) E(u, 0) F(t, v) B(8, 0)

a) Calculando as medidas de AEDF, em função de u:

Retat: 3y x y x y x 1 1 3 1 8 0 1 0 8 0 8 3 − = _→ 0 − = _→ = − v= 8−u e D u −u 3 8 3 ,     Como D(u, v) pertence à reta t:

Retaw: 3x 3x ou x x y y y y 1 1 3 1 0 0 1 0 0 1 3 − = _→ 0 = _→ = − = − t= −1v= − −u = u− 3 1 3 8 3 8 9     Como F(t, v) pertence à reta w:

e F u−8 −u 9 8 3 ,     b) Como S( )u u u , = −17 0 0 54 128 54 64 54

2 _{então o valor de u para o qual}

a área é máxima é o valor da abscissa do vértice da parábola represen-tada pela função acima.

No trapézio AEDF, temos: AE u ED v

u = ; = = 8−

3

DF=u0 t =u− (pois t , 0 e está no semi-eixo negativo das abscis-t sas) Área do trapézio: S (DF AE) ED 8u = 0 9 = 0 0 9 − 2 8 9 8 3 2 u u      S

(17u 8) (8 u) 17u2 128u = 0 9 − =− 0 0 54 64 54 u b a v= − = − − = − 9 − = 2 128 54 2 17 54 54 34 64 17         128 54 DF u u u = − −8 = 0 9 8 8 9

12

_{(UEL-PR) No gráfico abaixo, cada divisão dos eixos}

corresponde a uma unidade. A equação da reta que passa

por P e é perpendicular à reta r dada é:

a)

y

= −

x

0

4

3

38

3

b)

y

x

=

3

0

4

1

2

c)

y

= −

x

0

4

3

39

3

d)

y

=

x

0

3

4

9

4

e)

y

x

=

9

0

4

38

3

Sendo s a reta que passa por P(5, 6) e é perpendicular à reta r, então ms

= 3

4. A equação de s é:

A reta r corta os eixos coordenados em (3, 0) e (0, 4), sendo sua equação:

y P r 0 = 1 unidade x x y ou y x 1 3 0 1 0 4 1 0 12 0 4 3 = _{→ 4x}03y− = = − 04, cujo coeficiente angular é mr = − 4 3. y y x −6= 3 − = 0 4 3 4 9 4 (x 5) →

a) A reta que passa pelos pontos M(8, 6) e P(−8, −2) tem equação:

Logo, a altura do #MNP, relativa ao lado MP , é a distância do ponto N(−4, 10) à reta MP .

Logo, a mediana do #MNP, relativa ao vértice M, é a distância entre os pontos M e Q.

b) Seja Q o ponto médio do segmento NP .

1442443

13

_{(IBMEC) Considerando o triângulo MNP, sendo}

M(8, 6), N(−4, 10) e P(−8, −2), determine:

a) o valor da altura relativa ao lado

MP

;

b) o tamanho da mediana relativa ao vértice M.

x y x 1 8 6 1 8 2 1 0 4 0 − − = _→ −2y0 = d N MP, = _{( )} − − 9 0 0 − = = 4 2 10 4 1 2 20 5 4 5 2 2 xQ =−40 − = − 2 6 ( 8) yQ =100 − = 2 4 ( 2) X

Geometria Analítica: Pontos e Retas

M

19

15

_{(MACK-SP) A melhor representação gráfica dos}

pon-tos (x, y) do plano, tais que (x − y) 9 (x 0 y) , 0, é a parte

colorida da alternativa:

y x y x y x

a)

b)

c)

y x y x

d)

e)

X x − y . 0 e x 0 y , 0
ou x − y , 0 e x 0 y . 0  (x − y) 9 (x 0 y) , 0 Θ 14243

As soluções do sistema
são representadas por: y

x 0 y = 0

x 0

x − y = 0

Então, as soluções da inequação dada são representadas por: As soluções do sistema  são representadas por:

y x − y = 0 x 0 x 0 y = 0 x 0 y = 0 x − y = 0 y x 0

16

_(FGV-SP)

a) Represente os pontos do plano cartesiano que

satisfa-zem simultaneamente as relações x − y > 0 e x 0 y < 0.

b) Uma empresa fabrica uma peça de precisão em dois

modelos, A e B. O custo de produção de uma unidade

de A é R$ 200,00 e o de B é R$ 150,00. Por restrições de

orçamento, a empresa pode gastar por mês no máximo

R$ 45 000,00. A mão-de-obra disponível permite

fabri-car por mês no máximo 250 peças. Seja x a quantidade

produzida por mês de A e y a de B.

