Lista 8
1. Considere um oscilador harmonico tridimencional com o potencial, V = m 2 ! 2 xx 2+ !2 yy 2+ !2 zz 2 ;
onde !x, !y e !z representam as frequências deste oscilador (clássico)
nas direções, x, y e z, respectivamente. (a) Escrevendo
(x; y; z) hx; y; zj i:
resolve a Equação de Schrödinger independente no tempo ~2 2mr 2+m 2 ! 2 xx 2+ !2 yy 2+ !2 zz 2 E(x; y; z) = E E(x; y; z) ; (1) com método de separação de variáveis em x; y e z e obtenha os autovalores do Hamiltoniano.
(b) Dependendo dos valores de frequência !x, !y e !z; o espectro de
energia apresenta degenerescência. Em que situações? Classi…que. (c) Em que situação que apresenta a degenerescência maior?
2. Consideramos dois operadores unitários U1 e U2: Se U1 e U2 não
co-mutam, mas o Hamiltoniano do sistema H comutam com ambos os operadores,
[U1; U2]6= 0;
[H; U1] = 0;
[H; U2] = 0:
Prove que, nesta situação, deve existir a degenerescência no espectro do H.
3. Introduzindo o sistema de coordenadas esféricas,
x = r sin cos ; (2)
y = r sin sin ; (3)
(a) Prove que r2 = 1 r2 @ @rr 2 @ @r + 1 r2sin @ @ sin @ @ + 1 r2sin2 @2 @ 2: (5)
(b) De…nindo operador de momento angular, ^
L = ^r P ;^ (6)
expresse ^L em termos de coordenadas esféricas, Lx = ~ i sin @ @ + cos cot @ @ ; (7) Ly = ~ i cos @ @ sin cot @ @ ; (8) Lz = ~ i @ @ : (9) (c) Calcule ^ L2 (10)
diretamente usando o resultado do item acima, e confere que ^ L2 = ~2 1 sin @ @ sin @ @ + 1 sin2 @2 @ 2 : (11)
(d) Para um sistema que possui simetria esférica,
H = ~
2
2mr
2+ V (r) ; (12)
onde o potencial é função de r apenas, demostre que a Equação de Schrödinger independente no tempo pode ser separada em var-iáveis radial e angulares,
(r; ; ) = R (r) Y ( ; ) ; (13) e obtenha as equações para R (r) e Y ( ; ) :
4. Consideramos a transformação de variáveis,
x = x (u1; u2; u3) ; (14)
y = y (u1; u2; u3) ; (15)
z = z (u1; u2; u3) : (16)
Para pequena variações de variáveis uis, a variação do vetor de posição
~rpode ser escrito
d~r = du1 h1~e1+ du2 h2~e2+ du3 h3~e3; (17) onde ~ei = 1 hi d~r dui ; (18) com hi = d~r dui : (19)
Um sistema de coordenadas (u1; u2; u3) é dito sistema de coordenadas
ortogonais, quando satisfaz
(~ei ~ej) = ij:
(a) De…nindo os tres vetores,
d~ri = dui ~i
= dui hi~ei:
expresse o volume dV do paralelepipedo reto-retangulo (bloco re-tangular) formado dos tres vetores
d~r1; d~r2; d~r3 (20)
em termos de his e duis: No caso (r; ; ) ; mostre que
dV = r2sin drd d : (b) Mostre que podemos escrever em geral
dV = J du1du2du3; (21)
(c) Demonstre que os vetores normais dos elementos de superfícies do paralelopípedo …ca d~ij = ijk hihj hk d~rk; (22)
onde ijk é o símbolo de Levi-Civita.
5. De…nindo
J = 0 @
@r=@x @ =@x @ =@x @r=@y @ =@y @ =@y @ =@z @ =@z @ =@z
1 A
(a) Exlicite J em função de (r; ; ) (b) Calcule o inverso J 1 = 0 @ @x=@r @y=@r @z=@r @x=@ @y=@ @z=@ @r=@ @y=@ @z=@ 1 A : (23)
6. Veri…que que o operador
pr =
1
r(~r ~p) ; (24)
não é hermitiano no espaço radial, onde o produto escalar entre duas funções radiais f (r) e g (f ) é de…nido como
(f; g) = 4 Z 1
0
r2dr f (r) g(r):
7. Mostre que o operador de…nido como Pr = ~ i 1 2 ~r r r + r ~r r : (25)
é hermitiano. Veri…que que
Pr =
1 r
d
8. Calcule os comutadores [Li; Lj] ; (i; j) = (x; y; z) ; (27) [r; Li] ; [Pr; Li] ; i = x; y; z h ~ L2; Li i ; i = x; y; z:
9. Consideramos o problema de autovalor do momento angular. Temos 1 sin @ @ sin @ @ + 1 sin2 @2 @ 2 Y ( ; ) = Y ( ; ) ; (28)
(a) Fazendo a separação de variáveis,
Y ( ; ) = ( ) ( ) ; obtenha as equações para ( ) e ( ).
(b) Obtenha ( ) e determine os autovalores m para Lz:
(c) Introduzindo a nova variável,
x = cos ;
re-escreva a equação de autovalor da função : (d) Para o caso m = 0; escrevendo em série,
0 = 1
X
n=0
Cnxn: (29)
obtenha a fórmula de recorrência para Cn.
(e) Conclua que a série deve terminar com termo …nito, e partindo com isso, obtenha o autovalor :
(f) Da questão acima, temos = ` (` + 1) com ` inteiros não nega-tivos. Denontamos
0
=`(`+1)(x) = P`(x) ;
onde P`(x)é polinômio de ordem `: Argumente que
Z 1 1
P`(x) P`0(x) dx/ ``0 (30)
e com isso podemos identi…car P`(x)como os polinômios de
(g) A partir de fórmula da recorrência para Cn; prove que
1 x2 dP`
dx = ` xP`+ `P` 1; (31) (` + 1) P`+1 = (2` + 1) xP` `P` 1: (32)
(h) Mostre que a função de geratriz de polinômios de Legendre é dada por 1 X `=0 P`(x) s` F (x; s) = p 1 1 2xs + s2: (33)
10. Introduzindo as seguitnes combinações lineares,
L+1 = Lx+ iLy ; L0 = Lz; L 1 = (L )y = Lx iLy; (34) mostre que [L+1; L 1] = 2L0; (35) [L 1; L0] = L ; (36) h ~ L2; Li i = 0; i = 1; 0 (37)
11. Como os L’s não comutam entre si, não podemos construir autovetor si-multaneo para todo mundo, mas pelo menos para um deles. Escolhendo L0. L0 comuta com ~L2, podemos considerar um autovetor simultâneo
dos dois, j ; i;
~
L2j ; i = j ; i; (38)
L0j ; i = j ; i: (39)
Aqui, assumimos que o autovetor é normalizado,
h ; j ; i = 1: (40)
(a) Prove que estes autovalores devem satisfazer a desigualdade,
2: (41)
ou
(b) Mostre que
L0L 1j ; i = ( 1) L 1j ; i: (43)
(c) Extrai as consequências mais geral da equação acima.
(d) Conclua que devem existir o valor máximo max e o valor mínimo min de tal que
L+1j ; maxi = 0; (44)
L 1j ; mini = 0: (45)
(e) Mostre que ~L2 pode ser escrito como
~ L2 = L20+ L+1L 1 L0; (46) ou ~ L2 = L20+ L 1L+1+ L0: (47) (f) Mostre que = min2 min; (48) = max2 + max: (49) (g) Prove que min= max; (h) Prove que 2 max = N;
onde N é um inteiro. Escrevendo j = N=2; temos
= j (j + 1) : (50)
(i) Quantos diferentes valores de existem para um dado j? (j) Denotamos os autovetores como
~
L2jj; mi = j(j + 1)jj; mi; (51) Lzjj; mi = mjj; mi; (52)
com j m j, onde j é um número inteiro, ou semi-inteiro. Escrevendo
L+jj; mi = N +jj; m + 1i; (53)
L jj; mi = N jj; m 1i: (54) determine as constantes de normalização N :
12. Podemos decompondo a base de coordenada fjrig em parte radial e angular, jri = jri j ~ i; onde jri é o autoestado de coordenada radial r, e j ~ i = j ; i é o autoestado de coordenada angular, ~ = ( ; ). Aqui a base dos estados angulares j > satisfaz as propriedades,
Z
d ~j ~ ih ~ j = 1 (56)
onde 1 representa a identidade no subespaçonj ~ iocom a medida de
integral. Z d ~ = Z 0 sin d Z 2 0 d : (57)
ou seja, o produto escalar das funções de ondas ( ) = h~ j i e ( ) = h~ j i é de…nido por
h j i = Z
d ~ ( ) ( ) : (58)
(a) Mostre que a ortogonalidade pode ser expressa como
h ~0j ~ i = 2( ~ ~0) = (cos cos 0) ( 0): (59) (b) Identi…cando
Yjm( ; ) =h~ jj; mi; (60)
mostre que Z
d ~ Y`0m( ~ )Y`m( ~ ) = ``0 mm0: (61)
(c) Mostre que vale a relação de completeza para um dado `
`
X
m= `
j`; mih`; mj = 1` (62)
onde 1`é o operador de identidade no espaço de ` …xo. Este espaço
tem a dimensão (2` + 1) (2` + 1). (d) Mostre que ` X m= ` Y`m( 0)Y`m( ) = (cos cos 0) ( 0): (63)
(e) Mostre que 1 i @ @ Y`;m( ; ) = mY`;m( ; ); (64) i @ @ cot @ @ Y`;`( ; ) = 0: (65) Y`;m 1( ; ) = 1 p (` + m)(` m + 1)e i @ @ + i cot @ @ Y`;m( ; ): (66) (f) Mostre que podemos escrever
Y`m( ; ) = m` ( ) eim : (67) (g) Mostre que Y`;` = 1 N` ei` sin`( ) : com 1 N` = ( 1)` r 2` + 1 4 p (2`)! 2``! ;
fora o fator ( 1)` que foi escolhido pela conveniência. (h) Mostre que @ @ + m cot Y`;m( ; ) = 1 sinm @ @ sin m Y `;m( ; ); e portanto temos Y`;m 1( ; ) = 1 p (` + m)(` m + 1)e i 1 sinm @ @ sin m Y`;m( ):
(i) Mostre que para m 0,
Y`;m(x; ) = 1 2``! s (2` + 1) 4 (` + m)! (` m)!e im 1 (1 x2)m=2 d dx ` m 1 x2 2` com x = cos :
(j) Mostre que para m < 0, podemos de…nir
Y`;m( ; ) = ( )jmjY`;jmj( ; ): (68)
13. Mostre que a função de onda de uma partícula livre pode ser escrita como E(r; ; ) = 1 X `=0 ` X m= ` `mj`(kr) Y`m( ; ) : (69)
14. No caso de E(r; ; )é a onda na direção z;
E(r; ; )! eikr cos (70)
(a) argumente que a somatório em m não deve existir, e podemos escrever eikr cos = 1 X `=0 `j`(kr) r 2` + 1 4 P`(cos ) : (71) (b) Determine `:
15. Considere o poço de potencial esférico. V (~r) = V (r) = V0;
0;
0 r < a r a:
(a) Deduza a equação para a função de onda radial R`(r) com o
mo-mento angular `:
(b) Mostre que a solução interna do potencial é
R`(r) = Aj`(kr) ; (72) onde k = r 2m ~2 (V0+ E):
(c) Analize o comportamento da R`(r)fora do potencial quando E <
0e determina a solução.
(d) Obtenha a condição de ter um estado ligado e determine gra…ca-mente os autovalores da energia para ` = 0 (estadof de onda s). Qual é a condição para a qual não exista nenhum estado ligado? E para existir apenas duas estados ligados?
