da disciplina
Camada Limite
Fluidodinâmica
2018
Curso de Engenharia Aeronáutica
UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ
“Deus está com aqueles que perseveram.” Alcorão – capítulo VIII “Memento mori.” Tertuliano (Quintus Septimius Florens Tertullianus) – Apologeticus, capítulo 33
O soldado que não acredita na vitória não é capaz de lutar por ela.
Fernando Porto
AGRADECIMENTOS
Agradeço sinceramente ao professor Pedro Marcelo Alves Ferreira Pinto, pela confiança depositada em meu trabalho.
Aproveito também para agradecer profundamente aos meus grandes e generosos amigos Eliane Silveira Romagnolli Araujo, José Rui Camargo, Laércio Ferreira, Flávio Groh, Mário Célio Ribeiro, Fabrício Soares e Olivério Moreira de Macedo Silva, pessoas que souberam se fazer presentes mesmo quando distantes, e que nesta minha nova fase profissional foram o apoio essencial e sólido que tanto precisei.
DEDICATÓRIA
Ao meu filho Thiago Francisco. Meu grande orgulho, e meu Norte!
IMPORTANTE
Esta apostila abrange o conteúdo da disciplina “Camada Limite Fluidodinâmica”, tal como ministrada atualmente no Curso de Engenharia Aeronáutica ligado ao Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Taubaté, UNITAU.
A apostila é fortemente baseada nos livros texto indicados ao aluno para o acompanhamento da disciplina, “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, de Robert W. Fox, Alan T. McDonald, 4ª.Ed., Editora Afijada, e “Mecânica dos Fluidos”, de B.S. Massey, 1ª Ed., Fundação Calouste Gulbenkian. Ambos podem ser encontrados na Biblioteca do Departamento de Engenharia Mecânica.
Em momento algum o aluno deve supor que a apostila se sobrepõe ou transforma em desnecessário o uso dos livros texto. Ao contrário, a função desta é somente facilitar ao aluno o uso dos referidos livros, continuando seu emprego imprescindível a uma compreensão equilibrada e abrangente da disciplina.
Prof. Dr. Fernando Porto
Depto. Engenharia Mecânica – UNITAU Agosto de 2018
1. CAMADA LIMITE INCOMPRESSÍVEL
1.1. INTRODUÇÃO
Alguns fenômenos ocorrem quando um fluxo externo é aplicado sobre um corpo:
LBL – Camada limite laminar TBL – Camada limite turbulenta T – Transição S – Ponto de Separação
Figura 1.1-1: Diagrama esquemático do escoamento viscoso em torno de um aerofólio. [Fox & McDonald].
O escoamento divide-se no ponto de estagnação e circunda o corpo. O fluido em contato com a superfície adquire a velocidade do corpo como resultado da condição de não deslizamento.
O escoamento da camada limite é inicialmente laminar, passando para turbulento a uma certa distância do ponto de estagnação, dependendo das condições da corrente, rugosidade da superfície e gradiente de pressão.
Mas como determinar o ponto de mudança do regime de escoamento, de laminar para turbulento? Quais são as consequências desta mudança no desempenho de perfis aerodinâmicos, no que se refere à sustentação e ao arrasto?
1.2. DESCRIÇÃO DE CAMADA LIMITE
A camada limite mais simples de estudar é a que se forma no escoamento ao longo de um dos lados de uma placa plana, paralela à direção do escoamento de um fluido real. O fluido é real (não ideal) pois espera-se estudar a ação de forças viscosas e da condição de não deslizamento sobre a superfície. Sendo o escoamento sem a presença de outros corpos sólidos na vizinhança, considera-se a pressão constante.
O fluido, longe da placa, de velocidade U (paralela a placa), vai sofrer uma redução de velocidade na vizinhança do bordo de ataque da placa.
Figura 1.2-1: Camada limite sobre placa plana. A escala no eixo y está fortemente ampliada. [Massey].
Com o avanço ao longo da placa, a espessura da camada limite aumenta e é cada vez maior a extensão de fluido retardado.
Por conveniência, estabeleceu-se que a espessura da camada limite é a distância da superfície até ao ponto onde a velocidade do fluido é 99% da velocidade da corrente principal.
O escoamento na porção inicial (perto do bordo de ataque) é inteiramente laminar.
Com o aumento da distância ao bordo de ataque, a espessura da camada cresce até que o movimento laminar se torna instável e começa a sofrer perturbações. Estas, ao se acentuarem, dão origem a turbulência, e a espessura da camada limite torna a crescer de modo acentuado.
Estas mudanças se dão em uma curta distância, conhecida como região de transição.
Para uma superfície plana, ao longo da qual a pressão é uniforme, a espessura da camada limite aumenta continuamente com a distância ao bordo de ataque. Entretanto, a escala do desenho é desproporcional. A espessura (delta) é muito pequena em comparação a x. Os movimentos aleatórios da turbulência são obrigados a parar perto da superfície, dando origem a uma subcamada viscosa muito delgada, essencialmente laminar.
Na camada turbulenta, a mistura entre partículas é intensa, resultando em um perfil com maior gradiente de velocidade na vizinhança da superfície.
u = 0,99 U Região de Transição (pequena) Fronteira nominal na camada limite u y Turbulento Laminar Subcamada viscosa Bordo de
ataque Ponto de transição
x U X Gráfico da velocidade u em função da distância y ao ponto X da superfície
Figura 1.2-2: Perfis de velocidade típicos para camadas limite laminar e turbulenta junto a placa plana. [Massey].
A cota x a partir da qual a camada limite laminar se torna instável depende de vários fatores. A rugosidade da superfície facilita a transição para turbulência, mas o fator preponderante é o número de Reynolds do escoamento na camada limite (equação abaixo), onde U é a velocidade do fluido antes de alcançar a placa, (ni) é a viscosidade cinemática do fluido e x é a distância ao ponto considerado.
= . Eq. 1-1
Segundo o livro texto “Mecânica dos Fluidos” (Massey, 8ª ed.), para Re < 105 o regime ainda é laminar estável, mas a partir de 2106 é difícil evitar a transição. Já o livro texto “Introdução à Mecânica dos Fluidos” (Fox e McDonald, 4ª ed.) indica que a transição ocorre por volta de Re 5105.
Em placas extensas, a camada limite laminar ocupa uma fração reduzida da placa. Lembrando o Número de Reynolds
O coeficiente, número ou módulo de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluidos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido sobre uma superfície. Sua estimativa relaciona as características do fluido, a velocidade do escoamento e uma dimensão que caracterize a superfície em questão:
= . Eq. 1-2
Onde ρ (rô) é a massa específica, μ (mi), a viscosidade do fluido, V, a velocidade característica do fluxo (por exemplo, a velocidade de uma bola lançada no ar), e L o tamanho de escala do fluxo (por exemplo, o diâmetro da bola lançada no ar). Quanto menor o número de Reynolds, mais dominante será o efeito viscoso no fluxo, ou seja, maior a chance de o regime do escoamento ser laminar. Para aerofólios, a dimensão L é a corda c. A letra (ni) representa a viscosidade cinemática, definida por = μ / ρ. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Laminar Turbulento 0
= . = . Eq. 1-3
1.3. ESPESSURAS DE CAMADA LIMITE
A espessura (delta) da camada limite (ou espessura de perturbação) é definida como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade é 99% da velocidade do fluxo livre.
Figura 1.3-1: Na linha tracejada a velocidade do fluxo na camada laminar (u) atinge 99% da velocidade do escoamento do fluxo livre. [Fox & McDonald]
O efeito das forças viscosas na camada limite é retardar o escoamento. A vazão em massa adjacente a uma superfície sólida é menor àquela que passaria pela mesma região na ausência de uma camada limite.
O decréscimo de vazão em massa devido à influência das forças viscosas é
( − ) Eq. 1-4
onde w é a largura da superfície na direção perpendicular ao escoamento.
Figura 1.3-2 [Fox & McDonald]
Espessura de Deslocamento
Espessura de deslocamento * é a distância pela
qual a superfície deveria ser deslocada num escoamento sem atrito para ser alcançada a mesma redução na vazão em massa que causado pela presença da camada limite.
U
0,99 U
u
*
U u u = 99% de U U(a) (b) (c)
(a) Escoamento sem atrito na condição original, em velocidade U.