Represente graficamente os possíveis valores de x e y.

(Admita, para simplificar, que x e y assumam valores

reais não negativos.)

x − y > 0 x − y = 0 45) y x _{x 0} y < 0 x 0 y = 0 45) y x

A região do plano cartesiano que satisfaz simultaneamente as relações x − y > 0 e x 0 y < 0 é dada por:

x 0 y = 0 x − y = 0

45) 45) y

x

b) A partir do enunciado, com x > 0 e y > 0, temos:

x 0 y < 250 4x 0 3y < 900 x 0 y < 250 total de peças 200x 0 150y < 45 000 custo 123 123 → Então: y 250 250 x x 0 y = 250 x 0 y < 250 y 300 225 4x 0 3y = 900 4x 0 3y < 900 _x y x 250 250 300 225 (150, 100)

A região do plano cartesiano que satisfaz simultaneamente as relações x 0 y < 250, 4x 0 3y < 900, x > 0 e y > 0 é dada por:

M

19

Geometria Analítica: Pontos e Retas

17

_{(PUC-RJ) Qual a área do triângulo delimitado pelos}

pontos (0, 0), (2, 2) e (1, 3)?

S = 1 = − = 2 0 0 1 2 2 1 1 3 1 1 2 6 2 2 u.a. X

Para que as retas AB

u

u

r

e BP

u

u

r

sejam perpendiculares, devemos ter: m_AB . m_BP = −1 1 0 0 2 1 0 1 1 − − 9 − − = − = 0         → n m n 2m

Para que o triângulo de vértices A, B e P tenha área igual a 10, devemos ter:

S m n m m #= = − − = 0 = − 2 0 1 0 1 1 1 2 10→2 2n 20→ 2n 18  De
e , vem: 123 123

18

_{(UFU-MG) Considere, no plano cartesiano com}

ori-gem O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm

coorde-nadas (−1, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se M e N

são os pontos médios de i e p, respectivamente, a área

do triângulo OMN será igual a:

a)

5

3

u.a.

b)

8

5

u.a.

c) 1 u.a.

d)

3

2

u.a.

X

Se M é ponto médio de i, temos: xM = − 01 0 = − 2 1 2 yM = 004 = 2 2 1 44 2 44 3

A área do #OMN é dada por: Se N é ponto médio de p, temos:

xN = 002 = 2 1 yN = 400 = 2 2 Área = − = = 1 2 0 0 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 3 3 2u.a.

19

_{(PUC-RS) A representação que segue é das funções}

f

, g, definidas por f(x) = x

2

_{e g(x) = x 0 2. A área do}

triân-gulo cujos vértices são os pontos de intersecção das duas

curvas e o ponto (0, 0) é:

a) 1

b) 3

c) 4

d) 6

e) 8

y x 0 −2 2 4 6 8 10 −2 2 4 6 8 10 −4 −6 −8 −10 −4 −6 −8 −10

Logo, a área do triângulo com vértices nos pontos (−1, 1), (2, 4) e (0, 0) é: Os pontos de intersecção das curvas f(x) = x2 _{e g(x) = x 0 2 são obtidos}

por meio da resolução do sistema: y = x2 y = x 0 2 123 → y = x 2 x2 _{= x 0 2} 123 x = −1 e y = 1 ou x = 2 e y = 4 14243 → S S = − = = 0 0 1 1 1 1 2 4 1 2 6 2 → 3

20

_{(UFPB) Considere os pontos A(2, 0) e B(0, 1).}

De-termine o ponto P(m, n), com m e n negativos, de modo

que as retas

r

e

BP

u

ur

sejam perpendiculares e o triângulo

Geometria Analítica: Pontos e Retas

M

19

22

_{(MACK-SP) Na figura, temos os esboços dos}

gráfi-cos de y = 7x 0 1 e y = ax

3

_{. Se i é paralelo ao eixo}

horizontal, então a área do triângulo ABC é:

a)

1

4

d)

5

3

b)

7

4

e)

1

2

c)

