Rede rec
Rede rec
í
í
proca
proca
Cap 2 KITTEL
Cap 5 ASHCROFT- MERMIN Cap 4 IVAN
Defini
Defini
ç
ç
ão rede rec
ão rede rec
í
í
proca
proca
Planos de Bragg
Planos de Bragg
Zonas de
Zonas de
Brillouin
Brillouin
Planos de rede;
Planos de rede;
í
í
ndices de Miller
ndices de Miller
Rede recíproca
difração em cristais
cálculo de estruturas de bandas de energia leis de conservação de momentum
Funções com periodicidade da rede etc...
O conjunto de todos os vetores de onda que dão
origem à ondas planas
Definição
Considere um conjunto de pontos constituindo
uma rede de Bravais.
R
r
K
r
r
K
i
e
r
r
.
(
r R)
iK r K ie
e
r r r r r . . +=
R
e
i
K
R
r
r
r
∀
= ,
1
.
com a periodicidade da respectiva rede de Bravais é
conhecido como a
rede recíproca
(da rede de Bravais).
(
)
(
)
(
2 3)
1 2 1 3 3 2 1 1 3 2 3 2 1 3 2 1.
2
.
2
.
2
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
×
=
×
×
=
×
×
=
π
π
π
{
a
r
1,
a
r
2,
a
r
3}
Rede de Bravais(rede direta) Rede recíproca
{
b
1,
b
2,
b
3}
r
r
r
3 3 2 2 1 1
b
k
b
k
b
k
K
r
r
r
r
+
+
=
ij j ia
b
.
r
=
2
πδ
r
=
≠
=
j
i
j
i
ij1
0
δ
onde (delta de Kronecker) 3 3 2 2 1 1a
n
a
n
a
n
R
r
r
r
r
+
+
=
1
.
R
=
K
i
e
r
r
,
∀
∀ R def. rede recíproca
∀
∀
R
n
n
k
n
k
n
k
R
K
r
r
r
∀
=
+
+
=
2
(
)
2
,
.
π
1 1 2 2 3 3π
=
3
2
1
,
k
,
k
A rede recíproca é uma rede de Bravais! 3 3 2 2 1 1
b
n
b
n
b
n
G
r
r
r
r
+
+
=
{
b
1,
b
2,
b
3}
r
r
r
: vetores primitivos da rede recíproca
A rede recíproca da rede recíproca é a rede direta original
1 3 2 1 3 2
)
.(
2
a
b
b
b
b
b
r
r
r
r
r
r
=
×
×
π
, etc...{ } { }
K
R
G
e
iG Kr
r
r
r r=
⇒
∀
=
1
,
´
´ .Exemplos
Rede recíproca para a rede cúbica simples (SC)
z
a
a
y
a
a
x
a
a
r
1=
ˆ
,
r
2=
ˆ
,
r
3=
ˆ
(
a
a
)
a
x
b
a
y
b
a
z
a
a
a
b
2
ˆ
,
2
ˆ
,
2
ˆ
.
2
2 3 3 2 1 3 2 1π
π
π
π
=
=
=
×
×
=
r
r
r
r
r
r
r
r
SCRede recíproca é cúbica simples com parâmetro de rede
a
π
2
( )
3 3 3/
2
a
V
e
a
v
=
=
π
V
=
( )
2
π
3/
v
(
y
z
x
)
a
a
(
z
x
y
)
a
a
(
x
y
z
)
a
a
ˆ
ˆ
ˆ
2
,
ˆ
ˆ
ˆ
2
,
ˆ
ˆ
ˆ
2
2 3 1=
+
−
=
+
−
=
+
−
r
r
r
a(
)
(
)
(
x
y
)
a
b
z
x
a
b
z
y
a
b
1=
2
π
ˆ
+
ˆ
,
2=
2
π
ˆ
+
ˆ
,
3=
2
π
ˆ
+
ˆ
r
r
r
Célula cúbica : FCC aπ
4(
)
2
.
