O Teorema de Radon-Nikodym e as decomposições de Hahn, Jordan e Lebesgue

(1)

Universidade Federal de Sergipe

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Gradua¸cão em Matemática

O Teorema de Radon-Nikod´

ym e as

Decomposi¸

c˜

oes de Hahn, Jordan e Lebesgue

Maynara Donato de Souza

São Cristóvão – SE Janeiro de 2020

(2)

Universidade Federal de Sergipe Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia

Gradua¸c˜ao em Matem´atica

O Teorema de Radon-Nikod´

ym e as

Decomposi¸

c˜

oes de Hahn, Jordan e Lebesgue

por

Maynara Donato de Souza

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Wilberclay Gon¸calves Melo

São Cristóvão – SE Janeiro de 2020

(3)

O Teorema de Radon-Nikod´

ym e as Decomposi¸

c˜

oes

de Hahn, Jordan e Lebesgue

por

Maynara Donato de Souza

Monografia apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Sergipe para obten¸cão do t´ıtulo de Licenciada em Matemática

´

Area de Concentra¸c˜ao: An´alise

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Wilberclay Gon¸calves Melo (Orientador)

Prof. Dr. Allyson Santos Oliveira DMA- UFS

Profa_{. MSc. Taynara Batista de Souza}

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Aos meus pais. Em especial, mi-nha m˜ae, por motivos os quais aqui n˜ao cabem.

(5)

Agradecimentos

Venho agradecer:

• A Deus. “Porque dele, e por ele, e para ele s˜ao todas as coisas [...]”(Romanos, 11:36); • `A minha fam´ılia, em especial, aos meus pais por sempre terem acreditado em mim (mais que

eu inclusive) e dado o melhor de si para me ajudar a concretizar esse sonho;

• Aos professores Gerson e Wilberclay por ter sido meus orientadores. Gerson por ter me apresentado à matemática e despertado o interesse em conhecê-la desde o segundo per´ıodo, guiado meus passos e ter me ensinado que não existe ”pergunta besta”. Wil, por ter me mostrado que eu conseguia entender um pouco a matemática por mais que eu achasse que era muito dif´ıcil, por ter me mostrado que se pode ensinar matemática de maneira acess´ıvel. E, claro, ter sido mais que um orientador, ter sido um amigo;

• Aos professores Paulo Rabelo, Ivante Batista e Allyson Oliveira. Paulo por todo ch´a de ˆ

animo quando eu estava totalmente sem for¸cas e desmotivada, principalmente na reta final. Ivanete por ter me permitido correr para concluir o estágio, todos os lanches, balas, água e, principalmente, remédios. Allyson pelo grupo de estudos que fechou muitas lacunas e incentivo;

• Ao Vinicius, por estar ao meu lado em todos os momentos e ter aturado meus surtos, im-paciência e até ausência, por toda palavra amiga, compreensão e amor;

• `A minha DupRa , por ter segurado a barra sozinha enquanto estive no ver˜ao, por ter com-partilhado a jornada comigo e me aturado mesmo quando nem eu me aturei;

• `A minha madrinha Jana´ına por ter aberto sua casa, sua rotina, me apoiado no E.M. e durante o curso;

• Aos meus amigos de Gradua¸cão: Filipe, Matuceli, Talita, Helen, Raquel, Gabriel, Nati, Lili e outros que não me recordo agora, por ter tornado a jornada mais divertida e me mostrado que em meio ao cansa¸co/desânimo podemos sim dá boas risadas.

• `As meninas da casinha: Mari, Amanda e Kim por, apesar de pouco tempo juntas, terem me tornado mais “conviv´ıvel”e tornado as noites divertidas;

• Aos meus amigos do ônibus: Jai, Guga, Alê, Natan, Camila, Akila, Ralfe, Silas, Rê e Rodrigo e outros que não me recordo agora, por dividir,durante 2,5 anos as viagens de ida e volta para casa e torná-las menos cansativa. Por rirmos juntos da nossa luta e reclamarmos muito, por cada apoio e torcida pelo sucesso um do outro;

• Aos meus veteranos: Iris, Luciana,Thiago e Thyago por ter compartilhado seus conhecimentos quando eu precisei e servirem de inspira¸c˜ao para os pr´oximos passos;

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• Aos professores Lucas Valeriano, Adriano Veiga e Gastão Miranda, por cada dica, dúvida sanada mesmo fora do horário ou não sendo professores da disciplina, por cada conversa “jogada fora”e incentivo;

• À banca pela disponibilidade e a todos os professores que contibu´ıram para a minha forma¸cão me dando exemplo de profissional que quero me tornar e inclusive, do que não quero me tornar. • A todos os contribuiram direta ou indiretamente e não pude/tive como citar aqui.

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Resumo

O presente trabalho foi desenvolvido com o objetivo principal de enunciar, compreender e de-monstrar o famoso Teorema de Radon-Nikodým, além de estudar com mais precisão alguns Teore-mas de Decomposi¸cões relevantes na teoria da Medida e Integra¸cão. Mais precisamente, come¸camos nosso estudo estabelecendo, através da Decomposi¸cão de Hahn, como descrever Espa¸cos Men-suráveis utilizando os conceitos de conjuntos positivos e negativos. Em seguida, apresentamos a Decomposi¸cão de Jordan, a qual disserta sobre decomposi¸cões de cargas em subtra¸cões de certas medidas finitas; por conseguinte, com estas teorias em mãos, demonstramos o Teorema de Radon-Nikodým, que estabelece uma liga¸cão estreita entre medidas e integrais. Por fim, aplicamos este resultado na Decomposi¸cão de Lebesgue, a qual nos diz como escrever uma carga como uma soma de certas medidas.

Palavras-chave: Decomposi¸cão de Hahn; Decomposi¸cão de Jordan; Decomposi¸cão de Lebesgue; Teorema de Radon-Nikodým.

(8)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Decomposi¸c˜oes de Hahn e Jordan 4

1.1 Decomposi¸c˜ao de Hahn . . . 4 1.2 Decomposi¸c˜ao de Jordan . . . 10

2 Teorema de Radon-Nikod´ym 17

2.1 Teorema de Radon-Nikod´ym: Medidas Finitas . . . 17 2.2 Teorema de Radon-Nikod´ym: Medidas σ-finitas . . . 23

3 Decomposi¸c˜ao de Lebesgue 31

3.1 Aplica¸c˜ao do Teorema de Radon-Nikod´ym . . . 31

A Medida e Integra¸c˜ao 37

A.1 Defini¸c˜oes Preliminares . . . 37 A.2 Resultados Preliminares . . . 42

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Este trabalho apresenta como principal meta a demonstra¸cão dos Teoremas das Decomposi¸cões de Hahn, Jordan, Lebesgue e de Radon-Nikodým. Sendo assim, come¸caremos nosso prefácio esta-belecendo uma breve história sobre cada um dos matemáticos homenageados neste texto.

Johann Karl August Radon (1887–1956) foi um matemático australiano, que desenvolveu tra-balhos importantes em Análise, mais especificamente, na Teoria da Medida, através da chamada Medida de Radon. Esta, segundo [5], está definida na σ-álgebra dos conjuntos de Borel de um Espa¸co Topológico de Hausdorff. Além disso, este desenvolveu outros trabalhos na Geometria, como o Teorema de Radon em conjuntos convexos, que trata sobre a divisão de um conjunto em dois, através de uma interse¸cão dos chamados Envelopes Convexos. Por fim, Radon estudou a hoje denominada Transformada de Radon, a qual estabelece uma lei de transforma¸cão entre a integral de uma fun¸cão definida no plano e uma espec´ıfica aplica¸cão definida no espa¸co. (Para mais detalhes ver [14]).

Otton Marcin Nikodým (1887-1974) foi um professor e matemático polonês, que trabalhou em diferentes áreas da Matemática, embora seja fundamentalmente conhecido por sua contribui¸cão ao desenvolvimento da Integral de Lebesgue. Além disso, este desenvolveu trabalhos que variam entre as Álgebras Boleanas, a Matemática para as Teorias Quânticas e a Educa¸cão Matemática. (Para mais detalhes ver [12]).

Henri Léon Lebesgue (1875-1941) foi um matemático francês, que desenvolveu trabalhos im-portantes na Matemática, o principal deles carrega o seu próprio nome, a Integral de Lebesgue, através do qual ele desenvolveu a teoria que conhecemos hoje por Teoria da Medida e Integra¸cão de Lebesgue. Esta generalizou os resultados obtidos na teoria determinada na Integral de Riemann. (Para mais detalhes ver [15]).

(10)

im-portantes trabalhos em Álgebra e Matemática em geral. Um dos seus principais trabalhos foi o Teorema da Curva de Jordan, o qual é muito utilizado em Análise Complexa. (Para mais detalhes ver [16]).

Hans Hahn (1879-1934) foi um matemático austr´ıaco que estabeleceu muitas contribui¸cões para a Análise Funcional, Topologia, Teorias da Ordem e dos Conjuntos. Seu trabalho mais conhecido ´

e o Teorema de Hahn-Banach, o qual, segundo [4], permite que Funcionais Lineares, sob certas condi¸c˜oes, possam ser estendidos. (Para mais detalhes ver [17]).

A Teoria da Medida tem como principal foco estudar os subconjuntos das partes de um conjunto qualquer dado. Segundo [9], esta surgiu através do estudo da Teoria de Conjuntos, mais especifica-mente, de fun¸cões definidas em fam´ılias de conjuntos. Com os avan¸cos dos estudos em Análise, os quais culminaram na Integral de Riemann e foram, em grande parte, substitu´ıdos pela teoria que se desenvolveu após o trabalho pioneiro de Henri Lebesgue no in´ıcio do século XX (ver [1]), podemos obter resultados mais abrangentes como, por exemplo, a defini¸cão de Fun¸cões Lebesgue-integráveis, a qual engloba uma classe de fun¸cões maior que as Rieman-integráveis.

Com isso, estamos interessados em compreender e estudar algumas propriedades de Espa¸cos Mensuráveis, incluindo a possibilidade de decompor medidas e cargas. Mais precisamente, este é um trabalho puramente matemático cujo intuito principal é enunciar e demonstrar o Teorema de Radon-Nikodým, além de trabalhar com mais especificidades algumas Decomposi¸cões na Teoria da Medida e Integra¸cão de Lebesgue.

O Teorema de Radon-Nikodým foi demonstrado inicialmente por considerar um subespa¸co do Rn em 1913 por Johann Radon, já o caso geral foi provado em 1930 por Otto Nikodým (ver [12]). Este resultado trata da possibilidade de se resolver um dos problemas mais comuns em Matemática: encontrar uma representa¸cão conveniente para fun¸cões. Na Teoria da Medida, Radon-Nikodým nos garante que podemos exprimir uma medida através de duas medidas absolutamente cont´ınuas e singulares. Além disso, esse teorema nos garante aplica¸cões importantes em Matematática como, por exemplo, o Teorema Fundamental do Cálculo para a Integral de Lebesgue.

´

E importante ressaltar que dividimos nosso trabalho em quatro cap´ıtulos, cuja nota¸c˜ao adotada segue a nossa principal referˆencia (ver [8]).

O primeiro cap´ıtulo disserta sobre algumas decomposi¸cões espec´ıficas: Teoremas das Decom-posi¸cões de Hahn e Jordan. Em adi¸cão, definimos conjuntos positivo, negativo e nulo, com respeito a uma carga e demonstramos algumas propriedades elementares para estes cojuntos, os quais nos

(11)

serviram como ferramentas b´asicas e nos tornaram capazes para demonstrar o Teorema de Radon-Nikod´ym.

