Regras para escrever um modelo de ANOVA Experimentos balanceados

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Regras para escrever um modelo de ANOVA

Experimentos balanceados

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1. Regras para escrever o modelo

Servem para modelos hierárquicos e/ou cruzados. Devem ser utilizadas quando nenhuma intera¸cão é assumida ser igual a zero.

EXEMPLO 1. Experimento com 3 fatores A e B s˜ao fixos

C ´e aleat´orio

B é hierárquico em A A e C são cruzados

r observa¸c˜oes por casela A: ´ındice i

B: ´ındice j C: ´ındice k

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PASSO 1. Incluir a média geral populacional e um termo de efeito principal para cada fator, levando em considera¸cão o fato de um fator ser hierárquico em outro.

EXEMPLO 1: µ, α_i, β_j(i) e γ_k

PASSO 2. Incluir todos os termos de interacão exceto aque- les contendo o fator hierárquico e o fator dentro do qual ele é hierárquico.

EXEMPLO 1: (αγ)_ik

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PASSO 3. Intera¸cões entre um fator hierárquico e outro fator com o qual o fator hierárquico é cruzado são sempre hierárquicas.

EXEMPLO 1. (βγ)_jk(i)

PASSO 4. Incluir o termo de erro que ´e hier´arquico em todos os fatores.

EXEMPLO 1. e_l(ijk)

MODELO

y_ijkl = µ + α_i + β_j(i) + γ_k + (αγ)_ik + (βγ)_jk(i) + e_l(ijk),

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2. Regras para obter SQ e graus de liberdade

Supomos que m ≥ 2 e que nenhuma intera¸c˜ao ´e nula.

PASSO 1. Escrever a equa¸c˜ao do modelo.

EXEMPLO 1.

y_ijkl = µ + α_i + β_j(i) + γ_k + (αγ)_ik + (βγ)_jk(i) + e_l(ijk), i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k = 1, . . . , c e l = 1, . . . m.

PASSO 2. Para cada termo do modelo que não seja a média geral escreva a nota¸cão da SQ associada.

EXEMPLO 1. SQA, SQB(A), SQC, SQAC, SQBC(A), SQR

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PASSO 3. Cada SQ ter´a como coeficiente o produto dos limites dos ´ındices que n˜ao aparecem no termo do modelo. Se todos os

´ındices aparecem no termo do modelo o coeficiente ´e igual a 1.

EXEMPLO 1. SQB(A); Termo do modelo: β_j(i); Coeficiente: cm

PASSO 4. Cada SQ é a somatória de todos os ´ındices do termo do modelo, independentemente do ´ındice estar ou não entre parênteses.

EXEMPLO 1. SQB(A); Termo do modelo: β_j(i); Soma: ^P_i ^P_j

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PASSO 5. Formar o produto simbólico através dos ´ındices do termo do modelo, usando o ´ındice se ele está entre parênteses e o ´ındice menos um se ele não está entre parênteses. Expandir o produto.

EXEMPLO 1. SQB(A); Termo do modelo: β_j(i); Produto simb´olico: i(j − 1) = ij − i

PASSO 6. O termo t´ıpico a ser elevado ao quadrado consiste das médias das observa¸cões com os ´ındices correspondentes aos do produto simbólico e pontos nas demais posi¸cões. O sinal de cada média é aquele do produto simbólico. Um valor igual a 1 refere-se à média amostral geral.

EXEMPLO 1. SQB(A); Termo do modelo: β_j(i); Produto simb´olico: i(j − 1) = ij − i;

Termo a ser elevado ao quadrado: ¯y_ij.. − y¯_i...

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PASSO 7. A combina¸c˜ao dos passos de elevar ao quadrado, somar e multiplicar pelos coeficientes fornece a SQ apropriada.

EXEMPLO 1. SQB(A)=cm^P_i ^P_j(¯y_ij.. − y¯_i...)²

PASSO 8. Os graus de liberdade s˜ao obtidos substituindo-se em cada produto simb´olico o ´ındice por seu limite.

EXEMPLO 1. SQB(A); Termo do modelo: β_j(i); Produto simb´olico: i(j − 1); g.l.=a(b − 1)

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PASSO 9. A SQT é sempre definida como a soma sobre todas as observa¸cões dos quadrados dos desvios das observa¸cões em rela¸cão à média geral. O número de graus de liberdade associado

`

a SQT é sempre definido como o número total de observa¸cões menos 1.

