UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS DE PROTENSÃO EM UMA LAJE COGUMELO COM PROTENSÃO ADERENTE

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS DE PROTENSÃO EM UMA LAJE COGUMELO COM PROTENSÃO ADERENTE

Thainá Pölzl

2020

MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS DE PROTENSÃO EM UMA LAJE COGUMELO COM PROTENSÃO ADERENTE

Thainá Pölzl

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Prof. Benjamin Ernani Diaz

Rio de Janeiro

Dezembro de 2020

MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS DE PROTENSÃO EM UMA LAJE COGUMELO COM PROTENSÃO ADERENTE

Thainá Pölzl

PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinado por:

Prof. Benjamin Ernani Diaz, Dr. Eng.

Prof.ª Flávia Moll de Souza Judice, D. Sc.

Prof. Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

DEZEMBRO DE 2020

Pölzl, Thainá

Métodos para Determinação dos Esforços Hiperestáticos de Protensão em uma Laje Cogumelo com Protensão Aderente/ Thainá Pölzl. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2020.

XVII, 94 p.:il.; 29,7 cm.

Orientador: Benjamin Ernani Diaz

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Civil, 2020.

Referências Bibliográficas: p. 74-76

1. Concreto Protendido 2. Esforços Hiperestáticos de Protensão 3. Laje Cogumelo.

I. Diaz, Benjamin Ernani; II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III.

Métodos para Determinação dos Esforços Hiperestáticos de

Protensão em uma Laje Cogumelo com Protensão Aderente.

DEDICATÓRIA

À minha irmã, Clara.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, por ter me guiado até este momento e me ajudado ao longo da minha trajetória.

À minha irmã, Clara, pessoa mais incrível que eu conheço e que dá o real sentido à palavra fraternidade. Obrigada por todo o carinho e cumplicidade.

Aos meus pais, Rosângela e Marcos, por sempre me apoiarem a realizar meus sonhos e pelo suporte durante a vida acadêmica.

Aos meus avós, Pedro, Amanda, Kurt e Brazina, por me mostrarem a importância da educação e por investirem em mim. Provavelmente eu não teria as mesmas conquistas sem a presença de vocês.

Agradeço à Ana Paula, um presente que a UFRJ me deu e que levarei para a vida.

Obrigada por todo o carinho, pelas risadas, pela compreensão com os furos nos finais de semana e por compartilhar os sufocos durante a formação e início da vida profissional.

Ao meu orientador, Ernani Diaz, que sempre foi muito solícito e disposto a me ensinar. Obrigada pela simpatia, por me receber nos finais de semana para me guiar durante todo o trabalho e por me inspirar profissionalmente e como pessoa. Às professoras, Flávia Moll e Mayra Perlingeiro, por aceitarem participar da banca e pelas sugestões e comentários feitos que ajudaram a aprimorar o texto.

Agradeço também à Raissa L. S. de Toledo pelo auxílio durante a modelagem computacional e por me ensinar ferramentas sem as quais o desenvolvimento do trabalho não seria possível.

Aos profissionais da Casagrande Engenharia e da SEEL Engenharia que muito me ensinaram durante o período de estágio.

Por fim, agradeço à UFRJ, que me forneceu educação gratuita e de excelência, e

a todos os professores que me ensinaram a técnica da profissão, me inspiraram e me

mostraram que é possível aprender tudo o que quisermos. Tenho muito orgulho de ter me

formado nesta instituição e espero contribuir para seu crescimento.

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Civil.

MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS DE PROTENSÃO EM UMA LAJE COGUMELO COM PROTENSÃO ADERENTE

Thainá Pölzl

Dezembro/2020 Orientador: Benjamin Ernani Diaz

A utilização de lajes em concreto protendido como solução estrutural já é usual no país, especialmente no projeto de estruturas de edificações de shoppings. O projeto exige uma análise cuidadosa dos esforços gerados pela protensão, sobretudo quando não há simetria e regularidade no projeto de arquitetura. Uma das complexidades do problema advém da necessidade de determinação dos esforços hiperestáticos de protensão, também denominados esforços secundários na literatura norte-americana, que são provocados em parte pelas reações de apoio induzidas pela tendência de deformação da estrutura estaticamente indeterminada com o tensionamento dos cabos protendidos. O método das cargas equivalentes é considerado por alguns autores como o mais apropriado para o cálculo dos esforços de protensão, porém esta metodologia se torna de difícil aplicação prática por conta da geometria irregular dos pavimentos. Este trabalho efetua um estudo comparativo com vários métodos para determinação das solicitações de protensão, como a modelagem física dos cabos da estrutura, a substituição desses por cargas equivalentes e um método alternativo que utiliza deformações e curvaturas calculadas pela teoria de membranas e placas para simular o efeito da protensão. O estudo foi feito mediante a análise de um modelo em elementos finitos num programa comercial de uma laje cogumelo protendida com cordoalhas aderentes. O pavimento utilizado como exemplo possui quatro vãos em cada direção, cujos comprimentos são de 6,5 m e 8,0 m para os vãos externos e internos, respectivamente. Todos os métodos forneceram resultados com boa precisão no que diz respeito à ordem de grandeza dos valores e ao comportamento dos diagramas de esforços.

Palavras-chave: Concreto Protendido. Esforços Hiperestáticos de Protensão. Laje

Cogumelo.

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the Engineer degree.

METHODS FOR THE DETERMINATION OF PRESTRESSING HYPERSTATIC FORCES IN A MUSHROOM SLAB WITH BONDED PRESTRESSING

Thainá Pölzl

December/2020

Advisor: Benjamin Ernani Diaz

The use of prestressed concrete slabs as a structural solution is usual in Brazil, especially in the design of shopping mall building structures. The project requires a careful analysis of the internal forces caused by prestressing, mainly when there is no symmetry and regularity in the architectural design. One of the complexities of the problem comes from the need to determinate the hyperstatic internal forces, also designated as secondary internal forces by the American technical literature, which are imposed in part by the reaction forces induced by the deformation of the hyperstatic structure, caused by the prestressing action. The equivalent load method is generally considered as the most appropriate procedure for their determination. However, this method is very laborious to be applied in an irregular slab geometry. This work presents a comparative study of different methods for determining the internal forces due to prestressing, such as, the physical modeling of the cables, the application of equivalent loads and an alternative method that applies deformations and curvatures obtained by the membrane and plate theory, to simulate the prestressing effects. The study is performed with the help of a finite element model of a mushroom slab with bonded strands created by a commercial program. The floor, used as an example, has four spans in both directions. The external and internal spans are 6.5 m and 8 m long, respectively. All the studied methods led to adequate results, regarding numerical values and behavior of the corresponding diagrams.

Keywords: Prestressed Concrete. Hyperstatic Internal Forces. Mushroom Slab.