3 3 2 1a
a
a
a
v
=
r
r
×
r
=
(
)
3 3 2 1 4 4 1 . = × = a b b b Vπ
r r r( )
32
v
V
=
π
Rede recíproca para a rede BCC
Célula cúbica : BCC
(
y
z
)
a
a
(
x
z
)
a
a
(
x
y
)
a
a
ˆ
ˆ
2
,
ˆ
ˆ
2
,
ˆ
ˆ
2
2 3 1=
+
=
+
=
+
r
r
r
Célula cúbica : FCC(
)
(
)
(
x
y
z
)
a
b
y
x
z
a
b
x
z
y
a
b
1=
2
π
ˆ
+
ˆ
−
ˆ
,
2=
2
π
ˆ
+
ˆ
−
ˆ
,
3=
2
π
ˆ
+
ˆ
−
ˆ
r
r
r
Célula cúbica : BCC aπ
4( )
32
v
V
=
π
Rede recíproca para a rede FCC
a
(
)
4 . 3 3 2 1 a a a a v = r r × r =(
)
3 3 2 14
2
1
.
=
×
=
a
b
b
b
V
π
r
r
r
y
a
a
x
a
a
r
1=
ˆ
,
r
2=
ˆ
y
a
b
x
a
b
1=
2
π
ˆ
,
2=
2
π
ˆ
r
r
rede quadrada, rede quadrada, aπ
2x
a
a
r
=
ˆ
x
a
b
=
2
π
ˆ
r
Rede recíproca para a rede 2D quadrada
a
z
c
a
y
a
x
a
a
x
a
a
ˆ
,
ˆ
2
3
ˆ
2
,
ˆ
2 3 1=
=
+
=
r
r
r
z
c
b
y
a
b
y
x
a
b
ˆ
,
2
ˆ
3
4
,
ˆ
3
3
ˆ
2
3 2 1π
π
π
=
=
−
=
r
r
r
rede hexagonal, c aπ
π
2 , 3 4Rede recíproca para a rede hexagonal
a, c
Mostrar ⇒ Cap5 Problema 2
rede hexagonal com eixo x girado de 30ºPLANO DE BRAGG
Plano perpendicular a linha bissetriz
que liga a origem a um ponto da
rede recíproca K
K
ZONAS DE BRILLOUIN
ZONAS DE BRILLOUIN
A célula primitiva de Wigner-Seitz da rede recíproca é chamada de PRIMEIRA ZONA DE BRILLOUIN
PRIMEIRA ZONA DE BRILLOUIN
de uma rede de Bravais no espaço direto
1ª Zona de Brillouin : conjunto de pontos no espaço recíproco que pode ser alcançado da origem sem cruzar nenhum plano de Bragg.
