Analise de estabilidade e realimentação de estado de sistemas dinamicos politopicos via multiplicadores

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DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E CONTROLE DEENERGIA

Análise de estabilidade e realimentação de

estado de sistemas dinˆamicos polit´opicos via

multiplicadores

Rubens Hideo Korogui

Engenheiro Eletricista — FEEC/UNICAMP(2005)

Dissertação apresentada na Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Universidade Estadual de Campinas, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Elétrica.

em 28 de abril de 2006 perante a banca examinadora:

Jos´e Cl´audio Geromel

Orientador

Jos´e Jaime da Cruz

-

EPUSP

Jo˜ao Bosco Ribeiro do Val

-

FEEC - Unicamp

Wagner Caradori do Amaral

-

FEEC - Unicamp

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Korogui, Rubens Hideo

K844a Análise de estabilidade e realimentação de estado de sistemas dinâmicos politópicos via multiplicadores / Rubens Hideo Korogui. –Campinas. SP: [s.n.]. 2006.

Orientador: Jos´e Cl´audio Geromel

Dissertação (Mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

1. Sistemas lineares. 2. Teoria do controle. 3. Sistemas de controle por realimentação. I. Geromel, José Cláudio. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de

Engenharia Elétrica e de Computação. III. T´ıtulo

T´ıtulo em Inglˆes: Stability analysis and state feedback design of polytopic dynamic systems via multipliers

Palavras-chave em Inglˆes: Linear systems, Control theory, Feedback control systems ´

Area de concentração: Automação

Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica

Banca Examinadora: Jos´e Jaime da Cruz, Jo˜ao Bosco Ribeiro do Val, Wagner Caradori do Amaral

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Resumo

Esta dissertação é dedicada ao estudo de métodos de análise e s´ıntese de contro-ladores para sistemas politópicos, tendo como ferramentas principais as desigual-dades matriciais lineares (LMIs) e o emprego de variáveis adicionais, chamadas multiplicadores ou matrizes de escalamento. Desenvolvemos os conceitos rela-cionados à análise de sistemas dinâmicos empregando multiplicadores, com os quais obtemos condições suficientes de estabilidade e desempenho robustos. As-sociado a essa perspectiva, introduzimos funções de Lyapunov dependentes de parâmetros para tratar de sistemas politópicos. De posse dos resultados de análise, propomos condições para o projeto de controladores por realimentação de estado, através de uma parametrização convexa. O texto é ilustrado com exemplos e tabelas.

Palavras chave: sistemas lineares, estabilidade robusta, multiplicadores, func¸˜oes

de Lyapunov dependente de parâmetros, realimentação de estado.

Abstract

This thesis is devoted to analysis and controllers design for polytopic systems in the Linear Matrix Inequalities (LMIs) and Multipliers framework. We develop concepts related to the analysis of dynamic systems stability in terms of multipli-ers, so we are able to provide sufficient conditions for robust stability and perfor-mance. Moreover, we introduce parameter dependent Lyapunov functions in order to deal with polytopic systems. Based on the analysis results, we propose condi-tions for state feedback design using a convex parametrization. Throughout the text several examples and tables illustrate the development.

Keywords: linear systems, robust stability, multipliers, parameter dependent

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Agradecimentos

Nestas breves linhas gostaria de expressar minha gratidão a pessoas que foram importantes, cada um à sua maneira, durante a elaboração deste trabalho. Partic-ularmente, agradeço ao meu orientador, José C. Geromel, pela paciência e entu-siasmo com os quais me orientou durante esses 3 anos de convivência, desde a graduação. E aproveito para dizer também que sem sua brilhante atuação como mestre esta dissertação não teria atingido o resultados presentes no texto deste documento.

Não poderia deixar de agradecer à minha fam´ılia, que sempre me apoiou du-rante meus estudos, mesmo parecendo inintelig´ıveis os assuntos dos quais eu tratava. Um grande abraço aos meus pais e à minha irmã.

Claro que também não esqueceria dos meus colegas e amigos que me aturam desde o in´ıcio da graduação. Para que ninguém se sinta exclu´ıdo por eu ter es-quecido de mencionar algum nome, eu simplesmente deixo um abraço coletivo ao pessoal do ”Clube dos 13”, do DSCE, do DT, do DENSIS e do Fretado de Jundia´ı! Mas em especial, eu gostaria de agradecer ao Rafael de Castro Duarte Martins e ao André Ricardo Fioravanti pelas cr´ıticas e sugestões durante a elaboração desta dissertação.

Finalmente, gostaria de agradecer à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - FAPESP - por financiar meus estudos, desde a graduação, culmi-nando com este trabalho.

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Lista de Exemplos vi

Lista de Figuras vii

Lista de Tabelas viii

1 Introdução e notação 1

1.1 Lista de S´ımbolos . . . 3

2 Conceitos fundamentais em an´alise de sistemas dinˆamicos 4 2.1 Sistemas a tempo cont´ınuo . . . 4

2.1.1 Estabilidade . . . 5

2.1.2 Estudo da estabilidade utilizando multiplicadores . . . 6

2.1.3 Função de Lyapunov dependente de parâmetros . . . 10

2.1.4 Crit´erios de desempenho . . . 12

2.1.5 Multiplicadores e norma H_∞ . . . 18

2.2 Sistemas a tempo discreto . . . 18

2.2.1 Estabilidade . . . 19

2.2.2 Estudo da estabilidade utilizando multiplicadores . . . 20

2.2.3 Função de Lyapunov dependente de parâmetros . . . 21

2.2.4 Crit´erios de desempenho . . . 22

2.2.5 Multiplicadores e norma H_∞ . . . 26

2.3 Considerac¸˜oes finais . . . 26

3 An´alise de estabilidade de sistemas polit´opicos 27 3.1 Sistemas a tempo cont´ınuo . . . 30

3.1.1 Exemplos . . . 34

3.2 Sistemas a tempo discreto . . . 36 iv

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3.2.1 Exemplos . . . 39

4 Desempenho robusto e realimentac¸˜ao de estado 42 4.1 Sistemas a tempo cont´ınuo . . . 42

4.1.1 Desempenho robusto . . . 42

4.1.2 Realimentac¸˜ao de estado . . . 47

4.2.1 Desempenho robusto . . . 48

4.2.2 Realimentac¸˜ao de estado . . . 52

5 Realimentação de estado em sistemas politópicos 54 5.1 Sistemas a tempo cont´ınuo . . . 55

5.1.1 Exemplo . . . 58

5.2.1 Exemplo . . . 61

6 Conclusões e perspectivas 64 Referências Bibliográficas 66 A Resultados auxiliares 69 A.1 Complemento de Schur . . . 69

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2.1 Representac¸˜ao de estado para um sistema massa-mola . . . 7

3.1 Sistema massa-mola polit´opico . . . 27

3.2 An´alise de estabilidade de um sistema a tempo cont´ınuo . . . 34

3.5 An´alise de estabilidade de um sistema a tempo discreto . . . 39

3.6 An´alise de estabilidade de um sistema a tempo discreto . . . 40

5.1 Realimentac¸˜ao de estado em norma H2para sistemas a tempo cont´ınuo . . . 58

5.2 Realimentac¸˜ao de estado em norma H_∞para sistemas a tempo discreto . . . 61

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2.1 Estrutura do sistema com incertezas . . . 6

2.2 Sistema massa-mola . . . 7

5.1 Custo garantido H2em função do parâmetro de projetoα. . . 59

5.2 Custo garantido H_∞em func¸˜ao de_|σ_|max para o exemplo 5.2 . . . 62

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3.1 Raio de factibilidade para o exemplo 3.2 . . . 35

3.2 Raio de factibilidade para o exemplo 3.3 . . . 35

3.3 Limites de estabilidade para o exemplo 3.4 . . . 36

3.4 Limites de estabilidade para o Exemplo 3.5 . . . 40

3.5 Raio de factibilidade para o Exemplo 3.6 . . . 41

5.1 Limites de estabilidade para o Exemplo 5.1 . . . 59

5.2 Limites de estabilidade para o exemplo 5.2 . . . 61

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Introdução e notação

Em diversas situações de projeto em engenharia devemos garantir que um dado um sistema f´ısico apresente um determinado desempenho, ou queremos estimar uma grandeza não pass´ıvel de mensu-ração. Para atingir esses objetivos, necessitamos de um modelo matemático para o sistema com o qual trabalhamos antes de qualquer outro passo. Na maioria dos problemas, infelizmente, não temos total precisão sobre os valores dos parâmetros utilizados nos modelos matemáticos, ou ainda, estes parâmetros podem variar com o tempo.

Por esse motivo, a robustez de sistemas dinâmicos sujeitos a incertezas paramétricas é um dos principais objetivos nos projetos de sistemas de controle e de filtros [6, 7], o que só é tang´ıvel através da realimentação. Dentre as técnicas empregadas nos procedimentos de análise e s´ıntese robustas, durante as últimas décadas, vimos crescer o enfoque dado à utilização de programação convexa para resolver esses problemas.

Nesse contexto, a teoria de estabilidade formulada pelo matemático russo A. M. Lyapunov foi crucial para transportarmos as condições de estabilidade de sistemas dinâmicos para uma formulação em termos de desigualdades matriciais lineares [3]. Um dos primeiros resultados desse estudo foi a introdução do conceito de estabilidade quadrática, através do qual analisa-se a estabilidade de um poli-topo convexo de matrizes via uma função de Lyapunov independente de parâmetros. Posteriormente, para diminuir o conservadorismo presente na formulação quadrática, passou-se a permitir a formulação dos problemas através de funções de Lyapunov dependentes dos parâmetros incertos. Sob este aspecto, vários textos da literatura tratam da análise de estabilidade de sistemas dinâmicos sujeitos a incertezas paramétricas [11, 16, 19, 23], tendo em vista o projeto de filtros [6, 15] e controladores [6].

Dando um passo adiante, uma proposta recente de reduzir ainda mais o conservadorismo na resolu-ção dos problemas de robustez envolve a inclusão de variáveis extras, que introduzem novos graus de liberdade. Essas variáveis são denominadas na literatura de multiplicadores ou matrizes de escalamento e sua função é descrever o conjunto das incertezas paramétricas do problema e como elas afetam o

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modelo do sistema em estudo. O ponto fundamental é que quanto mais precisa for a caracterização das incertezas paramétricas de um determinado sistema, mais adequada é a caracterização da estabilidade desse sistema, via multiplicadores [12].

Dentre as possibilidades de caracterizarmos as incertezas nos modelos dinâmicos, a maneira mais usual é estabelecer um limitante superior para a sua norma [6]. Porém, trabalhos publicados recente-mente, como por exemplo [11, 12, 19, 23], caracterizam as incertezas em termos de multiplicadores. Essa técnica permite tratar tanto incertezas restritas em norma, como também incertezas politópicas, de acordo com uma escolha adequada para a estrutura do multiplicador.

Em vista dos aspectos anteriormente apresentados, esta dissertação tem como objetivo estudar es-tabilidade robusta de sistemas dinâmicos politópicos lançando mão de multiplicadores, com o intuito de gerar restrições de estabilidade mais flex´ıveis e aplicar esses resultados na etapa de projeto de con-troladores via realimentação de estado. A seguir, apresentamos como este trabalho está organizado.

No Cap´ıtulo 2 introduzimos conceitos relativos à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos a tempo cont´ınuo e a tempo discreto, tendo como ponto de partida a teoria clássica de Lyapunov. Adotamos, então duas estruturas de funções de Lyapunov: a primeira corresponde à definição clássica utilizada na caracterização de estabilidade de sistemas lineares, ao passo que a segunda estrutura é a nossa proposta de emprego de uma função de Lyapunov aumentada, que envolva na sua definição as incertezas paramétricas do modelo. Em seguida, estendemos as condições de estabilidade para sistemas dinâmicos utilizando os multiplicadores na caracterização das incertezas paramétricas do problema. Por fim, definimos os critérios de desempenho em norma H2e H∞para sistemas a tempo cont´ınuo e a

tempo discreto, no contexto de programação convexa, que são utilizados na fase de projeto. Também mostramos que as condições de estabilidade escritas através dos multiplicadores contém toda a teoria

H_∞, tanto no contexto de sistemas a tempo cont´ınuo como no contexto de sistemas a tempo discretos. Em seguida, no Cap´ıtulo 3, caracterizamos sistemas dinâmicos politópicos e estendemos as con-dições de estabilidade desenvolvidas para sistemas lineares e invariantes no tempo (do inglês LTI) para este novo contexto. Apresentamos alguns exemplos tanto no contexto de sistemas a tempo cont´ınuo quanto no contexto de sistemas a tempo discreto para ilustrar os resultados obtidos neste trabalho.

No Cap´ıtulo 4 tratamos do projeto de controladores via realimentação de estado para sistemas LTI, a partir dos conceitos de custo garantido e desempenho robusto, para, no cap´ıtulo 5, estudarmos as condições de estabilidade na realimentação de estado de sistema politópicos, empregando as condições de estabilidade e robustez desenvolvidas no cap´ıtulo 3 e utilizando uma parametrização do ganho de realimentação de estado independente da matriz que define função de Lyapunov utilizada.

Neste trabalho adotamos a notação padrão da literatura: letras maiúsculas representam matrizes, letras minúsculas representam vetores e letras gregas minúsculas denotam escalares. A seguir, listamos os s´ımbolos e operadores utilizados ao longo do trabalho, seguidos do respectivo significado.

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1.1 Lista de S´ımbolos

X_{∈ R}n×m matriz pertencente ao conjunto das matrizes reais de dimens˜ao n_{× m.}

(·)′ transposto de_(·).

X−1 inversa da matriz X _{∈ R}n×n.

X_{≥ 0 (X ≤ 0) matriz sim´etrica semidefinida positiva (negativa).} X> 0 (X < 0) matriz sim´etrica definida positiva (negativa).

(∗) elemento simétrico de uma matriz em relação à sua diagonal quando trabalha-mos com um bloco matricial.

h(t), h(k) resposta ao impulso unit´ario para um sistema a tempo cont´ınuo e a tempo dis-creto, respectivamente.

s vari´avel complexa da transformada de Laplace.

ζ vari´avel complexa da transformada Z.

In matriz identidade de dimens˜ao n× n.

tr(X) função traço: soma dos elementos da diagonal da matriz X _{∈ R}n×n.

diag(X,Y ) construção de uma matriz bloco diagonal, em cuja diagonal principal estão as matrizes quadradas X e Y .

fim de prova.

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Conceitos fundamentais em an´alise de

sistemas dinˆamicos

Neste cap´ıtulo apresentamos conceitos relativos à análise de sistemas dinâmicos, com o intuito de inseri-los no contexto das desigualdade matriciais lineares (LMIs, do inglês Linear Matrix

Inequali-ties). Embora na literatura [3, 5, 6, 20, 24] encontremos alguns dos resultados aqui expostos, eles s˜ao

ferramentas b´asicas no desenvolvimento dos cap´ıtulos posteriores e, por isso, ser˜ao repetidos.

2.1 Sistemas a tempo cont´ınuo

Primeiramente vamos estudar os sistemas dinâmicos cont´ınuos no tempo. Como ponto de partida, consideramos o sistema linear cont´ınuo e invariante no tempo descrito pelas equações de estado:

˙

x(t) = Ax(t) + Bq(t), x(0) = 0 (2.1a)

p(t) = Cx(t) + Dq(t) (2.1b)

o qual podemos representar, também, por sua função de transferência:

Hpq(s) = C(sIn− A)−1B+ D (2.2)

Nessa notação, x_{(t) ∈ R}n é o estado, q_{(t) ∈ R}m é a entrada externa e p_{(t) ∈ R}r é a sa´ıda medida e as matrizes A, B,C e D têm dimensões compat´ıveis segundo as regras que definem o produto matricial.

Classificamos o sistema (2.1) como estritamente próprio se a matriz D for nula, o que implica que a função de transferência racional (2.2) também é classificada como estritamente própria. Caso contrário, se D_{6= 0, dizemos que (2.1) é próprio, bem como sua função de transferência (2.2).}

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A fim de não sobrecarregar a notação, vamos omitir a dependência com a variável temporal t _{≥ 0} das grandezas do sistema, mantendo-a impl´ıcita.

2.1.1 Estabilidade

Uma das propriedades mais importantes em projeto de sistemas dinâmicos é a sua estabilidade e uma das maneiras de estudá-la remete ao estudo de pontos de equil´ıbrio [21]. Essa abordagem é rea-lizada considerando-se que no sistema (2.1) q(t) = 0, ou seja, analisamos a estabilidade do sistema

autˆonomo.

Tomamos, então uma função v(x) que é uma generalização do conceito de energia, denominada função de Lyapunov. Esta função deve ter as seguintes propriedades [13]:

1. v(0) = 0;

2. v_{(x) > 0 para x 6= 0;}

3. v(x) é cont´ınua e diferenciável, com derivadas cont´ınuas em relação a todos os componentes de x_{∈ R}n;

4. v_{(x) ´e ilimitada para todo x ∈ R}nilimitado.

Como decorrˆencia destas propriedades, o matem´atico A. M. Lyapunov enunciou o seguinte impor-tante teorema [24]:

Teorema 2.1 Dada uma função de Lyapunov v(x) associada ao sistema autônomo (2.1). Se as seguintes condições

• ˙v(x) < 0 para todo x 6= 0 e • ˙v(x) = 0 para x = 0,

forem satisfeitas, então podemos concluir que x= 0 é um ponto de equil´ıbrio estável e o sistema autônomo (2.1) é globalmente assintoticamente estável.

Uma escolha clássica para uma candidata a função de Lyapunov [24] é

v(x) = x′Px (2.3)

onde P_{∈ R}n×n é uma matriz simétrica e definida positiva. Sua derivada temporal é dada por ˙

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Hpq(s)

∆

Figura 2.1: Estrutura do sistema com incertezas

Se aplicarmos as condições do Teorema 2.1 à candidata a função de Lyapunov (2.3) e à sua derivada (2.4), enunciamos o Lema 2.2 que expressa uma maneira clássica de estudar a estabilidade de sistemas pelo segundo método de Lyapunov [5, 24].

Lema 2.2 Dada uma matriz Q> 0 tal que

A′P+ PA + Q = 0 (2.5)

se existir uma solução P> 0 para a equação (2.5), então o sistema (2.1) é assintoticamente estável.

´

E importante salientarmos que o lema anterior permanece válido também como condição necessária de estabilidade. Isto é, a estabilidade assintótica do sistema linear autônomo (2.1) implica na existência de uma solução P> 0 para a equação (2.5) para qualquer Q > 0 dada. Ademais, para qualquer Q > 0

dada, se existir, a solução de (2.5) é única. A equação (2.5) é conhecida como equação de Lyapunov para sistemas lineares cont´ınuos.

2.1.2 Estudo da estabilidade utilizando multiplicadores

Como é ilustrado na Figura 2.1vamos agora considerar o sistema (2.1) com uma realimentação da sa´ıda p para a entrada q através de um operador linear∆pertencente a um conjuntoΞ. Desse modo, temos o sistema autônomo:

˙

x = Ax + Bq (2.6a)

p = Cx + Dq (2.6b)

q = ∆p , ∆_∈Ξ (2.6c)

Podemos estudar a estabilidade deste sistema impondo alguma condição sobre ∆, a qual combi-nada com as condições do Teorema 2.1, aplicadas à função de Lyapunov (2.3), nos permite escrever

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m c

k

y

F(t)

Figura 2.2: Sistema massa-mola

condições suficientes para a estabilidade do sistema (2.6). Tomamos como ponto de partida o tra-balho de [19] para caracterizar a restrição sobre∆. Desse modo, podemos expressar as condições de estabilidade deste sistema através do Teorema 2.3, a ser introduzido em seguida.

Antes de enunciar o teorema, é conveniente expressar a motivação para estudarmos um sistema modelado por (2.6). SeΞ representar o conjunto das incertezas paramétricas a que este sistema está sujeito, temos uma outra maneira de interpretar as equações de estado [11]:

˙

x=A + B(Im−∆D)−1∆C x (2.7)

ou seja, temos um modelo nominal representado pela matriz A e uma variação em torno deste modelo, representada pela expressão A_∆_{= B(I −}∆D)−1∆C. Ou ainda, também poder´ıamos escrever o mesmo

sistema na forma

˙

x=A + B∆(Ir− D∆)−1C x (2.8)

uma vez que(Im−∆D)−1∆=∆(Ir− D∆)−1, conforme o lema A.3 do apˆendice A.

Vamos ilustrar, através de um exemplo simples, que é poss´ıvel escrever as equações de estado para um sistema dinâmico linear incerto no formato (2.6) através de manipulações algébricas.

Exemplo 2.1 Considere o sistema massa-mola representado na Figura 2.2.A equac¸˜ao do movimento

da a massa ´e dada por:

m ÿ+ c ˙y + ky = F(t) (2.9) Definindo x1= y e x2= ˙y, escrevemos a representação em espaço de estados da equação (2.9)

" ˙ x1 ˙ x2 # = " 0 1 −mk − c m # " x1 x2 # + " 0 1 # F(t) (2.10)

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perfeitamente conhecida, temos que k= k0+δk. Sob estas hip´oteses, reescrevemos (2.10) na forma

LFT (do inglˆes Linear Fraction Transformation)[20]:

" ˙ x1 ˙ x2 # = " 0 1 −k0 m − c m # + " 0 0 −δmk 0 #! " x1 x2 # (2.11) = " 0 1 −k0 m − c m # + " 0 −m1 # δkh1 0 i ! " x1 x2 # (2.12)

de onde conclu´ımos que na notac¸˜ao do modelo (2.6) temos:

A= " 0 1 −k0 m − c m # , B = " 0 −m1 # , C =h1 0 i , D = 0, e ∆=δk (2.13)

Neste caso, a incerteza atua de maneira linear no modelo do sistema.

Considerando uma outra circunstância, em que há incerteza no valor da massa m, podemos escrever então m= m0(1 +δm) e, portanto 1 m = 1 m0(1 +δm) =1+δm−δm m0(1 +δm) = 1 m0− δm m0(1 +δm)

Com esta manipulação, escrevemos o sistema (2.10) autônomo na forma LFT [20]

" ˙ x1 ˙ x2 # = " 0 1 −mk0 − c m0 # + " 0 1 m0 # δm(1 +δm)−1hk c i ! " x1 x2 # (2.14)

onde identificamos, segundo a notac¸˜ao do modelo (2.6):

A= " 0 1 −mk0 − c m0 # , B = " 0 1 m0 # , C =hk c i , D = 1, e ∆=δk (2.15)

Constatamos, com esta an´alise, que na presenc¸a de incertezas racionais no modelo (2.6) a matriz D

n˜ao ´e nula.

Este exemplo, embora simples, evidencia que podemos descrever um sistema dinâmico linear su-jeito a incertezas paramétricas no formato (2.6), deixando aparente a importância de tratarmos de sis-temas com esta representação. Com relação ao papel das matrizes B e C em (2.6), elas determinam em quais posições da matriz dinâmica há influência das incertezas paramétricas e a matriz D indica se há ou não incertezas racionais no modelo do sistema dinâmico.

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deter-minadas caracter´ısticas das incertezas, aqui representadas por ∆_∈Ξ, o sistema (2.6) possui a pro-priedade de estabilidade robusta [19]. Ou seja, a caracter´ıstica de que ele permanece estável mesmo na ocorrência de variações dos seus parâmetros. Então, o Teorema 2.3, enunciado a seguir, vai fornecer condições suficientes para a estabilidade robusta de (2.6).

Teorema 2.3 Dado o sistema (2.6), supondo que existam matrizes R= R′_{∈ R}r×r_{, Q}_{= Q}′_{∈ R}m×m_,

G_{∈ R}r×me P= P′_{> 0 ∈ R}n×n _{tais que} h Ir ∆′ i " R G G′ Q # " Ir ∆ # ≥ 0 , ∀∆∈Ξ (2.16) " A′P+ PA +C′RC PB+C′RD+C′G ∗ D′RD+ D′G+ G′D+ Q # < 0 (2.17)

então o sistema (2.6) é assintoticamente estável.

Prova: A prova deste teorema caminha no sentido de mostrar que as restric¸˜oes expostas garantem

que a função de Lyapunov associada ao sistema (2.6) satisfaça o Teorema 2.1. Inicialmente, multiplicamos (2.16) à esquerda por p′e à direita por p, obtendo

h p′ q′ i " R G G′ Q # " p q # ≥ 0

Combinamos esta desigualdade com o fato de que

" p q # = " C D 0 Im # " x q # e chegamos em h x′ q′ i " C′ 0 D′ Im # " R G G′ Q # " C D 0 Im # " x q # ≥ 0

Consideramos também a candidata a função de Lyapunov v(x) = x′P x, de modo que sua derivada

temporal ´e dada por

˙ v(x) =hx′ q′ i " A′P+ PA PB ∗ 0 # " x q #

Uma condição suficiente para satisfazer o teorema 2.1 é impor a ˙v(x)

˙ v_{(x) < −} h x′ q′ i " C′ 0 D′ Im # " R G G′ Q # " C D 0 Im # " x q #

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que leva à condição (2.17).

Como um caso particular do Teorema 2.3 é conveniente analisarmos a situação em que tratamos de modelos não sujeitos a incertezas paramétricas. Neste contexto, o único elemento deΞé∆= 0.

Conseqüentemente, a restrição (2.16) se resume a R_{≥ 0. Mas se olharmos também a restrição} (2.17), verificamos que o valor de R que a torna menos restritiva é R= 0, o menor valor admiss´ıvel.

Além disso, podemos impor G_{= 0 e Q → −}∞, devido ao fato de a condição sobre as incertezas não ser afetada por essas matrizes. Então, temos que (2.17) se resume à condição clássica de estabilidade [3, 8] para o sistema (2.1), isto é

A′P+ PA < 0 (2.18)

Um ponto importante e que é fundamental no desenvolvimento deste trabalho reside na inserção, no Teorema 2.3, da variável matricial

" R G G′ Q #

(2.19) Esta matriz é denominada, ao longo desta dissertação, multiplicador (muitas vezes também chamada, na literatura, de matriz de escalamento, do inglês, scaling) seguindo a mesma denominação encontrada na literatura [12, 19].

Ao longo dos últimos anos vários trabalhos sobre análise de estabilidade robusta foram publica-dos utilizando multiplicadores, [10, 19, 23]. O motivo principal que justifica a utilização publica-dos multi-plicadores é o de que eles inserem graus de liberdade adicionais nos problemas de análise e projeto permitindo obter condições de estabilidade robusta menos restritivas, na medida em que estas variáveis descrevem de maneira mais adequada o conjunto das incertezas paramétricas às quais um sistema está sujeito.

2.1.3 Função de Lyapunov dependente de parâmetros

Verificamos no Teorema 2.3 que com o aux´ılio dos multiplicadores podemos caracterizar condições de estabilidade robusta utilizando como candidata a função de Lyapunov (2.3). Porém, mostraremos nesta seção que também é poss´ıvel investigarmos a estabilidade de (2.6) adotando uma função de Lya-punov do tipo v(x, q) =hx′ q′ i " V S S′ W # " x q # (2.20)

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que pode ser escrita na forma a seguir, considerando que q= (Im−∆D)−1∆Cx, a partir de (2.6): v(x) = x′hIn C′∆′(Im−∆D)−T i " V S S′ W # " In (Im−∆D)−1∆C # x (2.21)

Ou seja, a idéia é adotar uma função de Lyapunov quadrática nos parâmetros incertos e também dependente de forma racional desses parâmetros. Entretanto devemos ressaltar que essa função não nos permite escrever condições de estabilidade para o sistema (2.6) em termos de LMIs [11]. Verificamos que a obtenção de restrições convexas só é poss´ıvel no caso em que D= 0, ou seja, quando não existir

dependˆencia racional dos parˆametros em (2.21).

Sob esta ressalva, admitimos como candidata a func¸˜ao de Lyapunov

v(x) = x′hIn C′∆′ i " V S S′ W # " In ∆C # x_{, ∀}∆_∈Ξ (2.22)

a qual, na verdade, caracteriza uma fam´ılia de funções de Lyapunov, parametrizadas pela incerteza paramétrica ∆ _∈Ξ. Uma abordagem utilizando funções de Lyapunov dependentes dos parâmetros incertos do modelo é sugerida em [11], mas esta apresenta apenas uma dependência linear com os parâmetros incertos na formulação da função de Lyapunov e, na existência de incertezas racionais no modelo, também não é poss´ıvel escrever um conjunto convexo de restrições que assegurem a estabili-dade robusta do sistema. Em contrapartida, a função (2.22) depende de forma linear e quadrática dos parâmetros incertos do modelo, apesar de não considerar incertezas racionais.

Utilizando a função (2.22) podemos, então, escrever condições de estabilidade para o sistema (2.6) de maneira análoga ao realizado no Teorema 2.3.

Teorema 2.4 Dado o sistema (2.6), supondo que existam matrizes R= R′_{∈ R}r×r, Q= Q′_{∈ R}m×m, G_{∈ R}r×m, V = V′_{∈ R}n×n _{, S}_{∈ R}n×m _{e W} _{= W}′_{∈ R}m×m_{tais que, qualquer que seja}_∆_∈_Ξ

h Ir ∆′ i " R G G′ Q # " Ir ∆ # ≥ 0 (2.23) h In C′∆′ i " V S S′ W # " In ∆C # > 0 (2.24)       A′V+VA + S∆CA+ +A′C′∆′S′+C′RC ! A′S+V B + S∆CB+ +A′C′∆′W+C′G ! ∗ B ′_S_{+ S}′_B_+W_∆_CB+ +B′C′∆′W+ Q !       < 0 (2.25)

(22)

então o sistema (2.6) é globalmente assintoticamente estável.

Prova: O procedimento para provar este teorema ´e idˆentico ao realizado no Teorema 2.3 e,

por-tanto, ser´a omitida aqui.

Percebemos que a diferença significativa entre este teorema e o Teorema 2.3 é a de que a informação que temos sobre ∆, além de utilizada para descrever a da função de Lyapunov, também aparece na restrição (2.25), que expressa a condição de estabilidade propriamente dita do sistema (2.6). Ou seja, este fato indica que quando tratamos de sistemas sujeitos a incertezas paramétricas podemos utilizar diretamente as informações sobre as incertezas para estudarmos sua estabilidade. É fácil verificar que este resultado contém o anterior como caso particular ao impormos S= 0 e W = 0.

2.1.4 Crit´erios de desempenho

Além da propriedade de estabilidade, muitas vezes estamos interessados em que o sistema estudado apresente um determinado desempenho no canal entrada-sa´ıda. A quantificação do desempenho do sistema dinâmico (2.1) pode ser feita através das normas H2e H∞da matriz de transferência Hpq(s).

Norma H2

O espac¸o de Hardy

H

₂ _{engloba as matrizes de vari´avel complexa H}_{(s) anal´ıticas no semiplano}

complexo direito (Re_{(s) ≥ 0), para as quais}

k H(s) k22= 1 2πsup_σ_>0 Z ∞ −∞tr H ′₍_σ_{− j}_ω_)H(_σ_{+ j}_ω_{) d}_ω _(2.26) ´e finita [20].

A definição acima satisfaz os axiomas de norma e, por isso é chamada de norma H2da função H(s).

Aplicando essa definição à matriz de transferência Hpq(s), que é racional, sua norma H2 é definida no

espac¸o frequencial pela integral [6]

k Hpq(s) k22= 1 2π Z ∞ −∞tr H ′ pq(− jω)Hpq( jω) dω (2.27)

Utilizando o teorema de Parseval, é poss´ıvel calcular essa norma através da integração no dom´ınio do tempo:

k Hpq(s) k22=

Z ∞

0

tr h(t)′h(t) dt (2.28) em que h(t) ´e a resposta ao impulso do sistema (2.1).

(23)

Com relação às duas formas apresentadas para calcularmos a norma H2de Hpq(s), devemos

salien-tar que os resultados das integrações (2.27) e (2.28) serão finitos somente se D= Hpq( j∞) = 0, ou

seja, se o sistema (2.1) for estritamente próprio. Além disso, a partir da definição anterior, podemos interpretar a norma H2como a energia total da sa´ıda após a aplicação na entrada de um impulso unitário.

Sob esta hip´otese, a resposta do sistema (2.1) a uma entrada impulsiva ´e [5]:

h(t) = CeAtB _{, t ≥ 0} (2.29)

Substituindo essa express˜ao no c´alculo da norma H2temos [6]:

k Hpq(s) k22 = Z ∞ 0 tr B′eA′tC′CeAtB dt = tr Z ∞ 0 B′eA′tC′CeAtBdt = tr B′PoB (2.30) Devido à comutatividade do operador ”traço”podemos escrever também

k Hpq(s) k22 = tr Z ∞ 0 CeAtBB′eA′tC′dt = tr CPcC′ (2.31) Na equação (2.30) a matriz Po é conhecida como Gramiano de observabilidade e outra forma de

calculá-la é resolvendo a equação de Lyapunov a seguir [5]

A′Po+ PoA+C′C= 0 (2.32)

Por sua vez, em (2.31), Pc é conhecida como Gramiano de controlabilidade e a equação de

Lya-punov a ela associada ´e [5]

APc+ PcA′+ BB′= 0 (2.33)

A resolução das equações (2.32) e (2.33) permite que calculemos os gramianos para então calcular-mos a norma H2 de (2.2). Porém, podemos também calcular a norma H2no contexto de programação

convexa e para tanto é necessário expressar o problema em termos de LMIs. Isso é poss´ıvel utilizando o lema 2.5 como ferramenta [8].

Lema 2.5 Se uma matriz A for Hurwitz1, ent˜ao para os pares de matrizes(P1, Q1) e (P2, Q2)

associ-ados à equação de Lyapunov (2.5) vale: P1> P2sempre que Q1> Q2.

(24)

Prova: A prova deste lema encontra-se em [8] e será brevemente explicitada aqui. Das condições do

enunciado, podemos escrever

P1− P2=

Z ∞

0

eA′t(Q1− Q2)eAtdt (2.34)

de modo que segundo o lema (2.2), Q1> Q2implica em P1> P2.

Se transformarmos a equac¸˜ao de Lyapunov (2.32) na desigualdade

A′P+ PA +C′C< 0 (2.35) então, pelo lema 2.5, uma solução P fact´ıvel para a desigualdade acima satisfaz P> Po≥ 0.

Pelo mesmo racioc´ınio, convertendo a equac¸˜ao de Lyapunov dual (2.33) na desigualdade

AP+ PA′+ BB′< 0 (2.36) toda P fact´ıvel satisfaz P> Pc≥ 0.

Desse modo, a norma H2pode ser calculada resolvendo o problema de otimizac¸˜ao:

k Hpq(s) k22= inf{tr B′PB : A′P+ PA +C′C_{< 0 , P > 0}} (2.37) ou o equivalente dual k Hpq(s) k22= inf{tr CPC′ : AP+ PA′+ BB′_{< 0 , P > 0}} (2.38) Devemos notar que na formulação dos problemas de otimização (2.37) e (2.38), foram utilizadas desigualdades estritas. Entretanto, para problemas de minimização convexos, o ´ınfimo em (2.37) e em (2.38) coincide com os valores de (2.30) e de (2.31), respectivamente [3, 8]. Além disso, é poss´ıvel controlar a distância entre a solução ótima do problema e a solução dada por (2.37 e 2.38) escolhendo-se a precisão do algoritmo utilizado, em geral um algoritmo de pontos interiores, que resolve problemas que possuam apenas restrições estritas [3]. Uma vantagem importante ao se trabalhar com restrições estritas é a de podermos lançar mão do complemento de Schur [3] (ver apêndice A.1), permitindo que os problemas (2.37) e (2.38) sejam transformados nas estruturas presentes no lema 2.6.

Lema 2.6 Com relação ao sistema linear (2.1) e à função de transferência (2.2), as seguintes afirma-ções são equivalentes:

(25)

ii) Existem matrizes P= P′_{∈ R}n×ne W = W′_{∈ R}m×mtais que tr(W ) <γ (2.39) " W B′P PB P # > 0 (2.40) " A′P+ PA C′ C _−Ir # < 0 (2.41)

iii) Existem matrizes P= P′_{∈ R}n×n_{e W} _{= W}′_{∈ R}r×r_{tais que}

tr(W ) <γ (2.42) " W CP PC′ P # > 0 (2.43) " AP+ PA′ B B′ _−Im # < 0 (2.44)

Ent˜ao, o valor da norma H2de Hpq(s) pode ser calculado resolvendo-se um dos problemas de

otimiza-c¸˜ao convexos:

k Hpq(s) k22= min{γ : (2.39) − (2.41)} (2.45)

ou

k Hpq(s) k22= min{γ : (2.42) − (2.44)} (2.46)

Prova: A prova deste lema se encontra em [8] e suas linhas gerais ser˜ao abordadas brevemente.

A equivalência entre os ´ıtens i) e ii) provém da aplicação do complemento de Schur à desigualdade

(2.40), da qual obtemos

W > B′PB

Procedendo de maneira análoga com a restrição (2.41), chegamos em (2.35). Então, utilizando (2.39) conclu´ımos que

k Hpq(s) k22< tr (W ) <γ

E portanto, a minimização deγfornece a norma H2do sistema em questão. Por sua vez, a equivalência

(26)

Norma H_∞

O espac¸o de Hardy

H

_∞ _{é o espaço das funções de variável complexa H}_{(s) anal´ıticas no semiplano}

complexo direito (Re_{(s) ≥ 0), para as quais}

k H(s) k∞= sup

s∈C+σmax(H(s))

(2.47)

´e finita [20].

A definição acima satisfaz todos os axiomas de norma e por isso ela recebe o nome de norma H_∞ da função H(s). Nesta definição, o operadorσmax(.) denota o valor singular máximo do operando.

Para funções de transferência racionais, a norma H_∞pode ser calculada sobre o eixo imaginário [6], de modo que para a função de transferência Hpq(s) (2.2) escrevemos

k Hpq(s) k∞= sup

ω∈R

σmax(Hpq( jω)) (2.48)

Por esta última definição de norma H_∞, conclu´ımos que quando Hpq(s) representa a função de

transferência de um sistema com uma única entrada e uma única sa´ıda, sua norma H_∞ é o valor de pico do diagrama de módulo de Bode.

Uma outra forma de calcularmos a norma H_∞de (2.2) é através do conceito de ganho induzido [6]. Supondo que o sinal de entrada q seja um sinal de energia e o sistema (2.1) seja estável, então a sa´ıda

p tamb´em ´e um sinal de energia. Logo de [6], podemos escrever k Hpq(s) k∞= sup

kqk26=0

k p k2

k q k2

(2.49)

O cálculo da norma H_∞ também pode ser realizado no contexto de programação convexa, com a resolução de uma equação de Riccati [25]. Usando essa abordagem, o lema (2.7) é uma ferramenta muito utilizada para o cálculo dessa norma, em especial os ´ıtens iv) e v).

Lema 2.7 Considere o sistema linear (2.1) e sua função de transferência (2.2). Então as afirmações a seguir são equivalentes:

i) _{k H}pq(s) k2∞<γ

ii) γI_{− D}′D> 0 e existe uma matriz P = P′_{> 0 ∈ R}n×n _{solução da inequação de Riccati}

(27)

iii) γI_{− DD}′> 0 e existe uma matriz P = P′_{> 0 ∈ R}n×n solução da inequação de Riccati

AP+ PA′+ BB′+ (PC′+ BD′)(γIr− DD′)−1(CP + DB′) < 0 (2.51)

iv) Existe P= P′_{∈ R}n×n_{que satisfaz}

   A′P+ PA PB C′ B′P ₋γIm D′ C D _−Ir   < 0 (2.52) P> 0 (2.53)

v) Existe P= P′_{∈ R}n×n_{que satisfaz}

   AP+ PA′ PC′ B CP ₋γIr D B′ D′ _−Im   < 0 (2.54) P> 0 (2.55)

A norma H_∞ é a solução do problema de otimização convexo

k Hpq(s) k2_∞= min{γ : (2.52) − (2.53)} (2.56)

ou do seu equivalente dual

k Hpq(s) k2∞= min{γ : (2.54) − (2.55)} (2.57)

fornecem o valor na norma H_∞de Hpq(s).

Prova: A prova deste lema ´e extensa e por isso, descreveremos apenas linhas gerais de como

proceder para a verificação do mesmo. A equivalência entre os ´ıtens i) e ii) é o resultado obtido em

[25] e será omitida aqui, enquanto o item iii) é o análogo dual do item ii). Com relação ao item iv),

como por hip´otese σmax(D) < √γ, ent˜ao aplicando o complemento de Schur duas vezes em (2.52)

(28)

2.1.5 Multiplicadores e norma H

_∞

Agora que definimos crit´erios utilizados para analisar desempenho de sistemas dinˆamicos, volta-mos ao teorema 2.3, no qual podevolta-mos fixar uma determinada estrutura para o multiplicador (2.19). ConsiderandoΞo conjunto de todos os∆ tais que_k∆_k_∞_≤γ−1, para algum γ> 0 se escolhermos as

matrizes R, G e Q da forma

R= Ir, G = 0 , Q = −γ2Im (2.58)

a substituição desta escolha no teorema 2.3 nos permite escrever como condições de estabilidade:

I₋γ2∆′∆_{≥ 0} (2.59) " A′P+ PA +C′C PB+C′D ∗ D′D₋γ2Im # < 0 ⇔    A′P+ PA PB C′ ∗ −γ2Im D′ ∗ ∗ −Ir   < 0 (2.60)

Ou seja, quando Ξrepresenta o conjunto das incertezas limitadas em norma, a desigualdade (2.59) é sempre satisfeita e, neste caso, a condição de estabilidade robusta para o sistema (2.6) é que a restrição em norma H_∞da função de transferência Hpq(s) (2.60), a saber kHpq(s)k∞<γ, seja satisfeita. Portanto,

conclu´ımos que o Teorema 2.3 é uma extensão da condição de robustez fornecida pela norma H_∞ de

Hpq(s).

Em resumo, a escolha das matrizes do multiplicador da forma (2.58) implica que

k∆k∞≤γ−1 (2.61)

k Hpq(s) k∞<γ (2.62)

assegura a estabilidade assint´otica do sistema, fazendo com que o teorema do pequeno ganho [6, 8, 20] seja um caso particular do Teorema 2.3.

2.2 Sistemas a tempo discreto

Nesta seção vamos trilhar os mesmos passos dados na seção anterior e analisar as condições de estabilidade e critérios de desempenho para sistemas discretos. Um sistema a tempo discreto pode ser descrito pelas equações de estado:

x(k + 1) = Ax(k) + Bq(k) , x(0) = 0 (2.63a)

(29)

sendo que valem as mesmas observações e notações sobre as dimensões feitas para o sistema a tempo cont´ınuo (2.1). Neste caso, a função de transferência que descreve (2.63) é dada por

Hpq(ζ) = C(ζIn− A)−1B+ D (2.64)

e, novamente, se D= 0, o sistema é classificado como estritamente próprio, caso contrário ele é

de-nominado apenas pr´oprio.

2.2.1 Estabilidade

Para a análise da estabilidade de sistemas discretos também consideramos o sistema (2.63) autôno-mo e adotaautôno-mos uma função de Lyapunov v(x), cujas propriedades, agora, devem ser [14]:

1. v(0) = 0;

2. v_{(x) > 0 , x 6= 0;}

3. v_{(x) ´e ilimitada para todo x ∈ R}nilimitado.

Em analogia com o estudo de sistemas cont´ınuos, podemos estender o teorema 2.1 para sistema discretos [24]:

Teorema 2.8 Dada uma func¸˜ao de Lyapunov v(x) associada ao sistema (2.63) e definindo ∆v(x) = v_{(x(k + 1)) − v(x(k)). Se}

• ∆v_{(x) < 0 para todo x 6= 0 e} • ∆v(x) = 0 para x = 0

Aqui também podemos adotar como candidata a função de Lyapunov (2.3) com P> 0, de tal forma

que

∆v(x) = x′(A′PA_{− P)x} (2.65) Se impusermos as condições do Teorema 2.8 à função de Lyapunov (2.3) e à sua variação (2.65), obtemos o Lema 2.9:

Lema 2.9 Dada uma matriz Q> 0 tal que

(30)

apresente uma solução definida positiva P, então o sistema (2.63) é globalmente assintoticamente estável.

Da mesma forma que na situação de sistemas a tempo cont´ınuo, o Lema 2.9 também vale como condição necessária de estabilidade para o sistema autônomo (2.63). Aqui, a equação (2.66) é con-hecida como equação de Lyapunov para sistemas lineares a tempo discreto.

2.2.2 Estudo da estabilidade utilizando multiplicadores

Agora vamos fechar a malha do sistema (2.63) atrav´es de um operador∆, como representa a Figura 2.1.2, de forma que tenhamos

x(k + 1) = Ax(k) + Bq(k) (2.67a)

p(k) = Cx(k) + Dq(k) (2.67b)

q(k) = ∆p(k) , ∆_∈Ξ (2.67c)

Conforme fizemos para sistemas cont´ınuos, é poss´ıvel escrever condições para a estabilidade ro-busta do sistema (2.63) utilizando alguma informação sobre as incertezas paramétricas que existem neste modelo, capturadas adequadamente pelas matrizes do multiplicador (2.19). Então, vamos enun-ciar um teorema análogo ao Teorema 2.3 que estabelece condições suficientes de estabilidade para o sistema (2.67), também fundamentadas em [19]:

Teorema 2.10 Dado o sistema (2.67) e supondo que existam matrizes R= R′_{∈ R}r×r_{, Q}_{= Q}′_{∈ R}m×m_,

G_{∈ R}r×me P= P′_{> 0 ∈ R}n×n _{tais que} h Ir ∆′ i " R G G′ Q # " Ir ∆ # ≤ 0 , ∀∆∈Ξ (2.68)    P+C′RC C′RD+C′G A′P ∗ D′RD+ D′G+ G′D+ Q B′P ∗ ∗ P   > 0 (2.69)

Prova: A prova deste teorema é análoga à prova do Teorema 2.3, pois consiste em mostrar que as

restric¸˜oes anteriormente mencionadas garantem que

(31)

e, portanto, ser´a omitida.

O interesse em estudar a estabilidade de um sistema descrito segundo as equações (2.67) também reside, como no caso cont´ınuo, na possibilidade de escrevê-lo na forma

x(k + 1) =A + B∆(Im−∆D)−1C x(k) (2.70)

pois, seΞrepresentar o conjunto das incertezas paramétricas do modelo, então o Teorema 2.10 fornece condições suficientes para a estabilidade robusta de (2.67). Da mesma maneira que no contexto de sistemas a tempo cont´ınuo, podemos escrever um sistema sujeito a incertezas paramétricas no formato (2.67) através de uma manipulação adequada da matriz dinâmica do modelo.

Então, quando não assumirmos incertezas no modelo (2.67), ou seja apenas∆_{= 0 ∈}Ξ, a restrição (2.68) se resume a R_{≤ 0. Além disso, como nessa situação as demais matrizes do multiplicador não são} levadas em conta, podemos impor G_{= 0 e Q →}∞, fazendo com que a restrição (2.69) seja simplificada para

P_{− A}′PA> 0 (2.71)

que é a condição clássica de estabilidade para o sistema (2.63) [5, 24].

2.2.3 Função de Lyapunov dependente de parâmetros

Para o caso de sistemas a tempo discreto também é poss´ıvel estudar sua estabilidade utilizando a fam´ılia de funções de Lyapunov representada por (2.21). Também aqui devemos ter em mente que a imposição D= 0 é fundamental para escrevermos as restrições que representam as condições de

estabilidade do sistema (2.67) no formato de LMIs. Isso implica, novamente, que não consideramos incertezas racionais no modelo do sistema, porém levamos em conta as incertezas paramétricas na definição da função de Lyapunov. Assim sendo, adotamos como candidata a função de Lyapunov (2.22) para sistemas a tempo discreto, a qual permite enunciar o teorema a seguir, análogo ao Teorema (2.4).

Teorema 2.11 Dado o sistema (2.67), se existirem matrizes R= R′_{∈ R}r×r_{, Q}_{= Q}′ _{∈ R}m×m_{, G}_∈

Rr×m_{, V} _{= V}′_{∈ R}n×n_{, S}_{∈ R}n×n _{e W} _{= W}′_{> 0 ∈ R}n×n _{tais que, qualquer que seja}∆_∈Ξ h Ir ∆′ i " R G G′ Q # " Ir ∆ # ≤ 0 (2.72)

(32)

h In C′∆′ i " V S S′ W # " In ∆C # > 0 (2.73)       V_{− A}′VA_{− A}′C′∆′S′A_{− A}′S∆CA+ −A′C′∆′W∆CA+C′RC ! S_{− A}′V B_{− A}′C′∆′S′B_{− A}′S∆CB −A′C′∆′W∆CB+C′G ! ∗ W− B ′_{V B}_{− B}′_C′_∆′_S′_B_{− B}′_S_∆_CB −B′C′∆′W∆CB+ Q !       > 0 (2.74)

então, o sistema (2.67) é globalmente assintoticamente estável.

Percebemos, também no contexto de sistemas a tempo discreto, que a diferença entre os resultados desta seção e os respectivos análogos, quando utilizamos a função de Lyapunov clássica (2.3), está na inclusão da matriz∆ na restrição de estabilidade propriamente dita. Ou seja, em um sistema com incertezas paramétricas, somos capazes de levar em conta, diretamente, as informações sobre essas incertezas na formulação das restrições que garantem a estabilidade assintótica do sistema estudado. Aqui também é evidente que ao impormos S= 0 e W = 0 recuperamos as condições do Teorema 2.10.

2.2.4 Crit´erios de desempenho

Norma H2

A definição, no espaço frequencial, da norma H2para sistemas discretos é análoga à sua definição

no caso cont´ınuo. Então, para uma matriz de variável complexa racional, como é o caso de Hpq(ζ)

(2.64), temos [8] k Hpq(ζ) k22= 1 2π Z 2π 0 trH_pq′ (e− jθ)Hpq(ejθ) dθ (2.75)

cujo c´alculo no dom´ınio do tempo ´e dado por [8]

k Hpq(ζ) k22= ∞

∑

k=0 tr h′(k)h(k) (2.76)

em que h(k) ´e a resposta ao impulso do sistema (2.63), dada por

h(k) = (

D , k = 0

(33)

que substitu´ıda na definic¸˜ao fornece: k Hpq(ζ) k22 = ∞

∑

k=1 tr B′A′k−1C′CAk−1B + tr D′D = tr B′ ∞

∑

k=1 A′k−1C′CAk−1B+ D′D ! = tr B′PoB+ D′D (2.78) Verificamos ainda, como j´a comentado, que a matriz Po, denominada Gramiano de observabilidade

satisfaz a equac¸˜ao de Lyapunov discreta

A′PoA− Po+C′C= 0 (2.79)

Devido à circularidade 2 do operador traço, também podemos calcular a norma H2 de Hpq(ζ) da

seguinte maneira: k Hpq(ζ) k22 = tr C ∞

∑

k=1 Ak−1BB′A′k−1C′+ DD′ ! = tr CPcC′+ DD′ (2.80) sendo que Pc é o Gramiano de controlabilidade o qual, como já sabemos, satisfaz a equação

APcA′− Pc+ BB′= 0 (2.81)

Podemos, como no caso de sistemas cont´ınuos, calcular a norma H2 no contexto de programac¸˜ao

convexa. Para isso, utilizamos o Lema 2.12 an´alogo ao Lema 2.5.

Lema 2.12 Se uma matriz A for Schur3, ent˜ao para os pares de matrizes(P1, Q1) e (P2, Q2)

associa-dos à equação de Lyapunov (2.66) vale a propriedade P1 > P2sempre que Q1 > Q2.

Logo, podemos calcular a norma H2resolvendo um dos problemas de otimizac¸˜ao:

k Hpq(ζ) k22= inf{tr B′PB+ D′D : A′PA_{− P +C}′C_{< 0 , P > 0}} (2.82) ou k Hpq(ζ) k22= inf{tr CPC′+ DD′ : APA′_{− P + BB}′_{< 0 , P > 0}} (2.83)

2_{isto ´e, tr}_{(XY ) = tr (Y X) para matrizes de dimens˜oes compat´ıveis.}

(34)

Pelas mesmas razões expostas na seção 2.1.4 podemos enunciar o lema a seguir [8]:

Lema 2.13 Dado o sistema (2.63) e a função de transferência (2.64) as afirmações a seguir são equivalentes:

i) _{k H}pq(ζ) k22<γ;

ii) Existem matrizes P= P′_{> 0 ∈ R}n×n_{e W} _{= W}′_{> 0 ∈ R}m×m_{tais que}

tr(W ) < γ (2.84)    W B′P D′ ∗ P 0 ∗ ∗ Ir   > 0 (2.85)    P A′P C′ ∗ P 0 ∗ ∗ Ir   > 0 (2.86)

iii) Existem matrizes P= P′_{> 0 ∈ R}n×ne W = W′_{> 0 ∈ R}r×rtais que

tr(W ) < γ (2.87)    W CP D ∗ P 0 ∗ ∗ Im   > 0 (2.88)    P AP B ∗ P 0 ∗ ∗ Im   > 0 (2.89)

O valor da norma H2 de Hpq(ζ) é calculado como a solução de um dos problemas de otimização

convexos:

k Hpq(ζ) k22= min {γ : (2.84) − (2.86)} (2.90)

ou

(35)

Norma H_∞

A norma H_∞para a função de transferência Hpq(ζ) (2.64) é calculada através de [8]

k Hpq(ζ) k∞= max θ∈[0,2π]σ h Hpq(ejθ) i (2.92)

a qual também pode ser calculada no contexto de programação convexa como mostra o lema dado a seguir [8]:

Lema 2.14 Dado o sistema (2.63) as afirmações a seguir são equivalentes: i) _{k H}pq(ζ) k2∞<γ;

ii) γI_{− D}′D> 0 e existe uma matriz P = P′_{> 0 ∈ R}n×n _{tal que}

A′PA_{− P + (A}′PB+C′D)(γIm− D′D− B′PB)−1(A′PB+C′D)′+C′C< 0 (2.93)

iii) γI_{− DD}′> 0 e existe uma matriz P = P′_{> 0 ∈ R}n×n tal que

APA′_{− P + (APC}′+ BD′)(γIr− DD′−CPC′)−1(APC′+ BD′)′+ BB′< 0 (2.94)

iv) Existe uma matriz P= P′_{∈ R}n×n _{que satisfaz}

      P A′P 0 C′ ∗ P PB 0 ∗ ∗ γIm D′ ∗ ∗ ∗ Ir       > 0 (2.95)

v) Existe uma matriz P= P′_{∈ R}n×n que satisfaz       P AP B 0 ∗ P 0 PC′ ∗ ∗ Ir D′ ∗ ∗ ∗ γIm       > 0 (2.96)

O valor da norma H_∞de Hpq(ζ) é calculado através da solução de um dos problemas de otimização

convexos:

(36)

ou

k Hpq(ζ) k2_∞= min {γ : (2.96)} (2.98)

2.2.5 Multiplicadores e norma H

_∞

No contexto de sistemas discretos, tamb´em podemos fixar uma estrutura para o multiplicador (2.19). Neste caso, se fixarmos as matrizes R, G e Q segundo a escolha

R_{= −I}r, G = 0 , Q =γ2Im (2.99)

e as substituirmos no Teorema 2.10 temos como condic¸˜ao de estabilidade:

I₋γ2∆′∆ _{≥ 0} (2.100)    P_−C′C _−C′D A′P ∗ −D′D+γ2_I m B′P ∗ ∗ P   > 0 ⇔       P 0 AP C′ ∗ γ2_I m B′P D′ ∗ ∗ P 0 ∗ ∗ ∗ Ir       > 0 (2.101)

Novamente, para um conjunto Ξ representando variações paramétricas restritas em norma, segundo (2.100), isto é_k∆_k_∞_≤γ−1, a condição de estabilidade robusta (2.101) representa, como no caso de sistemas cont´ınuos, uma forma equivalente de escrevermos a restrição_{k H}pq(ζ) k∞<γ. Mais uma vez,

podemos concluir que o teorema do pequeno ganho é um caso particular do Teorema 2.10, fato que coloca em evidência sua importância.

2.3 Considerac¸˜oes finais

Neste cap´ıtulo verificamos que podemos escrever um modelo de um sistema linear sujeito a in-certezas paramétricas no formato LFT, de acordo com o modelo a tempo cont´ınuo (2.6) ou seu análogo a tempo discreto (2.67). A partir de uma caracterização das incertezas paramétricas, representadas por

∆∈Ξsomos capazes de escrever condições de estabilidade robusta para os modelos mencionados uti-lizando uma função de Lyapunov clássica (2.3) ou uma função de Lyapunov aumentada, representada por (2.22). Por fim, verificamos que o uso de multiplicadores na caracterização da estabilidade robusta de sistemas dinâmicos contém os resultados fornecidos pela teoria H_∞.

(37)

An´alise de estabilidade de sistemas polit´opicos

No cap´ıtulo 2 enfocamos o estudo de estabilidade de sistemas dinâmicos que apresentam apenas um modelo nominal, isto é, as restrições de estabilidade são válidas se conhecermos o operador∆_∈Ξ atuante no sistema. Além disso, esse operador admite uma interpretação de representar as incertezas paramétricas presentes no modelo adotado para o sistema.

Porém, quase nunca conhecemos com exatidão a matriz∆ e a única informação que temos é a de que o conjuntoΞpossui alguma propriedade. Por exemplo, encontramos na literatura [6, 19] estudo de condições de estabilidade robusta para sistemas sujeitos a incertezas paramétricas quandoΞ é caracte-rizado por matrizes∆limitadas em norma. Porém, uma outra abordagem é poss´ıvel quandoΞé definido por meio de um politopo, isto é

Ξ_{= co{}∆i , i = 1, ..., N} (3.1)

em que∆isão denominados vértices do politopo e co{.} é um operador que representa a combinação

convexa [4] dos v´ertices∆i, i = 1, ..., N.

A partir de agora, estudaremos condic¸˜oes de estabilidade para o sistema

∂x = Ax + Bq (3.2a)

p = Cx + Dq (3.2b)

q = ∆p , ∆_∈Ξ (3.2c)

em que ∂ denota o operador derivada temporal quando estivermos no contexto de sistemas a tempo cont´ınuo, ou o operador avanço unitário quando tratarmos de sistemas a tempo discreto e o conjuntoΞ é definido segundo (3.1).

Vamos ilustrar como descrever um sistema sujeito a incertezas param´etricas no contexto de sistemas polit´opicos e, para isso, vamos retomar o contexto do Exemplo 2.1.

(38)

Exemplo 3.1 Consideremos o sistema massa-mola, a tempo cont´ınuo, representado na Figura 2.2, na

qual o movimento da massa é descrito pela equação diferencial

m ÿ+ c ˙y + ky = F(t) (3.3) Supomos, aqui, que o valor da constante de mola k= k0+δk não é conhecido com total precisão,

mas sabe-se que sua variaçãoδk pertence ao intervaloδ1≤δk≤δ2. Então, de acordo com a modelagem

inicial feita no Exemplo 2.1, conclu´ımos que no contexto de sistemas polit´opicos

Ξ_{= co{}δ1, δ2} (3.4)

Porém, podemos representar este mesmo sistema politópico de maneira clássica, admitindo que a matriz dinâmica relativa à representação de estado do sistema (3.3) pertença ao conjunto convexo

Ξ= co (" 0 1 −k0+δ1 m − c m # , " 0 1 −k0+δ2 m − c m #) (3.5)

Observando o modelo (3.2), verificamos que podemos transformá-lo na descrição clássica de sis-temas politópicos ao impormos

A= 0 , B = C = In , D = 0

o que implica em considerar que a matriz∆, agora, representa a matriz dinˆamica do modelo e o sistema massa mola, portanto, pode ser expresso na forma

˙

x=∆x , ∆_∈Ξ (3.6)

em queΞ, neste caso, passa a ser o conjunto definido por (3.5).

Obtemos conclusões idênticas às apresentadas até aqui, neste exemplo, ao considerarmos incerteza na massa m, pois se na notação do Exemplo 2.1 temosδ1≤δm≤δ2e, conseqüentemente

Ξ= co (" 0 1 −m0(1+k δ1) − c m0(1+δ1) # , " 0 1 −m0(1+k δ2) − c m0(1+δ2) #) (3.7)

tendo em vista que m0(1 +δ1) ≤ m0(1 +δm) ≤ m0(1 +δ2).

Com este exemplo queremos deixar claro que há duas opções para estudarmos a estabilidade de sistemas politópicos. Uma delas é utilizando a abordagem de que conhecemos um modelo nominal a

(39)

priori e as incertezas implicam em variações em torno deste modelo nominal. A segunda abordagem é considerar que o modelo dinâmico está contido em um politopo de matrizes e não consideramos a existência de um modelo nominal.

Neste contexto, inicialmente temos a falsa impressão de que considerar um modelo nominal pode nos trazer resultados menos conservadores, pois conhecer´ıamos alguma informação a priori sobre o sistema em estudo. Porém, devemos notar que esta informação inicial pode ser qualquer matriz dentro do politopo das matrizes dinâmicas do sistema e, fixá-la de maneira arbitrária, geralmente não contribui para melhorar a qualidade dos resultados.

Em decorrência do que apresentamos no exemplo anterior, vamos tratar da estabilidade de sistemas politópicos por meio de dois enfoques de modelamento. Além disso, vamos abordar o problema da estabilidade robusta desses sistemas utilizando as duas funções de Lyapunov definidas no Cap´ıtulo 2. Primeiramente vamos utilizar como candidata a função de Lyapunov

v(x) = x′ N

∑

i=1 λiPi ! x (3.8)

em que as matrizes Pie os escalaresλisatisfazem

Pi > 0 , i = 1, ..., N (3.9a) λi ≥ 0 , i = 1,...,N (3.9b) N

∑

i=1 λi = 1 (3.9c)

para garantir a positividade da func¸˜ao (3.8).

Posteriormente, adotaremos a candidata a função de Lyapunov aumentada, restrita à situação em que a matriz D do sistema (3.2) é nula:

v(x) = x′hIn C′∆′ i " V S S′ W # " In ∆C # , ∆_∈Ξ (3.10)

Porém, para escrevermos condições de estabilidade em termos de LMIs é necessário adotarmos um limitante inferior para esta função, que pode ser dado por

v_{(x) ≥ x}′ N

∑

i=1 λi h In C′∆′_i i " Vi S S′ W # " In ∆iC #! x (3.11)

(40)

de modo que a positividade de v(x) está assegurada para o seguinte conjunto de restrições h In C′∆′i i " Vi S S′ W # " In ∆iC # > 0 , i = 1, ..., N (3.12a) W < 0 (3.12b) λi ≥ 0 , i = 1,...,N (3.12c) N

∑

i=1 λi = 1 (3.12d)

para todo∆_∈Ξ, ao definirmos

V = N

∑

i=1 λiVi ∆ = N

∑

i=1 λi∆i

De fato, observe que em (3.11) todos os termos que dependem do ´ındice i= 1, ..., N s˜ao lineares

exceto um deles, que apresenta uma dependência quadrática. Neste último caso, o fato de que W < 0

assegura

∆′_W_∆_≥

∑

N

i=1

λi∆′iW∆i (3.13)

pela definição de função côncava [4].

3.1 Sistemas a tempo cont´ınuo

Fundamentados na discussão anterior, iniciamos o estudo de sistemas politópicos a tempo cont´ınuo, visando estender a formulação do Teorema 2.3 para o contexto de sistemas politópicos.

Lema 3.1 Considere o sistema a tempo cont´ınuo (3.2). Se existirem matrizes Ri= R′i∈ Rm×m, G∈

Rm×r_{, Q}_{= Q}′_{< 0 ∈ R}r×r_{e P}_i_{= P}′

i> 0 ∈ Rn×npara i= 1, ..., N, tais que paraΞdefinido segundo (3.1)

h Ir ∆′i i " Ri G G′ Q # " Ir ∆i # ≥ 0 (3.14) " A′Pi+ PiA+C′RiC PiB+C′RiD+C′G ∗ D′RiD+ D′G+ G′D+ Q # < 0 (3.15)

(41)

Prova: O objetivo, aqui, é provar que as combinações convexas das restrições (3.14) e (3.15)

satisfazem o Teorema 2.3. Ent˜ao considerando escalaresλitais que (3.9) seja verificada, multiplicamos

as duas restric¸˜oes deste lema pelo respectivoλi e somamos todas as parcelas, de forma que obtemos

para a primeira restric¸˜ao:

R+∆′G′+ G∆+ N

∑

i=1 λi∆′iQ∆i≥ 0 e para a segunda, " A′P+ PA +C′RC PB+C′RD+C′G ∗ D′RD+ D′G+ G′D+ Q # < 0 sendo que R= N

∑

i=1 λiRi, P = N

∑

i=1 λiPi, ∆= N

∑

i=1 λi∆i

Porém, da definição de função côncava [4], como Q< 0:

N

∑

i=1 λi∆′iQ∆i≤ N

∑

i=1 λi∆′i ! Q N

∑

i=1 λi∆i ! =∆′Q∆

o que nos permite escrever

R+∆′G′+ G∆+∆′Q∆_{≥ 0 , ∀}∆_∈Ξ

Portanto, qualquer∆_∈Ξ, definido segundo (3.1), satisfaz as restric¸˜oes (2.16) e (2.17) do teorema

2.3, o que prova o teorema proposto.

Uma implicação imediata do resultado aqui apresentado é a de que se 0_∈Ξ, então, a matriz A deve ser estável. Podemos, ainda, abordar os sistemas politópicos da maneira clássica. Isto implica em considerar, no modelo (3.2), as seguintes condições:

A= 0 , B = C = In, D = 0 (3.16)

de forma que podemos reescrevˆe-lo

˙

x=∆x , ∆_∈Ξ (3.17)

comΞdefinido segundo (3.1) e com a exigência de que, agora, 0_∈/Ξ. Ou seja, nesta segunda abor-dagem consideramos que a matriz dinâmica está contida em um politopo, mas agora, sem a imposição de um modelo nominal. Neste caso, o conjunto Ξdeixa de ser interpretado como o conjunto das in-certezas paramétricas presentes no modelo e passa a ser o conjunto que contém as matrizes dinâmicas do sistema em estudo. Com essas modificações, podemos estender o Lema 3.1 para essa outra forma