UMA ALTERNATIVA PARA O CÁLCULO DO VAR RELATIVO

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UMA ALTERNATIVA PARA O CÁLCULO DO VAR RELATIVO

Autores:

Carlos Antonio Bueno Raymundo – Doutor em engenharia elétrica pela POLI/USP;

Danilo Lopomo Beteto, bacharel em administração de empresas pela FEA/USP: Alameda Jaú 320, Residencial 11, Alphaville, Santana de Parnaíba, 41533415,

danilobeteto@yahoo.com

Resumo:

A fim de que se exerça maior e melhor controle sobre o investimento realizado, comumente adota-se um índice de referência, denominado benchmark, comparativamente ao qual o desempenho auferido pelo gestor ou investidor será analisado. Sob este prisma, em termos de mensuração e controle de riscos, o risco relativo ou Var Relativo do portfolio passam a ser as medidas estatísticas mais apropriadas para auxílio à gestão, em contraposição ao VaR Absoluto. Em se tratando do Var Relativo, a metodologia tradicional para obtenção do mesmo, via matriz de variância-covariância, sofre as mesmas críticas impostas ao cálculo do VaR Absoluto, sendo a principal delas a estimação das correlações entre os ativos quando a quantidade dos mesmos torna-se muito elevada. Focando-se o mercado de renda fixa e adotando-se o IRF-M como índice de referência, deriva-se uma expressão para a obtenção do VaR Relativo através do uso do conceito de duration, simplificando-se sobremaneira o processo de cálculo. Demonstra-se que o VaR Relativo pode ser expresso como uma combinação linear da duration do portfolio e do benchmark adotado. Observa-se, entretanto, que o modelo proposto fica exposto às críticas emergidas quando do uso da duration, sendo a principal o fato de considerar paralelos os movimentos na curva de juros, o que poderá subestimar o VaR Relativo quando a convexidade dos títulos em questão for alta.

Palavra chave: var, var-relativo, duration.

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Uma alternativa para o cálculo do VaR Relativo Introdução

Uma das questões primárias, senão a essencial, no processo de investimento, refere- se aos objetivos que o mesmo deve atingir. Discute-se acerca de perfil de risco, expectativa de retorno, prazo, legislação e outros detalhes inerentes ao processo de aplicação de capital no mercado financeiro.

Para fins de controle e avaliação de gestão, escolhe-se um referencial, comparativamente ao qual será medido o desempenho do investimento. Tal referencial pode ser um índice, um ativo ou uma carteira, de modo que suas características de risco e expectativa de retorno sejam compatíveis com as considerações realizadas quando da escolha do investimento. No mercado financeiro, este referencial é também conhecido como benchmark.

Quando da escolha do benchmark, a postura a ser adotada pelo investidor se restringe a dois tipos: gestão ativa ou gestão passiva. Segundo Gastineau & Kritzman (1999:29,298) gestor ativo é o “gerente de carteira que exerce papel ativo na seleção de títulos e no gerenciamento de risco...” ao passo que o gestor passivo é o “gestor de ativos que os investe em carteiras de índice ou cestas não-administradas de valores mobiliários e outros instrumentos, sem tentar selecionar títulos isolados”. Basicamente, pode-se dizer que a gestão passiva ocorre quando o investimento é administrado de forma a replicar o desempenho do benchmark; a gestão ativa, quando se quer superá-lo.

Tratando efetivamente da gestão passiva, o desempenho do investimento é apenas próximo, e não idêntico, àquele considerado como benchmark¹. Não sendo idêntico ao benchmark, mas apenas possuindo características que os aproximam, a seguinte questão se faz necessária sobre o investimento realizado: se os retornos são similares, o que pode ser dito em relação ao potencial de perda de tal investimento comparativamente ao benchmark?

Face a tal pergunta, tem-se o conceito de Relative Risk, referindo-se o mesmo, segundo Gastineau & Kritzman (1999:333), a “volatilidade ou variância do retorno de um ativo, medida de acordo com o retorno de um referencial, não como a volatilidade absoluta do ativo”. Ainda versando sobre a mesma questão, o RiskMetrics Manual² apresenta o conceito de Relative Var, ou VaR Relativo, idéia central a ser explorada adiante.

Neste contexto, o objetivo do presente artigo é demonstrar, no mercado de renda fixa, sendo o benchmark aqui considerado o índice IRF-M, uma metodologia de obtenção do VaR Relativo através da duration, em contraposição a utilização da matriz de variância- covariância, simplificando de forma significativa o processo de cálculo.

Sendo assim, o artigo será como segue: inicialmente, será abordado o conceito de VaR Relativo, demonstrando-se, em linhas gerais, a metodologia de cálculo originalmente proposta no RMM. Na segunda seção, discorre-se sobre a metodologia de cálculo proposta, utilizando-se do conceito de duration, e sobre os argumentos matemáticos utilizados.

Finalmente, a terceira e última seção trata da conclusão e comentários gerais.

