TRAÇÃO E HOOKE

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TRAÇÃO E COMPRESSÃO - LEI DE HOOKE

1. CONCEITOS BÁSICOS

Considere-se uma barra de eixo retilíneo e seção transversal constante (barra prismática).

Solicitada por uma força axial F, figura 1.1, a barra se deforma e no seu interior manifestam-se esforços resistentes - as tensões - que se opõem às deformações e que se distribuem continuamente nas seções transversais da barra. A resultante das tensões é a força normal N que deve equilibrar a força F.

t \

I

+-- ^+--

FIGURA 1.1

Deste modo, estando a barra em equilíbrio tem-se:

JA

^crdA

⁼

^N

⁼

^{F ( 1.1)}

Observe-se que a equação (1.1) é apenas uma condição de equilíbrio. Ela não define o valor da tensão cr nos pontos da seção transversal.

Admitindo-se que as seções transversais inicialmente planas se mantenham planas e paralelas durante a deformação, todas as fibras longitudinais da barra (paralelas ao eixo) sofrem a mesma variação de comprimento. Neste caso, todos os pontos da seção transversal estão submetidos à mesma tensão cr. É equivalente dizer-se que a tensão se distribui uniformemente na seção transversal da barra.

Assim sendo, tem-se:

ir

crA = N =F ^(1.2) Embora utilizada para estudar as barras ou tracionadas ou comprimidas axialmente, esta hipótese ( cr = cte) só se verifica exatamente, para todas as seções transversais da barra, se a força aplicada em suas extremidades for uniformemente distribuída, figura 1.2.

Se a força aplicada for concentrada esta hipótese só se verifica para seções situadas a uma certa distância da extremidade da barra (a distância é igual à maior dimensão de seção transversal da barra).

F

mfm;'

FIGURA 1.2

Se a força F provocar alongamento na barra, a equação (1.2) caracteriza a

solicit~ção chamada tração uniforme.

Ao contrário, se a força F provocar encurtamento na barra, a equação ( 1.2) representa a solicitação chamada compressão uniforme.

2. RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO

A relação entre tensão e deformação é obtida experimentalmente em ensaios de tração realizados com corpos de prova padronizados.

Aplicando-se ao corpo de prova uma força F lentamente crescente, podem- se determinar, em cada instante, a tensão cr = (N/A) = (F/A) e a deformação

8 = !lf I

e.

Esses valores dispostos em gráfico originam o diagrama tensão x deformação (cr x 8) cuja forma depende, essencialmente, do material do corpo de prova ensaiado.

Para o aço, o diagrama tensão x deformação ( cr x e) é o representado esquematicamente na figura 2.1.

N F

( j : - = -

A A

FIGURA2.1

Neste diagrama o ponto (1) representa o limite de proporcionalidade crP. A deformação correspondente é ep· Para tensões cr menores que crp., isto é, cr :s; crP (e :s; ep), tensão e deformação seguem a lei de Hooke:

( j = :& (2.1)

O ponto (2) representa o limite de elasticidade cr ee. A deformação correspondente é

eee.

^{Para cr :s; cree (e :s;} eee), retirada a força a deformação se anula (corpo elástico).

O ponto (3) representa o limite superior de escoamento do material.

Quando cr ~ cr es ocorrem grandes deformações sem acréscimo apreciável de tensão.

O ponto (4) é o limite inferior de escoamento e o ponto (5) representa o fim do escoamento. O ponto (6) representa o limite de resistência do material.

Para o aço empregado em construções metálicas pode-se supor crp = cree = cres'o que corresponde, de certa forma, a adotar um diagrama (cr x e) simplificado.

Supondo então que na barra tracionada se tenha cr < crP, da equação (2.1) resulta:

donde

fif = Nf = Ff

EA EA

(2.2)

(2.3) Nesta expressão, recorde-se, F é a força aplicada à barra, f é o seu comprimento inicial, A é a área de sua seção transversal (suposta constante) e E é o módulo de elasticidade do material (módulo de Young).

Para o aço pode se adotar o valor de 2.1 00.000kgf/cm2 (21.000 kN/cm2).

Para a madeira pode-se supor o valor de 100.000kgf/cm2 (1000kN/cm2).

