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Movimento Circular Uniforme

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Academic year: 2021

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(1)

1. (Unifesp 2017) Um avião, logo após a aterrissagem, está em movimento retilíneo sobre a pista horizontal, com sua hélice girando com uma frequência constante de 4 Hz.

Considere que em um determinado intervalo de tempo a velocidade escalar desse avião em relação ao solo é constante e igual a 2 m s, que cada pá da hélice tem 1 m de comprimento e que π 3. Calcule:

a) a distância, em metros, percorrida pelo avião enquanto sua hélice dá 12 voltas completas.

b) o módulo da velocidade vetorial instantânea, em m s, de um ponto da extremidade de uma das pás da hélice do avião, em relação ao solo, em determinado instante desse intervalo.

2. (Ufu 2017) Ainda que tenhamos a sensação de que estamos estáticos sobre a Terra, na verdade, se tomarmos como referência um observador parado em relação às estrelas fixas e externo ao nosso planeta, ele terá mais clareza de que estamos em

movimento, por exemplo, rotacionando junto com a Terra em torno de seu eixo imaginário. Se consideramos duas pessoas (A e B), uma deles localizada em Ottawa (A), Canadá, (latitude 45 Norte) e a outra em Caracas (B), Venezuela, (latitude 10 Norte), qual a relação entre a velocidade angular média ( )ω e velocidade escalar média (v) dessas duas pessoas, quando analisadas sob a perspectiva do referido observador?

a) ωA ωB e vA vB b) ωA ωB e vA vB c) ωA ωB e vA vB d) ωA ωB e vA vB

3. (Uece 2016) Em uma obra de construção civil, uma carga de tijolos é elevada com uso de uma corda que passa com

velocidade constante de 13,5 m s e sem deslizar por duas polias de raios 27 cm e 54 cm. A razão entre a velocidade angular da polia grande e da polia menor é

a) 3. b) 2. c) 2 3. d) 1 2.

(2)

Considerando-se que a velocidade escalar de um ponto qualquer da periferia da Roda é V1m s e que o raio é de 15 m,

pode-se afirmar que a frequência de rotação f, em hertz, e a velocidade angular ω, em rad s, são respectivamente iguais a:

a) 1 30π e 2 15 b) 1 15π e 2 15 c) 1 30π e 1 15 d) 1 15π e 1 15 e) 1 30π e 1 30π

5. (Eear 2016) Duas polias estão acopladas por uma correia que não desliza. Sabendo-se que o raio da polia menor é de 20 cm e sua frequência de rotação f é de 3.600 rpm, qual é a frequência de rotação 1 f da polia maior, em 2 rpm, cujo raio vale

50 cm? a) 9.000 b) 7.200 c) 1.440 d) 720

6. (Enem 2016) A invenção e o acoplamento entre engrenagens revolucionaram a ciência na época e propiciaram a invenção de várias tecnologias, como os relógios. Ao construir um pequeno cronômetro, um relojoeiro usa o sistema de engrenagens mostrado. De acordo com a figura, um motor é ligado ao eixo e movimenta as engrenagens fazendo o ponteiro girar. A frequência do motor é de 18 rpm, e o número de dentes das engrenagens está apresentado no quadro.

Engrenagem Dentes

A 24

B 72

C 36

(3)

A frequência de giro do ponteiro, em rpm, é a) 1. b) 2. c) 4. d) 81. e) 162.

7. (Unicamp 2015) Considere um computador que armazena informações em um disco rígido que gira a uma frequência de 120 Hz. Cada unidade de informação ocupa um comprimento físico de 0,2 mμ na direção do movimento de rotação do disco. Quantas informações magnéticas passam, por segundo, pela cabeça de leitura, se ela estiver posicionada a 3 cm do centro de seu eixo, como mostra o esquema simplificado apresentado abaixo?

(Considereπ 3.) a) 1,62 10 . 6 b) 1,8 10 . 6 c) 64,8 10 . 8 d) 1,08 10 . 8

(4)

Nesse momento, considerando as quantidades de filme que os carretéis contêm e o tempo necessário para que o carretel R dê uma volta completa, é correto concluir que o carretel F gira em sentido

a) anti-horário e dá mais voltas que o carretel R. b) anti-horário e dá menos voltas que o carretel R. c) horário e dá mais voltas que o carretel R. d) horário e dá menos voltas que o carretel R.

e) horário e dá o mesmo número de voltas que o carretel R.