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ... ix

LISTA DE TABELAS ... xvi

LISTA DE SÍMBOLOS ... xvii

1 INTRODUÇÃO ...1

1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO ...1

1.2 OBJETIVO E METODOLOGIA ...3

1.3 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO...4

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...5

2.1 CONCEITOS GERAIS ...5

2.2 ESFORÇOS DE PROTENSÃO ...7

2.3 MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS DE PROTENSÃO ...9

2.3.1 Método 1: modelagem física dos cabos ...9

2.3.2 Método 2: cargas equivalentes ...11

2.3.3 Método 3: deformações e curvaturas ...13

2.4 PROCEDIMENTOS PARA SEPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DE PROTENSÃO ...16

3 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA ...19

3.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA ...19

3.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE ...21

3.3 APLICAÇÃO DO MÉTODO 1 ...22

3.4 APLICAÇÃO DO MÉTODO 2 ...25

3.5 APLICAÇÃO DO MÉTODO 3 ...27

3.6 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS ...28

4 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA LAJE ...31

4.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA ...31

4.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE ...35

4.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LAJE (PROCESSO APROXIMADO) ...37

4.4 APLICAÇÃO DO MÉTODO 1 ...38

4.5 APLICAÇÃO DO MÉTODO 2 ...48

4.6 APLICAÇÃO DO MÉTODO 3 ...57

4.7 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS ...61

4.8 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS (QUANTO À DIFICULDADE DE APLICAÇÃO) ...67

4.9 CRÍTICA SOBRE O MÉTODO APROXIMADO UTILIZADO NO PRÉ- DIMENSIONAMENTO (SECTION CUT) ...68

4.10 COMENTÁRIOS ADICIONAIS ...69

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ...72

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...74

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ...76

APÊNDICE A – MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA ...77

APÊNDICE B – CÁLCULO DAS CURVATURAS NA VIGA ...81

APÊNDICE C – TRAÇADO DOS CABOS DA LAJE EM ELEVAÇÃO ...83

APÊNDICE D – CÁLCULO DAS CARGAS EQUIVALENTES DA LAJE ...85

APÊNDICE E – CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES E CURVATURAS DA LAJE

...89

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Montagem de laje lisa com cabos de protensão no interior de bainhas metálicas – Sistema aderente (BAUSCHER, 2018). ...1 Figura 1.2 - Laje lisa com capitéis. (JAISAN, 2020). ...2 Figura 2.1 – Procedimento de pré-tração (a) Cabos tensionados entre ancoragens externas (b) Concreto moldado e curado (c) Cabos liberados e tensão transferida (GILBERT et al., 2017). ...5 Figura 2.2 - Procedimentos de pós-tração aderente (a) Concreto moldado e curado (b) Cabos tracionados e protensão transferida (c) Cabos ancorados e injetados. (Adaptada de GILBERT et al., 2017). ...6 Figura 2.3 - Monocordoalha engraxada. ...6 Figura 2.4 – Momentos induzidos pela protensão em uma viga contínua (a) Excentricidade do cabo em relação ao centroide (b) Momento isostático (c) Momento hiperestático devido às reações hiperestáticas (d) Momento total de protensão. ...8 Figura 2.5 - Cargas equivalentes para vãos de extremidade (Adaptado de EMERICK, 2005). ...11 Figura 2.6 – Cargas equivalentes para vãos internos (Adaptado de EMERICK, 2005)..13 Figura 2.7 - Simbologia e convenção dos esforços para membranas e placas (Adaptado das definições do programa empregado). ...15 Figura 3.1 -Seção transversal da viga celular com eixos locais de referência (dimensões em cm). ...19 Figura 3.2 - Elevação da viga celular com eixos locais de referência (dimensões em cm).

...20

Figura 3.3 – Numeração das barras até o eixo de simetria da viga. ...21

Figura 3.4 – Eixos globais e locais da viga. ...22

Figura 3.5 – Modelo inicial da viga hiperestática - Método 1 – Cabos modelados

fisicamente como frames. ...22

Figura 3.6 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de

apoio na viga hiperestática (em kN) – Método 1...23

Figura 3.7 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m) e reações

de apoio na viga isostática (em kN) - Método 1 ...23

Figura 3.8 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) -

Método 1 – Procedimento B. ...24

Figura 3.9 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações hiperestáticas

em kN - Método 1 - Procedimento A. ...24

Figura 3.10 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) -

Método 1 – Procedimento A. ...24

Figura 3.11 - Modelo inicial da viga hiperestática - Método 2 – Cabos substituídos por

carregamento equivalente (em kN.m). ...25

Figura 3.12 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de

apoio na viga hiperestática (em kN) - Método 2. ...26

Figura 3.13 - Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kNm) e

reações de apoio na viga isostática (em kN) - Método 2. ...26

Figura 3.14 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) -

Método 2 – Procedimento B. ...26

Figura 3.15 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações

hiperestáticas (em kN) - Método 2 – Procedimento A. ...27

Figura 3.16 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) -

Método 2 – Procedimento A. ...27

Figura 3.17 - Modelo inicial da viga hiperestática - Método 3 – Cabos substituídos pela

aplicação de curvaturas. ...27

Figura 3.18 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) e

forças hiperestáticas (em kN) - Método 3. ...28 Figura 3.19 – Sobreposição dos diagramas de momentos hiperestáticos de protensão obtidos por diferentes metodologias. ...29 Figura 4.1 - Planta baixa da laje protendida com eixos globais e locais de referência (dimensões em cm). ...33 Figura 4.2 - Corte A-A’ com eixos globais e locais de referência (dimensões em cm). .33 Figura 4.3 – Disposição dos cabos em planta e número de cordoalhas de cada cabo (dimensões em cm). ...34 Figura 4.4 – Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Vista 3D).

...35 Figura 4.5 – Eixos globais e locais do programa no trecho central da laje com a representação do capitel...36 Figura 4.6 - Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Plano XY).

...36 Figura 4.7 – Modelo geral de análise da laje com eixo globais de referência (Plano XZ).

...37

Figura 4.8 – Seções de dimensionamento em que foi utilizado o Section Cut...38

Figura 4.9 - Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL- Método 1 – Cabos

modelados como tendons - Vista 3D. ...39

Figura 4.10 – Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL - Método 1 – Cabos

modelados como tendons - Plano XY. ...40

Figura 4.11 – Exemplo de definição do cabo de protensão da laje na direção X. ...40

Figura 4.12 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje

na direção 1 (M11) - MODINICIAL - Método 1. ...41

Figura 4.13 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão em (em kN.m/m) na

laje na direção 2 (M22)- MODINICIAL - Método 1. ...41

Figura 4.14 – Reações de apoio nos pilares da laje (em kN) devidas ao carregamento de

protensão - MODINICIAL - Método 1. ...42

Figura 4.15 – Modelo da laje isostática externamente com engastamento central -

MODISO REAÇÕES – Método 1 – Vista 3D. ...43

Figura 4.16 – Modelo da laje isostática externamente com carregamento das reações de

apoio dos pilares - MODISO REAÇÕES – Método 1 – Vista 3D. ...43

Figura 4.17 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos em (em kN.m/m) devido às

reações de apoio dos pilares na direção 1 (M11) - MODISO REAÇÕES - Método 1 –

Procedimento A. ...44

Figura 4.18 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos em (em kN.m/m) devidos às

reações de apoio dos pilares na direção 2 (M22) -MODISO REAÇÕES - Método 1 –

Procedimento A. ...44

Figura 4.19 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m/m) na

laje na direção 1 (M11)- MODISO CABOS - Método 1. ...45

Figura 4.20 - Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m/m) na

laje na direção 2 (M22)- MODISO CABOS - Método 1. ...45

Figura 4.21 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje

na direção 1 (M11) – (MODISO CABOS + MODISO REAÇÕES) - Método 1. ...46

Figura 4.22 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) – (MODISO CABOS + MODISO REAÇÕES) - Método 1. ...47