(b) A presença da placa desacelera o escoamento, reduzindo a vazão até uma dada distância
(delta) da placa.
(c) A cota * (delta asterisco) indica o quanto deveria ser restringido no escoamento original,
mostrado em (a), para que sua vazão fosse equivalente à vazão na condição (b). Figura 1.3-3: Comportamento da camada limite. [Fox & McDonald]
Já se sabe que o decréscimo de vazão em massa devido à influência das forças viscosas pode ser estimado através da equação 1-4. Então,
( − ) = ∗
Como o escoamento, neste caso, é incompressível, então é constante. Assim, a equação acima pode ser simplificada:
( − ) = ∗
e
1 − = ∗
Uma vez que a dimensão de interesse é restrita até aproximadamente (delta):
∗= 1 − ≈ 1 − Eq. 1-5 U U U u * * u = 0,99 U
Exemplo 1.3-1: Camada limite em escoamento
Um túnel de vento tem seção de teste quadrada, de 305mm de lado. Perfis de velocidade de camada limite são medidos em duas seções, e as espessuras de deslocamento são avaliadas a partir dos perfis medidos.
Figura 1.3-4 [Fox & McDonald]
Na seção , onde a velocidade livre é U1 = 26m/s, a espessura de deslocamento é * = 1,5mm. Na seção , localizada a jusante da seção , *2 = 2,1mm. (a) Calcule a variação de pressão estática entre as seções e . (b) Expresse o variação de pressão estática entre as seções e como uma fração da pressão dinâmica de corrente livre na seção . Admita condições de atmosfera padrão.
(a) Perfil de velocidade real (b) Perfil de velocidade hipotético
(c) Seção transversal do túnel de vento
Figura 1.3-5 [Fox & McDonald] Resolução
Da equação de Bernoulli, obtêm-se inicialmente uma relação entre as pressões nas seções e e a velocidade do escoamento em cada seção:
+
2 + = + 2 +
Assumindo que a variação de elevação é nula, tem-se que z1 = z2 :
+
2 = + 2
Como se deseja obter a variação de pressão estática entre as seções e :
Escoamento
− = 2[ − ] ou − = 2[ − ] 2 ( − ) = − 1
Sendo assumido que o escoamento seja permanente e uniforme em cada seção, da equação da continuidade tem-se que:
= =
ou
=
=
Substituindo na relação obtida através do uso da equação de Bernoulli: 2
( − ) = − 1 Os valores de A1 e de A2 são dados do problema:
= (0,305 − 2 × 0,0015) = 0,091204 = (0,305 − 2 × 0,0021) = 0,09048064 Assim
2
( − ) = 0,016053 1,605% Considerando ar = 1,2250 kg/m3 (atmosfera padrão), tem-se
− = 6,6468 Respostas: (a) 6,647 Pa; (b) 1,605 %.
Este exemplo ilustra a aplicação do conceito de espessura de deslocamento. O escoamento real, viscoso, com camadas limites e modelado como um escoamento uniforme, não viscoso, deslocado das fronteiras de uma distância *.
Espessura de Quantidade de Movimento
Outra espessura importante é a chamada espessura de quantidade de movimento (teta). O fluido que passa através de uma faixa elementar da camada limite, com altura dy, transporta quantidade de
movimento na taxa (.u.dy).u, por unidade de largura perpendicular ao desenho. Do mesmo modo,
em um escoamento sem viscosidade, a mesma quantidade de fluido transportaria uma quantidade de movimento (.u.dy).U.
Assim, similarmente ao caso da definição da espessura de deslocamento *, é a distância pela qual a superfície deveria ser deslocada num escoamento sem atrito para ser alcançada a mesma redução na quantidade de movimento que causada pela presença da camada limite.
Similarmente, para conseguir a mesma redução na quantidade de movimento total de um fluido, a superfície teria de ser deslocada para cima, numa distância .
Figura 1.3-6 [Massey]
( ) = ( − )
( ) = 1 −
( ) = 1 −
= 1 − Eq. 1-6
As espessuras * e são denominadas de espessuras integrais porque suas definições tem como base integrais que avançam sobre o fluxo que conserva a velocidade original U, ou seja, sobre o fluxo livre além da camada limite. O fato destas espessuras terem como base a integração de funções contra um valor fácil de ser levantado experimentalmente (a velocidade U), faz com estas sejam calculadas com muito maior facilidade do que a espessura da camada limite (denominada de espessura de perturbação da camada limite).
U u (U - u) Superfície deslocada Área: ∫ 1 − y dy
LUDWIG PRANDTL (1875 – 1953)
Pioneiro do estudo da aerodinâmica, Ludwig Prandtl, desenvolveu a base matemática para a aerodinâmica subsônica. Entre seus estudos mais importantes estão os sobre a camada limite, os aerofólios finos e a teoria da linha de sustentação.
Ao lado, foto de Prandtl, então aos 29 anos.
Em 1908, em parceria com Theodor Meyer, então seu pupilo, desenvolveu as primeiras teorias de ondas supersônicas de choque e fluxo.
No período de 1918 a 1919, desenvolveu com Albert Betz e Max Munk uma ferramenta teórica voltada para a estimativa da sustentação oferecida por aerofólios em condições operacionais reais, a chamada teoria da asa de Lanchester-Prandtl.
Logo após publicou trabalhos inovadores sobre os efeitos de ponta de asa no desempenho de asas de comprimento finito, e também sobre arrasto induzido e vórtices de ponta de asa. Em 1922, com Richard von Mises, fundou o GAMM (Associação Internacional de Matemática
Aplicada e Mecânica), tendo sido seu presidente de 1922 até 1933.
Em 1929 apresentou uma metodologia para projetar bocais supersônicos, trabalho este desenvolvido em conjunto com Adolf Busemann. Mesmo atualmente todos os túneis de vento supersônicos e bocais de foguetes são projetados usando esta metodologia.
Trabalhos apresentados a seguir examinaram o problema da compressibilidade em altas velocidades subsônicas, conhecida como correção de Prandtl-Glauert. Estes estudos foram de grande utilidade para o projeto de aeronaves na Segunda Guerra Mundial, quando os aviões começaram a se aproximar de velocidades supersônicas pela primeira vez.
Prandtl também desenvolveu estudos nas áreas de meteorologia, plasticidade e mecânica estrutural.
Placa de rua homenageando Prandtl, na cidade de Göttingen, Weende, Alemanha. Uma cratera lunar recebeu seu nome, em 1970.
1.4. CAMADA LIMITE LAMINAR DE PLACA PLANA: SOLUÇÃO EXATA
Esta solução foi obtida por Paul Richard Heinrich Blasius (1883–1970), aos 25 anos de idade. Blasius foi aluno de Ludwig Prandtl.
Seja um escoamento tridimensional. Os componentes da velocidade do fluxo podem descritas da seguinte forma:
⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ Eq. 1-7
: ipsilon. Para um escoamento bidimensional, permanente, incompressível, com gradiente de pressão nulo, a equação diferencial para conservação da massa (equação que rege a taxa de variação de massa dentro de um volume de controle) seria:
+ = 0 Eq. 1-8
Graças às características deste tipo de escoamento, a equação geral de Navier-Stokes...
+ + + = − + + + Eq. 1-9
...pode ser simplificada para
+ = . Eq. 1-10
Condições de contorno:
Para y = 0 : u = 0 = 0
Para y = : u = U = 0
Para encontrar uma solução para as equações diferenciais, Blasius assumiu que o perfil de velocidade
u/U deveria ser similar para todos os valores de x quando traçado contra uma relação adimensional
proporcional a y/. Em outras palavras, em todo o comprimento de uma camada limite laminar, a um mesmo percentual da espessura da camada limite (mesma distância y/ da superfície da placa), seria encontrado sempre o mesmo percentual da velocidade do escoamento livre (a mesma proporção u/U). Coerentemente com esta proposta, a solução encontrada indica que a relação entre as velocidades u/U (onde u é a velocidade na distância y da placa) varia em função da relação y/ :
= ( ) ∞ Eq. 1-11
: eta Com base na solução de Stokes, Blasius considerou que a espessura da camada limite seria uma função da velocidade do escoamento livre (U), da viscosidade cinemática do fluido (, letra grega Ni;
=
. Eq. 1-12
Aqui Blasius empregou o conceito de função de corrente, (psi). A função de corrente é um dispositivo matemático, formulado como uma relação entre as linhas de corrente e o enunciado do princípio de conservação de massa. Trata-se de uma função matemática única, (x, y, t), que substitui as duas componentes de velocidade, u (x, y, t) e (x, y, t), da seguinte forma:
= = − Eq. 1-13 Recomenda-se neste ponto que o leitor se aprofunde um pouco mais sobre o conceito de função de corrente e a equação de Navier-Stokes, através da leitura do capítulo “Introdução à Análise Diferencial dos Movimentos dos Fluidos”, no livro texto “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, de Fox & McDonald, 4ª edição.
