Geometria Dinâmica utilizando o Software Régua e Compasso

Geometria Dinâmica utilizando o Software Régua e Compasso

Gilmara Teixeira Barcelos Silvia Cristina Freitas Batista

Campos dos Goytacazes 2008

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Geometria Dinâmica utilizando o Software Régua e Compasso

1ª Parte – Conhecendo o Software Régua e Compasso

O Régua e Compasso é um software livre, de autoria de René Grothmann (professor da Universidade Católica de Berlin, Alemanha), disponível, em português, no endereço eletrônico <http://www.khemis.hpg.ig.com.br/car/>1_{. É um software mulitplataforma, isto é roda em}

diversas plataformas como Microsoft Windows©, Linux, Macintosh©, etc.

É um programa de Geometria Dinâmica, isto é, sua função é possibilitar o trabalho com construções geométricas que podem ser alteradas movendo um dos pontos básicos, permitindo a preservação das propriedades originais. Dessa forma, permite explorar diversos aspectos relativos à Geometria Plana Euclidiana e à Geometria Analítica.

Ao abrir o software, visualizamos a seguinte tela:

Figura 1: Interface do Software Régua e Compasso

Nela podemos observar duas janelas (Figura 1): a Lista de Objetos (à esquerda) e a Janela Geométrica, na qual são feitas as construções (à direita). A Lista de Objetos pode ser

1 _{Nos endereços eletrônicos <http://www.khemis.hpg.ig.com.br/car/Documentation/index.html> e}

<http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/index.html> é possível obter outras informações sobre este

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fechada, clicando, com o botão esquerdo do mouse, em Configurações, no menu principal, e, a seguir, em Lista de Objetos, desativando-a. Cada objeto visualizado na Janela Geométrica tem sua representação algébrica mostrada na Lista de Objetos.

A interface apresenta, além das duas janelas mencionadas, o Menu Principal, a Barra

de ícones e a Linha de Status, conforme indicado na Figura 1. Ao clicar, no menu principal,

em Opções e, a seguir, em Modo Visual, desativando-o, a linha de status transforma-se em linha de entrada de comandos.

A seguir, apresentam-se breves descrições de algumas ferramentas que aparecem na Barra de Ícones. Outras informações poderão ser obtidas em “Ajuda contextual” no próprio programa.

Ferramentas

Ponto: selecionando esta ferramenta e clicando na janela geométrica, com o botão

esquerdo do mouse, cria-se um ponto livre, móvel. É possível determinar pontos fixos de duas maneiras: i) clicando com o botão direito sobre o ponto e assinalando “fixo” na caixa de diálogo de valores; ii) mantendo a tecla “shift” apertada ao marcar o ponto. Isto também pode ser feito para fixar medidas de segmentos - inclusive raios - e ângulos.

Reta: marcando-se dois pontos, traça-se a reta definida por eles.

Segmento: marcando-se dois pontos, determinam-se as extremidades do segmento a

ser traçado.

Segmento com Comprimento Fixo: marcam-se as extremidades do segmento e

digita-se a medida dedigita-sejada para este, em uma janela que digita-se abre automaticamente.

Semi-reta: marcando-se dois pontos, traça-se a semi-reta definida por eles, com origem

no primeiro ponto marcado.

Interseção: marca o ponto de interseção entre duas linhas, uma linha e uma

circunferência ou duas circunferências. O ponto de interseção entre dois objetos pode ser criado de duas maneiras: i) selecionando dois objetos: dessa forma todas as interseções existentes são marcadas (a ordem na qual clicamos nos dois objetos é indiferente); ii) clicando, com o botão esquerdo do mouse, em uma interseção desses objetos: somente esse ponto de interseção é marcado.

Reta paralela: clicando-se, com o botão esquerdo do mouse, em uma reta e em um ponto fora dela, constrói-se uma reta paralela à reta considerada, passando pelo referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta ou semi-reta. Reta perpendicular: clicando-se, com o botão esquerdo do mouse, em uma reta e em um ponto constrói-se uma reta perpendicular à reta considerada, passando pelo referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta, ou semi-reta.

