Solução. Em cada caso, basta efetuar uma regra de três simples da forma:

(1)

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br Lista de Trigonometria – Arcos e Ângulos - GABARITO

1. Complete a tabela.

Solução. Em cada caso, basta efetuar uma regra de três simples da forma:

) (

º 180

graus ângulo

x rad



 

Observe os resolvidos. Os demais seguem o mesmo procedimento.

i) 30º:

6 º

180 ) )(

º 30 ( º

30 º

180 rad rad

x x

rad  

   

 





ii) 120º:

3 2 º

180 ) )(

º 120 ( º

120 º

180 rad rad

x x

rad  

   

 





iii) 315º:

4 7 20 35 º

180 ) )(

º 315 ( º

315 º

180 rad rad rad

x x

rad   

    

 





2. Expresse em graus: a) rad 9 10 

b) rad 8 11 

c) rad 9



d) rad

20  e) rad 3 4 

Solução. Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir  rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração.

a) 200 º

2 º 1800 9

) º 180 ( 10 9

10  rad   

b) '

30 º 4 247

) º 45 ( 11 8

) º 180 ( 11 8

11  rad   

c) 20 º

9 ) º 180 (

9 rad  

 d) 9 º

20 ) º 180 (

20  rad  

e) º

3 240 º 720 3

) º 180 ( 4 3

4  rad   

3. Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.

Solução. Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora exata. Após esse momento, o único a ficar na direção é o ponteiro dos minutos (grande). O relógio representa uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo, cada número dista de um arco que mede 30º.

Às 4h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a

3 º 2

120 _  rad

. O maior corresponde a

3 º 4

240 _  rad

4. (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de 12

 radianos, que arco ponteiro maior percorre?

Solução. Em graus a medida percorrida pelo menor corresponde a 15º. Esse valor corresponde à metade da distância entre dois números consecutivos. O tempo para percorrer essa distância pelo menor é de meia hora.

Enquanto isso o ponteiro maior dá meia volta completa, isto é, 180º.

(2)

Logo, o ponteiro maior percorre 180 º   rad . Resultado também obtido pela regra de três simples em relação ao ponteiro grande.

rad rad x rad

x

rad   

    

 





min 60

min ) )(

60 ( min

60 min ) 2 )(

30 ( min

30 min 60 2

5. (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º.

Solução. Sabendo que ele percorre 30º em 60 minutos, aplicando a regra de três, temos:

min 84 min ) 2 )(

42 º (

30 min ) 60 )(

º 42 ( º

42 min 60 º

30    

 





 x

x

Logo se passaram 84 minutos após o meio-dia, que corresponde às 1h24min. Que é a hora marcada. Observe que este horário é vespertino. Logo, pode ser indicado como 13h24min.

6. (CEFET–MG) Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min?

Solução. Ao marcar 9h em ponto, os ponteiros estavam na direção dos números como indicado na linha pontilhada. Mas às 9h30min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo “x”. Aplicando a regra de três descobrimos quantos graus ele se afastou da direção do número 9 em 30 minutos.

º 2 15

º 30 min

60 min ) 30 )(

º 30 ( min

30 min 60 º

30    

 





 x

x

Entre os números 6 e 9 forma-se um ângulo de 90º. O ponteiro pequeno está distante mais 15º. Logo o menor ângulo central entre os ponteiros é de 90º + 15º = 105º.

7. (PUC) Um relógio foi acertado exatamente às 6h. Que horas o relógio estará marcando após o ponteiro menor (das horas) ter percorrido um ângulo de 72º?

Solução. Às 6h os ponteiros menor e maior estavam, respectivamente, sobre os número 6 e 12 no relógio. O ponteiro menor percorreu um ângulo de 72º. Sabendo que ele percorre 30º em 60 minutos, aplicando a regra de três, temos:

min 144 min ) 2 )(

72 º (

30 min ) 60 )(

º 72 ( º

72 min 60 º

30    

 





 x

x

Logo se passaram 144 minutos que corresponde às 2h24min. Logo, o relógio marca 6h + 2h24min = 8h24min.