9. (Ufrgs 2013) A figura apresenta esquematicamente o sistema de transmissão de uma bicicleta convencional.

Na bicicleta, a coroa A conecta-se à catraca B através da correia P. Por sua vez, B é ligada à roda traseira R, girando com ela quando o ciclista está pedalando.

Nesta situação, supondo que a bicicleta se move sem deslizar, as magnitudes das velocidades angulares, ωA, ωB e ω são R, tais que a) ωA ωB ωR. b) ωA ωBωR. c) ωA ωB ωR. d) ωA ωB ωR. e) ωA ωB ωR.

10. (Fuvest 2017) De férias em Macapá, cidade brasileira situada na linha do equador e a 51 de longitude oeste, Maria faz um

selfie em frente ao monumento do marco zero do equador. Ela envia a foto a seu namorado, que trabalha em um navio ancorado

próximo à costa da Groenlândia, a 60 de latitude norte e no mesmo meridiano em que ela está. Considerando apenas os efeitos da rotação da Terra em torno de seu eixo, determine, para essa situação,

a) a velocidade escalar v de Maria; M b) o módulo a da aceleração de Maria; M

(5)

d) a medida do ângulo α entre as direções das acelerações de Maria e de seu namorado.

Note e adote:

Maria e seu namorado estão parados em relação à superfície da Terra.

As velocidades e acelerações devem ser determinadas em relação ao centro da Terra. Considere a Terra uma esfera com raio 6 10 m. 6

Duração do dia 80.000 s 3

π 

Ignore os efeitos da translação da Terra em torno do Sol. sen30 cos 60 0,5

sen60 cos30 0,9        

11. (Unesp 2017) As pás de um gerador eólico de pequeno porte realizam 300 rotações por minuto. A transformação da energia cinética das pás em energia elétrica pelo gerador tem rendimento de 60%, o que resulta na obtenção de 1.500 W de potência elétrica.

Considerando π 3, calcule o módulo da velocidade angular, em rad s, e da velocidade escalar, em m s, de um ponto P situado na extremidade de uma das pás, a 1,2 m do centro de rotação. Determine a quantidade de energia cinética, em joules, transferida do vento para as pás do gerador em um minuto. Apresente os cálculos.

12. (Uece 2017) Considere o movimento de rotação de dois objetos presos à superfície da Terra, sendo um deles no equador e o outro em uma latitude norte, acima do equador. Considerando somente a rotação da Terra, para que a velocidade tangencial do objeto que está a norte seja a metade da velocidade do que está no equador, sua latitude deve ser

a) 60 . b) 45 . c) 30 . d) 0,5 .

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Considere o módulo da aceleração da gravidade como g10,0 m s2 e a constante da gravitação universal como 11 3 1 2

G6,7 10  m kg s e utilize π 3.

(6)

Pequim 2008 Londres 2012 Rio 2016

100 m 9,69 9,63 9,81

200 m 19,3 19,32 19,78

4 100 m 8,98 8,7 9 *

*O tempo individual de Bolt ainda não foi publicado. Medimos o tempo dele pela TV.

Fonte: http://www.bbc.com/portuguese/brasil-37144726, acessado em 20 de agosto de 2016.

Esteiras ergométricas são dispositivos que auxiliam no treino e na execução de atividades físicas, como caminhada e corrida. Uma esteira é formada por uma lona, que envolve dois cilindros idênticos, C1 e C2, de 2 cm de raio, conforme indicado na figura a seguir. No eixo do cilindro frontal, está montada uma polia P1 de 4 cm de raio que, através de uma correia, está acoplada ao eixo de um motor elétrico. O motor gira a correia em uma polia P2, que possui 1 cm de raio. Supondo que Usain Bolt desenvolvesse a velocidade média da prova 4 100 m dos Jogos Olímpicos Rio 2016, utilizando a esteira ergométrica descrita anteriormente, qual seria a velocidade aproximada de rotação da polia P1 em r.p.m.?

a) 40.000 b) 20.000 c) 10.000 d) 5.000 e) 1.000

(7)

Nessas condições, quando o motor girar com frequência f , as duas rodas do carrinho girarão com frequência M f . Sabendo que R as engrenagens A e C possuem 8 dentes, que as engrenagens B e D possuem 24 dentes, que não há escorregamento entre elas e que fM 13,5 Hz, é correto afirmar que f , em R Hz, é igual a

a) 1,5. b) 3,0. c) 2,0. d) 1,0. e) 2,5.

