01) Determine os valores das constantes a, b e c das funções abaixo:
R.Alpha(Aα) Toda função do segundo grau possui o formato: f(x) = ax² + bx + c. Determine os valores das constantes ‘a’, ‘b’ e ‘c’ nas funções abaixo:
a) f(x) = 2x² - 3x + 5 b) f(x) = 5x – x² Resposta:
O coeficiente ‘a’ é aquele que acompanha a incógnita x², ‘b’ acompanha x e ‘c’ é o coeficiente independente (aquele que está sozinho).
a) f(x) = 2x² - 3x + 5 b) f(x) = 5x – x² a = 2, b = -3, c = 5 a = -1, b = 5, c = 0
a) f(x) = 3x² + 6 + 2x b) f(x) = 9 – x² c) f(x) = x² + x
R.Beta(Ββ) Uma função do segundo grau é conhecida por ter o seu gráfico em forma de parábola. Quando o valor da constante ‘a’ é positivo, a parábola
possuirá concavidade voltada para cima; para o ‘a’ negativo, a concavidade será voltada para baixo.
Determine que tipo de concavidade as funções abaixo possuem. a) f(x) = 2x² - 3x + 5 b) f(x) = 5x – x²
Resposta:
a) f(x) = 2x² - 3x + 5 => Concavidade voltada para cima (a = 2) b) f(x) = 5x – x² => Concavidade voltada para baixo (a = -1)
02) Determine o tipo de concavidade as funções abaixo possuem.
03) A partir da função quadrática f(x) = - x² + 5x – 1, determine:
a) f(x) = 3x² + 6 + 2x b) f(x) = 9 – x² c) f(x) = x² + x
R.Delta(Δδ) A partir da função: f(x) = 2x² - x + 3, determine o que se pede: a) f(1) b) f(-3) c) f(0)
Resposta:
O valor que está dentro do parêntesis é o valor da incógnita ‘x’. Substitua os valores dados na função principal.
a) f(x) = 2x² - x + 3 b) f(x) = 2x² - x + 3 c) f(x) = 2x² - x + 3 f(1) = 2(1)² - (1) + 3 f(-3) = 2(-3)² - (-3) + 3 f(0) = 2(0)² - (0) + 3 f(1) = 2 – 1 + 3 f(-3) = 18 + 3 + 3 f(0) = 3
f(1) = 4 f(-3) = 24
a) f(-1) b) f(3) c) f(0,5)
R.Gamma(Γγ) Determine a função do segundo grau que passa pelos pontos: R(1, 5), S(-1, 7) e T(2, 10).
Resposta:
Substituiremos os três pontos dados na função: f(x) = ax² + bx + c; lembre-se que o primeiro valor dentro do parêntesis é o valor de ‘x’ e o segundo é o ‘f(x)’. i) Ponto R(1, 5) => x = 1 e f(x) = 5
f(x) = ax² + bx + c 5 = a(1)² + b(1) + c
a + b + c = 5 (Equação 1)
04) Determine a função do segundo grau que passa pelos pontos: ii) Ponto S(-1, 7) => x = -1 e f(x) = 7 f(x) = ax² + bx + c 7 = a(-1)² + b(-1) + c a - b + c = 7 (Equação 2) iii) Ponto T(2, 10) => x = 2 e f(x) = 10 f(x) = ax² + bx + c 10 = a(2)² + b(2) + c 4a + 2b + c = 10 (Equação 3)
Resolva o sistema triplo encontrado: a + b + c = 5 (Eq. 1)
a - b + c = 7 (Eq. 2) => a = 2, b = -1, c = 4 4a + 2b + c = 10 (Eq. 3)
A função procurada é: f(x) = 2x² - x + 4
a) J(0, 1), K(1, 1), L(-1, 3) b) P(1, - 4), Q(-1, 2), R(-2, 2)
R.Mu(Μμ) Determine a função do segundo grau que está representada pelo gráfico a seguir:
Resposta:
O método de resolução é igual ao da questão anterior, antes precisaremos identificar 3 pontos no gráfico acima, são eles: D(0, 2), E(1, 2), F(2, -2). i) Ponto D(0, 2) => x = 0 e f(x) = 2
f(x) = ax² + bx + c 2 = a(0)² + b(0) + c c = 2 (Equação 1)
ii) Ponto E(1, 2) => x = 1 e f(x) = 2 f(x) = ax² + bx + c 2 = a(1)² + b(1) + c a + b + c = 2 (Substitua: c = 2) a = - b (Equação 2) iii) Ponto F(2, -2) => x = 2 , f(x) = -2 e c = 2 f(x) = ax² + bx + c -2 = a(2)² + b(2) + 2
05) Determine a função representada pela parábola abaixo: 4a + 2b = - 4 (Substitua: a = - b) 4(-b) + 2b = - 4 - 2b = - 4 b = 2 iv) a = - b a = - 2 A função procurada é: f(x) = - 2x² + 2x + 2
R.Theta(Θθ) Determine as raízes da função: f(x) = x² - 5x + 6. Resposta:
As raízes de uma função são os pontos em que a parábola intercepta o eixo x (eixo horizontal), nesses pontos o valor de f(x) é sempre igual a zero.