8. (CESGRANRIO) Um mecanismo liga o velocímetro (marcador de velocidade) a uma das rodas dianteiras de um automóvel, de tal maneira que, quando essa roda gira 72  . rad , uma engrenagem que compõe o velocímetro gira

rad .

2  . Quando a roda gira . rad 5 18 

, essa engrenagem gira quantos graus?

Solução. Aplicando a regra de três simples, temos:

º 10 18

º 180 10

72 1 5 36 72

5 ) 18 2

( 5

18 2

72    



 



 

 

 







 

 





 rad rad

rad rad rad x x

rad rad rad  



 

  

.

9. Um engenheiro civil precisa fazer uma planilha de custos para uma obra e um dos itens a ser resolvido é quantos metros de cerca de arame farpado devem ser comprados para cercar o terreno. Sabe-se que o

terreno tem a geometria da figura. O preço por metro de cerca é de R$ 3,00. Quanto será gasto nessa cerca?

Dados: 2  1 , 4 , 3  1 , 7 , 5  2 , 2 e   3 . Solução. Calculando cada dimensão do terreno marcado na figura, temos:

i) Arco C1: C r

_rad

5 m

3 ) 3 5 3 ( ) 5 ( .

1  



 



 

 

 



 

  

ii) Arco C2: C r

_rad

5 ( 1 , 5 ) 7 , 5 m 2

) 3 5 2 ( ) 5 ( .

2   



 



 

 

 



 

  

(3)

iii) C3: 12 m  5 m  7 m iv) C4 (diagonal do quadrado de lado 10): C 4  l 2  10 ( 1 , 4 )  14 m Gasto na cerca: Perímetro x (R$3,00) = (5 + 7,5 + 7 + 14)m x R$3,00 = 33,5m x R$3,00 = R$100,50.

10. Determine.

Solução. O comprimento do arco “S” será o produto da medida do ângulo central em radianos pelo raio.

a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central correspondente mede 20°.

a)

  ^cm

cm r

S

rad rad

rad x x

rad

rad 12( 0) 34, 4 08, .

34, 9 0

)14, 3(

180 )14, 3(

20 º20

º 180







 

 







b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio de 20cm.

b) rad

cm cm cm

cm cm

S r S

cm r

rad rad

rad 0 75,

20 ) 15

).(

20 ( 15 15

. 20







 



 







c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde a um arco de 30cm.

c)

  ^r ^cm

r cm cm

S r S

rad rad

rad x x

rad

rad 115 4,

26,0 26,0 30

)(

30 30 .

12 26,0 )14,3 ( 180

)14,3 (15 º15

º180









 

 







 

 







11. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio. Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas? Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m?

Solução. O comprimento total da circunferência é de 6,28r. Logo, a roda possui 6,28 x (40cm) = 251,20cm. Uma volta desta roda percorre 251,20cm. Então 5000 voltas percorrerão ( 5000 ).( 251 , 2 )  1256000 cm  12560 m . Se em 1 volta ela percorre 251,20cm = 2,512m, então para percorrer 9420m ela dará ³⁷⁵⁰ ⁽ ⁾

1520 , 2

9420 voltas

m

m  .

12. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando o

automóvel percorre 9.891km. Adote  ^ ³ ^, ¹⁴ .

(4)

Solução. O raio da roda vale 35cm. Logo o comprimento da roda é de 6,28r = 6,28(35cm) = 219,8cm correspondendo a 1 volta completa. Logo em 9891km ela dará ^4500000 ⁽ ⁾

8 , 219 989100000

voltas cm

cm 

13. Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos.

a) 1300º b) 1440º c) 170º d) rad 2 11 

e) rad 5 43 

f) – 1200º

Solução. Encontra-se o número de voltas completas que é múltiplo de 360º ou de 2п. As menores determinações não negativas serão os arcos encontrados nos restos percorridos no sentido positivo. São chamadas 1ª determinações.

a) 1300 º  360 º  3 ( voltas )  resto ( 220 º ) . Logo a 1ª determinação de 1300º é 220º.

b) 1440 º  360 º  4 ( voltas )  resto ( 0 º ) . Logo a 1ª determinação de 1440º é 0º.

