Zeros de polinômios em espaços de Banach

(1)

em espa¸

cos de Banach

Leandro Candido Batista

Dissertac

¸˜

ao apresentada

ao

Instituto de Matem´

atica e Estat´ıstica

da

Universidade de S˜

ao Paulo

para

obtenc

¸˜

ao do t´ıtulo

de

Mestre em Ciˆ

encias

Programa: Matem´

atica

Orientador: Profa. Dra. Mary Lilian Louren¸co

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro do CNPq e da FAPESP (processo 2008/01650-0).

(2)

Polinˆ

omios n-Homogˆ

eneos

e T´

opicos Relacionados

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da disserta¸cão devidamente corrigida e defendida por Leandro Candido Batista e aprovada pela Comissão Julgadora.

Banca Examinadora:

• Profa. Dra. Mary Lilian Louren¸co - IME-USP.

• Prof. Dr. Daniel Pellegrino - UFPB.

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Agradecimentos

Agrade¸co à minha orientadora, Profa. Dra. Mary Lilian Louren¸co, por sua orienta¸cão, sugestão dos temas, paciência e amizade.

Agrade¸co a meus pais Vera e Joaquim e meu irmão Leonardo, pelo apoio e incentivo. Agrade¸co à minha noiva, Rita Cavalcanti, pelo carinho, paciência e apoio durante toda a gradua¸cão e o mestrado.

Agrade¸co a todos os professores que participaram da minha forma¸cão, em especial à Profa. Dra. Lúcia Renato Junqueira, por sua orienta¸cão, conselhos e amizade durante minha gradua¸cão.

Agrade¸co ao grande amigo André Pierro de Camargo que me ajudou de inúmeras formas. Agrade¸co aos amigos Bárbara Sayuri Ashino e Cesar Adriano Batista pelo incentivo e aux´ılio com o latex.

Agrade¸co aos membros da banca examinadora pelas sugestões e corre¸cões. Agrade¸co à FAPESP e ao CNPq pelo apoio financeiro.

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(8)

Resumo

Neste trabalho estudamos principalmente dois tópicos em Análise Funcional. No primeiro tópico, estudamos zeros de polinômios em espa¸cos de Banach reais. Apresentamos resulta-dos deviresulta-dos a J. Ferrer, publicaresulta-dos em [11], estabelecendo que todo polinômio fracamente cont´ınuo sobre os subconjuntos limitados de um espa¸co de Banach, de dual não separável na topologia fraca estrela, admite um subespa¸co linear fechado de dual não separável na topologia fraca estrela, no qual o polinômio se anula.

Apresentamos também uma demonstra¸cão, devida a J. Ferrer e publicada em [12], de que seKé um espa¸co topológico compacto não satisfazendo a condi¸cão de cadeia contável, então todo polinômio definido em_C(K) assumindo valores reais e se anulando na origem, se anula em um subespa¸co isometricamente isomorfo a c0(Γ), onde Γ é um conjunto não enumerável.

No segundo t´opico, exibimos uma vers˜ao multilinear para o Lema de Phelps, resultado publicado em [3] e devido a R. Aron, A. Cardwell., D. Garc´ıa e I. Zalzuendo.

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(10)

Abstract

We study two topics in Functional Analysis. In the first topic, we study zeros of polyno-mials on real Banach spaces. We present results due to J. Ferrer published in [11], stating that every polynomial weakly continuous on bounded subsets of a Banach space, whose dual is not separable in the weak-star topology, admits a closed linear subspace whose dual is not separable in the weak- star topology either, where the polynomial vanishes.

We also present a proof, given by J. Ferrer and published in [12], that if K is a com-pact topological space not satisfying the countable chain condition, then every real-valued polynomial defined in C(K) and vanishing at the origin, vanishes in a subspace isometric to c0(Γ), where Γ is a non-enumerable set.

In the second topic, we show a multilinear version for the Phelps’ Lemma, published in [3] by R. Aron, A. Cardwell., D. Garc´ıa and I. Zalzuendo.

(11)

(12)

Introdu¸

c˜

ao

Neste trabalho estudamos principalmente dois tópicos em Análise Funcional. O primeiro e principal tópico é dedicado ao estudo de zeros de polinômios. O estudo de zeros de polinômios complexos possui uma longa história, com resultados em análise complexa, geo-metria algébrica e análise funcional. Um resultado devido a A. Plichko e A. Zagorodnyuk, publicado em [22], afirma que sobre um espa¸co de Banach complexo de dimensão infinita, todo polinômio n-homogêneo assumindo valores complexos se anula em um subespa¸co de di-mensão infinita. Este resultado despertou grande interesse no estudo de zeros de polinômios n-homogêneos, em diversas dire¸cões.

Em [11], J. Ferrer estabelece condi¸cões sob as quais um resultado similar ao teorema de A. Plichko e A. Zagorodnyuk, descrito acima, seja válido para espa¸cos de Banach reais de dimensão infinita. Este é um problema ainda não resolvido completamente. Neste artigo, o autor desenvolve técnicas que resolvem parcialmente este problema para um particular tipo de polinômio em um particular tipo de espa¸co.

No segundo tópico apresentaremos um resultado fora do contexto de zeros de polinômios, mas que nos despertou interesse durante o desenvolvimento desse trabalho. Se trata de uma versão multilinear para o Lema de Phelps, resultado publicado em [3] e devido a R. Aron, A. Cardwell., D. Garc´ıa e I. Zalzuendo.

O Lema de Phelps é um resultado devido a R. R. Phelps, publicado em 1960, em [20]. Em uma versão atual afirma que dados um espa¸co de Banach X, funcionais f, g _∈ SX∗ e 0< ǫ <1, então

SX ∩kerf ⊂SX ∩g−1(]−ǫ, ǫ[) =⇒ kg −αfk ≤2ǫ para algum |α|= 1.

No ano seguinte, este resultado foi utilizado em [6], por E. Bishop e R. R. Phelps, como um passo crucial na demonstra¸cão do teorema de Bishop-Phelps, que afirma que todo espa¸co de Banach é subreflexivo, ou seja, em um espa¸co de Banach o conjunto dos funcionais lineares cont´ınuos que atingem sua norma é denso.

Em [3], os autores apresentam a seguinte vers˜ao multilinear para o Lema de Phelps. Dados X1, . . . , Xn espa¸cos de Banach, para todo n ∈ N existe Dn > 0 tal que para

(13)

quaisquer A, B _{∈ L}(X1, . . . , Xn) com kAk=kBk = 1 e ǫ > 0 suficientemente pequeno,

definindo-se Z(A) := _{u _∈ SX1 ×. . .×SXn : A(u) = 0} e ǫ(B) := {u ∈ SX1 ×. . .×SXn :

|B(u)_{| ≤}ǫ_}

Z(A)_⊂ǫ(B)_{⇒ k}B₋αA_{k ≤}Dnǫ para algum |α|= 1.

A seguir, descreveremos sucintamente os assuntos abordados em cada cap´ıtulo.

No cap´ıtulo 1 estabelecemos resultados preliminares em an´alise funcional e topologia. Para um estudo detalhado sobre estes assuntos recomendamos [16].

No cap´ıtulo 2 introduzimos conceitos iniciais de aplica¸cões multilineares e polinômios com base em [17]. Na se¸cão 2.4 apresentamos, com base em [9], alguns tipos especiais de polinômios, dentre eles, os polinômios fracamente cont´ınuos sobre subconjuntos limitados de um espa¸co de Banach, que terão um papel fundamental no cap´ıtulo 3.

No cap´ıtulo 3 estudamos zeros de polinômios em espa¸cos de Banach reais. Apresentare-mos, principalmente, resultados devidos a J. Ferrer publicados em [11] e [12]. Na se¸cão 3.1 exibimos com todos os detalhes a demonstra¸cão do teorema de A. Plichko e A. Zagorod-nyuk mencionado acima. Na se¸cão 3.2 apresentamos alguns resultados e caracteriza¸cões para espa¸cos de dual separável na topologia fraca estrela. Na se¸cão 3.3 apresentamos a demons-tra¸cão de que todo polinômio fracamente cont´ınuo sobre os subconjuntos limitados de um espa¸co de Banach, de dual não separável na topologia fraca estrela, admite um subespa¸co linear fechado de dual não separável na topologia fraca estrela, no qual o polinômio se anula. Na se¸cão 3.4, estudamos a aplica¸cão de alguns resultados das se¸cões anteriores sobre espa¸cos com a propriedade de Dunford-Pettis. Apresentamos também a demonstra¸cão de que seK é um espa¸co topológico compacto não satisfazendo a condi¸cão de cadeia contável, então todo polinômio definido em _C(K) assumindo valores reais e se anulando na origem, se anula um um subespa¸co isometricamente isomorfo a c0(Γ), onde Γ é um conjunto não enumerável.

No cap´ıtulo 4 nosso objetivo é exibir a versão multilinear do Lema de Phelps, elaborada por R. Aron, A. Cardwell., D. Garc´ıa e I. Zalzuendo, o que fazemos na se¸cão 4.4.

Para um completa compreensão deste resultado são necessários alguns resultados encon-trados nos artigos [5] e [18].

