Cálculo 4. Sequências e Séries Fuja do Nabo P1,3+,

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Cálculo 4

Sequências e Séries Fuja do Nabo – P1

,3+,

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1 Resumo da Teoria

1. Sequências numéricas

Uma sequência numérica pode ser definida como um conjunto de números que obedecem uma certa “regra”. Essa “regra” é chamada de lei de formação da sequência.

1, 2, 4, 8 … → 𝑎₎ = 2⁾ → Lei de formação da sequência

Uma propriedade importante das sequências é sua convergência. Define-se:

Se lim

)→.𝑎₎ = 𝐿 → 𝑎₎ converge para 𝐿. Caso contrário, 𝑎₎ diverge.

Teorema da Sequência Monótona:

Dada uma sequencia 𝑎₎:

Se 𝑎₎ for crescente (𝑎₎₂₃ > 𝑎₎) e limitada superiormente 𝑎₎ ≤ 𝑀, 𝑀 ∈ 𝑅, então 𝑎₎ é convergente.

Se 𝑎₎ for decrescente (𝑎₎₂₃ < 𝑎₎) e limitada inferiormente 𝑎₎ ≥ 𝑀, 𝑀 ∈ 𝑅, então 𝑎₎ é convergente.

2. Séries Numéricas

Uma série pode ser definida matematicamente como ^._)<=𝑎₎. Assim, a série é simplesmente a soma de todos os termos de uma dada sequência 𝑎₎.

Sendo a série um somatório, este somatório pode tanto convergir como divergir.

Ou seja, a soma pode estourar para infinito ou tender até um certo número.

Existem critérios que nos ajudam a determinar a convergência de uma série.

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Critério do Termo Geral:

Dada uma série ^._)<=𝑎₎. Se lim

)→.𝑎₎ ≠ 0, então ^._)<=𝑎₎ diverge.

Vale ressaltar que este critério vale para qualquer série. Outros critérios, como os próximos quatro, funcionam apenas para séries de termos positivos.

Critério da Raiz:

Dada uma série de termos positivos ^._)<=𝑎₎. Seja 𝐿 = lim

)→. ^@ 𝑎₎ 𝐿 > 1 → ^._)<=𝑎₎ diverge

𝐿 < 1 → ^._)<=𝑎₎ converge

𝐿 = 1 → Nada podemos afirmar Critério da Razão:

Dada uma série de termos positivos ^._)<=𝑎₎. Seja 𝐿 = lim

)→.

A_@BC A_@

𝐿 > 1 → ^._)<=𝑎₎ diverge 𝐿 < 1 → ^._)<=𝑎₎ converge

𝐿 = 1 → Nada podemos afirmar Critério da Integral:

Dada uma série de termos positivos ^._)<3𝑎₎, com 𝑎₎ obedecendo as seguintes propriedades:

→ 𝑎₎ é decrescente

→ O termo de geral de 𝑎₎ vai à zero lim

)→.𝑎₎ = 0

Definimos uma função 𝑓(𝑥) de tal forma que 𝑓 𝑛 = 𝑎₎

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Se ₃^.𝑓 𝑥 𝑑𝑥 converge → ^._)<3𝑎₎ converge Se ₃^.𝑓 𝑥 𝑑𝑥 diverge → ^._)<3𝑎₎ diverge Critério da Comparação (no limite):

Dadas duas séries de termos positivos ^._)<=𝑎₎ e uma série que conhecemos de antemão ^._)<=𝑏₎. Seja 𝐿 = lim

)→.

A_@ I_@

Caso 1 → 𝒃_𝒏 converge 𝐿 = 0 → ^._)<=𝑎₎ converge 0 < 𝐿 < ∞ → ^._)<=𝑎₎ converge 𝐿 = ∞ → Nada pode-se afirmar Caso 2 → 𝒃_𝒏 diverge

𝐿 = 0 → Nada pode-se afirmar 0 < 𝐿 < ∞ → ^._)<=𝑎₎ diverge 𝐿 = ∞ → ^._)<=𝑎₎ diverge

Além das séries de termos positivos, temos as séries de termos alternados, definidas matematicamente por ^._)<= −1 ⁾𝑎₎. Para estudar a convergência destas, utilizamos o Critério de Leibniz.

