Lista 5 Funções Afim e Quadrática Resoluções Prof. Ewerton
Aulas 19 e 20
Função constante e função afim
01) (Insper-adaptado) O gráfico a seguir representa a função f x( ) 4
x
= , definida no conjunto dos números reais positivos.
Sobre a função g(x) = xf(x), é correto afirmar que ela é: a) constante.
b) estritamente crescente. c) estritamente decrescente.
d) negativa. e) identicamente nula. Resolução: g(x) = xf(x) g x( ) x 4 4 x = = . (alternativa A)
02) (Unicamp) O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 20 reais.
Para um consumo superior, o preço é de 20 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere C(x) a função que associa o gasto mensal com o consumo de x metros cúbicos de água.
a) Esboce o gráfico da função C(x) no plano cartesiano para x entre 0 e 30.
b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico E para um consumo mensal de 25 metros cúbicos
Resolução:
a) Esboce o gráfico da função C(x) no plano cartesiano para x entre 0 e 30.
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 5 10 15 20 25 30 x C
O significado de “para x entre 0 e 30” é 0 < x < 30, pois a palavra entre não inclui as extremidades.
Para um gasto menor ou igual a 10 metros cúbicos a função C(x) é constante, logo o seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x passando pela ordenada 10; a partir de 10 metros cúbicos passa a ser uma função do primeiro grau, ou seja, C(x) = ax + b. Para x = 10, C(x) = 20 e para x = 11, C(x) = 24 10 20 11 24 a b a b + = + = a = 4 e b = –20
Assim, C(x) = 4x – 20, para 0 < x < 30 e ao lado temos o gráfico.
Observação: Caso a intenção do examinador fosse 0 x 30, os pontos (0, 20) e (30, 100) pertenceriam ao gráfico da função e o enunciado deveria ser “Esboce o gráfico da função C(x) no plano cartesiano para x variando de 0 a 30.”
b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico E para um consumo mensal de 25 metros cúbicos
20 5
4 = reais por metro cúbico. (25) 4 25 20
3, 2
25 25
C −
= = reais por metro cúbico. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 5 10 15 20 25 30 x C
03) (Insper-adaptado) Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do filme, sendo que:
• nos dez primeiros dias desse período, as vendas foram feitas exclusivamente nas bilheterias;
• nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultaneamente nas bilheterias e pela internet.
Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões, até o tempo t.
Durante as vendas exclusivas nas bilheterias, a capacidade de atendimento dos guichês dos cinemas do mundo todo, ao longo do tempo, era sempre a mesma, totalizando a venda de 2 milhões de ingressos por dia. Assim, o gráfico que melhor descreve v(t) para esse período, em função de t, é
a) b) c)
d) e)
Resolução:
O número de ingressos vendidos nesse período varia de 0 a 20 milhões, ou seja, o gráfico deve ser um segmento de reta com uma extremidade na origem do sistema cartesiano (0, 0) e outra no ponto (10, 20).
Assim, v(t) – 0 = 2(t – 0) v(t) = 2t.
O gráfico que melhor representa v(t) está na alternativa C.
a) Suponha que a partir de 2010 os índices de perda no varejo, no Brasil e nos EUA, possam ser expressos por funções polinomiais do 1º grau, y = ax + b, em que x = 0 representa o ano 2010, x = 1 o ano 2011, e assim por diante, e y representa o índice de perdas expresso em porcentagem. Determine as duas funções.
b) Em que ano a diferença entre o índice de perdas no varejo, no Brasil, e o índice de perdas no varejo, nos EUA, será de 1%, aproximadamente Dê como solução os dois anos que mais se aproximam da resposta.
Resolução:
a) Índices de perda no varejo no Brasil: 1, 75 0 1, 76 1 a b a b = + = + a = 0,01 e b = 1,75; assim y = 0,01x + 1,75 Índices de perda no varejo nos EUA:
1, 49 0 1, 40 1 a b a b = + = + a = –0,09 e b = 1,49; assim y = –0,09x + 1,49 b) 0,01x + 1,75 – (–0,09x + 1,49) = 1 0,10x + 0,26 = 1 0,10x = 0,74 x = 7,4.
A diferença entre o índice de perdas no varejo, no Brasil, e o índice de perdas no varejo, nos EUA, será aproximadamente igual a 1% entre 2017 e 2018.