As se¸cões 4.1 e 4.2 tratam de um pequeno estudo do atigo [18]. Estudamos técnicas de complexifica¸cão, que consistem em procedimentos para se obter espa¸cos de Banach complexos a partir de espa¸cos de Banach reais de forma que se possa estender aplica¸cões multilineares e polinômios cont´ınuos reais de forma única nesse espa¸co complexo, preservando-se a con-tinuidade e controlando-se a norma. Na se¸cão 4.3 estudamos, com base em [5], um método para, supondo P1, . . . , Pnpolinômios sobre um espa¸co de BanachX, se obter uma constante

(14)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao ix

Nota¸c˜ao xiii

1 Preliminares 1

1.1 Redes . . . 1

1.2 Topologias Induzidas por Fam´ılias de Fun¸c˜oes . . . 3

1.3 Espa¸cos Vetoriais Topol´ogicos . . . 10

1.4 Espa¸cos de Sequˆencias . . . 12

2 Aplica¸cões Multilineares e Polinômios 21 2.1 Aplica¸cões Multilineares . . . 21

2.2 Aplica¸c˜oes Multilineares Sim´etricas . . . 27

2.3 Polinˆomios . . . 31

2.4 Polinˆomios Fracamente Cont´ınuos sobre Limitados . . . 37

3 Zeros de Polinˆomios 43 3.1 Zeros de Polinˆomios em Espa¸cos de Banach Complexos . . . 43

3.2 Espa¸cos de Dual w∗_{-Separ´avel . . . .} ₄₇

3.3 Zeros de Polinˆomios Fracamente Cont´ınuos sobre Limitados . . . 53

3.4 Zeros de Polinˆomios sobre Espa¸cos com a Propriedade DP . . . 58

4 Lema de Phelps Multilinear 67 4.1 Complexifica¸c˜ao de Espa¸cos de Banach Reais . . . 67

4.2 Extens˜oes Complexas de Multilineares e Polinˆomios Reais . . . 73

4.3 Produto de Polinˆomios em Espa¸cos de Banach . . . 76

4.4 Lema de Phelps . . . 85

Referˆencias Bibliogr´aficas 93

(15)

(16)

Nota¸

c˜

ao

N o conjunto dos n´umeros naturais

N₀ o conjuntos dos n´umeros inteiros n˜ao negativos

Q o corpo dos racionais

R o corpo dos n´umeros reais

C o corpo dos n´umeros complexos

K o corpo R ouC

Sn o conjunto de todas as permuta¸c˜oes de {1, . . . , n}

BX a bola unit´aria fechada de um espa¸co normado X

SX a esfera unit´aria de um espa¸co normado X Br(x) a bola aberta de centro x e raio r

L(X;Y) o espa¸co das aplica¸c˜oes lineares cont´ınuas de X em Y X∗ _{o espa¸co das aplica¸c˜oes lineares cont´ınuas de} _X _em _K

L(n_X;_Y₎ _{o espa¸co das aplica¸cões} _{n-lineares cont´ınuas de} _Xn _em _Y L(n_X) _{o espa¸co das aplica¸cões} _{n-lineares cont´ınuas de} _Xn _em _K P(n_X;_Y_{) o espa¸co dos polinômios} _{n-homogêneos cont´ınuos de} _X _em _Y P(n_X) _{o espa¸co dos polinômios} _{n-homogêneos cont´ınuos de} _X _em _K C(K) o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas e limitadas de K em K [A]_K o espa¸co vetorial gerado por A sobre o corpo K

[A] quando não há dúvidas sobre o corpo, é o espa¸co vetorial gerado porA X ∼=Y X, Y são espa¸cos de Banach isometricamente isomorfos

∂k_P _{´e a aplica¸c˜ao em} _P₍n−k_X;_P₍k_X;_Y_{)), definida por}

∂k_P_{(x)(y) :=} n! (n−k)!P xb

n−k_yk_{, x, y} _∈_X

A⊥ _A _{´e subconjunto de um espa¸co normado} _X,_A⊥ _{´e o subespa¸co de}

todos os funcionais f _∈X∗_{, satistazendo} _{f(x) = 0}

B⊥ B ´e subconjunto de X∗,B⊥ ´e o subespa¸co de todos os elementosx∈X

satistazendo f(x) = 0, para todo f _∈B

(17)

(18)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo estudaremos conceitos básicos em topologia e análise funcional, necessários para o desenvolvimento deste trabalho. Para um estudo mais detalhado sobre esses tópicos recomendamos [16].

1.1 Redes

Em espa¸cos métricos a continuidade de fun¸cões pode ser caracterizada através de sequên-cias. Nesta se¸cão introduziremos o conceito de rede, que generaliza o conceito de sequência e nos permite obter uma caracteriza¸cão para a continuidade em espa¸cos topológicos quaisquer. Um estudo detalhado sobre redes bem como os resultados desta se¸cão podem ser encon-trados em [16].

Defini¸cão 1.1.1. Um conjunto não vazio Γ munido de uma ordem parcial _≤, tal que para cada α, β _∈ Γ exista γ _∈ Γ satisfazendo, α _≤ γ e β _≤ γ, é chamado conjunto dirigido. Uma rede em um conjunto X é uma aplica¸cão x : Γ _→ X, onde Γ é um conjunto dirigido. Denotaremos uma rede x: Γ_→X por (xγ)_γ_∈_Γ, onde xγ :=x(γ).

Dizemos que uma rede (xγ)_γ_∈_Γ em um espa¸co topol´ogicoXconverge parax∈X, se para

qualquer vizinhan¸caU dexexistir γ0 ∈Γ tal quexγ ∈U, sempre queγ ≥γ0. Demonstra-se

que uma rede em um espa¸co de Hausdorff converge no máximo a um único elemento. Neste trabalho, lidaremos apenas com espa¸cos de Hausdorff. Portanto, se uma rede (xγ)_γ_∈_Γ converge a algum x, diremos que x é o limite de (xγ)_γ_∈_Γ e denotaremos xγ →x ou

limγxγ =x.

Claramente, toda sequˆencia ´e uma rede.

A proposi¸cão a seguir nos fornece uma caracteriza¸cão de fecho topológico por redes.

(19)

Proposi¸cão 1.1.2. Seja Y um subconjunto de um espa¸co topológico X. Então x _∈Y se e somente se existe uma rede em Y convergindo a x.

Demonstra¸cão. Claramente, se existe uma rede emY convergindo ax, então toda vizinhan¸ca dex contém elementos desta rede e portanto x_∈Y.

Por outro lado, seja x_∈ Y e seja Γ a cole¸c˜ao de todas as vizinhan¸cas de x, dirigida sob a rela¸c˜ao ≤, definida por

U1 ≤U2 se e somente se U2 ⊆U1.

Para cadaU _∈Γ, fixemosxU ∈U∩Y. Claramente (xU)_U_∈_Γ´e uma rede emY convergindo

a x.

O resultado a seguir nos fornece uma generaliza¸cão, para espa¸cos topológicos quaisquer, da caracteriza¸cão de continuidade por sequências em espa¸cos métricos.

Teorema 1.1.3. Sejam X e Y espa¸cos topológicos. Uma fun¸cão f :X _→Y é cont´ınua em

x0 ∈X se e somente se a rede (f(xγ))_γ_∈_Γ converge a f(x0), se (xγ)_γ_∈_Γ converge a x0.

Demonstra¸cão. Sef é cont´ınua emx0 e (xγ)_γ_∈_Γ é uma rede emX convergindo a x0, decorre

imediatamente das defini¸c˜oes de convergˆencia e continuidade que f(xγ)→f(x0).

Por outro lado, supondo por absurdo que f n˜ao seja cont´ınua em x0, existe uma

vizin-han¸ca V def(x0) tal que nenhuma vizinhan¸caU dex0 satisfa¸ca f(U)⊆V.

Seja Γ a cole¸c˜ao de todas as vizinhan¸cas de x0, dirigida sob a rela¸c˜ao≤, definida por

U1 ≤U2 se e somente se U2 ⊆U1.

Para cada U ∈ Γ, seja xU ∈U tal que f(xU)∈/ V. Decorre que (xU)U∈Γ ´e uma rede em

X convergindo a x0 e, por constru¸cão, (f(xU))U∈Γ não converge af(x0), uma contradi¸cão.

De acordo com o teorema acima, uma fun¸c˜ao f :X →Y ´e cont´ınua em X se e somente se para cada x∈X, a rede (f(xγ))_γ_∈_Γ converge af(x) se (xγ)_γ_∈_Γ converge ax.

Defini¸c˜ao 1.1.4. Um subconjunto Γ′ _{de um conjunto dirigido Γ ´e}_cofinal _{em Γ se para todo}

α_∈Γ existir βα em Γ′ tal que α ≤βα.

Defini¸c˜ao 1.1.5. Sejam X um conjunto, Γ um conjunto dirigido e (xγ)_γ_∈_Γ uma rede em X.

(20)

1.2. TOPOLOGIAS INDUZIDAS POR FAMÍLIAS DE FUNÇ ÕES 3 (i) g(β1)≤g(β2) em Γ sempre que β1 ≤β2 ∈Γ′.

(ii) g(Γ′_{) ´e cofinal em Γ.}

Ent˜ao, a rede xg(β)

β∈Γ′ ´e chamada subrede de (xγ)_γ_∈_Γ.

Segue da defini¸c˜ao acima que se (xγ)_γ_∈_Γ for uma rede em um conjuntoX, ent˜ao qualquer

subrede de (xγ)_γ_∈_Γ ´e uma rede em X, e se X for um espa¸co topol´ogico e a rede (xγ)_γ_∈_Γ

converge para algumx∈X, ent˜ao toda subrede converge a x.

1.2 Topologias Induzidas por Fam´ılias de Fun¸

c˜

oes

Nesta se¸c˜ao introduziremos alguns resultados b´asicos em topologia geral e em espa¸cos normados; introduziremos o conceito de topologias fraca e fraca∗_.

Os resultados desta se¸c˜ao se encontram em [16].

Teorema 1.2.1. Sejam X um conjunto, F uma fam´ılia de fun¸c˜oes e {(Xf,Of) :f ∈ F}

uma fam´ılia de espa¸cos topológicos tal que cada f em F seja fun¸cão de X em Xf. Então

existe sobre X uma topologia O satisfazendo:

(i) f : (X,_O)_→(Xf,Of) ´e cont´ınua para cada f ∈ F;

(ii) se _O′ _{for uma topologia sobre} _X _{tal que} _f _{: (X;}_O′₎ _→ _(X

f;Of) seja cont´ınua para

cada f _{∈ F}, ent˜ao _{O ⊆ O}′_.

Denotaremos _O:=σ(X,_F).

Demonstra¸c˜ao. SejaG ={f−1_{(U) :}_f _{∈ F}_{, U} _{∈ Of}_}_e_O _{a topologia sobre}_X _{gerada por}_G_.

Claramente f : (X,O)→(Xf,Of) ´e cont´ınua para cadaf ∈ F.

SeO′ _{for uma outra topologia sobre}_X _{tal que} _f _{: (X,}_O′₎_→_(X

f,Of) seja cont´ınua para

cada f ∈ F ent˜ao G ⊆ O′ _{e consequentemente}_{O ⊆ O}′_.