Figura 4.23 - Momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na direção 1

(M11) – (MODINICIAL -MODISO CABOS)- Método 1 – Procedimento B. ...47

Figura 4.24 – Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje

na direção 2 (M22) – (MODINICIAL -MODISO CABOS) - Método 1 – Procedimento

B. ...48

Figura 4.25 - Carregamento equivalente por área (em kN/m²) devido aos cabos

concentrados na direção X. ...51

Figura 4.26 – Carregamento equivalente por área em (kN/m²) devido aos cabos

distribuídos na direção Y. ...51

Figura 4.27 – Cargas equivalentes concentradas (em kN) devidas aos cabos nas

ancoragens – Plano XY. ...52

Figura 4.28 - Carregamento equivalente concentrado (em kN) devido aos cabos nas

ancoragens – Plano XZ. ...52

Figura 4.29 - Carregamento equivalente concentrado (em kN) devido aos cabos nas

ancoragens – Plano YZ. ...52

Figura 4.30 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) - MODINICIAL - Método 2. ...53

Figura 4.31 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) - MODINICIAL - Método 2. ...53

Figura 4.32 - Modelo da laje isostática externamente com carregamento das reações de

apoio dos pilares - MODISO REAÇÕES – Método 2 – Vista 3D. ...54

Figura 4.33 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) devido às

reações de apoio dos pilares na direção 1 (M11) - MODISO REAÇÕES - Método 2 –

Procedimento A. ...55

Figura 4.34 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) devido às

reações de apoio dos pilares na direção 2 (M22) - MODISO REAÇÕES - Método 2 –

Procedimento A. ...55

Figura 4.35 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) – (MODINICIAL -MODISO CARGAS EQUIVALENTES) - Método 2

– Procedimento B. ...56

Figura 4.36 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) – (MODINICIAL -MODISO CARGAS EQUIVALENTES) - Método 2

– Procedimento B. ...56

Figura 4.37 - Modelo da laje isostática externamente com engastamento central -

MODISO CABOS – Método 1 – Vista 3D. ...57

Figura 4.38 - Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL- Método 3 –

Deformações e curvaturas - Vista 3D. ...59

Figura 4.39 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) – MODINICIAL - Método 3. ...60

Figura 4.40 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) – MODINICIAL - Método 3. ...60

Figura 4.41 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) - Método 1 – Procedimento A. ...62

Figura 4.42 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) - Método 1 – Procedimento B...63

Figura 4.43 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) - Método 2 – Procedimento A. ...63

Figura 4.44 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) - Método 2 – Procedimento B...64

Figura 4.45 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) - Método 3. ...64

Figura 4.46 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) - Método 1 – Procedimento A. ...65

Figura 4.47 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) - Método 1 – Procedimento B...65

Figura 4.48 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) - Método 2 – Procedimento A. ...66

Figura 4.49 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) - Método 2 – Procedimento B...66

Figura 4.50 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) - Método 3. ...67

Figura 4.51 - Diagrama de forças normais hiperestáticas de protensão (em kN/m) na laje

na direção 1 (F11) - Método 3. ...70

Figura 4.52 - Diagrama de forças normais hiperestáticas de protensão (em kN/m) na laje

na direção 2 (F22) - Método 3. ...70

Figura 4.53 - Diagrama de forças totais de protensão (em kN/m) na laje na direção 1 (F11)

- MODINICIAL - Método 1. ...71

Figura 4.54 - Diagrama de forças totais de protensão (em kN/m) na laje na direção 2 (F22)

- MODINICIAL - Método 1. ...71

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Propriedades geométricas e dos materiais da viga. ...21 Tabela 3.2 – Momentos hiperestáticos na viga (em kN.m) obtidos em cada método. ....29 Tabela 3.3 – Diferença relativa entre os resultados dos esforços hiperestáticos na viga.

...29

Tabela 4.1 – Propriedades dos materiais empregados na laje. ...34

Tabela 4.2 – Solicitações médias no elemento de área “1” devidas à protensão (Obtido do

MODISO CABOS – Método 1) ...58

Tabela 4.3 – Momentos hiperestáticos na laje (em kN.m/m) obtidos com os diferentes

métodos. ...61

Tabela 4.4 - Diferença relativa entre os resultados dos métodos aplicados à laje. ...61

LISTA DE SÍMBOLOS

𝐴 Área da seção transversal do elemento estrutural

𝑒 Excentricidade do cabo em relação ao centroide do elemento estrutural 𝐸 Módulo de elasticidade do material

𝐺 Módulo de elasticidade transversal do material ℎ Espessura da laje

𝐼 Inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro 𝐿 Comprimento do vão

𝑀 Momento fletor

𝑀

Momento fletor dos cabos de protensão 𝑀

Momento fletor total de protensão

𝑀

Momento fletor isostático ou primário de protensão 𝑀

Momento fletor hiperestático ou secundário de protensão 𝑁 Esforço axial

𝑃 Força aplicada em um cabo ou cordoalha de protensão 𝛾 Deformação devida ao cisalhamento

𝜀 Deformação devida ao esforço axial

𝜃 Inclinação do cabo ou cordoalha de protensão 𝜅 Curvatura

𝜈 Coeficiente de Poisson

𝜎 Tensão devida ao esforço axial

𝜏 Tensão devida ao esforço cisalhante

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO

O concreto protendido permite a elaboração de estruturas com maiores vãos e menor quantidade de pilares quando comparado com o concreto armado. A solução com protensão também possibilita a execução de edificações com elementos mais esbeltos e que podem ser construídos em menos tempo, por conta da velocidade na desforma e na retirada de escoramentos.

A combinação entre o concreto e as armaduras ativas resulta em um melhor aproveitamento de ambos os materiais. O aço é dúctil e age em alta tensão e o concreto, que é um material pouco dúctil, consegue aumentar sua capacidade resistente ao ser comprimido na etapa construtiva. A pré-compressão dos elementos de concreto tem o intuito de diminuir ou eliminar as tensões de tração que provocariam sua fissuração, o que gera uma maior eficiência na utilização da seção. Em decorrência disso, o uso da protensão tem se mostrado vantajoso em estruturas sob carregamentos expressivos ou que necessitam vencer grandes vãos por ocasião de sua utilização, como vigas de obras de arte especiais e lajes lisas amplas, sendo as últimas comuns em estruturas de shoppings e hotéis. No mais, a grande vantagem econômica é a possibilidade de usar aços de elevada resistência, da ordem de até 2100 MPa na ruptura.

A Figura 1.1 ilustra uma laje lisa na fase de montagem dos cabos. A Figura 1.2 apresenta a laje lisa com capitéis, também denominada laje cogumelo, após a concretagem e a operação de protensão.

Figura 1.1 – Montagem de laje lisa com cabos de protensão no interior de bainhas metálicas –

Sistema aderente (BAUSCHER, 2018).

Figura 1.2 - Laje lisa com capitéis. (JAISAN, 2020).

Apesar da solução estrutural de lajes com cordoalhas protendidas já ser empregada no país, ainda não há muita clareza por parte dos projetistas quanto aos conceitos relativos aos esforços hiperestáticos de protensão em lajes e aos métodos empregados para sua determinação. Isso se deve à escassez de literatura relacionada ao tema em português.