15. (Unesp 2015) A figura representa, de forma simplificada, parte de um sistema de engrenagens que tem a função de fazer girar duas hélices, H e 1 H . Um eixo ligado a um motor gira com velocidade angular constante e nele estão presas duas 2 engrenagens, A e B. Esse eixo pode se movimentar horizontalmente assumindo a posição 1 ou 2. Na posição 1, a

engrenagem B acopla-se à engrenagem C e, na posição 2, a engrenagem A acopla-se à engrenagem D. Com as engrenagens B e C acopladas, a hélice H gira com velocidade angular constante 1 ω e, com as engrenagens A e D acopladas, a hélice 1

2

H gira com velocidade angular constante ω 2.

Considere r , A r , B r , e C r , os raios das engrenagens D A, B, C e D, respectivamente. Sabendo que rB   e que 2 rA rC r ,D é correto afirmar que a relação 1

(8)

Uma corda de comprimento L e densidade linear constante gira em um plano em torno da extremidade fixa no ponto A a uma velocidade angular constante igual a . Um pulso ondulatório é gerado a partir de uma das extremidades. A velocidade v do pulso, no referencial da corda, a uma distância r da extremidade fixa é dada por

a) L r 2   b) L(L r) 2   c) (L2 r )2 2L  d) 2 2 L r 2   e) L L r L r 2   

17. (Ufpr 2012) Um ciclista movimenta-se com sua bicicleta em linha reta a uma velocidade constante de 18 km/h. O pneu, devidamente montado na roda, possui diâmetro igual a 70 cm. No centro da roda traseira, presa ao eixo, há uma roda dentada de diâmetro 7,0 cm. Junto ao pedal e preso ao seu eixo há outra roda dentada de diâmetro 20 cm. As duas rodas dentadas estão unidas por uma corrente, conforme mostra a figura. Não há deslizamento entre a corrente e as rodas dentadas. Supondo que o ciclista imprima aos pedais um movimento circular uniforme, assinale a alternativa correta para o= número de voltas por minuto que ele impõe aos pedais durante esse movimento. Nesta questão, considere  3.

a) 0,25 rpm. b) 2,50 rpm. c) 5,00 rpm. d) 25,0 rpm. e) 50,0 rpm.

18. (Udesc 2010) O velódromo, nome dado à pista onde são realizadas as provas de ciclismo, tem forma oval e possui uma circunferência entre 250,0 m e 330,0 m, com duas curvas inclinadas a 41o. Na prova de velocidade o percurso de três voltas tem 1.000,0 m, mas somente os 60π últimos metros são cronometrados. Determine a frequência de rotação das rodas de uma bicicleta, necessária para que um ciclista percorra uma distância inicial de 24πmetros em 30 segundos, considerando o movimento uniforme. (O raio da bicicleta é igual a 30,0 cm.) Assinale a alternativa correta em relação à frequência. a) 80 rpm

(9)

Gabarito:

Resposta da questão 1:

Dados: fhel 4 Hz; vav 2 m s; hel 1m;π3.

a) O tempo gasto pela hélice para realizar 12 voltas completas corresponde a:

hel 1 t 12T 12 f Δ   sendo hel 1 T f

 o período de cada ciclo da hélice.

Substituindo na equação os valores de parâmetros conhecidos, tem-se que:

hel

12 12

t 3 s

f 4

Δ   

A distância percorrida pelo avião no intervalo de tempo tΔ 3 s, é: av

S v t 2 3 6 m

Δ  Δ   

b) A velocidade vetorial instantânea da extremidade de uma das hélices será uma composição da velocidade da extremidade da hélice relativa ao avião, v , e a velocidade do avião em relação ao solo, t vav:

lembrando que o símbolo na segunda figura representa um vetor perpendicular ao plano do papel, "saindo" do mesmo. Da composição vetorial, conclui-se que