Exemplo 1.2.2. (Topologia Produto) Dada uma cole¸c˜ao _{Xγ :γ ∈Γ}, definimos seu

produto cartesiano por

Y

γ∈Γ

Xγ :=

(

f : Γ→ [ γ∈Γ

Xγ :f(γ)∈Xγ para todoγ ∈Γ

)

.

(21)

Fixemos a cole¸c˜ao _F =nπα :Q_γ_∈_ΓXγ →Xα :α∈Γ

o

onde cada πα ´e definido por,

πα

(fγ)_γ_∈_Γ

:=fα.

A topologia em Q_γ_∈_ΓXγ, induzida pela cole¸c˜ao F ´e denominada topologia produto.

Neste trabalho, sobre um produto cartesiano de espa¸cos topol´ogicos, sempre consideraremos a topologia produto.

Proposi¸cão 1.2.3. Sejam X um conjunto, _F uma cole¸cão de fun¸cões satisfazendo as hipóteses do teorema 1.2.1 e (xγ)_γ_∈_Γ uma rede em X. Considerando sobre X a topologia

induzida pela cole¸c˜ao F, ent˜ao xγ →x se e somente se f(xγ)→f(x) para todo f ∈ F.

Demonstra¸c˜ao. E evidente que se´ xγ →x, ent˜ao f(xγ)→f(x) para todo f ∈ F.

Por outro lado, fixada uma vizinhan¸ca arbitr´aria U de x, existem f1, . . . , fn ∈ F e

Vk ∈ Of, 1≤k≤n, tais que

x∈f1−1(V1)∩. . .∩fn−1(Vn)⊆U.

Por f(xγ) → f(x) para todo f ∈ F, para cada 1 ≤ k ≤ n, existe γk ∈ Γ, tal que

fk(xγ)∈Vk sempre que γ ≥γk.

Por Γ ser um conjunto dirigido, existe γ0 ∈Γ tal que γ0 ≥γk, 1≤k ≤n. Decorre,

xγ ∈f1−1(V1)∩. . .∩fn−1(Vn)⊆U,

sempre que γ ≥γ0. Portanto xγ →x.

Neste trabalho, se X e Y denotarem espa¸cos vetoriais, _La(X;Y) denotar´a o espa¸co de

todas as aplica¸c˜oes lineares de X em Y. Em particular, se Y = K denotaremos X∗

a := La(X;K). No caso em que X e Y forem espa¸cos normados, denotaremos por L(X;Y) o subespa¸co de todas as aplica¸c˜oes lineares cont´ınuas de X em Y. Em particular, se Y =K, X∗ :=L(X;K).

Defini¸cão 1.2.4. (Topologia Fraca) Seja X um espa¸co normado. A topologia induzida sobre X, pela cole¸cão X∗ _{é denominada} _{topologia fraca} _de_X _{e denotada} _σ_{(X, X}∗_).

(22)

1.2. TOPOLOGIAS INDUZIDAS POR FAMÍLIAS DE FUNÇ ÕES 5 No que segue, apresentaremos alguns resultados relacionados à topologia fraca e que serão ´

uteis neste trabalho.

Proposi¸cão 1.2.5. Se T _{∈ L}(X;Y) então T : (X, σ(X, X∗₎₎_→_{(Y, σ}_{(Y, Y}∗₎₎ _{é cont´ınua.}

Demonstra¸c˜ao. Fixemos (xγ)_γ_∈_Γ uma rede emX convergindo fracamente a algum x∈X.

Para cada ϕ∈Y∗_{, temos}_ϕ_◦_T _∈_X∗ _{e consequentemente}

ϕ(T(xγ)) =ϕ◦T(xγ)→ϕ◦T (x) =ϕ(T(x)).

Em virtude da proposi¸c˜ao 1.2.3, a rede (T (xγ))_γ_∈_Γ converge fracamente a T(x).

Por (xγ)_γ_∈_Γ ser uma rede w-convergente arbitr´aria, de acordo com a proposi¸c˜ao 1.1.3,

conclu´ımos que T : (X, σ(X, X∗₎₎_→_{(Y, σ}_{(Y, Y}∗_{)) ´e cont´ınua.}

A proposi¸cão a seguir nos permite simplificar algumas demonstra¸cões. Sua verifica¸cão é simples e será omitida.

Proposi¸cão 1.2.6. Se X é um espa¸co normado, então os conjuntos da forma

W(x, ϕ1, . . . , ϕn, ǫ) :={y∈X :|ϕk(y)−ϕk(y)|< ǫ, 1≤k≤n},

onde x _∈ X, ϕ1, . . . , ϕn ∈ X∗ e ǫ > 0, formam uma base de abertos para a topologia

σ(X, X∗₎_.

Defini¸c˜ao 1.2.7. A aplica¸c˜ao_I :X _→X∗∗_{que associa a cada} _x_∈_{X, o funcional}_I

x ∈X∗∗

definido por

Ix(ϕ) := ϕ(x), x∈X, ϕ ∈X∗, é chamada de aplica¸cão canônica de X em X∗∗_.

Utilizando-se o teorema de Hahn-Banach, demonstra-se que _I ´e uma isometria linear.

Defini¸cão 1.2.8. Se X é um espa¸co normado, dizemos que um subconjunto A _⊆ X é

fracamente limitado se para cadaϕ _∈X∗_{, existe} _M

ϕ >0 tal que supx∈A|ϕ(x)|< Mϕ.

Proposi¸cão 1.2.9. Se X é um espa¸co normado, um subconjunto de X é limitado se e somente se for fracamente limitado.

Demonstra¸c˜ao. Seja Aum subconjunto de X. Se A for limitado, existe M >0 satisfazendo sup

x∈Ak

(23)

Para cada ϕ_∈X∗_{, fixando}_M

ϕ :=kϕkM, decorre

sup

x∈A|

ϕ(x)| ≤sup

x∈Ak

ϕk kxk<kϕkM =Mϕ.

Conclu´ımos que A´e fracamente limitado.

Por outro lado, se A é fracamente limitado e _I : X _→ X∗∗ _{é a aplica¸cão canônica,}

então{Ix :x∈A}é uma cole¸cão emX∗∗_{, pontualmente limitada. O Princ´ıpio da Limita¸cão}

Uniforme implica a existˆencia de M > 0 satisfazendo sup

x∈Ak

xk= sup

x∈AkIxk

< M.

Portanto A´e limitado.

Defini¸c˜ao 1.2.10. (Topologia Fraca∗₎ _Sejam _X _{um espa¸co normado e} _I _: _X _→ _X∗∗ _a

aplica¸cão canônica. A topologia induzida sobreX∗_{, pela cole¸cão}_I_(X)_⊆_X∗∗_{é denominada}

topologia fraca∗ _de_X∗ _{e denotada} _σ_(X∗_{, X).}

Analogamente à topologia fraca, muitas vezes utilizaremosw∗ _{fazendo referência à}

topolo-gia fraca∗ _{no dual de um espa¸co normado.}

No que segue, apresentaremos alguns resultados relacionados `a topologia fraca∗ _{e que}

ser˜ao ´uteis neste trabalho.

A proposi¸cão a seguir é uma aplica¸cão simples do teorema 1.1.3.

Proposi¸cão 1.2.11. Se X é um espa¸co normado, então a aplica¸cão canônica

I : (X,_k._k)_→(X∗∗, σ(X∗, X))

´e cont´ınua.

Analogamente à proposi¸cão 1.2.6, a proposi¸cão a seguir nos permite simplificar algumas demonstra¸cões. A demonstra¸cão é simples e será omitida.

Proposi¸cão 1.2.12. Se X é um espa¸co normado, então os conjuntos da forma

W(ϕ, x1, . . . , xn, ǫ) :={ϑ∈X∗ :|ϕ(xk)−ϑ(xk)|< ǫ, 1≤k ≤n},

onde ϕ _∈ X∗_, _x

1, . . . , xn ∈ X e ǫ > 0, formam uma base de abertos para a topologia

(24)

1.2. TOPOLOGIAS INDUZIDAS POR FAMÍLIAS DE FUNÇ ÕES 7 Dado um espa¸co topológicoX, dizemos que um subconjuntoY _⊂Xéseparável se existir um subconjunto_{D ⊂} Y enumerável, satisfazendo Y _{⊆ D}.

Se X ´e um espa¸co normado e A e B forem subconjuntos de X e X∗ _{respectivamente,}

denotaremos por Aw o fecho de A sob a topologia fraca de X e porBw∗ o fecho de B sob a topologia fraca∗ _de_X∗_.

Demonstra-se que se um subconjuntoY _⊆X, onde X é um espa¸co normado, é separável então [Y] é separável. Temos também o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 1.2.13. Seja X um espa¸co normado. Se um subconjunto A de X∗ _´e _w∗

-separável, então [A] éw∗_{-separável.}

Demonstra¸cão. Se A é w∗_{-separável, existe uma cole¸cão enumerável} _{_ϕ

n:n∈N} ⊂ A

sa-tisfazendo

A_{⊆ {}ϕn :n ∈N} w∗

. Seja KQ definido por

KQ :=

(

Q se K=R

Q+iQ se K=C .

Claramente KQ ´e um corpo denso em K e podemos definir D := [{ϕn:n∈N}]KQ, o

espa¸co vetorial gerado por _{ϕn :n∈N} sobre o corpo KQ. Segue-se que D ´e enumer´avel.

Demonstraremos que [A]⊂ Dw

∗ .

Fixado u ∈ [A], seja W(u, x1, . . . , xr, ǫ), onde x1, . . . , xr ∈ X, e ǫ > 0, uma vizinhan¸ca

b´asica arbitr´aria de u na topologia fraca∗ _de_X∗_.

Supondou=a1ϑ1+. . .+asϑs, coma1, . . . , as ∈Keϑ1, . . . , ϑs∈A, por{ϕk :k∈N}ser

w∗_{-denso em} _{A, para cada 1} _≤_k_≤_s _existe _ϕ

nk ∈W(ϑk, x1, . . . , xr, δ)∩ {ϕn:n∈N}, onde

δ := ǫ

2s(max1≤j≤s|aj|+ 1)

.

