Movimento Circular Uniforme
Movimento Circular Uniforme
Existe uma enorme quantidade de aparelhos e equipamentos em nossas residências, indústria e comércio onde podemos observar o movimento circular: relógios, liquidificadores, furadeiras, máquinas de lavar roupas e serras elétricas são alguns exemplos.
Pense na roda gigante e no carrossel em um parque de diversões. Lá também está presente o movimento circular uniforme.
Nesta atividade focaremos nossas reflexoes no Movimento Circular Uniforme (MCU). Ele é caracterizado por ser um movimento de trajetória circular em que o módulo da
velocidade linear (v) é constante, entretanto, com variação da direção e do sentido de
movimento. Trata-se de um movimento periódico.
Trata-se de um movimento periódico. Ou seja, ele gasta sempre o mesmo intervalo de
tempo para realizar uma volta completa.
É importante destacar que o objeto que está em movimento circular uniforme apresenta além da velocidade linear (v), uma outra velocidade denominada velocidade angular representada pela letra “ω”. Não se esqueça que o objeto em movimento circular está mudando continuamente a sua direção e o seu sentido.
Lembre-se!
A velocidade linear (v) descreve a rapidez com que uma partícula percorre determinada trajetória. A velocidade angular (ω) descreve a rapidez com que uma partícula percorre determinado ângulo central da circunferência descrita durante o movimento (figura 2).
Figura 1 – Brinquedo spinner girando em movimento circular KeyVisualStock / Shutterstock
v
v
v
v
v
v
v
v
Uma unidade de medida bastante utilizada para a velocidade angular (ω) é o radiano
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Algumas expressões matemáticas importantes no estudo do MCU
Matematicamente há uma expressão que relaciona a velocidade angular, a velocidade linear e o raio (R) da trajetória descrita pelo corpo em movimento circular uniforme. Portanto é importante que no estudo do movimento circular você consiga diferenciar a grandeza física velocidade linear (v) da grandeza velocidade angular ().
A primeira e importante expressão aqui apresentada é:
Além da velocidade linear e da velocidade angular é importante entender a relação existente entre os conceitos de período (T) e frequência (f). O movimento do brinquedo
spinner, por exemplo, pode nos ajudar no resgate dessa relação. Esse passatempo
quando impulsionado começa a girar constantemente na ponta dos dedos do seu usuário. Observando o giro do brinquedo podemos determinar o tempo necessário para efetuar uma volta completa. No caso do spinner é um intervalo de tempo extremamente pequeno. A esse valor chamamos de período (T). Por outro lado, observando o movimento circular do brinquedo, considere contar o número de voltas em um segundo ou em um minuto, por exemplo. Essa quantidade recebe o nome de
frequência (f).
Ângulo descrito por uma pedra ligada a um barbante, em um certo intervalo de tempo, durante parte de sua trajetória.
R
Figura 2 – Ângulo descrito por um objeto em MCU Fonte: Fundação Bradesco
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Ou seja, o período fornece o tempo gasto para uma volta completa e a frequência
é a quantidade de voltas dadas em um determinado intervalo de tempo.
As unidades de medidas do período são aquelas utilizadas para a medida do tempo. Estas você já conhece: segundo (s), hora (h), minuto (min). Para a medida da frequência as mais utilizadas são o hertz (Hz) e o rotações por minuto (rpm).
A frequência e o período se relacionam através das expressões mostradas a seguir:
𝐟𝐟 =
𝟏𝟏
𝐓𝐓
𝐓𝐓 =
𝟏𝟏
𝐟𝐟
Além dessas expressões é importante destacar aquelas outras que relacionam a velocidade linear (v), a velocidade angular (
ω
), o raio (R), o período (T) e a frequência (f).Figura 3 – Pás de um gerador de energia eólica executando movimento circular Fonte: BSD / Shutterstock.com
v = 2.
π.R
T
v = 2.
π.R.f
ω
= 2.
π
T
ω
= 2.
π.f
R
É partir da leitura do enunciado do exercício e da observação das ilustrações que o acompanham que se toma a decisão sobre qual será a melhor
expressão matemática ideal para a sua resolução. É importante identificar
as grandezas envolvidas (velocidade linear, velocidade angular, período, frequência etc). A partir dessa identificação verifica-se qual dentre as expressões do movimento circular uniforme é a mais adequada para a resolução de determinado exercício.
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A aceleração centrípeta
Além das grandezas velocidade linear e velocidade angular é importante falarmos sobre a aceleração centrípeta (ac).
Comentamos que no movimento circular uniforme, embora o valor numérico da velocidade do objeto, em rotação permaneça constante, sua direção e seu sentido estão variando. Corpos executado esse tipo de movimento circular ficam sujeito a uma aceleração dirigida para o centro da circunferência e denominada aceleração
centrípeta (ac). Essa aceleração é perpendicular à direção da velocidade.