No segundo cap´ıtulo, enunciamos e demonstramos o Teorema de Radon-Nikodým (objetivos centrais do nosso trabalho), o qual foi subdividido em duas situa¸cões: primeiramente, consideramos as medidas finitas e, logo em seguida, generalizamos o resultado para medidas σ-finitas (a ideia consiste em tornar a leitura menos exaustiva para o leitor). Além disso, definimos a derivada de Radon-Nikodým de uma medida com respeito a outra.

Já o terceiro cap´ıtulo apresenta uma aplica¸cão do Teorema de Radon-Nikodým: o Teorema da Decomposi¸cão de Lebesgue. Neste mesmo cap´ıtulo, estabelecemos os conceitos de cargas absoluta-mente cont´ınuas e singulares.

Por fim, é importante salientar que todas as defini¸cões e os resultados mais impor-tantes para a leitura deste trabalho estão listados no Apêndice.

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Cap´ıtulo 1

Decomposi¸

c˜

oes de Hahn e Jordan

Neste cap´ıtulo, apresentaremos os principais conceitos e resultados que nos servirão para a de-monstra¸cão do Teorema de Radon-Nikodým, bem como sua compreensão. Mais precisamente, o tema abordado aqui será o estudo de decomposi¸cões de conjuntos mensuráveis e cargas: Decom-posi¸cões de Hahn e Jordan.

1.1 Decomposi¸

c˜

ao de Hahn

Come¸caremos esta se¸cão com a defini¸cão de conjuntos mensuráveis positivos, negativos e nulos. Defini¸cão 1.1.1. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável (ver Defini¸cão A.1.1) e λ : ð → R uma carga (ver Defini¸cão A.1.9). Dado E ∈ ð, dizemos que:

i) P ∈ ð ´e positivo, com respeito a λ, se λ(E ∩ P ) ≥ 0; ii) N ∈ ð ´e dito negativo, com respeito a λ, se λ(E ∩ N ) ≤ 0;

iii) M ∈ ð é denominado nulo, com respeito a λ, sempre que λ(E ∩ M ) = 0, Vejamos algumas propriedades elementares envolvendo conjuntos positivos. Proposi¸cão 1.1.1. As seguintes afirma¸cões são válidas:

i) Subconjuntos mensuráveis de conjuntos positivos também são positivos;

(13)

Demonstra¸c˜ao. Considere P ∈ ð um conjunto positivo, com respeito a uma carga λ, e seja Q ∈ ð tal que Q ⊆ P . Da´ı, Q = Q ∩ P . Logo,

E ∩ Q = (E ∩ Q) ∩ P, ∀E ∈ ð. Sendo assim,

λ(E ∩ Q) = λ((E ∩ Q) ∩ P ) = λ(B ∩ P ) ≥ 0,

com B = E ∩ Q ∈ ð (pois P ´e positivo). Portanto, Q ´e um conjunto positivo, com respeito a λ. Isto prova i).

Agora, considere que Q1 = P1 e Qn = Pn\

∪n−1_j=1Pj

∈ ð, para todo n > 1 natural. É fácil ver que esta sequência é disjunta. De fato, suponha que exista a ∈ Qn0 ∩ Qn1 e, sem perda de

generalidade, n0 < n1. Ent˜ao,

a ∈ Pn1\ ∪n1−1 j=1 Pj = Pn1\ ∪n0 j=1Pj ∪∪n1−1 j=n0+1Pj ,

ou seja, a /∈ P_n₀, o que contradiz a hipótese (já que a ∈ Qn0). Portanto, (Qn)n∈N é disjunta. Por

outro lado, é fácil ver que Qn⊆ Pn, para todo n ∈ N. Além disso, ∪n∈NQn= ∪n∈NPn. Com efeito,

naturalmente temos que ∪_n∈NQn ⊆ ∪n∈NPn. Reciprocamente, dado x ∈ ∪n∈NPn., ent˜ao x ∈ Pn0,

para algum n0 ∈ N. Da´ı,

• Se n0= 1, então x ∈ P1= Q1; • Se n0= 2 e x /∈ P1, então x ∈ P2\P1= Q2; • Supondo n0= k e x /∈ ∪k−1j=1Pk, então x ∈ Pk\ ∪k−1_j=1Pj = Qk.

Com isso, indutivamente, obtemos que x ∈ ∪_n∈NQn.

Consequentemente, por i), como Pn é positivo, segue que Qn também o é, para todo n ∈ N.

Da´ı, podemos escrever

λ (E ∩ (∪_n∈NPn)) = λ (E ∩ (∪n∈NQn)) = λ (∪n∈N(E ∩ Qn)) =

X

n∈N

λ(E ∩ Qn) ≥ 0,

para todo E ∈ ð . Com isso, ∪n∈NPn ´e positivo, com respeito a λ.

(14)

´

E importante ressaltar que, a Proposi¸cão 1.1.1 também é verdadeira para conjuntos negativos e nulos (a prova é análoga à estabelecida acima).

Vejamos agora do que se trata uma decomposi¸c˜ao de um espa¸co mensur´avel.

Teorema 1.1.1 (Teorema da Decomposi¸cão de Hahn). Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável e λ : ð → R uma carga. Então, existem P, N ∈ ð conjuntos positivo e negativo, com respeito a λ, respectivamente, tais que

X = P ∪ N e P ∩ N = ∅.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, observe que ∅ ´e um conjunto positivo, com respeito a λ. Com efeito,

λ(E ∩ ∅) = λ(∅) = 0 ≥ 0, ∀E ∈ ð.

Consequentemente, {λ(A); A é positivo, com respeito a λ} é não vazio. Sendo assim, defina α = sup{λ(A); A é positivo, com respeito a λ}. (1.1) Sabemos que existe uma sequência (An)n∈N ⊆ ð de conjuntos positivos, com respeito a λ, tal que

α = limn→∞λ(An). Defina P = ∪n∈NAn e Bj = ∪jn=1An ∈ ð (j ∈ N). Dessa forma, provamos,

na Proposi¸cão 1.1.1, que P é um conjunto positivo e que (Bj)j∈N é uma sequência crescente de

conjuntos positivos, com respeito a λ. De fato,

Bj = ∪j_n=1An⊆ ∪j+1_n=1An= Bj+1, ∀j ∈ N,

E mais,

∪_j∈NBj = ∪j∈N∪jn=1An= ∪n∈NAn= P.

Por conseguinte, como Aj ⊆ Bj, para todo j ∈ N, e estes conjuntos s˜ao positivos, tem-se que

R 3 λ(P ) = λ (∪j∈NBj) = lim j→∞λ(Bj) = lim j→∞[λ(Aj) + λ(Bj\ Aj)] ≥ lim j→∞λ(Aj) = α ≥ λ(P ), (1.2)

pois P é positivo, com rela¸cão a λ (ver Lema A.2.5), e Bj\ Aj ⊆ Bj é positivo, para todo j ∈ N

(assim, λ(Bj\ Aj) ≥ 0). Logo, segue que λ(P ) = α.

Agora provaremos que N = C(P ) := X \ P ∈ ð é negativo, com respeito a λ. Suponha, por absurdo, que N não é negativo. Assim, existe E ∈ ð tal que λ(E ∩ N ) > 0.

(15)

Seja EN = E ∩ N ∈ ð. Da´ı, EN ⊆ N ´e tal que λ(EN) > 0. Note que se EN fosse um conjuno

positivo, com respeito a λ, então P ∪ EN também seria, pois é uma união de conjuntos positivos

(ver Proposi¸c˜ao 1.1.1). Mas, ´e verdade que

λ(P ∪ EN) = λ(P ) + λ(EN) > λ(P ) + 0 = λ(P ) = α,

j´a que P ∩ EN = ∅. Por isso, α < λ(P ∪ EN), com P ∪ EN positivo (ver Proposi¸c˜ao 1.1.1), com

respeito a λ. Isto contradiz a defini¸c˜ao de supremo (ver 1.1).

Então, EN não é um conjunto positivo, com respeito a λ. Assim, existe E0 ∈ ð tal que

λ(E0∩ EN) < 0. Consequentemente, para E1 := E0∩ EN ∈ ð, segue que λ(E1) < 0 e E1 ⊆ EN.

Dessa forma, EN cont´em um conjunto com carga negativa. Sendo assim, existe n1 ∈ N tal que

λ(E1) ≤ −

1 n1

(use o fato que limn→∞_n1 = 0). Escolha o menor natural n1 tal que EN contenha

um conjunto com carga menor ou igual a −_n1

1 (aplique o Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao). Como λ ´e

uma aplica¸c˜ao real, temos que

λ(EN \ E1) = λ(EN) − λ(E1) > λ(EN) > 0. (1.3)

Recome¸cando o processo, agora com EN\E1 substituindo EN, temos que

1. EN\E1 n˜ao ´e um conjunto positivo, com respeito a λ;

2. EN\E1 cont´em um conjunto E2 ∈ ð tal que λ(E2) < 0;

3. Existe n2 ∈ N tal que λ(E2) ≤ −

1 n2

, com n2 o menor natural tal que EN\E1 cont´em um

conjunto com carga menor ou igual a − 1 n2

.

Com efeito, se EN \ E1 fosse um conjunto positivo, com respeito a λ, ent˜ao ter´ıamos, por (1.3) e

(1.2), que P1= P ∪ (EN \ E1) ∈ ð seria positivo (ver Proposi¸c˜ao 1.1.1) e

λ(P1) = λ(P ∪ (EN\ E1)) = λ(P ) + λ(EN \ E1) > λ(P ) + 0 = λ(P ) = α,

j´a que P ∩ (EN\ E1) = ∅. Assim, chegar´ıamos a λ(P1) > α, o que contradiz a defini¸c˜ao de supremo

(ver (1.1)).

Dessa forma, existe E00 ∈ ð tal que λ(E00∩ (EN\E1)) < 0. Seja E2 = E00∩ (EN\E1) ∈ ð. Da´ı,

E2 ⊆ EN\E1 e λ(E2) < 0. Neste caso, podemos encontrar n2 ∈ N tal que λ(E2) ≤ −

1 n2

, com n2 ∈ N sendo o menor poss´ıvel.

(16)

Como λ ´e uma fun¸c˜ao real, temos que

λ(EN\(E1∪ E2)) = λ(EN\E1) − λ(E2) > λ(EN\E1) > 0.

Recome¸cando o processo com EN\(E1∪ E2) substituindo EN\E1, temos que

1. EN\(E1∪ E2) n˜ao ´e um conjunto positivo, com respeito a λ;

2. EN\(E1∪ E2) cont´em um conjunto E3∈ ð tal que λ(E3) < 0;

3. Existe n3∈ N tal que λ(E3) ≤ −

1 n3

, com n3 o menor poss´ıvel satisfazendo estes trˆes itens.

A demonstra¸cão dos itens acima é análoga ao que fizemos anteriormente. Recursivamente, obtemos uma sequência (Ek)k∈N⊆ ð disjunta tal que

1. E1 ⊆ EN e Ek⊆ EN\ ∪k−1_j=1Ej, para todo k > 1 natural;

2. λ(Ek) ≤ −

1 nk

, com nk o menor natural poss´ıvel tal que Ek ⊆ EN\ ∪k−1j=1 Ej cont´em um

subconjunto com carga menor ou igual a − 1

nk, para todo k ∈ N.

Deste modo, seja F = ∪k∈NEk∈ ð. Da´ı, podemos obter

λ(F ) = λ (∪k∈NEk) = X k∈N λ(Ek) ≤ − X k∈N 1 nk ≤ 0.

Portanto, como λ ´e uma aplica¸c˜ao real, conclu´ımos que P

k∈Nn1k ´e convergente e λ(F ) ≤ 0.