Ent˜ao, para cada 1_≤k _≤s,

|ϑk(xj)−ϕnk(xj)|<

ǫ

2s(max1≤j≤s|aj|+ 1)

, 1_≤j _≤r.

Fixando-se v := a1ϕn1 +. . .+asϕns, a densidade de KQ em K implica a existˆencia de b1, . . . , bs ∈KQ, satisfazendo

|ak−bk|<

ǫ

2s(max1≤j≤r|ϕnk(xj)|+ 1)

(25)

Segue-se que w:=b1ϕn1 +. . .+brϕnr ∈ D e para cada 1≤j ≤r,

= s X k=1

ak(ϑk(xj)−ϕnk(xj))

+ s X k=1

(ak−bk)ϕnk(xj)

≤ s X k=1

|a_{k| |}ϑk(xj)−ϕnk(xj)|+

s

X

k=1

|ak−bk| |ϕnk(xj)|

< s X k=1 ǫ 2s + s X k=1 ǫ 2s = ǫ 2 + ǫ 2 =ǫ.

Ent˜ao w ∈ W(u, x1, . . . , xr, ǫ)∩ D. Por W(u, x1, . . . , xr, ǫ) ser uma vizinhan¸ca b´asica

arbitr´aria deu, conclu´ımos que u_{∈ D}w ∗

.

Apresentaremos agora algumas defini¸c˜oes e teoremas importantes que ser˜ao utilizados ao longo deste trabalho. Estes resultados podem ser encontrados com todos os detalhes em [16].

Defini¸c˜ao 1.2.14. Sejam X um espa¸co normado e A e B subconjuntos de X e X∗

respec-tivamente, definimos

A⊥:=_{f _∈X∗ :f(x) = 0, x_∈A_}, B⊥:={x∈X :f(x) = 0, f ∈B}.

A⊥_{´e o} _anulador _de_A _em _X∗ _e_B

⊥ ´e oanulador de B em X.

Demonstra-se que A⊥ _e_B

⊥ s˜ao subespa¸cos fechados de X∗ e X respectivamente.

Teorema 1.2.15. SejamX um espa¸co normado e A e B subconjuntos de X e X∗

respecti-vamente.

(i) O conjunto A⊥ _´e _w∗_{-fechado em} _X_;

(ii) (B⊥)⊥= [B]

w∗

;

(iii) Se B for subespa¸co de X∗_{, ent˜ao} _(B

⊥)⊥=B

w∗

.

Teorema 1.2.16. (Alaoglu) Se X é um espa¸co normado, então a bola fechada BX∗ é um

espa¸co de Hausdorff compacto na topologia fraca∗_.

Teorema 1.2.17. (Goldstine) Sejam X um espa¸co normado e I :X →X∗∗ _{a aplica¸c˜ao}

(26)

1.2. TOPOLOGIAS INDUZIDAS POR FAMÍLIAS DE FUNÇ ÕES 9

Teorema 1.2.18. Se X é um espa¸co normado separável então BX∗ éw∗-metrizável.

Demonstra¸c˜ao. Seja _{xn :n ∈N} ⊂ X \ {0} um subconjunto enumer´avel, denso em X.

Observamos que para quaisquer f, g _∈BX∗

∞

X

n=1

1 2n_k_x

nk|

(f−g) (xn)| ≤

∞

X

n=1

1 2n_k_x

nkk

f−gk kxnk=kf −gk<∞.

Podemos ent˜ao definir a aplica¸c˜ao d :BX∗×B

X∗ →R por d(f, g) :=

∞

X

n=1

1 2n_k_x

nk|

(f ₋g) (xn)|, f, g∈BX∗.

Verifica-se sem dificuldade que para quaisquer f, g, h∈BX∗ (i) d(f, g)_≥0;

(ii) d(f, g) = d(g, f);

(iii) d(f, g)_≤d(f, h) + d(h, g).

Sef, g_∈BX∗ s˜ao tais que d(f, g) = 0, ent˜aof(x_n) =g(x_n) para todon∈N. Por (x_n)

n∈N

ser denso em X, decorre f =g. Podemos então concluir que d é uma métrica sobre BX∗. Para demonstrarmos que a topologiaσ(X∗_{, X}_{) sobre}_B

X∗ ´e metriz´avel, basta verificarmos que a identidade id : (BX∗, σ(X∗, X))→(B

X∗,d) é um homeomorfismo. Seja f ∈ BX∗ arbitrário. Dado ǫ > 0 arbitrário, existe n

0 ∈ N tal que ₂n1₀ < ₄ǫ e existe δ >0 tal que

δ

n0

X

k=1

1 2n_k_x

nk

!

< ǫ 2. Seja W :=W(f, x1, . . . , xn0, δ)∩BX∗. Se g ∈W temos

d(f, g) =

n0

X

k=1

1

2k_k_x_kk|(f−g)(xk)|+

∞

X

k=n0+1

1

2k_k_x_kk|(f −g)(xk)| ≤δ

n0

X

k=1

1 2k_k_x_kk

!

+_kf₋g_k

∞

X

k=n0+1

1 2k

!

≤ ǫ

2+ 2

∞

X

k=n0+1

(27)

Isso demonstra que id (W) _{⊆ B}d

ǫ(f) :={g ∈BX∗ : d (f, g)< ǫ}, e podemos concluir que id é cont´ınua. Por outro lado, de acordo com o teorema de Alaoglu 1.2.16,BX∗éw∗-compacto e por (BX∗,d) ser espa¸co topológico de Hausdorff, id é uma aplica¸cão fechada. Segue-se que id−1 é cont´ınua e conclu´ımos que id é um homeomorfismo.

1.3 Espa¸

cos Vetoriais Topol´

ogicos

Nesta se¸cão introduziremos o conceito de espa¸co vetorial topológico que generaliza o de espa¸co normado. Apresentaremos algumas defini¸cões e resultados que dependem apenas da continuidade das opera¸cões de adi¸cão de vetores e multiplica¸cão de vetor por escalar. Estudaremos também o conceito de precompacidade.

Defini¸cão 1.3.1. Um espa¸co vetorial topológico (EVT) é um par ordenado (X,O), onde X é um espa¸co vetorial sobre o corpo K e _O é uma topologia sobreX tal que a adi¸cão de vetores seja uma opera¸cão cont´ınua de X_×X em X e a multiplica¸cão de vetor por escalar seja uma opera¸cão cont´ınua de K_×X em X. Se _O admitir uma base de abertos convexos, dizemos que (X,_O) é um espa¸co localmente convexo (ELC). Por questão de simplicidade, quando não houver dúvidas sobre qual topologia se trata, denotaremos um espa¸co vetorial topológico apenas por X.

Claramente, todo espa¸co normado X é um ELC. Verifica-se também que os espa¸cos (X, σ(X, X∗_{)) e (X}∗_{, σ}_(X∗_{, X)) são ELCs.}

Defini¸cão 1.3.2. Uma rede (xγ)_γ_∈_Γ em um espa¸co vetorial topológicoX é chamada derede

de Cauchy se para toda vizinhan¸ca U de zero existir γ ∈Γ tal quexα−xβ ∈U sempre que

α, β ≥γ.

Defini¸cão 1.3.3. DadosX,Y espa¸cos vetoriais topológicos, dizemos que que uma aplica¸cão f :A⊂ X →Y éuniformemente cont´ınua se para toda vizinhan¸ca U de zero em Y existir uma vizinhan¸caV de zero emX, tal que para quaisquer x,y ∈A, f(x)−f(y)∈ U sempre que x−y∈V.

Defini¸cão 1.3.4. Se X é um espa¸co vetorial topológico e Y é subconjunto de X, dizemos que Y éprecompacto se toda rede (xγ)γ∈Γ⊂Y admite subrede de Cauchy.

(28)

1.3. ESPAC¸ OS VETORIAIS TOPOL ´OGICOS 11 vizinhan¸ca U de zero em Y tal que para cada vizinhan¸ca V de zero em X, existem xV,

yV ∈A, satisfazendo

xV −yV ∈V e f(xV)−f(yV)∈/ U.

Seja Γ a cole¸c˜ao de todas as vizinhan¸cas de zero, dirigida sob a rela¸c˜ao _≤, definida por V0 ≤V1 se e somente se se V1 ⊆V0.

Segue-se que (xV)V∈Γ e (yV)V∈Γ s˜ao redes em A satisfazendo, xV −yV →0.

Por A ser precompacto, (xV)V∈Γ e (yV)V∈Γ admitem subredes de Cauchy que, por

sim-plicidade, denotaremos (xγ)_γ_∈_Γ₁ e (yδ)_δ_∈_Γ₂ respectivamente.

Seja Γ0 := Γ1 ×Γ2, dirigido sob a rela¸c˜ao≤, definida por

(γ0, δ0)≤(γ1, δ1) se e somente seγ0 ≤γ1 e δ0 ≤δ1.

Fixando-se x(γ,δ)

(γ,δ)∈Γ0 e y(γ,δ)

(γ,δ)∈Γ0 onde

x(γ,δ):=xγ ey(γ,δ):=yδ,

obtemos redes de Cauchy em A, satisfazendo x(γ,δ)−y(γ,δ)→0 e f x(γ,δ)

−f y(γ,δ)

/

∈U, (γ, δ)_∈Γ0.

Proposi¸cão 1.3.5. Se X e Y forem espa¸cos localmente convexos e A _⊂X for precompacto, então uma aplica¸cão f : A _→Y é uniformemente cont´ınua se e somente se aplica redes de Cauchy em redes de Cauchy.

Demonstra¸cão. Claramente sef é uniformemente cont´ınua então aplica redes de Cauchy em redes de Cauchy.

Por outro lado, se f n˜ao for uniformemente cont´ınua, de acordo com o que foi discutido acima, deve existir uma vizinhan¸ca U de zero e redes de Cauchy (xγ)_γ_∈_Γ e (yγ)_γ_∈_Γ em A,

satisfazendo

xγ−yγ →0 e f(xγ)−f(yγ)∈/ U, γ ∈Γ.

Seja ΓN:= Γ×N, dirigido sob a rela¸c˜ao≤, definida por

(29)

Fixemos z(γ,n)

(γ,n)∈ΓN definida por

z(γ,n) =

(

xγ se n for par

yγ se n for ´ımpar

.