A aceleração centrípeta, a velocidade linear, a velocidade angular e o raio da trajetória
podem ser relacionadas a partir das expressões indicadas a seguir.
a
c= v
2R
a
c=
ω
2.R
a
cv
v
v
a
ca
cFigura 4 – No MCU surge uma aceleração denominada aceleração centrípeta
Fonte: UFPA VELOCIDADE LINEAR VELOCIDADE ANGULAR PERÍODO FREQUÊNCIA RAIO ACELERAÇÃO CENTRÍPETA
MCU
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Exercícios
Nesta atividade nós retomamos as nove expressões utilizadas aqui para abordar o movimento circular uniforme (MCU). Estas expressões foram reescritas a seguir. Siga o exemplo e escreva no espaço indicado, o nome de cada uma das grandezas que aparecem na expressão matemática.
v =
ω.R
Velocidade linear Velocidade angular Raio Exemplo𝐟𝐟 =
𝐓𝐓
𝟏𝟏
ω = 2.π
T
ω = 2.π.f
𝐓𝐓 =
𝟏𝟏
𝐟𝐟
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v = 2.
π.R
T
v = 2.
π.R.f
a
c= v
2R
a
c=
ω
2.R
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Nos próximos exercícios faremos uso dessas expressões. Mais uma vez fique atento para as informações no enunciado. Elas te auxiliarão a decidir qual a expressão apropriada para a resolução.
2. Uma engrenagem que faz parte de um motor, gira, no sentido horário, em movimento circular uniforme e demora 0,25 s para efetuar uma volta completa.
Adote para π o valor 3,14.
a) Qual o periodo de rotaçao da engrenagem? b) Qual a frquência de rotaçao da engrenagem? c) Qual a velocidade angular da engrenagem?
d) Qual a velocidade linear, em cm/s, do ponto A localizado em um dos dentes, a 20 cm do eixo central. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
Disponível em: http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/06/cursos-do-blog-mecanica_24.html. Acesso em: 13 out.2017. 11h51min.
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3. A figura mostra uma bola amarrada a uma corda de comprimento total de 0,8 m. A bola gira em movimento circular uniforme, sem qualquer tipo de atrito agindo sobre ela. A bola gira presa à corda com frequência de 2,5 Hz.
Adote π = 3,14.
a) Quanto tempo a bola demora para efetuar uma volta completa? b) Quanto vale sua velocidade angular e sua velocidade linear (em m/s)? c) Qual o valor da sua aceleração centrípeta?
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v
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4. (UFPR – Adaptado) Um ponto em movimento circular uniforme descreve 15 voltas por segundo em uma circunferência de 8,0 cm de raio.
Determine os valores para sua velocidade angular, o seu período e a sua velocidade linear (em m/s). Adote π = 3,14. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 5. (UERJ) A distância média entre o Sol e a Terra é de cerca de 150 milhões de quilômetros. Assim, a velocidade média de translação da Terra em relação ao Sol é, aproximadamente, de Adote π = 3,14. a) 3 km/s. b) 30 km/s. c) 300 km/s. d) 3000 km/s. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
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6. (UEL – PR – Adaptado) Duas crianças, identificadas como A e B, estão brincando em um carrossel de um parque de diversões. Uma delas encontra-se sentada nas proximidades da borda, distante 2 metros do centro de rotação e a outra está a 1 m do centro do carrossel, conforme figura a seguir. O brinquedo leva 4 s para efetuar uma volta completa. Considerado que o carrossel está girando e que as posições das crianças, em relação ao carrossel, são mantidas constantes, é correto afirmar:
Para a situação apresentada, foram feitas as afirmações a seguir. Para cada uma delas realize os cálculos necessários e indicando com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
a) ( ) O período do movimento é de 0,25 s b) ( ) A frequência tem valor de 4 Hz.
c) ( ) Suas velocidades angulares são iguais. d) ( ) Suas velocidades lineares são diferentes.
e) ( ) A aceleração centrípeta da criança A é menor que aceleração centrípeta da criança B. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2 m A 1 m B
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7. (FMTM – MG – Adaptado) Com a finalidade de destacar a rapidez de uma serra circular em cortar pedras e cerâmicas, um folheto ressalta uma noção confusa, ao explicar que a máquina, muito rápida, gira com velocidade de 13.000 rpm. De fato, a informação dada é a frequência da máquina e não sua velocidade. O folheto ficaria correto e coerente se ressaltasse a velocidade angular da máquina que, em rad/s, corresponde a Admita π = 3 a) 1.300. b) 2.170. c) 26.000. d) 39.000. e) 78.000. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
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Gabarito Comentado 1.𝐟𝐟 =
𝟏𝟏
𝐓𝐓
Frequência Período Frequência Período𝐓𝐓 =
𝟏𝟏
𝐟𝐟
ω = 2.π
T
Velocidade angular Período
ω = 2.π.f
Velocidade angular Frequência
v = 2.
π.R
T
Velocidade linear Raio Períodov = 2.