05) (Vunesp) Um operário ganha R$ 3,00 por hora de trabalho de sua jornada semanal regular de trabalho, que é de 40 horas. Eventuais horas extras são pagas com um acréscimo de 50%. Encontre uma fórmula algébrica para expressar seu salário bruto semanal S, para as semanas em que trabalha h horas, com h 40.
Resolução:
S(h) = 120 + 1,53(h 40), para h 40 S(h) = 60 + 4,5h, para h 40
06) (Unicamp) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo. a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da
tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo.
Tempo (segundos) 0 1 2 3 4 Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140
b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado da velocidade máxima atingida e o tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a 1.100 km/h.
a) A velocidade tem variação constante de 35 km/h, logo é determinada por uma função do primeiro grau cujo coeficiente angular e 35, assim:
v v0 = m(t t0) v 0 = 35(t – 0) v = 35t.
Para t = 30, tem-se v = 3530 = 1.050 km/h
b) O gráfico mostra que a velocidade máxima foi de aproximadamente 1.325 km/h e o tempo que Felix demorou para atingir a velocidade do som foi de aproximadamente 37 segundos.
07) (Unicamp) Uma placa retangular de madeira, com dimensões 10x20 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura ao lado. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por
400 15 ( ) 80 2 CG w x w w e 2 400 ( 20) ( ) 80 2 CG w y w w
a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando
A(w) = 150 cm2.
b) Determine uma expressão geral para w(xCG), a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada xCG, e calcule yCG quando xCG = 7/2 cm. Resolução: a) A(w) = 10×20 5×w A(w) = 200 – 5w. Para 200 – 5w = 150, tem-se w = 10 400 15 ( ) 80 2 CG w x w w 400 150 ( ) 80 20 CG x w ( ) 25 6 CG x w e 2 400 ( 20) ( ) 80 2 CG w y w w 2 400 (10 20) ( ) 80 20 CG y w ( ) 50 6 CG y w 20 10 w 5
b) ( ) 400 15 80 2 CG w x w w 400 15 80 2 CG CG CG w x x w x 80 2 400 15 CG CG CG x w x w x 80xCG 2w xCG xCG 400 15w xCG 2w xCG xCG 15w xCG 400 80xCG 2 15 400 80 CG CG CG w x x x 400 80 15 2 CG CG CG x w x x . Para xCG = 7/2, tem-se 7 400 80 7 2 2 15 2 7 2 w 7 120 15 2 8 w logo 2 400 (15 20) (15) 80 2 15 CG y (15) 425 17 50 2 CG y
08) (FGV) Considerando um horizonte de tempo de 10 anos a partir de hoje, o valor de uma máquina deprecia linearmente com o tempo, isto é, o valor da máquina y em função do tempo x é dado por uma função polinomial do 1º grau y = ax + b. Se o valor da máquina daqui a dois anos for R$ 6 400,00, e seu valor daqui a cinco anos e meio for R$ 4 300,00, seu valor daqui a sete anos será:
a) R$ 3 100,00 b) R$ 3 200,00 c) R$ 3 300,00 d) R$ 3 400,00 e) R$ 3 500,00 Resolução: y = ax + b e 6 400 2 4 300 5, 5 a b a b = + = + a = –600 e b = 7 600, logo, y = –600x + 7 600. Daqui a sete anos teremos y = –6007 + 7 600 y = 3 400,00. (alternativa D)
Texto para as duas próximas questões
(PAS-UnB-adaptado) Suponha que o consumo normal diário de energia de um trabalhador seja de
2.100 kcal e que o total de calorias correspondentes aos alimentos ingeridos que excede esse valor seja armazenado no organismo, na forma de gordura. O gráfico abaixo representa a evolução da massa corporal desse indivíduo em um período de
660 dias; a tabela descreve situações relativas a consumo de alimentos e gasto de energia.
09) A função cujo gráfico corresponde ao período 1 é:
a) ( ) 1 70 24 f x x b) ( ) 1 85 24 f x x c) f(x) = 24x + 70 d) f(x) = 24x + 85 Resolução:
O gráfico, no período 1, representa um segmento de reta de extremidades (0, 70) e (360, 85).
Seja f(x) = ax + b a reta suporte de tal segmento.