Nas estruturas isostáticas, a protensão, que é um carregamento autoequilibrado, não gera reações de apoio. Sendo assim, não surgem as solicitações hiperestáticas. No caso de estruturas estaticamente indeterminadas, como é o caso da maioria das lajes para piso de edificações, os apoios são solicitados devido à tendência de deformação da estrutura após a aplicação da tração nos cabos e fazem surgir as solicitações hiperestáticas.

Estas devem ser levadas em conta no dimensionamento da estrutura no Estado Limite Último (ELU), de acordo com a norma NBR 6118 (2014).

Segundo EMERICK (2005), o método das cargas equivalentes proposto de forma aproximada por LIN (1963), a título de exemplo, é considerado um dos métodos mais apropriados para o cálculo das lajes protendidas. O procedimento consiste em substituir os cabos de protensão por carregamentos equivalentes que balanceiam uma parcela da carga externa atuante. Entretanto, a aplicação desse método se torna complexa no caso de lajes com irregularidades geométricas, já que nessas estruturas a malha de elementos finitos também se torna irregular, o que dificulta a aplicação do carregamento equivalente no programa de análise.

Além disso, a metodologia não permite a determinação direta das solicitações

hiperestáticas na estrutura, uma vez que os esforços obtidos quando aplicada a carga

equivalente são compostos por duas parcelas: o esforço isostático e o hiperestático. O mesmo ocorre quando os cabos são modelados fisicamente dentro da laje por meio de elementos finitos. Dessa forma, após a aplicação dos dois métodos, ainda é necessário realizar a separação dos esforços isostáticos e hiperestáticos por meio de um procedimento adicional.

1.2 OBJETIVO E METODOLOGIA

Este trabalho pretende realizar um estudo comparativo entre três métodos para determinação dos esforços hiperestáticos em uma laje cogumelo com protensão aderente.

Toda a análise estrutural é feita por um programa comercial de elementos finitos.

No primeiro método, os cabos são introduzidos fisicamente no modelo da laje por meio de elementos lineares, aos quais são aplicadas as deformações relativas à tensão imposta pela protensão. Nesse caso, o modelo fica completo, uma vez que é composto pela laje de concreto e pela armadura ativa. Já no segundo método, emprega-se o conceito das cargas equivalentes, no qual os cabos de aço tracionados são substituídos por seu carregamento correspondente. Por fim, analisa-se o resultado obtido pelo terceiro método, que consiste em uma alternativa aos demais. Em tal caso, o efeito gerado pela protensão no concreto é simulado por meio de deformações e curvaturas impostas ao modelo.

A metodologia empregada consiste em analisar, inicialmente, o caso de uma viga contínua protendida em seção celular com três vãos, cujos comprimentos são de 66 m e 80 m, para os vãos externos e interno, respectivamente. A determinação dos esforços de protensão é realizada considerando, em essência, os mesmos métodos aplicados à laje. O estudo da viga tem como objetivo esclarecer os conceitos necessários para o entendimento do problema principal do trabalho, uma vez que a viga é um elemento linear e, por essa razão, sua análise é mais simples do que a da laje.

Posteriormente, é avaliado o comportamento de uma laje cogumelo quando submetida a métodos análogos àqueles empregados na viga. O pavimento a ser analisado é simétrico com dimensões em planta de 29 m × 29 m. Há quatro vãos em cada direção, cujos comprimentos são de 6,5 m e 8 m para os vãos externos e internos, nesta ordem. A laje tem 20 cm de espessura e, na região dos pilares, são dispostos capitéis de 2 m × 2 m com altura de 40 cm.

Tanto a laje quanto a viga foram pré-dimensionadas e são apresentadas com sua

geometria, número de cordoalhas e traçado dos cabos já definidos. No entanto, o

dimensionamento completo não é apresentado porque não faz parte do escopo do trabalho, visto que este tem por objetivo a realização de um estudo comparativo entre os métodos já citados.

No caso da laje, apresenta-se, no item 4.3, como foi realizada a determinação aproximada dos esforços hiperestáticos para o pré-dimensionamento da estrutura. O procedimento aproximado foi empregado porque a armadura de protensão da laje necessitou ser determinada antes da realização deste estudo.

Deve-se notar que este trabalho se refere ao caso de uma laje cogumelo, isto é, uma laje com capiteis. Sendo assim, o estudo envolve maiores dificuldades de análise e de dimensionamento quando comparado com o de uma laje lisa (de espessura constante).

Isso porque o trecho do capitel precisa ser estudado de forma diferenciada dos demais trechos da laje, com menor espessura.

1.3 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO

No segundo capítulo é feita a revisão bibliográfica. Inicialmente, são apresentados os conceitos gerais da protensão. Em seguida, são explicados os três métodos utilizados neste trabalho para determinar os esforços advindos dos cabos protendidos em um modelo de elementos finitos. Por fim, são expostos dois procedimentos para realizar a separação entre as parcelas hiperestática e isostática do esforço de protensão.

No terceiro capítulo, os métodos são aplicados em uma viga protendida em seção celular. O estudo da viga tem como objetivo esclarecer a metodologia e os conceitos necessários ao estudo de uma laje, sendo esta última uma estrutura plana mais complexa do que a viga. Após a aplicação dos métodos, é realizada a comparação entre os resultados.

No quarto capítulo, é apresentado o objeto principal de estudo deste trabalho: a laje cogumelo protendida com protensão aderente. A essa estrutura, são aplicados métodos análogos àqueles aplicados na viga.

No quinto capítulo, são relatadas as conclusões acerca dos resultados obtidos e

são feitas sugestões para trabalhos futuros.

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 CONCEITOS GERAIS

Segundo PFEIL (1984), “a protensão pode ser definida como o artifício de introduzir, numa estrutura, um estado prévio de tensões, de modo a melhorar sua resistência ou seu comportamento, sob ação de diversas solicitações”.

A protensão tem o objetivo de combater os momentos fletores que decorrem, basicamente, do carregamento permanente e da sobrecarga que atuam nas estruturas.

Além disso, pode ser utilizada para melhorar o desempenho em serviço, ao controlar a fissuração e reduzir flechas.

De acordo com ALVES (2018), a protensão é introduzida por meio do tracionamento dos cabos ou cordoalhas de aço, que possuem tensão de ruptura elevada e baixa relaxação. O carregamento pode ser efetuado antes ou depois da concretagem, sendo denominado de pré ou pós-tração, respectivamente.

A pré-tração é de uso comum em vigas pré-fabricadas e em pistas de protensão.

Neste caso, as cordoalhas são tracionadas na região da fôrma, com trajetória retilínea ou poligonal, e ancoradas externamente. Posteriormente, o concreto é lançado e, somente após atingir a resistência necessária para suportar os esforços de protensão, ocorre a liberação das ancoragens com a introdução da protensão por aderência entre os materiais (Figura 2.1).

Figura 2.1 – Procedimento de pré-tração (a) Cabos tensionados entre ancoragens externas (b) Concreto moldado e curado (c) Cabos liberados e tensão transferida (GILBERT et al., 2017).

Em relação à pós-tração, a protensão ainda pode ser subdividida em: aderente,

não aderente interna e não aderente externa.

