POSIÇÃO DO CENTRO DE MASSA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Para um sistema constituído pelas partículas 1 a n, a posição do seu centro de massa é:
n n n
CM m m m
r m r
m r r m
...
...
2 1
2 2 1 1
Ou:
z CM y
CM x
CM
CM x e y e z e
r
Sendo:
n n n
CM m m m
x m x
m x x m
...
...
2 1
2 2 1 1
n n n
CM m m m
y m y
m y y m
...
...
2 1
2 2 1 1
n n n
CM m m m
z m z
m z z m
...
...
2 1
2 2 1 1
VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
dt r vCM d CM
Ou:
n n n
CM m m m
v m v
m v v m
...
...
2 1
2 2 1 1
ACELERAÇÃO DO CENTRO DE MASSA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
dt v aCM d CM
Ou:
n n n
CM m m m
a m a
m a a m
...
...
2 1
2 2 1 1
2ª LEI DE NEWTON APLICADA A UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
CM
R M a
F
Sendo:
mn
m m
M 1 2 ...
CENTRO DE MASSA DE UM CORPO RÍGIDO
No caso de o corpo ser constituído por placas homogéneas com a mesma espessura, determina-se a posição de cada uma dessas placas num referencial x0y e depois calcula-se a posição do centro de massa considerando cada placa como uma partícula.
A massa de cada uma das placas é dada pela expressão:
V
m - densidade da placa; V – volume da placa Como:
eA
V e – espessura da placa; A – área da base da placa
Substituindo, obtém-se:
A e m
Exercício
Uma chapa homogénea de espessura constante tem a forma e as dimensões representadas na figura:
Calcule a posição do centro de massa desta placa.
R: rCM 7,4ex 4,2ey (cm)
MOMENTO LINEAR DE UMA PARTÍCULA v
m p
Sendo:
) s (kgm -1 partícula
da linear momento
p
) (kg partícula da
massa m
) s (m -1 partícula
da velocidade v
MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
n n
sistema mv m v m v
p
1 1 2 2 ...
Ou:
CM sistema M v p
6 cm
4 cm 8 cm
20 cm
IMPULSO Define-se impulso, I
, de uma força aplicada num corpo, como o produto da força, F, pelo intervalo de tempo que dura a interação.
t F I
Se atuarem várias forças, tem-se:
t F I R
Atendendo à 2ª Lei de Newton:
CM
R ma
F
Substituindo:
t a m
I Por outro lado:
t a v
Substituindo:
t I m v t
m v
I
p I
RELAÇÃO ENTRE A FORÇA RESULTANTE E
O MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Parte-se da expressão:
CM sistema M v p
Derivando:
CM sistema CM sistema CM
sistema d p M a
dt v M d p
v d dt M
d p
d
dt dt
dt
R
sistema F p
d
dt
dt
sistema R
p F d
LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
Se a soma das forças exteriores for nula, o momento linear conserva-se.
0
0
Fexteriores FRSendo:
exteriores forças
das somatório
Fexteriores
Por outro lado:
R sistema F p
d
dt
Para FR 0, obtém-se:
0 dt
sistema
p d
k
psistema k
constante
k psistema
) (
)
(inicial p final psistema sistema
COLISÕES
As colisões, entre dois corpos, que se processem sem transferência de massa de um corpo para o outro e sem fragmentação têm a seguinte classificação:
Colisão elástica.
Colisão inelástica.
Colisão perfeitamente inelástica.
Na colisão elástica, os corpos continuam separados após a colisão, mas a velocidade, de cada um deles, varia. O momento linear mantém-se e a energia cinética final é igual à energia cinética final.
Na colisão inelástica, os corpos continuam separados após a colisão e a energia cinética final é inferior à energia cinética inicial. O momento linear mantém-se constante.
Na colisão perfeitamente inelástica, os corpos permanecem juntos após a colisão, comportando-se como um corpo único, cuja massa é igual à soma das massas de cada um deles. O momento linear mantém-se constante e energia cinética final é inferior à energia cinética inicial, tendo a energia dissipada um valor máximo possível.
COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO
O coeficiente de restituição, e, mede, de certa forma, a elasticidade de uma colisão. Define-se como a razão entre a velocidade de afastamento e a velocidade de aproximação.
Para uma colisão frontal escreve-se:
i i
f f
v v
v e v
2 1
1 2
f
f v
v2 1 velocidade de afastamento
i
i v
v2 1 velocidade de aproximação
Relativamente à classificação de colisões, tem-se:
e = 1, para uma colisão elástica.
0 < e < 1, para uma colisão inelástica.
e = 0, para uma colisão perfeitamente inelástica.