Con-sequentemente, limk→∞ _n1_k = 0 e λ(F ) ≤ 0.

Agora suponha, por absurdo, que existe G ∈ ð tal que G ⊆ EN \ F e λ(G) < 0. Como

limk→∞_n1_k = 0, ent˜ao existe nk0 ∈ N tal que

1 nk0 − 1

< −λ(G) . Ou seja, λ(G) < − 1 nk0− 1

. Isto nos diz que EN\ ∪k_j=10−1 Ej cont´em um conjunto G com carga menor ou igual a −

1 nk0− 1

. Mas, nk0− 1 < nk0. Isto contradiz a minimalidade de nk0. Por conseguinte, obt´em-se

λ(G) ≥ 0, ∀G ⊆ E_N_{\F e G ∈ ð.}

Dessa forma,

(17)

já que H ∩ (EN\F ) ⊆ EN\F. Portanto, EN\F é positivo, com respeito a λ. Como λ é uma carga;

ent˜ao,

λ(EN\F ) = λ(EN) − λ(F ) ≥ λ(EN) > 0.

Com isso, λ(EN\F ) > 0. Mas, P ∪ (EN\F ) ´e positivo (ver Proposi¸c˜ao 1.1.1), com respeito a λ.

Al´em disso,

λ(P ∪ (EN\F )) = λ(P ) + λ(EN\F ) > λ(P ) = α,

já que P ∩ (EN\F ) = ∅. Isto é uma contradi¸cão. Por fim, N é negativo, com respeito a λ.

Sendo assim, X = P ∪ N e P ∩ N = ∅, pois N = C(P ), com P positivo e N negativo, com respeito a λ.

Vejamos, agora o que significa um conjunto ser decompon´ıvel a Hahn.

Defini¸cão 1.1.2. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável e λ : ð → R uma carga. Dizemos que (P |N ), com P e N conjuntos positivo e negativo, respectivamente, é uma decomposi¸cão de Hahn para X se

i) X = P ∪ N ; ii) P ∩ N = ∅.

O Teorema de Hahn 1.1.1 garante que existem decomposi¸cões de Hahn. É também verdade que um conjunto mensurável pode ser decomposto de diferentes maneiras a Hahn, é o que nos mostra a proposi¸cão que segue.

Proposi¸cão 1.1.2. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável e λ : ð → R uma carga. A decomposi¸cão de Hahn para X não é única.

Demonstra¸cão. Seja (P |N ) uma decomposi¸cão de Hahn para X. Então, X = P ∪ N e P ∩ N = ∅, com P positivo e N negativo, com respeito a λ. Afirmamos que ((P ∪ M )|(N \M )) é outra decomposi¸cão de Hahn para X, onde M é um conjunto nulo, com respeito a λ. De fato,

(P ∪ M ) ∪ (N \M ) =(P ∪ M ) ∪ (N ∩ C(M ))

=(P ∪ M ∪ N ) ∩ ((P ∪ M ) ∪ C(M )) =(X ∪ M ) ∩ (P ∪ X)

(18)

Vejamos, agora que os conjuntos (P ∪ M ) e (N \M ) s˜ao disjuntos. Com efeito, (P ∪ M ) ∩ (N \M ) =(P ∪ M ) ∩ (N ∩ C(M )) =(P ∩ N ∩ C(M )) ∪ (M ∩ N ∩ C(M )) =((P ∩ N ) ∩ C(M )) ∪ ((M ∩ C(M )) ∩ N ) =(∅ ∩ C(M )) ∪ (∅ ∩ N ) =∅.

Como M é um conjunto nulo, então λ(E ∩ M ) = 0 ≥ 0, para todo E ⊆ ð; isto é, M é positivo, com respeito a λ. Consequentemente, P ∪ M é positivo (ver Proposi¸cão 1.1.1), com respeito a λ.

Por outro lado, ´e verdade que

λ(E ∩ (N \ M )) = λ(E ∩ N ∩ C(M )) = λ(H ∩ N ) ≤ 0, ∀E ∈ ð,

onde H = E ∩ C(M ) ∈ ð; já que, N é negativo, com respeito a λ. Isto nos diz que N \ M é negativo, com respeito a λ.

Logo, ((P ∪ M )|(N \M )) é uma decomposi¸cão de Hahn para X, donde segue o resultado, com M nas condi¸cões anteriores.

Analogamente ao que foi feito na prova da Proposi¸c˜ao 1.1.2, prova-se que ((P \ M )|(N ∪ M )) ´

e uma decomposi¸c˜ao de Hahn para X, se (P |N ) o ´e.

A seguir, apresentaremos o enunciado e a prova do Teorema da Decomposi¸c˜ao de Jordan.

1.2 Decomposi¸

c˜

ao de Jordan

Come¸caremos esta se¸cão mostrando como uma carga se comporta em rela¸cão a diferentes de-composi¸cões de Hahn para um espa¸co mensurável X.

Lema 1.2.1. Sejam (X, ð) um espa¸co mensur´avel, λ : ð → R uma carga e (P1|N1) e (P2|N2)

decomposi¸c˜oes de Hahn para X. Ent˜ao,

λ(E ∩ P1) = λ(E ∩ P2) e λ(E ∩ N1) = λ(E ∩ N2), ∀E ∈ ð.

(19)

P2 positivo e N2 negativo, com respeito a λ. Assim sendo, temos que

(P1\P2) =P1∩ C(P2) = P1∩ N2⊆ P1, N2.

Como P1 é positivo, com respeito a λ (pois (P1|N1) é uma decomposi¸cão de Hahn para X), e pela

Proposi¸cão 1.1.1, conclu´ımos que P1\P2 ⊆ P1 também o é. Analogamente, por N2 ser negativo,

então P1\P2⊆ N2 também o é.

Consequentemente, 0 ≤ λ(E ∩ (P1\P2)) ≤ 0, para todo E ∈ ð. Com isso, λ(E ∩ (P1\P2)) = 0,

para todo E ∈ ð. Portanto,

λ(E ∩ P1) =λ((E ∩ P1) ∩ X)

=λ((E ∩ P1) ∩ (P2∪ C(P2)))

=λ((E ∩ P1∩ P2) ∪ (E ∩ P1∩ C(P2)))

=λ(E ∩ P1∩ P2) + λ(E ∩ (P1\ P2))

=λ(E ∩ P1∩ P2),

fornecido que (E ∩ P1∩ P2) ∩ (E ∩ P1 ∩ C(P2)) = ∅. Analogamente, prova-se que λ(E ∩ P2) =

λ(E ∩ P1∩ P2), para todo E ∈ ð. Da´ı, λ(E ∩ P1) = λ(E ∩ P2) para todo E ∈ ð.

Da mesma forma, prova-se que λ(E ∩ N1) = λ(E ∩ N2), para todo E ∈ ð.

Assim como os conjuntos mensuráveis, as cargas também podem ser decompostas. Estas de-composi¸cões são denominadas varia¸cões, cujas defini¸cões veremos a seguir.

Defini¸cão 1.2.1. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável, λ : ð → R uma carga e (P |N ) uma decom-posi¸cão de Hahn para X. As aplica¸cões λ+, λ−, |λ| : ð → R dadas por

λ+(E) = λ(E ∩ P ), λ−(E) = −λ(E ∩ N ) e |λ|(E) = λ+(E) + λ−(E), ∀E ∈ ð,

s˜ao chamadas varia¸c˜oes positiva, negativa e total de λ, respectivamente.

Vejamos algumas observa¸c˜oes sobre as varia¸c˜oes de uma carga.

(20)

fato, se (P1|N1) é outra decomposi¸cão de Hahn para X, então, pelo Lema 1.1.1, temos que

λ(E ∩ P ) = λ(E ∩ P1) e λ(E ∩ N ) = λ(E ∩ N1), ∀E ∈ ð.

Da´ı, λ+ e λ− est˜ao bem definidas.

Observa¸c˜ao 1.2.2. Dada uma carga λ : ð → R, tem-se que λ(E) = λ+(E) − λ−(E), _{∀E ∈ ð.}

Com efeito,

λ(E) = λ(E ∩ X) = λ(E ∩ (P ∪ N )) = λ[(E ∩ P ) ∪ (E ∩ N )] = λ(E ∩ P ) + λ(E ∩ N ) = λ+(E) − λ−(E),

para todo E ∈ ð, desde que X = P ∪ N e P ∩ N = ∅.

Podemos visualizar as varia¸cões de uma carga de uma outra maneira. É o que mostra a pro-posi¸cão a seguir.

Proposi¸cão 1.2.1. Seja (X, ð) um espa¸co mensurável, λ : ð → R uma carga, e (P |N ) uma decomposi¸cão de Hahn para X. As varia¸cões positiva e negativa de λ, λ+ e λ− são medidas (ver Defini¸cão A.1.5).

Demonstra¸cão. Faremos a demonstra¸cão apenas para a varia¸cão positiva de λ, a prova para a varia¸cão negativa é feita de maneira análoga. Sendo assim, note que

i) λ+(E) = λ(E ∩ P ) ≥ 0, pois P ´e positivo, com respeito a λ; ii) λ+_{(∅) = λ(∅ ∩ P ) = λ(∅) = 0, j´}_{a que λ ´}_{e uma carga;}

iii) λ+(∪n∈NEn) = λ((∪n∈NEn) ∩ P ) = λ(∪n∈N(En ∩ P )) = X n∈N λ(En∩ P ) = X n∈N λ+(En), se (En)n∈N ´e disjunta.

Isto nos mostra que λ+ ´e uma medida.

Observa¸cão 1.2.3. Segue da Proposi¸cão 1.2.1 que |λ| = λ++ λ− é uma medida (como soma de medidas).

(21)

Mostraremos, a seguir, como decompor uma carga em medidas finitas através de uma decom-posi¸cão de Hahn para um espa¸co mensurável.

Teorema 1.2.1 (Teorema da Decomposi¸cão de Jordan). Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável e λ : ð → R uma carga. Se λ = µ − γ, com µ, γ : ð → R medidas finitas (ver Defini¸cão A.1.10), então

µ(E) ≥ λ+(E) e γ(E) ≥ λ−(E), ∀E ∈ ð.

Demonstra¸cão. Seja (P |N ) uma decomposi¸cão de Hahn para X. Primeiramente, é fácil ver que λ+(E) = λ(E ∩ P ) = µ(E ∩ P ) − γ(E ∩ P ) ≤ µ(E ∩ P ) ≤ µ(E),

para todo E ∈ ð, desde que µ, γ s˜ao medidas e E ∩ P ⊆ E. Al´em disso,

λ−(E) = −λ(E ∩ N ) = −µ(E ∩ N ) + γ(E ∩ N ) ≤ γ(E ∩ N ) ≤ γ(E),

para todo E ∈ ð, pois µ, λ s˜ao medidas e E ∩ N ⊆ E.

Vejamos gora o que significa uma carga ser decompon´ıvel a Jordan.

Defini¸cão 1.2.2. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável e λ : ð → R uma carga. Dizemos que (µ|γ), com µ, γ : ð → R medidas finitas, é uma decomposi¸cão de Jordan para λ se

λ(E) = µ(E) − γ(E), _{∀E ∈ ð.}

Observe que se escolhermos µ = λ+ e γ = λ−, na defini¸c˜ao acima, temos que (λ+|λ−_{) ´}_{e uma}

decomposi¸cão de Jordan para λ (ver Proposi¸cão 1.2.1 e Observa¸cão 1.2.2).

Vimos no Teorema 1.2.1 que toda decomposi¸c˜ao de Jordan (µ|γ) para a carga λ deve satisfazer os seguintes itens:

i) µ(E) ≥ λ+(E); ii) γ(E) ≥ λ−(E), para todo E ∈ ð.