3. TENSÃO LIMITE E TENSÃO ADMISSiVEL

As estruturas devem ser dimensionadas de modo que as tensões em seus elementos não ultrapassem valores que possam comprometer o seu uso ou a sua durabilidade. Assim, deve-se garantir que a máxima tensão reinante nos elementos da estrutura não ultrapasse a tensão admissível do material. A tensão admissível ( cr) é definida como sendo uma parcela da tensão limite do material.

Então:

O coeficiente v que figura em (3.1) é chamado de coeficiente de segurança. O seu valor depende de muitos fatores e deve ser fixado de modo a cobrir, em princípio, todas as incertezas que se tem em relação ao cálculo da estrutura.

A tensão limite crlim é, de modo geral, a tensão de ruptura do material. No caso do aço, a tensão limite é a tensão de escoamento.

4. APLICAÇÕES NUMÉRICAS EXEMPLO 1

Uma barra prismática de aço deve suportar uma força de tração de 1 OOkN.

A tensão admissível do material é de 20kN/cm2. Deterrminar a· seção transversal da barra.

rÂ?---~-- ^{F :lOOkN}

A área da seção da barra deve ser determinada de modo que a tensão produzida pela força não supere a tensão admissível do material. Esta condição se exprime por:

N F

c r = - = - < c r , =cr

A A - max

Deste modo, tem-se

N 100

(J = - = - .::::; (J ' = 20

A A max

donde

O resultado A~ 5cm2 mostra, obviamente, que se deve adotar A= 5cm2.

Área menor qUe 5cm2 produz tensão que supera a admissível.

EXEMPLO 2

Uma barra prismática de aço tem seção transversal com área de 2cm2.

Sendo de 15kN/cm2 a tensão admissível do material, determinar a máxima força de tração que pode ser aplicada à barra.

A:2cm²

A;---:::::&.:-- /

^Fmáx

:rr77?"77

Para determinar a máxima força de tração usa-se a condição:

N F

a = - = - < a , =a

A A - max

Esta condição fornece

·N F

a

= - = -

^{~ a , .}

=

¹⁵

A 2 max

donde

F ~ 2xl5

=

30kN

O resultado F~ 30kN indica que se deve adotar

F

⁼ 30kN. Evidentemente, força maior que 30kN produz na barra tensão que ultrapassa a tensão admissível.

EXEMPLO 3

Uma barra de aço deve suportar uma força de tração de 48kN. A tensão de escoamento do material é de 24kN/cm2 (aes

=

alim). Determinar a área da seção transversal da barra impondo-se coeficiente de segurança v= 1 ,5.

Ã---:::::8...=--

^{F= 48 k N}

777'77"7'7

Sendo a tensão de escoamento igual a 24kN/cm2 e o coeficiente de segurança igual a 1 ,5, a máxima tensão que deve ocorrer na bara é dada por:

amáx

=

alim

=

aes

=

a

=

24

=

16kN I cm2

v v 1, 5

Assim, a área da seção da barra é obtida por N 48

a

= - = -

^~ a ,

=

16

A A max

donde

A~ 3cm2

Deste resultado conclui-se que a área da seção da barra deve ser de 3cm2 O coeficiente v = 1,5 mede a "distância" que separa a situação de serviço da estrutura. (barra) da situação limite. De fato, para atingir-se a situação limite, caracterizada pelo escoamento do material, é necessário majorar a força até 72kN (1 ,5x48) ou reduzir a área da seção da barra até 2,0cm2 (3/1 ,5).

EXEMPLO 4

Uma barra prismática de aço de comprimento

e

= 500cm e seção transversal de área A = 2cm2 é tracionada por uma força de 40kN. Sendo o módulo de elasticidade do material igual a 20.000kN/cm2. determinar o alongamento da barra e a sua deformação.

A=2cm²

/

!=500

1 1 1 ^F=40kN

:::8..:

f7TT77

A;

L

Admitindo-se que a tensão na barra não ultrapasse a tensão de proporcionalidade ( cr :::; crp), têm-se

\{ i .· •

~11! =

^N/!

=

^FI!

