23.1 Representa¸ c˜ oes de Grupos . . . 1210

(1)

Uma Breve Introdu¸c˜ ao ` a Teoria das Representa¸c˜ oes de Grupos

Conte´ udo

23.1 Representa¸ c˜ oes de Grupos . . . 1210

23.2 M´ edias Invariantes. A Medida de Haar . . . 1216

23.3 Representa¸ c˜ oes de Grupos Compactos . . . 1218

23.3.1 Representa¸c˜ oes de Grupos Compactos em Espa¸cos de Hilbert Separ´ aveis . . . 1219

23.4 O Teorema de Peter-Weyl . . . 1225

23.5 Representa¸ c˜ oes Irredut´ıveis de Dimens˜ ao Finita de SU(2) . . . 1234

23.6 Representa¸ c˜ oes Irredut´ıveis de Dimens˜ ao Finita de L

₊^↑

. . . 1239

23.7 Exerc´ıcios Adicionais . . . 1242

G ^rupos desempenham um papel importante na F´ısica devido ` a sua rela¸c˜ ao com transforma¸c˜ oes de simetria. Na F´ısica Quˆ antica (na Mecˆ anica Quˆ antica ou na Teoria Quˆ antica de Campos), o conjunto de estados puros de um sistema f´ısico compõe um espa¸co de Hilbert e, portanto, torna-se relevante estudar a a¸c˜ ao de grupos de simetria em espa¸cos vetoriais. Essa é a motiva¸c˜ ao b´ asica do estudo de representa¸c˜ oes de grupos, ao qual dedicamos o presente cap´ıtulo. Inicialmente fazemos uma apresenta¸c˜ ao resumida das ideias gerais da teoria de representa¸c˜ oes de grupos. Na Se¸c˜ ao 23.2, p´ agina 1216, apresentamos a no¸c˜ ao de medida invariante e na Se¸c˜ ao 23.4, p´ agina 1225, apresentamos o importante Teorema de Peter-Weyl. Na Se¸c˜ ao 23.5, p´ agina 1234, discutimos com algum detalhe um tema de grande interesse para a F´ısica Quˆ antica: a classifica¸c˜ ao de representa¸c˜ oes irredut´ıveis dos grupos SU(2). H´ a muitas referências que estendem e aprofundam o material aqui apresentado e limitamo-nos a sugerir algumas poucas: as referências [290], [32], [354], [138] e [413]. Para aplica¸c˜ oes ao contexto de fun¸c˜ oes especiais destaca-se [405]. Para aplica¸c˜ oes gerais à F´ısica Quˆ antica, vide [425], [412], [112] e [113].

Em algumas das se¸c˜ oes que seguem faremos uso de algumas no¸cões de Topologia e de Análise. A no¸c˜ ao de grupo topol´ ogico foi introduzida na Se¸c˜ ao 22.2, p´ agina 1182. As no¸c˜ oes de espa¸co topol´ ogico compacto e de espa¸co topol´ ogico localmente compacto foram introduzido na Se¸c˜ ao 32.3.1, p´ agina 1536. Vide também Se¸c˜ ao 32.3, p´ agina 1536, e Se¸c˜ ao 32.3.6, p´ agina 1568. A teoria b´ asica dos espa¸cos de Hilbert foi desenvolvida no Cap´ıtulo 38, p´ agina 1976. O tratamento de operadores compactos é feito na Se¸c˜ ao 39.8, p´ agina 2138. Referências a material contido em outros cap´ıtulos deste texto serão feitas se e quando necessário.

23.1 Representa¸c˜ oes de Grupos

A no¸c˜ ao de representa¸c˜ ao de grupos foi introduzida na Se¸c˜ ao 2.1.9.2, p´ agina 122. Recordemo-la: uma representa¸c˜ ao de um grupo G em um espa¸co vetorial V ´e uma aplica¸c˜ ao que a cada g ∈ G associa um operador linear invers´ıvel Π(g) : V → V de modo que as seguintes condi¸c˜ oes sejam satisfeitas:

1. Π(g)Π(h) = Π(gh), ∀ g, h ∈ G.

2. Π(e) = 1 . 3. Π g

⁻¹

= Π(g)

⁻¹

, ∀ g ∈ G.

Acima, e é a unidade de G e 1 o operador identidade agindo em V . O item 1 afirma que uma representa¸c˜ ao é um homomorfismo de G no grupo GL(V ) dos operadores lineares invers´ıveis de V em V . Comentamos que as propriedades dos itens 2 e 3, acima, derivam da propriedade 1 (como é o caso para homomorfismos de grupos. Vide coment´ arios à p´ agina 123), tendo sido colocadas aqui apenas por ênfase.

1210

(2)

Podemos tamb´em, equivalentemente, dizer que uma representa¸c˜ ao de um grupo em um espa¸co vetorial V ´e uma a¸c˜ ao

`a esquerda de G em V atrav´es de operadores lineares invers´ıveis.

• A representa¸ c˜ ao trivial

A representa¸c˜ ao que associa todo g ∈ G ao operador identidade em V , ou seja, tal que π(g) = 1, ∀ g ∈ G, ´e denominada representa¸c˜ ao trivial.

• Intertwiners

Seja G um grupo e V

1

, V

2

dois espa¸cos vetoriais (sobre o mesmo corpo) onde atuem duas representa¸c˜ oes de G: Π

1

e Π

2

, respectivamente em V

1

e V

2

. Um operador U : V

1

→ V

2

tal que

U Π

1

(g) = Π

2

(g)U ,

para todo g ∈ G, ´e dito ser um operador de entrela¸camento de Π

1

e Π

2

. Operadores de entrela¸camento s˜ao mais frequentemente denominados intertwiners.

Voltaremos a falar sobre intertwiners quando tratarmos do importante Lema de Schur, adiante.

• Representa¸ c˜ oes equivalentes

Duas representa¸c˜ oes Π

1

e Π

2

de um mesmo grupo G, agindo em espa¸cos vetoriais V

1

e V

2

, respectivamente, s˜ao ditas ser representa¸c˜ oes equivalentes se existir um operador linear invers´ıvel U : V

1

→ V

2

tal que

U Π

1

(g) = Π

2

(g)U para todo g ∈ G, ou seja, se Π

1

e Π

2

possu´ırem um intertwiner invers´ıvel.

E muito fácil mostrar que a equivalência de duas representa¸cões é uma rela¸c˜ ´ ao de equivalência (no sentido usual) e que, portanto, a classe de todas as representa¸c˜ oes de um grupo pode ser quebrada em classes de representa¸c˜ oes equivalentes.

Um grupo pode ter v´arias representa¸c˜ oes distintas (e inequivalentes) em um mesmo espa¸co vetorial.

E. 23.1 Exerc´ıcio. Seja G = ( R , +) e V = R

²

. Mostre que

T

1

(x) :=





 1 x 0 1







, T

2

(x) :=





 1 0 x 1







e R(x) :=







cos x − sen x sen x cos x





 ,

x ∈ R , s˜ ao trˆes representa¸c˜ oes de G. Mostre que T

1

e T

2

s˜ ao equivalentes (sugest˜ ao: tome U = (

^{0 1}_{1 0}

)). Mostre que R e T

1

(ou T

2

) n˜ ao s˜ ao equivalentes (sugest˜ ao: se o fossem, veja o que ocorreria para x = 2π). 6

• Subespa¸ cos invariantes

Seja G um grupo, V um espa¸co vetorial e Π uma representa¸c˜ ao de G em V . Um subespa¸co W de V ´e dito ser um subespa¸co invariante por Π se Π(g)w ∈ W para todo w ∈ W e todo g ∈ G, ou seja, se Π(G)W ⊂ W .

Qualquer representa¸c˜ ao possui sempre pelo menos dois subespa¸cos invariantes: aquele formado apenas pelo vetor nulo W = { 0 } e aquele formado pelo espa¸co todo W = V . Esses subespa¸cos invariantes s˜ao ditos triviais.

E. 23.2 Exerc´ıcio. 1. Mostre que a representa¸c˜ ao T

1

, definida acima, tem um subespa¸co invariante de dimens˜ ao 1, a saber, o subespa¸co formado pelos vetores da forma (

^a0

), a ∈ R . Mostre que nenhum outro subespa¸co de dimens˜ ao 1 de R

²

´e invariante por T

1

. 2. Mostre que a representa¸c˜ ao T

2

, definida acima, tem um subespa¸co invariante de dimens˜ ao 1, a saber, o subespa¸co formado pelos vetores da forma (

⁰_b

), b ∈ R . Mostre que nenhum outro subespa¸co de dimens˜ ao 1 de R

²

´e invariante por T

2

. 3. Mostre que a representa¸c˜ ao R, definida acima, n˜ ao tem nenhum subespa¸co invariante n˜ ao-trivial. 6

E. 23.3 Exerc´ıcio. Verifique que as express˜ oes abaixo definem representa¸c˜ oes de G = ( R , +) em V = R

⁴

e identifique seus

(3)

subespa¸cos invariantes.