(0) 70 (360) 85 f f 0 70 360 85 a b a b 70 1 24 b a 1 ( ) 70 24 f x x . (alternativa A)
10) Considerando-se que a tendência de perda de peso apresentada no período 3 seja mantida, o indivíduo voltará a ter massa corporal igual a 70 kg no:
a) 670º dia b) 680º dia
período 1 360 período 2 540 período 3 660 0
70 73 85
c) 690º dia d) 700º dia
Resolução:
O gráfico, no período 3, representa um segmento de reta de extremidades (540, 85) e (660, 73).
Seja f(x) = ax + b a reta suporte de tal segmento.
(540) 85 (660) 73 f f 540 85 660 73 a b a b 1 10 139 a b 1 ( ) 139 10 f x x Assim, 1 139 70 10 x x = 690. (alternativa C)
11) (UFMS) Suponha que numa bicicleta, o raio da roda dentada da coroa (conectada ao pedal) seja quatro vezes maior que o raio da roda dentada da catraca (conectada à roda da bicicleta) e que o raio da roda (incluindo o pneu) seja 35 cm. Conforme ilustração a seguir:
Nas condições descritas, qual é a função que melhor define a velocidade da bicicleta V (em quilômetros por hora) em relação ax (número de rotações por minuto da coroa)? (Use, se necessário, = 3) a) V(x) = 0,504x b) V(x) = 0,240x c) V(x) = 0,456x co r o a p ed a l c a tr a c a r o d a c o m p n e u
d) V(x) = 0,210x e) V(x) = 0,605x
Resolução:
Para cada volta da coroa a catraca dá 4 voltas e, consequentemente, o pneu dá 4 voltas e a distância percorrida pelo pneu é igual a 42R sendo que R = 35 cm, logo, a cada volta da coroa o pneu percorre
8,4 cm = 0,0084 km. Se a catraca der x voltas por minuto a velocidade da bicicleta será 0,0084x km/min, mas o problema pede V em quilômetros por hora, logo V(x) = 0,008460x km/h V(x) = 0,504x km/h. (alternativa A)
Aulas 21, 22 e 23 Função quadrática
12) (Insper) Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do filme, sendo que:
• nos dez primeiros dias desse período, as vendas foram feitas exclusivamente nas bilheterias;
• nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultaneamente nas bilheterias e pela internet.
Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões, até o tempo t. No período de vendas simultâneas nas bilheterias e pela internet, a função v(t) é dada por: v(t) = −0,1t2 + 4t − 10.
O número de ingressos vendidos apenas nos 10 dias que antecederam a exibição do filme foi a) 10 milhões. b) 20 milhões. c) 30 milhões. d) 40 milhões. e) 50 milhões. Resolução: v(20) – v(10) = −0,1202 + 420 − 10 – (−0,1102 + 410 − 10) v(20) – v(10) = −40 + 80 − 10 + 10 – 40 + 10 v(20) – v(10) = 10 milhões.
13) (Insper) O ponto Q da figura indica a posição de um avião que voa de P para R, no instante em que libera uma caixa com suprimentos que deverá cair no ponto O. Cada unidade do plano cartesiano corresponde a um quilômetro. A caixa descreve no ar a trajetória de uma parábola, com vértice sobre o ponto Q, no sistema de coordenadas apresentado.
Se alguns instantes após o lançamento a caixa passar pelo ponto S indicado na figura, é correto afirmar que
a) irá cair um quilômetro para a esquerda do ponto O.
b) irá cair meio quilômetro para a esquerda do ponto O.
c) irá atingir exatamente o ponto O. d) irá cair meio quilômetro para a direita do ponto O.
e) irá cair um quilômetro para a direita do ponto O.
Resolução:
A trajetória da caixa obedece à função y = ax2 + bx + c, em que a < 0.
O ponto S pertence à parábola e junto com as coordenadas do vértice, temos:
2 4 2 9 4 3 3 8 b a a a b c − = − = + + =
2 8 4 36 9 3 8 b a b ac a a b c = − − = − + + = 2 ( 8 ) 4 36 9 3( 8 ) 8 a ac a a a c − − = − + − + = 16 9 9 24 8 a c a a c − = − − + = 16 9 15 8 a c a c + = − + = 15a + 16a + 9 = 8 a = 1, b = 8 e c = 7.
A trajetória da caixa obedece à função y = x2 + 8x 7 cujas raízes são 1 e 7.