1 A menos que o benchmark, sendo este um ativo ou uma carteira de valores mobiliários, possa ser adquirido e administrado sem que haja custos de administração e transação, o que pode ser considerado algo hipotético.

2 A ser tratado, no presente artigo, pela sigla RMM.

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1. Var Relativo

Conforme citado anteriormente, o conceito de VaR Relativo foi originalmente proposto no RMM. Tal medida foi concebida em função de diversos investidores e administradores de ativos focarem não o risco absoluto de suas posições mas sim a probabilidade e magnitude em que não alcançariam o desempenho do benchmark adotado.

Sendo assim, conforme o próprio RMM, a estatística mais apropriada para mensuração e controle do risco seria não o VaR da carteira de investimento mas sim o VaR da mesma em relação ao benchmark. A idéia é, constituindo-se uma nova carteira composta da diferença entre a posição do investidor e aquela representativa do benchmark, aplicar a metodologia de cálculo sugerida pelo RMM para a obtenção do VaR. Segundo Jorion (1999:209), a fórmula a ser utilizada para o cálculo do VaR Relativo é a seguinte:

VaR Relativo=α (X −X0) (′Σ´X −X0) (1) onde:

α= Inverso da distribuição cumulativa normal padrão;

X = Vetor de posições da carteira de investimento;

X0= Vetor de posições do benchmark;

Σ = Matriz de variância-covariância dos ativos.

Dada a mesma metodologia de cálculo, as mesmas críticas ao processo de obtenção do VaR via matriz de variância-covariância são impostas ao VaR Relativo, quais sejam:

• A quantidade de correlações a serem calculadas aumenta geometricamente com a quantidade de ativos, tornando mais complexa a estimação da matriz de variância- covariância;

• O VaR obtido pode não ser positivo; e

• As correlações podem ser estimadas de maneira imprecisa.

A existência de modelos que permitem simplificar a matriz de variância- covariância, como o modelo diagonal e o de fatores³, a despeito de simplificarem e reduzirem a quantidade de cálculos necessários, tornam os resultados menos precisos, sendo necessário balancear o ganho obtido com tal simplificação do processo em contraposição à perda de acurácia da medida obtida.

Idealmente, portanto, a melhor alternativa seria um modelo que, mantendo-se preciso, não fosse trabalhoso. A próxima seção, sem objetivar esgotar o assunto mas sim propor uma nova metodologia, irá apresentar os argumentos matemáticos para a obtenção do VaR Relativo através da duration, de modo a alcançar os mesmos resultados obtidos via matriz de variância-covariância, reduzindo-se sobremaneira os cálculos necessários para tal.

3 Citado em Jorion (1999:154).

(4)

2. Obtenção do VaR Relativo via duration

Conceitualmente, a derivação da fórmula para obtenção do VaR Relativo via duration segue os mesmos princípios adotados no RMM. Considerando-se duas carteiras⁴, sejam V o valor presente do índice ou portfolio utilizado como referência (benchmark, por hipótese o IRF-M) e B o valor presente da carteira do investidor, a qual está referenciada em V. Temos então que:

( )

∑

= +

= ^m

t

t t

y V C

1 1

(2)

( )

∑

= +

= ⁿ

k

k k

y B R

1 1 (3) onde:

Ct= Fluxo financeiro do título C na data t;

Rk= Fluxo financeiro do título R na data k;

y= Taxa de juros.

Supondo B<V⁵, temos que D^*_B ≤D_V^*, sendo D_B^* e D_V^* as durations modificadas de B e V, respectivamente. Assim:

( ^D ^y)

D_B ^B

= + 1

* (4)

( ^D ^y)

D_V ^V

= + 1

* (5)

sendo D_B e D_V as durations de Macaulay⁶.

4 Por hipótese, sem comprometimento dos resultados obtidos, assume-se que ambas as carteiras sejam compostas de um único título.

5 Sendo V o IRF-M, tal afirmação seria inválida se e somente todos os títulos federais com rendimento prefixado em poder do público pertencessem a um único investidor, o que, de fato, não ocorre.

6 Definida por Macaulay, em 1938, como a soma ponderada dos vencimentos de cada pagamento de um título do governo, cujas ponderações são proporcionais ao valor presente do fluxo de caixa, isto é:

( )

∑

⁼

∑

=

+

= ^T +

t T

t

t t

y C

y t C

D

1 1

1

1 .