Π

1

(x) =







1 x 0 0

0 1 0 0

0 0 1 x

0 0 0 1







, Π

2

(x) =







1 x 0 0

0 1 0 0

0 0 cos x − sen x 0 0 sen x cos x







, Π

3

(x) =







cos x − sen x 0 0

sen x cos x 0 0

0 0 cos x − sen x

0 0 sen x cos x





 .

6 • Representa¸ c˜ oes irredut´ıveis

De grande importˆ ancia ´e o conceito de representa¸c˜ ao irredut´ıvel de um grupo G em um espa¸co vetorial V . Uma representa¸c˜ ao Π de um grupo G em um espa¸co vetorial V ´e dita ser irredut´ıvel se os seus ´ unicos subespa¸cos invariantes forem os triviais.

Uma representa¸c˜ ao que n˜ ao ´e irredut´ıvel ´e dita ser redut´ıvel.

E. 23.4 Exerc´ıcio. Mostre que as representa¸c˜ oes T

1

e T

2

, definidas ` a p´ agina 1211, s˜ ao redut´ıveis. Mostre que a representa¸c˜ ao R,

tamb´em acima, ´e irredut´ıvel. 6

Vamos supor que V seja um espa¸co de dimensão finita, digamos n ≥ 2, e que Π seja uma representa¸c˜ ao de um grupo G em V que possua um subespa¸co invariante n˜ ao-trivial W (ou seja, Π é redut´ıvel). Seja m (com 0 < m < n) a dimensão de W . Ent˜ ao, é poss´ıvel encontrar uma base em V tal que Π(g) possui a representa¸c˜ ao matricial em blocos

Π(g) =



 



π

1

(g) φ(g) 0 π

2

(g)



 



para todo g ∈ G, onde π

1

(g) ´e uma matriz m × m, π

2

(g) ´e uma matriz (n − m) × (n − m), e φ(g) ´e uma matriz m × (n − m).

Mostrar isso ´e bem simples, basta representar cada v ∈ V em uma base e

1

, . . . , e

n

, onde e

1

. . . , e

m

formam uma base de W . Fa¸ca-o!

O seguinte exerc´ıcio revela uma propriedade importante dos blocos π

1

e π

2

:

E. 23.5 Exerc´ıcio. Mostre que π

1

e π

2

definidos acima s˜ ao tamb´em representa¸ c˜ oes de G. Para tal, mostre que, como Π(g)Π(h) = Π(gh) para todos g, h ∈ G, ent˜ ao valem π

1

(g)π

1

(h) = π

1

(gh), π

2

(g)π

2

(h) = π

2

(gh) e π

1

(g)φ(h) + φ(g)π

2

(h) = φ(gh). 6 Uma representa¸c˜ ao Π de um grupo G em um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita V ´e dita ser uma representa¸c˜ ao totalmente redut´ıvel se for redut´ıvel e se V puder ser escrita como uma soma direta de subespa¸cos invariantes por Π:

V = V

1

⊕ · · · ⊕ V

k

. Em tal caso, Π(g) pode ser escrita em uma base conveniente na forma de blocos

Π(g) =



 

 π

1

(g)

. ..

π

k

(g)



 



para todo g ∈ G, onde cada π

i

(g) ´e uma representa¸c˜ ao de G agindo no espa¸co invariante V

i

de Π. Em um tal caso podemos escrever Π na forma Π = π

1

⊕ · · · ⊕ π

k

(vide a no¸c˜ ao de representa¸c˜ ao soma direta `a p´ agina 171. Vide, em particular, a defini¸c˜ ao (2.94)).

Particularmente importante ´e a situa¸c˜ ao em que Π ´e totalmente redut´ıvel e cada π

i

´e irredut´ıvel. Em tal caso dizemos que Π ´e uma representa¸c˜ ao maximalmente redut´ıvel, ou ainda uma representa¸c˜ ao completamente redut´ıvel.

E. 23.6 Exerc´ıcio. Sejam as representa¸c˜ oes T

1

e T

2

definidas ` a p´ agina 1211. Mostre que T

1

e T

2

n˜ ao s˜ ao totalmente redut´ıveis. 6

(4)

E. 23.7 Exerc´ıcio. Sejam as representa¸c˜ oes Π

1

, Π

2

e Π

3

definidas ` a p´ agina 1211. Mostre que Π

1

e Π

2

s˜ ao totalmente mas n˜ ao

maximalmente redut´ıveis. Mostre que Π

3

´e maximalmente redut´ıvel. 6

As defini¸c˜ oes acima, de representa¸c˜ oes totalmente e maximalmente redut´ıveis, podem ser estendidas ao caso de representa¸c˜ oes em espa¸cos de dimensão n˜ ao-finita (notadamente, a espa¸cos de Hilbert separ´ aveis), mas n˜ ao faremos uso dessas no¸c˜ oes em nosso tratamento inicial, restringindo-nos ao caso de dimensão finita. Nesse contexto, a seguinte proposi¸c˜ ao é importante:

Proposi¸ c˜ ao 23.1 Seja V um espa¸co vetorial complexo de dimens˜ ao finita, dotado de um produto escalar h· , ·i , e seja Π uma representa¸c˜ ao de um grupo G por operadores unit´ arios (em rela¸c˜ ao a esse produto escalar). Ent˜ ao, ou Π ´e irredut´ıvel

ou ´e maximalmente redut´ıvel. 2

Para provar essa proposi¸c˜ ao, vamos antes demonstrar o seguinte lema, o qual tem importˆ ancia por si s´o, como veremos mais adiante.

Lema 23.1 Seja V um espa¸co vetorial complexo, dotado de um produto escalar h· , ·i , e seja Π uma representa¸c˜ ao de um grupo G por operadores unit´ arios (em rela¸c˜ ao a esse produto escalar). Se W ´e um subespa¸co invariante por Π, ent˜ ao seu complemento ortogonal W

^⊥

(em rela¸c˜ ao ao produto escalar) tamb´em o ´e. 2

Prova. Como Π ´e unit´ aria, vale Π(g)

^∗

= Π(g)

⁻¹

= Π g

⁻¹

para todo g ∈ G. Seja w

^′

∈ W

^⊥

e w ∈ W . Ent˜ ao, para

qualquer g ∈ G

Π(g)w

^′

, w

=

w

^′

, Π(g)

^∗

w

=

w

^′

, Π(g

⁻¹

)w

= 0 , pois Π g

⁻¹

w ∈ W , j´a que W ´e invariante, e w

^′

é ortogonal a todo elemento de W . Como w é um elemento arbitrário de W , isso mostrou que Π(g)w

^′

∈ W

^⊥

para todo g ∈ G, e para qualquer w

^′

∈ W

^⊥

, provando assim que W

^⊥

´e invariante.

Prova da Proposi¸c˜ ao 23.1. Se Π ´e unit´ aria e ´e redut´ıvel, ent˜ ao V possui um subespa¸co invariante n˜ ao-trivial V

1

e, pelo lema acima, V

2

≡ V

₁^⊥

é também invariante. Logo, Π é totalmente redut´ıvel, V = V

1

⊕ V

2

e Π = π

1

⊕ π

2

. Agora, ´e f´acil ver que cada π

1

é também uma representa¸c˜ ao unit´ aria (justifique!). Assim, podemos aplicar a mesma conclusão a cada π

i

e, se π

i

for redut´ıvel, podemos tornar a quebrar o subespa¸co V

i

em subespa¸cos invariantes ainda menores e π

i

em uma soma de representa¸c˜ oes unit´ arias menores. Como a dimensão de V é finita, esse procedimento ter´ a for¸cosamente um fim e cada representa¸c˜ ao menor a que se chegar será for¸cosamente irredut´ıvel.

E. 23.8 Exerc´ıcio. Mostre que as mesmas conclus˜ oes valem para representa¸c˜ oes ortogonais em espa¸cos vetoriais reais. 6

O Lema 23.1 possui um outro corol´ ario relevante ao contexto de representa¸c˜ oes unit´ arias em espa¸cos de Hilbert

¹

. Corol´ ario 23.1 Seja V um espa¸co de Hilbert complexo, dotado de um produto escalar h· , ·i , e seja Π uma representa¸c˜ ao de um grupo G por operadores unit´ arios (em rela¸c˜ ao a esse produto escalar). Se W ´e um subespa¸co invariante por Π,

ent˜ ao seu fecho W tamb´em o ´e. 2

Prova. Pela Proposi¸c˜ ao 38.2, p´ agina 1983, tem-se W = W

^⊥

⊥

. Pelo Lema 23.1, W

^⊥

´e um subespa¸co invariante por Π e pelo mesmo Lema 23.1, W

^⊥

⊥

tamb´em o ´e.

