Quest˜ao 1 Mostre as identidades: (a) (1 − i)4 =

Quest˜ao 1 Mostre as identidades:

(a) (1−i)⁴ =−4;

(1−i)⁴ = (√

2e^−iπ/4)⁴ =√

2⁴e^−4iπ/4 =−4.

(b) (2 +i)² = 3−4i;

(2 +i)² = 4−1 + 4i= 3 + 4i= 3−4i.

(c) (1 +i√

3)⁻¹⁰= 2⁻¹¹(−1 +i√ 3);

(1 +i√

3)⁻¹⁰ = (2e^i2π/3)⁻¹⁰ = 2⁻¹⁰e^−20iπ/3 = 2⁻¹⁰e^−2iπ/3 = 2⁻¹⁰(−¹₂ +i

√3

2 ) = 2⁻¹¹(−1 + i√

3).

(d) 5i/(2 +i) = 1 + 2i.

5i/(2 +i) = 5i(2−i)/(2 +i)(2−i) = 5(1 + 2i)/5 = 1 + 2i.

Quest˜ao 2 Calcule o conjunto solu¸c˜ao das equa¸c˜oes:

(a) z⁷ = 128i;

S ={2e^i1/2π+2kπ7 ;k = 0,1, . . . ,7}.

(b) z = log(1 +i).

S ={ln√

2 +i(π/4 + 2kπ);k∈Z}.

Quest˜ao 3 Seja A o conjunto solu¸c˜ao da desigualdade |e^−iz| <1. Esboce-o e determine se A

´e aberto, fechado e/ou limitado.

Veja que |e^−iz|=|e^y−ix|=e^y. Da´ıe^y <1 se, e s´o se, y <0 e A ={z ∈C; Imz <0}.

A

Re Im

A ´e aberto, pois A∩∂A = ∅. A n˜ao ´e fechado, pelo menos motivo. A ´e ilimitado, pois a sequˆencia in, n∈N, est´a contida em A.

Quest˜ao 4 Suponha que f e g sejam fun¸c˜oes tais que lim

z→z0

f(z) = 0 e existe M ≥ 0, tal que

|g(z)| ≤M para z numa vizinhan¸ca V dez0. Mostre que

z→zlim₀f(z)g(z) = 0.

Seja > 0. Sabemos que existe δ₁ > 0 para o qual |f(z)| < /M, se z ∈ B_δ1(z₀), e que existeδ₂ >0 tal queB_δ2(z₀)⊂ V.

Assim, se δ = min{δ1, δ2}>0 e z ∈Bδ(z0), temos

|f(z)g(z)|=|f(z)||g(z)|

< /M ·M =.

Ou seja, limz→z0f(z)g(z) = 0.

Quest˜ao 5 Considere f uma fun¸c˜ao de uma vari´avel complexa a valores complexos.

(a) Defina a derivada def no ponto z₀ deA.

A derivada def no ponto z₀ ´e definida pelo limite, se existir,

f⁰(z0) := lim

z→z0

f(z)−f(z₀) z−z₀ .

(b) Suponha quef(z₀) =g(z₀) = 0, que f⁰(z₀) e g⁰(z₀) existam e que g⁰(z₀)6= 0. Mostre que

z→zlim₀ f(z)

g(z) = f⁰(z₀) g⁰(z0). Note que

z→zlim0

f(z)

g(z) = lim

z→z0

f(z)−f(z0) z−z₀ g(z)−g(z0)

z−z0

= f⁰(z₀) g⁰(z₀), pois os limites existem eg⁰(z₀)6= 0.