Logo, a caixa irá cair a um quilômetro para a direita do ponto O.
14) (Unicamp) Seja r a reta de equação cartesiana x + 2y = 4. Para cada número real t tal que 0 < t < 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto de abscissa x = t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo.
a) Para 0 < t < 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico.
b) Seja k um número real não nulo e considere a função g x( ) k
x
= , definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.
a) Para 0 < t < 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico.
O ponto P possui coordenadas cartesianas ,4 2 t P t − . 4 2 ( ) 2 t t A t − = 2 4 ( ) 4 t t A t = − 2 ( ) 4 t A t = −t .
b) Seja k um número real não nulo e considere a função g x( ) k
x
= , definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.
( ) k g x x = e r: 4 2 x y= − 4 2 k x x − = 2k = 4x – x2 x2 – 4x + 2k = 0.
A equação x2 – 4x + 2k = 0 deve ter duas raízes reais e iguais, ou seja, = 0.
(–4)2 – 412k = 0 16 – 8k = 0 k = 2.
15) (Insper) Considere dois polinômios do 1º grau P(x) e Q(x), ambos de coeficientes reais, tais que P(3) = Q(3) = 0, P(6) > 0 e Q(6) < 0.
Sendo f a função definida para todo x , por f(x) = P(x)Q(x), a única figura, dentre as apresentadas a seguir, que pode representar o gráfico de f é:
1
0 2 4
A t( )
Resolução:
f(x) é o produto de dois polinômios do primeiro grau, logo f(x) é uma função polinomial do 2º grau.
Como P(3) = Q(3) = 0, tem-se que 3 é raiz de P(x) e de Q(x), ou seja, 3 é raiz dupla f(x) = P(x)Q(x) e como P(6) > 0 e Q(6) < 0, tem-se que P(6)Q(6) < 0, logo, alternativa E
16) (Insper) f(x) e g(x) são duas funções do 1º grau, tais que: • f(1) = g(5) = 0.
• f(4)g(4) = 2
Se (h, k) são as coordenas do vértice da parábola y = f(x)g(x), então necessariamente a) h = 3 e k < 0 b) h = 3 e k = 2 c) h = 3 e k > 0 d) h = 4 e k = 2 e) h = 4 e k < 0 Resolução:
Sejam f(x) = rx + s e g(x) = tx + u. O enunciado informa que f(1) = 0 e g(5) = 0, ou seja, 1 é raiz de f(x) e 5 é raiz de g(x), portanto f(x) = r(x 1) e g(x) = s(x 5).
y = f(x)g(x) y = rs(x 1)(x 5) e sabe-se que f(4)g(4) = 2, isto é, rs(4 1)(4 5) = 2 2 3 rs = − . y = 2 3 − (x2 6x + 5) 2 2 4 10 3 3 y= − x + x− .
A abscissa do vértice da parábola é x = 4 2 2 3 h = − − h = 3.
Para x = 3 tem-se 2(3)2 4 3 10
3 3
y= = −k + − 8
3
k = k > 0.
17) (Enem) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:
• a nota zero permanece zero. • A nota 10 permanece 10. • A nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é
a) 1 2 7 25 5 y= − x + x b) 1 2 2 10 y= − x + x c) 1 2 7 24 12 y= − x + x d) 4 2 5 y= x+ e) y = x Resolução:
O grau máximo da função f é 2, assim, seja f(x) = ax2 + bx + c e
(0) 0 (10) 10 (5) 6 f f f = = = 0 100 10 10 25 5 6 c a b a b = + = + = 0 10 1 25 5 6 c a b a b = + = + = 50 5 5 25 5 6 a b a b − − = − + = –25a = 1 1 25 a = − . 10a + b = 1 10 1 1 25 b − + = 7 5 b = , logo ( ) 1 2 7 25 5 f x = = −y x + x.
18) (Unicamp) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) = x2 + ax + b, definidas para todo x real.
a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b.
b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto comum. Determine as coordenadas desse ponto comum.
Resolução:
a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b.
f(0) = 1 b = 1
O gráfico é tangente ao eixo x, logo = 0 a2 – 4 = 0 a = –2 ou a = 2
Resposta: a = –2 ou a = 2 e b = 1.
b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto comum. Determine as coordenadas desse ponto comum.
a + b = 1 b = 1 – a, assim f(x) = x2 + ax + 1 – a. Temos, então, que f(1) = 2 não depende de a ou de b, logo o ponto procurado tem coordenadas (1, 2).