f(x) = x² - 5x + 6 0 = x² - 5x + 6
06) Determine as raízes (se existir) de cada uma das funções abaixo:
a) f(x) = - x² + 2x + 15 b) f(x) = x² - 4x + 4 c) f(x) = - x² + 4x - 5 Usaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar essas raízes:
𝐱 =
−𝐛±√𝚫𝟐𝐚
,
onde: 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜
Primeiro determinaremos o valor de delta (Δ): Δ = b² - 4ac = (5)² - 4(1)(6) = 25 – 24 = 1
Para achar o valor das raízes:
𝐱 =
−𝐛±√𝚫 𝟐𝐚=
−(−𝟓)±√𝟏 𝟐(𝟏)=
𝟓±𝟏 𝟐A duas raízes da equação são: x’ = 3 e x’’ = 2
R.Omega(Ωω) O número de raízes que uma função do segundo grau pode admitir está relacionado com o valor do delta (Δ):
- Quando Δ for positivo (> 0), a função possuirá 2 raízes reais e distintas. - Quando Δ for nulo (= 0), a função possuirá somente 1 raiz real.
07) Responda o que se pede:
a) O que podemos afirmar sobre uma função do segundo grau que possui o valor de delta igual a zero?
b) O que podemos afirmar sobre uma função do segundo grau que possui o valor de delta igual a 7?
c) O que podemos afirmar sobre uma função do segundo grau que possui o valor de delta igual a - 7?
08) Determine o valor de ‘m’ para que a função f(x) = x² + 8x + 2m – 6 possua somente 1 raiz real.
R.Lambda(Λλ) Determine as coordenadas do vértice da função quadrática: f(x) = x² - 3x + 2.
Resposta:
As coordenadas do vértice de uma função do segundo grau podem ser achadas através das fórmulas a seguir:
Xv = −𝐛
𝟐𝐚
,
Yv =−𝚫 𝟒𝐚
Achando a coordenada ‘x’ do vértice (Xv): Xv = −𝐛𝟐𝐚
=
−(−𝟑)𝟐(𝟏)=
𝟑𝟐Achando a coordenada ‘y’ do vértice (Yv):
Yv = −𝚫 𝟒𝐚
=
−(𝐛𝟐 −𝟒𝐚𝐜) 𝟒𝐚=
−((−𝟑)𝟐 −𝟒(𝟏)(𝟐)) 𝟒(𝟏)=
−(𝟗−𝟖) 𝟒=
−𝟏 𝟒09) Determine as coordenadas do vértice das funções abaixo:
a) f(x) = - x² + 2x + 15 b) f(x) = x² - 4x + 4 c) f(x) = - x² + 4x - 5
10) A partir do gráfico ao lado, determine:
a) O valor de f(2).
b) Os valores de ‘x’ quando f(x) = - 5. c) As raízes da função.
d) As coordenadas do vértice.
RESPOSTAS: Letras Gregas
1) a) a = 3, b = 2, c = 6 b) a = -1, b = 0, c = 9 c) a = 1, b = 1, c = 0
2) a) Concavidade p/ cima (a = 3) b) Conc. p/ baixo (a = -1) c) Conc. p/ cima (a = 1)
3) a) f(-1) = -7 b) f(3) = 5 c) f(0,5) = 1,25
4) a) f(x) = x² - x + 1 b) f(x) = - x² - 3x
5) Pontos: (0, 16), (2, 4), (4, 0); f(x) = x² - 8x + 16
6) a) 5 e -3 b) 2 e 2 c) Nenhuma raiz real
7) a) Possuirá 1 raiz real b) Possuirá 2 raízes reais e distintas c) Não possuirá raízes reais
8) Δ = 0; m = 11
9) a) V(1, 16) b) V(2, 0) c) V(2, -1)