• Representa¸ c˜ oes irredut´ıveis para operadores

Um outro conceito importante ´e o seguinte. Uma representa¸c˜ ao Π de um grupo G em um espa¸co vetorial V ´e dita ser uma representa¸c˜ ao irredut´ıvel para operadores se possuir a seguinte propriedade: os ´ unicos operadores lineares A : V → V tais que vale

AΠ(g) = Π(g)A para todo g ∈ G s˜ao da forma A = λ 1 , ou seja, s˜ao m´ ultiplos da identidade.

1Espa¸cos de Hilbert s˜ao estudados no Cap´ıtulo 38, p´agina 1976.

(5)

Podemos nos perguntar: qual a rela¸c˜ ao entre essa no¸c˜ ao e a de representa¸c˜ ao irredut´ıvel? Vamos demonstrar adiante os seguintes fatos:

1. Em um espa¸co de Hilbert, toda representa¸c˜ ao unit´ aria que seja irredut´ıvel para operadores ´e tamb´em irredut´ıvel.

2. Toda representa¸c˜ ao irredut´ıvel complexa de dimens˜ao finita ´e irredut´ıvel para operadores.

V´ arias das consequˆencias mais importantes da teoria das representa¸c˜ oes de grupos s˜ao extra´ıdas dessas observa¸c˜ oes.

Como vemos, ambas as afirma¸c˜ oes juntas dizem-nos que, para representa¸c˜ oes unit´ arias e em espa¸cos de Hilbert de dimensão finita (de particular interesse na F´ısica Quˆ antica), os conceitos de representa¸c˜ ao irredut´ıvel e representa¸c˜ ao irredut´ıvel para operadores são coincidentes. Esse fato é importante por diversas raz˜ oes. Uma delas é prática: por vezes, a maneira mais f´ acil de se demonstrar que uma dada representa¸c˜ ao unit´ aria e de dimensão finita de um grupo é irredut´ıvel e provar que a mesma é irredut´ıvel por operadores.

Vamos come¸car demonstrando a afirma¸c˜ ao 1, a qual formulamos na seguinte proposi¸c˜ ao:

Proposi¸ c˜ ao 23.2 Seja Π uma representa¸c˜ ao unit´ aria em um espa¸co de Hilbert complexo H . Se Π ´e irredut´ıvel para

operadores, ent˜ ao Π ´e tamb´em uma representa¸c˜ ao irredut´ıvel. 2

Prova. Vamos supor que W seja um subespa¸co invariante por Π. Pelo Corol´ ario 23.1, p´ agina 1213, podemos supor que W ´e fechado. Seja P o projetor sobre W . Ent˜ ao, pelo Teorema da Decomposi¸c˜ ao Ortogonal, Teorema 38.2, p´ agina 1982, 1 − P ´e o projetor sobre W

^⊥

, que é também invariante, pois Π é unit´ aria. ´ E evidente que, para cada x ∈ H vale

Π(g)P x = P Π(g)P x , pois Π(g)P x ∈ W . Por outro lado, como x = P x + ( 1 − P )x, ent˜ ao

PΠ(g)x = PΠ(g)P x + P Π(g)(1 − P )x = P Π(g)P x ,

pois P Π(g)(1 − P )x = 0, j´a que W

^⊥

´e invariante. Comparando-se, conclu´ımos que Π(g)P x = PΠ(g)x para todo x ∈ H e todo g ∈ G, ou seja,

Π(g)P = P Π(g)

para todo g ∈ G. Porém, como Π é irredut´ıvel para operadores, isso só é poss´ıvel se P = λ1. Como P

²

= P , tem-se λ = 0 ou λ = 1. No primeiro caso P = 0, no segundo, P = 1 , ou seja, no primeiro caso W = { 0 } e no segundo W = H . Ora, isso diz precisamente que Π ´e irredut´ıvel.

• O Lema de Schur

Vamos agora passar à demonstra¸c˜ ao da afirma¸c˜ ao 2 da p´ agina 1214, acima. A mesma é consequência (Corol´ ario 23.3, abaixo) de um lema algébrico de grande importˆ ancia: o chamado Lema de Schur

²

.

Lema 23.2 (Lema de Schur) Se Π

1

e Π

2

s˜ ao duas representa¸c˜ oes irredut´ıveis de um grupo G em espa¸cos vetoriais n˜ ao-triviais

³

V

1

e V

2

, respectivamente, e A : V

1

→ V

2

´e um intertwiner de Π

1

e Π

2

, ou seja, AΠ

1

(g) = Π

2

(g)A para todo

g ∈ G, ent˜ ao ou A ´e bijetor ou A = 0. 2

Prova. Sejam Ker (A) := { x ∈ V

1

| Ax = 0 } e Ran (A) := { y ∈ V

2

| y = Ax para algum x ∈ V

1

} , o n´ ucleo e a imagem de A, respectivamente. ´ E f´acil ver que Ker (A) e Ran (A) s˜ao subespa¸cos invariantes de Π

1

e Π

2

, respectivamente. De fato, se x ∈ Ker (A) tem-se Ax = 0. Logo, AΠ

1

(g)x = Π

2

(g)Ax = 0, provando que Π

1

(g)x ∈ Ker (A) para todo g ∈ G, ou seja, Ker (A) ´e invariante por Π

1

. Analogamente, se y ∈ Ran (A), temos que y = Ax para algum x ∈ V

1

. Assim, Π

2

(g)y = Π

2

(g)Ax = AΠ

1

(g)x ∈ Ran (A), mostrando que Ran (A) ´e invariante por Π

2

.

Pelas hip´ oteses do lema, Π

1

e Π

2

s˜ao irredut´ıveis e s´o possuem subespa¸cos invariantes triviais. Podem, portanto, valer apenas os seguintes quatro casos:

2Issai Schur (1875–1941). O trabalho original de Schur ´e Issai Schur “Neue Begrundung der Theorie der Gruppencharaktere”, Sitzungsbe- richte der K¨oniglich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 406–432 (1905).

3Um espa¸co vetorial é dito não-trivial se não for composto apenas pelo vetor nulo.

(6)

1. Ker (A) = V

1

e Ran (A) = V

2

. 2. Ker (A) = { 0 } e Ran (A) = V

2

. 3. Ker (A) = V

1

e Ran (A) = { 0 } . 4. Ker (A) = { 0 } e Ran (A) = { 0 } .

Os casos 1 e 4 s˜ao imposs´ıveis: se Ker (A) = V

1

n˜ ao se pode ter Ran (A) = V

2

(pois se Ker (A) = V

1

, ent˜ ao Ran (A) = { 0 } );

se Ker (A) = { 0 } n˜ ao se pode ter Ran (A) = { 0 } (pois se Ran (A) = { 0 } , ent˜ ao Ker (A) = V

1

). Assim, podem valer apenas os casos 2 e 3. No caso 2 tem-se que A ´e bijetora. No caso 3, tem-se que A = 0.

O Lema de Schur tem várias consequências importantes que listamos nos corol´ arios que seguem. Ele será também usado de forma crucial na demonstra¸c˜ ao do importante Teorema de Peter-Weyl, Teorema 23.5, p´ agina 1226.

Corol´ ario 23.2 Sejam V

1

e V

2

espa¸cos vetoriais n˜ ao-triviais complexos de dimens˜ ao finita, e sejam Π

1

e Π

2

duas representa¸c˜ oes irredut´ıveis de um grupo G em V

1

e V

2

, respectivamente. Seja A : V

1

→ V

2

´e um intertwiner de Π

1

e Π

2

, ou seja, AΠ

1

(g) = Π

2

(g)A para todo g ∈ G. Se A for bijetor, ent˜ ao A e ´ unico, a menos de multiplica¸c˜ ao por escalar. 2

Prova. Se A ´e bijetor, ent˜ ao a dimens˜ao de V

1

´e igual ` a de V

2

e A pode ser visto como uma matriz quadrada. Seja B um outro intertwiner de Π

1

e Π

2

. Ent˜ ao, para qualquer λ ∈ C tem-se (λA − B)Π

1

(g) = Π

2

(g)(λA − B). Portanto, pelo Lema de Schur, Lema 23.2, ou λA − B é nulo ou é invers´ıvel. Afirmamos, porém, que podemos escolher λ de modo que det(λA − B) = 0. De fato, como A possui inversa, temos λA − B = A λ1 − A

⁻¹

B

e vale det(λA − B) = det(A) det λ 1 − A

⁻¹

B

. Agora, det(A) 6 = 0, mas det λ 1 − A

⁻¹

B

é um polinômio n˜ ao-nulo em λ (o polinômio caracter´ıstico da matriz A

⁻¹

B) e polinômios sempre têm ra´ızes complexas. Se escolhermos λ como uma dessas ra´ızes, teremos que a matriz λA − B n˜ ao será invers´ıvel e, portanto, será nula e valer´ a B = λA.

Corol´ ario 23.3 Se Π ´e uma representa¸c˜ ao irredut´ıvel complexa de dimens˜ ao finita de um grupo G, ent˜ ao Π ´e irredut´ıvel

para operadores. 2

Prova. Seja A tal que AΠ(g) = Π(g)A para todo g ∈ G. Sabemos tamb´em que 1 Π(g) = Π(g) 1 , trivialmente. Pela unicidade afirmada no Corol´ario 23.2, A = λ 1 .

