UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA – 2019.1
⋆ GEOMETRIA ANAL´ITICA ⋆ 1
oEXERC´ICIO ESCOLAR ⋆ 29/03/2019
GABARITO – TURMA P6
1
aQuest˜ ao (2, 0) Sejam
→u um vetor de comprimento 2 e
→v um vetor de comprimento 3 que formam um ˆ
angulo de 3π
4 radianos. Calcule o produto interno (2
→u −
→v ) (
→u − 2
→v ).
RESOLUC ¸ ˜ AO: Dos dados, temos que:
→u
→
u = 4;
→v
→
v = 9;
→u
→
v = 2.3. −
√ 2 2
!
= − 3 √
2. Aplicando a bilinearidade e a simetria do produto interno euclidiano (produto escalar), obtemos que:
(2
→u −
→v ) (
→u − 2
→v ) = 2
→u
→
u +2
→v
→
v − 5
→u
→
v
= 2 · 4 + 2 · 9 − 5( − 3 √ 2)
= 26 + 15 √ 2
2
aQuest˜ ao (2, 0) Em uma base ortonormal, s˜ ao dados os vetores
→u = ( − 1, 0, 3) e
→v = (0, 1, 4). Determine as coordenadas dos vetores
→x paralelo a
→u , e
→y ortogonal a
→u de modo que
→x +
→y =
→v .
RESOLUC ¸ ˜ AO: Se
→x = (a, b, c) //
→u ,
→
y = (m, n, p) ⊥
→u , e
→x +
→
y =
→v , ent˜ ao, para um escalar real λ:
(a, b, c) =
→x = λ
→u = λ( − 1, 0, 3) ∴ a = − λ, b = 0, c = 3λ;
0 =
→y
→
u = (m, n, p) ( − 1, 0, 3) ∴ − m + 3p = 0 ∴ m = 3p;
(0, 1, 4) =
→v =
→x +
→y = ( − λ, 0, 3λ) + (3p, n, p) ∴
− λ + 3p = 0 ∴ λ = 3p ; n = 1;
3λ + p = 4 ∴ 10p = 4 ∴ p = 2
5 ∴ λ = 6 5 Logo, os vetores desejados s˜ ao:
→
x =
− 6 5 , 0, 18
5
e
→
y = 6
5 , 1, 2 5
3
aQuest˜ ao (3, 0) Em uma base ortonormal, s˜ ao dados os vetores
→
AB= (2, 1, 5),
→
AC = (3, − 1, 2) e
→
AD= ( − 1, 2, 1).
(a)(1, 0) Mostre que A, B, C e D s˜ ao v´ertices de um tetraedro.
(b)(1, 0) Calcule a ´ area da face BCD.
(c)(1, 0) Calcule o volume desse tetraedro.
RESOLUC ¸ ˜ AO:
(a) A, B, C e D s˜ ao v´ertices de um tetraedro se, e somente se, tais pontos n˜ ao s˜ ao coplanares, isto ´e,
→AB,
→
AC,
→
AD
´e um conjunto L.I. Calculando o produto misto:
→AB,
→
AC,
→
AD
=
2 1 5
3 − 1 2
− 1 2 1
= − 2 − 2 + 30 − 5 − 8 − 3 = 10 6 = 0 ∴
Os vetores s˜ ao L.I. e, portanto, os pontos s˜ ao v´ertices de um tetraedro.
(b) A face △ BCD ´e formada pelos segmentos de reta BC, BD e CD, e sua ´ area A ´e a metade da ´ area do paralelogramo de lados n˜ ao paralelos BC e BD. Estes segmentos de reta s˜ ao subjacentes a segmentos orientados que representam os vetores
→
BC e
→
BD, os quais podem ser calculados a partir dos dados:
→
BC =
→
BA +
→
AC = −
→
AB +
→
AC= ( − 2, − 1, − 5) + (3, − 1, 2) = (1, − 2, − 3), e
→
BD=
→
BA +
→
AD= −
→
AB +
→
AD= ( − 2, − 1, − 5) + ( − 1, 2, 1) = ( − 3, 1, − 4) ∴
→
BC ∧
→
BD=
→
i
→
j
→
k 1 − 2 − 3
− 3 1 − 4
= (11, 13, − 5) ∴
A = 1 2
→
BC ∧
→
BD
= 1 2
p 11
2+ 13
2+ ( − 5)
2= 1 2
√ 121 + 169 + 25 = 1 2
√ 315 = 3 2
√ 35
(c) O volume V do tetraedro ABCD ´e 1
6 do volume do paralelep´ıpedo de lados n˜ ao paralelos AB, AC e AD, ou seja, ´e igual a 1
6
→AB,
→
AC,
→
AD
. Da resposta do item (a), segue-se que V = 5 3 .
4
aQuest˜ ao (3, 0) Em um sistema ortogonal de coordenadas s˜ ao dados os pontos A = (1, 1, 2), B = (2, 0, 1) e C = ( − 1, 1, 1).
(a)(1, 0) Mostre que A, B e C n˜ ao s˜ ao colineares.
(b)(1, 0) Determine as coordenadas do ponto D de modo que ABDC (nessa ordem) seja um paralelogramo.
(c)(1, 0) Determine o ˆ angulo entre
→
AB e
→
AC.
RESOLUC ¸ ˜ AO:
(a) Os pontos A, B e C n˜ ao s˜ ao colineares se, e somente se, os vetores
→
AB e
→
AC (por exemplo) n˜ ao s˜ ao paralelos. Das coordenadas dos pontos dados,
→
AB =
→
OB −
→
OA = (2, 0, 1) − (1, 1, 2) = (1, − 1, − 1), e
→
AC =
→
OC −
→
OA = ( − 1, 1, 1) − (1, 1, 2) = ( − 2, 0, − 1). Eles n˜ ao s˜ ao paralelos porque, pelas segundas coordenadas,
→
AC teria que ser m´ ultiplo nulo de
→
AB (ou seja, o vetor nulo) para que eles fossem paralelos, mas
→
AC 6 =
→
0 . Portanto A, B e C n˜ ao s˜ ao colineares.
(b) Do paralelogramo ABDC,
→
BD=
→
AC. Pela a¸c˜ ao de vetores sobre pontos por transla¸c˜ ao, temos que:
D = B +
→
BD= B +
→
AC= (2, 0, 1) + ( − 2, 0, − 1) = (0, 0, 0) ∴ D ´e a origem do sistema de coordenadas.
(c) Se θ denota o ˆ angulo entre
→
AB e
→
AC, ent˜ ao:
cos θ =
→
AB
→
AC
→
AB ·
→