3 Círculo2_{: marcando-se um ponto A e um ponto B, traça-se a circunferência com centro}

A, passando por B. As circunferências construídas com essa ferramenta têm raios móveis. É possível fixar esses raios, mas já existe uma ferramenta para construção de circunferências de raios fixos.

Círculo com raio fixo: se um ponto (o centro da circunferência), a seguir

marca-se outro ponto e digita-marca-se a medida demarca-sejada para o raio, em uma janela que marca-se abre automaticamente.

Compasso: clicando-se em dois pontos determina-se o raio de uma circunferência que

pode ser colocada em qualquer lugar da tela, a partir de um clique. Faz o papel do compasso.

Ângulo: marca-se o primeiro ponto, em seguida, o vértice do ângulo e, por fim, o último

ponto.

Ângulo de amplitude fixa: marca-se o primeiro ponto, em seguida, o vértice do ângulo

e, por fim, o último ponto e, a seguir, digita-se a medida desejada para o ângulo, em uma janela que se abre automaticamente.

Usar ângulos > 180º: permite que ângulos côncavos sejam marcados, ao invés dos

convexos(deve ser usada em conjunto com uma ferramenta para traçar ângulos).

Polígono preenchido: para construir um polígono, marcam-se, ao menos, três pontos e

clica-se, com o botão esquerdo do mouse, no primeiro ponto novamente para “fechar” o polígonoou, então, devem-se dar dois cliques no ultimo ponto marcado.

Texto: clicando, com o botão esquerdo do mouse, na janela geométrica, o texto que for

digitado, na janela que será aberta, aparecerá neste local.

Seção Cônica passando por 5 pontos: marcando-se cinco pontos constrói-se a cônica

que passa por eles.

Ocultar objeto: ao clicar sobre um objeto, ele não aparecerá na janela geométrica. Exibir objetos ocultos: exibe os objetos ocultos, estes ficam com a cor mais fraca que

os objetos que não foram ocultados. Ao desativar esta ferramenta, os objetos serão escondidos novamente. Caso queira que algum objeto não seja escondido, ao desativar essa ferramenta, clique no objeto com o botão direito do mouse e, na janela que se abrirá, desative a ferramenta ocultar objeto.

Eliminar último objeto: apaga o último objeto construído.

Eliminar objeto: ao clicar em qualquer objeto este será apagado.

2 _{Embora o nome da ferramenta seja Círculo, nas explicações estamos considerando a distinção entre}

circunferência e círculo. Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão a uma certa distância, chamada raio, de um certo ponto, chamado centro. Um círculo é o conjunto de pontos de um plano cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor (raio).

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Desfazer últimas remoções: mostra os objetos que foram apagados recentemente.

Cor padrão do objeto: mostra (ou permite selecionar) a cor do objeto a ser construído.

Tipo padrão do ponto: mostra (ou permite selecionar) o tipo do ponto a ser marcado.

Espessura padrão do objeto: mostra (ou permite selecionar) a espessura do objeto a

ser construído.

Círculos Parciais: essa ferramenta funciona em conjunto com a ferramenta Círculo e,

portanto, ambas devem ser ativadas. Dessa forma, apenas arcos de circunferência são traçados. Há uma outra forma de se determinar arcos, sem usar essa ferramenta. Se a circunferência já estiver construída e quisermos deixar na tela apenas um arco, marcam-se os dois pontos que marcam-serão as extremidades do arco. A marcam-seguir, clica-marcam-se com o botão direito do mouse sobre a circunferência e, na janela que se abrirá, seleciona-se Definir

Arco. Finalmente, clica-se nos pontos que serão as extremidades do arco.

Linhas Parciais: essa ferramenta funciona em conjunto com a ferramenta reta e,

portanto, ambas devem ser ativadas. Marcando-se dois pontos, traça-se uma “reta truncada”. É possível, também, criar uma “semi-reta truncada”, mas, nesse caso, deve-se clicar com o botão direito do moudeve-se sobre a deve-semi-reta e, na janela que deve-se abrirá, selecionar essa ferramenta.