(22)

Proposi¸cão 1.2.2. Sejam (X, ð, µ) um espa¸co de medida (ver Defini¸cão A.1.5) e f ∈ L (ver Defini¸cão A.1.14). Defina λ : ð → R por

λ(E) = Z

E

f dµ, ∀E ∈ ð.

Ent˜ao λ+, λ−, |λ| : ð → R s˜ao dadas por

λ+(E) = Z E f+dµ, λ−(E) = Z E f−dµ e |λ|(E) = Z E |f |dµ, _{∀E ∈ ð.}

Aqui f+ e f− s˜ao as partes positiva e negativa de f (ver Defini¸c˜ao A.1.3), respectivamente.

Demonstra¸cão. O Exemplo A.2.1 nos diz que λ é uma carga. Agora, considere P = {x ∈ X; f (x) ≥ 0} e N = {x ∈ X; f (x) < 0}. Como f é mensurável (ver Defini¸cão A.1.2), então P e N ∈ ð.

Vamos mostrar que (P |N ) é uma decomposi¸cão de Hahn para X. Com efeito, assuma que x ∈ X, então f (x) ≥ 0 ou f (x) < 0. Isto é, x ∈ P ∪ N . Portanto, X = P ∪ N. Além disso, P ∩ N = ∅. Caso contrário, existiria x0 ∈ X tal que f (x0) ≥ 0 e f (x0) < 0, o que contrariaria a

tricotomia de R. Por fim, pelas defini¸c˜oes de P e N , chegamos a λ(E ∩ P ) = Z E∩P f dµ ≥ 0, ∀E ∈ ð, e tamb´em λ(E ∩ N ) = Z E∩N f dµ ≤ 0, ∀E ∈ ð.

Dessa forma, P e N são positivo e negativo, respectivamente. Logo, (P |N ) é uma decomposi¸cão de Hahn para X. Sendo assim,

λ+(E) = λ(E ∩ P ) = Z E∩P f dµ = Z f χE∩Pdµ = Z f χEχPdµ = Z E f χPdµ = Z E f+dµ, ∀E ∈ ð. Al´em disso, λ−(E) = −λ(E ∩ N ) = − Z E∩N f dµ = − Z f χE∩Ndµ = − Z f χEχNdµ = − Z E f χNdµ = Z E f−dµ,

para todo E ∈ ð. Por fim,

|λ|(E) =λ+(E) + λ−(E) = Z E f+dµ + Z E f−dµ = Z E (f++ f−)dµ = Z E |f |dµ, para todo E ∈ ð.

(23)

Abaixo estabelecemos a defini¸c˜ao de quando uma carga ´e absolutamente cont´ınua com respeito a outra.

Defini¸cão 1.2.3. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável e λ, µ : ð → R cargas. Dizemos que λ é absolutamente cont´ınua com respeito a µ se |λ| é absolutamente cont´ınua com respeito a |µ|; isto ´

e,

|µ|(E) = 0 ⇒ |λ|(E) = 0.

O lema a seguir nos fornece uma outra maneira de definir continuidade absoluta.

Lema 1.2.2. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável, λ e µ medidas finitas sobre ð. Então, λ é absolutamente cont´ınua com respeito a µ ⇔ dado > 0, existe δ > 0 tal que µ(E) < δ ⇒ λ(E) < .

Demonstra¸c˜ao. Assuma que existe um > 0 tal que para qualquer que seja δ > 0, pode-se encontrar Eδ ∈ ð com µ(Eδ) < δ e λ(Eδ) ≥ . Em particular, escolha δ = 1,₂1,1₄, ...,₂1n, ..., com n ∈ N, para

encontrar (En)n∈N⊆ ð com µ(En) <

1

2n e λ(En) ≥ .

Defina os seguintes conjuntos:

Fn= ∪∞m=nEm∈ ð, ∀n ∈ N.

Observe que (Fn)n∈N ´e decrescente. De fato,

Fn+1= ∪∞m=n+1Em ⊆ ∪∞m=nEm = Fn, ∀n ∈ N.

Consequentemente, podemos escrever

µ(Fn) = µ(∪∞m=nEm) ≤ ∞ X m=n µ(Em) < ∞ X m=n 1 2m = 1 2n 1 −1 2 = 1 2n−1. (1.4)

Por outro lado, tamb´em temos que

λ(Fn) = λ(∪∞m=nEm) ≥ λ(En) ≥ , ∀n ∈ N, (1.5)

j´a que En⊆ ∪∞m=nEm, para todo n ∈ N. Considerando E = ∩n∈NFn∈ ð, por (1.4), chegamos a

(24)

pois µ ´e uma medida finita (ver Lema A.2.5). Mas, por (1.5), ´e verdade que λ(E) = λ(∩_n∈NFn) = lim λ(Fn) ≥ > 0,

já que λ é uma medida finita (ver Lema A.2.5). Portanto, λ não é absolutamente cont´ınua com respeito a µ.

Reciprocamente, dado > 0, por hipótese, existe δ > 0 tal que µ(E) < δ ⇒ λ(E) < . Sendo assim, se µ(E) = 0, então µ(E) = 0 < δ. Com isso, 0 ≤ λ(E) < . Como é arbitrário, então passando ao limite, quando → 0, temos que λ(E) = 0. Portanto, λ é absolutamente cont´ınua com respeito a µ.

(25)

Cap´ıtulo 2

Teorema de Radon-Nikod´

ym

Neste cap´ıtulo, apresentaremos o principal Teorema do Trabalho. Frisamos que este será di-vidido em duas versões no que diz respeito à finitude da medida, com o intuito de tornar sua demonstra¸cão mais compreens´ıvel. Além disso, ressaltamos que utilizaremos todas as defini¸cões e os resultados obtidos no cap´ıtulo anterior.

2.1 Teorema de Radon-Nikod´

ym: Medidas Finitas

Nesta se¸cão, abordaremos a primeira versão do Teorema de Radon-Nikodým. Esta versão nos conduz ao resultado que relaciona medidas finitas.

Lema 2.1.1 (Teorema de Radon-Nikodým para Medidas Finitas). Sejam (X, ð) um espa¸co men-surável, λ e µ medidas finitas sobre ð. Se λ é absolutamente cont´ınua com respeito a µ, então existe f ∈ M+ (ver Defini¸cão A.1.8) tal que

λ(E) = Z

E

f dµ, _{∀E ∈ ð.}

Além disso, f é unicamente determinada em µ quase toda parte de X (ver Defini¸cão A.1.7).

Demonstra¸cão. Seja c > 0. Como λ e µ são medidas, tem-se que λ − cµ é uma carga. Pelo Teorema da Decomposi¸cão de Hahn 1.1.1, temos que existe (Pc|Nc) decomposi¸cão de Hahn para X, com

respeito a λ − cµ (para cada c > 0).

(26)

uma sequˆencia (disjunta por defini¸c˜ao) que satisfaz

∪k_j=1Njc = ∪kj=1Aj, ∀k ∈ N. (2.1)

De fato, comecemos com a prova da inclus˜ao ∪k_j=1Njc ⊆ ∪kj=1Aj. Sendo assim, dado x ∈

∪k

j=1Njctem-se que x ∈ Nj0c, para algum j0 = 1, ..., k. Da´ı, se j0 = 1, ent˜ao, x ∈ Nc= A1 ⊆ ∪

k j=1Aj.

Se j0 = 2 e x /∈ A1, ent˜ao x ∈ N2c e x /∈ A1. Ou seja, x ∈ A2 ⊆ ∪kj=1Aj. Recursivamente, supondo

j0 = k > 1 e x /∈ ∪k−1_j=1Aj, temos que x ∈ Nkc\(∪k−1j=1Aj) = Ak⊆ ∪kj=1Aj.

Agora vamos verificar que ∪k_j=1Aj ⊆ ∪kj=1Njc. Com efeito, se x ∈ ∪kj=1Aj, ent˜ao x ∈ Ap0, para

algum p0= 1, ..., k. Da´ı, x ∈ Nc (= A1, caso p0 = 1) ou x ∈ Np0c\(∪

p0−1

j=1 Aj) (caso p0 > 1). Isto ´e,

x ∈ Ncou x ∈ Np0c. Logo, x ∈ ∪

k j=1Njc.

Consequentemente, podemos escrever

Ak =Nkc\(∪k−1j=1Aj) = Nkc\(∪k−1j=1Njc) = Nkc∩ C(∪k−1j=1Njc)

=Nkc∩ (∩k−1_j=1CNjc) = Nkc∩ (∩k−1_j=1Pjc),

para todo k > 1 natural, pois (Pjc|Njc) ´e uma decomposi¸c˜ao de Hahn para X, para todo j ∈ N.

Dessa forma, se E ∈ ð ´e tal que E ⊆ Ak, ent˜ao

E ⊆ Ak= Nkc∩ (∩k−1j=1Pjc) ⊆ Nkc, P(k−1)c,

para todo k > 1 natural. Com isso, E ⊆ Nkc e E ⊆ P(k−1)c, para todo k > 1 natural. Por isso,

0 ≥ (λ − (kc)µ)(E ∩ Nkc) = (λ − (kc)µ)(E) = λ(E) − (kc)µ(E),

j´a que Nkc ´e negativo, com respeito a λ − (kc)µ. Por conseguinte, chegamos a

λ(E) ≤ (kc)µ(E). Analogamente, temos que

0 ≤ (λ − (k − 1)cµ)(E ∩ P(k−1)c) = (λ − (k − 1)cµ)(E) = λ(E) − (k − 1)cµ(E),

porque P(k−1)c ´e positivo, com respeito a λ − (k − 1)cµ. Logo,

(27)

Deste modo, ´e verdade que

(k − 1)cµ(E) ≤ λ(E) ≤ (kc)µ(E), ∀E ⊆ Ak, k > 1. (2.2)

Agora defina B = C(∪_j∈NAj) ∈ ð. Da´ı, por (2.1), encontramos

B = C(∪_j∈NAj) = C(∪j∈N(∪jm=1Am)) = C(∪j∈N(∪jm=1Nmc))

= C(∪_j∈NNjc) = ∩j∈NCNjc = ∩j∈NPjc,

pois (Pjc|Njc) ´e uma decomposi¸c˜ao de Hahn para X, para todo j ∈ N. Assim, B = ∩j∈NPjc ⊆ Pkc,

para todo k ∈ N. Deste modo, chegamos a

0 ≤ (λ − (kc)µ)(B ∩ Pkc) = (λ − (kc)µ)(B) = λ(B) − (kc)µ(B),

j´a que Pkc ´e positivo, com respeito a λ − (kc)µ. Isto nos diz que

λ(B) ≥ (kc)µ(B). Como resultado, conclu´ımos que

0 ≤ (kc)µ(B) ≤ λ(B) < ∞, ∀k ∈ N, pois λ ´e uma medida finita. Ou equivalentemente,

0 ≤ µ(B) ≤ 1

kcλ(B) < ∞, ∀k ∈ N.

Passando ao limite, quando k → ∞, chegamos a µ(B) = 0. Como λ ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ, conclu´ımos que λ(B) = 0.

Por outro lado, defina

fc(x) =

(

(k − 1)c, se x ∈ Ak;

0, se x ∈ A/ k.

(2.3)

Logo, fc=P_k∈N[(k − 1)c]χAk ´e mensur´avel.

Agora seja F ∈ ð, ent˜ao

F =F ∩ X = F ∩ [(∪_k∈NAk) ∪ C(∪k∈NAk)] = F ∩ [(∪k∈NAk) ∪ B] = ∪k∈N[(F ∩ Ak) ∪ (F ∩ B)] .