Assim, substituindo a equação 1-13 na equação 1-10, foi obtida a seguinte equação:
= ( ) =
√ . . Eq. 1-14
Com a função de corrente (psi) definida pela equação acima, e (eta) definida pela equação 1-12, foi possível chegar afinal desenvolver as equações dos componentes de velocidade u e (ípsilon):
= Eq. 1-15 e =1 2 . − Eq. 1-16
O desenvolvimento completo das equações 1-15 e 1-16 pode (e deve) ser visto em detalhes no tópico “Camada Limite Laminar de Placa Plana: Solução Exata”, no capítulo “Escoamento Externo Viscoso Incompressível”, no livro texto “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, de Fox & McDonald, 4ª edição. Derivando devidamente a componente u (equação 1-15), Blasius chegou que a equação 1-10 poderia ser escrita como
2 + = 0 Eq. 1-17
Com as seguintes condições de contorno:
Para = 0 : = = 0
Calculando os valores de f para cada (eta), assim como as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (dispostos na tabela a seguir), foi possível estabelecer o perfil u/U em função de .
Tabela 1-1: Função f () para camada limite laminar ao longo de uma placa plana [Fox & McDonald]. = . ( ) = = = 0 0 0 0,3321 0,5 0,0415 0,1659 0,3309 1,0 0,1656 0,3298 0,3230 1,5 0,3701 0,4868 0,3026 2,0 0,6500 0,6298 0,2668 2,5 0,9963 0,7513 0,2174 3,0 1,3968 0,8460 0,1614 3,5 1,8377 0,9130 0,1078 4,0 2,3057 0,9555 0,0642 4,5 2,7901 0,9795 0,0340 5,0 3,2833 0,9915 0,0159 5,5 3,7806 0,9969 0,0066 6,0 4,2796 0,9990 0,0024 6,5 4,7793 0,9997 0,0008 7,0 5,2792 0,9999 0,0002 7,5 5,7792 1,0000 0,0001 8,0 6,2792 1,0000 0,0000
Da tabela 1-1, verifica-se que para = 5,0, o valor de u/U = 0,9915. Com a espessura de camada limite laminar é definida para u/U = 0,99, chega-se a:
= 5,0 .
=5,0.
Eq. 1-18
Com isto Blasius conseguiu uma equação que relaciona a espessura da camada limite com o número de Reynolds do fluxo. Consequentemente, grandezas tais como a espessura de deslocamento * e a
velocidade (ípsilon, velocidade do fluxo dentro da camada limite, no eixo y, na “vertical”) são facilmente estimadas.
A tensão de cisalhamento na parede pode ser expressa em função da derivada (ou seja, do gradiente) em y da componente velocidade u e da viscosidade do fluido:
=
= 0 Sabendo-se que
= Eq. 1-15 Então = . De modo que = . = 0
Sabe-se que = / . Além disso, recorrendo à Tabela 1-1, tem-se f ” = 0,3321 para = 0 :
= 0,3321
. = 0,3321 = 0,3321
O coeficiente de tensão de cisalhamento CF é definido por
=1 2 =1 2 = 0,3321 1 2 = 0,6642 = 0,6642 = 0,6642
E finalmente, empregando a equação 1-3 (número de Reynolds):
=0,6642 Eq. 1-19
Este trabalho de Blasius representou em sua época um grande avanço na caracterização do comportamento da camada limite laminar sobre uma placa plana.
Exemplo 1.4-1: Camada limite sobre placa plana, solução exata.
Utilize os resultados numéricos apresentados na Tabela 1-1 a fim de avaliar as seguintes quantidades para escoamento laminar de camada limite sobre uma placa plana:
a) */ para = 5 e para quando .
b) /U na borda da camada limite (Atenção, não é u/U, é /U).
c) A razão entre a inclinação de uma linha de corrente na borda da camada limite.
d) A inclinação de versus x (Atenção: trata-se da taxa de variação da espessura em função da distância x do bordo de ataque).
Resolução
a) Relação */ para = 5 e para quando .
Espessura de Deslocamento: Sabe-se que...
∗≈ 1 − Eq. 1-5
...e que (eta)...
= . Eq. 1-12 Assim sendo: . = Derivando: = . Substituindo na equação 1-5: ∗ ≈ 1 − .
Um cuidado a ser tomado nesta substituição consiste na atenção com a mudança nos limites de integração.
Espessura da Camada Limite Laminar:
= 5,0 . Eq. 1-18 ou 5= . De modo que:
∗≈ 1 − 5 Tirando as constantes do interior da integral:
∗≈ 5 1 − ou ∗ ≈1 5 1 −
Entretanto, sabe-se que:
= Eq. 1-15 ou = Eq. 1-15 Substituindo na integral: ∗ ≈1 5 1 − Integrando: ∗ ≈1 5 − = 1 5 − 0 Para = 5: ∗ ≈1 5(5 − 3,2833) ≈ 0,34334
Para = , temos que a diferença entre e f() é praticamente constante a partir de = 6,5:
f() - f() 6,0 4,2796 1,7204 6,5 4,7793 1,7207 7,0 5,2792 1,7208 7,5 5,7792 1,7208 8,0 6,2792 1,7208 Então, para = 6,5: ∗ ≈1 5(6,5 − 4,7793) ≈ 0,34414
Resposta item (a): Para = 5, */ = 0,343; para , */ = 0,344.
Observação: o livro texto “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, de Fox & McDonald, 4ª edição, oferece para este exemplo uma resolução ligeiramente diferente para o item (a). Os autores consideraram a diferença entre e f() como constante a partir de = 7,0, o que é mais exato, mas devido às incertezas envolvidas, o resultado apresentado no livro é igual ao aqui mostrado.
b) Relação /U na borda da camada limite
Trata-se de encontrar a relação entre a componente vertical (eixo y) do escoamento dentro da camada limite laminar e a velocidade do fluxo livre U. Sabe-se que:
=1 2
.
− Eq. 1-16
Dividindo a equação acima por U:
= 1 2 . − =1 2 . −
Sabe-se também que:
= . Eq. 1-3
Neste caso, x = c e U = V. Então: =1
2 1
−
Por definição, na borda da camada limite laminar u/U = 0,99. Na Tabela 1-1, o valor mais próximo de 0,99 para u/U é 0,9915, o qual será adotado aqui.
= . ( ) = = = 5,0 3,2833 0,9915 0,0159 Assim, =1 2 1 [5 × 0,9915 − 3,2833] = 0,8371 1
Como já mencionado aqui, segundo o livro texto “Mecânica dos Fluidos” (Massey, 8ª ed.), para Re < 105 o regime ainda é laminar estável, enquanto o livro texto “Introdução à Mecânica dos Fluidos” (Fox e McDonald, 4ª ed.) indica que a transição ocorre por volta de Re 5105.
Para Re = 105:
= 0,8371 1 = 0,002647142629
= 0,8371 1 = 0,001183838173
Resposta item (b): Na borda da camada limite, a componente vertical de velocidade é estimada como sendo entre 0,118% e 0,265% da velocidade do escoamento livre U, quando a camada limite laminar estiver perto do seu extremo de estabilidade.
c) A razão entre a inclinação de uma linha de corrente na borda da camada limite.
A inclinação de uma linha de corrente na borda da camada limite laminar é exatamente o resultado obtido no item (a), pois a inclinação da linha de corrente nada mais é do que a tangente do ângulo formado pela componente vertical () e a componente horizontal (u) da velocidade da linha.
Figura 1.4-1
Como na borda u U, então a inclinação seria:
= 0,8371 1
Resposta item (c): /U = 0,8371 Rex-½.
d) Inclinação de versus x.
Sabe-se que a espessura varia em função de x. Assim, para encontrar a taxa da variação desta espessura em função de x, deve-se derivar em relação à x.