3

8

y x 8 A B C X

Como A e C são pontos da reta w de equação y = 7x 0 1, então A(0, 1) e C(1, 8). y x 8 A(0, 1) b B(b, 1) C(1, 8) r ι

A área do triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 1), B 1 2,1     e C(1, 8) é:

O ponto C pertence à curva de equação y = ax3_{, portanto}

8 = a 9 13 _{→ a = 8.}

Os pontos A e B têm ordenadas iguais a 1, e B(b, 1) pertence à curva de equação y = ax3_: 1 1 8 1 2 3 3 =a b9 → = 9b →b= S#= = 9 0 − − = 1 2 0 1 1 1 2 1 1 1 8 1 1 2 1 4 1 1 2 7 4

21

_{(Fuvest-SP) Duas retas s e t do plano cartesiano se}

interceptam no ponto (2, 2). O produto de seus coeficientes

angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo y no ponto

(0, 3). A área do triângulo delimitado pelo eixo x e pelas

retas s e t é:

a) 2

X

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

A reta s, que passa pelos pontos (2, 2) e (0, 3), tem equação:

x y y x 1 2 2 1 0 3 1 0 1 2 3 = _→2x 60 −3x−2y=0_→x 2y0 −6=0 ou = − 0

Essa reta s tem coeficiente angular ms

= − 1

2 e intercepta o eixo das abscissas no ponto A(6, 0).

Sendo m_t9m_s= m_t = − = − 1 1 1 2 2 →

E a reta t que passa por (2, 2) e tem coeficiente angular −2 tem equação: y − 2 = −2(x − 2) → 2x 0 y = 6.

Essa reta t intercepta o eixo das abscissas no ponto (3, 0).

O triângulo APB pedido tem área:

Temos, então, o seguinte esboço da situação: y x H 2 (0, 3) Q s t P(2, 2) B(3, 0) A(6, 0) S BA PH APB # = 9 = 9 = 2 3 2 2 3

M

19

Geometria Analítica: Pontos e Retas

24

_{(Unesp-SP) Sejam A(2, 0) e B(5, 0) pontos do}

plano e r a reta de equação

y

x

=

2

.

a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce

o gráfico da reta r.

b) Se

C x

x

,

,

2









com x . 0, é um ponto da reta r, tal

que o triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C.

a) A reta r, de equação

y x =

2, passa, por exemplo, pelos pontos (0, 0) e (2, 1); então a representação gráfica pedida é:

y

x 1

r

A(2, 0) B(5, 0)

O ponto C tem coordenadas: C(8, 4). b) Se C x, x ,

2 

  com x . 0, é um ponto da reta r, tal que o triângulo ABC tem área 6, então:

y x A(2, 0) 3 x B(5, 0) A x x ABC # = 9 = = 3 2 2 6→ 8 C x, x 2     x 2

23

_{(ITA-SP) Num sistema de coordenadas cartesianas,}

duas retas r e s, com coeficientes angulares 2

e

1

2

,

res-pectivamente, se interceptam na origem O. Se B 7 r e

C 7 s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o

segmento p é perpendicular a r e a área do triângulo

OBC é igual a 12 9 10

−1

_{, então a distância de B ao eixo}

das ordenadas vale:

a)

8

5

b)

4

5

c)

2

5

d)

1

5

e) 1

X

De acordo com o enunciado, pode-se concluir que uma equação da reta r é y = 2x e uma equação da reta s é

y = 1

2x. Como B 7 r, se designarmos d (d . 0) a distância de B ao eixo das ordenadas, então o ponto B terá coordenadas d e 2d, ou seja, B(d, 2d). y x B(d, 2d) r s O(0, 0) y = 2x

Como C 7 s, se designarmos a (a . 0) a abscissa de C, então a sua orde-nada será a ou seja C a a

2, , , 2 .    A reta t tem coeficiente angular

− 1 2    , pois é perpendicular a r. Assim a a d a a d a e a : 2 1 2 2 2 4 − − = − − = − 0 = = 2d 4d 5d 5d → →

O triângulo OBC tem área igual a 12 10 12 10 6 5 1 9 − = = Assim d : 1 2 0 0 1 1 2 4 1 6 5 1 2 4 6 5 2d 5d 5d 5d 5d 2 2 = → − = −15d2 = 15d2 = = = (pois d.0) 4 12 5 4 12 5 16 25 4 5 2 → →d →d C a, a 2     y x = 1 2 .