2 2 2 2 2

t av t av

v v v  v v v

A velocidade do avião vav possui módulo conhecido e igual a 2 m s. A velocidade v , ou melhor, o seu módulo, é obtido da seguinte forma: t

t hel hel hel

v ω 2πf     2 3 4 1 24 m s

Substituindo-se os parâmetros conhecidos na equação do módulo da velocidade total, obtém-se:

2 2 2

v  24 2  24 24 m s

Resposta da questão 2:

(10)

A velocidade angular média ( )ω depende basicamente da frequência da rotação (f ) ou do período (T) sendo dada por: 2 2 f T π ω π 

Para ambos os observadores (A e B), tanto suas frequências como seus períodos de rotação são os mesmos, pois quando a Terra dá uma volta completa, qualquer ponto do planeta também dá uma rotação completa, então suas velocidades angulares médias ( )ω devem ser exatamente iguais.

A B A B A B f f T T ω ω      

Já a velocidade escalar média (v) dessas duas pessoas, depende do raio (R) de curvatura da Terra. Pontos mais próximos dos polos têm raios menores que pontos próximos ao Equador, portanto temos que:

A B

R R

Como a velocidade escalar média (v) é diretamente proporcional ao raio e dada por: v 2 Rf 2 R, T π π   temos que vA v .B Resposta da questão 3: [D]

A velocidade linear é a mesma para as duas polias.

G M G G M G G M M M G M R 27 1 v v R R . R 54 2 ω ω ω ω ω ω         Resposta da questão 4: [C] V 1 1 V 2 R f f f Hz. 2 R 2 15 30 1 1 2 f 2 rad/s. 30 15 π π π π ω π π ω π           Resposta da questão 5: [C] 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 R f 2 R f 2 R f 2 R f R f R f R f 20 3.600 f f f 1.440 rpm R 50 ω π ω π ω ω π π                           Resposta da questão 6: [B]

No acoplamento coaxial as frequências são iguais. No acoplamento tangencial as frequências (f) são inversamente proporcionais aos números (N) de dentes;

(11)

A motor B B A A B B C B D D C C D D f f 18 rpm. f N f N f 72 18 24 f 6 rpm. f f 6 rpm. f N f N f 108 6 36 f 2 rpm.          

A frequência do ponteiro é igual à da engrenagem D, ou seja: f 2 rpm.

Resposta da questão 7:

[D]

- Espaço ocupado por cada informação: 7

L0,2 mμ  2 10 m. - Comprimento de uma volta:

2 2

C2πr   2 3 3 10 18 10  m.

- Número de informações armazenadas em cada volta: 2 5 7 C 18 10 n 9 10 . L 2 10        

- Como são 120 voltas por segundo, o número de informações armazenadas a cada segundo é:

5 8

Nn f  9 10 120  N 1,08 10 . 

Resposta da questão 8:

[D]

A análise da situação permite concluir que o carretel F gira no mesmo sentido que o carretel R, ou seja, horário. Como se trata de uma acoplamento tangencial, ambos têm mesma velocidade linear, igual à velocidade linear da fita.

F R F R F F R R F F R R R F f r v v 2 f r 2 f r f r f r . f r π π       

Essa expressão final mostra que a frequência de rotação é inversamente proporcional ao raio. Como o carretel F tem maior raio ele gira com menor frequência, ou seja dá menos voltas que o carretel R.

Resposta da questão 9:

[A]

Como a catraca B gira juntamente com a roda R, ou seja, ambas completam uma volta no mesmo intervalo de tempo, elas possuem a mesma velocidade angular: ωB ωR.

Como a coroa A conecta-se à catraca B através de uma correia, os pontos de suas periferias possuem a mesma velocidade escalar, ou seja: VA VB.

Lembrando que Vω.r: VA VB ωA A.r ωB B.r . Como: rA rBωA ωB.

Resposta da questão 10:

(12)

a) O raio da trajetória de Maria é igual ao raio da Terra: RM  R 6 10 m.6 Como o movimento de Maria é circular uniforme:

6 M M M M S 2 R 2 3 6 10 v v 450m s. t T 80.000 Δ π Δ        

b) No movimento circular uniforme, a aceleração é centrípeta.