= 5,0 .
Eq. 1-18 Reescrevendo para evidenciar x:
=5,0× √ Derivando:
= 5,0×
2 = 2,5 . = 2,5
pois neste caso
= . Eq. 1-3
Resposta item (c): A taxa de variação da espessura em função de x é de 2,5 Rex-½.
u
PAUL RICHARD HEINRICH BLASIUS (1883 – 1970)
Acima, foto de Blasius, aos 37 anos de idade, lecionando na Universidade de Hamburgo. A esquerda, na década de 1960, durante uma
aula na mesma instituição.
Embora o trabalho de Prandtl tenha se mostrado extremamente inovador, de início não se apresentava nenhuma aplicação direta de sua abordagem. Foi o estudante Heinrich Blasius, em 1911, então seu primeiro orientado de doutorado, que foi capaz de delinear o significado prático da nova formulação. Sua solução exata da camada limite para a placa plana demonstrou imediatamente o poder do conceito de Prandtl. A solução foi posteriormente testada numa variedade de configurações de fluxo, tal como na engenharia naval e na aerodinâmica, e foi observado uma concordância substancial da teoria com as medidas experimentais.
Outra contribuição notável foi publicada em 1912, relativa ao coeficiente de atrito para o fluxo turbulento de tubos lisos, hoje denominado de Coeficiente de Atrito de Blasius. Envolveu-se também com questões relativas à teoria do fluxo potencial, assim como estudos sobre o fluxo superficial livre e melhorias técnicas do tubo Pitot.
Porém, apenas após 6 anos envolvido em pesquisa científica, Blasius mudou-se para a Ingenieurschule Hamburgo (Escola de Engenharia de Hamburgo, atual Universidade de Ciências Aplicadas de Hamburgo) e tornou-se Professor, sendo ativo no ensino até sua morte em 1970. Em uma carta emocionada para sua filha Elfriede, em 1962, escreveu sobre suas reais motivações: ... “ Considere nossos alunos: Pessoas preciosas muitas vezes interessadas em conhecimento.
Certamente, eles também gostariam de ganhar dinheiro, mas através do trabalho. Eles estão dispostos a aprender; cuidado por eles, pois eles confiam em você e são devotados a progredir! Por que afinal ainda estou aqui? Certamente não por causa do interesse no assunto ou por causa do dinheiro. A única razão pela qual fiquei tanto tempo é por causa da minha afeição pela juventude, a quem gostaria de ajudar na resolução de problemas e de assistir na profissão. Aqui estou, e aqui fico, até que seja jogado fora! ”
Leitura recomendada: W.H. Hager; Blasius: A life in research and education. Experiments in Fluids 34 (2003) 566–571; DOI 10.1007/s00348-002-0582-9.
THEODORE VON KÁRMÁN (1881 – 1963)
Theodore von Kármán, judeu nascido em Budapeste, que na época pertencia ao Império Austro-Húngaro, atuou principalmente nos campos da aeronáutica e astronáutica, tendo sido responsável por muitos avanços chave na aerodinâmica, em especial sobre a caracterização do fluxo de ar supersônico e hipersônico.
Kármán, depois de se formar engenheiro em 1902, foi aceito como orientado de Ludwig Prandtl na Universidade de Göttingen, onde recebeu seu doutorado aos 27 anos (foto). Em 1912, aceitou o cargo de diretor do Instituto Aeronáutico da RWTH Aachen, uma das principais universidades alemãs.
Apreensivo com os desenvolvimentos na Europa, em 1930 Kármán aceitou a direção do Laboratório Aeronáutico Guggenheim no Instituto de Tecnologia da Califórnia (GALCIT), mudando assim para os EUA. Nesta época envolveu-se com questões relativas às áreas de aeroelasticidade e de foguetes, além de outros desafios.
Em 1936 forma com colaboradores a Aerojet Corporation, para fabricar motores de foguetes. Em 1943 seus conhecimentos na área de foguetes o leva a trabalhar também com os serviços de inteligência militar dos EUA, com o objetivo de consolidar informações sobre o programa militar de foguetes e de aviões a jato da Alemanha nazista.
Em 1944, ele e outros afiliados à GALCIT fundaram o Jet Propulsion Laboratory (JPL), hoje um centro de pesquisa e desenvolvimento financiado pelo governo federal com ligação com a NASA. Em 1946, foi nomeado presidente do Grupo Consultivo Científico que estudou tecnologias aeronáuticas para as Forças Aéreas dos Estados Unidos, tornando-se figura chave no desenvolvimento de aeronaves supersônicas.
Aos 81 anos, foi o destinatário da primeira medalha nacional da ciência, entregue pessoalmente pelo presidente John F. Kennedy. Entre muitas outras homenagens, crateras na Lua e em Marte foram batizadas com seu nome. Kármán nunca se casou.
“O cientista descobre o que existe, enquanto
1.5. EQUAÇÃO INTEGRAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A solução exata de Blasius forneceu uma expressão para a espessura da camada limite laminar e
para a tensão de cisalhamento na parede, w (mais detalhes no já mencionado tópico “Camada Limite
Laminar de Placa Plana: Solução Exata”, no capítulo “Escoamento Externo Viscoso Incompressível”, na obra “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, de Fox & McDonald, 4ª edição.). Além disso, neste trabalho ele também indicou que os perfis de velocidade eram similares quando plotados na forma adimensional de u/U versus y/.
As técnicas matemáticas utilizadas no estudo rigoroso das camadas limite mostraram-se de elevada complexidade, mas o engenheiro Theodore von Kármán, também ele aluno de Prandtl, obteve resultados muito úteis por meio de métodos aproximados, utilizando a equação da quantidade de movimento.
A figura abaixo representa um comprimento AE da placa. Para esta análise, admitiu-se escoamento bidimensional puro.
A camada limite tem espessura , a qual varia em função de x, e sua fronteira exterior é representada por BD, que não é linha de corrente. A linha de corrente passa por CD, e o fluido não atravessa esta linha. Então, ACDE é o volume de controle para esta análise de quantidade de movimento.
Figura 1.5-1 [Massey]
A pressão na face AC tem o valor médio p. Então, sobre a face ED, a pressão média seria p mais um valor, o qual pode ser um acréscimo ou um decréscimo. Este valor depende de como a pressão varia em função do deslocamento no eixo x, ou seja, depende de p / x.
Como o distância entre a face AC e a face ED é igual a dx, então a variação de pressão entre as duas faces pode ser calculada através do produto p / x dx.
De acordo com esta linha de raciocínio, a pressão média na face ED seria então:
+ U u y Velocidade u Linha de corrente Fronteira da
camada limite paralela a AE
dx 0dx A B C D E
Figura 1.5-2 [Massey] Face Pressão AC p ED + ED – AC +1 2.
Considerando uma largura unitária perpendicular à figura, a força resultante das forças de pressão no volume de controle seria
. − . + + ( − ). +1 2. Desenvolvendo: . + − . − . + . + 2 . + − . − 2 . − 2 . − 2 . −( + ) 2 .
Como a distância dx é muito pequena, pode-se considerar que ED AC, de modo que a força resultante das forças de pressão no volume de controle pode ser considerada como sendo:
− .
Sendo 0 a tensão de corte na fronteira rígida (ver figura 1.3-7), a componente x da força total
exercida sobre o fluido, no interior do volume de controle, é então:
− − . Eq. 1-20 DE – CA dx A B C E p +
Seja uma faixa elementar no plano AB, situada a uma distância y da superfície sólida, com altura dy e largura unitária perpendicular ao desenho, atravessada por um fluxo mássico ̇ = . . :
Figura 1.3-9 [Massey]
Assim, a taxa à qual a quantidade de movimento é transportada através da faixa é então o produto ̇ × , ou melhor, . . .
Deste modo, para a dimensão AB a quantidade de movimento seria expressa através da integral que se segue:
Para estimar a quantidade de movimento relativo ao plano AC , tendo sido já levantada a expressão relacionada a AB, é necessário também considerar a quantidade de movimento em BC :
( )
Para a dimensão ED, a determinação da quantidade de movimento também emprega a integral acima, porém levando em consideração a localização da superfície ED em x+dx. Expandindo a expressão acima em uma série de Taylor em torno da localização x (ponto A), tem-se
+
Detalhes sobre o desenvolvimento desta expressão podem ser vistos no tópico “Camada Limite Laminar de Placa Plana: Solução Exata”, no capítulo “Escoamento Externo Viscoso Incompressível”, do livro texto “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, de Fox & McDonald, 4ª edição.