Na pós-tração aderente (Figura 2.2), os cabos podem seguir traçado parabólico em elevação no interior das bainhas metálicas, que têm sua posição definida em fase anterior à concretagem. Depois da cura do concreto, as cordoalhas são protendidas e os dutos de protensão são preenchidos com injeção de calda de cimento sob pressão.

Figura 2.2 - Procedimentos de pós-tração aderente (a) Concreto moldado e curado (b) Cabos tracionados e protensão transferida (c) Cabos ancorados e injetados. (Adaptada de GILBERT et

al., 2017).

Na pós-tração não aderente interna são empregadas cordoalhas engraxadas em bainha plástica de polietileno de alta densidade (PEAD) (Figura 2.3). Após a concretagem, as monocordoalhas, que geralmente apresentam trajetória sinuosa ou retilínea, são protendidas. Nesse caso, não há desenvolvimento de aderência entre os cabos e o concreto como ocorre na protensão aderente.

Figura 2.3 - Monocordoalha engraxada.

Por fim, existe o sistema de pós-tração não aderente externa que costuma ser

utilizado em projetos de reforço estrutural e em vigas de seção celular. Os cabos são

dispostos externamente ao elemento estrutural e sua trajetória é controlada por

desviadores de aço ou concreto. Nessa situação, não há desenvolvimento de aderência

entre o elemento de concreto e os cabos, sendo toda a carga transferida nos pontos de desvio e de ancoragem.

No caso das lajes para pisos de edificações, normalmente são utilizados dois sistemas: a pós-tração aderente e a não-aderente interna. A primeira solução costuma ser menos empregada do que a segunda por conta de seu procedimento executivo. Isso se deve, especialmente, ao fato de que o uso do sistema aderente implica em uma concretagem mais cuidadosa para evitar danos à bainha, além da operação de protensão precisar ser realizada em etapas. Do ponto de vista estrutural, EMERICK (2005) afirma que a solução com cordoalhas aderentes é mais eficiente, já que a laje se comporta melhor quanto à distribuição de fissuras.

2.2 ESFORÇOS DE PROTENSÃO

Um aspecto essencial a ser estudado nas estruturas protendidas são os esforços de protensão. Estes são compostos por dois fatores: os esforços isostáticos e os hiperestáticos, também denominados pela bibliografia americana de esforços primários e secundários, respectivamente. A separação em dois fatores é válida para todas as solicitações (momento fletor, força cortante, força normal). Entretanto, para não haver repetição, são conceituados apenas os momentos fletores de protensão, uma vez que os demais esforços podem ser definidos de forma análoga. Desse modo, o momento total de protensão nas estruturas elásticas lineares é dado pela Equação (2.1).

𝑀

= 𝑀

+ 𝑀

(2.1)

sendo:

𝑀

− momento fletor total de protensão;

𝑀

− momento fletor isostático de protensão;

𝑀

− momento fletor hiperestático de protensão.

O momento isostático é o esforço decorrente da aplicação da força dos cabos

com uma dada excentricidade e inclinação em relação ao centroide da seção transversal

do elemento. Por ser interno ao sistema estrutural, não é levado em consideração na

combinação do momento solicitante de cálculo para o dimensionamento no ELU. O

momento isostático também pode ser conceituado como o esforço que atua no concreto

quando os suportes redundantes são retirados da estrutura hiperestática, ou seja, é o esforço na estrutura isostática. Ele é calculado, no caso das vigas contínuas, por meio do produto entre a componente perpendicular da força de protensão em relação a seção e sua excentricidade em relação ao centroide.

O esforço hiperestático surge nas estruturas estaticamente indeterminadas, em que o número de reações de apoio é, usualmente, maior que as equações gerais de equilíbrio. Após a operação de protensão, os vínculos da estrutura, ao impedir a livre deformação, produzem reações de apoio que são conhecidas como reações hiperestáticas.

A Figura 2.4 apresenta os dois fatores que compõem o momento total de protensão em uma viga contínua reta, com o objetivo de promover um melhor entendimento do conceito. Cabe dizer que a análise foi efetuada desprezando as deformações de cisalhamento.

Figura 2.4 – Momentos induzidos pela protensão em uma viga contínua (a) Excentricidade do cabo em relação ao centroide (b) Momento isostático (c) Momento hiperestático devido às

reações hiperestáticas (d) Momento total de protensão.

O tensionamento de estruturas isostáticas não faz surgir reações de apoio, já que

a protensão consiste num carregamento autoequilibrado. Desse modo, não são gerados

esforços hiperestáticos. Sendo assim, o momento total de protensão no concreto na

estrutura isostática, que é numericamente igual ao momento isostático, está em equilíbrio

com o momento dos cabos de protensão em relação ao centroide da seção, conforme

explicitado na Equação (2.2).

𝑀

+ 𝑀𝑐 = 0 (2.2) sendo:

𝑀

− momento dos cabos de protensão em relação ao centroide;

𝑀

− momento das tensões no concreto causadas pela protensão.

Há necessidade de enfatizar esses conceitos. Os esforços definidos como isostáticos de protensão representam a resultante, em relação ao centroide, das tensões no concreto na seção de referência. Nesta seção de referência, a soma dos esforços isostáticos existentes no concreto e no aço causados pela protensão são nulos, conforme apresentado na relação (2.2). Por isso, os esforços aplicados no concreto, neste caso, podem ser determinados de forma simples ao se calcular os esforços resultantes das forças dos cabos de protensão.

Observa-se que neste trabalho são utilizadas as palavras “esforços” e

“solicitações” para designar as forças normais, os cortantes, e os momentos fletores e torsores. Nas bibliografias e nas normas consultadas foram encontradas as duas nomenclaturas, por isso ambas foram empregadas.

2.3 MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS DE PROTENSÃO 2.3.1 Método 1: modelagem física dos cabos

Em um programa de análise, é possível introduzir fisicamente os cabos de protensão no modelo estrutural por meio de objetos lineares denominados na literatura inglesa como tendons ou mediante o emprego de frames. Os primeiros consistem nos próprios cabos de protensão, já os frames são elementos de pórtico espacial que geralmente são utilizados para modelagem de pilares e vigas.

Os tendons podem ser definidos como elementos ou como cargas. No primeiro caso, o efeito da protensão é imposto por meio de um encurtamento aplicado nos cabos.

Ao efetuar a análise da estrutura automaticamente pelo programa, há a geração de

deformações dos elementos de concreto, o que gera uma perda na força de protensão

aplicada inicialmente por meio do encurtamento. Além disso, é possível visualizar as

forças atuantes nos cabos. Já quando as cordoalhas são estabelecidas como cargas, as

perdas por encurtamento elástico não são determinadas pelo programa de análise e os

cabos não têm seus esforços apresentados.

Na situação em que os cabos são definidos como frames, tem-se um comportamento similar aquele apresentado pelos tendons modelados como elementos, ou seja, é possível verificar a perda por encurtamento elástico e a força atuante nas seções.

Neste trabalho, optou-se pela utilização de frames para os cabos da viga e de tendons definidos como elementos para os cabos da laje. Destaca-se que os dois objetos trabalham de maneira equivalente e a variação na escolha da forma de representação tem apenas como objetivo facilitar o processo de modelagem, uma vez que cabos com trajetória poligonal são facilmente modelados como frames.

