Noções muito básicas de Turbulência

(1)

Introdução Modelagem Básica dos Fenômenos de Transporte Modelagem da Turbulência

Noções muito básicas de Turbulência

João Felipe Mitre ¹

1

Universidade Federal Fluminense

2019

1/37 - Universidade Federal Fluminense. 2018.

(2)

1 Introdução

2 Modelagem Básica dos Fenômenos de Transporte

3 Modelagem da Turbulência

(3)

Conceitos básicos

Escoamento laminar Escoamento turbulento

(4)

1 Introdução

2 Modelagem Básica dos Fenômenos de Transporte

3 Modelagem da Turbulência

(5)

Modelagem Básica

Equação da Continuidade ou Equação Conservação de Massa Total

∂ρ

∂t + ∇ · (ρv) = 0

∂ρ

∂t + ∂ρv i

∂x _i = 0

(6)

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento ou Equação de Conservação de Momentum

∂ (ρv)

∂t + ∇ · (ρvv) = −∇p + ∇ · τ ⁰ + ρf v

∂ (ρv _i )

∂t + ∂ (ρv _i v _j )

∂x j

= − ∂p

∂x i

+ ∂τ _ij ⁰

∂x j

+ ρg _i Caso particular: Fluido Newtoniano

τ = µ ∇v + ∇v ^T

+ λ∇ · v τ = µ

∂v i

∂x _j + ∂v j

∂x _i

+ λ ∂v k

∂x _k λ = − 2

3 µ

(7)

Modelagem Básica

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento ou Equação de Conservação de Momentum

∂ (ρv)

∂t + ∇ · (ρvv) = −∇p + ∇ · τ ⁰ + ρg Caso particular: Equação de Navier-Stokes

Fluido newtoniano, incompressível, viscosidade constante.

∂v

∂t + v · ∇v = − 1

ρ ∇p + ν∇ ² v + ρg

∇ · v = 0

(8)

Equação de Conservação da Energia Térmica

∂ρC _p T

∂t +∇·(ρC p T v) = −∇·q”+ ˙ q _v −p∇·v+ T ρ

∂ρ

∂T

p

DP

Dt −τ ⁰ : ∇v Lei de Fourier

q” = −k∇T

(9)

Plano da apresentação

1 Introdução

2 Modelagem Básica dos Fenômenos de Transporte

3 Modelagem da Turbulência

(10)

É um estado de escoamento do fluido no qual as velocidades instantâneas exibem flutuações irregulares e aparentemente aleatórias, tal que, na prática, apenas propriedades estatísticas podem ser reconhecidas e submetidas a uma análise. Baker et al.

(1966).

História da Turbulência: Série de vídeos no youtube: Reynolds, Prandtl, von Karman, Taylor, Kolmogorov, etc.

Existe uma grande quantidade de vórtices em uma vasta gama de escalas temporais e espaciais.

Vórtices maiores drenam energia do escoamento médio para os vórtices menores e, estes, para outros ainda menores.

As menores escalas dissipam a energia pelas tensões viscosas.

Cascata de energia de Kolmogorov.

Escalas Integrais e Escalas de Kolmogorov, η = ν ³ / ^1/4

(11)

Aspectos Básicos

(12)

(13)

Aspectos Básicos

(14)

(15)

Aspectos Básicos

Técnicas de solução do escoamento turbulento:

FLOPS RAM

RANS 10 ⁹ − 10 ¹¹ 1 - 10 GB Modela todas as escalas LES 10 ¹³ − 10 ¹⁷ 1 - 100 TB Resolve as grandes escala

e modela as demais DNS 10 ¹⁹ − 10 ²³ 10000 TB - 1 EB Resolve todas as escalas

(16)

Média temporal (RANS):

hφ T i (x) = lim

T→∞

1 T

Z t+T

t

φ(x, t)dt Média espacial (LES):

hφ V i (t) = lim

V →∞

1 V

Z

V

φ(x, t)dV Seja a propriedade φ:

φ = hφi + φ ⁰

(17)

Propriedade das médias

Seja a propriedade φ:

φ = hφi + φ ⁰ Assim:

hφi = hhφi + φ ⁰ i = hhφi i + hφ ⁰ i Logo:

hφ ⁰ i = 0 Também:

hhφi φ ⁰ i = hφi hφ ⁰ i = 0 Além desses acima, temos:

hφφ ⁰ i = hφ ⁰ φ ⁰ i hφηi = hφi hηi + hφ ⁰ η ⁰ i

(18)

Seja a propriedade φ:

φ = hφi + φ ⁰ Assim:

v = hvi + v ⁰ p = hpi + p ⁰ T = hT i + T ⁰ ρ = hρi + ρ ⁰ = hρi assumindo que ρ ⁰ = 0

Caso o escoamento seja fortemente compressível, é necessário usar outra média, média de Favre.

Processo de promediação.

(19)

Promediação da equação da continuidade

Originalmente:

∂ρ

∂t + ∂ρv _i

∂x i

= 0 Aplicando a média:

∂ρ

∂t + ∂ρv i

∂x i

= 0

Dissociando os termos:

∂ρ

∂t

+ ∂ρv i

∂x i

= h0i

Resultado:

∂ρ

∂t + ∂ρ hv i i

∂x i

= 0

(20)

Originalmente:

∂ρv _i

∂t + ∂ρv _i v _j

∂x j

+ ∂p

∂x i

− ∂

∂x j

µ

∂v _i

∂x j

+ ∂v _j

∂x i

− 2 3 µ ∂v _k

∂x k

δ _ij

− ρf _i = 0 Aplicando a média:

∂ρv i

∂t + ∂ρv i v j

∂x j

+ ∂p

∂x i

− ∂

∂x j

µ

∂v i

∂x j

+ ∂v j

∂x i

− 2 3 µ ∂v k

∂x k

δ ij

− ρf i = 0

Dissociando os termos:

∂ρv i

∂t

+

∂ρv i v j

∂x _j

+ ∂p

∂x _i

− ∂

∂x _j

µ ∂v i

∂x _j + ∂v j

∂x _i

− 2 3 µ ∂v k

∂x _k δ ij +

− hρf _i i = h0i

Trabalhando cada termo individualmente...

(21)

Promediação da equação de conservação de quantidade de movimento

Termo 1:

∂ρv _i

∂t

= ∂ρ hv _i i

∂t

Termo 2:

∂ρv _i v _j

∂x j

= ∂ρ hv _i i hv _j i

∂x j

+ ∂ρ v _i ⁰ v ⁰ _j

∂x j

Termo 3: ∂p

∂x i

= ∂ hpi

∂x i

Termo 4: ∂

∂x j

µ

∂ hv i i

∂x j

+ ∂ hv j i

∂x i

− 2

3 µ ∂ hv k i

∂x k

δ _ij

Termo 5: hρf _i i = ρf _i Termo 6: h0i = 0

(22)

Promediação da equação de conservação de quantidade de movimento

Termo 1:

∂ρv _i

∂t

= ∂ρ hv _i i

∂t Termo 2:

∂ρv _i v _j

∂x j

= ∂ρ hv _i i hv _j i

∂x j

+ ∂ρ v _i ⁰ v ⁰ _j

∂x j

∂x j ∂x j ∂x i 3 ∂x k

Termo 5: hρf _i i = ρf _i

Termo 6: h0i = 0

(23)

Promediação da equação de conservação de quantidade de movimento

Termo 1:

∂ρv _i

∂t

= ∂ρ hv _i i

∂t Termo 2:

∂ρv _i v _j

∂x j

= ∂ρ hv _i i hv _j i

∂x j

+ ∂ρ v _i ⁰ v ⁰ _j

∂x j

Termo 3:

∂p

∂x i

= ∂ hpi

∂x i

Termo 4: ∂

∂x j

µ

∂ hv i i

∂x j

+ ∂ hv j i

∂x i

− 2

3 µ ∂ hv k i

∂x k

δ _ij

Termo 5: hρf _i i = ρf _i Termo 6: h0i = 0

(24)

Promediação da equação de conservação de quantidade de movimento

Termo 1:

∂ρv _i

∂t

= ∂ρ hv _i i

∂t Termo 2:

∂ρv _i v _j

∂x j

= ∂ρ hv _i i hv _j i

∂x j

+ ∂ρ v _i ⁰ v ⁰ _j

∂x j

Termo 3:

∂p

∂x i

= ∂ hpi

∂x i

Termo 4: ∂

∂x j

µ

∂ hv i i

∂x j

+ ∂ hv j i

∂x i

− 2

3 µ ∂ hv k i

∂x k

δ _ij

(25)

Promediação da equação de conservação de quantidade de movimento

Termo 1:

∂ρv _i

∂t

= ∂ρ hv _i i

∂t Termo 2:

∂ρv _i v _j

∂x j

= ∂ρ hv _i i hv _j i

∂x j

+ ∂ρ v _i ⁰ v ⁰ _j

∂x j

Termo 3:

∂p

∂x i

= ∂ hpi

∂x i

Termo 4: ∂

∂x j

µ

∂ hv i i

∂x j

+ ∂ hv j i

∂x i

− 2

3 µ ∂ hv k i

∂x k

δ _ij

Termo 5: hρf i i = ρf _i

Termo 6: h0i = 0

(26)

Termo 1:

∂ρv _i

∂t

= ∂ρ hv _i i

∂t Termo 2:

∂ρv _i v _j

∂x j

= ∂ρ hv _i i hv _j i

∂x j

+ ∂ρ v _i ⁰ v ⁰ _j

∂x j

Termo 3:

∂p

∂x i

= ∂ hpi

∂x i

Termo 4: ∂

∂x j

µ

∂ hv i i

∂x j

+ ∂ hv j i

∂x i

− 2

3 µ ∂ hv k i

∂x k

δ _ij

Termo 5: hρf i i = ρf _i

Termo 6: h0i = 0

(27)

Equação média de Reynolds

Assim:

∂ρ hv _i i

∂t + ∂ρ hv _i i hv _j i

∂x j

= − ∂ hpi

∂x i

+ ∂

∂x j

µ

∂ hv _i i

∂x j

+ ∂ hv _j i

∂x i

− 2

3 µ ∂ hv _k i

∂x k

δ _ij

+ρf i − ∂ρ v ⁰ _i v _j ⁰

∂x j

Definindo o Tensor de Reynolds:

R ij = − v _i ⁰ v ⁰ _j Podemos escrever:

∂ρ hv i i

∂t + ∂ρ hv i i hv j i

∂x _j = − ∂ hpi

∂x _i + ∂

∂x _j

µ

∂ hv i i

∂x _j + ∂ hv j i

∂x _i

− 2

3 µ ∂ hv k i

∂x _k δ ij

+ρf _i + ∂ρ hR ij i

∂x _j

(28)

Escoamento compressível e propriedades constantes:

ρC _p ∂T

∂t + ρC _p hv j i ∂ hT i

∂x j

= k ∂ ² hT i

∂x ² _j − ρC _p ∂ v _j ⁰ T ⁰

∂x j

(29)

Desafio da modelagem da Turbulência

Como modelar os termos de flutuação turbulenta?

Como modelar o Tensor de Reynolds?

Modelos algébricos Modelos diferenciais

Modelos de Tensões de Reynolds

(30)

Definindo o operador N (v _i ):

N (v i ) = ∂ρv i

∂t + ∂ρv i v j

∂x _j + ∂p

∂x _i − ∂

∂x _j

µ ∂v i

∂x _j + ∂v j

∂x _i

− 2 3 µ ∂v k

∂x _k δ ij

−ρf i

Logo:

N (v _i ) = 0 Assim:

hv i N (v j ) + v j N (v i ) i = 0

Após algumas páginas de manipulação algébrica...