Deste modo, a taxa global de aumento na quantidade de movimento do fluido, na passagem através do volume de controle ACDE, é definida como segue:
+ − + Eq. 1-21 dx A B D C E ̇ = . . dy
Pela continuidade, tem-se que a vazão mássica através do plano AC tem de ser igual à vazão mássica no plano ED: ̇ = ̇ então ̇ + ̇ = ̇ e ̇ = ̇ − ̇ portanto ( ) = + − ( ) = Deste modo, tem-se que
( ) = Substituindo na equação 1-20 :
+ − +
−
Igualando esta expressão com a componente x da força total exercida sobre o fluido, no interior do volume de controle:
− − . = −
Dividindo por – dx :
+ . = − Eq. 1-22
Observa-se que a aceleração do fluido no eixo y é muito menor do que no eixo x, pois a espessura
é muito menor que a distância AE.
Deste modo, a aceleração no eixo y pode ser sempre desprezada, exceto quando o número de Reynolds for extremamente baixo, uma situação que foge ao foco desta análise.
Assim, para uma placa plana, a variação de pressão no eixo y é desprezível, e a pressão pode ser considerada como sendo a mesma dentro e fora do volume de controle.
Fora da camada limite, a influência da viscosidade pode ser considerada desprezível, e o escoamento aproximado pelo escoamento de um fluido ideal. Neste caso a equação de Bernoulli indica:
+1
2 =
Derivando-se em relação à x (derivada parcial):
+ = 0 Eq. 1-23
Desta expressão pode-se obter o valor de p/x para a expressão 1-22:
= −
Além disso, é constante, e o plano ED pode ser expresso da seguinte forma: =
Então, substituindo na equação 1-22:
− = − = + − Eq. 1-24 Sabe-se que: ( . ) = + Portanto = ( . ) − Empregando na equação 1-24, sendo b = U e a = udy:
= + −
= + − − Reordenando:
= − + −
Chega-se a ...
= ( − ) + ( − )
Como (U – u) se anula acima do limite superior da camada limite laminar (ou seja, após ultrapassar
), o limite superior das integrais pode ser substituído por . Trata-se de um artifício matemático de modo a adequar a equação acima com o desenvolvimento que se segue.
= ( − ) + ( − ) Eq. 1-25
Lembrando das definições das espessuras integrais:
∗= 1 − Eq. 1-5
= 1 − Eq. 1-6
Estas podem ser usadas de modo a simplificar a equação 1-25:
= 1 − + 1 −
= 1 − + 1 −
= ( ) + ∗
As derivadas parciais podem ser substituídas por derivadas totais, pois as espessuras integrais variam somente em relação a x:
= ( ) + ∗ Eq. 1-26
A equação acima encontra-se na forma denominada de Equação Integral da Quantidade de Movimento da Camada Limite. Esta equação pode ser empregada para encontrar soluções aproximadas de problemas de escoamento da camada limite em regime laminar, turbulento e de
transição. Entretanto, para que sejam determinadas as espessuras integrais, é necessário que se façam algumas hipóteses sobre como u varia em função de y, dentro da camada limite. Mais detalhes sobre estas hipóteses podem ser encontrados no tópico “A Equação Integral da Quantidade de Movimento”, no capítulo “Escoamento Externo Viscoso Incompressível”, no livro texto “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, de Fox & McDonald, 4ª edição.
A Equação Integral da Quantidade de Movimento da Camada Limite pode ser simplificada um pouco mais. A equação 1-23 indica que p/x tem valor nulo, caso U/x = 0. Em outras palavras, se a velocidade do fluxo livre for constante ao longo do eixo x, o que é uma hipótese que pode ser empregada em muitos dos problemas de camada limite devido às dimensões diminutas envolvidas, a variação de pressão ao longo do eixo pode ser considerada como nula.
+ = 0 Eq. 1-23
Deste modo
= Eq. 1-27
1.6. CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE PLACA PLANA COM GRADIENTE DE PRESSÃO NULO
Na maioria dos casos de interesse prático, a parte laminar da camada limite é tão curta que pode ser desprezada. Além disso, como somente nos escoamentos de baixo número de Reynolds o estudo da camada limite laminar tem importância, considerou-se que para o curso de engenharia aeronáutica que uma apresentação detalhada deste tópico não seria de grande relevância.
Para os que desejarem se aprofundar no assunto, recomenda-se a leitura do tópico de mesmo nome do título acima disposto, tanto no livro texto “Mecânica dos Fluidos”, de R.S. Massey, como no tópico homônimo no capítulo “Escoamento Externo Viscoso Incompressível”, do livro texto “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, de Fox & McDonald, 4ª edição.
A espessura da camada limite laminar sobre placa plana, com gradiente de pressão nulo, pode ser estimada como segue:
= 30 = 30 = 5,477 Eq. 1-28
Onde Rex = xU/ é o número de Reynolds “local”.
Espessura de deslocamento: ∗=
3 30
= 1,826 Eq. 1-29
Espessura de quantidade de movimento: =2
15 30
Tensão de corte na parede: =
15 30
= 0,365 Eq. 1-31
Existem outras aproximações para determinar as grandezas acima mencionadas, mas devido às limitações na precisão de medidas experimentais, os resultados teóricos obtidos com estas aproximações são tão satisfatórios quanto os aqui apresentados.
Estas equações também podem ser utilizadas sobre superfícies ligeiramente encurvadas, nas quais o raio de curvatura é grande em comparação com a espessura da camada limite. Isto pode ser feito desde que se utilize um sistema de coordenadas curvilíneas, com x medido ao longo da superfície encurvada, e y na perpendicular a ela, em cada ponto. [Massey]
1.7. CAMADA LIMITE TURBULENTA SOBRE PLACA PLANA COM GRADIENTE DE PRESSÃO NULO
O estudo das camadas limites em regime turbulento tem grande importância, pois a grande maioria das camadas limite de interesse prático são turbulentas em quase toda sua extensão.
Desde o início, a análise do escoamento nas camadas turbulentas recaiu grandemente sobre o conhecimento de dados experimentais, principalmente devido às dificuldades em se obter medições confiáveis em camadas limite.
Assim, Prandtl sugeriu utilizar dados experimentais de escoamento turbulento em tubos para o estudo de camada limite turbulenta em placas planas. Em um tubo, a espessura da camada limite, em um escoamento totalmente desenvolvido, é igual ao raio.
Neste raciocínio, a velocidade máxima do fluido corresponde à velocidade U da corrente de fluido sobre uma placa plana.
Para valores moderados de Reynolds, uma expressão para a tensão de corte sobre a superfície é dada pela fórmula de Blasius para tubos hidraulicamente lisos de raio R (o desenvolvimento não foi discutido aqui, ver capítulo 7, no livro texto “Mecânica dos Fluidos”, de R.S. Massey) :
| | = 0,03321541 × [ ] × Eq. 1-32
ou
| | = × [ ] × Eq. 1-33
No caso dos tubos hidraulicamente lisos, a velocidade média umed é uma fração da velocidade máxima
umax no eixo do tubo, e não necessariamente metade dela.
Considerando o raio R do tubo como equivalente à espessura da camada limite sobre uma placa plana, tem-se
Figura 1.7-1 Assim, a equação 1-30 pode ser acoplada à equação 1-25:
= ( − ) + ( − ) Eq. 1-25
Observe que o limite superior das integrais retornou de para , pois neste desenvolvimento não faria sentido um limite superior maior que o raio do tubo.
× [ ] × = ( − ) + ( − )
Considerando o gradiente de pressão como sendo nulo, ou seja, considerando p/x = 0, sabe-se que consequentemente U/x = 0 (ver equação 1-23 e suas implicações):
× [ ] × = ( − )
A equação é então rearranjada usando = y/ e, portanto, d = dy/ :
× [ ] × = ( − )
A integral é então reescrita de modo a tornar-se adimensional:
( − ) = 1 − = 1 −
Agora a integral envolve somente grandezas adimensionais, e é, portanto, somente um número. Deste modo, a integral pode ser incorporada à constante:
× [ ] × =
Simplificando:
× =
Rearranjando para isolar :
= ×
A derivada é total, porque varia somente em função de x. A equação é então rearranjada para se transformar em uma equação diferencial para .