19) (FGV) Ao cobrar dos produtores um imposto de t reais por unidade vendida de um produto, o número x de unidades vendidas mensalmente é dado por x = 50 0,25t. A receita tributária mensal (imposto por unidade vezes a quantidade vendida) máxima que o governo consegue arrecadar é
a) R$ 2.220,00 b) R$ 2.300,00 c) R$ 2.400,00 d) R$ 2.500,00 e) R$ 2.600,00
Resolução:
A receita tributária R = tx, ou seja, R = t(50 0,25t) R = 0,25t2 + 50t.
A receita máxima é dada por
4 R a = − 2 50 4( 0, 25) R = − − R = R$ 2.500,00
20) (Fuvest) A função f: tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) − f(x) = 6x − 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a: a) 11 6 b) 7 6 c) 5 6 d) 0 e) 5 6 − Resolução: f(x) = ax2 + bx + c a(x + 1)2 + b(x + 1) + c − (ax2 + bx + c) = 6x − 2 a(x2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c − ax2 − bx − c = 6x − 2 ax2 + 2ax + a + bx + b − ax2 − bx = 6x − 2 2 6 2 = + = − a a b a = 3 e b = −5 f(x) = 3x2 − 5x + c
O menor valor de f(x) ocorre quando
2 = − b x a ( 5) 2 3 − = − x 5 6 = x .
21) (Fuvest) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A(0, 0); B(3, 4) e C(8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC . Dentre os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é a) 4,16 5 b) 17 , 3 4 c) 12 5, 5 d) 11 , 2 2 e) 8 6, 5 Resolução: Sendo P(p, q) e N(p, 0) ABC QBP 4 8 4 PQ −q = PQ = 2(4 q) MNPQ S = PQ NP
(
)
2 4 MNPQ S = − q q 2 2 8 MNPQ S = − q + q y x A(0, 0) M N p( , 0) C( 8, 0) P p q( , ) q B(3, 4 ) 4 3 QA área máxima ocorre para 2 b q a = −
( )
8 2 2 2 q = − = − .A reta BC tem equação 0 4
(
8)
5y − = − x− e para y = q = 2, tem-se 11 2
x = p = .
22) (FGV) Uma única linha aérea oferece um único vôo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse vôo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do 1º grau. Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada vôo?
a) R$ 220,00 b) R$ 230,00 c) R$ 240,00 d) R$ 250,00 e) R$ 260,00
Resolução:
Para n aumentos de R$ 10,00 tem-se o preço x = 200 + 10n e y = 120 4n passageiros.
A receita R é dada pelo produto xy, ou seja, R = (200 + 10n)(120 4n)
R = 40n2 + 400n + 24.000 e a receita máxima ocorre para 400 5
2( 40)
n = − =
− logo, x = 200 + 105 x = R$ 250,00.
23) (FGV) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro “Descobrindo o Pantanal” em uma Feira Internacional de Livros, em 2012. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquiridos pelos consumidores em função do preço de cada exemplar.
Preço de Venda Quantidade Vendida
R$ 100,00 30
R$ 90,00 40
R$ 85,00 45
Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função
polinomial do 1º grau y = ax + b, em que x representa a quantidade de livros vendidos e y, o preço de cada exemplar.
a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora?
b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por que?
Resolução:
a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora?
Sendo y = ax + b, tem-se 100 30 90 40 a b a b + = + = a = 1 e b = 130, logo y = x + 130.
A receita R é dada por R = xy,ou seja, R = x(x + 130) R = x2 + 130x. Para que R seja
máxima tem-se 130 65 2( 1)
x = − =
− e y = 65 + 130 = 65.
O preço de venda de cada livro que maximizaria a receita da editora é R$ 65,00.
b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por que?
Lucro = Receita Custo
L = x2 + 130x 8x L = x2 + 122x.
A quantidade x de livros vendidos para que o lucro L seja máximo é 122 61 2( 1)
x = − =
− e
o preço unitário é y = x + 130 y = 61 + 130 = 69
24) (FGV) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, 130x + 70y (x2 + y2) exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão.
a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível?
b) Nas condições do item a), quantos exemplares a editora estima vender no total?
