EA614 – An´alise de Sinais 1

EA614 – An´ alise de Sinais

1 ^o Semestre de 2011 – 1 ^a Prova – Prof. Renato Lopes

Quest˜ ao 1 (1.0 Ponto):

Seja x(t) = cos(2πt) + cos(4πt). Determine o per´ıodo fundamental de y[n] = x(n/4).

Quest˜ ao 2 (2.0 Pontos):

Determine u(t) ∗ u(t).

Quest˜ ao 3 (1.0 Ponto):

Seja x[n] = u[n] − u[n − 3]. Esboce o gr´ afico de y[n] = x[n] + x[−n + 1].

Quest˜ ao 4 (1.0 Ponto):

Seja x(t) um sinal peri´ odico com per´ıodo T = 2 dado por x(t) =

( 1, 0 ≤ t < 1,

−1, 1 ≤ t < 2.

Sua s´erie de Fourier ´e dada por b k = (1 − e ^{− jkπ} )/(jkπ). De posse desta informa¸c˜ ao, determine a s´erie de Fourier de

y(t) =

( t, 0 ≤ t < 1, 2 − t, 1 ≤ t < 2.

Quest˜ ao 5 (1.0 Ponto):

Determine a s´erie de Fourier do sinal discreto com x[−1] = 1, x[0] = 1, x[1] = 2, e x[2] = 0.

Quest˜ ao 6 (2.0 Pontos):

A resposta de um sistema linear e invariante no tempo a uma entrada x[n] ´e dada por y[n] =

n

X

k =−∞

x[k]2 ^{k − n}

Determine sua resposta ao impulso.

Quest˜ ao 7 (2.0 Pontos):

Seja x(t) um sinal peri´ odico com per´ıodo T = 2 cuja s´erie de Fourier possui os seguintes coefi- cientes:

a k =

( 1, |k| ≤ 7

0, caso contr´ ario .

Este sinal ´e colocado na entrada de um filtro linear invariante no tempo com H(ω) =

( 1, |ω| < 5,5π

0, caso contr´ ario .

Determine a energia do sinal na sa´ıda do filtro.

Tabela 1: Propriedades da S´erie de Fourier Vari´aveis x(t) com per´ıodo T 0 = 2π/ω 0 e s´erie a k

y(t) com per´ıodo T 0 = 2π/ω 0 e s´erie b k

Defini¸c˜ ao x(t) = P ^∞

k=−∞ a k e ^jkω

^t Coeficientes a k = _T ¹

R t

+T

t

x(t)e ^−jkω

^t dt Linearidade Ax(t) + By(t) ⇔ Aa k + Bb k

Deslocamento Temporal x(t − t o ) ⇔ a k e ^{− jkω}

^t

Deslocamento em Freq¨ uˆencia e ^{jM ω}

^t x(t) ⇔ a k−M

Conjuga¸c˜ ao x ^∗ (t) ⇔ a ^∗ − k

Invers˜ao Temporal x(−t) ⇔ a ⁻ k

Escalonamento Temporal x(αt) ⇔ a k

x(αt) ´e peri´odico com per´ıodo T 0 /α.

Convolu¸c˜ ao peri´odica R t

+T

t

x(τ)y(t − τ) dτ ⇔ T 0 a k b k

Produto x(n)y(n) ⇔ a k ∗ b k

Diferencia¸c˜ ao _dt ^d x(t) ⇔ jkω 0 a k

Integra¸c˜ ao R t

−∞ x(τ) dτ ⇔ _jkω ^a

Para integral ser peri´odica, a 0 = 0.

N´ıvel DC da integral ´e determinado pela defini¸c˜ ao.

Simetria, sinal real a k = a ^∗ _−k Simetria, sinal real e par a k ´e real e par

Simetria, sinal real e ´ımpar a k ´e imagin´ ario puro e ´ımpar

Parte par, sinal real Ev{x(t)} , ¹ 2 (x(t) + x(−t)) ⇔ <{a k } , ¹ 2 (a k + a ^∗ _k ) Parte ´ımpar, sinal real Od{x(t)} , ¹ 2 (x(t) − x(−t)) ⇔ ={a k } , ¹ 2 (a k − a ^∗ _k )

Parseval R t

+T

t

x(t)y ^∗ (t) dt = T 0 P ^∞

k=−∞ a k b ^∗ _k Parseval (Energia) R t

+T

t

|x(t)| ² dt = T 0 P ^∞

k=−∞ |a k | ²