= ×
A constante é mudada de posição mais conveniente, e a equação, integrada como segue:
=
+ =4 5
Eq. 1-35
A determinação de C representa um obstáculo. A camada limite turbulenta tem início após a camada laminar, isto é, tem início a uma distância x do bordo de ataque da placa plana, e, portanto sua espessura inicial é uma incógnita.
Prandtl resolveu esta questão considerando que a camada turbulenta tivesse início no bordo de ataque da placa, ou seja, início em x = 0. Consequentemente, a espessura inicial seria considerada como nula, e também C = 0. Embora esta hipótese reduza a precisão do equacionamento, tem-se aqui a vantagem da simplicidade. Além disso, para placas longas, o comprimento da camada limite laminar pode ser desprezado sem levar a grande imprecisão:
=4 5 De modo que
= Eq. 1-36
Substituindo (da equação 1-32 acima) na equação 1-34:
| | = × [ ] × Eq. 1-34 | | = × [ ] × ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Sabe-se que a força F de arrasto sobre a face da placa de comprimento l, por unidade de largura, é
Portanto: = × [ ] × ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Desenvolvendo para integrar mais facilmente:
= × ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = × = × = ×
O coeficiente de atrito CF é definido como
= 2 = 2 Então = 2 × =
Lembrando que o número de Reynolds é definido como Re = Ul/ com base no comprimento da placa. Assim
= 1
Efetivamente, medições da força de arrasto chegaram a
Rex
Figura 1.7-2: Coeficientes de atrito para placas planas lisas. [Massey]
Por exemplo, para Rex = 2 106, CF = 0,00406, o que concorda com a curva para fluxo turbulento.
Entretanto, como a relação de Blasius para tubos só é válida para números de Reynolds inferiores a 105, as relações obtidas são válidas somente para uma faixa de valores de números de Reynolds. Além disso, a relação entre u/U e altera-se em função do número de Reynolds.
Deste modo, as expressões obtidas para camada limite turbulenta sobre placa plana são aplicáveis apenas para a números de Reynolds entre 5 105 e 107, pois para Re < 5 105 a camada limite é normalmente laminar.
Para valores maiores de número de Reynolds, pode-se empregar a expressão semiempírica de Hermam Schlichting, válida para o intervalo 5 105 < Re < 109 :
= 0,455
( ) , =
3,913
( ) , Eq. 1-38
Observação: É importante ressaltar que as equações 1-37 e 1-38 são válidas somente para placas lisas.
1.8. TRANSIÇÃO DE ESCOAMENTO LAMINAR PARA TURBULENTO NA CAMADA LIMITE
Dependendo do comprimento da placa, a camada limite muda de laminar para turbulenta, e ambas as porções tem uma contribuição significativa para a força de arrasto total.
A transição de escoamento laminar para turbulento, na camada limite, depende principalmente do número de Reynolds (embora atuem outros fatores), ocorrendo esta transição entre 3 105 e 5 105
100000 1000000 1E7 1E8 1E9 1E10
1E-3 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 Turbulento Prandtl Turbulento Schlichting Transição para Rex = 5 105 Laminar Blasius CD
segundo o livro texto “Mecânica dos Fluidos” (Massey, 8ª ed.). O livro texto “Introdução à Mecânica dos Fluidos” (Fox e McDonald, 4ª ed.) indica que a transição ocorre por volta de Re 5105. Para gradiente de pressão nulo, o valor da quantidade de movimento no ponto de transição é dado por Blasius para camada limite laminar:
= 0,664 Eq. 1-39
O índice “t” indica que se trata do ponto ou linha de transição.
A região de transição é extremamente curta, de modo que para efeito de cálculo esta pode ser considerada de comprimento nulo, por isto chamada aqui de “ponto” de transição. Entretanto, o mais correto seria denominar esta região de “linha” de transição, pois é tridimensional.
Outra consideração é a de que a forma do contorno da camada turbulenta é tal que poderia ter começado de um hipotético bordo de contato, situado em x = x0.
Figura 1.8-1 [Massey]
Seja a equação 1-27, válida para U constante e válida para qualquer regime de camada limite:
= Eq. 1-27
Por definição, a força de arrasto total por unidade de largura, para um dado comprimento x a partir do bordo de ataque da placa, é dada pela integral da tensão de corte:
= Portanto
= =
0 =
Também por definição, o coeficiente de atrito (também chamado de coeficiente de arrasto tangencial), um parâmetro adimensional, é: xt x0 x laminar turbulento Ponto de transição
= 1 2 Substituindo: =1 2 Portanto: 2 =
Usando a equação 1-37, válida para uma camada limite turbulenta com Re < 107 ...
= 0,0742 1 Eq. 1-37
... com origem em x = x0 , tem-se 2
= 0,0742 1 Neste caso, Re = Ux/ , de modo que
( − )= 0,0371 ( − ) Eq. 1-40 Para x = xt, = t : ( − )= 0,0371 ( − ) Isolando (xt – x0): 0,0371 = ( − ) − = 0,0371 − = 0,0371 = 0,0371 Usando a equação 1-39 vista no início deste tópico:
− = ⎝ ⎜ ⎛0,664 0,0371 ⎠ ⎟ ⎞ − = 36,812 e − = 36,812 Eq. 1-41 ou − = 36,812 1 Obviamente Ret = Uxt/.
Exemplo 1.8-1: Coeficiente de atrito para camada limite turbulenta, sobre placa plana.
Suponha Rel = 5 106 (relativo ao comprimento total da placa, l) e Ret = 5 105 (relativo à posição
xt do ponto de transição). (a) Determine o coeficiente de atrito relacionado à fração da camada limite
em regime turbulento. (b) Compare com o coeficiente de atrito caso a camada limite fosse totalmente turbulenta.
Resolução:
a) Coeficiente de atrito relacionado à fração da camada limite em regime turbulento. = = 5 × 10
= = 5 × 10
⇒ = 0,1
A fase turbulenta tem início a uma distância do bordo de ataque igual a 10% do comprimento total da placa. Usando a equação 1-41: − = 36,812 1 5 × 10 − = 36,812 1 5 × 10 = 0,2685 1 − = 0,2685 ⟹ = 0,7315 Como xt/l = 0,1
= 0,07315
No final da placa, a jusante, x = l , e = l . Usando a equação 1-40:
( − )= 0,0371 ( − ) Eq. 1-40 Como 2 = então =20,0371( − ) ( − ) = 0,07315 ⟹ = 0,07315 − = 0,92685 =2× 0,0371 × 0,92685 × (0,92685 × ) = 0,06983 1 = 0,003193 Resposta item (a): CF = 0,003193
b) Compare com o coeficiente de atrito caso a camada limite fosse totalmente turbulenta.
= 0,0742 1 Eq. 1-37
= 0,0742 1
5 × 10 = 0,003393 Resposta item (b): A diferença entre os resultados é de 6,26%.
O que foi apresentado neste tópico tem como base a suposição de seja lisa a superfície de contato da placa plana sob a camada limite. No caso de a superfície apresentar rugosidade, a transição de laminar para turbulento ocorre mais rapidamente, dependendo das características da rugosidade.
É verificado experimentalmente que a medida que aumenta a distância entre o bordo de ataque e alarga-se a espessura da camada limite, maior deverá ser a rugosidade para perturbar a estabilidade da camada limite laminar.
Como a força de atrito é menor para uma camada limite laminar (Figura 1.7-2) do que para uma turbulenta, a linha de transição de laminar para turbulento deve ser deslocada para jusante o quanto possível, quando se deseja reduzir a força de atrito. Desta forma, a superfície de contato deve ser a mais lisa possível perto do bordo de ataque, onde a camada limite é menos espessa, podendo haver maior rugosidade a jusante. [Massey]
Para os que desejarem se aprofundar no assunto, recomenda-se a leitura do tópico 8.7 “Arrasto Tangencial com Camada Laminar seguida de Camada Turbulenta”, no livro texto “Mecânica dos Fluidos”, de R.S. Massey.
1.9. EFEITO DO GRADIENTE DE PRESSÃO
1.9.1. Separação e Escoamento ao Longo de Superfícies Encurvadas
Tudo o que foi apresentado até este ponto levou em consideração a ocorrência de pressão constante no escoamento externo à camada limite. No caso desta pressão sofrer variação, o comportamento da camada limite pode ser bastante alterado.