Segmentos como vetores: essa ferramenta funciona em conjunto com a ferramenta segmento e, portanto, ambas devem ser ativadas. Marcando-se dois pontos, traça-se o

vetor com origem no primeiro ponto determinado e outra extremidade no segundo. Exibir nomes de objetos: após esta ferramenta ser ativada, todos os objetos que forem

construídos aparecerão na tela nomeados.

Mostrar valores dos objetos: após esta ferramenta ser ativada, todos os objetos

construídos aparecerão na tela com suas medidas (ou coordenadas no caso de pontos).

R R R

Renomear: renomeia-se alfabeticamente pontos, linhas e ângulos, a partir de um clique

sobre o objeto.Se necessitar usar, por exemplo, a letra “a" para dois objetos diferentes, use "a~1" e "a~2": o til não é exibido, nem o que vem depois dele.

Exibir cores selecionadas: exibe somente objetos da cor da apresentada na

ferramenta (além do preto).

Exibir grade: mostra, na janela geométrica, o sistema de coordenadas cartesianas.

Criar uma função: permite traçar gráfico de funções ou de curvas paramétricas.

Deve-se ter atenção ao escrever a lei de definição das funções ou das curvas paramétricas. Por exemplo, 2x2 _{deve ser escrito 2*x*x ou 2*x^2.}

Desenhar com o mouse: permite desenhar livremente pela tela, utilizando o mouse.

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Expressão Aritmética: permite calcular e fazer aparecer na tela os resultados de certas

expressões. Ao clicar na janela geométrica, uma janela se abrirá automaticamente, nela digite a expressão aritmética desejada.A tabela a seguir apresenta uma breve descrição dos elementos válidos.

Nome Exemplo Descrição

+, -, *, /,^ ou ** 3.5*3+3/(4-5^2) Matemática Elementar Especificação de

objeto AB/CD Nomear segmento, circunferência, ângulo, por exemplo. Função Sin (a) As funções sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sqrt (raiz quadrada), exp, log, round (arredondamento), por exemplo.

Pi pi O valor de pi

x x(P) x, abscissa de um ponto (o mesmo pode ser feito para y(P), ordenada de um ponto).

d d(P,Q) Distância entre dois pontos.

Rastrear ponto ou reta: permite movimentar um ponto não-fixo e visualizar a sua trilha,

ou seja, a curva obtida ao se movimentar este ponto. Para tanto, arraste o ponto com o botão esquerdo do mouse. Ao selecionar outra ferramenta a trilha traçada desaparece. Também é possível movimentar uma linha (segmento, reta ou semi-reta) através desta ferramenta, para tanto clique em um dos pontos que definem o objeto e arraste-o para obter sua trilha (que também desaparecerá ao selecionar uma outra ferramenta).

Rastreio automático de ponto ou reta: movimenta automaticamente um ponto sobre

um objeto (linha ou circunferência). O ponto a ser movimentado não deve pertencer à linha ou circunferência. Deve-se indicar o(s) ponto(s) a ser(em) rastreados, o objeto, e o ponto a ser movido. Por exemplo, acione a ferramenta Exibir Grade e sobre o eixo x, trace um segmento com extremidades em (-2,0) e (2,0). A seguir, marque um ponto qualquer do segmento, que não seja extremidade (consideremos que esse ponto seja P3). Fora do segmento, marque um ponto qualquer (P4). Clique com o botão direito sobre P4, altere suas coordenadas, escrevendo x(P3) no campo correspondente a x e x(P3)^2 no campo correspondente a y e clique em OK. Selecione a ferramenta Rastreio

automático de ponto ou reta e, então, clique em P4, depois no segmento e,

finalmente, em P3. A animação pode ser interrompida com um clique no mouse.

Animação: movimenta um ponto sobre circunferências ou segmentos, para tanto clique

no ponto e a seguir na(s) circunferência(s) ou no(s) segmento(s) O último objeto deverá ser selecionado através de dois cliques no mouse. A animação é parada por clique no mouse. Para que o ponto se movimente sobre objetos diferentes, este não deve pertencer ao segmento ou à circunferência.