Sem dificuldades verifica-se que z(γ,n)

(γ,n)∈ΓN ´e rede de Cauchy em A. Entretanto, a

rede f z(γ,n)

(γ,n)∈ΓN não é de Cauchy em Y, isso conclui a demonstra¸cão.

Proposi¸cão 1.3.6. Se X é um espa¸co de Banach, todo subconjunto precompacto de X é separável.

Demonstra¸cão. Seja A um subconjunto precompacto de X. Verifica-se que toda sequência em A admite subsequência convergindo a algum elemento de A, portanto A é compacto.

Por X ser um espa¸co de Banach e A ser compacto, A é separável, e portanto existe um subconjunto enumerável _D =_{an :n∈N} satisfazendo

A=_D. Para cadam, n_∈N, fixemosbmn∈ B1

m(an)∩A. Segue-se queH:={bmn :m, n∈N} ⊂A é uma cole¸cão enumerável, satisfazendo

A _{⊆ H},

de onde conclu´ımos que A´e separ´avel.

A demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao a seguir pode ser encontrada com todos os detalhes em [16] ou [19].

Proposi¸cão 1.3.7. Se X é um espa¸co de Banach então BX é w-precompacto.

1.4 Espa¸

cos de Sequˆ

encias

(30)

1.4. ESPAÇ OS DE SEQU ÊNCIAS 13 Fixado um conjunto infinito Γ, c0(Γ) denota o espa¸co de todas as fun¸cões ϕ : Γ → K

satisfazendo

kϕ_k_∞ := sup

λ∈Γ{|

ϕ(λ)_|}<_∞.

e tais que para todo ǫ >0 o conjunto{λ∈Γ :|ϕ(λ)| ≥ǫ}´e finito.

Observamos que sob esta defini¸c˜ao, qualquerϕ _∈c0(Γ) se anula em todo Γ, com exce¸c˜ao

de um subconjunto enumer´avel Γϕ.

Se 1 _≤p < _∞, lp(Γ) denota o conjunto de todas as fun¸c˜oes ϕ : Γ →K se anulando em

todo Γ com exce¸c˜ao de um subconjunto enumer´avel Γϕ ⊆ {λk :k ∈N} satisfazendo

kϕ_kp :=

∞

X

k=1

|ϕ(λk)|p

!1

p <_∞.

Por abuso de nota¸c˜ao muitas vezes escreveremos

kϕ_kp := X

λ∈Γ

|ϕ(λ)_|p

!1

p .

Denotamos por l∞(Γ) o espa¸co de todas as fun¸c˜oes ϕ : Γ→K com

kϕk∞ := sup

t∈Γ {|

ϕ(t)|}.

Demonstra-se que c0(Γ) e lp(Γ), 1 ≤ p ≤ ∞ s˜ao espa¸cos de Banach. Um elemento

arbitr´ario ϕ de algum desses espa¸cos, ser´a denotado por (ϕλ)_λ_∈_Γ onde ϕλ :=ϕ(λ).

Por simplicidade, denotaremos c0(N) :=c0 e lp(N) := lp, 1≤p≤ ∞.

Seja B={eλ :λ∈Γ} onde eλ = (eλγ)_γ_∈_Γ ´e definido por

eλγ :=

(

1 se λ=γ 0 se λ₆=γ .

Claramente _B ´e um conjunto linearmente independente. Fixado ϕ = (ϕλ)λ∈Γ em lp(Γ),

1_≤p <_∞ ouc0(Γ), o conjunto Γϕ :={λ∈Γ :ϕλ 6= 0}´e enumer´avel.

Se Γϕ for finito, ϕ ´e combina¸c˜ao linear de elementos de B. Supondo Γϕ ={λk :k∈N},

definimos a sequˆencia (ϑn)_n_∈N por

ϑn:= n

X

k=1

(31)

Dado ǫ >0, se ϕ_∈lp(Γ), 1 ≤p <∞, existe n0 tal que

kϕ−ϑnkp ≤

∞

X

k=n+1 |ϕλk|

p

!1

p < ǫ,

sempre que n _≥n0.

Se ϕ∈c0(Γ), existe n1 tal que

kϕ₋ϑnk_∞ ≤ sup k≥n+1{|

ϕλk|} ≤ǫ,

sempre que n ≥n1.

Em qualquer caso

ϕ = lim

n→∞ϑn= limn→∞

n

X

k=1

ϕλkeλk :=

∞

X

k=1

ϕλkeλk

Claramente, a s´erie converge incondicionalmente, ou seja

∞

X

k=1

ϕλkeλk =

∞

X

k=1

ϕλσ(k)eλσ(k),

para toda permuta¸cão σ :N_→N. Então, por abuso de nota¸cão escrevemos ϕ=X

λ∈Γ

ϕλeλ.

O conjunto _B ser´a chamado de base canˆonica dec0(Γ) ou lp(Γ), 1≤p <∞.

Proposi¸cão 1.4.1. Se Γé um conjunto infinito qualquer então (c0(Γ))∗ é isometricamente

isomorfo a l1(Γ).

Demonstra¸c˜ao. Seja B = {eλ :λ∈Γ} a base canˆonica de c0(Γ). Verificaremos

primeira-mente que para cada ϕ∈(c0(Γ))∗ o conjunto Γ∗ϕ :={λ ∈Γ :ϕ(eλ)6= 0} ´e enumer´avel.

Com efeito, fixado ϕ_∈(c0(Γ))∗ para cada n∈N definimos

Fn :=

λ∈Γ :|ϕ(eλ)| ≥

1 n

.

(32)

1.4. ESPAÇ OS DE SEQU ÊNCIAS 15 enumerável _{λk :k ∈N} ⊆Fn0 e definir uma sequência (vn)n∈N onde

vn:= n

X

k=1

1 k

ϕ(eλk)

|ϕ(eλk)| eλk.

Claramente kvnk∞ = 1, n∈N, e

|ϕ(vn)|=

ϕ n X k=1 1 k

ϕ(eλk)

|ϕ(eλk)| eλk

! = n X k=1 1

k |ϕ(eλk)|

≥ 1 n0 n X k=1 1 k ! .

Isso implica uma contradi¸cão pelo fato de ϕ ser cont´ınua. Então Fn é finito para todo

n∈N, e portanto, o conjunto

Γ∗_ϕ = [

n∈N

Fn

´e enumer´avel.

Para cadaϕ _∈(c0(Γ))∗, supondo sem perda de generalidade Γ∗ϕ ={λk :k ∈N}, definimos

para cada n_∈N

un := n

X

k=1

ϕ(eλk)

|ϕ(eλk)|

eλk.

Claramente _kunk∞= 1 para cada n∈N, e vale a seguinte rela¸c˜ao

n

X

k=1

|ϕ(eλk)|=

ϕ n X k=1

ϕ(eλk)

|ϕ(eλk)| eλk

!

=|ϕ(un)| ≤ kϕk∞.

Segue-se que

∞

X

k=1

|ϕ(eλk)| ≤ kϕk∞

e a convergência é claramente incondicional. Por abuso de nota¸cão escreveremos

X

λ∈Γ

|ϕ(eλ)|:=

∞

X

k=1

(33)

Podemos ent˜ao, definir uma aplica¸c˜ao Φ : (c0(Γ))∗ →l1(Γ), por

Φ(ϕ) := (ϕ(eλ))λ∈Γ.

Verifica-se que Φ é uma aplica¸cão linear, e da rela¸cão (1.1) segue-se imediatamente,

kΦ(ϕ)k1 ≤ kϕk∞ para todoϕ∈(c0(Γ))∗.

Observemos agora que para cada ϕ ∈(c0(Γ))∗ e para cada x = (xλ)λ∈Γ =Pλ∈Γxλeλ ∈

Bc0(Γ), vale a seguinte rela¸c˜ao

|ϕ(x)_|=

X

λ∈Γ

xλϕ(eλ)

≤

X

λ∈Γ

|x_{λ| |}ϕ(eλ)|

≤ X

λ∈Γ

|ϕ(eλ)|

!

=_kΦ(ϕ)_k1,

de onde conclu´ımos, _kϕ_k_∞_{≤ k}Φ(ϕ)_k1 para todoϕ _∈(c0(Γ))∗.

Então Φ é uma isometria. Para verificarmos a sobrejetividade basta notar que para cada (xλ)λ∈Γ∈l1(Γ), a aplica¸cão φ:c0(Γ)→K definida por

φ(u) :=X

λ∈Γ

uλxλ, u= (uλ)_λ_∈_Γ ∈c0(Γ),

´e linear e cont´ınua. Claramente Φ (φ) = (xλ)λ∈Γ.

De forma semelhante, demonstra-se que se 1 p +

1

q = 1 ent˜ao (lp(Γ))

∗

´e isometricamente isomorfo alq(Γ) e que (l1(Γ))∗ ´e isometricamente isomorfo a l∞(Γ).

A demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao a seguir pode ser encontrada em [10].

Proposi¸c˜ao 1.4.2.

(i) c0 e lp, 1≤p <∞ s˜ao separ´aveis.

(ii) l∞ não é separável.

(iii) Se Γ for um conjunto não enumerável, então c0(Γ) e lp(Γ), 1 ≤ p ≤ ∞, não são

separ´aveis.

Uma propriedade importante dos espa¸cos l1(Γ) ´e que, sobre esse espa¸cos, uma sequˆencia

converge fracamente se e somente se converge em norma. Tal propriedade ´e denominada

(34)

1.4. ESPAC¸ OS DE SEQU ˆENCIAS 17

Defini¸c˜ao 1.4.3. Dizemos que um espa¸co normadoX tem a propriedade de Schur, se toda sequˆencia (xn)n∈N em X convergindo fracamente a algum x∈X, converge em norma a x.

A proposi¸c˜ao a seguir pode ser encontrada em [8].

Proposi¸c˜ao 1.4.4. l1 tem a propriedade de Schur.

Demonstra¸cão. Seja (xn)n∈N⊂l1 uma sequência arbitrária convergindo fracamente a algum

x∈l1. Dado ǫ >0 arbitr´ario, definimos para cada m∈N, Bm :=

n

φ_∈Bl∞ :|φ(xn−x)| ≤ ǫ

3, n≥m

o

.