2 2 2 M M 6 6 M M v 450 202.500 a a 0,034m s . R 6 10 6 10       

c) O movimento do namorado de Maria também é circular uniforme, de raio R . n n n n n n M M R cos 60 R R cos 60 R S 2 R 2 R cos 60 2 R 1 v cos 60 v cos 60 450 v 225m s. t T T T 2 Δ π π π Δ                

d) Como mostra a figura, as acelerações de Maria e de seu namorado, a e a , são paralelas entre si, logo: M n 0 .

α  

Resposta da questão 11:

Dados:f300rpm5Hz; π3; R1,2m; PU1.500 W; η60%0,6. Velocidade (escalar) angular:

2 f 2 3 5 30rad s.

ω π     ω

Velocidade (escalar) linear:

(13)

cin T 5 U cin cin U U T T E P t P 1.500 E t 60 E 1,5 10 J. P P P 0,6 P Δ Δ η η η          Resposta da questão 12: [A]

A figura ilustra a situação, considerando a Terra esférica.

Todos os pontos da Terra têm a mesma velocidade angular. Assim, para V2 v, tem-se:

v V v 2 v R r . r R  r  R   2 Mas: r R 2 1 cos cos 60 . R R 2 θ   θ  θ  Resposta da questão 13: [D]

A velocidade de rotação, mais comumente conhecida como frequência f está relacionada com a velocidade linear das correias com a seguinte equação:

v2 R fπ onde:

v velocidade linear das correias em m s; R raio da polia em m;

f  frequência em Hz.

Para transformar a frequência em rotações por minutos, basta multiplicar o resultado em hertz por 60.

Para efetuar o cálculo, devemos obter a velocidade linear na lona que envolve os cilindros idênticos, C1 e C2, sabendo que o corredor Bolt faz 100 m em 9 s :

100 m

v v 11,11m s

9 s

  

Para o acoplamento das polias C2 e P1 temos que as frequências em cada uma delas são iguais entre si, portanto:

(14)

Passando para r.p.m:

f 92,6 Hz 60  f 5.555,5 rpm

Correspondendo então, de forma aproximada, à alternativa [D].

Resposta da questão 14:

[A]

Os raios das engrenagens (R) e os números de dentes (n) são diretamente proporcionais. Assim: C A A B D B R R n 8 1 . R R n 243

- A e B estão acopladas tangencialmente:

A B A A B B A A B B M A A M M A B B B M M B B v v 2 f R 2 f R f R f R . f R 1 Mas : f f f R f R f f f f . R 3 3 π π             

- B e C estão acopladas coaxialmente: M C B f f f . 3  

- C e D estão acopladas tangencialmente:

C D C C D D C C D D M M C D R C C R D R C R R D R R v v 2 f R 2 f R f R f R . f f R 1 Mas : f f f R f R f f f f R 3 3 9 13,5 F f 1,5 Hz. 9 π π                   Resposta da questão 15: [D] Na posição 1: B A B B B A A A B A A B A C B C C A A C 1 1 C A A r 2 r . v v v 2 r . r 2 r v v r 2 r . r 2 r . (I) ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω              Na posição 2: D A D D A A 2 D 2 C A A C D v v r r . . r r . (II) r r . ω ω ω ω ω ω          

Dividindo membro a membro (I) por (II):

(15)

A tração no ponto B deverá ser igual à força centrífuga que puxa o trecho BC para fora. Portanto:

B cf 2 B BC BC 2 B 2 2 2 B T F T m r L T (L r) 2 L r T 2 ω μ ω ω μ             

Pela Lei de Taylor:

2 2 2 2 2 T v L r v 2 L r v 2 μ ω ω       Resposta da questão 17: [E]

A figura abaixo mostra os diversos componentes do mecanismo e suas dimensões.

Denominemos Ω a velocidade angular da coroa e ω a velocidade angular da catraca e consequentemente da roda, já que elas rodam solidárias.

(16)

coroa catraca r V V R r R ω Ω ω Ω      (01)

Por outro lado a velocidade da bicicleta pode ser calculada por: V D 2V

2 D ω ω    (02) Substituindo 02 em 01, vem: 2Vr RD Ω  (03) V =18km/h = 5,0m/s D= 70cm = 0,7m 2R = 20cm  R = 0,1m 2r = 7cm  r = 0,035m

Substituindo os valores em 03, temos:

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