A afirma¸c˜ ao do Corol´ario 23.3 possui uma extens˜ao importante para representa¸c˜ oes em espa¸cos de Hilbert.

Corol´ ario 23.4 Seja H um espa¸co de Hilbert complexo e seja Π uma representa¸c˜ ao irredut´ıvel de um grupo G por operadores limitados agindo em H . Seja A : H → H um operador limitado e agindo em H que satisfa¸ca AΠ(g) = Π(g)A

para todo g ∈ G. Ent˜ ao A = λ1 para algum λ ∈ C . 2

Prova. Temos trivialmente que 1Π(g) = Π(g)1 para todo g ∈ G. Logo, para qualquer λ ∈ C , vale também (A − λ1)Π(g) = Π(g)(A − λ1) para todo g ∈ G. Pelo Lema de Schur, Lema 23.2, ou A − λ1 = 0 ou A − λ1 é bijetor. Mas se escolhermos λ no espectro de A (que é n˜ ao-vazio. Vide e.g., Proposi¸c˜ ao 39.37, p´ agina 2071), isso n˜ ao seria poss´ıvel. Logo, para um tal λ ∈ σ(A) vale A = λ1

Outro corol´ ario ´ util ´e o seguinte:

Corol´ ario 23.5 As representa¸c˜ oes irredut´ıveis complexas de dimens˜ ao finita de um grupo Abeliano s˜ ao unidimensionais.

2 Prova. Se G ´e Abeliano e Π uma representa¸c˜ ao de G, vale Π(h)Π(g) = Π(g)Π(h) para quaisquer g, h ∈ G. Assim, se Π

é irredut´ıvel complexa e de dimensão finita, segue do corol´ ario anterior que Π(h) = λ(h) 1 , ou seja, Π(h) é uma matriz

diagonal com λ(h) na diagonal. Como Π é irredut´ıvel, a dimensão do espa¸co só pode ser igual a 1.

(7)

A afirma¸c˜ ao do Corolário 23.5 n˜ ao é necessariamente válida no caso de representa¸c˜ oes irredut´ıveis reais de dimensão finita de um grupo Abeliano: o grupo SO(2) tem representa¸c˜ oes irredut´ıveis reais que n˜ ao são unidimensionais. Por exemplo, aquela que define o próprio grupo SO(2): R(φ) =

cos(φ) −sen (φ) sen (φ) cos(φ)

, φ ∈ ( − π, π].

• Exemplos de representa¸ c˜ oes irredut´ıveis de grupos Abelianos

E. 23.9 Exerc´ıcio. Mostre que as representa¸c˜ oes irredut´ıveis complexas de dimens˜ ao finita do grupo Z

_N

, N ≥ 2, s˜ ao Π

k

(a) = exp

2πik N a

,

a ∈ Z

_N

, k = 0, , . . . N − 1. 6

E. 23.10 Exerc´ıcio. Mostre que as representa¸c˜ oes irredut´ıveis, complexas, cont´ınuas e de dimens˜ ao finita do grupo SO(2) s˜ ao Π

p

(φ) = exp (ipφ) ,

φ ∈ [0, 2π), p ∈ Z . 6

E. 23.11 Exerc´ıcio. Mostre que as representa¸c˜ oes irredut´ıveis, complexas, cont´ınuas e de dimens˜ ao finita do grupo ( R , +) s˜ ao Π

z

(x) = exp (zx) ,

x ∈ R , z ∈ C . 6

E. 23.12 Exerc´ıcio. Mostre que as representa¸c˜ oes irredut´ıveis, unit´ arias, cont´ınuas e de dimens˜ ao finita do grupo ( R , +) s˜ ao Π

k

(x) = exp (ikx) ,

x ∈ R , k ∈ R . 6

E. 23.13 Exerc´ıcio. Mostre que as representa¸c˜ oes irredut´ıveis, complexas, cont´ınuas e de dimens˜ ao finita do grupo ( R

₊

, ·) s˜ ao Π

z

(x) = exp z ln(x)

=: x

^z

,

x ∈ R

₊

, z ∈ C . 6

E. 23.14 Exerc´ıcio. Mostre que as representa¸c˜ oes irredut´ıveis, unit´ arias, cont´ınuas e de dimens˜ ao finita do grupo ( R

₊

, ·) s˜ ao Π

k

(x) = exp ik ln(x)

= x

^ik

,

x ∈ R

₊

, k ∈ R . 6

23.2 M´ edias Invariantes. A Medida de Haar

Seja G um grupo finito e seja f : G → C uma fun¸c˜ ao que a cada elemento g do grupo associa um n´ umero complexo f (g).

Podemos definir a m´edia de f em G por

µ(f ) := 1

#G X

g∈G

f (g) , onde #G ´e o n´ umero de elementos de G.

Essa no¸c˜ ao de m´edia de uma fun¸c˜ ao em um grupo finito possui algumas propriedades importantes. Seja h um elemento fixo mas arbitr´ario de G e definamos as fun¸c˜ oes f

_h^e

(g) := f (hg), f

_h^d

(g) := f (gh) e f

ⁱ

(g) = f (g

⁻¹

). Ent˜ ao, vale que para qualquer h ∈ G

µ(f

_h^e

) = µ(f

_h^d

) = µ(f

ⁱ

) = µ(f ) ,

ou seja, a média é invariante por multiplica¸c˜ ao ` a direita ou ` a esquerda por elementos de G ou pela inversão do argumento

de f .

(8)

E. 23.15 Exerc´ıcio. Mostre isso! 6

Note-se também que a média acima foi normalizada de modo que se f (g) = 1 para todo g ∈ G, ent˜ ao µ(f ) = 1. Por fim, note-se também que a média acima é positiva: se f ≥ 0, ent˜ ao µ(f ) ≥ 0. Fora isso, se f ≥ 0 e µ(f ) = 0, ent˜ ao f (g) = 0 para todo g ∈ G.

Grupos finitos n˜ ao s˜ao os ´ unicos a possuir m´edias invariantes positivas. Vamos a alguns exemplos. Para o grupo SO(2) podemos definir

µ(f ) := 1 2π

Z

π

−π

f (θ)dθ ,

caso a integral seja finita. ´ E f´ acil ver que as propriedades de invariância observadas no caso de grupos finitos são válidas aqui também, inclusive a normaliza¸c˜ ao e a positividade. Para o grupo ( R , +) podemos definir

µ(f ) :=

Z

∞

−∞

f (x)dx ,

caso a integral seja finita. Como se vê essa média é positiva, invariante por transla¸c˜ oes f (x) → f (x + y) e pela troca do argumento da f por seu inverso: f (x) → f ( − x), em analogia ao caso de grupos finitos. Note-se, porém, que essa média n˜ ao pode ser normalizada, pois o grupo n˜ ao é compacto. No caso do grupo ( Z , +) a média invariante é dada por

µ(f ) := X

m∈Z

f (m) , caso o somat´orio infinito seja convergente.

Outro exemplo ´e o grupo ( R

₊

, · ). Aqui a m´edia invariante ´e µ(f ) :=

Z

∞ 0

f (x) 1 x dx , caso a integral seja finita.

E. 23.16 Exerc´ıcio. Mostre que essa m´edia ´e invariante pelas transforma¸c˜ oes f(x) → f(xy), y ∈ R

₊

, e por f(x) → f(1/x). 6

Novamente, note-se que essa m´edia n˜ ao ´e normalizada, pois R

₊

n˜ ao ´e compacto.

Podemos nos perguntar: quais grupos possuem m´edias invariantes positivas como nos exemplos acima? Uma resposta parcial foi dada por Haar

⁴

. O teorema de Haar afirma que se G ´e um grupo compacto, ent˜ ao existe uma medida de integra¸c˜ ao dµ(g) em G, denominada medida de Haar, tal que se a m´edia

µ(f ) = Z

G

f (g)dµ(g)

´e finita, ent˜ ao tem-se Z

G

f (g)dµ(g) = Z

G

f (hg)dµ(g) = Z

G

f (gh)dµ(g) = Z

G

f (g

⁻¹

)dµ(g) para todo h ∈ G. Fora isso, a m´edia ´e normalizada: R

G

dµ(g) = 1 e positiva: se f ≥ 0, ent˜ ao R

G

f dµ ≥ 0 sendo que se f ≥ 0 e R

G

f dµ = 0, ent˜ ao f (g) = 0 para quase todo g ∈ G.

O Teorema de Haar pode ser parcialmente estendido a grupos localmente compactos (como ( R , +) e ( R

₊

, · )): Se G

´e localmente compacto existem medidas positivas de integra¸c˜ ao dµ

^e

(g) e dµ

^d

(g) em G tais que Z

G

f (g)dµ

^e

(g) = Z

G

f (hg)dµ

^e

(g) = Z

G

f (g

⁻¹

)dµ

^e

(g)

e Z

G

f (g)dµ

^d

(g) = Z

G

f (gh)dµ

^d

(g) = Z

G

f (g

⁻¹

)dµ

^d

(g) ,

4Alfr´ed Haar (1885–1933).

