Problemas Clássicos da Antigüidade
1Eliane Maria Bossle e Luciane Gobbi2
Resumo
Neste artigo, estaremos descrevendo quais são os três problemas clássicos da antiguidade grega com o intuito de esclarecer porque eles são insolúveis com a utilização de régua não graduada e compasso.
Introdução
O que determinou a nossa escolha por este assunto foi, dentre outros, os inúmeros processos de resolução vindos de muitos matemáticos de todo o mundo relacionados aos três problemas Clássicos da Antiguidade que formam, com certeza, a base de desenvolvimentos posteriores em geometria. São eles: a quadratura do círculo, a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo.
Durante a segunda metade do quinto século, a.C., um grupo numeroso de matemáticos empenhou-se na resolução destes problemas. A esta época, deu-se o nome de Idade Heróica, devido ao esforço árduo de homens que, com poucos recursos, trabalharam na resolução de diversos problemas matemáticos.
Segundo a tradição, estes três problemas famosos deveriam ser resolvidos somente usando-se régua (sem escala) e compasso. Comecemos por lembrar que as construções permitidas são: traçar uma reta, conhecendo dois de seus pontos; traçar um círculo, conhecendo seu centro e um ponto do círculo; determinar as intersecções de retas ou círculos, com outras retas ou círculos já construídos.
A importância destes problemas reside no fato de que eles não podem ser resolvidos, a não ser por aproximações, utilizando-se os recursos permitidos. Mas isso só foi provado mais de
1 Artigo Científico para a disciplina Estudos Acerca do Conhecimento Matemático, no semestre 4, de 2002. 2 Alunas do Curso de Licenciatura Plena em Matemática, da Universidade de Caxias do Sul - UCS
2.200 anos depois. No entanto, a busca incessante em solucioná-los influenciou profundamente a geometria grega.
A seguir, iremos descrever as principais características que marcaram cada um dos problemas clássicos, bem como, a impossibilidade de suas resoluções.
Quadratura do Círculo
Este problema é considerado o mais famoso dos três problemas clássicos aqui mencionados. Por volta do século V a.C., o surgimento de uma figura não delimitada por segmentos de retas causou estranheza para os matemáticos em geral. Assim, eles passaram a tentar compreender o que significava esta área circular comparando-a com o quadrado, que era uma figura conhecida. Assim, surge a tentativa de quadrar o círculo.
O primeiro matemático a ocupar-se com este problema foi Anaxágoras de Clazômenas, durante o período em que este preso, por negar a divindade do Sol (que, para ele, era uma pedra incandescente) e da Lua (que era uma terra).
Mas, o que seria quadrar o círculo? Este problema consistia em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo. Suponhamos que este círculo tenha raio r. Logo, sua área será igual a πr2. Suponha, agora, que o quadrado a ser construído tenha lado x. Logo, sua área é
2
x . Assim, teremos que, x2 =πr2, ou seja, x=r π.
Note que o lado do quadrado depende do raio da circunferência e da π . Aqui se encontra a dificuldade na resolução deste problema. Em 1882, Lindemann demonstrou que o número π é um número transcendente, ou seja, ele não é solução de nenhuma equação algébrica cujos coeficientes sejam números racionais. Logo, π também é um número transcendente. Esta demonstração prova que é impossível quadrar o círculo, pois π não é construtível utilizando-se somente régua e compasso.
Conforme Boyer (1996), o problema da quadratura do círculo foi resolvido por Dinóstrato. A quadratura tornou-se uma questão simples quando foi observada uma notável propriedade da extremidade Q da trissectriz de Hípias. Se a equação da trissectriz é
θ θ
πrsen =2a , onde a é o lado do quadrado ABCD associado a curva, então o limite de r,
quando θ tende a zero, é
π a
2
. (Para maiores detalhes, ver Boyer, página 66).
Trissecção do Ângulo
Durante esta mesma época, séculos V e IV aC, um outro problema circulava em Atenas: “dado um ângulo arbitrário, construir com régua e compasso apenas um ângulo igual à terça parte do ângulo dado”. Não existe nenhuma lenda associada a este problema. No entanto, ao contrário dos outros dois problemas clássicos, a trissecção do ângulo é possível para determinadas amplitudes.
Este problema perturbou os gregos pois, apesar de parecer-lhes simples, tornou-se uma tarefa difícil de ser solucionada, já que a equação usada para resolver este problema é cúbica e, como sabemos, as raízes cúbicas não são construtíveis utilizando-se régua não graduada e compasso.
Dentre as várias soluções para este problema proposta por matemáticos no mundo todo, iremos destacar, neste artigo, o trabalho de Arquimedes. Com a aspiral de Arquimedes, podemos trisseccionar qualquer ângulo, sem, é claro, utilizarmos régua e compasso.
Conforme Eduardo Wagner (1998), “um ângulo será construtível com régua e compasso, no sentido óbvio do termo, se e somente se, seu cosseno (ou seu seno) for construtível”. Para sabermos se determinado ângulo pode ser trisseccionado, basta substitui-lo na equação trigonométrica cos3θ =4cos3θ−3cosθ . Se a equação resultante for do terceiro grau, a trissecção do dado ângulo será impossível. Mas, considerando-se θ =60o, obtemos que
1 cos 60
2 =
Utilizando o software Cabri Géomètre II, podemos trisseccionar um ângulo de 90o e um ângulo agudo, conforme podemos observar abaixo.
No site http://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/pdf/4_Capt_1.pdf , José M. R. de Souza, descreve, em detalhes, a idéia básica do uso da aspiral de Arquimedes para trisseccionar um ângulo.(ver capítulo I, página 31-32).