A força de protensão nos cabos, em ambas as situações, foi aplicada por meio de deformação equivalente calculada pela Lei de Hooke (Equação (2.3)), válida para materiais linearmente elásticos, tal que:

𝜀 = 𝜎

𝐸 (2.3)

sendo:

𝜀 − deformação;

𝜎 − tensão;

𝐸 − módulo de elasticidade longitudinal do material.

A Equação (2.3) pode ser transformada na Equação (2.5) por meio da substituição da tensão pela razão entre força e área (Equação (2.4)).

𝜎 = 𝑁

𝐴 (2.4)

𝜀 = 𝑁

𝐴 ∙ 𝐸 (2.5)

onde:

𝑁 − esforço axial na seção transversal;

𝐴 − área da seção transversal.

A partir da análise estrutural do modelo com cabos, são determinados os esforços

de protensão no concreto. Se a estrutura for hiperestática, são obtidos da análise os

esforços totais de protensão, sendo necessário recorrer a um procedimento adicional para

separar os esforços hiperestáticos dos isostáticos. Os procedimentos adotados neste

trabalho são explicitados no item 2.4.

2.3.2 Método 2: cargas equivalentes

O método das cargas equivalentes, ou equilibrantes, é considerado por alguns autores como o mais apropriado para o cálculo de estruturas protendidas e pode ser usado tanto em vigas quanto em lajes. A ideia geral do método consiste em substituir o efeito dos cabos por suas cargas correspondentes aplicadas ao concreto.

Quando as armaduras ativas seguem trajetória poligonal ou retilínea em elevação, sem a presença de sinuosidades, a carga a ser aplicada nos pontos de desvio e de ancoragem pode ser determinada por meio de cálculo simples e que considera apenas a angulação e a excentricidade do cabo em relação ao centroide.

Por outro lado, se os cabos apresentarem trajetória parabólica, a determinação da carga equivalente é mais complexa. As formulações utilizadas nesta situação costumam desprezar o efeito da inversão da curvatura dos cabos sobre os pilares, no entanto, são apresentadas neste trabalho as fórmulas que consideram esse efeito, com o objetivo de obter maior acurácia nos resultados. Todas as expressões apresentadas foram obtidas do trabalho de NAAMAN (1982) apud EMERICK (2005). Nos casos em que não se exija acurácia elevada, pode-se optar pela formulação aproximada apresentada por LIN (1963), que foi aplicada, por exemplo, na dissertação de PERLINGEIRO (1998).

2.3.2.1 Carregamento equivalente para os vãos de extremidade

Quando os cabos de protensão seguem trajetória parabólica em elevação nos vãos extremos, conforme apresentado na Figura 2.5, as cargas equivalentes são calculadas a partir das Equações (2.6) a (2.10). Nota-se que nas expressões apresentadas há continuidade nas tangentes aos cabos entre as várias parábolas definidas.

Figura 2.5 - Cargas equivalentes para vãos de extremidade (Adaptado de EMERICK, 2005).

𝑞

= 2𝑃 ∙ (𝛽

− 𝛽) ∙ 𝑒

(𝛼𝐿)

(2.6)

𝑞

= 2𝑃 ∙ 𝜆 ∙ 𝑒

𝐿

(2.7)

𝑞

= −2𝑃 ∙ 𝜇 ∙ 𝑒

𝐿

(2.8)

𝜆 = 1 + 𝛽

(1 − 𝛼) ∙ (1 − 𝛼 − 𝛼

) (2.9)

𝜇 = 1 + 𝛽

(1 − 𝛼) ∙ 𝛼

(2.10)

sendo:

𝑃 − força de protensão;

𝑒 − excentricidade do cabo em relação ao centroide da seção no apoio direito;

𝐿 − comprimento do vão;

𝛼

− constante que define a parcela do vão referente a cada trecho de parábola (usualmente varia entre 0,05 e 0,15, no caso de lajes protendidas);

𝛼 − assim como 𝛼

, é uma constante que define a parcela do vão referente a cada trecho de parábola;

𝛽 − constante multiplicadora da excentricidade na seção da ancoragem (quando o cabo é ancorado no centroide da seção, 𝛽 é igual a zero).

2.3.2.2 Carregamento equivalente para os vãos internos

Quando os cabos seguem trajetória parabólica em elevação nos vãos internos, conforme mostra a Figura 2.6, as cargas equivalentes são determinadas a partir das Equações (2.11) e (2.12). Nota-se que nas expressões apresentadas também há continuidade nas tangentes aos cabos.

Após o cálculo e a aplicação do carregamento equivalente à protensão no modelo,

pode-se prosseguir com a análise estrutural, que tem como resultado os esforços totais de

protensão. Assim como no primeiro método, em que é feita a modelagem física dos cabos,

é necessário recorrer a procedimentos adicionais cujo objetivo é realizar a separação entre

os esforços isostáticos e hiperestáticos.

Figura 2.6 – Cargas equivalentes para vãos internos (Adaptado de EMERICK, 2005).

𝑞

= −4𝑃 ∙ (1 + 𝛽

) ∙ 𝑒

𝛼

𝐿

(2.11)

𝑞

= 4𝑃 ∙ (1 + 𝛽

) ∙ 𝑒 ( 1

2 − 𝛼

)𝐿

(2.12)

onde:

𝛼

− constante que define a parcela do vão referente a cada trecho de parábola (usualmente varia entre 0,05 e 0,15, no caso de lajes protendidas);

𝛽

− constante multiplicadora da excentricidade na seção do meio do vão;

2.3.3 Método 3: deformações e curvaturas

O efeito da protensão também pode ser simulado por meio de deformações e

curvaturas devidas aos esforços provocados pela protensão. Como foi exposto no item

2.2, quando o tensionamento é aplicado em uma estrutura estaticamente determinada,

apenas surgem os esforços isostáticos e as deformações e curvaturas ocorrem sem

restrição. Entretanto, quando se impede o deslocamento dos elementos com a inclusão de

apoios que tornam a estrutura hiperestática externamente, surgem os esforços

hiperestáticos.

À vista disso, uma forma de determinar os esforços hiperestáticos de maneira direta no modelo de análise consiste em aplicar as deformações e curvaturas produzidas pelos esforços isostáticos na estrutura hiperestática.

O cálculo das deformações e das curvaturas em vigas e lajes se baseia em teorias diferentes. Os itens a seguir apresentam as fórmulas utilizadas neste trabalho para cada caso.

2.3.3.1 Deformações e Curvaturas em vigas

A deformação axial em uma viga submetida à uma solicitação de compressão pode ser determinada conforme a Equação (2.5). Já a curvatura de um elemento linear pode ser obtida pela Equação (2.13), apresentada, por exemplo, em TIMOSHENKO e GERE (1983).

𝜅 = 𝑀

𝐸 ∙ 𝐼 (2.13)

sendo:

𝜅 − curvatura da viga;

𝑀 − momento fletor;

𝐼 − inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro da viga.

A convenção de sinais do programa adotado define como positiva a deformação que aumenta o comprimento de um elemento sem restrição. Já a curvatura positiva é aquela ocasionada por um momento fletor positivo, que produz compressão na parte superior da seção. É importante destacar que a convenção de sinais para a curvatura difere daquela empregada em livros clássicos de Resistência dos Materiais.