(28)

´

E importante observar que

(F ∩ Ak) ∩ (F ∩ B) = F ∩ Ak∩ C(∪k∈NAk) ⊆ F ∩ (∪k∈NAk) ∩ C(∪k∈NAk) = ∅. (2.5)

Da´ı, (F ∩ Ak) e (F ∩ B) s˜ao disjuntos para todo k ∈ N. Por conseguinte, tamb´em aplicando (2.2),

(2.3), (2.4) e (2.5), chegamos a Z F fcdµ = Z ∪_k∈N[(F ∩Ak)∪(F ∩B)] fcdµ ≤ X k∈N Z (F ∩Ak)∪(F ∩B) fcdµ =X k∈N Z (F ∩Ak) fcdµ + Z (F ∩B) fcdµ ! =X k∈N (k − 1)c Z F ∩Ak dµ =X k∈N (k − 1)cµ(F ∩ Ak) ≤ X k∈N λ(F ∩ Ak) = λ (∪n∈N(F ∩ Ak)) , (2.6)

desde que F ∩ Ak⊆ Ak, F (ver Exemplo A.2.1).

Analogamente, por (2.2), (2.3), (2.4) e (2.5), prova-se que Z F (fc+ c)dµ = Z ∪k∈N[(F ∩Ak)∪(F ∩B)] (fc+ c)dµ = Z [∪k∈N(F ∩Ak)]∪(F ∩B) (fc+ c)dµ = Z ∪k∈N(F ∩Ak) (fc+ c)dµ + Z (F ∩B) (fc+ c)dµ =X k∈N Z (F ∩Ak) (fc+ c)dµ + Z (F ∩B) (fc+ c)dµ =X k∈N kcµ(F ∩ Ak) + cµ(F ∩ B) ≥ X k∈N λ(F ∩ Ak) =λ(∪_k∈N(F ∩ Ak)), (2.7)

pois µ ≥ 0 e (Ak)k∈N ´e disjunta. Mas, 0 ≤ λ(F ∩ B) ≤ λ(B) = 0. Da´ı, λ(F ∩ B) = 0. Com isso,

por (2.4) e (2.5), chegamos a

λ(∪_k∈N(F ∩ Ak)) = λ(∪k∈N(F ∩ Ak)) + λ(F ∩ B) = λ(∪k∈N[F ∩ Ak) ∪ (F ∩ B)]) = λ(F ), (2.8)

para todo F ∈ ð. Al´em disso, Z F (fc+ c)dµ = Z F fcdµ + c Z F dµ = Z F fcdµ + cµ(F ) ≤ Z F fcdµ + cµ(X), ∀F ∈ ð. (2.9)

Da´ı, usando (2.6), (2.7), (2.8) e (2.9), podemos escrever Z F fcdµ ≤ λ(F ) ≤ Z F (fc+ c)dµ ≤ Z F fcdµ + cµ(X), ∀F ∈ ð. (2.10)

(29)

Escolhendo c = 1

2n, com n ∈ N, tem-se por (2.10), que

Z F fndµ ≤ λ(F ) ≤ Z F fndµ + 1 2nµ(X), ∀F ∈ ð. (2.11)

Usando o fato que λ(F ) não depende de c em (2.10), também podemos escrever Z F fndµ ≤ λ(F ) ≤ Z F fmdµ + 1 2mµ(X) e também, Z F fmdµ ≤ λ(F ) ≤ Z F fndµ + 1 2nµ(X),

para todo m, n ∈ N. Suponha, sem perda de generalidade, que m ≤ n. Ent˜ao, Z F fndµ − Z F fmdµ ≤ 1 2mµ(X) e, da mesma forma, Z F fmdµ − Z F fndµ ≤ 1 2nµ(X) ≤ 1 2mµ(X).

Logo, podemos escrever Z F (fn− fm)dµ ≤ 1 2mµ(X), ∀m ≤ n, F ∈ ð.

Consequentemente, como {x ∈ X; fn(x)−fm(x) ≥ 0} e {x ∈ X; fn(x)−fm(x) < 0} s˜ao mensur´aveis

e disjuntos, segue que Z |fn− fm|dµ = Z {x∈X;fn(x)−fm(x)≥0}∪{x∈X;fn(x)−fm(x)<0} |fn− fm|dµ = Z {x∈X;fn(x)−fm(x)≥0} |fn− fm|dµ + Z {x∈X;fn(x)−fm(x)<0} |fn− fm|dµ = Z {x∈X;fn(x)−fm(x)≥0} (fn− fm)dµ + Z {x∈X;fn(x)−fm(x)<0} (fm− fn)dµ = Z {x∈X;fn(x)−fm(x)≥0} (fn− fm)dµ + Z {x∈X;fn(x)−fm(x)<0} (fm− fn)dµ = Z {x∈X;fn(x)−fm(x)≥0} (fn− fm)dµ + Z {x∈X;fn(x)−fm(x)<0} (fn− fm)dµ ≤ 1 2mµ(X) + 1 2mµ(X) = 1 2m−1µ(X),

sempre que m ≤ n. Passando ao limite, quando m → ∞, chegamos a limn,m→∞R |fn− fm|dµ = 0,

(30)

Cauchy. Como L1 ´e completo (ver Teorema A.2.4), ent˜ao, existe f ∈ L1 tal que limn,m→∞kfn−

f k1 = 0. Isto nos diz que fn→ f em L1. Da´ı, passando a uma subsequˆencia, se necess´ario, fn→ f

em quase toda parte de X (ver Teorema A.2.5). Como fn≥ 0, para todo n ∈ N, ent˜ao f ≥ 0 em

quase toda parte de X. Dessa forma, podemos redefinir f de forma que f ∈ M+.

Por outro lado, ´e verdade que Z F fndµ − Z F f dµ ≤ Z F (fn− f )dµ ≤ Z F |fn− f |dµ ≤ Z |fn− f |dµ = kfn− f k1 → 0,

para todo F ∈ ð. Assim sendo, Z F fndµ → Z F f dµ, ∀F ∈ ð. Passando ao limite em (2.11), quando n → ∞, chegamos a

λ(F ) = Z

F

f dµ, ∀F ∈ ð. Conforme gostar´ıamos de provar.

Por fim, vamos mostrar que f ´e unicamente determinada em µ quase toda parte de X. Suponha que h ∈ M+ _e λ(F ) = Z F hdµ, ∀F ∈ ð. Logo, obtemos Z F f dµ = λ(F ) = Z F hdµ, ∀F ∈ ð. Deste modo, conclu´ımos que

Z

F

(f − h)dµ = 0, ∀F ∈ ð. (2.12) Sejam F1 = {x ∈ X; f (x) ≥ h(x)} e F2 = {x ∈ X; f (x) < h(x)} ∈ ð (f e h s˜ao mensur´aveis). Dessa

forma, por (2.12), inferimos Z (f − h)+dµ = Z F1∪F2 (f − h)+dµ = Z F1 (f − h)+dµ + Z F2 (f − h)+dµ = Z F1 (f − h)dµ = 0. Portanto, Z

(31)

usando (2.12), conclu´ımos Z (f − h)−dµ = Z F1∪F2 (f − h)−dµ = Z F1 (f − h)−dµ + Z F2 (f − h)−dµ = − Z F2 (f − h)dµ = 0.

Com isso, (f − h)−= 0 em µ quase toda parte de X. Consequentemente,

f − h = (f − h)+− (f − h)−= 0, µ em quase toda parte de X,

isto ´e, f = h em µ quase toda parte de X.

A seguir, apresentaremos um caso mais geral do Teorema de Radon-Nikod´ym.

2.2 Teorema de Radon-Nikod´

ym: Medidas σ-finitas

Nesta se¸cão, veremos a segunda versão para o Teorema de Radon-Nikodým. Nesta, considerare-mos que as medidas trabalhadas são σ-finitas. É importante frisar que a demonstra¸cão da unicidade ´

e análoga à estabelecida na prova do Lema 2.1.1; sendo assim, esta será suprimida a seguir. Teorema 2.2.1 (Teorema de Radon-Nikodým para Medidas σ-finita). Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável, λ e µ medidas σ-finitas (ver Defini¸cão A.1.10) sobre ð. Se λ é absolutamente cont´ınua com respeito a µ, então existe f ∈ M+ tal que

λ(E) = Z

E

f dµ, ∀E ∈ ð.

Al´em disso, f ´e unicamente determinada em µ quase toda parte de X.

Demonstra¸cão. Como λ e µ são σ−finitas, então existem (An)n∈N e (Bn)n∈N ⊆ ð tais que

X = ∪n∈NAn= ∪n∈NBn, com λ(An) < ∞, µ(Bn) < ∞, ∀n ∈ N. (2.13)

Sejam

H1= A1, G1 = B1, Hn= An\(∪j=1n−1Aj), Gn= Bn\(∪n−1j=1Bj) ∈ ð, (2.14)

(32)

De fato, suponha que exista x ∈ Hn0∩ Hn1 e, sem perda de generalidade, n0 < n1. Ent˜ao, x ∈ An1\ ∪n1−1 j=1 Aj = An1\ ∪n0 j=1Aj ∪∪n1−1 j=n0+1Aj ,

ou seja, x /∈ A_n₀, o que contradiz a hip´otese (j´a que, x ∈ Hn0). Da mesma maneira, mostra-se que

(Gn)n∈N ´e disjunta.

Note tamb´em que

∪_n∈NHn= ∪n∈NAn= ∪n∈NGn= ∪n∈NBn= X. (2.15)

Al´em disso, por (2.14), temos que

λ(Hn) ≤ λ(An) < ∞, µ(Gn) ≤ µ(Bn) < ∞, ∀n ∈ N,

desde que Hn⊆ An e Gn⊆ Bn, para todo n ∈ N.

Agora defina Xn= ∪nj,k=1(Hj∩ Gk), para todo n ∈ N. Logo, podemos escrever

1. (Xn)n∈N⊆ ð.

2. X = ∪n∈NXn.

De fato, dado x ∈ X, temos que x ∈ Hn0 e x ∈ Gm0 (ver (2.15)), para algum m0, n0 ∈ N.

Sem perda de generalidade, suponha n0 ≤ m0. Da´ı, x ∈ ∪mj=10 Hj e x ∈ ∪mk=10 Gk. Ou seja,

x ∈ (∪m0 j=1Hj) ∩ (∪ m0 k=1Gk); isto ´e, x ∈ ∪mj,k=10 (Hj ∩ Gk) = Xm0. Da´ı, X = ∪n∈NXn. 3. Xn+1⊇ Xn, para todo n ∈ N. Com efeito, Xn+1= ∪n+1_j,k=1(Hj∩ Gk) ⊇ ∪nj,k=1(Hj∩ Gk) = Xn, ∀n ∈ N. 4. λ(Xn) < ∞, para todo n ∈ N. De fato, λ(Xn) = λ(∪nj,k=1(Hj∩ Gk)) ≤ n X j,k=1 λ(Hj∩ Gk) ≤ n X j,k=1 λ(Hj) = n n X j=1 λ(Hj) < ∞,

para todo n ∈ N, desde que Hj ∩ Gk⊆ Hj.

(33)

Com efeito, µ(Xn) = µ(∪nj,k=1(Hj∩ Gk)) ≤ n X j,k=1 µ(Hj∩ Gk) ≤ n X j,k=1 µ(Gk) = n n X k=1 µ(Gk) < ∞,

para todo n ∈ N, pois Hj∩ Gk⊆ Gk.

Portanto, pelo Lema 2.1.1, existe (fn)n∈N⊆ M+ tal que

λ(E) = Z

E

fndµ, ∀E ⊆ Xn mensur´avel. (2.16)

Redefina (fn)n∈N de forma que fn = 0 em C(Xn), para todo n ∈ N. Observe que, pelo fato de

(Xn)n∈N ser crescente e por (2.16), temos que

n ≤ m ⇒ Xn⊆ Xm ⇒ Z E fndµ = λ(E) = Z E fmdµ,

para todo E ⊆ Xn(⊆ Xm) mensur´avel. Dessa forma,

Z

E

fmdµ =

Z

E

fndµ, ∀E ⊆ Xn mensur´avel n ≤ m.

Assim,

fm= fn em µ quase toda parte de Xn, para todo n ≤ m, (2.17)

como na prova do Lema 2.1.1. Agora, seja hn= sup j=1,...,n {f_j} ∈ M+, ∀n ∈ N. Logo, chegamos a hn= sup j=1,...,n {fj} ≤ sup j=1,...,n+1 {fj} = hn+1, ∀n ∈ N.

Isto nos diz que (hn)n∈N´e crescente. Sendo assim, assuma que f = limn→∞hn∈ M+.

Consequen-temente, podemos escrever Z E hndµ = Z E∩X hndµ = Z E∩(Xn∪C(Xn)) hndµ = Z (E∩Xn)∪(E∩C(Xn)) hndµ = Z (E∩Xn) hndµ + Z (E∩C(Xn)) hndµ,

(34)

Por outro lado, para cada n ∈ N, tem-se que

X1 ⊆ X2⊆ · · · ⊆ Xn⇒ C(Xn) ⊆ · · · ⊆ C(X2) ⊆ C(X1) ⇒ C(Xn) ⊆ C(Xj), ∀j = 1, ..., n.

Deste modo, podemos concluir que

hn= sup j=1,...,n

{f_j} = 0, em C(X_n).

Por conseguinte, obtemos Z E hndµ = Z E∩Xn hndµ + Z E∩C(Xn) hndµ = Z E∩Xn hndµ.

Por outro lado, considere que x ∈ Xn. Seja i0 o menor natural em {1, · · · , n}, tal que x ∈ Xi0

(estamos usando o fato de (Xn)n∈N ser crescente). Por (2.17), temos que fj(x) = fi0(x), para todo

j ≥ i0 em µ quase toda parte de Xi0. Al´em disso, fj(x) = 0, para todo 1 ≤ j < i0 (pois x ∈ CXj).

Com isso, hn(x) = sup j=1,2,...,n {fj(x)} = sup j=i0,...,n {fj(x)} = fn(x).

Por fim, hn(x) = fn(x) para todo x ∈ Xn. Consequentemente, por (2.16), inferimos

Z E hndµ = Z E∩Xn hndµ = Z E∩Xn fndµ = λ(E ∩ Xn), ∀n ∈ N,

pois E ∩ Xn⊆ Xn´e mensur´avel, para todo n ∈ N.

Portanto, pelo Teorema da Convergˆencia Mon´otona (ver Teorema A.2.3) e Lema A.2.5, obtemos, pelo item 2 acima, que

λ(E) =λ(E ∩ X) = λ(E ∩ (∪n∈NXn)) = λ(∪n∈N(E ∩ Xn))

= lim λ(E ∩ Xn) = lim

Z E hn dµ = Z E lim hn dµ = Z E f dµ,

para todo E ∈ ð, pois (E ∩ Xn)n∈N ´e crescente. Por conseguinte,

λ(E) = Z

E

f dµ, ∀E ∈ ð. A unicidade ´e analoga ao que fizemos na prova do Lema 2.1.1.

(35)

seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.2.1. Sejam (X, ð) um espa¸co mensur´avel, λ e µ medidas σ-finitas sobre ð tais que λ ´

e absolutamente cont´ınua com respeito a µ. A aplica¸cão f ∈ M+, obtida no Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1, é chamada derivada de Radon-Nikodým de λ com respeito a µ e é denotada por

dλ dµ.

Observa¸c˜ao 2.2.1. A Defini¸c˜ao 2.2.1 nos diz que λ(E) =

Z

E

dλ

dµdµ, ∀E ∈ ð.

Além disso, pelo Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1, f é integravél se, e somete se, λ(X) = Z

f dµ < ∞; ou equivalentemente, λ ´e uma medida finita.

Mostraremos a seguir algumas propriedades elementares da derivada de Radon-Nikodým. Para este fim, provaremos um lema que nos auxiliará na compreensão dessas mesmas.

Lema 2.2.1. Sejam (X, ð) um espa¸co de mensur´avel e λ e µ medidas σ-finitas definidas em ð, com λ absolutamente cont´ınua com rela¸c˜ao a µ e dλ

dµ ∈ M

+ _{(proviniente da Defini¸}_c˜_{ao A.1.11). Se}

g ∈ M+, ent˜ao Z gdλ = Z gdλ dµdµ.

Demonstra¸c˜ao. A priori, vamos considerar g =

n

X

i=1

aiχEi uma fun¸c˜ao simples em M

+ _(como

exi-bida na Defini¸cão A.1.11). Da´ı, pela Defini¸cão A.1.12 e pelo Teorema de Radon-Nikodým (2.2.1), conclu´ımos que Z gdλ = n X i=1 aiλ(Ei) = n X i=1 ai Z Ei dλ dµdµ = n X i=1 ai Z χEi dλ dµdµ = Z n X i=1 aiχEi ! dλ dµdµ = Z gdλ dµdµ. Sendo assim, este lema é válido para fun¸cões simples em M+.

Vamos agora considerar em geral uma fun¸cão g qualquer em M+. Pelo Lema A.2.4, existe (ϕn)n∈N⊆ M+ sequência de fun¸cões simples crescente tal que lim ϕn= g. Vimos acima que

Z ϕndλ = Z ϕn dλ dµdµ, ∀n ∈ N.

(36)

temos que Z lim ϕndλ = Z lim ϕn dλ dµdµ, j´a que dλ

dµ ≥ 0. Por fim, encontramos Z

gdλ = Z

gdλ dµdµ.

Abaixo, iremos demonstrar que a “regra da cadeia”para a derivada de Radon-Nikodým. Teorema 2.2.2. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável e λ, γ e µ medidas σ-finitas definidas em ð. Se γ é absolutamente cont´ınua com respeito a λ e λ é absolutamente cont´ınua com respeito a µ, então dγ dµ = dγ dλ dλ

dµ, µ quase toda parte de X.

Demonstra¸cão. Vejamos, a priori, que γ é absolutamente cont´ınua com respeito a µ. Com efeito, considere que µ(E) = 0. Assim, tem-se, por hipótese, que λ(E) = 0 (λ é absolutamente cont´ınua com respeito a µ). Consequentemente, γ(E) = 0 (γ é absolutamnete cont´ınua com respeito a λ). Isto prova o desejado. Logo, pelo Teorema de Radon-Nikoým 2.2.1 e Lema 2.2.2, temos que

Z dγ dµdµ = γ(X) = Z dγ dλ dλ dµdµ.

Usando, agora, a unicidade Teorema de Radon-Niko´ym 2.2.1, conlcu´ımos que dγ

dµ = dγ dλ

dλ

A seguir, provaremos a propriedade elementar que informa que a derivada de Radon-Nikodým d e uma soma é a soma das derivadas de Radon-Nikodým.

(37)

ð, tais que λ1 e λ2 s˜ao absolutamente cont´ınuas com respeito a µ. Ent˜ao, d dµ(λ1+ λ2) = dλ1 dµ + dλ2

dµ , µ quase toda parte de X.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, vamos mostrar que λ1+ λ2´e absolutamente cont´ınua com respeito

a µ. De fato, se µ(E) = 0, ent˜ao λ1(E) = λ2(E) = 0, desde que λ1 e λ2 s˜ao absolutamente

cont´ınuas com respeito a µ. Consequentemente, (λ1+ λ2)(E) = 0. Donde o resultado segue. Logo,

pelo Teorema de Radon-Niko´ym 2.2.1, chegamos a (λ1+ λ2)(X) =

Z _d

dµ(λ1+ λ2)dµ. Por outro lado,

(λ1+ λ2)(X) = λ1(X) + λ2(X)

Como λ1 e λ2 s˜ao absolutamente cont´ınuas com respeito a µ; ent˜ao, mais uma vez, pelo mesmo

Teorema de Radon-Nikod´ym 2.2.1, inferimos que λ1(X) = Z dλ1 dµ e λ2(X) = Z dλ2 dµ . Portanto, Z d dµ(λ1+ λ2)dµ = Z dλ1 dµdµ + Z dλ2 dµ dµ = Z dλ1 dµ + dλ2 dµ dµ. Deste modo, pela unicidade do Teorema de Radon-Nikod´ym 2.2.1, inferimos que

d

dµ(λ1+ λ2) = dλ1

dµ + dλ2

Agora, estamos prontos para provar um resultado semelhante ao Teorema da Fun¸c˜ao Inversa de An´alise.

Teorema 2.2.4. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável e λ e µ medidas σ-finitas definidas em ð, tais que λ é absolutamente con´ınua com respeito a µ e µ é absolutamente cont´ınua com respeito a λ. Então, dλ dµ = dµ dλ −1

(38)

Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 2.2.3 e nossas hip´oteses, podemos escrever dµ dµ = dµ dλ dλ

dµ, µ quase toda parte de X. ´

E f´acil ver que que dµ

dµ = 1, µ quase toda parte de X. Com efeito, pelo Teorema de Radon-Nikod´ym 2.2.1, chegamos a

Z _dµ

dµdµ = µ(X) = Z

dµ.

Consequentemente, pela unicidade do Teorema de Radon-Nikod´ym 2.2.1, inferimos dµ

dµ = 1, µ quase toda parte de X. Logo,

1 = dµ dλ

dλ

dµ, µ quase toda parte de X. Assim, este resultado segue.

(39)

Cap´ıtulo 3

Decomposi¸

c˜

ao de Lebesgue

Neste cap´ıtulo, definiremos o significado de cargas singulares e mostraremos como decompor uma medida como soma ´unica de duas medidas, sob certas condi¸c˜oes.

3.1 Aplica¸

c˜

ao do Teorema de Radon-Nikod´

ym

Nesta se¸cão, demonstraremos o Teorema da Decomposi¸cão de Lebesgue para cargas, através da aplica¸cão do Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1. Para este fim, come¸caremos com a defini¸cão de cargas singulares.

Defini¸cão 3.1.1. Seja (X, ð) um espa¸co mensurável. Sejam λ e µ cargas sobre ð. Dizemos que λ e µ são singulares se existem A, B ∈ ð tais que

X = A ∪ B, A ∩ B = ∅ e |λ|(A) = |µ|(B) = 0. Neste caso, escrevemos λ⊥µ.

Vejamos uma rápida observa¸cão sobre medidas. Observa¸cão 3.1.1. Note que se λ é uma medida, então

0 ≤ λ−(E) = −λ(E ∩ N ) ≤ 0, ∀E ∈ ð,

onde (P |N ) é uma decomposi¸cão de Hahn para X (já que λ ≥ 0 e N é negativo). Da´ı, λ = λ+− λ−= λ+. Consequentemente, |λ| = λ++ λ−= λ.

(40)

Vejamos como relacionar as defini¸c˜oes de medidas σ-finitas, absolutamente cont´ınuas e singula-res.

Teorema 3.1.1 (Teorema da Decomposi¸cão de Lebesgue). Seja (X, ð) um espa¸co mensurável. Sejam λ e µ medidas σ-finitas sobre ð. Então, existem únicas medidas λ1 e λ2 sobre ð tais que

λ = λ1+ λ2, onde λ1 e µ s˜ao singulares e λ2 ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ.

Demonstra¸cão. A priori, note que γ = λ + µ é uma medida σ-finita. De fato, sabemos que a soma de medidas é uma medida; além disso, vimos na prova do Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1 que existe (Xn)n∈N⊆ ð tal que

λ(Xn), µ(Xn) < ∞ e X = ∪n∈NXn, ∀n ∈ N.

Logo, podemos escrever

γ(Xn) = λ(Xn) + µ(Xn) < ∞, ∀n ∈ N.

Consequentemente, γ ´e σ-finita.

Por outro lado, afirmamos que λ e µ s˜ao absolutamente cont´ınuas com respeito a γ. Com efeito, se γ(E) = 0, ent˜ao λ(E) + µ(E) = 0, isto nos diz que λ(E) = 0 e µ(E) = 0, para todo E ∈ ð (pois λ, µ ≥ 0).

Portanto, pelo Teorema de Radon-Nikod´ym 2.2.1, existem f, g ∈ M+ tais que

λ(E) = Z E f dγ e µ(E) = Z E gdγ, ∀E ∈ ð.

Agora, sejam A = {x ∈ X; g(x) = 0} e B = {x ∈ X; g(x) > 0} ∈ ð (lembre que g é mensurável). Como g ≥ 0, então X = A ∪ B. Além disso, A ∩ B = ∅. Caso contrário g(x) = 0 e g(x) > 0, para x ∈ A ∩ B. Em particular, temos que B = C(A).

Agora, defina λ1, λ2 : ð → [0, ∞), por

(41)

´

E sabido que λ1 e λ2 s˜ao medidas. Vamos provar que λ = λ1+ λ2. Sendo assim, ´e verdade que

λ(E) =λ(E ∩ X) = λ(E ∩ (A ∪ C(A)))

=λ((E ∩ A) ∪ (E ∩ C(A)) = λ(E ∩ A) + λ(E ∩ C(A)) =λ(E ∩ A) + λ(E ∩ B) = λ1(E) + λ2(E),

para todo E ∈ ð (desde que (E ∩ A) ∩ (E ∩ C(A)) = ∅). Isto nos diz que λ = λ1+ λ2.

´

E f´acil ver que λ1⊥µ. De fato,

µ(A) = Z

A

gdγ = 0 e λ1(B) = λ(B ∩ A) = λ(∅) = 0,

pois B = C(A). Isto resulta que, λ1⊥µ.

Permita-nos provar que λ2 ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ. Deste modo, assuma

que µ(E) = 0, isto ´e, Z

E

gdγ = 0, ou seja, Z

gχEdγ = 0, ou equivalentemente, gχE = 0 em γ quase

toda parte de X. Ent˜ao, existe C ∈ ð tal que gχE = 0 em C ∈ ð e γ(C(C)) = 0.

Por outro lado, temos que E ∩ B ⊆ C(C). Com efeito,

x ∈ E ∩ B ⇒ x ∈ E e x ∈ B ⇒ x ∈ E e g(x) > 0 ⇒ gχE(x) = g(x) > 0 ⇒ x /∈ C ⇒ x ∈ C(C).

Consequentemente, temos que γ(E ∩ B) ≤ γ(C(C)) = 0 (pois γ é uma medida). Com isso, γ(E ∩ B) = 0. Como λ é absolutamente cont´ınua com respeito a γ, temos que λ(E ∩ B) = 0. Por fim, λ2(E) = λ(E ∩ B) = 0. Sendo assim, µ(E) = 0 ⇒ λ2(E) = 0. Isto nos diz que, λ2 é absolutamente

cont´ınua com respeito a µ.

Vamos agora provar que λ1 e λ2 s˜ao ´unicas, com as propriedades obtidas acima.

Sejam µ1 e µ2 medidas sobre ð tais que

• λ = µ1+ µ2;

• µ₁ ⊥ µ;

• µ₂ ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ.

Com isso, µ1+ µ2= λ = λ1+ λ2. Da´ı, µ1− λ1 = λ2− µ2.

(42)

a µ.

Comecemos verificando que (µ1− λ1) ⊥ µ. Assim sendo, como µ1⊥ µ e λ1 ⊥ µ, ent˜ao existem

A1, B1, A2 e B2 ∈ ð tais que

• X = A1∪ B1= A2∪ B2;

• µ(A₁) = µ1(B1) = µ(A2) = λ1(B2) = 0;

• A₁∩ B₁ = A2∩ B2 = ∅.

Sejam A = A1∪ A2 e B = B1∩ B2∈ ð. Assim, X = A ∪ B. De fato,

x ∈ X ⇒ [ou x ∈ A1 ou x ∈ B1] e [ou x ∈ A2 ou x ∈ B2].

Dessa forma, se x /∈ A = A₁∪ A₂, ent˜ao x /∈ A₁ e x /∈ A₂. Isto nos diz que x ∈ B1 e x ∈ B2, ou

seja, x ∈ B1∩ B2= B. Logo, x ∈ A ∪ B.

Por outro lado, ´e poss´ıvel ver que

A ∩ B = (A1∪ A2) ∩ (B1∩ B2) = (A1∩ B1∩ B2) ∪ (A2∩ B1∩ B2) = ∅;

Al´em disso,

0 ≤ µ(A) = µ(A1∪ A2) ≤ µ(A1) + µ(A2) = 0,

pois µ ´e uma medida (isto garante que µ(A) = 0). E tamb´em, |µ1− λ1|(B) =(µ1− λ1)+(B) + (µ1− λ1)−(B)

=(µ1− λ1)(B ∩ P ) − (µ1− λ1)(B ∩ N )

=µ1(B ∩ P ) − λ1(B ∩ P ) − µ1(B ∩ N ) + λ1(B ∩ N )

=µ1(B1∩ B2∩ P ) − λ1(B1∩ B2∩ P ) − µ1(B1∩ B2∩ N ) + λ1(B1∩ B2∩ N )

=0,

onde (P |N ) é uma decomposi¸cão de Hahn para X (já que B1 ∩ B2∩ P, B1 ∩ B2 ∩ N ⊆ B1, B2,

µ1(B1) = λ1(B2) = 0). Dessa forma, (µ1− λ1)⊥µ.

Agora vamos provar que λ2−µ2´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ. De fato, se µ(E) = 0,

(43)

conseguinte, chegamos a

|λ2− µ2|(E) =(λ2− µ2)+(E) + (λ2− µ2)−(E)

=(λ2− µ2)(E ∩ P ) − (λ2− µ2)(E ∩ N )

=λ2(E ∩ P ) − µ2(E ∩ P ) − λ2(E ∩ N ) + µ2(E ∩ N )

=0,

onde (P |N ) ´e uma decomposi¸c˜ao de Hahn para X (desde que E ∩P, E ∩N ⊆ E, λ2(E) = µ2(E) = 0,

λ2e µ2 s˜ao medidas). Consequentemente, µ1− λ1= λ2− µ2´e absolutamente cont´ınua com respeito

a µ.

Isto nos diz que (µ1− λ1) ⊥ µ e µ1− λ1 ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ. Ent˜ao,

existem A, B ∈ ð tais que

X = A ∪ B, A ∩ B = ∅, µ(A) = 0 e |µ1− λ1|(B) = 0.

Com isso, podemos escrever

(µ1− λ1)+(B) + (µ1− λ1)−(B) = 0.

Deste modo,

0 ≤ (µ1− λ1)+(E ∩ B) ≤ (µ1− λ1)+(B) = 0 ⇒ (µ1− λ1)+(E ∩ B) = 0, ∀E ∈ ð.

E tamb´em,

0 ≤ (µ1− λ1)−(E ∩ B) ≤ (µ1− λ1)−(B) = 0 ⇒ (µ1− λ1)−(E ∩ B) = 0, ∀E ∈ ð,

pois E ∩ B ⊆ B. Dessa forma,

(µ1− λ1)(E ∩ B) = (µ1− λ1)+(E ∩ B) − (µ1− λ1)−(E ∩ B) = 0, ∀E ∈ ð. (3.1)

Por outro lado, como µ1− λ1 ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ, tem-se que

µ(A) = 0 ⇒ µ(E ∩ A) = 0 ⇒ |µ1− λ1|(E ∩ A) = 0,

j´a que E ∩ A ⊆ A. Assim,

(44)

pois (µ1− λ1)+, (µ1− λ1)−≥ 0. Ent˜ao,

(µ1− λ1)(E ∩ A) = (µ1− λ1)+(E ∩ A) − (µ1− λ1)−(E ∩ A) = 0. (3.2)

Por isso, por (3.1) e (3.2), chegamos a

(µ1− λ1)(E) = (µ1− λ1)(E ∩ X)

= (µ1− λ1)(E ∩ (A ∪ B))

= (µ1− λ1)((E ∩ A) ∪ (E ∩ B))

= (µ1− λ1)((E ∩ A)) + (µ1− λ1)((E ∩ B))

= 0,

para todo E ∈ ð (desde que (E ∩ A) ∩ (E ∩ B) = ∅). Consequentemente, λ2− µ2 = µ1− λ1 = 0.

Por fim, µ1 = λ1 e µ2 = λ2.

Vejamos, agora, o que significa a Decomposi¸cão de Lebesgue com respeito a duas medidas. Defini¸cão 3.1.2. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável e λ, µ : ð → R duas medidas. Dizemos que (λ1|λ2), com λ1 e λ2 medidas sobre ð, é a decomposi¸cão de Lebesgue para λ, com respeito a µ, se

i) λ = λ1+ λ2;

ii) λ1⊥ µ;

iii) λ2 ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ.

A seguir, apresentaremos todos os conceitos e resultados preliminares que foram importantes para o desenvolvimento do nosso trabalho.

(45)

Apˆ

endice A

Medida e Integra¸

c˜

ao

A.1 Defini¸

c˜

oes Preliminares

Nesta se¸cão, enunciaremos algumas defini¸cões do curso de Introdu¸cão à Teoria da Medida e Integra¸cão necessárias para a compreensão deste trabalho.

Gostar´ıamos de encorajar o leitor mais interessado em obter mais informa¸cões sobre as afirma¸cões a seguir a realizarem uma pesquisa sobre as referências [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11].

Alguns conceitos e resultados elementares da Análise Real podem ser encontrados em [2, 7]. Defini¸cão A.1.1. Seja X um conjunto não vazio. Dizemos que uma fam´ılia ð de subconjuntos de X é uma σ-álgebra se satisfaz as seguintes condi¸cões:

i) ∅, X ∈ ð;

ii) Se A ∈ ð ent˜ao C(A) := X − A ∈ ð;

iii) Se (An) é uma sequência de elementos de ð, então ∪∞n=1An∈ ð.

O par (X, ð) é denominado espa¸co mensurável e os elementos de ð são chamados de conjuntos mensuráveis (ou ð-mensuráveis).

Um outro conceito relevante para o trabalho é o de fun¸cão mensurável.

(46)

para cada α ∈ R tem-se

{x ∈ X; f (x) > α} ∈ ð.

Um exemplo de fun¸cão mensurável importante que podemos visualizar no trabalho é a fun¸cão caracter´ıstica.

Exemplo A.1.1. Se E ∈ ð, ent˜ao a fun¸c˜ao caracter´ıstica χE, definida por

χ_E(x) = ( 1, se x ∈ E; 0, se x /∈ E, ´ e mensur´avel.

Podemos definir as partes positiva e negativa de uma fun¸c˜ao qualquer.

Defini¸cão A.1.3. Sejam X um conjunto qualquer não vazio e f : X −→ R uma fun¸cão. Definimos as partes positiva e negativa de f , respectivamente, pelas fun¸cões não negativas f+ : X −→ R e f−: X −→ R dadas por

f+(x) = sup{f (x), 0} e f−(x) = sup{−f (x), 0}, ∀x ∈ X.

Apresentaremos, a seguir, a defini¸c˜ao de Reta Estendida para em seguida definirmos medida. Defini¸c˜ao A.1.4. Consideramos como Reta Estendida e denotamos por R o seguinte conjunto:

R = R ∪ {+∞, −∞}.

Agora, estamos aptos a compreender a defini¸c˜ao que segue.

Defini¸cão A.1.5. Uma fun¸cão µ : ð −→ R, onde (X, ð) é um espa¸co mensurável, é dita uma medida se satisfaz as seguintes condi¸cões:

i) µ(∅) = 0;

ii) µ(E) ≥ 0, ∀E ∈ ð;

iii) Se (En) é uma sequência de elementos disjuntos de ð, então

µ (∪∞_n=1En) = ∞

X

n=1

(47)

Aqui (X, ð, µ) ´e dito espa¸co de medida.

Vejamos a defini¸cão de fun¸cão mensurável na Reta Estendida.

Defini¸cão A.1.6. Seja (X, ð) um espa¸co mensurável. Uma fun¸cão f : X −→ R é mensurável se, e somente se,

A = {x ∈ X; f (x) = +∞} e B = {x ∈ X; f (x) = −∞} ∈ ð e a fun¸c˜ao f1: X −→ R, definida por

f1(x) = ( f (x), se x /∈ A ∪ B; 0, se x ∈ A ∪ B, ´ e mensur´avel.

Uma outra defini¸cão importante e recorrente no trabalho é a de “quase toda parte”(q.t.p.). Defini¸cão A.1.7. Seja (X, ð, µ) um espa¸co de medida. Dada uma fun¸cão f : X → R . Dizemos que f possui uma propriedade Z em quase toda parte de X se existe um conjunto N ∈ ð tal que µ(N ) = 0 e f tem a propriedade Z em CN. E escrevemos f tem propriedade Z q.t.p..

Vejamos agora como denotar uma cole¸cão de fun¸cões mensuráveis.

Defini¸cão A.1.8. Dado um espa¸co de medida (X, ð, µ). Denotaremos por M = M (X, ð) a cole¸cão de todas as fun¸cões mensuráveis f : X −→ R, e por M+ = M+(X, ð) o conjunto de todas as fun¸cões mensuráveis não negativas f : X −→ R.

Um outro conceito recorrente durante o trabalho é o de carga, o qual podemos ver a seguir. Defini¸cão A.1.9. Sejam X um conjunto qualquer e ð uma σ-álgebra em X. Uma fun¸cão λ : ð −→ R é dita uma carga caso satisfa¸ca as seguintes condi¸cões:

i) λ assume no m´aximo um dos valores −∞ ou ∞; ii) λ(∅) = 0;

iii) Se (En) é uma sequência de conjuntos disjuntos em ð, então

λ (∪∞_n=1En) = ∞

X

n=1

(48)

Podemos destacar tamb´em as defini¸c˜oes de medida finita e σ-finita.

Defini¸cão A.1.10. Dada uma medida µ, conforme a Defini¸cão A.1.5, dizemos que µ é finita se não assume o valor +∞. Já se existe uma sequência (En) ⊆ ð com

X = ∪n∈NEn e µ(En) < +∞, ∀n ∈ N,

então µ é denominada σ-finita. Este mesmo conceito é válido para o contexto de cargas.

A defini¸cão a seguir nos auxiliará a compreender a defini¸cão de integral.

Defini¸cão A.1.11. Uma fun¸cão f : X −→ R é dita simples se esta assume apenas um número finito de valores em sua imagem. Se f for mensurável, então esta pode ser representada da seguinte maneira: f = n X j=1 ajχ_Ej, (A.1)

onde cada aj ∈ R e χ_Ej ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica do conjunto Ej ∈ ð.

Agora que definimos uma fun¸cão simples, estamos aptos a compreender a defini¸cão de integral. Defini¸cão A.1.12. Seja ϕ uma fun¸cão mensurável simples em M+(X, ð), com a representa¸cão padrão (A.1). Definimos a integral de ϕ com rela¸cão a µ por

Z ϕ dµ = n X j=1 ajµ(Ej).

Podemos definir a integral de fun¸c˜oes n˜ao negativas.

Defini¸c˜ao A.1.13. Seja f ∈ M+. Definimos a integral de f com rela¸c˜ao a µ por Z

f dµ = sup Z

ϕ dµ,

onde o supremo é considerado sobre todas as fun¸cões simples mensuráveis ϕ ∈ M+ tais que 0 ≤ ϕ(x) ≤ f (x), para todo x ∈ X. Além disso, se E ⊂ X é mensurável, então f χE ∈ M+ e definimos

a integral de f sobre E com rela¸c˜ao a µ por Z

E

f dµ = Z

f χE dµ.

(49)

Defini¸cão A.1.14. A cole¸cão de fun¸cões integráveis L = L(X, ð, µ) consiste de todas as fun¸cões mensuráveis f : X −→ R, tais que as partes positiva f+ e negativa f− de f tem integrais finitas com rela¸cão a µ. Neste caso, definimos a integral de f com rela¸cão a µ por

Z f dµ = Z f+dµ − Z f−dµ. Se E ∈ ð, definimos Z E f dµ = Z E f+dµ − Z E f−dµ.

Precisamos compreender a defini¸c˜ao dos espa¸cos Lp_.

Defini¸c˜ao A.1.15. Seja (X, ð, µ) um espa¸co de medida. Seja p ∈ R, com 1 ≤ p ≤ ∞. Definimos o espa¸co Lp por

Lp = Lp(X, ð, µ) = {f : X −→ R; f ´e mensur´avel e kf kp < ∞}.

Aqui, para 1 ≤ p < ∞, temos

kf k_Lp = kf k_p= Z |f |pdµ 1 p . Para p = ∞, estabelecemos a seguinte igualdade:

kf kL∞ = kf k_∞= inf{a ≥ 0; µ({x; |f (x)| > a}) = 0},

onde esta norma ´e denominada supremo essencial de f e `as vezes a representamos por kf kL∞ = kf k_∞= supess_x∈X{|f (x)|}.

Vejamos o significado de uma sequˆencia convergir em Lp.

Defini¸c˜ao A.1.16. Sejam (fn)n∈N⊆ Lp, com 1 ≤ p ≤ ∞. Dizemos que (fn)n∈N´e convergente para

f ∈ Lp, se dado > 0, existe n0 ∈ N tal que

kfn− f kp< , ∀n ≥ n0.

Neste caso, escrevemos

lim

n→∞kfn− f kp= 0.

(50)

Defini¸c˜ao A.1.17. Sejam (fn)n∈N ⊆ Lp, com 1 ≤ p ≤ ∞. Dizemos que (fn)n∈N ´e de Cauchy se

dado > 0, existe n0∈ N tal que

kf_n− f_mk_p < , ∀n, m ≥ n₀.

A.2 Resultados Preliminares

Nesta se¸cão, apresentaremos os principais teoremas, proposi¸cões e lemas utilizados no decorrer do trabalho que diz respeito ao curso de Introdu¸cão à Teoria da Medida e Integra¸cão.

Gostar´ıamos de encorajar o leitor interessado em obter as demosntra¸c˜oes dos resultados a seguir a realizarem uma pesquisa sobre as referˆencias [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11].

Proposi¸cão A.2.1. Se (An) é uma sequência de elementos de ð, então ∩n=1∞ An∈ ð e ∩n_j=1Aj ∈ ð.

A seguir, apresentaremos um resultado que nos mostra que a defini¸cão de fun¸cão mensurável pode ser estabelecida de outras maneiras.

Lema A.2.1. Dada um fun¸cão f : X −→ R, onde (X, ð) é um espa¸co mensurável. As afirma¸cões a seguir são equivalentes:

i) {x ∈ X; f (x) > α} ∈ ð, para cada α ∈ R; ii) {x ∈ X; f (x) ≤ α} ∈ ð, para cada α ∈ R; iii) {x ∈ X; f (x) ≥ α} ∈ ð, para cada α ∈ R; iv) {x ∈ X; f (x) < α} ∈ ð, para cada α ∈ R.

Vejamos algumas propriedades envolvendo uma fun¸cão e suas partes positiva e negativa. Proposi¸cão A.2.2. Dada uma fun¸cão f : X −→ R. São válidos:

i) f = f+− f−; ii) |f | = f++ f−; iii) f+= 1₂(|f | + f ); iv) f−= 1₂(|f | − f ).

(51)

Vejamos, agora um lema que nos mostra que podemos combinar fun¸c˜oes mensur´aveis e ainda garantir tal propriedade.

Lema A.2.2. Seja X um espa¸co mensurável. Se f, g : X −→ R são fun¸cões mensuráveis e c ∈ R, então as fun¸cões

cf, f2 := f · f, f + g, f g, |f |, s˜ao mensur´aveis.

O lema a seguir trata sobre sequˆencias em espa¸cos mensur´aveis.

Lema A.2.3. Seja (fn)n∈N uma sequˆencia em M (X, ð). Defina as seguintes fun¸c˜oes

f = inf n∈Nfn, F = sup_n∈Nfn, f∗ = lim inf n→∞ fn, F ∗ _{= lim sup} n→∞ fn.

Ent˜ao, f, F, f∗ e F∗ pertencem a M (X, ð).

Veremos abaixo um resultado de densidade envolvendo fun¸c˜oes simples.

Lema A.2.4. Sejam (X, ð) um espa¸co mensurável e f é uma fun¸cão em M+(X, ð), então existe uma sequência (ϕn)n∈N⊆ M+(X, ð) tal que

i) ϕn≤ ϕn+1, para todo n ∈ N;

ii) ϕn ´e simples, para todo n ∈ N;

iii) f = lim ϕn.

O resultado a seguir nos ensina como calcular a medida de uma união e uma interse¸cão de conjuntos mensuráveis que estabelecem sequências monótonas.

Lema A.2.5. Seja µ uma medida definida em uma σ-álgebra ð. As afirma¸cões a seguir são verdadeiras:

i) Se (En) ´e uma sequˆencia crescente em ð, tem-se que

(52)

ii) Se (Fn) é uma sequência decrescente em ð e µ(F1) < +∞, obtém-se que

µ (∩∞_n=1Fn) = lim µ(Fn).

Estes resultados s˜ao v´alidos no contexto de cargas.

Vejamos uma maneira simples de obter uma medida.

Proposi¸cão A.2.3. Seja (X, ð) um espa¸co mensurável. Seja λ uma medida definida sobre ð e A um conjunto fixo em ð. Então, a fun¸cão λ1: ð → R, definida por

λ1(E) = λ(E ∩ A), ∀E ∈ ð,

´

e uma medida.

Vejamos como lidar com a medida da diferen¸ca ente dois conjuntos.

Lema A.2.6. Seja µ uma medida. Se E, F ∈ ð e E ⊆ F , ent˜ao µ(E) ≤ µ(F ). Se µ(E) < +∞, ent˜ao

µ(F \ E) = µ(F ) − µ(E). A igualdade acima também é válida para cargas.

Vejamos o que obtemos ao combinar medidas.

Proposi¸c˜ao A.2.4. Dadas λ e ϕ medidas em X, tem-se que:

i) λ + ϕ ´e uma medida; ii) λ − ϕ ´e uma carga.

Após vermos alguns resultados sobre medidas, vejamos o que diz respeito à cargas. O exemplo abaixo nos traz um exemplo de tal e uma defini¸cão alternativa para integral.

Exemplo A.2.1. Seja f ∈ L. Ent˜ao, a aplica¸c˜ao λ : ð −→ R E −→ λ(E) = Z E f dµ ´