Duplicação do Cubo
Conta a lenda que, por volta de 427 a.C., uma terrível peste dizimou aproximadamente ¼ da população de Atenas. Nessa catástrofe, é que surge o terceiro problema da Antiguidade. Conta-se que um grupo de pessoas fora enviada ao oráculo de Apolo, em Délus, para perguntar de que forma eles poderiam combater tal peste. O oráculo, então, respondeu que o seu altar cúbico deveria ser duplicado. Os atenienses, de imediato, dobraram todas as dimensões do altar e, mesmo assim, a peste continuou a atacar. Segundo Platão, a verdadeira intenção do deus era a de envergonhar os gregos por seu total desprezo com a matemática e com a geometria em particular.
Não é difícil perceber porque os atenienses não conseguiram livrar-se da peste. Imagine um cubo de dimensão x.
O volume deste cubo será equivalente a 3
x . Para duplicar este cubo, os atenienses construíram outro cubo com dimensões iguais a 2x.
Note que, para este segundo cubo, o volume passa a ser 8x3
. Ou seja, ao dobrarmos as dimensões do cubo de lado x, estaremos multiplicando por 8 o seu volume e não por 2, como
pensavam os atenienses. Essa história, diz a lenda, foi a origem do problema da duplicação do cubo ou problema Deliano.
A origem deste problema é um tanto quanto duvidosa, mas não há dúvidas de que os gregos tinham conhecimento, há um longo tempo, de como resolver o problema de dobrar um quadrado. Eles construíram um quadrado de lado x e sobre a sua diagonal, traçaram um outro
quadrado cujo lado é, agora, x 2. Pode-se claramente perceber que a área do quadrado maior é o dobro da área do quadrado menor.
Segundo Boyer (1996), Arquitas foi um matemático cuja contribuição mais notável foi uma solução tridimensional para o problema de Delos. Na sua construção, ele descobre que a 23
deve ser a aresta de um cubo que seja o dobro de outro cubo, cuja aresta mede a . Menaecmus3
“esbarrou” nas cônicas numa tentativa bem sucedida para encontrar curvas com as propriedades adequadas à duplicação do cubo.
Ao final de inúmeras contribuições, podemos concluir que, para duplicar um cubo de aresta a, precisamos construir um outro cubo de aresta x cujo volume seja 3
2a . Assim: 3 3 3 3 3 x 2a x 2a x a 2 = = =
Desta forma, chegamos a uma equação do terceiro grau, que não pode ser construída apenas com compasso e régua não graduada.
Conclusão
Como pudemos observar ao longo deste artigo, a impossibilidade da resolução destes três problemas clássicos não é só devido ao uso de uma régua não graduada. Uma outra restrição diz que o número de soluções destas construções deve ser finito, caso contrário, a impossibilidade da construção torna-se superada.
Apesar de que estes problemas não tenham sido resolvidos, a descoberta de novos objetos matemáticos e a riqueza interna adquirida pelos matemáticos envolvidos foram de grande importância para o desenvolvimento da geometria futura.
Assim, a busca pelo impossível acarretou num crescimento brilhante da matemática na população mundial. A popularidade dos problemas levou uma grandiosa multidão de matemáticos amadores a tentar solucioná-los. Mesmo quando já se sabia que isto era impossível, o Royal Society de Londres, recebia centena de provas falsas. Isso nos mostra o quanto um desafio perturba uma pessoa que se sinta atraída por essas questões.
Esses três problemas são um exemplo vivo de que a beleza de um problema matemático não está na resposta, e sim, nos métodos usados para resolvê-lo. A não existência de uma solução pode ser frustrante, mas os raciocínios que permeiam as tentativas frustradas da solução deles, constituem um material rico e cheio de descobertas interessantes.
O desfecho final destes três problemas veio com Évariste Galois (1811-1832). Ele postulou: “para que uma equação irredutível de grau primo possa ser resolvida por radicais é
necessário e suficiente que todas as raízes sejam funções racionais de duas quaisquer dentre elas”. Em outro artigo, Galois descreve: “racional é toda quantidade que é expressa como função racional dos coeficientes da equação e de um certo número de quantidades juntadas à equação e arbitrariamente escolhidas”. Assim, pela teoria de Galois, pode-se estabelecer um
algoritmo para encontrar efetivamente as raízes de uma equação, quando estas podem ser expressas por radicais.
Bibliografia
WAGNER, Eduardo. Construções geométricas. Coleção do professor de Matemática,
Sociedade Brasileira de Matemática. 2a edição, Rio de Janeiro, 1998.
BOYER, Carl B. História da Matemática. 2a edição, ed. Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1996.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática, volume I. ed. Furb, Blumenau, 1999.
MATTOS, Francisco. Problemas clássicos e sua solução por dobraduras origami.Ipanema, RJ. 2002.
Anaxágoras de Clazômenas. Data da pesquisa: 10/10/2002 [disponível na internet:
http://intermega.globo.com/ivounico/anaxagoras.htm]
O período de Tales a Diofanto. Data da pesquisa: 16/08/2002. [disponível na internet:
http://orbita.starmedia.com/~historia_da_matematica/store/telesadiofanto.htm]
Os três problemas clássicos. Data da pesquisa: 16/08/2002. [disponível na internet:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/3_problm.htm]
Évariste Galois. Data da pesquisa: 17/10/2002. [disponível na internet:
http://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/geniomat/galois.html]
Évariste Galois. Data da pesquisa: 17/10/2002. [disponível na internet:
http://www.geocities.com/CollegePark/Bookstore/2334/matematica/galois1.html]
A vida de Évariste Galois. Data da pesquisa: 17/10/2002. [disponível na internet:
http://www.ee.ufpe.Br/CODEC/EvaristeGalois.html]