c) 170º < 360º não completando uma volta. Logo a 1ª determinação é o próprio 170º.

d) rad rad rad voltas rad

2 ) 3 (

2 4 3 2

8 2

11  _  _  _ _ 

. Logo a 1ª determinação de 1440º é rad 2 3 

.

e) rad rad rad voltas rad

5 ) 3 (

5 8 3 5

40 5

43  _  _  _ _ 

. Logo a 1ª determinação de 1440º é rad 5 3 

. f)  1200 º  360 º   3 ( voltas )  resto (  120 º ) . Logo a 1ª determinação de -1200º é 240º (sentido positivo).

14. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:

a) 1700º b) – 700º c) rad 4 49 

d) 11  . rad e) rad 8 33 



Solução. A expressão geral será determinada pela 1ª determinação dos ângulos adicionadas por múltiplos de 360º ou 2п positivos ou negativos.

a) 1700 º  360 º  4 ( voltas )  resto ( 260 º ) . Logo a expressão geral é 260 º  k ( 360 º ), k  Z . b)  700 º  360 º   2 ( voltas )  resto (  340 º ) . Logo a expressão geral é 20 º  k ( 360 º , k  Z .

c) rad rad rad voltas rad

) 4 (

4 12 4

48 4

49  _  _  _ _ 

. Logo a expressão geral é rad  2 k , k  Z

4 

 .

d) 11  rad  10  rad   rad  5 ( voltas )   rad . Logo a expressão geral é  ^rad ^ ² ^k  ^, ^k ^ ^Z .

e) rad rad rad voltas rad

) 8 (

8 4 8

32 8

33  _ _  _  _ _ 

 .

A 1ª determinação será rad rad rad 8 15

2    8   . Logo a expressão geral é rad  2 k , k  Z 8

15  

. 15. Marque um “X” nos pares que representam arcos côngruos.

( x ) 740º e 1460º ( ) 400º e 940º ( x ) rad 3 38 

e rad

3 26 

( ) rad 5 74 

e 5 rad

19 

Solução. Para que representem arcos côngruos, as extremidades deverão ser as mesmas. Isto pode ser verificado comparando as 1

^as

determinações de cada par:

i)   













)º 20 ( )

(4 º 360 º 1460

)º 20 ( )

(2 º 360 º 740

resto voltas

ii)

 















)º 220 ( )

(2 º 360 º 940

)º 40 ( )

(1 º 360 º 400

resto voltas

resto

voltas

(5)

iii)

 



 



























rad voltas

rad rad

rad

rad voltas

rad rad

rad

3 ) 2 (

3 4 8 2

3 2 3

24 3

26 3 ) 2 (

3 6 12 2

3 2 3

36 3

38 

 



 



iv)

 



 



























rad volta

rad rad

rad

rad voltas

rad rad

rad

5 ) 9 5 (1

2 9 5

9 5

10 5

19 5 ) 4 (

5 7 14 4

5 4 5

70 5

74 

 



 



16. Os arcos da forma k . 180 º  (  1 )

^k

. 30 , k  Z , têm extremidades em que quadrantes?

Solução. Atribuindo alguns valores para “k”, observa-se a regularidade dos quadrantes:

Q ou

Q k

º 2 º 1

) º 2 ( º 150 º 510 º 30 º 540 º 30 . ) 1 ( º 180 ).

3 ( 3

) º 1 ( º 30 º 390 º 30 º 360 º 30 . ) 1 ( º 180 ).

2 ( 2

) º 2 ( º 150 º 30 º 180 º 30 . ) 1 ( º 180 ).

1 ( 1

) º 1 ( º 30 º 30 . ) 1 ( º 180 ).

0 ( 0

) º 2 ( º 150 º 210 º 30 º 180 º 30 . ) 1 ( º 180 ).

1 ( 1

) º 1 ( º 30 º 330 º 30 º 360 º 30 . ) 1 ( º 180 ).

2 ( 2

) º 2 ( º 150 º 210 º 570 º 30 º 540 º 30 . ) 1 ( º 180 ).