2.3.3.2 Deformações e Curvaturas em lajes

No caso das lajes, o cálculo de deformações e curvaturas se baseia na teoria de

membranas e de placas. As formulações apresentadas nesta seção foram adaptadas do

trabalho de GIRKMANN (1956) e levam em consideração a simbologia e a convenção

adotadas pelo programa utilizado de MEF para as lajes (ver Figura 2.7). É importante

dizer que os eixos designados por 1, 2 e 3 são eixos locais definidos para cada elemento

de área do modelo.

Figura 2.7 - Simbologia e convenção dos esforços para membranas e placas (Adaptado das definições do programa empregado).

Para as membranas, que são carregadas por forças axiais contidas em seu plano, as deformações podem ser calculadas pelas Equações (2.14) a (2.16).

𝜀

=

𝐸

∙ (𝜎

− 𝜈𝜎

) (2.14)

𝜀

=

𝐸

∙ (𝜎

− 𝜈𝜎

) (2.15)

𝛾

= 1

𝐺 ∙ 𝜏

(2.16)

sendo:

𝜀

− deformação na direção do eixo 1;

𝜀

− deformação na direção do eixo 2;

𝜎

− tensão na direção 1 devida à força F

; 𝜎

− tensão na direção 2 devida à força F

; 𝜈 − coeficiente de Poisson;

𝛾

− deformação devida ao cisalhamento produzida pela força F

; 𝐺 − módulo de elasticidade transversal;

𝜏

− componente da tensão cisalhante devida à força F

.

Para as placas, que são elementos carregados por forças normais ao plano e

momentos cujos eixos estão contidos em seu plano, as curvaturas podem ser calculadas

pelas Equações (2.17) a (2.20).

𝜅

= 1

𝐾 ∙ ( 𝑀

1 − 𝜈

− 𝑀

∙ 𝜈

1 − 𝜈

) (2.17)

𝜅

= 1

𝐾 ∙ ( 𝑀

1 − 𝜈

− 𝑀

∙ 𝜈

1 − 𝜈

) (2.18)

𝜅

= 𝑀

(1 − 𝜈) ∙ 𝐾

(2.19)

𝐾 = 𝐸 ∙ ℎ

12 ∙ (1 − 𝜈

) (2.20)

sendo:

𝜅

− curvatura no plano perpendicular à direção 2;

𝜅

− curvatura no plano perpendicular à direção 1;

𝜅

− curvatura devido ao momento de torção M

;

𝑀

− momento fletor por unidade de comprimento com vetor perpendicular à direção 1;

𝑀

− momento fletor por unidade de comprimento com vetor perpendicular à direção 2;

𝑀

− momento de torção por unidade de comprimento;

ℎ − espessura da laje.

Cabe salientar que o programa de análise utilizado possui uma definição diferente dos livros clássicos como TIMOSHENKO (1959) e GIRKMANN (1956) para 𝜅

. Esta divergência não foi encontrada nos manuais do programa de análise e foi descoberta após diversos testes.

Para ser introduzida no programa de análise utilizado, a curvatura devida ao momento M

deve ser calculada pela Equação (2.21), que apresenta um fator multiplicativo 2.

𝜅

= 2𝑀

(1 − 𝜈) ∙ 𝐾 (2.21)

2.4 PROCEDIMENTOS PARA SEPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DE PROTENSÃO De acordo com o que foi descrito nos itens 2.3.1 e 2.3.2, os Métodos 1 e 2, quando aplicados em uma estrutura hiperestática, fornecem os momentos totais de protensão no concreto.

Como a viga e a laje a serem estudadas neste trabalho são estruturas estaticamente

indeterminadas, após a análise estrutural, é necessário recorrer a procedimentos para

realizar a separação entre as parcelas isostática e hiperestática das solicitações. Ressalta- se que somente a última parcela deve ser considerada no dimensionamento da estrutura no ELU e, por isso, há a necessidade de realizar essa separação.

Antes de mais nada, é necessário esclarecer que é considerado, para o desenvolvimento do estudo, que os momentos hiperestáticos são aqueles decorrentes das reações de apoio hiperestáticas. Além disso, a estrutura isostática externamente, mesmo com graus de hiperestaticidade interna, é considerada e designada de “estrutura isostática”. Essas considerações são importantes para o estudo da laje e têm sido a praxe nas publicações que tratam do assunto.

Neste trabalho, foram empregados dois procedimentos para realizar a separação dos esforços. No primeiro, denominado de Procedimento A, utilizou-se o conceito de que as reações de apoio hiperestáticas são as responsáveis pelos esforços hiperestáticos.

Sendo assim, os momentos hiperestáticos podem ser determinados ao aplicar as reações hiperestáticas, calculadas no modelo estaticamente indeterminado original, em uma estrutura isostática externamente. Para transformar a estrutura hiperestática em isostática externamente, o modelo original analisado teve seus apoios retirados e substituídos por um engaste no ponto central da estrutura (ver Figura 3.9 e Figura 4.15). É evidente que esta é uma das inúmeras possibilidades de transformar a estrutura original em uma estrutura sem graus de hiperestaticidade externa. Uma explicação detalhada sobre o assunto será dada no item 4 deste documento.

Já a segunda metodologia, chamada de Procedimento B, consiste em realizar a determinação dos momentos hiperestáticos a partir da subtração entre os momentos totais e os momentos isostáticos de protensão, conforme expresso na Equação (2.1). O momento total de protensão é o esforço encontrado no modelo estrutural original hiperestático quando aplicado o carregamento de protensão. Já o momento isostático é o esforço obtido com a aplicação das forças dos cabos na estrutura isostática externamente. Como os dois modelos são distintos, a subtração dos esforços não pode ser feita por uma combinação de carregamentos triviais no programa de análise. Para realizar a subtração de esforços entre modelos diferentes, foi utilizada a ferramenta Staged Construction, disponibilizada pelo programa de análise utilizado.

Para isso, foram criados dois casos de carga com a análise do tipo Staged

Construction: no primeiro caso, o carregamento de protensão foi aplicado no modelo

hiperestático; e no segundo caso, o mesmo carregamento foi aplicado em um modelo

isostático externamente. Após a análise, são obtidos dois casos de carga em modelos distintos que podem ser subtraídos por combinação simples.

Cabe lembrar que a designação de esforços isostáticos para as solicitações encontradas na estrutura externamente isostática e internamente hiperestática, utilizada no caso da laje, não é estritamente adequada, já que para a obtenção desses esforços é necessário efetuar um processamento numérico sofisticado com auxílio de um programa de análise. Na verdade, poder-se-ia designar os esforços, assim obtidos, de uma forma especial, tal como, “esforços isostáticos”, para lembrar que estas solicitações não podem ser calculadas pelas regras usuais de estruturas isostáticas, como o simples produto da força pela excentricidade.

Em resumo, para referências neste trabalho, definem-se três métodos de determinação dos esforços de protensão (Quadro 2.1) e dois métodos de separação das parcelas que compõem os esforços totais de protensão (Quadro 2.2).

Quadro 2.1 - Métodos de determinação dos esforços de protensão.

Métodos para determinação dos

esforços de protensão Forma de atuação

Método 1 Modelagem física dos cabos

Método 2 Aplicação de cargas equivalentes Método 3 Aplicação de deformações e curvaturas

Quadro 2.2 - Métodos de separação entre os momentos isostáticos e os momentos hiperestáticos de protensão.