= 40x~J)0

/

=

^{O, Sem}

EA EA 20. 000x2.

111! O, 5

e

= - e = - soo =

^{O, 001}

= .

^{.Q, 1%}

5. EXERCiCIOS PROPOSTOS EXERCÍCIO 1

Para as barras esquematizadas na figura abaixo determinar a tensão cr, a deformação g, o alongamento l:lf e o deslocamento do ponto B. A seção transversal das barras é de 1 ,5cm2. Supor E=20.000kN/cm2.

A 8 lO kN

~---~~

/77777

5m

f

EXERCÍCIO 2

Para as barras das estruturas representadas abaixo, determinar a tensão cr, a deformação g, e o alongamento l:lf. Determinar também o deslocamento do ponto C. As barras AC e BC têm seção de 2cm2. A seção da barra DC é de 1 ,Ocm2. Supor E=20.000kN/cm2.

4m 4m 4m

EXERCÍCIO 3

O anel circular esquematizado na figura a seguir tem seção transversal quadrada de 1 ,Ocm2 e está solicitado por uma força radial uniformemente distribuída p=20kN/m. Determinar a tensão cr, a deformação 8, a variação de comprimento l:lf. e a variação l:lr. Supor E=20.000kN/cm2.

2m

EXERCÍCIO 4

As barras representadas nas figuras seguintes sofrem um acréscimo de temperatura de 4QOC. Determinar a tensão cr, a deformação g, o alongamento /lR e o deslocamento do ponto B. A área da seção transversal das barras é de 1 ,Ocm2.

Supor a= 1 Q-4fCO (Coeficiente de dilatação térmica) e E=20.000kN/cm2.

A 8 A 8

®

Â

/7777 ^::R_

d;; /Â w~:

^1,5cm

L 5m _{L l} 5m

+

1 1 1

EXERCÍCIO 5

A estrutura representada abaixo é composta de uma barra indeformável AC e por um tirante CO com A=2cm2 e E=20.000kN/cm2. Determinar o deslocamento vertical dos pontos A e C.

o

5kN/m lOkN

'_]m

fTTITJÍl In

A 8 ,~c

~'

^lm

l

^3m

l

^{1,5 I} ~ ^1,5

l

1 1 1 1

EXERCÍCIO 6

Determinar a área da seção transversal dos tirantes BE e CF de modo que os pontos A e D tenham o mesmo deslocamento vertical. A barra horizontal é indeformável. Para os tirantes supor E=20.000kN/cm2.

E

6m 30 kN

F-t

A 8

c o

14m

-+

l1m

l

^2m

l

^4m

l

^2m

^l

'I 'I 1 1 1

EXERCÍCIO 7

Determinar a área da seção transversal das barras das treliças de aço representadas abaixo. A tensão de escoamento do aço é de 40kN/cm2. Supor v=2.

~ ^lOicN

4m -+'---4_m _ _ +

EXERCÍCIO 8

Para as treliças mostradas abaixo determinar P de modo que a tensão nas barras não supere a tensão admissível. A tensão de escoamento do material das barras é de 42kN/cm2. Supor v=1 ,5 para as barras tracionadas e v=2 para as barras comprimidas. A área da seção transversal das barras é de 2cm2.

p p

3t~ ^3m~

^I

+-

1,5P

~

4m

l .

L ~ 4m

'

^{4m ~}

1 1 1 ^{1 1 2m 1} 4m

6. BIBLIOGRAFIA

BARBATO, R.L.A. Resistência dos Materiais- Notas de Aula, SET/EESC/USP, 1992.

BELLUZZI, O. Ciencia de la Construccion-Aguilar, Madrid, 1970. Vol. I.

LIMA, V.M.S. Resistência dos Materiais- Estudo das Tensões. EPUSP, 1964.

MORI, D.D. ; e outros. Exercícios Propostos de Resistência dos Materiais.

SET/EESC/USP, 1993.

MORI, D.D. ; e outros. Exercícios Resolvidos de Resistência dos Materiais.

SET/EESC/USP, 1993.

SCHIEL, F. Resistência dos Materiais, SET/EESC/USP, 1980.

SILVA Jr., Jayme Ferreira Resistência dos Materiais- Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1962.