Exibir comentário: ao clicar nessa ferramenta, uma janela se abrirá automaticamente e

nela será possível digitar um comentário para a construção. O comentário será exibido para o usuário assim que carregar ("abrir") a construção que foi salva anteriormente. Mantendo o “shift” apertado ao selecionar esta ferramenta permite registrar exercícios.

Repetir construção: essa ferramenta abre uma pequena janela contendo os botões

clássicos para avançar, retroceder, etc. Cada passo da construção é mostrado. (somente passos visíveis são exibidos).

Rodar Macro. Macros são atalhos para passos de construção, sub-rotinas como de

linguagem de programação. São como se fossem novas ferramentas criadas pelo usuário. Ao selecionar essa ferramenta, uma janela é aberta e o usuário poderá escolher uma macro. Se nenhuma macro tiver sido criada, haverá uma única opção a ser selecionada, cujo nome é “padrão”. Dando dois cliques sobre o nome “padrão” algumas opções de macros aparecem. Estas poderão então ser selecionadas e usadas. No entanto, essas macros do tipo “padrão” já possuem seus ícones na Barra de Ícones, sendo, portanto, mais fácil selecioná-las por meio deles.

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Parâmetros de macro/Objetos/Definições: para gerar uma macro, o usuário faz uma

construção, e “ensina” a macro o que fazer. Macros têm parâmetros, que determinam os objetos com os quais se deve começar. Elas também têm alvos, que determinam os objetos a serem construídos. Depois de realizada a construção desejada, clique na ferramenta (ela torna-se ), a seguir, selecione os parâmetros de entrada, clicando nos objetos desejados. Então, clique novamente na ferramenta ( ) e , depois, nos alvos, ou seja, nos objetos que devem ser exibidos quando a macro for rodada. Clique novamente na ferramenta ( ), uma janela será aberta automaticamente, nela nomeie a macro e escreva um comentário que “ensine” o usuário a utilizar a macro. Finalizando, clique em outra ferramenta. Por exemplo, trace um segmento de reta e, a seguir, a partir de uma de suas extremidades, trace uma reta perpendicular ao segmento. Para criar uma macro dessa construção, siga a explicação acima, selecionando como parâmetros de entrada as extremidades do segmento e como alvos, o segmento e a reta perpendicular.

Bissetriz Perpendicular (macro): essa ferramenta determina o eixo de reflexão entre

dois pontos. Clique em dois pontos quaisquer na janela geométrica e o eixo de reflexão entre eles será traçado.

Reflexão em uma linha (macro): essa ferramenta marca um ponto refletido em relação

a uma reta. Clique na reta através da qual ocorrerá a reflexão e, a seguir, clique no ponto a ser refletido, com o botão esquerdo do mouse.

Reflexão em um círculo (macro): essa ferramenta marca um ponto refletido em relação

a uma circunferência. No plano, a reflexão de um ponto P em relação a um circunferência de centro O e raio r é o ponto P’ se P e P´ estão na mesma semi-reta de origem O e 2

' .OP r

OP ₌ . Para tanto, tendo já construído uma circunferência, ative a

ferramenta Reflexão em um círculo e clique na circunferência. A seguir, marque um ponto qualquer na janela geométrica (menos o centro da circunferência). A reflexão desse ponto, em relação à circunferência, será marcada automaticamente. De preferência evite considerar um ponto da circunferência, pois a reflexão será o próprio ponto e não será possível notar o que ocorre.

Reflexão em um ponto (macro): essa ferramenta marca um ponto refletido em relação

a um outro ponto. Clique, com o botão esquerdo do mouse, no ponto através do qual ocorrerá a reflexão e, a seguir, no ponto a ser refletido.