Métodos de separação dos esforços

totais de protensão Forma de atuação

Procedimento A Aplicar as reações hiperestáticas no modelo isostático

Procedimento B Subtrair dos momentos totais de protensão,

os momentos isostáticos de protensão

É importante dizer que existem programas comerciais, como o ADAPT-Floor, que

já fornecem os valores dos esforços hiperestáticos automaticamente (AALAMI &,

BOMMER, 1999). No entanto, é importante que o engenheiro tome conhecimento dos

conceitos apresentados para operar o programa com acuidade ou para realizar a separação

dos esforços caso o software disponível não realize a separação.

3 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA

Antes de realizar a determinação dos esforços hiperestáticos na laje por meio da aplicação de três métodos distintos, foi feita análise análoga aplicada a uma viga. O estudo inicial de um elemento linear teve como objetivo esclarecer os conceitos necessários para o entendimento do problema principal do trabalho, que são os esforços hiperestáticos na laje.

Não são consideradas, neste trabalho, as perdas de tensão imediatas e diferidas nos cabos, de modo a não tornar o estudo mais complexo.

3.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA

A estrutura estudada neste capítulo consiste em uma viga contínua de três vãos, cujo comprimento total é de 212 m. A viga em seção celular é protendida por meio de 20 cabos de aço CP190-RB, com 12 cordoalhas de 15,2 mm cada, que seguem uma trajetória poligonal em elevação. A protensão é feita após a concretagem e a força correspondente a cada cordoalha no tempo zero é de 180 kN, o que gera uma força total de 43.200 kN. A geometria, as dimensões e os eixos de referência da estrutura são apresentados nas Figuras 3.1 e 3.2.

Nota-se, na Figura 3.2, que o centroide da seção está distante do bordo inferior de 3,05m, e que os cabos apresentam as excentricidades de 1,65m nos apoios centrais e de 2,95m no centro dos vãos.

Figura 3.1 -Seção transversal da viga celular com eixos locais de referência (dimensões em cm).

Figura 3.2 - Elevação da viga celular com eixos locais de referência (dimensões em cm).

As propriedades geométricas da seção transversal, bem como as propriedades dos materiais utilizados no modelo estrutural são apresentadas na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Propriedades geométricas e dos materiais da viga.

Propriedades geométricas da seção

Área [m²] 8,28

Área de cisalhamento (Direção 3) [m²] 5,15 Área de cisalhamento (Direção 2) [m²] 3,49

Centroide [m] 3,05

Constante de torção [m⁴] 44,9

Inércia (Direção 3) [m⁴] 28,6

Inércia (Direção 2) [m⁴] 88,5

Propriedades dos materiais Aço CP 190-RB

Coeficiente de expansão térmica [1/K] 1,000E-05 Módulo de Elasticidade [MPa] 200000

Resistência na ruptura [MPa] 1900

Concreto f

35MPa

Coeficiente de Poisson 0,2

Coeficiente de expansão térmica [1/K] 1,000E-05

Módulo de Elasticidade [MPa] 29000

Módulo de Cisalhamento [MPa] 12083

3.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE

A viga descrita foi modelada com elementos de pórtico espacial. A estrutura foi dividida na longitudinal em 106 barras de 2 m, totalizando o comprimento de 212 m. A numeração de cada elemento de barra até o eixo de simetria da viga, que foi feita da esquerda para a direita, é apresentada na Figura 3.3.

Figura 3.3 – Numeração das barras até o eixo de simetria da viga.

O eixo local 1, no programa, segue a direção longitudinal da viga e aponta no sentido da esquerda para a direita, acompanhando a direção do eixo global X. Já o eixo 2 está contido no plano da seção transversal com seu sentido definido de baixo para cima.

O eixo 3 pode ser obtido por meio da regra da mão direita. A Figura 3.4 ilustra os eixos

globais e locais de um elemento de barra.

Figura 3.4 – Eixos globais e locais da viga.

Cabe ressaltar que o modelo descrito consiste em um modelo geral que foi alterado de acordo com as especificidades de cada método a ser aplicado.

3.3 APLICAÇÃO DO MÉTODO 1

Nesta situação, a armadura de protensão foi inserida no modelo por meio de frames. Os cabos, que foram modelados com suas respectivas excentricidades em relação ao centroide da viga, apresentam-se em vermelho (Figura 3.5).

Figura 3.5 – Modelo inicial da viga hiperestática - Método 1 – Cabos modelados fisicamente como frames.

O carregamento de protensão foi introduzido nos cabos a partir de uma deformação axial equivalente à tensão aplicada, calculada conforme a Equação (2.5).

Vale ressaltar que 180 kN é a força aplicada no tempo zero em cada cordoalha de 15,2 mm, que possui 1,4 cm² de área transversal. Desse modo, tem-se que:

𝜀 = − 180,0

200.000.000 × 0,0001400 = −0,00643 𝑚/𝑚

Devido ao efeito de encurtamento elástico do concreto reproduzido no programa

quando é aplicada a deformação calculada, ocorre uma perda na força dos cabos. Como

os métodos 2 e 3 não reproduzem esse efeito, foi necessário ajustar a deformação para o

valor de -0,00687 m/m, a fim de que cada cordoalha fique com 180 kN. Ou seja, o valor

da deformação foi aumentado de forma que as perdas não fossem contabilizadas. O ajuste foi feito por meio de tentativas.

Após proceder com a análise estrutural do modelo hiperestático com a aplicação da deformação, são encontrados os momentos totais de protensão na viga de concreto e as reações de apoio hiperestáticas (Figura 3.6). Destaca-se que o valor apresentado no diagrama de momentos corresponde ao valor do esforço no eixo de simetria da viga.

Figura 3.6 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de apoio na viga hiperestática (em kN) – Método 1.

A parcela isostática do esforço de protensão (Figura 3.7) é determinada ao transformar a estrutura original em uma viga isostática externamente, o que pode ser realizado retirando-se dois vínculos da estrutura. Neste caso, os apoios centrais foram suprimidos. As reações de apoio encontradas são nulas, já que a protensão é um carregamento autoequilibrado.

Figura 3.7 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m) e reações de

apoio na viga isostática (em kN) - Método 1

Com os dois diagramas de momentos fletores apresentados, basta realizar a subtração entre eles, conforme o Procedimento B, para determinar o momento hiperestático (Figura 3.8). No programa, esse procedimento foi realizado com o auxílio da ferramenta Staged Construction, uma vez que a subtração entre o resultado de dois modelos distintos não é obtida por uma combinação de carregamentos usuais.

Figura 3.8 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) - Método 1 – Procedimento B.

Também é possível encontrar o momento hiperestático por meio de um outro artifício que foi denominado de Procedimento A. Este consiste na aplicação das reações hiperestáticas em um modelo isostático (ver Figura 3.9). O diagrama apresentado na Figura 3.10 é o momento hiperestático ou secundário, uma vez que esse consiste no esforço provocado pelas reações dos vínculos da estrutura.

Figura 3.9 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações hiperestáticas (em kN) - Método 1 - Procedimento A.

Figura 3.10 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) - Método 1 – Procedimento A.

A pequena diferença entre os resultados dos procedimentos A e B é atribuída ao

fato de que somente no Procedimento B o efeito físico dos cabos é considerado

diretamente, já que no Procedimento A, os esforços hiperestáticos são calculados com as

reações de apoio. Isso acontece porque, mesmo com o ajuste realizado na deformação