3 ( 3

3 2 1

0 1

2 3



 







 

























































































































































17. Determine os valores de:

a) ^y ^ ³ ^cos ⁵⁴⁰ ^º ^ ² ^sen ⁹⁰ ^º ^ ^tg ¹⁸⁰ ^º b) ^y ^ ⁴ ^sen ⁹⁰⁰ ^º ^ ² ^cos ⁶³⁰ ^º ^ ^sec ⁷²⁰ ^º

Solução. Encontram-se os arcos côngruos, reduzindo ao 1º quadrante para determinações dos valores das funções e atribuindo seus respectivos sinais de acordo com os quadrantes.

a) (3 )1 2 )1( 0 3 2 5

0 º 180

1 º90

1 º 180 cos º 540 cos













 



 









y tg

sen

b) 4 )0( 2 )0( 1 0 0 1 1

1 º0 sec º 360 sec º 720 sec

0 º 270 cos º 630 cos

0 º 180 º 900















 



 





y sen

sen

18. Determine os valores máximos e mínimos das expressões:

a) 3

1 cos

4 

 x

y b)

5 5 2 senx

y   c) y   3 sen

²

x  2

Solução. As funções seno e cosseno variam de no intervalo [ – 1 1] onde (– 1) é mínimo e (1) o máximo. No caso das

funções estarem ao quadrado, o valor mínimo passa a ser (0), pois nenhum número ao quadrado pode ser negativo.

(6)

Atenção: Se  1  senx  1  1   senx  1 e se  1  cos x  1  1   cos   1 .

a)

 



 



 

 

 

 



 



3 1 3 3

1 )1 : (4

3 5 3

1 )1(

: 4

3 1 cos 4

y mínimo

y máximo y x

b)

 



 



 

 



 



5 3 5

_)1(5 : 2

5 7 5

_)1(

: 52

5 52

y mínimo

y máximo y senx

c)

 













 



 : 1(3 2) 1

2 2) 0(3 2 :

3 ²

y mínimo

y máximo x

sen y

19. Que valores de m satisfarão a ambas as condições: senx  3 m e cos x  m  1 . Solução. Aplicando a relação fundamental relacionando senos e cossenos, temos:



 





















































5 1 1

5 0 1 5

0 0

)1 5(

2 0 2 10 1 1 2 9

1 )1 ( ) 3(

1 cos ² ² ² ² ² ²

2 m m

m m m

m

m m m

m x

x sen

20. Determine o valor positivo de m que satisfaz simultaneamente às condições: sec x  2 m  1 e tgx  m

²

 4 . Solução. Aplicando a relação fundamental relacionando secante e tangente, buscando “m” positivo, temos:

 

 



 











 







 



 

 

 







 































3 .0 2 6 4 6

8 4

0 6 2

8 4 6

64 4 6

48 16 4 )3

(2

)4 )(

3(

4 )4 ( )4 (

0 4 4 3 1 4 4 4 1

)1 2(

4 1

sec 1

2 2 2

2 2

2 m

ok m

m

m m m

m m

x x

tg

21. Sendo x um arco do 2º quadrante e

5  3

senx , determine: a) cos x b) tgx _c) sec x

Solução. No 2º quadrante o cosseno é negativo, tangente é negativa e a secante negativa (inverso do cosseno).

Aplicando as relações fundamentais, temos:

(7)

a) 5 4 25 16 25

9 cos 25

25 1 9 cos 1 5 cos

1 3

cos

² ²

2 2

2

             



 



 



 x x x x

x sen

b) 4

3 4

. 5 5 3 5 4 5 3

cos   



 

  

 

 



 





 x

tgx senx

c) 4

5 5

4 1 cos

sec 1  





 x

x

22. (U. F. VIÇOSA-MG) Sabendo que

3  1

senx e   x  

2 , o valor de

1 cot

sec sec

cos



 gx

x

x é:

( ) 4

2 3 ( ) 3

2 2 ( x ) 4

2  3 ( ) 3

2  2 ( ) 3 Solução. O arco “x” está localizado no 2º quadrante. Cossecante positiva (inverso do seno), cotangente negativa (inversa da tangente) e secante negativa (inverso do cosseno).