(5)

Seguindo-se a mesma lógica do RMM, criemos então uma terceira carteira, P, dada pela diferença entre a carteira considerada e o índice em relação ao qual a mesma está referenciada, ou seja:

V B

P= − (6)

Pode-se demonstrar que a variação relativa de P em relação a taxa de juros y é dada por:

( ) ( )

∑ ∑

= + + = + +

− +

= ⁿ

k

m

t

t t k

k

y tC y

kR dy

dP

1 1

1

1 1

1 (7) Ainda:

( )

∑

( )

∑

= +

= + − +

= + ⁿ

k

k k m

t

t dy

y kR dy V

y tC V

V dP

1

1 1

1 (8)

Multiplicando-se o último termo de (8) por B B tem-se:

( ^tC^y) ^dy ^B^B ^V ( ^kR^y) ^dy

V V

dP ⁿ

k

k k m

t

t 





− +









=

∑

+

∑

= +

1

1 1

1

( ^tC^y) ^dy ^V^B ^B ( ^kR^y) ^dy

V V

dP ⁿ

k

k k m

t

t 





− +









=

∑

+

∑

= +

1

1 1

1 (9)

De fato:

( ) ( ) ( )

∑ ∑

∑

= =

=

+ =

= +

= + + +

= + +

m

t

m

t

V V

m V

t

t t

t

t D

y D D

y y C

y t C

y y tC

V 1 1

*

1

1 1 1

1 1

1 (10)

e:

( ) ( ) ( )

∑ ∑

∑

= =

=

+ =

= +

= + + +

= + +

n

k

n

k

B B

n B

k

k k

k

k D

y D D

y y R

y k R

y y kR

B 1 1

*

1

1 1 1

1 1

1 (11)

Substituindo (10) e (11) em (9) temos:

dy V D dy B V D

dP

B V

*

* −

= (12)

(6)

A equação (12) nos diz que, em termos percentuais, a variação do portfolio criado P sobre o índice de referência V pode ser expressa como uma combinação linear das durations modificadas das carteiras V e B, expostas anteriormente.

Para obtermos o VaR Relativo, basta calcularmos o desvio-padrãao dos retornos do portfolio P em relação ao índice V, ou seja, devemos encontrar o desvio-padrão da expressão indicada em (12). Temos que a variância de tal expressão é dada por:

( ) ^D ( )^dy

V dy B V D

dP

B V

2

* 2

*

2 σ σ

σ = −



 





Portanto:

VaR Relativo = ^D ( )^dy

V D B V

dP

B

V σ

σ 



−

=



 



 * *

(13)

Uma vez que a duration de uma carteira V composta por N títulos é a média ponderada das durations individuais de cada um dos títulos que a integram, a extensão das expressões acima torna-se imediata, permitindo que o mesmo resultado seja obtido para carteiras compostas por mais de um título, como queríamos demonstrar.

3. Conclusões

No tocante a gestão de riscos, quando o objetivo do investimento é obter um desempenho similar a um índice de referência, o VaR absoluto da carteira composta pelo investidor deixa de ser a medida estatística mais apropriada para mensuração do risco.

Para este fim, outras informações passam a ser úteis, como o risco relativo ou o VaR Relativo da carteira em relação ao benchmark adotado. Focando no conceito de VaR Relativo, viu-se que o mesmo, calculado através da metodologia padrão, sofre as mesmas críticas impostas ao cálculo do VaR absoluto, sendo uma delas a complexidade da estimação da matriz de variância-covariância quando o número de ativos da carteira torna- se muito elevado.

A expressão obtida em (13) indica que todo este processo pode ser simplificado, bastando apenas que sejam calculadas as durations modificadas da carteira do investidor e do índice de referência adotado, além da volatilidade da variação da taxa de juros, de forma que sejam similares os resultados obtidos através de ambas as metodologias.

Entretanto, em função do uso do conceito de duration, pode-se criticar o modelo da mesma forma como tal conceito o é, principalmente pelo fato de considerar paralelos os movimentos na curva de juros. Sendo elevada a convexidade dos títulos em questão, o cálculo do VaR Relativo via duration pode subestimar o risco em que se está incorrendo.

Além da discussão acerca da metodologia mais conveniente de cálculo do VaR Relativo, vale ressaltar a importância de outras medidas e informações que auxiliem na gestão, como o VaR Marginal ou Incremental. Dessa forma, o risco pode ser decomposto e a carteira melhor analisada em relação ao índice de referência.

Nota-se que, de posse do Var Relativo, torna-se simples a obtenção de tais informações. Sob a metodologia proposta, bastaria que fosse recalculada a duration

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modificada, excluindo (ou incluindo) o ativo em questão da carteira e comparando-se o novo valor obtido para o VaR Relativo com o anterior. Assim, teríamos o VaR Marginal ou Incremental do ativo considerado em relação ao benchmark.

4. Bibliografia

GASTINEAU, Gary L., KRITZMAN, Mark P. Dicionário de Administração de Risco Financeiro. São Paulo: BMF Brasil, 1999 (Trad. Bolsa de Mercadorias e Futuros).

JORION, Philippe. Value at Risk: A Nova Fonte de Referência para o Controle do Risco de Mercado. São Paulo: BMF Brasil, 1998 (Trad. Bolsa de Mercadorias e Futuros).

MINA, Jorge, XIAO, Jerry Y. Return to RiskMetrics: The Evolution of a Standard.

New York: J. P. Morgan Bank, 2001