(31)

Equação de Transporte para as Tensões de Reynolds

∂ρR ij

∂t + ∂ρv k R ij

∂x k

= D ^T _ij + D ^L _ij + P ij + G ij + φ ij + ij + F ij

onde D _ij ^T é o termo de difusão turbulenta:

D _ij ^T = − ∂

∂x _k ρ

v ⁰ _i v _j ⁰ v ⁰ _k D ^L _ij é o termo de difusão molecular e da pressão:

D ^L _ij = ∂

∂x k

µ ∂R _ij

∂x k

+

p δ kj v _i ⁰ + δ ik v ⁰ _j P ij é o termo da produção de tensão:

P ij = −ρ

R ik

∂ hv j i

∂x _k + R jk

∂ hv i i

∂x _k

(32)

∂ρR _ij

∂t + ∂ρv _k R _ij

∂x k

= D ^T _ij + D ^L _ij + P _ij + G _ij + φ _ij + _ij + F _ij G ij é o termo de produção associado ao termo de força de corpo:

G ij = − [hv i ρf j i + hv j ρf i i]

φ _ij é o termo de deformação associada a pressão:

φ ij =

p ∂v _i ⁰

∂x _j + ∂v _j ⁰

∂x _i _ij é o termo de dissipação:

ij = −2µ ∂v _i ⁰

∂x _k

∂v ⁰ _j

∂x _k

(33)

Equação de Transporte para as Tensões de Reynolds

∂ρR ij

∂t + ∂ρv k R ij

∂x k

= D ^T _ij + D ^L _ij + P ij + G ij + φ ij + ij + F ij

F _ij é o termo de produção devido a rotação do sistema:

F ij = −2ρΩ k (R jm ε ikm + R im ε jkm ) Os termos D ^T _ij , φ ij , G ij e ij dependem de modelagem

(34)

Equações algébricas para R ij

Modelos mais simples

Originalmente muito usados pela indústria aeronáutica.

(35)

Equação de Conservação da Energia Cinética Turbulenta Específica

κ = 1 2 R ii

Uma equação diferencial

Prandtl (1945), modelo de viscosidade turbulenta.

Modelos de uma equação diferencial usam a equação para κ, modela algebricamente os demais termos.

(36)

Uma equação diferencial é κ.

Outra equação diferencial para, por exemplo, modelar a taxa específica de dissipação de energia cinética turbulenta, .

Principais modelos: κ − , κ − ω (onde ∼ ωk, SST e variantes).

(37)

Modelos de Tensores de Reynolds

Resolve as equações de conservações do Tensor de Reynolds, R ij . Proposta de modelagem de D _ij ^T , φ ij , G ij e ij

Principais modelos: BSL, SSG, LLR e variantes

(38)

LES: Modela apenas as pequenas escalas, modelo clássico:

Smagorinsky.

DES: LES nas grandes escalas, modelos de duas equações ou de tensor de Reynolds nas pequenas escalas.

Noções muito básicas de Turbulência

Noções muito básicas de Turbulência

João Felipe Mitre 1

Universidade Federal Fluminense

2019

1 Introdução

2 Modelagem Básica dos Fenômenos de Transporte

3 Modelagem da Turbulência

Conceitos básicos

Escoamento laminar Escoamento turbulento

1 Introdução

2 Modelagem Básica dos Fenômenos de Transporte

3 Modelagem da Turbulência

Modelagem Básica

Equação da Continuidade ou Equação Conservação de Massa Total

∂ρ

∂t + ∇ · (ρv) = 0

∂ρ

∂t + ∂ρv i

∂x i = 0

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento ou Equação de Conservação de Momentum

∂ (ρv)

∂t + ∇ · (ρvv) = −∇p + ∇ · τ 0 + ρf v

∂ (ρv i )

∂t + ∂ (ρv i v j )

∂x j

= − ∂p

∂x i

+ ∂τ ij 0

∂x j

+ ρg i Caso particular: Fluido Newtoniano

τ = µ ∇v + ∇v T

+ λ∇ · v τ = µ

∂v i

∂x j + ∂v j

∂x i

+ λ ∂v k

∂x k λ = − 2

3 µ

Modelagem Básica

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento ou Equação de Conservação de Momentum

∂ (ρv)

∂t + ∇ · (ρvv) = −∇p + ∇ · τ 0 + ρg Caso particular: Equação de Navier-Stokes

Fluido newtoniano, incompressível, viscosidade constante.