Ângulo Bissetriz como linha (macro): marcando-se três pontos quaisquer, como por

exemplo, A, B e C, constrói-se a reta suporte da bissetriz do ângulo

A ˆ

B

C

Ângulo Bissetriz com semi-reta (macro): marcando-se três pontos quaisquer, como

por exemplo, A, B e C, constrói-se a bissetriz do ângulo

A ˆ

B

C

Projeção de ponto para linha (macro): projeta um ponto sobre uma reta, semi-reta ou

segmento. Clique na linha (reta, semi-reta ou segmento) em que o ponto será projetado e, a seguir, no ponto.

Rotação (macro): clique, em três pontos quaisquer, como por exemplo, A, B e C, o

ângulo

A ˆ

B

C

janela geométrica (por exemplo, D e E, nessa ordem). Um terceiro ponto (F) será marcado de forma que a medida do ângulo E ˆDF será a mesma do ângulo

A ˆ

B

C

ponto D é o centro da rotação, vértice do novo ângulo.

Rotação com ângulo (macro): essa ferramenta desenha um ponto rotacionado em

relação a um outro ponto (centro da rotação). Com a ferramenta ativada clique no ponto que funcionará como centro de rotação, a seguir, clique no ponto que será rotacionado.

Automaticamente uma janela será aberta, nela digite a medida do ângulo de rotação em graus (medida positiva – rotação no sentido anti-horário, medida negativa – rotação no sentido horário).

Troca (macro): essa ferramenta permite que, tendo já construído um segmento

orientado representando um vetor v, construa-se um outro representante de v, a partir de um ponto considerado. Para tanto, clique nas extremidades do segmento orientado que representa v e, a seguir, em um ponto qualquer da janela geométrica. Este ponto será a origem do outro representante de v e o seu ponto final será marcado automaticamente (somente os pontos são marcados). O mesmo pode ser feito para segmento de reta.

2ª Parte – Atividades Iniciais

A segunda parte desta apostila contém atividades elementares, elaboradas por Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista, com a finalidade de favorecer o reconhecimento das funções de algumas ferramentas.

Atividades

1. Crie um ponto livre ( ).

2. Crie um ponto livre com uma forma de apresentação ( ) diferente do ponto criado no item anterior.

3. Apague ( ) os pontos que você criou.

4. Construa uma reta ( ) e marque alguns pontos pertencentes a ela.

5. Construa uma outra reta, escolhendo previamente uma cor ( ) e uma “espessura” ( ) para a linha da construção, dentre as opções existentes.

6. Em Arquivo, no menu principal, solicite uma Nova Construção (sempre que desejar, faça uso desse recurso).

7. Construa um segmento de reta, utilizando a ferramenta Segmento ( ). Usando os recursos do software, solicite que a medida desse segmento ( ) apareça na janela geométrica.

8. Construa duas semi-retas ( ) de mesma origem, não colineares. Determine a medida do ângulo convexo ( ) formado por estas semi-retas.

9. Construa: i) uma reta ( ); ii) uma reta paralela ( ) a que você construiu; ii) uma reta perpendicular ( ) a que você construiu no item i.

10. Construa um segmento de reta ( ). Marque seu ponto médio ( ). “Movimente” uma das extremidades desse segmento.

11. Construa duas circunferências: uma usando a ferramenta Círculo ( ) e outra usando a ferramenta Círculo com Raio Fixo ( ). “Movimente” as duas circunferências pelo centro. Descreva a diferença que você observou entre as duas construções.

12. Oculte as circunferências construídas no item anterior ( ).

13. Construa uma circunferência ( ) e marque um ponto ( ) fora dela. “Anime” ( ) esse ponto sobre acircunferência construída.

14. Ative a ferramenta Polígono ( ). Faça algumas construções utilizando essa ferramenta. Ative as ferramentas Mostrar Valores dos Objetos ( ) e Exibir Grade ( ) e faça novas construções utilizando a ferramenta Polígono.

15. Construa um segmento de reta ( ). Construa um outro segmento de reta, congruente ao primeiro, utilizando a ferramenta Compasso ( ).

16. Ative a ferramenta Criar uma Função ( ). Na janela que se abrirá, escreva na linha correspondente a Y, a lei de uma função da qual deseje que seja construído o gráfico. Clique em Ok.