Notando-se que para cada n _∈N, a aplica¸c˜aoβn:l∞ →K, definida por

βn(φ) :=φ(xn−x),

´e cont´ınua, com respeito `a topologia fraca∗ _de _l

∞ e a topologia usual de K, e

Bm =

\

n≥m

β_n−1 Bǫ

3(0)

!

∩Bl∞,

conclu´ımos que Bm ´ew∗_{-fechado para cada} _m _∈ _N_{. Por (x}

n)_n_∈N convergir fracamente a x,

segue-se

Bl∞ =

[

m∈N Bm.

Por l∗

1 ∼= l∞, o teorema de Alaoglu 1.2.16 implica que Bl∞ ´e w

∗_{-compacto. Por} _l

1 ser

separável, decorre da proposi¸cão 1.2.18, queBl∞ éw

∗_{-metriz´avel. Portanto, sob a topologia}

fraca∗_,_B

l∞ é um espa¸co métrico compacto e consequentemente, um espa¸co de Baire. Então, de acordo com o teorema de Baire, existem0 ∈Ntal que o interior, com respeito à topologia

fraca∗_{, de} _Bm

0 n˜ao seja vazio. Segue-se que existem φ0 ∈ Bl∞, y1, . . . , yr ∈ l1 e δ0 > 0, tais

que

W(φ0, y1, . . . , yr, δ0)∩Bl∞ ⊂ Bm₀. Supondo yi = (yik)k∈N, 1≤i≤r, fixemoss ∈Ntal que

∞

X

k=s+1

y_ki< δ0

4, 1≤i≤r.

Se {ek :k ∈N}´e a base canˆonica de l1, para cada φ∈Bl∞ satisfazendo

|φ(ei)−φ0(ei)| ≤δ1 :=

δ0

2(max1≤k≤rkykk1+ 1)

(35)

temos

|φ(yi)−φ0(yi)|=

∞ X k=1

(φ(ei)−φ0(ei))yki

≤ s X k=1

|φ(ei)−φ0(ei)|

y_ki+

∞

X

k=s+1

(_kφ_k+_kφ0k)

yi_k

≤δ1 s X k=1 yi k + 2δ0

4

≤δ1 max

1≤k≤rkykk1+

δ0

2 < δ0, ou seja, φ_∈W(φ0, y1, . . . , yr, δ0) e podemos concluir

W(φ0, e1, . . . , es, δ0)∩Bl∞ ⊂W(φ0, y1, . . . , yr, δ0)∩Bl∞. (1.2)

Supondo para cada n∈N, xn:= (χnk)k∈N ex:= (χk)k∈N, temos

kxn−xk1 =

∞

X

k=1

|χn_k ₋χk|

=

s

X

k=1

|χnk −χk|+

∞

X

k=s+1

|χnk−χk|

=

s

X

k=1

|χn_k ₋χk| − s

X

k=1

φ0(ek) (χnk−χk)

+

s

X

k=1

φ0(ek) (χnk −χk) +

∞

X

k=s+1

|χn_k₋χ_k|

≤2

s

X

k=1

|χn_k ₋χk|+|ψ(xn−x)|,

onde ψ := (φ0(e1), . . . , φ0(es), sng(χns+1−χns+1), sng(χns+2−χns+2), . . .)∈Bl∞ e

sng(u) :=

(

u

|u| se u6= 0

0 se u= 0 . Notando-se que (ψ−φ0)(ek) = 0 para todo 1≤k ≤s, decorre

(36)

1.4. ESPAC¸ OS DE SEQU ˆENCIAS 19 Por xn

w

→x, segue-se χn

k →χk, k∈N. Podemos fixar m1 ∈N tal que s

X

k=1

|χn_k₋χk|<

ǫ

3, n≥m1. Ent˜ao para todo n >max_{m0, m1}

kxn−xk1 <2

ǫ 3 +

ǫ 3 =ǫ e isso demonstra que xn→x em l1.

Proposi¸cão 1.4.5. Para qualquer conjunto Γ não enumerável, l1(Γ) tem a propriedade de

Schur

Demonstra¸c˜ao. Seja (xn)n∈N uma sequˆencia em l1(Γ), convergindo fracamente a algumx∈

l1(Γ).

Para cada y = (yλ)λ∈Γ ∈ l1(Γ), de acordo com a defini¸cão de l1(Γ), o conjunto Γy := {λ∈Γ :yλ 6= 0}é enumerável. Seja

Γ0 :=

[

n∈N

Γxn

!

∪Γx.

Claramente Γ0 ´e enumer´avel e podemos, sem perda de generalidade, supor

Γ0 ={λk :k ∈N}.

Observemos que para cada y= (yλ)λ∈Γ∈l1(Γ), vale a seguinte rela¸c˜ao

X

k∈N

|yλk| ≤

X

λ∈Γ

|yλ|=k(yλ)λ∈Γk1. (1.3)

Podemos ent˜ao definir uma aplica¸c˜ao Φ :l1(Γ)→l1 por

Φ (yλ)λ∈Γ

:= (yλk)k∈N.

Sem dificuldade, demonstra-se que Φ é linear, e da rela¸cão (1.3), segue-se imediatamente que Φ é cont´ınua.

Em virtude da proposi¸c˜ao 1.2.5, a sequˆencia (Φ(xn))n∈N em l1 converge fracamente a

(37)

Por l1 ter apropriedade de Schur, (Φ(xn))n∈N converge em norma para Φ(x) e de acordo

com a defini¸c˜ao de Φ, temos

kΦ(xn)−Φ(x)k1 =kΦ(xn−x)k1 =kxn−xk1, n∈N.

(38)

Cap´ıtulo 2

Aplica¸

c˜

oes Multilineares e Polinˆ

omios

Este cap´ıtulo é dedicado ao estudo de conceitos básicos sobre aplica¸cões multilineares, polinômios e tópicos relacionados. Para um estudo mais detalhado, recomendamos [9] e [17].

2.1 Aplica¸

c˜

oes Multilineares

Defini¸c˜ao 2.1.1. Sejam X1, . . . , Xn e Y, espa¸cos vetoriais sobre um corpo K. Dizemos que

uma aplica¸cãoA :X1×. . .×Xn →Y én-linear se for linear em cada variável separadamente,

ou seja

A(x1, . . . , xi +λyi, . . . , xn) =A(x1. . . , xi, . . . , xn) +λA(x1, . . . , yi, . . . , xn)

para quaisquer x1, . . . , xi, yi, . . . , xn ∈Xi, 1≤i≤n e λ∈K.

Verifica-se facilmente que o conjunto de todas as aplica¸c˜oes n-lineares de X1, . . . , Xn

em Y, sob as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar, é um espa¸co vetorial. Este espa¸co será denotado por _La(X1, . . . , Xn;Y). Em particular, se X1 = . . . = Xn =

X denotaremos _La(X1, . . . , Xn;Y) := La(nX;Y), La(1X;Y) = La(X;Y) e por conven¸c˜ao La(0_X;_Y_{) =}_Y_{. Se} _Y ₌_K_{, denotaremos} _La_(X

1, . . . , Xn;K) :=La(X1, . . . , Xn).

A partir de agora, menos que sejam mencionadas outras hip´oteses, X1, . . . , Xn, X, Y

denotarão espa¸cos normados. Por questão de simplicidade e quando não houver possibilidade de confusão, qualquer norma será denotada apenas por _k._k, ficando claro pelo contexto a qual espa¸co se refere.

A topologia produto sobre X1×. . .×Xn pode ser gerada pela norma k(x1, . . . , xn)k:= max

1≤k≤nkxkk.

(39)

Neste trabalho, sobre um produto de espa¸cos normados, esta ser´a a norma utilizada. Demonstra-se sem dificuladade que X1 ×. . .×Xn ´e um espa¸co de Banach se e somente

se X1, . . . , Xn s˜ao espa¸cos de Banach.

Proposi¸c˜ao 2.1.2. Para cada A_{∈ L}a(X1, . . . , Xn;Y) s˜ao equivalentes:

(i) A ´e cont´ınua;

(ii) A ´e cont´ınua na origem;

(iii) Existe M > 0 tal que kA(x1, . . . , xn)k ≤ Mkx1k. . .kxnk para todo (x1, . . . , xn) ∈

X1 ×. . .×Xn.

Demonstra¸c˜ao. (i)_⇒(ii) Evidente.

(ii) _⇒ (iii) Se A ´e cont´ınua na origem, ent˜ao existe δ > 0 tal que _kA(x1, . . . , xn)k ≤ 1

sempre que _k(x1, . . . , xn)k ≤δ.

Fixando-se M := _δ1n, seja (x1, . . . , xn)∈X1×. . .×Xn arbitr´ario. Se xk = 0 para algum 1≤k≤n ent˜ao

kA(x1, . . . , xn)k= 0 =Mkx1k. . .kxnk.

Se xk6= 0, 1≤k ≤n, ent˜ao

A

δx1 kx1k

, . . . , δxn

kxnk

≤1,

pois claramente

δx1 kx_1k, . . . ,

δxn kx_nk

≤δ.

Consequentemente

kA(x1, . . . , xn)k ≤

1

δnkx1k. . .kxnk=Mkx1k. . .kxnk.

(40)

2.1. APLICAC¸ ˜OES MULTILINEARES 23 Definindo-se z0 :=x, z1 := (y1, x2. . . , xn), z2 := (y1, y2, x3. . . , xn),. . .,zn:=y, temos

kA(y)₋A(x)_k=

n X k=1

(A(zk)−A(zk−1))

≤ n X k=1

kA(zk)−A(zk−1)k

=

n

X

k=1

kA(y1, . . . , yk−xk, . . . , xn)k

≤ n

X

k=1

Mkx1k. . .kyk−xkk. . .kxnk

≤M mn−1

n

X

k=1

kyk−xkk

!

.

A rela¸c˜ao acima implica claramente a continuidade de A.

Denotaremos por _L(X1, . . . , Xn;Y) o subespa¸co deLa(X1, . . . , Xn;Y) consistindo de

to-das as aplica¸c˜oes n-lineares cont´ınuas. Em particular, se X1 =. . . =Xn =X denotaremos L(n_X;_Y_{) :=}_L_(X

1, . . . , Xn;Y). Denotaremos tamb´emL(X1, . . . , Xn) :=L(X1, . . . , Xn;K) e L(n_{X) :=}_L₍n_X;_K_).