Critério de Leibniz:

Dada uma série de termos alternados ^._)<= −1 ⁾𝑎₎.

Se 𝑎₎ for decrescente (𝑎₎₂₃ < 𝑎₎) e tender à zero lim

)→.𝑎₎ = 0 , então

−1 ⁾𝑎₎

.)<= converge.

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Nomenclatura de Séries:

Dada uma série de termos quaisquer ^._)<=𝑎₎.

Se ^._)<=|𝑎₎| converge, então ^._)<=𝑎₎ também converge e dizemos que ^._)<=𝑎₎ é absolutamente convergente, pois converge com e sem o módulo.

Se ^._)<=|𝑎₎| diverge, nada podemos afirmar sobre a convergência de ^._)<=𝑎₎. Se ^._)<=𝑎₎ converge, mas _)<=^. |𝑎₎| diverge, então dizemos que ^._)<=𝑎₎ é parcialmente convergente ou que converge condicionalmente .

3. Séries de Potências

Uma série de potências pode ser vista como uma série da forma ^._)<=𝑐₎ 𝑥 − 𝑥₌ ⁾.

Ao lidarmos com essas séries, queremos descobrir seu intervalo de convergência 𝐼. Ou seja, queremos saber para quais valores de 𝑥 a série converge. A propriedade mais importante destas séries é a seguinte:

O intervalo 𝐼 é sempre simétrico em relação a 𝑥₌, sendo, pelo menos, da forma 𝐼 = ]𝑥₌ − 𝑅; 𝑥₌ + 𝑅[ onde 𝑅 ≥ 0. Neste caso, 𝑅 é chamado de raio de convergência da série. Um resultado muito útil é o seguinte:

Dada uma série de potências da forma ^._𝒏<𝟎𝒄_𝒏 𝒙 − 𝒙_𝟎 ^𝒏. Definimos 𝑳 =

𝒏→.𝐥𝐢𝐦

𝒄_𝒏B𝟏

|𝒄_𝒏| . Prova-se que 𝑹 = ^𝟏_𝑳

Séries de potências que não sejam da forma ^._)<=𝑐₎ 𝑥 − 𝑥₌ ⁾ precisam ser analisadas de outra forma!

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5 Exercícios

1. Sequências numéricas

Lista P1 – 2017, Questão III

Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando seu limite no caso de convergente.

a) 0,

³_{_}

,

^__`

,

^`_a

,

^a_b

⁾²³₎ ⁾

j

l) 𝑎

₎

=

⁾²³₎ ⁾

m) 𝑎

₎

=

_b)233^`)2b ⁾

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6 2. Séries Numéricas de termos positivos

Lista P1 – 2017, Questão XII

É convergente ou divergente? Justifique!

a)

^._)<` ₎³_j_la

b)

^._{)<_}^{mnopmh )}₎_j

c)

^q

@C

)^jla .)<3

d)

^._)<3 ^{_) !}_)! _j

e)

^._{)<_}^{kh )}₎

f)

^._)<3

1 − cos

₎³

g)

^._{)<_}^{kh )}₎_j

h)

^._{)<_} _{kh )}³ _@

i)

^._)<3 _{kh _}⁾^e _@

j)

^._{)<_}

𝑛 ln

⁾²³₎

k)

4. Séries de Potências

Lista P1 – 2017, Questão XVI

Determine o máximo intervalo de convergência de cada uma das séries de potência abaixo:

a)

^._)<3_a⁾_@

𝑥

⁾

b)

^._)<3

𝑛! 𝑥

⁾

c)

^._)<3 ^l3 ^@vC_)`_@^wlb ^@

d)

^._)<3 ³⁼_{_) !}^@

𝑥 − 7

⁾

e)

^._)<3 _{)23 kh}^w23_j ^@₎₂₃

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8 Gabarito:

1. a) Converge para 1 b) Diverge

c) Converge para

^𝟏_𝟒

d) Converge para 0 e) Converge para

^𝟐_𝟓