EXEMPLO 1. SQT=^P_i ^P_j ^P_k ^P_l(y_ijkl − y¯_....)² g.l.=abcm − 1.

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Tabela 1. Obten¸c˜ao das SQ e g.l. para o Exemplo 1.

Termos do modelo SQ Coeficiente Soma

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α_i SQA bcm ^P_i

β_j(i) SQB(A) cm ^P_i ^P_j

γ_k SQC abm ^P_k

(αγ)_ik SQAC bm ^P_i ^P_k

(βγ)_jk(i) SQBC(A) m ^P_i ^P_j ^P_k

e_ijkl SQR 1 ^P_i ^P_j ^P_k ^P_l

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Tabela 1. Obten¸c˜ao das SQ e g.l. para o Exemplo 1 (continua¸c˜ao).

Termos do modelo SQ Produto Simb´olico

(1) (2) (5)

α_i SQA i − 1

β_j(i) SQB(A) i(j − 1) = ij − i

γ_k SQC k − 1

(αγ)_ik SQAC (i − 1)(k − 1) = ik − i − k + 1 (βγ)_jk(i) SQBC(A) i(j − 1)(k − 1) = ijk − ij − ik + i

e_ijkl SQR ijk(l − 1) = ijkl − ijk

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Termos do modelo SQ Termo ao quadrado

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α_i SQA y¯_i... − y¯_....

β_j(i) SQB(A) y¯_ij.. − y¯_i...

γ_k SQC ¯y_..k. − y¯_....

(αγ)_ik SQAC y¯_i.k. − y¯_i... − y¯_..k. + ¯y_....

(βγ)_jk(i) SQBC(A) ¯y_ijk. − y¯_ij.. − y¯_i.k. + ¯y_i...

e_ijkl SQR y_ijkl − y¯_ijk.

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Soma de quadrados SQ g.l.

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SQA bcmP

i(¯y_i... − y¯_....)² a − 1

SQB(A) cmP

i

P

j(¯y_ij.. − ¯y_i...)² a(b − 1)

SQC abmP

k(¯y_..k. − y¯....)² c − 1

SQAC bmP

i

P

k(¯y_i.k. − y¯_i... − ¯y_..k. + ¯y_....)² (a − 1)(c − 1)

SQBC(A) mP

i

P

j

P

k(¯y_ijk. − ¯y_ij.. − y¯_i.k. + ¯y_i...)² a(b − 1)(c − 1)

SQR P

i

P

j

P

k

P

l(y_ijkl − ¯y_ijk.)² abc(m − 1)

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3. Regras para obter E(QM)

Supomos que m ≥ 2 e que nenhuma intera¸c˜ao ´e nula.

PASSO 1. Escrever a equa¸c˜ao do modelo.

EXEMPLO 1.

y_ijkl = µ + α_i + β_j(i) + γ_k + (αγ)_ik + (βγ)_jk(i) + e_l(ijk), i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k = 1, . . . , c e l = 1, . . . m.

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PASSO 2. Para cada termo do modelo que não seja a média geral, escrever o termo de variância associado a efeitos aleatórios.

Notar que se os efeitos forem fixos, ao final iremos substituir os termos de variˆancia pelas somas de quadrados dos efeitos divididas pelos respectivos graus de liberdade.

EXEMPLO 1.

α_i β_j(i) γ_k (αγ)_ik (βγ)_jk(i) e_l(ijk)

σ_α² σ_β² σ_γ² σ_αγ² σ_βγ² σ²

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PASSO 3. Construir uma tabela, com as linhas consistindo dos termos do modelo que n˜ao sejam a m´edia geral.

EXEMPLO 1.

α_i β_j_(i)

γ_k (αγ)_ik (βγ)_jk(i)

e_l(ijk)

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PASSO 4. Os t´ıtulos das colunas da tabela s˜ao os ´ındices do modelo. Sob cada t´ıtulo, escrever F se o fator indexado pelo

´ındice é fixo; escrever A, se é aleatório. Escrever também o número de n´ıveis de cada fator.

EXEMPLO 1.

i j k l F F A A

a b c m

α_i β_j_(i)

γ_k (αγ)_ik (βγ)_jk(i)

e_l(ijk)

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PASSO 5. Em cada linha onde um ou mais ´ındices estão entre parênteses colocar o número 1 nas colunas correspondentes aos

´ındices nos parˆenteses.