(9)

para quaisquer h ∈ G. Ou seja, existem uma medida invariante ` a esquerda e uma outra invariante `a direita. Em alguns casos essas medidas µ

^d

e µ

^e

coincidem (por exemplo, para grupos Abelianos), mas tal nem sempre é o caso para grupos n˜ ao-Abelianos. Um fato importante, que n˜ ao demonstraremos aqui, é que no caso de grupos compactos a medida invariante ` a esquerda e a medida invariante ` a direita também coincidem.

No caso de grupos apenas localmente compactos as duas medidas podem ser distintas e nem sempre podem ser normalizadas. O seguinte exerc´ıcio ilustra esses fatos.

E. 23.17 Exerc´ıcio. Mostre que o conjunto de todas matrizes reais da forma m(a, b) := (

^{a b}_{0 1}

), com a > 0 e b ∈ R , forma um grupo com rela¸c˜ ao ao produto usual de matrizes. Esse grupo, que denotaremos por G, ´e n˜ ao-Abeliano, n˜ ao-compacto mas localmente compacto. Verifique que m(a, b)m(x, y) = m(ax, ay + b) e que m(x, y)m(a, b) = m(ax, xb + y).

Seja f : G → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua e de suporte compacto que denotaremos por f m(x, y)

, sendo (x, y) ∈ (0, ∞) × R . Defina µ

e

(f) :=

Z

∞

−∞

Z

∞ 0

f m(x, y) dx dy

x

²

e µ

d

(f) :=

Z

∞

−∞

Z

∞ 0

f m(x, y) dx dy x . Mostre que µ

e

(f) ´e invariante ` a esquerda pela a¸c˜ ao de G e que µ

d

(f) ´e invariante ` a direita, ou seja, mostre que

Z

∞

−∞

Z

∞ 0

f

m(a, b)m(x, y) dx dy

x

²

= µ

e

(f) e que

Z

∞

−∞

Z

∞ 0

f

m(x, y)m(a, b) dx dy

x = µ

d

(f) .

para toda m(a, b) ∈ G. Sugest˜ ao: constate e use o fato que o determinante Jacobiano da transforma¸c˜ ao (x, y) 7→ (ax, ay + b) vale a

²

, enquanto que o determinante Jacobiano da transforma¸c˜ ao (x, y) 7→ (ax, xb + y) vale a.

Do exposto acima vˆe-se que para o grupo em quest˜ ao a medida invariante ` a esquerda, que na parametriza¸c˜ ao usada ´e dada por

dx dy

x²

, difere da medida invariante ` a direita, que na mesma parametriza¸c˜ ao ´e dada por

^{dx dy}_x

. 6

Na presente versão destas Notas n˜ ao nos estenderemos no estudo da medida de Haar. O estudante é convidado a procurar os clássicos do assunto (p. ex. [289]: “The Haar Integral”, de Leopoldo Nachbin

⁵

. Vide tamb´em [177]- [178]). Como veremos, a medida de Haar de grupos compactos desempenha um papel muito importante no estudo das representa¸c˜ oes dessa classe de grupos. A constru¸c˜ ao da medida de Haar especificamente em grupos de Lie ´e mais simples, vide e.g., [410].

23.3 Representa¸c˜ oes de Grupos Compactos

Nessa se¸c˜ ao trataremos de alguns aspectos mais profundos de representa¸c˜ oes de grupos compactos e, para tal, alguma familiaridade com no¸c˜ oes de Topologia, com a teoria dos Espa¸cos de Hilbert e com a teoria dos operadores compactos ´e requerida.

• Representa¸ c˜ oes de grupos topol´ ogicos em espa¸ cos de Hilbert separ´ aveis

Seja G um grupo topol´ogico e seja Π : G → GL( H ) uma representa¸c˜ ao de G em um espa¸co de Hilbert separ´ avel H . Aqui, GL( H ) denota o grupo dos operadores lineares invers´ıveis agindo em H . O produto escalar em H ser´a denotado por h· , ·i

^H

, ou simplesmente por h· , ·i , e a norma por k · k

^H

, ou simplesmente por k · k . Vamos no que segue considerar apenas representa¸c˜ oes por operadores limitados em H .

Dizemos que Π ´e uma representa¸c˜ ao fortemente cont´ınua se para cada g ∈ G e todo u ∈ H valer k Π(g)u − Π(g

^′

)u k → 0 sempre que g

^′

→ g. Mais tecnicamente, isso significa que para cada g ∈ G e todo u ∈ H vale que para cada ǫ > 0 existe uma vizinhan¸ca N

g, ǫ

∋ g tal que k Π(g)u − Π(g

^′

)u k < ǫ para todo g

^′

∈ N

g, ǫ

.

No que segue trataremos quase exclusivamente de representa¸c˜ oes que sejam fortemente cont´ınuas e, como usual, denotaremos por k Π(h) k a norma operatorial

⁶

de Π(h) com h ∈ G.

• Representa¸ c˜ oes limitadas

Uma representa¸c˜ ao Π : G → GL( H ) ´e dita ser uma representa¸c˜ ao limitada se sup

_g∈G

k Π(g) k < ∞ . Um fato que nos será relevante é que se G for compacto e Π fortemente cont´ınua, ent˜ ao Π é uma representa¸c˜ ao limitada. Isso será

5Leopoldo Nachbin (1922–1993). Vide http://www.dmm.im.ufrj.br/doc/nachbin.htm

6A no¸cão de norma operatorial de um operador agindo em um espa¸co de Banach ou de Hilbert é introduzida na Se¸cão 39.1, página 2018.

(10)

estabelecido no Corol´ario, 23.6, logo abaixo. Faremos uso do seguinte lema sobre grupos localmente compactos, o qual possui interesse por si s´o:

Lema 23.3 Seja G um grupo topol´ ogico localmente compacto e seja Π : G → GL( H ) uma representa¸c˜ ao de G por operadores limitados invers´ıveis em um espa¸co de Hilbert separ´ avel H . Assumamos tamb´em que Π seja fortemente cont´ınua.

Seja g ∈ G e seja C

g

uma vizinhan¸ca compacta de g. Ent˜ ao, existe uma constante finita K

Cg

> 0 tal que Π(h) ≤ K

C_g

para todo h ∈ C

g

. 2

Prova. Seja g ∈ G e seja C

g

uma vizinhan¸ca compacta de g. Para u ∈ H , defina-se O ≡ O

_{u, C}_g

:= { Π(h)u, h ∈ C

g

} . Como C

g

é compacto e Π é fortemente cont´ınua, segue (do Teorema 32.5, p´ agina 1541) que O é um subconconjunto compacto de H e é, portanto, limitado (vide Teorema 32.11, p´ agina 1548). Logo, o conjunto de operadores S := { Π(h), h ∈ C

g

} tem a propriedade que para cada u ∈ H existe uma constante finita M

u

> 0 tal que Π(h)u ≤ M

u

para todo Π(h) ∈ S . Pelo Teorema de Banach-Steinhaus, Teorema 39.6, p´ agina 2036, existe M finito tal que Π(h) ≤ M para todo Π(h) ∈ S . Essa constante M ´e a constante K

Cg

do enunciado, ela depende apenas da vizinhan¸ca compacta C

g

escolhida.

23.3.1 Representa¸c˜ oes de Grupos Compactos em Espa¸cos de Hilbert Se- par´ aveis

Para representa¸c˜ oes de grupos compactos em espa¸cos de Hilbert separ´ aveis, tema no qual focaremos agora, vale o seguinte:

Corol´ ario 23.6 Seja G um grupo topol´ ogico compacto e seja Π : G → GL( H ) uma representa¸c˜ ao de G por operadores limitados invers´ıveis em um espa¸co de Hilbert separ´ avel H . Assumamos tamb´em que Π seja fortemente cont´ınua. Ent˜ ao, Π ´e uma representa¸c˜ ao limitada, ou seja, existe uma constante finita K > 0 tal que Π(g) ≤ K para todo g ∈ G. 2

Prova. Use-se o Lema 23.3 tomando-se C

g

= G.

• Equivalˆ encia com representa¸ c˜ oes unit´ arias

Seja G um grupo compacto e seja µ sua medida invariante. Vamos supor que Π seja uma representa¸c˜ao de G por operadores limitados em um espa¸co de Hilbert complexo H no qual esteja definido um produto escalar h· , ·i . Vamos supor tamb´em que Π seja fortemente cont´ınua.

Com o uso de Π e dµ podemos definir em H um outro produto escalar h· , ·i

G,Π, µ

, que denotaremos simplificadamante por h· , ·i

G

, atrav´es da express˜ao

h x, y i

G

:=

Z

G

D Π(g)x, Π(g)y E dµ(g) , x, y ∈ H . (Recorde-se que para um grupo compacto vale R

G

dµ(g) = 1).