π.R.f
Velocidade linear Frequência RaioMovimento Circular Uniforme
2.
a) Ela demora 0,25 segundos para efetuar uma volta, portanto seu período é de 0,25 s. b) f = 1/T f = 1/0,25 f = 4 Hz c) ω = 2.π/T ω = 2.3,14/0,25 ω = 25,12 rad/s d) v = ω.R v = 25,12.20 v = 502,4 cm/s 3.
a) O tempo gasto para efetuar uma volta completa corresponde ao período (T). T = 1/f
a
c= v
2R
a
c=
ω
2.R
Aceleração centrípeta Velocidade linear RaioAceleração centrípeta Raio
Movimento Circular Uniforme
T = 1/2,5 T = 0,4 s b) ω = 2.π/T ω = 2.3,14/0,4 ω = 15,70 rad/s v = ω.R v = 15,70.0,8 v = 12,56 m/s c) ac = v2 R ac = (12,56)2 0,8 ac = 197,2 m/s2 4.O ponto descreve 15 voltas por segundo. Sendo assim, sua frequência é de 15 Hz. Para a velocidade angular (ω)
ω = 2.π.f ω = 2.3,14.15 ω = 94,2 rad/s
Para a velocidade linear (v) v = ω.R
Lembrando que R = 8 cm = 0,08 m, teremos: v = ω.R v = 94,2.0,08 v ≅ 7,54 m/s Para o período (T) T = 1/f T = 1/15 T ≅ 0,067 s
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5. Alternativa B
Comentário: A distância média fornecida no enunciado corresponde ao raio da órbita. Para calcular a velocidade de translação, que corresponde à velocidade linear, podemos utilziar a expressão
v = 2.π.R T
Onde “T”, que é o período corresponde ao tempo gasto pela Terra para completar uma volta em torno do Sol. Esse tempo é de 1 ano.
Observe que as respostas foram fornecidas na unidade de medida “km/s”. Sendo assim, o tempo que está em anos, precisa ser expresso em segudos.
1 ano = 365 dias 1 dia = 24 h 1 h = 3600s Dessa maneira: 1 ano = 365 x 24 x 3600 1 ano = 31.536.000 s
E inserindo as informações do raio R que vale 150.000.000 km e do períodoT com valor 31.536.000 s, teremos: v = 2.π.R T v = 2x3,14x150.000.000 31.536.000 v ≅ 29,87 km/s ≅ 30 km/s 6. a) (F) O período do movimento é de 0,25 s b) (F) A frequência tem valor de 4 Hz.
O brinquedo leva 4 s para efetuar uma volta completa. Seu período será T = 4 s e sua frequência f = 1/T.
f = 1/4
f = 0,25 Hz
c) (V) Suas velocidades angulares são iguais.
Para o cálculo da velocidade angular (ω) podemos utilizar as expressões ω = 2.π/T
ou ω = 2.π.f
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Observe que o período (T) e a frequência (f) não mudam, permanecendo constantes. Sendo assim, a velocidade angular das duas crianças, é a mesma
d) ( V ) Suas velocidades lineares são diferentes.
A velocidade linear depende da posição com relação ao centro de rotação do brinquedo Para a criança A (R = 1 m).
Podemos realizar o cálculo com a expressão da velocidade linear que envolve o período ou com aquela outra que faz uso da frequência. Faremos os cálculos com ambas.
v = 2.π.R T R = 1 m T = 4 s v = 2.3,14.1 4 v = 1,57 m/s v = 2.π.R.f R = 1 m f = 0,25 Hz v = 2.3,14.1.0,25 v = 1,57 m/s Para a criança B (R = 2 m).
Novamente a velocidade linear depende da posição com relação ao centro de rotação do brinquedo. Podemos novamente realizar o cálculo com a expressão da velocidade linear que envolve o período ou com aquela outra que faz uso da frequência. Faremos os cálculos com ambas.
v = 2.π.R T R = 2 m T = 4 s v = 2.3,14.2 4 v = 3,14 m/s v = 2.π.R.f R = 2 m f = 0,25 Hz v = 2.3,14.2.0,25 v = 3,14 m/s
e) (V) A aceleração centrípeta da criança A é menor que aceleração centrípeta da criança B.
A aceleração centrípeta pode ser expressa como: ac = v2
R
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Criança A Criança B R = 1 m v = 1,57 m/s ac = v2 R ac = (1,57)2 1 ac ≅ 2,46 m/s2 R = 2 m v = 3,14 m/s ac = v2 R ac = (3,14)2 2 ac ≅ 4,93 m/s2 7. Alternativa AConsiderando que a frequência vale 13.000 rpm, precisamos escrever esse valor utilizando a unidade de medida “hertz”.
1 rpm = 1 rotação por minuto
E lembrando que 1 min = 60 s, podemos escrever
13.000 rpm = 13.000 rotações por minuto = 13.000 rotações por 60 s São realizadas 13.000 rotações em 60 segundos?
E em 1 segundo, quantas rotações são realizadas? Achando esse valor determinamos a frequência em hertz. Utilizando a “regra de três” 13.000 rotações _____________60 s f rotações ____________ 1 s f.60 = 13.000 f = 13.000/60 f ≅ 217 Hz
E utilizando a expressão ω = 2.π.f , e adotando π = 3, conforme informado no enunciado, teremos
ω = 2.π.f ω = 2x3x217 ω = 1302 rad/s