17. Trace um segmento orientado representando um vetor v ( ). A seguir,

utilizando a ferramenta Troca ( ), trace um outro representante de v, a partir de um

novo ponto a ser considerado.

18. Copie as construções que estão na janela geométrica e cole em um arquivo de um editor de texto.

3ª Parte – Atividades

A terceira parte desta apostila contém atividades, elaboradas por Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista, com a finalidade de mostrar algumas das inúmeras formas de aplicação do software Régua e Compasso como recurso didático.

• Atividade 1

No menu Configurações, selecione “Alterar Algarismos Decimais”. Na janela que será aberta registre duas casas decimais na linha correspondente a “Exibir” e “Ângulos”.

a. Construa um triângulo acutângulo (sem utilizar a ferramenta polígono) e nomeie A, B e C os seus vértices. Para isso, clique com o botão direito no mouse sobre cada vértice e, na janela que se abrirá, troque a letra já existente pela letra desejada. Clique em nessa mesma janela e, depois, clique em OK.

b. Ative a ferramenta paramarcar os ângulos internos desse triângulo.

c. Clique com o botão direito do mouse sobre a “marca” de um dos ângulos internos do triângulo. Na janela que abrirá ative a ferramenta e clique em OK

.

procedimento para os outros dois ângulos internos. Observe as medidas dos ângulos. d. Movimente um dos vértices de modo a obter um triângulo obtusângulo.

e. Salve a construção feita.

• Atividade 2

a. Peça uma nova construção b. Trace um segmento de reta.

c. Trace uma reta paralela ao segmento traçado.

d. Utilizando a ferramenta construa um triângulo de tal forma que um de seus vértices pertença ao segmento, mas sem ser uma extremidade deste, e os outros dois pertençam à reta.

e. Clique com o botão direito sobre o polígono e solicite sua área (para isso, na janela que se abrirá, clique em e, em seguida, em OK)

.

f. Utilize a ferramenta e “anime” o vértice pertencente ao segmento (sobre o próprio segmento).

g. Descreva o que você observou

.

h. Salve a construção feita.

• Atividade 3

a. Abra o arquivo com a construção da Atividade 1.

b. Marque os pontos médios dos segmentos AB e AC e denomine-os M e N, respectivamente.

c. Ative as ferramentas

,

e

d. Clique com o botão direito do mouse sobre o segmento BC e solicite a medida e o nome deste (para isso, na janela que se abrirá, clique em

,

.

e. Mostre na janela geométrica a razão MN_BC e observe o valor encontrado. Para tanto, ative a ferramenta e clique na janela geométrica. Na janela que se abrirá automaticamente, digite, no campo “explanação”, MN/BC; no campo “expressão aritmética” digite s4/s2, caso assim estejam nomeados os segmentos MN e BC, respectivamente; ative a ferramenta “Exibir nome dos objetos” e clique em OK.

f. Movimente um dos vértices do triângulo ABC e observe o valor da razão MN_BC .

g. Descreva o que foi possível observar em relação às medidas dos segmentos MN e BC. h. Determine a medida do ângulo AMN (estando ativada a ferramenta

,

ferramenta

).

i. Movimente o ponto B. Compare novamente a medida dos ângulos AMN e ABC.

j. Descreva o que foi possível observar com relação à posição relativa dos segmentos MN e BC.

• Atividade 4

a. Peça uma nova construção.

b. Selecione uma cor e construa um triângulo (sem utilizar a ferramenta polígono).

c. Determine a medida de cada ângulo interno desse triângulo (ative a ferramenta

e

utilize a ferramenta

).

d. Selecione outra cor qualquer e trace as retas suporte das alturas desse triângulo. e. Marque o ponto de interseção das alturas (ortocentro).

f. Movimente um dos vértices do triângulo (obtenha triângulos acutângulos, retângulos e obtusângulos).

g. Observe a posição do ortocentro em cada um dos triângulos e descreva o que você observou.