Seja uma superfície curva, com grande raio de curvatura em comparação à espessura da camada limite, tal como mostrada na figura a seguir.
Figura 1.9-1: O escoamento invertido provoca turbilhonamento. [Massey]
Para a análise da camada limite, adota-se aqui um sistema de coordenadas onde x é a coordenada curvilínea que acompanha a superfície, e y a coordenada sempre perpendicular à mesma.
O escoamento livre à jusante, uniforme, tem velocidade U. Na passagem do fluido pela superfície curva, é criada uma camada limite junto à esta superfície. O fluxo externo à esta camada é acelerado, sendo que atinge sua velocidade máxima (Umax) e, consequentemente, sua pressão mínima (pmin), no ponto C.
Assim, do ponto A até o ponto C, a pressão decai, ou seja, p/x < 0. Este comportamento da pressão é denominado de “ favorável ”, pois a redução gradativa da pressão minimiza a desaceleração do
“Fronteira” da camada limite y U Umax u u Linha da corrente de separação Ideal Real x A B C D E p pmin > 0 = 0 > 0 Escoamento invertido
escoamento causada pela camada limite, fazendo com que a espessura da camada limite cresça mais lentamente do que no caso de uma superfície plana, quando a variação de pressão é nula. Obviamente esta comparação somente faz sentido ao se comparar escoamentos com números de Reynolds equivalentes.
Do ponto C em diante (ou seja, no ponto C e a montante do mesmo), a velocidade do escoamento desacelera e consequentemente a pressão aumenta, fazendo com que a espessura da camada limite cresça mais rapidamente do que no trecho de A até C.
Este efeito é mais sentido no escoamento interno da camada limite mais próximo à superfície, pois se trata da fração mais lenta deste escoamento devido ao atrito com a superfície, e agora sofrendo frenagem adicional. Isto faz com que o fluido chegue a parar no ponto D, onde u/x = 0 junto à superfície (y = 0).
Prosseguindo à jusante, a redução de velocidade é ainda mais acentuada pelo gradiente de pressão positivo, denominado de gradiente de pressão “ adverso “, o que faz com o fluido junto à superfície retorne. Seria o comportamento visto no ponto E da Figura 1.9-1. Esta inversão do fluxo junto à superfície faz com que o escoamento interno da camada limite não consiga mais acompanhar o contorno da superfície, ocorrendo assim a chamada separação da camada limite. Coerentemente, o local onde ocorre este fenômeno é denominado de ponto de separação.
Só existe separação quando existe um gradiente de pressão adverso. No caso de escoamento sobre uma placa plana, onde a variação de pressão é nula, não há ocorrência deste fenômeno.
Na Figura 1.9-1 é mostrada uma linha pontilhada denominada de linha da corrente de separação. Esta linha define os limites entre o escoamento “normal” (mesmo sentido do escoamento livre, de montante para jusante) e o escoamento “invertido” (sentido contrário ao escoamento livre). Com a inversão do fluxo, são formados redemoinhos irregulares junto à superfície, sendo que uma parcela da camada limite separada desta superfície tende a dissipar-se neste escoamento invertido.
Estes redemoinhos dissipam energia mecânica na forma de calor, fazendo com que a pressão sobre a superfície mantenha um valor estável a partir do ponto de separação.
A separação da camada limite pode ocorrer tanto em regime laminar como em turbulento, mas é mais propenso de ocorrer em regime laminar, pois o aumento de velocidade com a distância é mais lento, de modo que o gradiente de pressão adverso consegue frenar com mais facilidade o escoamento junto à superfície. Entretanto, seja qual for o regime, quanto maior o gradiente de pressão adverso, mais rapidamente ocorre a separação.
Se uma camada limite, em regime laminar, se descola da superfície, esta pode passar para o regime turbulento. Esta mudança no regime pode fazer com que a camada limite volte a aderir à superfície, de modo que a região de separação se limita a uma “bolha” isolada sobre a superfície. Este comportamento não é comum, sendo mais observado no bordo de ataque de superfícies de elevada rugosidade, o que acaba provocando a separação da camada limite laminar. Após o descolamento e mudança do regime laminar para turbulento, a camada limite volta a aderir à superfície rugosa. [Massey]
1.9.2. Previsão de Separação de uma Camada Limite Laminar
Não existe ainda uma teoria que permita a estimativa precisa da localização do ponto de separação de uma camada limite. Entretanto, a metodologia desenvolvida por Brian Thwaites, com base na
equação da quantidade de movimento, permite alcançar resultados razoavelmente precisos para camadas limite laminares e é de fácil utilização.
Seja a Equação Integral da Quantidade de Movimento da Camada Limite:
= ( ) + ∗ Eq. 1-26
Expandindo o primeiro termo do segundo membro, empregando a regra da derivada do produto de duas ou mais funções, (uv)’ = u’v + uv’:
( ) = ( )= + + = 2 + = 2 + + ∗ = − 2 − ∗ Multiplicando por 2/U : 2 =2 −4 −2 ∗
Viscosidade cinemática é definida como = μ / ρ. 2
=2 −4 −2
∗
Lembrando que (2)’= .’ + ’. = 2..’ , portanto .’ = ½ (2)’. Com isto desaparece o número 2 do primeiro membro.
( )
=2 − 2 2 + ∗
Eq. 1-42
Para integrar esta equação é necessário antes determinar como variam * e 0/(U) em função de . Brian Thwaites estudou diversas possíveis soluções e as confrontou com dados experimentais, e concluiu que o segundo membro da equação 1-42 é uma função de uma grandeza adimensional
(lambda) tal que
=
Além disso, o segundo membro seria equivalente a uma função linear de : 2
− 2 2 + ∗
= 0,45 − 6 Deste modo, a equação 1-42 pode ser reescrita da seguinte forma:
( )
= 0,45 − 6 ou
( )
= 0,45 −6 Multiplicando por .U5 e rearranjando:
( )
+ 6 = ( )+ 0,45
Esta equação pode ser integrada entre x = 0 e x = x :
= +0,45 Eq. 1-43
Aqui 0 é a espessura da quantidade de movimento na origem do sistema de coordenadas ( x = 0), mas se esta origem for localizada no ponto de estagnação da superfície (no bordo de ataque de um aerofólio, por exemplo), 0 = 0. Deste modo, desde que se saiba como varia a velocidade U em função de x, é possível determinar a espessura da quantidade de movimento da camada limite.
Com base em dados experimentais, Thwaites estimou que a separação, ou seja, o ponto onde 0 = 0, ocorreria quando = – 0,082. Estudos mais recentes e precisos indicam que o valor médio para a ocorrência da separação seria = – 0,090.
Para a determinação de e do ponto de separação, o método criado por Brian Thwaites é razoavelmente preciso (erro inferior a 3%) e simples de ser aplicado. [Massey]
Exemplo 1.9-1: Determinação do ponto de separação de camada limite.
Representando por x a distância ao longo da superfície de contato, a partir do ponto de estagnação frontal, e considerando que a velocidade da corrente principal é dada por U = a (b.x + 1)-1, em que a e b são constantes positivas, (a) determine se há separação da camada limite e (b), em caso afirmativo, qual a sua localização.
Resolução:
a) Determinação da ocorrência de separação de camada limite. Como = + 1= ( + 1) então = − ( + 1)
Para derivar a função U(x) emprega-se a regra da derivação para funções compostas: se y = f(g) e g =
= × − 1
( + 1) × = −( + 1)
Verifica-se que dU/dx obrigatoriamente é sempre negativo. Analisando a equação 1-23 verifica-se que, se dU/dx é sempre negativo, então necessariamente dp/dx é sempre positivo.
+ = 0 Eq. 1-23
Em outras palavras, o gradiente de pressão é adverso. A camada limite irá se separar.
Resposta item (a): A camada limite irá se separar devido ao gradiente de pressão ser adverso. b) Determinação da localização do ponto de separação.