EXEMPLO 1.

i j k l F F A A

a b c m

α_i

β_j_(i) 1 γ_k

(αγ)_ik

(βγ)_jk(i) 1

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PASSO 6. Em cada linha onde um ou mais ´ındices não estão entre parênteses colocar o número 1 nas colunas correspondentes aos ´ındices que não estão entre parênteses, se o ´ındice refere-se a um fator aleatório; colocar zero se o fator é fixo.

EXEMPLO 1.

i j k l F F A A

a b c m

α_i 0

β_j_(i) 1 0

γ_k 1

(αγ)_ik 0 1 (βγ)_jk(i) 1 0 1

e_l(ijk) 1 1 1 1

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PASSO 7. Preencha as caselas vazias com o n´umero de n´ıveis que aparece no t´ıtulo da coluna.

EXEMPLO 1.

i j k l F F A A

a b c m

α_i 0 b c m

β_j_(i) 1 0 c m

γ_k a b 1 m

(αγ)_ik 0 b 1 m (βγ)_jk(i) 1 0 1 m

e 1 1 1 1

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PASSO 8. Aumentar uma coluna na tabela colocando o termo de variˆancia associado ao efeito daquela linha. Adicionar uma coluna para cada E(QM) a ser encontrada. Sob cada E(QM), indicar todos os ´ındices (incluindo os parˆenteses) associados com o correspondente termo do modelo.

EXEMPLO 1.

i j k l E(QM)

F F A A A B(A) C AC BC(A) R

a b c m i j(i) k ik jk(i) l(ijk)

α_i 0 b c m σ_α² β_j(i) 1 0 c m σ_β² γ_k a b 1 m σ_γ² (αγ)_ik 0 b 1 m σ_αγ²

(βγ)_jk(i) 1 0 1 m σ_βγ²

e_l(ijk) 1 1 1 1 σ²

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PASSO 9. Para cada coluna de E(QM), o coeficiente de qual- quer termo de variância é zero se os ´ındices do termo do modelo naquela linha (entre parênteses ou não) não incluem todos os

´ındices do t´ıtulo da coluna da E(QM) (entre parˆenteses ou n˜ao).

EXEMPLO 1.

i j k l E(QM)

α_i 0 b c m σ_α² 0 0 0 0 0

β_j(i) 1 0 c m σ_β² 0 0 0 0

γ_k a b 1 m σ_γ² 0 0 0 0 0

(αγ)_ik 0 b 1 m σ_αγ² 0 0 0

(βγ)_jk(i) 1 0 1 m σ_βγ² 0

e 1 1 1 1 σ²

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PASSO 10. Os coeficientes dos termos de variância aos quais não foram designados zeros no PASSO 9 são obtidos como segue:

• Para cada coluna da E(QM), cobrir as colunas à esquerda correspondentes aos ´ındices que não estão entre parênteses no t´ıtulo da coluna E(QM).

• Multiplicar os valores das colunas restantes para cada linha considerada.

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EXEMPLO 1.

i j k l E(QM)

α_i 0 b c m σ_α² bcm 0 0 0 0 0

β_j(i) 1 0 c m σ_β² 0 cm 0 0 0 0

γ_k a b 1 m σ_γ² 0 0 abm 0 0 0

(αγ)_ik 0 b 1 m σ_αγ² bm 0 0 bm 0 0

(βγ)_jk(i) 1 0 1 m σ_βγ² 0 m 0 0 m 0

e_l(ijk) 1 1 1 1 σ² 1 1 1 1 1 1

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PASSO 11. A E(QM) iguala a soma de produtos de cada coeficiente pelo termo de variˆancia correspondente, com os termos de variˆancia para efeitos fixos substitu´ıdos pelas somas de quadrados dos efeitos divididas pelos correspondentes graus de liberdade.

EXEMPLO 1.

E(QMA) = bcm

P

i α²_i

a − 1 + bmσ_αγ² + σ²

E[QMB(A)] = cm

P i

P

j β²

j(i)

a(b − 1) + mσ_βγ² + σ²

E(QMC) = abmσ_γ² + σ², E(QMAC) = bmσ_αγ² + σ² E[QMBC(A)] = mσ_βγ² + σ², E(QMR) = σ²