A seguir um exemplo de aplica¸c˜ao multilinear n˜ao cont´ınua.

Exemplo 2.1.3. Seja X = (l1,k.k∞) e A∈ La(2X) definida por

A (αk)k∈N,(βk)k∈N

:=

∞

X

k=1

αkβk, (αk)k∈N,(βk)k∈N∈l1.

Para cadan _∈N, seja xn= ( n

z }| {

1, . . . ,1,0, . . .). Claramente _k(xn, xn)k= 1 para todo n∈N

e _kA(xn, xn)k=n. De acordo com a proposi¸cão 2.1.2, A não é cont´ınua.

Observamos no entanto que, para cada (αk)_k_∈N, (βk)k∈N ∈ l1, s˜ao v´alidas as seguintes

rela¸c˜oes:

kA (αk)_k_∈N,(βk)k∈N

k= ∞ X k

αkβk

≤ k(αk)k∈Nk1k(βk)k∈Nk∞, kA (αk)k∈N,(βk)k∈N

k= ∞ X k

αkβk

≤ k(βk)k∈Nk1k(αk)k∈Nk∞.

(41)

Devemos observar também que o espa¸co (l1,k.k∞) não é de Banach. A proposi¸cão a seguir

nos mostra que se os espa¸cos forem de Banach, em uma aplica¸c˜ao multilinear, a continuidade em cada vari´avel separadamente implica a continuidade.

Proposi¸c˜ao 2.1.4. Sejam X1, . . . , Xn espa¸cos de Banach e Y um espa¸co normado. Uma

aplica¸cão A ∈ La(X1, . . . , Xn;Y) é cont´ınua se e somente se é cont´ınua em cada variável

separadamente.

Demonstra¸cão. Claramente, se A for cont´ınua então é cont´ınua em cada variável separada-mente.

A demonstra¸cão da afirma¸cão rec´ıproca será por indu¸cão sobren. Se n= 1, a tese segue trivialmente. Supondon >1 e a tese válida em_La(X1, . . . , Xn−1;Y), fixemos uma sequência

((xk, yk))_k_∈N em X1×. . .×Xn, com xk ∈X1×. . .×Xn−1 eyk ∈Xn, convergindo a zero.

Seja F ={Ak :k ∈N} ⊂ La(Xn;Y) onde

Ak(y) := A(xk, y), k ∈N.

Para cada y_∈Xn a aplica¸c˜ao Ay :X1×. . .×Xn−1 →Y definida por

Ay(x) :=A(x, y),

é n ₋1-linear e cont´ınua em cada variável separadamente. De acordo com a hipótese de indu¸cão, Ay é cont´ınua. Então para cada k ∈N e y∈Xn temos

lim

k→∞Ak(y) = limk→∞A(xk, y) = limk→∞Ay(xk) = 0.

Consequentemente, F é uma cole¸cão de aplica¸cões lineares pontualmente limitada. Pelo Princ´ıpio da Limita¸cão Uniforme, existe M > 0 tal que supk∈NkAkk ≤M. Então

lim

k→∞kA(xk, yk)k= limk→∞kAkykk ≤klim→∞Mkykk= 0.

Conclu´ımos que A é cont´ınua na origem e portanto, em virtude da proposi¸cão 2.1.2,A é cont´ınua.

Proposi¸c˜ao 2.1.5. A aplica¸c˜ao _k._k:_L(X1, . . . , Xn;Y)→R definida por kA_k:= sup_{kA(x)_k:x_∈X1×. . .×Xn,kxk ≤1},

(42)

2.1. APLICAC¸ ˜OES MULTILINEARES 25

Demonstra¸c˜ao. Segue da proposi¸c˜ao 2.1.2 que para todo A_{∈ L}(n_X;_Y_), _k_A_k_<_∞_e

kA(x1, . . . , xn)k ≤ kAkkx1k. . .kxnk. (2.1)

Claramente, para cada A ∈ L(n_X;_Y_{), temos} _k_A_{k ≥} _{0. Se} _k_A_k _{= 0, da rela¸c˜ao (2.1),}

temos para cada (x1, . . . , xn)

kA(x1, . . . , xn)k ≤ kAkkx1k. . .kxnk= 0,

portanto A_≡0.

Fixado λ∈K ek(x1, . . . , xn)k ≤1 temos

kλA(x1, . . . , xn)k=|λ| kA(x1, . . . , xn)k ≤ |λ| kAk, (2.2)

consequentemente

kλA_{k ≤ |}λ_{| k}A_k.

Se λ= 0, claramente vale a igualdade na rela¸c˜ao (2.2). Se λ₆= 0 temos

kA(x1, . . . , xn)k=

λ

1 λ

A(x1, . . . , xn)

=

1

|λ|kλA(x1, . . . , xn)k ≤

1

|λ|kλAk,

portanto

|λ_{| k}A_{k ≤ k}λA_k. (2.3)

Das rela¸c˜oes (2.2) e (2.3) decorre a igualdade para toda aplica¸c˜aoA∈ L(X1, . . . , Xn;Y).

Se A, B ∈ L(X1, . . . , Xn;Y), fixado k(x1, . . . , xn)k ≤1 arbitr´ario temos

kA(x1, . . . , xn) +B(x1, . . . , xn)k ≤ kA(x1, . . . , xn)k+kB(x1, . . . , xn)k ≤ kAk+kBk,

portanto

kA+B_{k ≤ k}A_k+_kB_k.

Proposi¸cão 2.1.6. Se Y é um espa¸co de Banach então, sob a norma A 7→ kAk , o espa¸co

L(X1, . . . , Xn;Y) ´e de Banach.

Demonstra¸c˜ao. Seja (Ak)k∈N uma sequencia de Cauchy em L(X1, . . . , Xn;Y). Para cada

(x1, . . . , xn)∈X1×. . .×Xn e para cada k, r∈N,

(43)

Então, para cadau_∈X1×. . .×Xn, a sequência (Ak(u))k∈Né de Cauchy emY e converge,

pois Y ´e completo.

Podemos ent˜ao, definir uma aplica¸c˜ao A:X1×. . .×Xn →Y por

A(u) := lim

k→∞Ak(u).

An-linearidade da aplica¸cãoAsegue das propriedades operatórias do limite de sequências e da n-linearidade de cada uma das aplica¸cõesAk.

Para verificarmos a continuidade de A, fixemos u_∈ X1 ×. . .×Xn com kuk ≤ 1 arbitr´ario.

De acordo com a rela¸c˜ao (2.1), deve existir k0 ∈N tal que kAk(u)−Ar(u)k ≤1,

sempre que k, r≥k0. Ent˜ao, para todo k ≥k0, a desigualdade triangular implica kAk(u)k ≤ kAk0(u)k+ 1≤ kAk0k+ 1

e consequentemente

kAk ≤ kAk0k+ 1.

Conclu´ımos que kAk ≤ ∞, e em virtude da proposi¸c˜ao 2.1.2, A´e cont´ınua. Finalmente, fixando-se ǫ >0, existe k1 ∈N tal que para quaisquer k, r≥k1

kAk−Ark ≤

ǫ 2. Seja kuk ≤1 arbitr´ario. Para quaisquerk, r≥k1

kAk(u)−Ar(u)k ≤ kAk−Ark ≤

ǫ 2 Fixando-se k _≥k1 temos

lim

r→∞kAk(u)−Ar(u)k=kAk(u)−A(u)k ≤

ǫ 2 < ǫ. Por _ku_{k ≤}1 ser arbitr´ario,

kAk−Ak< ǫ,

(44)

2.2. APLICAÇ ÕES MULTILINEARES SIM ÉTRICAS 27

2.2 Aplica¸

c˜

oes Multilineares Sim´

etricas

As aplica¸cões multilineares simétricas têm importância fundamental no estudo de poli-nômios, objetos que estudaremos a partir da próxima se¸cão. Denotaremos por_Sno conjunto

de todas as permuta¸c˜oes de_{1, . . . , n_}, ou seja, o conjunto de todas as bije¸c˜oes de_{1, . . . , n_} em _{1, . . . , n_}.

Defini¸cão 2.2.1. Dizemos queA_{∈ L}a(nX;Y) é simétrica se para quaisquerx1, . . . , xn∈X

e para todo σ ∈ Sn

A(x1, . . . , xn) = A(xσ(1), . . . , xσ(n)).

Verifica-se facilmente que o conjunto de todas as aplica¸cões multilineares simétricas é um subespa¸co de _La(n_X;_Y_{) e será denotado por} _Ls

a(nX;Y). Em particular, denotaremos Ls

a(nX) :=Lsa(nX;K).

Defini¸c˜ao 2.2.2. Para cadaα = (α1, . . . , αm)∈Nm0 :=

m

z }| {

N0×. . .×N0, definimos

|α_|:=α1+. . .+αm e α! :=α1!. . . αm!.

Em diversos momentos neste trabalho, tendo em vista simplificar algumas nota¸c˜oes, dado A_{∈ La}(n_X;_Y_), _x

1, . . . , xm ∈X e α= (α1, . . . , αm)∈Nm0 com |α|=n, denotaremos

Axα1

1 . . . xαmm :=A x_{| {z }}1. . . x1 α1

. . . x_{| {z }}m. . . xm αm

.

Denotaremos por Ls₍n_X;_Y_{) o subespa¸co de} _Ls

a(nX;Y) de todas as aplica¸c˜oesn-lineares

sim´etricas cont´ınuas. Em particular, denotaremos Ls₍n_{X) :=}_Ls₍n_X;_K_).

Corolário 2.2.3. Se Y é um espa¸co de Banach então Ls₍n_X;_Y₎ _{é um espa¸co de Banach.}

Demonstra¸cão. Segue diretamente da proposi¸cão 2.1.6 e da unicidade do limite de uma sequência em um espa¸co normado.

Proposi¸c˜ao 2.2.4. Para cada A_{∈ L}(n_X;_Y₎ _seja _As _{definida por}

As(x1, . . . , xn) :=

1 n!