∂v

∂t + v · ∇v = − 1

ρ ∇p + ν∇ 2 v + ρg

∇ · v = 0

Equação de Conservação da Energia Térmica

∂ρC p T

∂t +∇·(ρC p T v) = −∇·q”+ ˙ q v −p∇·v+ T ρ

∂ρ

∂T

p

DP

Dt −τ 0 : ∇v Lei de Fourier

q” = −k∇T

Plano da apresentação

1 Introdução

2 Modelagem Básica dos Fenômenos de Transporte

3 Modelagem da Turbulência

É um estado de escoamento do fluido no qual as velocidades instantâneas exibem flutuações irregulares e aparentemente aleatórias, tal que, na prática, apenas propriedades estatísticas podem ser reconhecidas e submetidas a uma análise. Baker et al.

(1966).

História da Turbulência: Série de vídeos no youtube: Reynolds, Prandtl, von Karman, Taylor, Kolmogorov, etc.

Existe uma grande quantidade de vórtices em uma vasta gama de escalas temporais e espaciais.

Vórtices maiores drenam energia do escoamento médio para os vórtices menores e, estes, para outros ainda menores.

As menores escalas dissipam a energia pelas tensões viscosas.

Cascata de energia de Kolmogorov.

Escalas Integrais e Escalas de Kolmogorov, η = ν 3 / 1/4

Aspectos Básicos

Aspectos Básicos

Aspectos Básicos

Técnicas de solução do escoamento turbulento:

FLOPS RAM

RANS 10 9 − 10 11 1 - 10 GB Modela todas as escalas LES 10 13 − 10 17 1 - 100 TB Resolve as grandes escala

e modela as demais DNS 10 19 − 10 23 10000 TB - 1 EB Resolve todas as escalas

Média temporal (RANS):

hφ T i (x) = lim

T→∞

1 T

João Felipe Mitre ¹

∂x _i = 0

∂t + ∇ · (ρvv) = −∇p + ∇ · τ ⁰ + ρf v

∂ (ρv _i )

∂t + ∂ (ρv _i v _j )

+ ∂τ _ij ⁰

+ ρg _i Caso particular: Fluido Newtoniano

τ = µ ∇v + ∇v ^T

∂x _j + ∂v j

∂x _i

∂x _k λ = − 2

∂t + ∇ · (ρvv) = −∇p + ∇ · τ ⁰ + ρg Caso particular: Equação de Navier-Stokes

ρ ∇p + ν∇ ² v + ρg

∂ρC _p T

∂t +∇·(ρC p T v) = −∇·q”+ ˙ q _v −p∇·v+ T ρ

Dt −τ ⁰ : ∇v Lei de Fourier

Escalas Integrais e Escalas de Kolmogorov, η = ν ³ / ^1/4

RANS 10 ⁹ − 10 ¹¹ 1 - 10 GB Modela todas as escalas LES 10 ¹³ − 10 ¹⁷ 1 - 100 TB Resolve as grandes escala

e modela as demais DNS 10 ¹⁹ − 10 ²³ 10000 TB - 1 EB Resolve todas as escalas

φ = hφi + φ ⁰

φ = hφi + φ ⁰ Assim:

hφi = hhφi + φ ⁰ i = hhφi i + hφ ⁰ i Logo:

hφ ⁰ i = 0 Também:

hhφi φ ⁰ i = hφi hφ ⁰ i = 0 Além desses acima, temos:

hφφ ⁰ i = hφ ⁰ φ ⁰ i hφηi = hφi hηi + hφ ⁰ η ⁰ i

φ = hφi + φ ⁰ Assim:

v = hvi + v ⁰ p = hpi + p ⁰ T = hT i + T ⁰ ρ = hρi + ρ ⁰ = hρi assumindo que ρ ⁰ = 0

∂t + ∂ρv _i

∂ρv _i

∂t + ∂ρv _i v _j

∂v _i

+ ∂v _j

− 2 3 µ ∂v _k

δ _ij

− ρf _i = 0 Aplicando a média: