Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva

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Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva

Teste de MATEMÁTICA A 12º Ano

1ª PARTE

Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua.

1. Uma variável aleatória

X

tem a seguinte distribuição de probabilidades: i x 0 1 2 3 ( _i) p X =x 4a a 2a 3a A média de

X

é: (A) 1 10 (B) 9 5 (C) 7 5 (D) 11 10

2. Numa determinada linha do triângulo de Pascal, os 7º e 8º elementos são, respectivamente, 792 e 495. Então 1287 corresponde ao elemento da linha seguinte de ordem:

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9

3. Considere todos os números ímpares com 5 algarismos. Quantos desses têm 4 algarismos pares?

(A) 5

5 × (B) 4 5 5 (C) 5 4 (D) 54× 4

4. Lançou-se um dado duas vezes. Sejam

x

e

y

o número de pontos obtidos no primeiro e segundo lançamento, respectivamente.

Qual a probabilidade do quociente x

y ser um número inteiro?

(A) 7 18 (B) 2 3 (C) 1 2 (D) 11 18

Duração: 90 minutos Dezembro/ 2009

Nome ________________________ Nº ___ T: __

Classificação ____________

O Prof.__________________ (Luís Abreu)

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5. A idade dos professores de uma escola segue uma distribuição aproximadamente normal. A probabilidade de um professor dessa escola ter idade compreendida entre 35 e 50 anos será maior se o valor médio da idade for:

(A) 30 (B) 35 (C) 41 (D) 47

2ª PARTE

Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efectuados e as justificações necessárias. Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto.

1. No final de um concerto de Rock foram inquiridos 200 espectadores sobre se estavam ou não satisfeitos com o espectáculo. Sabe-se que, dos inquiridos, 120 eram mulheres, 10 eram homens que não estavam satisfeitos com o espectáculo, e que 4

5 dos inquiridos estavam satisfeitos.

Encontrou-se ao acaso uma das 200 pessoas.

1.1. Determine a probabilidade dessa pessoa estar satisfeita com o espectáculo. 1.2. Sabendo que essa pessoa não está satisfeita com o espectáculo, qual é a

probabilidade de ser mulher? 1.3. Considere o acontecimento:

M: ”A pessoa é mulher e não está satisfeita com o espectáculo”. Defina o acontecimento contrário de M, e calcule a sua probabilidade.

Nota: Apresente os resultados das probabilidades pedidas, nas três questões anteriores, na forma de

fracção irredutível.

2. Lançaram-se dois dados, um perfeito e outro viciado. Sabe-se que para este último a probabilidade de sair um 6 é de 50%, sendo as restantes faces com igual probabilidade. Seja

X

a variável aleatória que representa o número de 6 saídos nos lançamentos dos dois dados.

Represente, através de uma tabela, a distribuição de probabilidades da variável

X.

Apresente a média e o desvio padrão da distribuição.

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3. Na figura está representado um cubo. Três dos vértices desse cubo estão designados pelas letras

A

,

B

e

G

.

3.1. Pretende-se designar os restantes cinco vértices do cubo, utilizando letras do alfabeto português (23 letras).

De quantas maneiras diferentes podemos designar esses cinco vértices, de tal modo que os quatro vértices de uma face sejam designados pelas letras A, B, C e D.

Nota: não se pode utilizar a mesma letra para designar vértices diferentes. 3.2. Escolhem-se aleatoriamente quatro vértices do cubo.

Qual é a probabilidade de esses quatro vértices definirem um sólido geométrico?

Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

3.3. Estão disponíveis seis cores para pintar todas as faces deste cubo. Pretende-se que sejam respeitadas as seguintes condições:

• duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas de cores diferentes; • apenas duas faces opostas fiquem pintadas de vermelho e as restantes de cores

diferentes.

Determine de quantas maneiras diferentes podem as faces do cubo ficar pintadas.

4. Sabe-se que 10% dos brinquedos produzidos por uma fábrica têm defeito. É efectuada uma inspecção sobre uma amostra de 10 brinquedos, escolhidos aleatoriamente.

Nota: Nas duas questões que se seguem apresente o resultado na forma de dízima aproximada às

centésimas.

4.1. Calcule a probabilidade de nessa amostra existir apenas um brinquedo defeituoso. 4.2. Se na amostra só forem permitidos, no máximo, 2 brinquedos com defeito, qual é a

probabilidade de a inspecção permitir a venda destes brinquedos?

5. Mostre que não existe termo independente no desenvolvimento de

10 2 1 x x ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Fim Cotações: 1ª Parte 2ª Parte Questões 10 pontos cada questão 1.1. 1.2. 1.3. 2. 3.1. 3.2. 3.3. 4.1. 4.2. 5. Pontos 12 15 15 25 15 15 15 10 18 10

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Formulário Comprimento de um arco de circunferência

. (r

α

−amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de figuras planas

Losango:

2

Diagonal maior Diagonal menor×

Trapézio:

2

Base maior Base menor Altura

+

× Polígono regular: Semiperímetro×Apótema

Sector circular: 2 2 r α (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone:

π

rg (r – raio da base; g – geratriz)

Área de uma superfície esférica: 4

π

r2 (r – raio)

Volumes

Pirâmide:1

3×Área da base×Altura

Cone: 1

3×Área da base×Altura

Esfera: 4 3

3

π

r (r – raio)

Trigonometria

sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a cos (a + b) = cos a .cos b − sen a. sen b tg (a + b) = 1 . tga tgb tga tgb + − Complexos ( )ρ cis θ n =ρncis n ( . )θ

{

}

2 , k 0,...,n-1 n _cis n _cis k n θ π ρ θ = ρ + ∈ Probabilidades 1 1 ... n n x p x p μ = + + 2 2 1 1 (x ) p ... (x_n ) p_n σ = −μ + + −μ Se X é

N(μ,σ)

, então: ( ) 0,6827 P μ σ− < X < +μ σ ≈ ( 2 2 ) 0,9545 P μ− σ < X < +μ σ ≈ ( 3 3 ) 0,9973 P μ− σ < X < +μ σ ≈ Regras de Derivação

(

u v+

)

′ = +u′ v'

(

u×v

)

′ =u ×v u×v′ + ′ 2 u u ×v u×v v v ′ _′ ₋ _′ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 (un)′=n×un− ×u′ (n∈ \)

(

sen u

)

′ =u ×′ cos u

(

cos u

)

′ = −u × sen u′

(

)

₂ cos u tg u u ′ ′ =

( )

_eu ′ ₌_{u ×e}_′ u (au)′=u × a × a′ u ln (a∈ \+ \ {1})

(

ln u

)

u u ′ ′ = (log ) ln a u u u× a ′ ′ = (a∈ \+ \ {1}) Limites notáveis 1 lim 1 n e n ⎞ ⎛ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 lim 1 x x sen x → = 0 1 lim 1 x x e x → − ₌ 0 ln( 1) lim 1 x x x → + ₌ ln lim 0 x x x →+∞ = lim (p ) x p x e x → +∞ = + ∞ ∈ \

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Internet: www.xkmat.pt.to Página 5 de 3 Soluções 1ª Parte 1 2 3 4 5 C C D A C 2ª Parte 1.1. 160 4 200 = 5 1.2. 3 4

1.3. M: " A pessoa é homem

ou

está satisfeita como espectáculoo "

3 17 ( ) 1 ( ) 1 20 20 p M = − p M = − = 2. i x 0 1 2 ( _i) p X =x 5 12 1 2 1 12

3.1. Para as letras C e D temos 4 maneiras diferentes para os restantes vértices sobram 18 letras, logo 18 3 A . Resposta: 18 3 4× A =19584. 3.2. 8 4 8 4 12 29 35 C C − ₌ 3.3. 3 5 4 3 2× × × × =360 4.1. 10 9 1 ( 1) (0,1)(0, 9) 0, 39 p X = = C = 4.2. (p X ≤2)= p X( = +0) p X( = +1) p X( =2)=0, 93 5.

( )

10 ₁₀ ₁₀ 2 10 2 10 10 20 2 0 0 1 1 ( ) ( ) p p p p p p p p x C x C x x x x − − − = = ⎛ ₊ ⎞ ₌ ⎛ ⎞ ₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

⎝ ⎠

∑

O termo independente é dado pelo valor de p (nº inteiro) que satisfaz a condição

20 2 p p

x − x− =1

para não haver parte literal a variável tem de ter expoente igual a zero

20 2p p 20 3p x − x− =x − 20 20 3 0 3 p p