Supondo que a separação da camada limite ocorra em regime laminar, então a localização do ponto de separação pode ser determinada pela equação 1-43:
= +0,45 Eq. 1-43
É dado do problema que a origem do sistema de coordenadas é o ponto de estagnação frontal, de modo que 0 = 0. Como U = a (b.x + 1)-1, então
= 0,45 + 1 + 1 =0,45 ( + 1) ( + 1) =0,45 ( + 1) 1 (−5 + 1)( + 1) 0 =0,45 ( + 1) − 1 4 ( + 1) + 1 4 =0,45 4 ( + 1) [−( + 1) + 1] =0,45 4 [−( + 1) + ( + 1) ] Sabe-se que = portanto = 0,45 4 [−( + 1) + ( + 1) ] − ( + 1)
= 0,45 4 [−( + 1) + ( + 1) ] − 1 ( + 1) = 0,45 4 [1 − ( + 1) ] Considerando = – 0,090 (condição de separação), então
−0,090 = 0,45
4 [1 − ( + 1) ] = 0,15829
ou
=0,15829
Resposta item (b): A camada limite irá se separar no ponto x = 0,15829 / b.
Observação: A resolução do item (b) através de métodos computacionais leva à x = 0,159 / b.
1.10. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Considere o comportamento aerodinâmico do teto de uma minivan como sendo aproximadamente o de uma placa plana horizontal. Desenvolva graficamente a evolução da espessura da camada limite laminar em função da velocidade da minivan, quando esta acelera de 10 mph (16,09 km/h) para 90 mph (144,84 km/h).
2. A velocidade de decolagem de um Boeing 757 é de 160 mph (257,5 km/h). A que distância do bordo de ataque, aproximadamente, a camada limite nas asas se tornará turbulenta? Se a aeronave estivesse a 530 mph (853,95 km/h) a uma altitude de 33.000 ft (10.058,4 m), a que distância do bordo de ataque, aproximadamente, a camada limite nas asas se tornaria turbulenta? Resposta: (a) 105,16 mm; (b) 74,42 mm.
3. No fluxo envolvendo uma esfera, a camada limite se torna turbulenta por volta de ReD 2,5105.
Determine as velocidades nas quais (a) uma bola de golfe norte-americana (D = 1,68 polegadas), uma bola de golfe britânica (D = 41,1 mm) e (c) uma bola de futebol (D = 8,75 polegadas) desenvolvem escoamento turbulento. Assuma condições de atmosfera padrão ao nível do mar. Resposta: (a) 88,2 m/s; (b) 91,5 m/s; (c) 16,9 m/s.
4. Um avião voa a 300 nós em uma altitude de 10 km nas condições de um dia padrão. Admitindo-se que as camadas limite na superfície da asa comportam-Admitindo-se como numa placa plana, estime a extensão esperada do escoamento laminar nas camadas limite das asas. Considere 1 nó = 1,852 km/h. Resposta: 0,114 m.
5. Um túnel de vento de laboratório tem seção de teste com 1 pé quadrado e 2 pés de comprimento. Com velocidade nominal do ar U1 = 80 pés/s na entrada da seção de teste, formam-se camadas limites turbulentas no topo, no fundo e nas paredes laterais do túnel. A espessura da camada limite é 1 = 0,80 pol. na entrada e 2 = 1,20 pol. na saída da seção de teste. Os perfis de velocidade de camada limite podem ser aproximados pela chamada lei de potência 1/
Avalie a velocidade de corrente livre U2 na saída da seção de teste do túnel de vento. (b) Determine a variação na pressão estática ao longo da seção de teste. Resposta: (a) 24,81 m/s; (b) -12,64 Pa.
6. Considere que o comportamento da velocidade da camada limite laminar sobre uma placa plana seja expresso por = . sen( . ) + . Estabeleça três condições de contorno aplicáveis ao comportamento da velocidade da camada limite laminar. Avalie as variáveis A, B e C. Resposta: (a) Condições para y = 0, y = e du/dy. (b) A = U, B = /(2), C = 0. Dica: Considere du/dy = 0 para a terceira condição.
7. O comportamento da velocidade na camada limite turbulenta frequentemente é aproximada pela equação de potência 1/7, onde ( ⁄ )= ( ⁄ ) ⁄ . Compare o comportamento da velocidade obedecendo à esta equação com o comportamento da velocidade limite laminar, obedecendo a equação parabólica ( ⁄ )= 2. ( ⁄ ) − ( ⁄ ) , construindo um gráfico mostrando a evolução de y/ (ordenada) em função de u/U (abscissa), para ambos os comportamentos.
8. Seja o escoamento de ar sobre uma fina placa plana de largura de 0,3 m. Considere o fluxo bi-dimensional, e que o comportamento da camada limite é parabólico. A placa tem o comprimento de 1 metro. Na seção bc, a velocidade da camada limite obedece a relação ( ⁄ )= 2. − , sendo = ( ⁄ ), enquanto a espessura da camada limite atinge = 1 polegada (12,7 mm). A velocidade máxima do escoamento, U, é igual a 2,7 m/s. Determine (a) o fluxo mássico na seção
bc, e (b) a componente no eixo x da força necessária para manter fixa a placa. Resposta: (a) 0,0043
kg/s; (b) -0,00456 N.
9. Seja o fluxo na entrada do duto de seção quadrada como mostrado na figura a seguir. O fluido é ar, a velocidade do fluxo U0 = 30 m/s, a cota h = 80 mm, e a espessura ∗ da camada limite na seção é de 1,0 mm. Determine a mudança de pressão entre a seção e . Resposta: 59 Pa.
10. Usando resultados numéricos para a solução exata de Blasius para a camada limite laminar em uma placa, apresente graficamente o comportamento da relação y/ (ordenada) em função da relação u/U (abscissa). Compare com o comportamento parabólico utilizado no exercício 7. 11. Seja um escoamento de ar padrão, sobre uma placa plana horizontal, de velocidade U = 4,3 m/s.
inclinação da linha de fluxo neste ponto; (c) a tensão de cisalhamento w na superfície da placa,
(d) a força de arrasto FD nesta superfície (dica: a tensão de cisalhamento w é igual a força FD
sobre a área da placa), (e) estime a espessura de quantidade de movimento para L = 0,8 m (dica: use a equação 1-27).
2. CORPOS SUBMERSOS EM ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL
2.1. INTRODUÇÃO
Se o corpo estiver se movendo através de um fluido viscoso, tanto forças de cisalhamento quanto de pressão agem sobre ele.
A força resultante pode ser decomposta em componentes paralela (denominada de força de arrasto) e perpendicular (força de sustentação) à direção do movimento.
Entretanto, somente em alguns poucos casos a sustentação e o arrasto podem ser determinados sem recorrer a ensaios experimentais, isto porque a separação de escoamento impede a determinação analítica das forças atuantes sobre o corpo.
2.2. ARRASTO
O coeficiente de arrasto CD é definido como
=1 2
Eq. 2-1
onde FD é a força de arrasto total, V a velocidade do escoamento e A a área transversal, ao escoamento,
do corpo submerso no mesmo.
A força de arrasto total é a soma do arrasto de atrito e do arrasto de pressão, mas para um fluxo incompressível, o coeficiente de arrasto é uma função apenas do número de Reynolds.
2.3. ARRASTO DE ATRITO: PLACA PLANA PARALELA AO FLUXO
Como não há gradiente de pressão, não há força de sustentação, somente de a força de atrito FD.
=
SP: superfície da placa; w: tensão de cisalhamento na superfície; A: área total de superfície em contato
como o fluido, ou área molhada.
=∫1 2
Eq. 2-2
Camada Limite em Regime Laminar
Para escoamento laminar sobre placas planas (solução exata de Prandtl) o coeficiente de tensão de cisalhamento é expresso como:
=0,6642=1 2
De modo que
=0,3321
O coeficiente de arrasto para escoamento com velocidade de corrente livre V sobre uma superfície de área A, relacionada a um comprimento L e largura b:
= ∫ 0,3321 1 2 =0,6642 1 =0,6642 =0,6642 1 Lembrando que 1 √ = 2√ Tem-se =0,6642 2√ 0 =0,6642 2√ = 1,3284 =1,3284 Eq. 2-3
Camada Limite em Regime Turbulento
Para o caso de uma camada limite em regime turbulento desde a origem, ou seja, desde o bordo de ataque, o coeficiente de arrasto já foi desenvolvido e apresentado através da equação 1-37, válida para o intervalo 5 105 < Re < 107 :
= 0,0742 1 Eq. 1-37
Para valores maiores de número de Reynolds, pode-se empregar a expressão semiempírica de Hermam Schlichting, válida para o intervalo 5 105 < Re < 109 :
