1ª Questão: Valor 1,5

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III

1ª CERTIFICAÇÃO - MATEMÁTICA 2013 - 2ª SÉRIE – IN 212 e MA 214 COORDENADORA: MARIA HELENA

Aluno: GABARITO Turma:_________Nº_____

1ª Questão: Valor 1,5

Os valores contidos na tabela abaixo se referem à massa em Kg de 50 pessoas adultas.

84 68 55 49 48 56 79 58 59 74 89 67 57 55 54 79 74 59 73 75 84 57 55 54 75 59 56 48 49 68 67 88 74 79 67 89 84 73 75 79 68 74 73 75 79 74 84 87 84 68

Complete a tabela determinando a distribuição de frequências, absoluta (f

) e relativa (f

), tendo 45 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe.

Solução. Fazendo a contagem dos dados e agrupando nos intervalos de classes indicados, contando o limite superior de uma classe na subsequente, temos:

Variável ( i ) Classes f

f

Ponto

Médio

1 45 |--- 55 6 0,12 50

2 55 |--- 65 11 0,22 60

3 65 |--- 75 15 0,3 70

4 75 |--- 85 14 0,28 80

5 85 |--- 95 4 0,08 90

Total 5 classes 50 1(100%) -

Determine a mediana, a moda e a média da amostra anterior, utilizando, para o cálculo da média, os pontos médios e as frequencias absolutas de cada classe.

i) Para o cálculo da média vamos utilizar o conjunto de dados. Ordenando os 50 dados em ordem crescente, temos:

Como há 50 termos (número par), a mediana será a média aritmética dos termos centrais:

2 73 73 73 2

a a 2

a a

Md

50 2 50

 

 







^.

ii) Há três dados com maior frequência de 5 ocorrências: Mo = {74, 79, 84}.

iii) Calculando a média aritmética utilizando o ponto médio, temos:

8 , 50 69

3490 50

360 1120 1050

660 300 4

14 15 11 6

) 4 ).(

90 ( ) 14 ).(

80 ( ) 15 ).(

70 ( ) 11 ).(

60 ( ) 6 ).(

50

X (      

 













  .

2ª Questão: Valor 1,0

A média de idade dos 11 jogadores titulares da atual seleção brasileira é de 29 anos. Se um dos jogadores que tem 36 anos de idade se contundir e for substituído por outro de 24, a média será alterada. No caso de ocorrer essa hipótese, qual seria a nova média de idade dos jogadores da seleção brasileira?

Solução. Escrevendo a média inicial, temos:

anos 28 anos 9, 11 27 307 11

24 283 11

24 ) 10(

'x S

283 ) 10(

S 36 )11 ).(

29 ( ) 10(

S 11 29

36 ) 10(

S 29

x

11 36 ) 10(

S 11

)11 x (S





 

 













 

 

 





 



.

3ª Questão: Valor 1,0

Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.

Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe:

A) teria que pontuação se ele obtivesse nota 0?

Solução. Ordenando as notas da equipe Gama, vem: 0; 6; 6.5; 6.5; 7; 7; 8; 8; 10; 10.

Como são 10 notas (número par) a mediana será a média aritmética das notas centrais a

e a

. Logo a mediana será Md = (7 + 7)/2 = 7.

B) teria que colocação se ele obtivesse nota 10? E se tirasse nota 8?

Solução. Inserindo cada nota e calculando a mediana, vem:

i) Com nota 10, o rol seria: {6; 6.5; 6.5; 7; 7; 8; 8; 10; 10; 10}. A mediana seria (7 + 8)/2 = 7,5.

ii) Com nota 8, o rol seria: {6; 6.5; 6.5; 7; 7; 8; 8; 8; 10; 10}. A mediana seria (7 + 8)/2 = 7,5.

Continuaria em 3º lugar. A nota 10 e a nota 8 não interferem na mediana.

4ª Questão: Valor 1,0

Determine os valores de a e b na função afim y = ax + b de modo que seu gráfico passe pelos pontos (2;1) e (1;─ 1).

Solução. Se o gráfico que representa a função passa pelos pontos (2;1) e (1;-1), então eles

satisfazem à equação. Substituindo os valores e resolvendo o sistema, temos:

341)2(2 1a21b, Logo

.2a2aa 1ba 2 1ba2 )1(1ba 1ba2 b)1(a1 b)2(a1







 





 

 





 

 







.

Resposta: Os valores são a = 2 e b = – 3. A lei da função é y = 2x – 3.

5ª Questão: Valor 1,5

Resolva a inequação : 0

) 5 x 6 .(

x 2

) x 3 9 ).(

4 x 2

( 













Solução. Considerando cada fator como uma função afim e encontrando seus zeros, temos:

i) f(x) = 2x – 4 é crescente. A função anula se x = 2.

ii) g(x) = – 9 + 3x é crescente. A função anula se x = 3.

iii) h(x) = – 2x é decrescente. A função anula se x = 0.

iv) t(x) = – 6x + 5 é decrescente. A função anula se x = 5/6.

Organizando os dados e analisando os sinais lembrando que o denominador não pode ser nulo, temos:

A solução é:

 



 

    x  2 ou x  3 6

ou 5 0 x / IR

x . Na forma de intervalos:

        

 





 , 2 3 ,

6 0 5

, .

6ª Questão: Valor 1,0

No gráfico a seguir, x representa a quantidade de batatas, em quilogramas, vendidas na barraca de seu Custódio, em um dia de feira, e y representa o valor, em reais, arrecadado com essa venda. A partir das 12 horas, o movimento diminui e o preço do quilograma de batatas também diminui.

Determine o valor arrecadado com a venda de 75 kg de batatas?

Solução 1. Os triângulos retângulos assinalados são semelhantes.

Estabelecendo as razões, temos:

5 , 4 85 V 342 342

V 4 V 3 270 72 V

V 3 90

72 V 5

V 90 15

72 V 75 80

V 90 60 75

72 V





















 

 

 

 

 





.

O valor arrecadado foi de R$85,50.

Solução 2. Os pontos (60, 72) e (80, 90) estão sobre a mesma reta que representa uma função afim.

Encontrando a lei da função, temos:

185472)9,0 (6072a60 72b,Logo

20 .9,0 a18a20 18 90ba80

72ba60 90ba80

)1(72ba 60 b)80(a90 b)60(a72







 

 



 

 







 

 





.

A lei da função é f(x) = 0,9x + 18. Logo, f(75) = (0,9).(75) + 18 = 67,5 + 18 = 85,5.

O valor arrecadado é de R$85,50.