Resolução:
a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível?
Seja n a quantidade de livros vendida.
2 2 130 70 ( ) 2 n x y x y x y = + − + =
n = 1302y + 70y (2y)
2 y2 n = 5y2 + 330y
A quantidade vendida é máxima para 330 33 2( 5)
y = − =
− e x = 66.
A quantidade de livros vendida será a maior possível quando a versão capa dura custar R$ 66,00 e a versão capa de papelão custar R$ 33,00.
b) Nas condições do item a), quantos exemplares a editora estima vender no total?
Para y = 33 na função n = 5y2 + 330y, tem-se n = 5332 + 33033 n = 5.445
A editora estima vender 5.445 livros.
25) (Insper) Para alcançar um suculento mosquito, um sapo deu dois saltos, partindo do ponto (0, 0) de um sistema de coordenadas, cuja unidade representa 1 cm.
• obedeceu ao gráfico da parábola dada por
2 1( ) 6
10 x
p x = x− para pousar sobre uma cadeira de 50 cm (já na parte descendente do gráfico, após o ponto de máximo);
• no mesmo ponto onde “aterrisou” na cadeira tomou um impulso e seguiu sobre o gráfico da parábola p2(x) = x2 + bx 3.600;
• no ponto de altura máxima de p2(x), laçou o mosquito com seu tradicional
golpe de língua.
Quando apanhou o mosquito o sapo “voava” a uma altura que está entre
a) 1,50 e 2,00 metros b) 2,00 e 3,00 metros c) 4,00 e 6,00 metros d) 6,00 e 10,00 metros e) 10,00 e 18,00 metros Resolução:
Procurando pelas raízes de p1(x), encontramos
2 1( ) 6 10 x p x = x− 2 6 0 10 x x − = x = 0 ou x = 60.
Das informações do enunciado, construímos os gráficos de p1(x) e p2(x)
p x1( ) p x2( ) A B 0 60 50 y (cm) x (cm)
Seja A( , 50) o ponto de “aterrisagem” e de início do segundo pulo. Como A p1(x), tem-se p1() = 50 2 6 0 10
− = = 10 (não serve) ou = 50, logo A(50, 50).
O ponto A p2(x), assim, p2(50) = 50 (50)2 + b50 3.600 = 50 b = 123
logo p2(x) = x2 + 123x 3.600.
A altura em que “voava” o sapo é igual à ordenada do vértice da parábola representada por p2(x), ou seja,
4 v y a = − 2 123 4( 1)( 3.600) 4( 1) v y = − − − − − yv = 182,25 cm, ou seja, yv = 1,8225 m
26) (Unifesp) Chamando de y’ e y” as equações das parábolas geradas quando a curva y = 2x2 12x + 16 é refletida pelos eixos x e y, respectivamente, determine: a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por y’ e y”. b) y’ e y”.
Resolução:
a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por y’ e y”.
Por Pitágoras: 62 + 42 = (V'V")2 V'V" = 2 11 x y 16 2 3 4 −3 −4 −2 −16 2 −2 y’ y” V’ V”
b) y’ e y”.
y = f(x) e y’ = f(x) y’ = (2x2 – 12x + 16) y’ = 2x2 + 12x 16
y = f(x) e y” = f(x) y” = 2(x)2 12(x) + 16 y” = 2x2 + 12x + 16.
27) (Insper) Considere a função f, definida no intervalo [1; 7[, dada pela lei 2 2 4 4, se 1 ( ) 12 36, se 7 x x x p f x x x p x
. f(p) será o valor mais alto de f(x) somente
se a) 1 p < 2 b) 1 p < 3 c) 2 p < 5 d) 3 p < 6 e) 4 p < 7 Resolução: Para 1 x p, no intervalo [1, 7[, tem-se f(x) = x2 4x + 4, cujo gráfico
é: 0 1 2 7 1 p x y f p( )
Para p < x < 7, no intervalo [1, 7[, tem-se
f(x) = x2 12x + 36, cujo gráfico é:
f(p) será o valor mais alto de f(x) somente se
2 2 2 4 4 1 4 4 12 36 1 7 p p p p p p p − + − + − + 2 4 3 0 8 32 1 7 p p p p − + 1 ou 3 4 1 7 p p p p 4 p < 7 0 p 6 7 x y f p( ) 1