célula de Wigner-Seitz da rede recíproca
Rede unidimensional
a
π
2
a
Rede direta Rede recíproca a k = π a k = −π 1ª zona de Brillouin 0a b = 2
π
Rede quadrada
Rede cúbica: 1ª zona de Brillouin também é cúbica, de lado
a b = 2
π
Rede BCC
Rede direta: BCC Rede recíproca: FCC
a
π
4
1ª zona de Brilloun: rhombic dodecaehedron
(
)
(
)
(
y
z
)
a
z
x
a
y
x
a
±
ˆ
±
ˆ
,
±
ˆ
±
ˆ
,
±
ˆ
±
ˆ
π
π
π
Vetores que ligam a origem ao centro das faces:
Rede FCC
Rede direta: FCC Rede recíproca: BCC
a
π
4
1ª zona de Brilloun: octaedro truncado
(
)
(
)
(
)
(
x
y
z
)
a
z
a
y
a
x
a
ˆ
ˆ
ˆ
2
,
ˆ
2
2
,
ˆ
2
2
,
ˆ
2
2
±
±
±
±
±
±
π
π
π
π
Vetores que ligam a origem ao centro das faces:
Espaço recíproco: dinâmica dos elétrons na rede tratada no
espaço dos momentos
Zonas de
Zonas de
Brillouin
Brillouin
K
k
r
r
+
k
r
K
r
Um vetor de onda na 1ª ZB É equivalente atodos os vetores onde É um vetor da rede recíproca
De maneira equivalente:
um vetor de onda
k
r
fora da 1ª ZB
Pode ser “rebatido” para a 1ª
ZB subtraindo-se o
K
r
Esfera de Fermi e 1
Esfera de Fermi e 1
ª
ª
zona de
zona de
Brillouin
Brillouin
Zonas de
Zonas de
Brillouin
Brillouin
para uma rede
para uma rede
quadrada e esfera de Fermi
quadrada e esfera de Fermi
1
1
ª
ª
zona de
zona de
Brillouin
Brillouin
e superf
e superf
í
í
cie
cie
de Fermi no esquema reduzido
de Fermi no esquema reduzido
(
)
3 1 2 3 n kF = π rDepende
Depende
apenas de
apenas de
n
n
Depende
Depende
apenas da geometria
apenas da geometria
ZB
V
1Esfera de Fermi e 1
PLANOS DE REDE
PLANOS DE REDE
Fam
Fam
í
í
lia de planos de rede:
lia de planos de rede
conjunto de planos de rede, paralelos,
igualmente espaçados que contém todos os pontos da rede de Bravais.
“Para cada família de planos de rede, separados pela distância
d
, existem
vetores da rede recíproca perpendiculares aos planos, sendo o de menor
tamanho de comprimento .”
“Para cada vetor da rede recíproca, existe uma família de planos
de rede normais à K e separados pela distância
d
, onde
é o comprimento do menor vetor da rede recíproca // a K
.”
d π 2 d π 2
Í
ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS DE REDENDICES DE MILLER PARA PLANOS DE REDE
Um plano com índices de Miller (h k l) é normal ao vetor da rede recíproca
Note que os índices de Miller dependem da escolha particular dos vetores primitivos.
Índices de Miller : conjunto de inteiros sem fatores comuns, inversamente proporcionais às intersecções do plano cristalino com os eixos
do cristal. 3 2 1
k
b
l
b
b
h
r
r
r
+
+
3 2 1,
a
,
a
a
r
r
r
3 2 11
:
1
:
1
:
:
x
x
x
l
k
h
=
Na prática, somente na descrição de cristais não cúbicos é que se deve lembrar que os índices de Miller são as coordenadas da normal no sistema dado pela rede recíproca e não pela rede direta.
Faces do cubo para um cristal cúbico :
( ) ( ) ( )
100
,
010
,
001
,
( ) ( ) ( )
1
00
,
0
1
0
,
00
1
⇔
{ }
100
r
r
r
(equivalentes por simetria)
DIREÇÃO NO ESPAÇO REAL :
[
n
1n
2n
3]
3 3 2 2 1 1
a
n
a
n
a
n
R
r
r
r
r
+
+
=
[ ] [ ] [ ]
100
,
010
,
001
,
[ ][ ][ ]
1
00
,
0
1
0
,
00
1
⇔
100
r
r
r
Em cristais cúbicos a direção é ⊥⊥⊥⊥ ao plano
tendo os mesmos índices; isto não é, em geral, verdade para outros sistemas.
Dever
Dever
de casa:
de casa:
Ashcroft – capítulo 5
Problemas 1, 2 e 3
LER TODO!!
Determina
Determina
ç
ç
ão da estrutura
ão da estrutura
cristalina por difra
cristalina por difra
ç
ç
ão de raios
ão de raios
-
-
X
X
Cap 4- MARDERCap 6 ASHCROFT- MERMIN Apêndice A- IVAN
Seminário:
difração de raios-X,
difração de neutrons,
difração de elétrons
(LEED - low energy electron diffraction)