E. 23.18 Exerc´ıcio. Prove que essa express˜ ao de fato define um produto escalar em H . A ´ unica dificuldade est´ a em provar que

hx, xi

_G

= 0 se somente se x = 0. 6

Denotemos por k · k

^G

a norma em H definida pelo produto escalar h· , ·i

G

: k x k

²G

:=

Z

G

Π(g)x

2

dµ(g) ,

e demonstremos a seguinte afirma¸c˜ ao:

(11)

Lema 23.4 A norma k · k

^G

e a norma original do espa¸co de Hilbert, k · k , s˜ ao equivalentes. Logo, H ´e tamb´em um

espa¸co de Hilbert em rela¸c˜ ao ao produto escalar h· , ·i

G

. 2

Prova. Das hip´oteses e do Corol´ ario 23.6, p´ agina 1219, que existe constante K > 0 tal que Π(g) ≤ K para todo g ∈ G.

Logo, para x ∈ H ,

k x k

²G

= Z

G

Π(g)x

2

dµ(g) ≤ K

²

k x k

²

Z

G

dµ(g) = K

²

k x k

²

. (23.1) Por outro lado, temos que k x k = Π g

⁻¹

Π(g)x ≤ Π g

⁻¹

Π(g)x ≤ K Π(g)x . Logo, pela positividade da

medida µ, Z

G

k x k

²

− K

²

Π(g)x

2

dµ(g) ≤ 0 . Assim,

k x k

²

= Z

G

k x k

²

dµ(g) ≤ K

²

Z

G

Π(g)x

2

dµ(g) = K

²

k x k

²G

. (23.2) Em (23.1) e (23.2) estabelecemos que para todo x ∈ H vale K

⁻¹

k x k ≤ k x k

^G

≤ K k x k , provando que as normas k · k

^G

e k · k s˜ao equivalentes.

O fato mais importante sobre esse produto escalar ´e o seguinte: para todo h ∈ G e todos x, y ∈ H valem D

Π(h)x, Π(h)y E

G

= h x, y i

G

e D

x, Π(h)y E

G

= D

Π(h

⁻¹

)x, y E

G

.

E. 23.19 Exerc´ıcio. Prove a primeira rela¸c˜ ao usando a invariˆ ancia da medida µ. Prove a segunda usando a primeira. 6

Essas igualdades afirmam que, no espa¸co de Hilbert complexo H com o produto escalar h· , ·i

G

, cada Π(h), h ∈ G, ´e um operador unit´ ario. Como consequˆencia, vale a seguinte afirma¸c˜ ao:

Proposi¸ c˜ ao 23.3 Seja G um grupo topol´ ogico compacto e seja Π : G → GL( H ) uma representa¸c˜ ao de G por operado- res limitados invers´ıveis em um espa¸co de Hilbert complexo separ´ avel H . Assumamos tamb´em que Π seja fortemente

cont´ınua. Ent˜ ao, Π ´e equivalente a uma representa¸c˜ ao unit´ aria. 2

Essa ideia de se modificar o produto escalar em H da forma acima explicitada de modo a transformar Π em uma representa¸c˜ ao unit´ aria ´e conhecida como truque de Weyl.

• O operador de Peter-Weyl

Vamos agora definir e estudar propriedades de um objeto que nos ser´a ´ util no estudo de representa¸c˜ oes de grupos compactos que imediatamente faremos. Trata-se do operador de Peter-Weyl (tamb´em denominado operador de Weyl).

Esse operador foi introduzido e analisado na referˆencia citada na nota-de-rodap´e 11, p´ agina 1225.

Teorema 23.1 Seja G um grupo topol´ ogico compacto e seja Π : G → GL( H ) uma representa¸c˜ ao de G por operadores lineares limitados em um espa¸co de Hilbert complexo separ´ avel H . Assumamos tamb´em que Π seja fortemente cont´ınua.

Para cada y ∈ H , defina-se o operador linear W

_y

: H → H , denominado operador de Peter-Weyl, por W

_y

x :=

Z

G

D Π(g)y, x E

Π(g)y dµ(g) , x ∈ H . (23.3)

(Que esse operador est´ a definido para todo x ∈ H decorre facilmente da hip´ otese de Π ser uma representa¸c˜ ao limitada e G compacto). Ent˜ ao, valem as seguintes afirma¸c˜ oes:

1. W

_y

´e limitado.

2. W

_y

´e autoadjunto: W

_y

= W

^∗_y

.

(12)

3. W

_y

´e um operador de Hilbert-Schmidt

⁷

.

4. Para todo h ∈ G e todo y ∈ H vale Π(h) W

_y

= W

_y

Π h

⁻¹

∗

. Se Π for uma representa¸c˜ ao unit´ aria, isso diz que Π(h) W

_y

= W

_y

Π h

.

5. Para y 6 = 0 tem-se W

_y

6 = 0. 2

Demonstra¸c˜ ao. Prova do item 1. J´a vimos (Corol´ ario 23.6, p´ agina 1219) que, sob as hip´oteses, existe K > 0 tal que Π(g) ≤ K para todo g ∈ G. Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos

W

_y

x ≤ Z

G

D

Π(g)y, x E Π(g)y dµ(g) ≤ K y Z

G

Π(g)y k x k dµ(g) ≤ K

²

y

²

k x k . Da´ı, vale k W

_y

k ≤ K

²

k y k

²

.

Prova do item 2. Para x, x

^′

∈ H , tem-se x

^′

, W

_y

x

:=

Z

G

D Π(g)y, x ED

x

^′

, Π(g)y E

dµ(g) = Z

G

D x

^′

, Π(g)y E

Π(g)y, x

dµ(g)

= Z

G

D

Π(g)y, x

^′

E

Π(g)y dµ(g), x

=

W

_y

x

^′

, x . Como isso vale para x, x

^′

∈ H arbitr´arios, mostramos que W

_y

= W

^∗_y

.

Prova do item 3. Para x ∈ H , vale

k W

_y

x k

²

=

W

_y

x, W

_y

x

= Z

G

Z

G

D Π(h)y, x E D

Π(g)y, x ED

Π(h)y, Π(g)y E

dµ(h) dµ(g)

= Z

G

Z

G

D

Π(g)y, x ED

x, Π(h)y E D

Π(h)y, Π(g)y E

dµ(h) dµ(g) . Seja { x

n

, n ∈ N } uma base ortonormal completa em H . Temos, para M ∈ N ,

X

M n=1

k W

_y

x

n

k

²

= X

M n=1

Z

G

Z

G

D

Π(g)y, x

n

ED

x

n

, Π(h)y ED

Π(h)y, Π(g)y E

dµ(h) dµ(g)

= Z

G

Z

G

X

M n=1

D Π(g)y, x

n

ED x

n

, Π(h)y E ! D

Π(h)y, Π(g)y E

dµ(h) dµ(g)

= Z

G

Z

G

X

M n=1

D Π(g)y, x

n

ED x

n

, Π(h)y E ! D

Π(h)y, Π(g)y E

dµ(h) dµ(g)

≤ Z

G

Z

G

X

M n=1

D Π(g)y, x

n

ED x

n

, Π(h)y E D

Π(h)y, Π(g)y E dµ(h) dµ(g) . (23.4)

7Para a defini¸cão da no¸cão de operador de Hilbert-Schmidt e suas propriedades, vide Se¸cão 39.10.2, página 2186.

(13)

Agora, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz para somas finitas,

X

M n=1

D

Π(g)y, x

n

ED

x

n

, Π(h)y E ≤ X

M n=1

D

Π(g)y, x

n

E D

x

n

, Π(h)y E

≤ X

M n=1

D

Π(g)y, x

n

E

2

!

1/2

X

M n=1

D

Π(h)y, x

n

E

2

!

1/2

≤ Π(g)y

Π(h)y , sendo que na ´ ultima passagem empregamos a desigualdade de Bessel, express˜ao (38.24), p´ agina 1991. Portanto, re- tornando com isso a (23.4), usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e usando que Π(h) ≤ K para todo h ∈ G, temos

X

M n=1

k W

_y

x

n

k

²

≤ Z

G

Z

G

Π(g)y

Π(h)y

D

Π(h)y, Π(g)y E dµ(h) dµ(g) ≤ K

⁴

k y k

⁴

. Isso mostra que lim

M→∞

P

M

n=1

k W

_y

x

n

k

²

existe e estabelece que W

_y

´e um operador de Hilbert-Schmidt.

Prova do item 4. Usando a invariˆancia da medida µ temos, para todo x ∈ H ,

Π(h) W

_y

x = Z

G

D Π(g)y, x E

Π(h)Π(g)y dµ(g) = Z

G

D Π(g)y, x E

Π(hg)y dµ(g)

g→h⁻¹g

= Z

G

D Π h

⁻¹

g y, x E

Π(g)y dµ(g) = Z

G

D Π(g)y, Π h

⁻¹

∗

x E

Π(g)y dµ(g) = W

_y

Π h

⁻¹

∗

x . Provando que Π(h) W

_y

= W

_y

Π h

⁻¹

∗

. Se Π for uma representa¸c˜ ao unit´ aria, isso diz que Π(h) W

_y

= W

_y

Π h . Prova do item 5. Pela defini¸c˜ ao (23.3) tem-se

y, W

_y

y

= Z

G

Π(g)y, y

2

dµ(g) . (23.5)

Agora,

Π(e)y, y = h y, y i > 0, se y 6 = 0. Como Π ´e fortemente cont´ınua, existe uma vizinhan¸ca da unidade e onde

Π(g)y, y ´e estritamente positiva. Isso implica que o lado direito de (23.5) ´e estritamente positivo e, portanto, y, W

_y

y

> 0, mostrando que W

_y

n˜ ao ´e o operador nulo.

Ainda sobre o operador de Peter-Weyl, no caso de representa¸c˜oes unit´ arias temos o seguinte resultado relevante:

Proposi¸ c˜ ao 23.4 Seja G um grupo topol´ ogico compacto e seja Π : G → GL( H ) uma representa¸c˜ ao de G por operadores unit´ arios em um espa¸co de Hilbert complexo separ´ avel H . Assumamos tamb´em que Π seja fortemente cont´ınua.

Seja W

_y

: H → H o operador de Peter-Weyl definido em (23.3) com y 6 = 0. Pelo Teorema 23.1, p´ agina 1220, W

_y

é autoadjunto e é de Hilbert-Schmidt e, portanto, é também um operador compacto (Proposi¸c˜ ao 39.100, p´ agina 2194).

Consequentemente, seu espectro pontual σ

p

( W

_y

) ´e um conjunto cont´ avel de R e cada autovalor n˜ ao-nulo ´e finitamente degenerado.

Como W

_y

6 = 0 (pois y 6 = 0), σ

p

( W

_y

) \ { 0 } ´e n˜ ao-vazio, pois

− k W

_y

k , k W

_y

k ∩ σ

p

( W

_y

) 6 = ∅ . Denotemos por { λ

k

, k ∈ N } = σ

p

( W

_y

) \ { 0 } o conjunto dos autovalores n˜ ao-nulos de W

_y

e convencionemos que λ

0

= 0 se este for tamb´em autovalor de W

_y

.

O espa¸co de Hilbert H decomp˜ oe-se em uma soma direta de subespa¸cos ortogonais H = H

₀

⊕ M

∞ k=1

H

_k

! , onde H

₀

:= Ker ( W

_y

) ´e o subespa¸co dos autovetores de W

_y

com autovalor 0 e H

_k

:= Ker (λ

k

1 − W

_y

) ´e o subespa¸co dos autovetores de W

_y

com autovalor λ

k

. Cada H

_k

com k ≥ 1 tem dimens˜ ao finita e H

₀

pode ter dimens˜ ao infinita. O subespa¸co

M

∞ k=1

H

_k

´e n˜ ao-trivial, pois σ

p

( W

_y

) \ { 0 } ´e n˜ ao-vazio.

(14)

Por fim, cada subespa¸co H

_k

, k ∈ N

₀

, ´e invariante pela a¸c˜ ao da representa¸c˜ ao Π. 2

Prova. As primeiras afirma¸c˜ oes s˜ao consequˆencia de resultados gerais sobre operadores compactos: Teorema 39.36, p´ agina 2155, e Teorema 39.38, p´ agina 2159.

Vamos agora provar que cada subespa¸co H

_k

, k ∈ N

₀

, ´e invariante pela a¸c˜ ao da representa¸c˜ ao Π. Seja ψ ∈ H

_k

. Naturalmente, W

_y

ψ = λ

k

ψ. Como Π ´e unit´ aria, sabemos pelo item 4 do Teorema 23.1, p´ agina 1220, que W

_y

Π(h) = Π(h) W

_y

para todo h ∈ G. Logo, Π(h) W

_y

ψ = W

_y

Π(h)ψ e, portanto, W

_y

Π(h)ψ = λ

k

Π(h)ψ, estabelecendo que Π(h)ψ ∈ H

_k

para todo h ∈ G, ou seja, estabelecendo que cada H

_k

, k ∈ N

₀

, ´e invariante pela a¸c˜ ao de Π.

• Representa¸ c˜ oes irredut´ıveis de um grupo compacto

Chegamos agora a um resultado importante sobre representa¸cões irredut´ıveis de grupos compactos em um espa¸co de Hilbert: elas são de dimensão finita!

Teorema 23.2 Seja G um grupo topol´ ogico compacto e seja Π : G → GL( H ) uma representa¸c˜ ao de G por operado- res limitados invers´ıveis em um espa¸co de Hilbert complexo separ´ avel H . Assumamos tamb´em que Π seja fortemente

cont´ınua. Ent˜ ao, se Π for irredut´ıvel, Π ´e de dimens˜ ao finita. 2

Coment´ario

.

A hipótese de compacidade, acima, é importante. O grupo de Heisenberg, por exemplo, não admite representa¸cões unitárias de dimensão finita em espa¸cos de Hilbert, pois a álgebra de Heisenberg não pode ser representada por operadores lineares autoadjuntos limitados

em espa¸cos de Hilbert. Vide Nota `a p´agina 1046. ♣

Prova do Teorema 23.2. Aqui, seguimos proximanente [32]. Como vimos, podemos sem perda de generalidade considerar que Π ´e unit´ aria. Nesse caso, o item 4 do Teorema 23.1, p´ agina 1220, informa-nos que Π(h) W

_y

= W

_y

Π h

para todo h ∈ G, onde W

_y

(para y ∈ H ) ´e o operador de Peter-Weyl, definido em (23.3). Pelo Corol´ario 23.4, p´ agina 1215, isso implica que W

_y

= λ(y)1. Nossa primeira tarefa é obter informa¸c˜ oes sobre λ(y) das quais extrairemos a conclusão sobre a finitude da dimensão de H .

E claro que para todo ´ x ∈ H tem-se λ(y) h x, x i = h x, W

_y

x i =

Z

G

D

Π(g)y, x ED

x, Π(g)y E

dµ(g) = Z

G

D

Π(g)y, x E

²

dµ(g) . Em resumo,

λ(y) k x k

²

= Z

G

D

Π(g)y, x E

2

dµ(g) . (23.6)

E claro por essa express˜ao que ´ λ(y) ≥ 0. Agora, temos tamb´em

λ(y) k x k

²

= Z

G

D

Π(g)y, x E

2

dµ(g) = Z

G

D

x, Π(g)y E

2

dµ(g)

^g→g⁻

1

= Z

G

D

x, Π g

⁻¹

y E

2

dµ(g)

unitariedade

= Z

G

D

x, Π(g)

^∗

y E

2

dµ(g) = Z

G

D

Π(g)x, y E

2

dµ(g)

^(23.6)

= λ(x) k y k

²

. Do fato que λ(y) k x k

²

= λ(x) k y k

²

para todos x, y ∈ H conclu´ımos imediatamente que para todo x ∈ H vale λ(x) = κ k x k

²

para alguma constante κ ≥ 0. Com λ(x) = κ k x k

²

, (23.6) fica

κ k x k

²

k y k

²

= Z

G

D

Π(g)y, x E

2

dµ(g) . (23.7)

Tomando-se x = y e k x k = 1 em (23.7), temos κ =

Z

G

D

Π(g)x, x E

2

dµ(g) . (23.8)

(15)

Disso segue que κ > 0, pois o integrando D

Π(g)x, x E

2

´e n˜ ao-negativo, ´e cont´ınuo e assume em g = e o valor |h x, x i|

²

= 1.

Se { x

n

, n = 1, . . . , M } ´e um conjunto ortonormal em H , teremos por (23.7) κ =

Z

G

D

Π(g)x

1

, x

k

E

2

dµ(g) , (23.9)

para todo k ∈ { 1, . . . , M } . Logo, M κ =

X

M n=1

Z

G

D

Π(g)x

1

, x

k

E

2

dµ(g) = Z

G

X

M n=1

D

Π(g)x

1

, x

k

E

2

dµ(g) ≤

^†

Z

G

Π(g)x

1

2

dµ(g) = k x

1

k

²

= 1 . (23.10) A desigualdade indicada com “ † ”, acima, segue da desigualdade de Bessel, expressão (38.24), página 1991. Conclu´ımos disso que M ≤ 1/κ, demonstrando que n˜ ao pode haver no espa¸co de Hilbert H onde Π é irredut´ıvel um conjunto ortonormal com mais que κ

⁻¹

< ∞ elementos, estabelecendo que H tem dimens˜ao finita.

Nota

.

Se a dimensão deHfor exatamenteM, então toda (23.10) é uma igualdade e temos M =κ⁻¹ =R

G

Π(g)x, x

2dµ(g)−1

para

qualquerx∈Hcomkxk= 1. ♣

O seguinte corol´ ario ´e crucial para o que segue:

Corol´ ario 23.7 Seja G um grupo topol´ ogico compacto e seja Π : G → GL( H ) uma representa¸c˜ ao de G por operadores unit´ arios em um espa¸co de Hilbert complexo separ´ avel H . Assumamos tamb´em que Π seja fortemente cont´ınua. Ent˜ ao, existe um subespa¸co de dimens˜ ao finita, n˜ ao-trivial, K de H onde Π age unit´ aria e irredutivelmente. O complemento ortogonal K

^⊥

´e um subespa¸co invariante por Π e em K

^⊥

tamb´em age unitariamente. 2

Prova. Sabemos da Proposi¸c˜ ao 23.4, p´ agina 1222, que ao menos um dos subespa¸cos de dimens˜ao finita H

_k

com k ≥ 1 ´e n˜ ao-trivial. Seja H

_j

um tal subespa¸co e seja P

j

o projetor ortogonal sobre H

_j

. Sabemos da mesma Proposi¸c˜ ao que H

_j

´e invariante por Π. Segue facilmente disso que Π(g)P

j

= P

j

Π(g) = P

j

Π(g)P

j

. Defina-se Π

j

(g) := Π(g)P

j

. ´ E f´acil checar que Π

j

´e uma representa¸c˜ ao de G em H

_j

, pois Π

j

(g)Π

j

(h) = P

j

Π(g)Π(h)P

j

= P

j

Π(gh)P

j

= Π

j

(gh) e Π

j

(e) = P

j

.

Em verdade, Π

j

´e uma representa¸c˜ ao unit´ aria de G em H

_j

, pois se ψ, φ ∈ H

_j

temos para todo g ∈ G que Π

j

(g)ψ, Π

j

(g)φ

=

Π(g)P

j

ψ, Π(g)P

j

φ

=

Π(g)ψ, Π(g)φ

=

ψ, φ , pois Π ´e unit´ aria.

Como H

_j

tem dimens˜ao finita, temos pela Proposi¸c˜ ao 23.1, p´ agina 1213, que Π

j

ou ´e irredut´ıvel ou maximalmente redut´ıvel. Em qualquer caso, Π

j

´e uma soma direta finita de representa¸c˜ oes unit´ arias irredut´ıveis de G e, portanto, existe um subespa¸co de dimens˜ao finita K de H

_j

(e, portanto, de H ) onde Π

j

(e, portanto, Π) age unit´ aria e irredutivelmente.

Como K ´e invariante por Π, seu complemento ortogonal K

^⊥

tamb´em o ´e e em K

^⊥

tamb´em age unitariamente (pelo Corol´ario 23.1, p´ agina 1213).

Reunindo os resultados acima, temos a seguinte consequência importante, a qual diz-nos que, no caso de grupos compactos, as representa¸c˜ oes irredut´ıveis unit´ arias de dimensão finita são os tijolos com os quais se constroem todas as representa¸c˜ oes:

Teorema 23.3 Toda representa¸c˜ ao unit´ aria fortemente cont´ınua Π de um grupo compacto G em um espa¸co de Hilbert separ´ avel H ´e uma soma direta cont´ avel de representa¸c˜ oes unit´ arias irredut´ıveis de dimens˜ ao finita. 2

Coment´ario

.

Grupos não-compactos podem não admitir nenhuma representa¸cão unitária de dimensão finita. Tal é o caso do grupo de Lorentz próprio ortócronoL^↑

+ (que é apenas localmente compacto, mas não é compacto), tal como discutimos na Se¸cão 23.6, página 1239. Vide

Proposi¸c˜ao 23.7, p´agina 1241. ♣

Prova do Teorema 23.4. Sabemos do Corol´ ario 23.7 que existe um subespa¸co de dimens˜ao finita n˜ ao-trivial K em H onde

Π age irredutivelmente e unitariamente. Seu complemento ortogonal K

^⊥

´e igualmente invariante e nele Π tamb´em age

unitariamente.

(16)

Seja M a soma direta cont´ avel de todos os subespa¸cos de dimens˜ao finita de H onde Π age unit´ aria e irredutivelmente.

Pelas considera¸c˜ oes acima, sabemos que M 6 = { 0 } . ´ E claro que Π age unitariamente em M e como M ´e invariante por Π, seu complemento ortogonal M

^⊥

tamb´em o ´e (pelo Corol´ ario 23.1, p´ agina 1213). Mas M

^⊥

é fechado e, portanto, é também um espa¸co de Hilbert separ´ avel, é invariante por Π e nele Π age unitariamente. Logo, se M

^⊥

6 = { 0 } temos pelo Corol´ ario 23.7 que existe um subespa¸co de dimens˜ao finita n˜ ao-trivial L em M

^⊥

onde Π age irredutivelmente e unitariamente. Isso contraria a hip´ otese que M ´e a soma direta de todos os subespa¸cos de dimens˜ao finita de H onde Π age unit´ aria e irredutivelmente. Logo, devemos ter M

^⊥

= { 0 } , o que implica que M = H .

Juntando o Teorema 23.3 ` a Proposi¸c˜ ao 23.3, p´ agina 1220, temos tamb´em:

Teorema 23.4 Toda representa¸c˜ ao fortemente cont´ınua de um grupo compacto G por operadores limitados invers´ıveis em um espa¸co de Hilbert complexo separ´ avel ´e equivalente a uma soma direta cont´ avel de representa¸c˜ oes unit´ arias

irredut´ıveis de dimens˜ ao finita. 2

Notar que o teorema acima, pelo Corol´ ario 23.5, p´ agina 1215, afirma que toda representa¸c˜ ao fortemente cont´ınua de um grupo compacto Abeliano G por operadores limitados invers´ıveis ´e equivalente a uma soma direta cont´ avel de representa¸c˜ oes unit´ arias de dimens˜ao 1.

23.4 O Teorema de Peter-Weyl

Um dos resultados mais profundos da teoria de representa¸c˜ oes de grupos compactos é um teorema sobre a ortogonalidade de suas representa¸c˜ oes irredut´ıveis unit´ arias de dimensão finita, o qual, em vários aspectos, generaliza o célebre Teorema de Fourier

⁸

da An´alise Harmˆ onica (vide Teorema 36.12, p´ agina 1834). Como veremos, esse teorema, devido a Peter

⁹

e Weyl

¹⁰

, ´e tamb´em em parte um corol´ ario do Lema de Schur.

O estudante iniciante deve ser informado que evocaremos em algumas das demonstra¸c˜ oes que seguem resultados sobre espa¸cos de Hilbert e sobre a teoria dos operadores compactos, os quais podem ser encontrados no Cap´ıtulo 38, p´ agina 1976, e na Se¸c˜ ao 39.8, p´ agina 2138. Demonstra¸c˜ oes semelhantes do Teorema de Peter-Weyl podem ser encontradas em diversos textos, como [32], [290] ou [354]. A maioria das demonstra¸c˜ oes segue mais ou menos proximamente a demonstra¸c˜ ao original

¹¹

de Peter e Weyl.

• A representa¸ c˜ ao regular ` a direita

Em diversos resultados anteriores constatamos a qualidade especial de representa¸c˜ oes unit´ arias e fortemente cont´ınuas de um grupo compacto G. H´ a uma representa¸c˜ ao espec´ıfica que possui essas duas propriedades e que assume um papel importante no estudo de representa¸c˜ oes de grupos compactos, a chamada representa¸c˜ ao regular `a direita.

A chamada representa¸c˜ ao regular ` a direita de G em L

²

(G, dµ) ´e definida por R(g) ψ

(h) := ψ hg

, (23.11)

para g ∈ G e ψ ∈ L

²

(G, dµ). ´ E elementar constatar que R ´e uma representa¸c˜ ao: para cada g

1

, g

2

∈ G e ψ ∈ L

²

(G, dµ), R(g

1

) R(g

2

) ψ

(h) = R(g

2

) ψ

(hg

1

) = ψ hg

1

g

2

= R(g

1

g

2

) ψ (h) ,

ou seja, R(g

1

)R(g

2

) = R(g

1

g

2

). Além disso, é f´ acil verificar que R é uma representa¸c˜ ao unit´ aria. De fato, D ψ, R(g)φ E

L²(G, dµ)

= Z

G

ψ(h) φ hg

dµ

h

=

^h→hg⁻

1

= Z

G

ψ hg

⁻¹

φ h

dµ

hg⁻¹

inv. deµ

= Z

G

ψ hg

⁻¹

φ h

dµ

h

(23.11)

= Z

G

R g

⁻¹

ψ

(h) φ h

dµ

h

= D R g

⁻¹

ψ, φ E

L²(G, dµ)

= D

R(g)

⁻¹

ψ, φ E

L²(G, dµ) 8Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830).

9Fritz Peter (1899–1949).

10Hermann Klaus Hugo Weyl (1885–1955).

11A referência original é F. Peter and H. Weyl, “Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe”, Math. Ann.97, 737–755, (1927). doi:10.1007/BF01447892