4 2 3 28

2 21 )

1 8 ( 4

2 3 12 12 2 24 1

cot

sec sec cos

) 1 2 2 (

) 1 2 2 . ( ) 1 2 2 ( 4

2 3 . 12

) 1 2 2 ( 4

2 3 12 1

2 2

4 2 3 12 1 2 2

4 2 3 3

1 cot

sec sec : cos

2 2 3 3 .

2 2 3

1 3 2 2 cot cos

4 2 3 2 . 2

2 3 2 . 2 2 2

3 2

2 3 cos

sec 1

3 2 2 9 8 9

1 cos 9

9 1 1 cos 1 3 cos

1 1 cos

1 3 sec

3 cos 1

2 2

2



 





 



 

 

 





 







 

 



 







 





 



 



 

 



 



































 















 



 



 











gx x x

gx x Logo x

senx gx x

x x

x sen

x senx senx

OBS: Outra solução seria desenvolver a expressão antes da substituição.

x senx

x senx x

senx senx x senx

senx x

x senx

senx x

x senx

gx x x

cos 1 . cos

cos . cos cos

cos . cos cos 1

cos 1 1

1 cot

sec sec

cos 



 







 



Calculando o cosseno pela relação fundamental, basta invertê-lo e encontrar a secante.

23. (F. M. Triângulo Mineiro – MG) Se 0  x   e 3 cos x  senx  3 , pode-se afirmar que:

( ) ^tgx ^ ^ ¹ ( )

2 1    1

 tgx ( )

2 1 2

1  

 tgx ( x ) 1 2

1  tgx 

Solução. Dividindo toda a equação por (cosx) encontramos um valor para a tangente.

(8)



 



















































































4 3 3

4 0 3 4

0 0

) 3 4 ( 2

0 6 8

0 9 9 6 9

) 1

( 9 6

9 sec 1

:

sec 9 6

9 ) sec 3 ( ) 3 ( sec . 3 cos 3

3 3 ) cos ( 3 cos

3 2 2

2 2

2 2 2

2 2

tgx tgx

tgx tgx tgx

tgx

tgx x tg tgx

x tg x tg x

tg x

tg tgx

x x

tg OBS

x x

tg tgx

x tgx

x x tgx

tgx x

senx x

A tangente não assume valores negativos. Logo das alternativas mostradas, só a última satisfaz.

24. Relacione.

(a) cos 5240 º (b) sen 1200 º (c) sen ( 210 º ) (d) ^tg ¹⁵⁰ ^º ^ ² ^sen ¹²⁰ ^º ^ ^cos ³³⁰ ^º ( c )

2 1 ( a )  cos 20 º ( d ) 6

3 ( b ) cos 30 º Solução. Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se o sinal da função.

a) cos 5240 º  cos 200 º . Este arco está no 2º quadrante na mesma direção do arco de 20º. O cosseno é módulo é o mesmo. Mas o cosseno no 2º quadrante é negativo.

b) 2

º 3 30 cos º 60 º

120 º

1200  sen  sen  

sen

c) 2

º 1 30 º

150 )

º 210

(   sen  sen 

sen

d)

6 3 6

3 3 3 6 3 º 2

330 cos º 120 2 º 150

2 3 3 3

3 2

3 3 º 30 cos

º º 30

30 2 cos

2 3 º 150 cos

º º 150

330 cos º 120 2 º 150

 



 















 



 





 

 





 sen tg

sen sen sen

tg

25. (UF-AL) A expressão

) º 120 cos(

º 540

º 300 1





 tg

sen é igual a:

( ) 3

 3 ( ) 4

3 ( ) 4

3 2  ( ) 2  3 ( x )  2  3 Solução. Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se o sinal da função.

  ² ² ³

2 . 3 2 2 2 1

3 2

2 0 1

2 1 3 )º 120 cos(

º 540

º 300 1

2 º 1 120 cos )º 120 cos(

0 º 180 º 540

2 º60 3 º

300 

 





 

  







 





 

 























tg tg sen

tg

sen