X

σ∈Sn

(45)

Então a aplica¸cão A _7→ As _{é uma proje¸cão de} _L₍n_X;_Y₎ _em _Ls₍n_X;_Y₎_{, e para cada}

A_{∈ L}(n_X;_Y₎_,

kA_{k ≤ k}As_k.

Denominaremos As_{, a aplica¸c˜ao} _n_{-linear sim´etrica associada a} _A_.

Demonstra¸cão. Fixado A _{∈ L}(n_X;_Y_{), claramente} _As _{é uma aplica¸cão multilinear cont´ınua}

e para cada γ _{∈ S}n,

As(xγ(1), . . . , xγ(n)) =

1 n!

X

σ∈Sn

A xγ(σ(1)), . . . , xγ(σ(n))

= 1 n!

X

β∈Sn

A xβ(1), . . . , xβ(n)

=As(x1, . . . , xn).

Então, de fato As_{∈ L}s₍n_X;_Y_{). Claramente}_A_7→_As _{é uma aplica¸cão linear e para cada}

A_{∈ L}(n_X;_Y₎

(As)s(x1, . . . , xn) =

1 n!

X

σ∈Sn

As xσ(1), . . . , xσ(n)

= 1 n!

X

σ∈Sn

As(x1, . . . , xn) =As(x1, . . . , xn).

Conclu´ımos que a aplica¸cão A 7→As _{é uma proje¸cão de} _L₍n_X;_Y_{) em} _Ls₍n_X;_Y_).

Fixando-se _k(x1, . . . , xn)k ≤1 arbitr´ario, temos

kAs(x1, . . . , xn)k=

1 n! X

σ∈Sn

A(x1, . . . , xn)

≤ 1 n!kAk

X

σ∈Sn

1 =_kA_k.

Consequentemente kAs_{k ≤ k}_A_k_.

Mais geralmente a aplica¸c˜ao A7→ As_{, associando cada} _A_{∈ La}₍n_X;_Y_{) a aplica¸c˜ao} _As _∈ Ls

a(nX;Y), definida por

As(x1, . . . , xn) :=

1 n!

X

σ∈Sn

A(xσ(1), . . . , xσ(n)), x1, . . . , xn∈X,

´e uma proje¸c˜ao de _La(nX;Y) em Lsa(nX;Y).

Analogamente ao caso cont´ınuo, denominaremos As_{, a aplica¸c˜ao} _{n-linear sim´etrica}

(46)

2.2. APLICAÇ ÕES MULTILINEARES SIM ÉTRICAS 29

Proposi¸c˜ao 2.2.5. (F´ormula de Leibniz) Seja A_{∈ L}s

a(nX;Y). Para x1, . . . , xm ∈X,

A(x1+. . .+xm)n =

X

|α|=n

n! α!Ax

α1

1 . . . xαmm,

onde α = (α1, . . . , αm)∈Nm0 , tal que |α|=n.

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão será feita por indu¸cão em n. É evidente que a proposi¸cão se verifica para n = 0 e n = 1. Se n > 1, supondo válida a tese em Ls

a(n−1X;Y) fixemos

x1, . . . , xm ∈ X. Aplicando-se a hipótese de indu¸cão para a aplica¸cão B ∈ Lsa(n−1X;Y)

definida por

B(y1, . . . , yn−1) := A(x1+. . .+xm) (y1, . . . , yn−1), y1, . . . , yn−1 ∈X,

teremos

A(x1+. . .+xm)n=B(x1+. . .+xm)n−1

= X

|α|=n−1

(n−1)! α! Bx

α1

1 . . . xαmm

= X

|α|=n−1

(n−1)!

α! A(x1+. . .+xm)x

α1

1 . . . xαmm

= X

|α|=n−1

(n−1)! α! Ax

α1+1

1 . . . xαmm +. . .+

X

|α|=n−1

(n−1)! α! Ax

α1

1 . . . xαmm+1.

Para cada 1 _≤ k _≤ m, definimos β(k) ₌ _β(k) 1 , ..., β

(k) m

onde β₁(k) := α1, . . . , βk(k) :=

(47)

Podemos escrever

X

|α|=n−1

(n₋1)! α! Ax

α1+1

1 . . . xαmm+. . .+

X

|α|=n−1

(n₋1)! α! Ax

α1

1 . . . xαmm+1

= X

|β(1)_|_=n

β₁(1)(n₋1)! β(1)_! Ax

β(1)₁ 1 . . . xβ

(1)

m

m +. . .+

X

|β(m)_|_=n

βm(m)(n−1)!

β(m)_! Ax β(₁m) 1 . . . xβ

(m)

m

= X

|β|=n

β1(n−1)!

β! Ax

β1

1 . . . xβmm+. . .+

X

|β|=n

βm(n−1)!

β! Ax

β1

1 . . . xβmm

= X

|β|=n

(β1+. . .+βm) (n−1)!

β! Ax

β1

1 . . . xβmm

= X

|β|=n

n! β!Ax

β1

1 . . . xβmm,

como quer´ıamos.

Corolário 2.2.6. (Fórmula do Binômio) Seja A_{∈ L}s

a(nX;Y). Para x, y ∈X,

A(x+y)n=

n X k=0 n k

Axn−kyk.

O próximo resultado estabelece que uma aplica¸cão multilinear simétrica é determinada pelos seus valores na diagonal de Xn_.

Proposi¸cão 2.2.7. (Fórmula de Polariza¸cão) Se A _{∈ L}s

a(nX;Y), ent˜ao para todo

x0, . . . , xn ∈X

A(x1, . . . , xn) =

1 n!2n

X

ǫk=±1

ǫ1. . . ǫnA(x0+ǫ1x1+. . .+ǫnxn)n.

A soma percorre todas as 2n _sequˆencias _(ǫ

1, . . . , ǫn), onde ǫk =±1 para cada 1≤k ≤n.

Demonstra¸c˜ao. De acordo com a F´ormula de Leibniz 2.2.5, fixando-sex0, . . . , xn ∈X e uma

sequˆencia (ǫ1, . . . , ǫn), ondeǫk =±1 para cada 1 ≤k≤n, temos

A(x0 +ǫ1x1+. . .+ǫnxn)n =

X

|α|=n

n! α!ǫ

α1

(48)

2.3. POLIN ˆOMIOS 31 equivalentemente

ǫ1. . . ǫnA(x0+ǫ1x1+. . .+ǫnxn)n =

X

|α|=n

ǫα1+1

1 . . . ǫαnn+1

n! α!Ax

α0

0 . . . xαnn.

Considerando-se a soma percorrendo todas as 2n _{sequˆencias (ǫ}

1, . . . , ǫn), onde ǫk = ±1

para cada 1_≤k_≤n, teremos

X

ǫk=±1

ǫ1. . . ǫnA(x0+ǫ1x1+. . .+ǫnxn)n=

X

ǫk=±1

X

|α|=n

ǫα1+1

1 . . . ǫαnn+1

n! α!Ax

α0

0 . . . xαnn

= X

|α|=n

n! α!Ax

α0

0 . . . xαnn

X

ǫk=±1 ǫα1+1

1 . . . ǫαnn+1

!

.

Seja α= (α0, . . . , αn)∈Nn+1 com |α|=n. Se para algum 1≤k ≤n tivermos αk = 0, e

podemos supor sem perda de generalidade que k= 1, ent˜ao

X

ǫk=±1 ǫα1+1

1 . . . ǫαnn+1 =

X

ǫk=±1

ǫ1ǫα22+1. . . ǫαnn+1

= X

ǫk=±1

ǫ2. . . ǫαnn+1−

X

ǫk=±1

ǫ2. . . ǫαnn+1 = 0.

Lembrando-se que _|α_| = n, podemos concluir que αk 6= 0 para todo 1 ≤ k ≤ n se e

somente seα0 = 0 e α1 =. . .=αn= 1. Ent˜ao,

X

ǫk=±1

ǫ1. . . ǫnA(x0 +ǫ1x1+. . .+ǫnxn)n =

X

ǫk=±1

ǫ2₁. . . ǫ2_n

!

n!A(x1, . . . , xn)

=n!2nA(x1, . . . , xn),

ou seja,

A(x1, . . . , xn) =

1 n!2n

X

ǫk=±1

ǫ1. . . ǫnA(x0+ǫ1x1+. . .+ǫnxn)n.

2.3 Polinˆ

omios

(49)

Defini¸cão 2.3.1. Dizemos que uma aplica¸cão P : X _→ Y é um polinômio homogêneo de graun, ou um polinômion-homogêneo, se existir uma aplica¸cãoA_{∈ La}(n_X;_Y_{) satisfazendo}

P(x) =Axn.

Denotaremos por A a aplica¸c˜ao n-linear associada ao polinˆomio P.

Verifica-se facilmente que o conjunto dos polinômios n-homogêneos de X em Y, munido das opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar, é um espa¸co vetorial. Deno-taremos esse espa¸co por _Pa(nX;Y). Em particular, se Y = K denotaremos Pa(nX) := Pa(nX;K). Por conven¸cão, Pa(0X;Y) :=Y.

Proposi¸c˜ao 2.3.2. Sejam n _∈ N, P _{∈ P}a(nX;Y) e A ∈ Lsa(nX;Y) a aplica¸c˜ao n-linear

associada a P. S˜ao equivalentes: (i) A ´e cont´ınua;

(ii) P ´e cont´ınua;

(iii) P ´e cont´ınua na origem;

(iv) Existe M >0 tal que _kP(x)_{k ≤}M_kx_kn _{para todo} _x_∈_X_.

Demonstra¸c˜ao. (i)_⇒(ii) Seja I :X _→Xn _{a inclus˜ao definida por}

I(x) = (

n

z }| {

x, . . . , x), x∈X.

Claramente, I é cont´ınua. SeA for cont´ınua então a composi¸cão P =A◦I é cont´ınua. (ii)⇒(iii) Evidente.

(iii)⇒(iv) Se P for cont´ınua na origem, ent˜ao existeδ > 0 tal que kP(x)k ≤1 sempre que _kx_{k ≤}δ.

Se x₆= 0 ent˜aoδ x

kxk

≤δ e portanto

P

δ x

kx_k

≤1.

Consequentemente

kP(x)_{k ≤} 1 δnkxk

n_. _(2.4)