• Atividade 5

a. Peça uma nova construção.

b. Construa um triângulo eqüilátero que possa ser movimentado pela tela sem perder suas propriedades.

c. Clique com o botão direito sobre cada lado do triângulo e solicite sua medida (na janela que se abrirá, clique em e, em seguida, em Ok)

.

d. Movimente um dos vértices desse triângulo e observe se a construção está coerente com o que foi solicitado no item b.

e. Determine a medida de cada ângulo interno do triângulo (ative a ferramenta

e

utilize a ferramenta

).

f. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou com relação à medida dos ângulos internos.

• Atividade 6

a. Peça uma nova construção.

b. Construa um quadrado que possa ser movimentado pela tela sem perder suas propriedades (utilize apenas a definição de quadrado).

c. Clique com o botão direito sobre cada lado do quadrado e solicite sua medida (na janela que se abrirá, clique em e, em seguida, em OK)

.

d. Determine a medida de cada ângulo interno do quadrado (ative a ferramenta

e

utilize a ferramenta

).

e. Movimente um dos vértices do quadrado. Observe se a construção está coerente com o que foi solicitado no item b.

f. Com a ferramenta ativada, trace as diagonais do quadrado. Determine a medida de cada um dos ângulos formados pelas diagonais.

g. Movimente um dos vértices do quadrado e observe a medida dos ângulos formados pelas diagonais e a medida das diagonais. Enuncie, com suas palavras, as propriedades que você observou.

h. Determine a medida dos ângulos que cada diagonal forma com os lados.

i. Movimente um dos vértices do quadrado e observe a medida dos ângulos considerados no item h. Enuncie, com suas palavras, a propriedade que você observou.

• Atividade 7

a. Peça uma nova construção.

b. Construa um losango que possa ser movimentado pela tela sem perder suas propriedades (utilize apenas a definição de losango).

c. Solicite a medida de cada um dos lados desse losango.

d. Movimente um dos vértices e observe se a construção está coerente com o que foi solicitado no item b.

e. Trace as diagonais do losango.

f. Determine a medida de cada um dos ângulos formado pelas diagonais (ative a ferramenta

e

).

g. Movimente um dos vértices do losango e observe a medida dos ângulos formados pelas diagonais. Enuncie, com suas palavras, a propriedade que você observou.

h. Determine a medida dos ângulos que cada diagonal forma com os lados. Movimente um dos vértices do losango e observe a medida desses ângulos. Enuncie, com suas palavras, a propriedade que você observou.

i. Movimente um dos vértices até obter um losango que tenha os quatro ângulos internos retos. Descreva o que você observou.

• Atividade 8

a. Peça uma nova construção.

b. Construa uma circunferência usando a ferramenta

.

c. Trace um ângulo central nessa circunferência, que não seja um ângulo raso. Dessa forma, estaremos determinando dois ângulos centrais, um côncavo e outro convexo. Determine a medida do ângulo convexo.

d. Desative a ferramenta e trace um ângulo inscrito na circunferência de modo que este subentenda o mesmo arco do ângulo central convexo.

e. Determine a medida do ângulo inscrito. Compare a medida do ângulo central convexo com a do ângulo inscrito.

f. Movimente a extremidade (a que está sobre a circunferência) de um dos raios. Compare novamente a medida dos dois ângulos. Enuncie com suas palavras o que você observou.

g. Movimente o vértice do ângulo inscrito. Descreva o que você observou.

• Atividade 9

a. Peça uma nova construção. b. Construa uma circunferência.

c. Marque quatro pontos dessa circunferência (A, B, C, D) e construa o quadrilátero ABCD. d. Ative as ferramentas

,

,

quadrilátero.

e. Mostre na janela geométrica a soma das medidas dos ângulos opostos e observe o valor encontrado. Para tanto, ative a ferramenta e clique na janela geométrica. Na janela que se abrirá automaticamente, digite, no campo “explanação”, A + C; no campo “expressão aritmética” digite a1 + a3, caso assim estejam nomeados os ângulos Aˆ e

C

ˆ

para os ângulos Bˆ e Dˆ .

f. Movimente um dos vértices do quadrilátero e observe novamente a soma das medidas dos ângulos opostos.